Penyelesaian Masalah Dual untuk Menentukan Premi Optimum pada Portofolio Heterogen
PENYELESAIAN MASALAH DUAL UNTUK
MENENTUKAN PREMI OPTIMUM PADA PORTOFOLIO
HETEROGEN
RISMAWATI SIDIK
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penyelesaian Masalah
Dual untuk Menentukan Premi Optimum pada Portofolio Heterogen adalah benar
karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam
bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang
berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari
penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di
bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Oktober 2014
Rismawati Sidik
NIM G54100053
ABSTRAK
RISMAWATI SIDIK. Penyelesaian Masalah Dual untuk Menentukan Premi
Optimum pada Portofolio Heterogen. Dibimbing oleh I GUSTI PUTU
PURNABA dan DONNY CITRA LESMANA.
Asuransi adalah perjanjian antara dua pihak atau lebih, di mana pihak
penanggung mengikatkan diri kepada tertanggung dengan menerima premi
asuransi untuk memberikan penggantian kepada tertanggung karena kerugian
yang mungkin akan diderita tertanggung. Besarnya premi diatur dan disepakati
oleh keduanya dalam sebuah polis asuransi. Masalah yang harus dihadapi oleh
perusahaan asuransi adalah adanya kemungkinan dalam pengajuan klaim yang
diajukan oleh pihak tertanggung melebihi besarnya premi yang mereka dapatkan
dari pihak tertanggung. Jika total klaim melebihi besarnya premi maka perusahaan
asuransi akan mengalami kebangkrutan. Dalam hal ini diperlukan sebuah
formulasi yang dapat menentukan premi optimum dengan penyelesaian masalah
dual dari masalah meminimumkan kuadrat selisih terboboti antara total premi dan
total klaim. Solusi optimum yang didapatkan dari masalah dual merupakan
formula yang dapat digunakan untuk menentukan premi optimum untuk setiap
kelas pada portofolio heterogen. Dari formula tersebut, dapat ditentukan alokasi
penentuan premi optimum, yaitu alokasi seragam, alokasi semi-seragam, prinsip
nilai harapan, dan prinsip ragam.
Kata kunci: alokasi premi, masalah dual, portofolio heterogen, premi optimum
ABSTRACT
RISMAWATI SIDIK. Solution of the Dual Problem to Determine Optimum
Premium on Heterogeneous Portfolio. Supervised by I GUSTI PUTU PURNABA
and DONNY CITRA LESMANA.
Insurance is an agreement between two parties or more in which the insurer
binds himself to the insured by receiving insurance premium to give back to the
insured because of possible loss that may occur. The amount of premium is
arranged and endorsed by two parties in an insurance policy. The problem that the
insurance company has to be faced is the possibility that the claim submitted by
the insured is bigger than the premium they got from the insured. If the total claim
exceeds the total premium, the company will suffer bankruptcy. In this case it
needs a proper formulation that can determine the optimum premium by solving
the dual problems from the problems of minimizing a weighted squared difference
of the total premium and total claim. The optimum solution that has been gotten
from dual problem can be used to determine the optimum premium of the
heterogenenous portfolio classification. From that formulation, allocation of
optimum premium can be determined for each of uniform allocation, semiuniform, the expected value principle and the variance principle.
Keywords: dual problem, heterogeneous portfolio, premium allocation, the
optimum premium
PENYELESAIAN MASALAH DUAL UNTUK
MENENTUKAN PREMI OPTIMUM PADA PORTOFOLIO
HETEROGEN
RISMAWATI SIDIK
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah Subhanahu Wa Ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang
dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Januari 2014 ini ialah
asuransi, dengan judul Penyelesaian Masalah Dual untuk Menentukan Premi
Optimum pada Portofolio Heterogen.
Terima kasih penulis ucapkan kepada:
1. Bapak Mahpud Sidik, ibu Cucu Riscani selaku orangtua yang sudah
membesarkan, menyayangi, mendidik, dan selalu mendoakan penulis,
2. Adik Nabila Rismania Sidik, adik Anugrah Rismawan Sidik, adik Nadila
Rismanti Sidik, dan seluruh keluarga atas segala doa dan kasih sayangnya,
3. Bapak Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA selaku pembimbing I dan bapak Dr
Donny Citra Lesmana, SSi, MFinMath selaku pembimbing II, ibu Ir Retno
Budiarti, MS selaku penguji serta ibu Dra Farida Hanum, MSi selaku komisi
pendidikan yang telah banyak memberi saran,
4. Seluruh dosen Departemen Matematika IPB yang telah banyak membagi
ilmu dan pengalamannya,
5. Seluruh staf Departemen Matematika IPB yang telah memberikan semangat
dan doanya,
6. Nurul, Ayub, dan Ika yang sudah menjadi teman satu bimbingan,
7. Seluruh sahabat di Manulife Financial, Kak Prama, Kak Maya, Kak Irwan
dan Kak Nisa yang telah memberikan banyak ilmu, semangat, dan doanya,
8. Desty, Ale, Dea, Dince, Bundo, Kamil, Dadan, Dita, Chiki, Ayu, dan Lisa
yang telah menjadi sahabat terbaik dan terima kasih atas kebersamaannya,
9. Abi, Kio, dan Lily yang telah meluangkan waktu untuk menjadi pembahas
pada seminar karya ilmiah saya,
10. Teman-teman mahasiswa Matematika angkatan 47 yang telah banyak
membantu dalam kegiatan belajar,
11. Seluruh teman angkatan 45, 46, 48 atas kerjasama dan bantuannya selama
proses belajar serta dalam kegiatan organisasi,
12. Gumatika, UKM Karate IPB yang menunjukkan hal-hal baru,
13. Seluruh pihak yang telah membantu dalam penyusunan karya ilmiah ini.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan
khususnya bidang matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian selanjutnya.
Bogor, Oktober 2014
Rismawati Sidik
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Perumusan Masalah
2
Tujuan Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
3
Peluang
3
Pemrograman TakLinear
4
HASIL DAN PEMBAHASAN
5
Model untuk Peubah Acak Klaim Individu
5
Bentuk-bentuk Portofolio
7
Portofolio Homogen
7
Portofolio Heterogen
8
Premi Asuransi
10
Penentuan Premi Asuransi pada Portofolio Homogen
10
Penentuan Premi Asuransi pada Portofolio Heterogen
11
Peluang Kebangkrutan pada Suatu Perusahaan Asuransi
11
Pengoptimuman Masalah Dual
12
Penentuan Formula A dari Nilai Premi Optimum untuk masalah dual dan
masalah primal
15
Penerapan Formula Penentuan Premi Optimum
17
Contoh Kasus
19
SIMPULAN DAN SARAN
24
Simpulan
24
Saran
24
DAFTAR PUSTAKA
25
LAMPIRAN
26
RIWAYAT HIDUP
39
DAFTAR TABEL
1
2
3
4
Data portofolio
Premi optimum menggunakan Teorema 1
Besarnya A dari tiap alokasi
Premi optimum dari tiap alokasi
20
20
21
22
DAFTAR LAMPIRAN
1 Penentuan premi optimum dengan menggunakan Teorema 1
2 Penentuan besarnya A dari tiap alokasi
3 Penentuan premi optimum dari tiap alokasi
26
30
35
PENDAHULUAN
Latar Belakang Masalah
Setiap orang pasti memiliki suatu perencanaan, salah satunya adalah
perencanaan keuangan. Dalam perencanaan keuangan, asuransi bisa dijadikan
pilihan yang tepat. Menurut Undang-Undang No. 2 Tahun 1992, asuransi adalah
perjanjian antara dua pihak atau lebih, di mana pihak penanggung mengikatkan
diri kepada tertanggung dengan menerima premi asuransi untuk memberikan
penggantian kepada tertanggung karena kerugian, kerusakan, atau kehilangan
keuntungan yang diharapkan, atau tanggung jawab hukum kepada pihak ketiga
yang mungkin akan diderita tertanggung, yang timbul dari suatu peristiwa yang
tidak pasti, atau memberikan suatu pembayaran yang didasarkan atas meninggal
atau hidupnya seseorang yang dipertanggungkan. Asuransi memegang peranan
yang sangat penting untuk mencapai tujuan keuangan. Asuransi juga dapat
memberikan perlindungan dalam hal mengumpulkan kekayaan untuk mencapai
keuangan secara bebas. Oleh karena itu, asuransi dalam perencanaan keuangan
disebut sebagai pelindung kekayaan. Selain itu, asuransi memiliki fungsi utama
yaitu sebagai sarana pengalihan kemungkinan risiko atau kerugian dari
tertanggung kepada beberapa penanggung atas pembayaran premi.
Premi adalah biaya yang dibayarkan oleh pihak tertanggung kepada
penanggung untuk risiko yang akan ditanggung. Dengan proteksi asuransi,
ketidakpastian yang berupa kemungkinan terjadinya kerugian sebagai akibat suatu
peristiwa tidak terduga dapat diatasi dengan kepastian akan ganti rugi atau
santunan klaim. Klaim adalah biaya yang dibayarkan oleh pihak penanggung
kepada tertanggung untuk permintaan atau tuntutan pembayaran manfaat atas
risiko yang akan ditanggung. Besarnya premi yang dibayarkan oleh pihak
tertanggung harus disesuaikan dengan risiko yang akan ditanggung. Untuk itu,
perusahaan asuransi dapat membentuk portofolio. Portofolio adalah kumpulan
asuransi yang terdiri atas kumpulan risiko dan premi. Portofolio dibagi menjadi
beberapa kelas di mana tiap kelas saling berinteraksi dengan lainnya. Berdasarkan
jenis risiko yang ditanggung, portofolio dibagi menjadi dua macam, yaitu
portofolio homogen dan portofolio heterogen. Portofolio homogen adalah
kumpulan asuransi yang memiliki risiko yang sama sehingga premi yang
dibayarkan oleh pihak tertanggung sama. Sedangkan portofolio heterogen adalah
kumpulan asuransi yang memiliki risiko yang berbeda sehingga premi yang
dibayarkan oleh pihak tertanggung harus disesuaikan dengan risiko yang
dimilikinya.
Besarnya premi dan klaim dalam portofolio tersebut diatur dan disepakati
oleh keduanya dalam sebuah polis asuransi. Polis asuransi adalah suatu kontrak
yang berisi perjanjian yang sah antara penanggung dan tertanggung sehingga
penanggung bersedia menanggung sejumlah kerugian yang timbul dimasa depan
dengan sejumlah premi yang dibayarkan oleh tertanggung sesuai kesepakatan dari
keduanya. Dalam polis asuransi, masalah yang harus dihadapi oleh perusahaan
asuransi adalah adanya kemungkinan dalam pengajuan klaim yang diajukan oleh
pihak tertanggung melebihi besarnya premi yang mereka dapatkan dari pihak
tertanggung. Jika total klaim melebihi besarnya premi maka perusahaan asuransi
2
akan mengalami kebangkrutan. Dalam hal ini diperlukan sebuah formulasi yang
dapat mengoptimumkan premi sehingga perusahaan asuransi tidak mengalami
kebangkrutan dan para tertanggung pun tidak merasa terbebani dengan harga
premi yang mereka bayarkan dalam polis tersebut. Premi optimum dapat
ditentukan dengan meminimumkan masalah peluang kebangkrutan yang
merupakan masalah dual dalam karya ilmiah ini. Masalah dual adalah sebuah
masalah pemrograman yang diturunkan dari masalah primal. Masalah dual dan
primal sangat berkaitan sehingga solusi optimum dari salah satu masalah akan
secara otomatis menghasilkan solusi optimum bagi masalah lainnya.
Meminimumkan masalah peluang kebangkrutan dapat diselesaikan dengan cara
memaksimumkan besarnya klaim yang diajukan oleh peserta asuransi. Tujuannya
adalah untuk melihat besarnya pengajuan klaim peserta asuransi sehingga premi
optimum dan alokasi premi optimum tersebut dapat ditentukan dengan mengubah
nilai bobot yang diberikan.
Perumusan Masalah
Salah satu hal penting bagi suatu perusahaan asuransi adalah penentuan
nilai premi yang optimum. Dengan premi optimum ini, diharapkan perusahaan
asuransi tidak mengalami kebangkrutan, namun tetap tidak memberatkan peserta
asuransi dalam hal pembayaran premi dan tetap bisa kompetitif dengan
perusahaan asuransi lainnya.
Pada portofolio heterogen, terdapat lebih dari satu kelas yang dibagi
berdasarkan tingkat risiko yang dimiliki tiap kelas asuransi. Besarnya premi pada
tiap kelas pun berbeda-beda. Dalam tiap kelas tersebut, perlu ditentukan premi
optimum yang sesuai dengan kelas risiko yang diberikan agar para peserta
asuransi tetap tertarik untuk berasuransi di perusahaan asuransi tersebut.
Dari beberapa uraian di atas, dapat dirumuskan beberapa permasalahan
sebagai berikut:
1. Bagaimana menentukan premi optimum pada portofolio heterogen untuk
masalah dual.
2. Bagaimana menentukan alokasi-alokasi premi optimum dengan mengubah
nilai bobot yang diberikan.
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan premi optimum pada
portofolio heterogen untuk permasalahan dual dan menentukan alokasi-alokasi
premi optimum dengan mengubah nilai bobot yang diberikan.
3
TINJAUAN PUSTAKA
Agar lebih memperjelas uraian berikutnya, diberikan beberapa definisi
berikut:
Peluang
Definisi 1 (Percobaan Acak)
Percobaan acak adalah percobaan yang dapat dilakukan berulang-ulang
dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat
diketahui, tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat ditebak dengan tepat
(Hogg et al. 2005).
Definisi 2 (Ruang Contoh dan Kejadian)
Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak
disebut ruang contoh, dinotasikan dengan . Suatu kejadian adalah himpunan
bagian dari (Grimmet & Stirzaker 1992).
Definisi 3 (Medan-σ)
Medan-σ adalah himpunan yang anggotanya adalah himpunan bagian
dari ruang contoh , yang memenuhi kondisi berikut:
1.
2. Jika
, maka ⋃
3. Jika
maka
dengan
adalah himpunan komplemen dari A
(Grimmet & Stirzaker 1992).
Definisi 4 (Ukuran Peluang)
Misalkan adalah medan-σ dari ruang contoh . Ukuran peluang adalah
suatu fungsi
pada ( , ) yang memenuhi:
1.
2. Jika
adalah himpunan yang saling lepas, yaitu
untuk setiap pasangan
, maka
∑
⋃
(Grimmet & Stirzaker 1992).
Definisi 5 (Peubah Acak)
Misalkan adalah medan-σ dari ruang contoh
adalah suatu fungsi
dengan sifat
(Grimmet & Stirzaker 1992).
. Suatu peubah acak X
untuk setiap
Definisi 6 (Peubah Acak Diskret)
Peubah acak X dikatakan diskret jika nilainya hanya pada himpunan
bagian yang terhitung dari (Grimmet & Stirzaker 1992).
4
Definisi 7 (Fungsi Massa Peluang)
Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi
[0,1] yang diberikan oleh
(Grimmet & Stirzaker 1992).
Definisi 8 (Peubah Acak Kontinu)
Peubah acak X dikatakan kontinu jika ada fungsi
sehingga fungsi
sebarannya adalah
∫
dengan
[0, ) adalah fungsi yang terintegralkan. Fungsi disebut
fungsi kepekatan peluang dari X (Grimmet & Stirzaker 1992).
Definisi 9 (Persentil)
Persentil adalah nilai-nilai yang membagi segugus pengamatan menjadi
100 bagian yang sama. Nilai-nilai itu dilambangkan dengan
bersifat
bahwa 1% dari seluruh data terletak di bawah
2% terletak di bawah
dan
99% terletak di bawah
(Walpole 1990).
Definisi 10 (Nilai Harapan)
1. Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang
, maka
nilai harapan dari , dinotasikan dengan
, adalah
∑
asalkan jumlah di atas konvergen mutlak.
2. Jika X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang
maka nilai harapan dari X, juga dinotasikan dengan
, adalah
∫
asalkan integral di atas konvergen mutlak (Hogg et al. 2005).
Definisi 11 (Ragam)
Ragam dari peubah acak X adalah nilai harapan dari kuadrat selisih antara
X dan nilai harapannya. Secara matematis, dapat dituliskan sebagai
[
]
[
]
(Hogg et al. 2005).
Pemrograman TakLinear
Pemrograman taklinear (nonlinear programming) adalah suatu proses
formulasi masalah dan penentuan solusi dari suatu masalah optimisasi berkendala
dengan bentuk umum:
Minimumkan/maksimumkan
, terhadap
dengan kendala
dengan
Komponen-komponen dari
(desain),
adalah fungsi obyektif,
adalah fungsi dari .
dinamakan variabel keputusan
menyatakan fungsi-fungsi kendala
5
(constraint) pertaksamaan,
adalah fungsi-fungsi kendala persamaan. Vektor
optimum yang menjadi solusi dari masalah tersebut, dinyatakan dengan dan
nilai optimumnya adalah
(Hanum 2011).
Pengoptimuman Berkendala Persamaan
Misalkan diberikan masalah berkendala persamaan berikut:
Minimumkan
terhadap
. Di tahun 1970 Lagrange mentransformasikan masalah
dengan
ini menjadi masalah tak berkendala dengan menggunakan pengali Lagrange
dalam formulasi fungsi Lagrange:
∑
.
Syarat perlu untuk penyelesaian di atas adalah
untuk
untuk
(Hanum 2011).
Teorema Titik Sadel
Suatu titik
dengan
adalah titik sadel dari fungsi Lagrange
masalah primal jika dan hanya jika kondisi-kondisi berikut dipenuhi:
1.
meminimumkan
untuk semua ;
2.
;
3.
;
Jika titik
dengan
adalah titik sadel dari fungsi Lagrange yang
berpadanan dengan masalah primal, maka
adalah solusi dari masalah primal
(Hanum 2011).
Teorema Dualitas
Suatu titik
dengan
adalah titik sadel dari fungsi Lagrange
masalah primal jika dan hanya jika kondisi-kondisi berikut dipenuhi:
1.
solusi masalah primal,
2.
solusi masalah dualnya,
3.
(Hanum 2011).
HASIL DAN PEMBAHASAN
Model untuk Peubah Acak Klaim Individu
Misalkan suatu perusahaan asuransi mengeluarkan suatu aturan sebagai
berikut. Jika pemegang asuransi tertimpa musibah (contohnya, meninggal dunia
atau kecelakaan) pada kurun waktu satu tahun sehingga pemegang asuransi
tersebut harus mengajukan klaim, perusahaan tersebut harus membayar sebesar b
satuan. Namun, perusahaan asuransi tidak akan membayar jika tidak ada
6
pengajuan klaim pada kurun waktu tersebut. Misalkan peluang terjadinya suatu
klaim pada kurun waktu satu tahun dinotasikan dengan q. Bila peubah acak X
menyatakan besarnya klaim yang harus dibayarkan oleh perusahaan asuransi
kepada pemegang asuransi, maka X memiliki fungsi massa peluang
{
dan fungsi sebaran
{
dari fungsi massa peluang dan fungsi sebaran tersebut, diperoleh
dan
Peubah acak X dapat ditulis dengan notasi sebagai berikut:
(1)
dengan b adalah besarnya nilai klaim yang harus dibayarkan oleh perusahaan
asuransi kepada pemegang asuransi bila terjadi klaim dan I adalah peubah acak
Bernoulli yang akan bernilai 1 bila terjadi pengajuan klaim dan bernilai 0 bila
tidak terjadi pengajuan klaim. Jadi, peluang terjadinya klaim adalah
,
sedangkan peluang tidak terjadinya klaim adalah
.
Dari persamaan (1), dapat ditentukan model yang lebih umum, yaitu
(2)
dengan B adalah peubah acak dari besarnya klaim yang harus dibayarkan
perusahaan asuransi bila terjadi pengajuan klaim untuk setiap tahun, X adalah
peubah acak dari besarnya total klaim yang terjadi selama satu tahun, dan I adalah
indikator bahwa klaim terjadi minimal sekali untuk satu kejadian. Peubah I
bernilai 1 (I = 1) bila terjadi pengajuan klaim dan bernilai 0 (I = 0) bila tidak
terjadi pengajuan klaim pada satu tahun tersebut. Jadi, I tidak menjelaskan
mengenai banyaknya klaim pada tahun tersebut.
Menurut Bowers et al. (1997), ada beberapa persamaan yang berhubungan
dengan momen peubah acak untuk suatu kondisi bersyarat. Bentuk umum dari
persamaan nilai harapan dan ragam adalah
[
]
(3)
dan
[
]
[
]
(4)
Dengan menyubstitusi ke dalam , diperoleh:
[
]
dan
[
]
[
]
Bila diketahui
dan
terdapat dua
kemungkinan yang akan terjadi, yaitu ketika pengajuan klaim terjadi (I = 1), dan
ketika pengajuan klaim tidak terjadi (I = 0).
Saat terjadi klaim (I = 1) maka X = B dan didapatkan bahwa
(5)
dan
7
.
(6)
Namun saat tidak terjadi klaim (I = 0) maka X = 0 dan didapatkan bahwa
(7)
dan
(8)
sebagai nilai harapan dari X
Persamaan (5) dan (7) mendefinisikan
dengan syarat I yang bisa ditulis menjadi
.
Persamaan (6) dan (8) mendefinisikan
sebagai ragam dari X
dengan syarat I. Kedua persamaan tersebut bisa dikombinasikan menjadi
Berdasarkan persamaan (3), dengan perhitungan aljabar sederhana, dapat
disimpulkan bahwa
[
]
(9)
Di samping itu, berdasarkan persamaan (4), bila diketahui
[
]
dan
[
]
Dapat disimpulkan pula bahwa
[
]
[
]
(10)
Bentuk-Bentuk Portofolio
Portofolio asuransi yang akan digunakan terdiri atas sejumlah besar
peserta asuransi dengan peubah acak besarnya klaim menyebar bebas dan identik
(independent and identically distributed atau disingkat i.i.d.). Menurut Zaks et al.
(2006), ketika menentukan premi untuk asuransi dari risiko-risiko pada suatu
portofolio, terdapat dua asumsi premi yang digunakan sebagai pertimbangan,
yaitu:
1. Peluang risiko bahwa total klaim melebihi total premi yang dibayarkan
dinyatakan dengan α, dengan 0
MENENTUKAN PREMI OPTIMUM PADA PORTOFOLIO
HETEROGEN
RISMAWATI SIDIK
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penyelesaian Masalah
Dual untuk Menentukan Premi Optimum pada Portofolio Heterogen adalah benar
karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam
bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang
berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari
penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di
bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Oktober 2014
Rismawati Sidik
NIM G54100053
ABSTRAK
RISMAWATI SIDIK. Penyelesaian Masalah Dual untuk Menentukan Premi
Optimum pada Portofolio Heterogen. Dibimbing oleh I GUSTI PUTU
PURNABA dan DONNY CITRA LESMANA.
Asuransi adalah perjanjian antara dua pihak atau lebih, di mana pihak
penanggung mengikatkan diri kepada tertanggung dengan menerima premi
asuransi untuk memberikan penggantian kepada tertanggung karena kerugian
yang mungkin akan diderita tertanggung. Besarnya premi diatur dan disepakati
oleh keduanya dalam sebuah polis asuransi. Masalah yang harus dihadapi oleh
perusahaan asuransi adalah adanya kemungkinan dalam pengajuan klaim yang
diajukan oleh pihak tertanggung melebihi besarnya premi yang mereka dapatkan
dari pihak tertanggung. Jika total klaim melebihi besarnya premi maka perusahaan
asuransi akan mengalami kebangkrutan. Dalam hal ini diperlukan sebuah
formulasi yang dapat menentukan premi optimum dengan penyelesaian masalah
dual dari masalah meminimumkan kuadrat selisih terboboti antara total premi dan
total klaim. Solusi optimum yang didapatkan dari masalah dual merupakan
formula yang dapat digunakan untuk menentukan premi optimum untuk setiap
kelas pada portofolio heterogen. Dari formula tersebut, dapat ditentukan alokasi
penentuan premi optimum, yaitu alokasi seragam, alokasi semi-seragam, prinsip
nilai harapan, dan prinsip ragam.
Kata kunci: alokasi premi, masalah dual, portofolio heterogen, premi optimum
ABSTRACT
RISMAWATI SIDIK. Solution of the Dual Problem to Determine Optimum
Premium on Heterogeneous Portfolio. Supervised by I GUSTI PUTU PURNABA
and DONNY CITRA LESMANA.
Insurance is an agreement between two parties or more in which the insurer
binds himself to the insured by receiving insurance premium to give back to the
insured because of possible loss that may occur. The amount of premium is
arranged and endorsed by two parties in an insurance policy. The problem that the
insurance company has to be faced is the possibility that the claim submitted by
the insured is bigger than the premium they got from the insured. If the total claim
exceeds the total premium, the company will suffer bankruptcy. In this case it
needs a proper formulation that can determine the optimum premium by solving
the dual problems from the problems of minimizing a weighted squared difference
of the total premium and total claim. The optimum solution that has been gotten
from dual problem can be used to determine the optimum premium of the
heterogenenous portfolio classification. From that formulation, allocation of
optimum premium can be determined for each of uniform allocation, semiuniform, the expected value principle and the variance principle.
Keywords: dual problem, heterogeneous portfolio, premium allocation, the
optimum premium
PENYELESAIAN MASALAH DUAL UNTUK
MENENTUKAN PREMI OPTIMUM PADA PORTOFOLIO
HETEROGEN
RISMAWATI SIDIK
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah Subhanahu Wa Ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang
dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Januari 2014 ini ialah
asuransi, dengan judul Penyelesaian Masalah Dual untuk Menentukan Premi
Optimum pada Portofolio Heterogen.
Terima kasih penulis ucapkan kepada:
1. Bapak Mahpud Sidik, ibu Cucu Riscani selaku orangtua yang sudah
membesarkan, menyayangi, mendidik, dan selalu mendoakan penulis,
2. Adik Nabila Rismania Sidik, adik Anugrah Rismawan Sidik, adik Nadila
Rismanti Sidik, dan seluruh keluarga atas segala doa dan kasih sayangnya,
3. Bapak Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA selaku pembimbing I dan bapak Dr
Donny Citra Lesmana, SSi, MFinMath selaku pembimbing II, ibu Ir Retno
Budiarti, MS selaku penguji serta ibu Dra Farida Hanum, MSi selaku komisi
pendidikan yang telah banyak memberi saran,
4. Seluruh dosen Departemen Matematika IPB yang telah banyak membagi
ilmu dan pengalamannya,
5. Seluruh staf Departemen Matematika IPB yang telah memberikan semangat
dan doanya,
6. Nurul, Ayub, dan Ika yang sudah menjadi teman satu bimbingan,
7. Seluruh sahabat di Manulife Financial, Kak Prama, Kak Maya, Kak Irwan
dan Kak Nisa yang telah memberikan banyak ilmu, semangat, dan doanya,
8. Desty, Ale, Dea, Dince, Bundo, Kamil, Dadan, Dita, Chiki, Ayu, dan Lisa
yang telah menjadi sahabat terbaik dan terima kasih atas kebersamaannya,
9. Abi, Kio, dan Lily yang telah meluangkan waktu untuk menjadi pembahas
pada seminar karya ilmiah saya,
10. Teman-teman mahasiswa Matematika angkatan 47 yang telah banyak
membantu dalam kegiatan belajar,
11. Seluruh teman angkatan 45, 46, 48 atas kerjasama dan bantuannya selama
proses belajar serta dalam kegiatan organisasi,
12. Gumatika, UKM Karate IPB yang menunjukkan hal-hal baru,
13. Seluruh pihak yang telah membantu dalam penyusunan karya ilmiah ini.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan
khususnya bidang matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian selanjutnya.
Bogor, Oktober 2014
Rismawati Sidik
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Perumusan Masalah
2
Tujuan Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
3
Peluang
3
Pemrograman TakLinear
4
HASIL DAN PEMBAHASAN
5
Model untuk Peubah Acak Klaim Individu
5
Bentuk-bentuk Portofolio
7
Portofolio Homogen
7
Portofolio Heterogen
8
Premi Asuransi
10
Penentuan Premi Asuransi pada Portofolio Homogen
10
Penentuan Premi Asuransi pada Portofolio Heterogen
11
Peluang Kebangkrutan pada Suatu Perusahaan Asuransi
11
Pengoptimuman Masalah Dual
12
Penentuan Formula A dari Nilai Premi Optimum untuk masalah dual dan
masalah primal
15
Penerapan Formula Penentuan Premi Optimum
17
Contoh Kasus
19
SIMPULAN DAN SARAN
24
Simpulan
24
Saran
24
DAFTAR PUSTAKA
25
LAMPIRAN
26
RIWAYAT HIDUP
39
DAFTAR TABEL
1
2
3
4
Data portofolio
Premi optimum menggunakan Teorema 1
Besarnya A dari tiap alokasi
Premi optimum dari tiap alokasi
20
20
21
22
DAFTAR LAMPIRAN
1 Penentuan premi optimum dengan menggunakan Teorema 1
2 Penentuan besarnya A dari tiap alokasi
3 Penentuan premi optimum dari tiap alokasi
26
30
35
PENDAHULUAN
Latar Belakang Masalah
Setiap orang pasti memiliki suatu perencanaan, salah satunya adalah
perencanaan keuangan. Dalam perencanaan keuangan, asuransi bisa dijadikan
pilihan yang tepat. Menurut Undang-Undang No. 2 Tahun 1992, asuransi adalah
perjanjian antara dua pihak atau lebih, di mana pihak penanggung mengikatkan
diri kepada tertanggung dengan menerima premi asuransi untuk memberikan
penggantian kepada tertanggung karena kerugian, kerusakan, atau kehilangan
keuntungan yang diharapkan, atau tanggung jawab hukum kepada pihak ketiga
yang mungkin akan diderita tertanggung, yang timbul dari suatu peristiwa yang
tidak pasti, atau memberikan suatu pembayaran yang didasarkan atas meninggal
atau hidupnya seseorang yang dipertanggungkan. Asuransi memegang peranan
yang sangat penting untuk mencapai tujuan keuangan. Asuransi juga dapat
memberikan perlindungan dalam hal mengumpulkan kekayaan untuk mencapai
keuangan secara bebas. Oleh karena itu, asuransi dalam perencanaan keuangan
disebut sebagai pelindung kekayaan. Selain itu, asuransi memiliki fungsi utama
yaitu sebagai sarana pengalihan kemungkinan risiko atau kerugian dari
tertanggung kepada beberapa penanggung atas pembayaran premi.
Premi adalah biaya yang dibayarkan oleh pihak tertanggung kepada
penanggung untuk risiko yang akan ditanggung. Dengan proteksi asuransi,
ketidakpastian yang berupa kemungkinan terjadinya kerugian sebagai akibat suatu
peristiwa tidak terduga dapat diatasi dengan kepastian akan ganti rugi atau
santunan klaim. Klaim adalah biaya yang dibayarkan oleh pihak penanggung
kepada tertanggung untuk permintaan atau tuntutan pembayaran manfaat atas
risiko yang akan ditanggung. Besarnya premi yang dibayarkan oleh pihak
tertanggung harus disesuaikan dengan risiko yang akan ditanggung. Untuk itu,
perusahaan asuransi dapat membentuk portofolio. Portofolio adalah kumpulan
asuransi yang terdiri atas kumpulan risiko dan premi. Portofolio dibagi menjadi
beberapa kelas di mana tiap kelas saling berinteraksi dengan lainnya. Berdasarkan
jenis risiko yang ditanggung, portofolio dibagi menjadi dua macam, yaitu
portofolio homogen dan portofolio heterogen. Portofolio homogen adalah
kumpulan asuransi yang memiliki risiko yang sama sehingga premi yang
dibayarkan oleh pihak tertanggung sama. Sedangkan portofolio heterogen adalah
kumpulan asuransi yang memiliki risiko yang berbeda sehingga premi yang
dibayarkan oleh pihak tertanggung harus disesuaikan dengan risiko yang
dimilikinya.
Besarnya premi dan klaim dalam portofolio tersebut diatur dan disepakati
oleh keduanya dalam sebuah polis asuransi. Polis asuransi adalah suatu kontrak
yang berisi perjanjian yang sah antara penanggung dan tertanggung sehingga
penanggung bersedia menanggung sejumlah kerugian yang timbul dimasa depan
dengan sejumlah premi yang dibayarkan oleh tertanggung sesuai kesepakatan dari
keduanya. Dalam polis asuransi, masalah yang harus dihadapi oleh perusahaan
asuransi adalah adanya kemungkinan dalam pengajuan klaim yang diajukan oleh
pihak tertanggung melebihi besarnya premi yang mereka dapatkan dari pihak
tertanggung. Jika total klaim melebihi besarnya premi maka perusahaan asuransi
2
akan mengalami kebangkrutan. Dalam hal ini diperlukan sebuah formulasi yang
dapat mengoptimumkan premi sehingga perusahaan asuransi tidak mengalami
kebangkrutan dan para tertanggung pun tidak merasa terbebani dengan harga
premi yang mereka bayarkan dalam polis tersebut. Premi optimum dapat
ditentukan dengan meminimumkan masalah peluang kebangkrutan yang
merupakan masalah dual dalam karya ilmiah ini. Masalah dual adalah sebuah
masalah pemrograman yang diturunkan dari masalah primal. Masalah dual dan
primal sangat berkaitan sehingga solusi optimum dari salah satu masalah akan
secara otomatis menghasilkan solusi optimum bagi masalah lainnya.
Meminimumkan masalah peluang kebangkrutan dapat diselesaikan dengan cara
memaksimumkan besarnya klaim yang diajukan oleh peserta asuransi. Tujuannya
adalah untuk melihat besarnya pengajuan klaim peserta asuransi sehingga premi
optimum dan alokasi premi optimum tersebut dapat ditentukan dengan mengubah
nilai bobot yang diberikan.
Perumusan Masalah
Salah satu hal penting bagi suatu perusahaan asuransi adalah penentuan
nilai premi yang optimum. Dengan premi optimum ini, diharapkan perusahaan
asuransi tidak mengalami kebangkrutan, namun tetap tidak memberatkan peserta
asuransi dalam hal pembayaran premi dan tetap bisa kompetitif dengan
perusahaan asuransi lainnya.
Pada portofolio heterogen, terdapat lebih dari satu kelas yang dibagi
berdasarkan tingkat risiko yang dimiliki tiap kelas asuransi. Besarnya premi pada
tiap kelas pun berbeda-beda. Dalam tiap kelas tersebut, perlu ditentukan premi
optimum yang sesuai dengan kelas risiko yang diberikan agar para peserta
asuransi tetap tertarik untuk berasuransi di perusahaan asuransi tersebut.
Dari beberapa uraian di atas, dapat dirumuskan beberapa permasalahan
sebagai berikut:
1. Bagaimana menentukan premi optimum pada portofolio heterogen untuk
masalah dual.
2. Bagaimana menentukan alokasi-alokasi premi optimum dengan mengubah
nilai bobot yang diberikan.
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan premi optimum pada
portofolio heterogen untuk permasalahan dual dan menentukan alokasi-alokasi
premi optimum dengan mengubah nilai bobot yang diberikan.
3
TINJAUAN PUSTAKA
Agar lebih memperjelas uraian berikutnya, diberikan beberapa definisi
berikut:
Peluang
Definisi 1 (Percobaan Acak)
Percobaan acak adalah percobaan yang dapat dilakukan berulang-ulang
dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat
diketahui, tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat ditebak dengan tepat
(Hogg et al. 2005).
Definisi 2 (Ruang Contoh dan Kejadian)
Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak
disebut ruang contoh, dinotasikan dengan . Suatu kejadian adalah himpunan
bagian dari (Grimmet & Stirzaker 1992).
Definisi 3 (Medan-σ)
Medan-σ adalah himpunan yang anggotanya adalah himpunan bagian
dari ruang contoh , yang memenuhi kondisi berikut:
1.
2. Jika
, maka ⋃
3. Jika
maka
dengan
adalah himpunan komplemen dari A
(Grimmet & Stirzaker 1992).
Definisi 4 (Ukuran Peluang)
Misalkan adalah medan-σ dari ruang contoh . Ukuran peluang adalah
suatu fungsi
pada ( , ) yang memenuhi:
1.
2. Jika
adalah himpunan yang saling lepas, yaitu
untuk setiap pasangan
, maka
∑
⋃
(Grimmet & Stirzaker 1992).
Definisi 5 (Peubah Acak)
Misalkan adalah medan-σ dari ruang contoh
adalah suatu fungsi
dengan sifat
(Grimmet & Stirzaker 1992).
. Suatu peubah acak X
untuk setiap
Definisi 6 (Peubah Acak Diskret)
Peubah acak X dikatakan diskret jika nilainya hanya pada himpunan
bagian yang terhitung dari (Grimmet & Stirzaker 1992).
4
Definisi 7 (Fungsi Massa Peluang)
Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi
[0,1] yang diberikan oleh
(Grimmet & Stirzaker 1992).
Definisi 8 (Peubah Acak Kontinu)
Peubah acak X dikatakan kontinu jika ada fungsi
sehingga fungsi
sebarannya adalah
∫
dengan
[0, ) adalah fungsi yang terintegralkan. Fungsi disebut
fungsi kepekatan peluang dari X (Grimmet & Stirzaker 1992).
Definisi 9 (Persentil)
Persentil adalah nilai-nilai yang membagi segugus pengamatan menjadi
100 bagian yang sama. Nilai-nilai itu dilambangkan dengan
bersifat
bahwa 1% dari seluruh data terletak di bawah
2% terletak di bawah
dan
99% terletak di bawah
(Walpole 1990).
Definisi 10 (Nilai Harapan)
1. Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang
, maka
nilai harapan dari , dinotasikan dengan
, adalah
∑
asalkan jumlah di atas konvergen mutlak.
2. Jika X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang
maka nilai harapan dari X, juga dinotasikan dengan
, adalah
∫
asalkan integral di atas konvergen mutlak (Hogg et al. 2005).
Definisi 11 (Ragam)
Ragam dari peubah acak X adalah nilai harapan dari kuadrat selisih antara
X dan nilai harapannya. Secara matematis, dapat dituliskan sebagai
[
]
[
]
(Hogg et al. 2005).
Pemrograman TakLinear
Pemrograman taklinear (nonlinear programming) adalah suatu proses
formulasi masalah dan penentuan solusi dari suatu masalah optimisasi berkendala
dengan bentuk umum:
Minimumkan/maksimumkan
, terhadap
dengan kendala
dengan
Komponen-komponen dari
(desain),
adalah fungsi obyektif,
adalah fungsi dari .
dinamakan variabel keputusan
menyatakan fungsi-fungsi kendala
5
(constraint) pertaksamaan,
adalah fungsi-fungsi kendala persamaan. Vektor
optimum yang menjadi solusi dari masalah tersebut, dinyatakan dengan dan
nilai optimumnya adalah
(Hanum 2011).
Pengoptimuman Berkendala Persamaan
Misalkan diberikan masalah berkendala persamaan berikut:
Minimumkan
terhadap
. Di tahun 1970 Lagrange mentransformasikan masalah
dengan
ini menjadi masalah tak berkendala dengan menggunakan pengali Lagrange
dalam formulasi fungsi Lagrange:
∑
.
Syarat perlu untuk penyelesaian di atas adalah
untuk
untuk
(Hanum 2011).
Teorema Titik Sadel
Suatu titik
dengan
adalah titik sadel dari fungsi Lagrange
masalah primal jika dan hanya jika kondisi-kondisi berikut dipenuhi:
1.
meminimumkan
untuk semua ;
2.
;
3.
;
Jika titik
dengan
adalah titik sadel dari fungsi Lagrange yang
berpadanan dengan masalah primal, maka
adalah solusi dari masalah primal
(Hanum 2011).
Teorema Dualitas
Suatu titik
dengan
adalah titik sadel dari fungsi Lagrange
masalah primal jika dan hanya jika kondisi-kondisi berikut dipenuhi:
1.
solusi masalah primal,
2.
solusi masalah dualnya,
3.
(Hanum 2011).
HASIL DAN PEMBAHASAN
Model untuk Peubah Acak Klaim Individu
Misalkan suatu perusahaan asuransi mengeluarkan suatu aturan sebagai
berikut. Jika pemegang asuransi tertimpa musibah (contohnya, meninggal dunia
atau kecelakaan) pada kurun waktu satu tahun sehingga pemegang asuransi
tersebut harus mengajukan klaim, perusahaan tersebut harus membayar sebesar b
satuan. Namun, perusahaan asuransi tidak akan membayar jika tidak ada
6
pengajuan klaim pada kurun waktu tersebut. Misalkan peluang terjadinya suatu
klaim pada kurun waktu satu tahun dinotasikan dengan q. Bila peubah acak X
menyatakan besarnya klaim yang harus dibayarkan oleh perusahaan asuransi
kepada pemegang asuransi, maka X memiliki fungsi massa peluang
{
dan fungsi sebaran
{
dari fungsi massa peluang dan fungsi sebaran tersebut, diperoleh
dan
Peubah acak X dapat ditulis dengan notasi sebagai berikut:
(1)
dengan b adalah besarnya nilai klaim yang harus dibayarkan oleh perusahaan
asuransi kepada pemegang asuransi bila terjadi klaim dan I adalah peubah acak
Bernoulli yang akan bernilai 1 bila terjadi pengajuan klaim dan bernilai 0 bila
tidak terjadi pengajuan klaim. Jadi, peluang terjadinya klaim adalah
,
sedangkan peluang tidak terjadinya klaim adalah
.
Dari persamaan (1), dapat ditentukan model yang lebih umum, yaitu
(2)
dengan B adalah peubah acak dari besarnya klaim yang harus dibayarkan
perusahaan asuransi bila terjadi pengajuan klaim untuk setiap tahun, X adalah
peubah acak dari besarnya total klaim yang terjadi selama satu tahun, dan I adalah
indikator bahwa klaim terjadi minimal sekali untuk satu kejadian. Peubah I
bernilai 1 (I = 1) bila terjadi pengajuan klaim dan bernilai 0 (I = 0) bila tidak
terjadi pengajuan klaim pada satu tahun tersebut. Jadi, I tidak menjelaskan
mengenai banyaknya klaim pada tahun tersebut.
Menurut Bowers et al. (1997), ada beberapa persamaan yang berhubungan
dengan momen peubah acak untuk suatu kondisi bersyarat. Bentuk umum dari
persamaan nilai harapan dan ragam adalah
[
]
(3)
dan
[
]
[
]
(4)
Dengan menyubstitusi ke dalam , diperoleh:
[
]
dan
[
]
[
]
Bila diketahui
dan
terdapat dua
kemungkinan yang akan terjadi, yaitu ketika pengajuan klaim terjadi (I = 1), dan
ketika pengajuan klaim tidak terjadi (I = 0).
Saat terjadi klaim (I = 1) maka X = B dan didapatkan bahwa
(5)
dan
7
.
(6)
Namun saat tidak terjadi klaim (I = 0) maka X = 0 dan didapatkan bahwa
(7)
dan
(8)
sebagai nilai harapan dari X
Persamaan (5) dan (7) mendefinisikan
dengan syarat I yang bisa ditulis menjadi
.
Persamaan (6) dan (8) mendefinisikan
sebagai ragam dari X
dengan syarat I. Kedua persamaan tersebut bisa dikombinasikan menjadi
Berdasarkan persamaan (3), dengan perhitungan aljabar sederhana, dapat
disimpulkan bahwa
[
]
(9)
Di samping itu, berdasarkan persamaan (4), bila diketahui
[
]
dan
[
]
Dapat disimpulkan pula bahwa
[
]
[
]
(10)
Bentuk-Bentuk Portofolio
Portofolio asuransi yang akan digunakan terdiri atas sejumlah besar
peserta asuransi dengan peubah acak besarnya klaim menyebar bebas dan identik
(independent and identically distributed atau disingkat i.i.d.). Menurut Zaks et al.
(2006), ketika menentukan premi untuk asuransi dari risiko-risiko pada suatu
portofolio, terdapat dua asumsi premi yang digunakan sebagai pertimbangan,
yaitu:
1. Peluang risiko bahwa total klaim melebihi total premi yang dibayarkan
dinyatakan dengan α, dengan 0