Penentuan Premi Optimum pada Portofolio Heterogen dengan Argumen Geometris Sederhana
PENENTUAN PREMI OPTIMUM PADA PORTOFOLIO
HETEROGEN DENGAN ARGUMEN
GEOMETRIS SEDERHANA
PRAMA ADISTYA WIJAYA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penentuan Premi
Optimum pada Portofolio Heterogen dengan Argumen Geometris Sederhana
adalah benar karya saya dengan arahan dari dosen pembimbing dan belum
diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber
informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak
diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam
Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Februari 2014
Prama Adistya Wijaya
NIM G54080081
ABSTRAK
PRAMA ADISTYA WIJAYA. Penentuan Premi Optimum pada Portofolio
Heterogen dengan Argumen Geometris Sederhana. Dibimbing oleh I GUSTI
PUTU PURNABA dan RUHIYAT.
Asuransi adalah sebuah proses pelimpahan risiko dari tertanggung ke
penanggung. Tertanggung membayarkan premi sebagai bentuk pengalihan risiko.
Besar premi disepakati oleh penanggung dan tertanggung dalam polis asuransi.
Pada asuransi portofolio heterogen, terdapat lebih dari satu kelas yang dibagi
berdasarkan tingkat risiko yang dimiliki tiap kelas. Besar premi yang terdapat
pada setiap kelas disesuaikan dengan tingkat risiko yang dimiliki tertanggung. Di
setiap kelas tersebut, perlu ditentukan premi yang optimum sesuai dengan kelas
risiko yang diberikan. Penentuan premi ini bertujuan agar perusahaan asuransi
tidak menderita kerugian, namun tetap tidak memberatkan para peserta asuransi.
Premi optimum bisa ditentukan dengan argumen geometris sederhana. Langkah
yang dilakukan adalah dengan meminimumkan masalah kuadrat selisih terboboti
antara total premi dan total klaim dengan kendala total premi yang sudah
ditentukan. Solusi optimum yang didapatkan dari masalah tersebut merupakan
formula yang bisa digunakan untuk menentukan premi optimum untuk setiap
kelas pada portofolio heterogen. Dari formula tersebut, dapat ditentukan beragam
alokasi penentuan premi optimum, yaitu alokasi seragam, alokasi semi-seragam,
prinsip nilai harapan, dan prinsip ragam.
Kata kunci: argumen geometris sederhana, portofolio heterogen, premi optimum
ABSTRACT
PRAMA ADISTYA WIJAYA. Pricing of Optimal Premium in Heterogeneous
Portfolio Using Simple Geometrical Arguments. Supervised by I GUSTI PUTU
PURNABA and RUHIYAT.
Insurance is a process of risk transfering from insureds to insurers. Insureds
pay premium as a transfered risk. Amount of premium satisfies the agreement of
insureds and insurers in insurance policy. In heterogeneous portfolio, there are
more than one classes based on risk level for policyholders. The risk level of each
class is different. For each class, it has to be determined the optimal premium
based on risk level. The determining of optimal premium is to avoid insurance
company from bankrupt, but it does not incriminate policyholder. Optimal
premium can be determined by using simple geometrical arguments. The method
for determining premium is minimizing a weighted squared difference of the total
premium and total claim. From this, we will get formula for pricing optimal
premium for each class in heterogeneous portfolio. The formula can be used to
determine allocations for pricing of optimal premium, which are uniform
allocation, semi-uniform allocation, expected principle, and variance principle.
Key words: heterogeneous portfolio, optimal premium, simple geometrical
arguments
PENENTUAN PREMI OPTIMUM PADA PORTOFOLIO
HETEROGEN DENGAN ARGUMEN
GEOMETRIS SEDERHANA
PRAMA ADISTYA WIJAYA
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Judul Skripsi : Penentuan Premi Optimum pada Portofolio Heterogen dengan
Argumen Geometris Sederhana
Nama
: Prama Adistya Wijaya
NIM
: G54080081
Disetujui oleh
Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA
Pembimbing I
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
Ruhiyat, MSi
Pembimbing II
Judul Skripsi: Penentuan Premi Optimum pada Portofolio Heterogen dengan
Argumen Oeometris Sederhana
Nama
: Prama Adistya Wijaya
: 054080081
NIM
Disetujui oleh
Dr Ir I Ousti Putu Pumaba, DEA
Pembimbing I
Tanggal Lulus:
·25 FEB 2014
Ruhiyat MSi
Pembimbing II
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah Subhanahu Wa Ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang
dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Februari 2013 ini ialah
asuransi, dengan judul Penentuan Premi Optimum pada Portofolio Heterogen
dengan Argumen Geometris Sederhana.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA dan
Ruhiyat, MSi selaku pembimbing, serta Dr Donny Citra Lesmana, MFinMath
yang telah banyak memberi saran. Di samping itu, penghargaan penulis
sampaikan kepada seluruh dosen dan staf di Departemen Matematika atas segala
ilmu dan bantuan yang diberikan semasa perkuliahan. Ungkapan terima kasih juga
disampaikan kepada ayah, ibu, kakak, dan adik, serta seluruh keluarga, atas segala
doa dan kasih sayangnya. Penulis pun mengucapkan terima kasih kepada Bapak
Herry Suhardiyanto, Bapak Yonny Koesmaryono, dan Bapak Rimbawan atas
pelajaran berharganya. Tak lupa juga, penulis ucapkan terima kasih kepada
seluruh keluarga di Departemen Matematika, khususnya angkatan 45, Lingkaran
Peradaban, Pelangi Harapan 45, PPSDMS NF, POMI 22, Tim Al-Fata’, BEM
TPB Kabinet Pejuang 45, khususnya Dept. Kominfo, BEM FMIPA Kabinet
Totalitas Kebangkitan, khususnya Dept. PPSDM, BEM FMIPA Kabinet Sahabat
Scientist, khususnya BPH, dan BEM KM Kabinet IPB Berkarya, khususnya
Kementerian BOS, kakak dan adik kelas Matematika angkatan 43 hingga 48 dan
seluruh pihak yang telah mendukung penulis menyelesaikan karya ilmiah ini.
Bogor, Februari 2014
Prama Adistya Wijaya
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Perumusan Masalah
1
Tujuan Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
Peluang
2
Matriks dan Vektor
4
PEMBAHASAN
5
Model untuk Peubah Acak Klaim Individu
5
Bentuk-Bentuk Portofolio
8
Portofolio Homogen
8
Portofolio Heterogen
9
Premi Asuransi
11
Penentuan Premi pada Asuransi Portofolio Homogen
11
Penentuan Premi pada Asuransi Portofolio Heterogen
12
Sebuah Masalah Pengoptimuman
13
Peluang Kebangkrutan pada Suatu Perusahaan Asuransi
16
Peminimuman dari Selisih Risiko dan Premi untuk Peluang Kebangkrutan
yang Diberikan
17
Penerapan Formula Penentuan Premi Optimum
Contoh Kasus
19
22
SIMPULAN
26
DAFTAR PUSTAKA
26
LAMPIRAN
28
RIWAYAT HIDUP
39
DAFTAR TABEL
1 Data portofolio
2 Premi optimum dari tiap alokasi
23
25
DAFTAR LAMPIRAN
1 Pembuktian persamaan (14)
2 Penentuan solusi optimum dan nilai minimum dari
3 Pembuktian transformasi masalah 1 menjadi masalah 2
4 Pembuktian ketaksamaan (18)
5 Penentuan solusi optimum pada masalah 1
6 Penentuan solusi optimum persamaan (25) dengan kendala (24)
7 Penentuan solusi optimum persamaan (27) dengan kendala (24)
28
29
30
31
33
35
37
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Setiap orang tidak ingin suatu ketika ditimpa sebuah kemalangan. Walaupun
tidak mungkin terlepas dari musibah, kerugian materi itu bisa diperkecil. Dalam
menghadapi hal buruk yang mungkin terjadi, asuransi bisa digunakan sebagai
sebuah solusi.
Asuransi adalah sebuah proses pelimpahan risiko dari tertanggung ke
penanggung. Tertanggung (insured atau peserta asuransi) adalah istilah bagi
seseorang atau pihak yang ingin menyalurkan risiko, sedangkan penanggung
(insurer atau perusahaan asuransi) adalah istilah bagi pihak yang menerima risiko
tersebut. Tertanggung membayarkan premi sebagai bentuk pengalihan risiko.
Premi adalah biaya yang dibayar oleh tertanggung kepada penanggung untuk
risiko yang ditanggung. Besar premi diatur dan disepakati oleh penanggung dan
tertanggung dalam polis asuransi. Polis asuransi adalah suatu kontrak yang berisi
perjanjian yang sah antara penanggung dan tertanggung sehingga penanggung
bersedia menanggung sejumlah kerugian yang timbul di masa depan dengan
sejumlah premi yang dibayarkan oleh tertanggung sesuai kesepakatan. Dalam
polis asuransi, perusahaan asuransi sering dihadapkan pada suatu masalah, yaitu
adanya kecenderungan bahwa pengajuan klaim yang diajukan oleh pihak
tertanggung akan melebihi besarnya premi yang mereka dapatkan dari pihak
tertanggung. Bila hal ini terjadi, perusahaan asuransi akan mengalami
kebangkrutan. Diperlukan formulasi yang bisa mengoptimumkan premi sehingga
perusahaan asuransi tidak akan bangkrut dan para tertanggung pun tidak merasa
keberatan dengan harga premi yang harus dibayarkan dalam polis tersebut.
Dalam asuransi, dikenal istilah risiko. Risiko itu sendiri adalah suatu
ketidakpastian yang tidak dikehendaki karena dapat menyebabkan kerugian.
Portofolio adalah kumpulan asuransi yang terdiri atas kumpulan risiko dan premi.
Portofolio homogen merupakan kumpulan asuransi yang memiliki risiko yang
sama sehingga premi yang harus dibayarkan oleh nasabah pun sama. Portofolio
heterogen adalah kumpulan asuransi yang memiliki risiko yang berbeda. Premi
yang harus dibayarkan oleh nasabah disesuaikan dengan risiko yang dimiliki oleh
nasabah tersebut. Ketika nasabah memiliki risiko yang tinggi, premi yang harus
dibayar pun akan lebih mahal dan berlaku sebaliknya. Baik peserta asuransi
maupun perusahaan asuransi menginginkan premi yang optimum.
Perumusan Masalah
Premi yang optimum merupakan hal yang penting bagi suatu perusahaan
asuransi. Dengan premi optimum tersebut, diharapkan perusahaan asuransi tidak
menderita kerugian, namun tetap tidak memberatkan para peserta asuransi yang
harus membayar dan tetap bisa kompetitif dengan perusahaan asuransi lain.
Pada portofolio heterogen, terdapat lebih dari satu kelas yang dibagi
berdasarkan tingkat risiko yang dimiliki tiap peserta asuransi. Besar premi yang
terdapat pada setiap kelas pun berbeda-beda. Di setiap kelas tersebut, perlu
ditentukan premi yang optimum sesuai dengan kelas risiko yang diberikan agar
para peserta asuransi tetap tertarik berasuransi di perusahaan tersebut.
2
Dari beberapa uraian di atas, dapat dirumuskan beberapa permasalahan
sebagai berikut:
1. Bagaimana menentukan premi optimum pada portofolio heterogen dengan
metode argumen geometris sederhana?
2. Bagaimana menentukan alokasi-alokasi premi optimum dengan mengubah
nilai bobot yang diberikan?
Tujuan Penelitian
Tujuan dari karya ilmiah ini adalah menentukan premi yang optimum pada
portofolio heterogen dengan metode argumen sederhana dan alokasi-alokasi dari
premi tersebut dengan mengubah nilai bobot yang diberikan.
TINJAUAN PUSTAKA
Agar lebih memperjelas uraian berikutnya, diberikan beberapa definisi
berikut.
Peluang
Definisi 1 (Percobaan Acak)
Percobaan acak adalah percobaan yang dapat dilakukan berulang-ulang
dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat
diketahui, tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat ditebak dengan tepat
(Hogg et al. 2005).
Definisi 2 (Ruang Contoh dan Kejadian)
Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut
ruang contoh, dinotasikan dengan . Suatu kejadian adalah himpunan bagian
dari (Grimmett & Stirzaker 1992).
Definisi 3 (Medan-�)
Medan-� adalah himpunan ℱ yang anggotanya adalah himpunan bagian
dari ruang contoh , yang memenuhi kondisi berikut:
1
ℱ
ℱ
2 Jika
ℱ, maka ⋃
3 Jika
ℱ maka
ℱ dengan
adalah himpunan komplemen dari
(Grimmett & Stirzaker 1992).
Definisi 4 (Ukuran Peluang)
Misalkan ℱ adalah medan-� dari ruang contoh . Ukuran peluang adalah
suatu fungsi ℱ
pada (ℱ ) yang memenuhi:
1
2 Jika
ℱ adalah himpunan yang saling lepas, yaitu
untuk setiap pasangan
, maka
3
(⋃
)
∑
(Grimmett & Stirzaker 1992).
Definisi 5 (Peubah Acak)
Misalkan ℱ adalah medan-� dari ruang contoh
adalah suatu fungsi
dengan sifat
(Grimmett & Stirzaker 1992).
. Suatu peubah acak X
ℱ untuk setiap
Definisi 6 (Peubah Acak Diskret)
Peubah acak dikatakan diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian
yang terhitung dari (Grimmett & Stirzaker 1992).
Definisi 7 (Fungsi Massa Peluang)
Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret
yang diberikan oleh
adalah fungsi
(Grimmett & Stirzaker 1992).
Definisi 8 (Peubah Acak Kontinu)
Peubah acak dikatakan kontinu jika ada fungsi
sebarannya adalah
sehingga fungsi
∫
dengan
adalah fungsi yang terintegralkan. Fungsi
fungsi kepekatan peluang dari (Grimmett & Stirzaker 1992).
disebut
Definisi 9 (Persentil)
Persentil adalah nilai-nilai yang membagi segugus pengamatan menjadi 100
bagian yang sama. Nilai-nilai itu dilambangkan dengan
bersifat
bahwa 1% dari seluruh data terletak di bawah , 2% terletak di bawah
dan
99% terletak di bawah
(Walpole 1990).
Definisi 10 (Nilai Harapan)
1 Jika adalah peubah acak diskret dengan fungsi masa peluang
nilai harapan dari , dinotasikan dengan
, adalah
∑
asalkan jumlah di atas konvergen mutlak.
, maka
4
2
Jika
adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang
, maka nilai harapan dari , juga dinotasikan dengan
, adalah
∫
asalkan integral di atas konvergen mutlak (Hogg et al. 2005).
Definisi 11 (Ragam)
Ragam dari peubah acak adalah nilai harapan dari kuadrat selisih antara
dan nilai harapannya. Secara matematis, dapat dituliskan sebagai
=
=
(Hogg et al. 2005).
[
[
]
]
Matriks dan Vektor
Definisi 12 (Transpos dari Suatu Matriks)
(
Transpos dari suatu matriks
yang berorde
(
yang berorde
yang didefinisikan oleh
dengan
(Leon 1998).
dan
Transpos dari
adalah matriks
dinotasikan oleh
Definisi 13 (Ruang Euclid Dimensi )
Jika adalah bilangan bulat positif, maka sebuah pasangan terurut adalah
barisan bilangan real
. Himpunan dari semua pasangan terurut
disebut Ruang Euclid dimensi dan dinotasikan dengan
(Anton 1994).
Definisi 14 (Penjumlahan dan Perkalian Skalar)
Misalkan vektor
dan vektor
Penjumlahan vektor
didefinisikan sebagai
dan jika
adalah skalar, perkalian skalar
(Anton 1994).
didefinisikan sebagai
5
Definisi 15 (Kombinasi Linear)
Sebuah vektor disebut kombinasi linear dari vektor-vektor
jika dapat diekspresikan dalam bentuk
dengan
adalah skalar (Anton 1994).
Definisi 16 (Bebas Linear)
Jika
vektor dan persamaan
adalah himpunan takkosong yang berisi vektor-
hanya memiliki satu solusi, yaitu:
maka
disebut himpunan vektor bebas linear (Anton 1994).
Definisi 17 (Hasil Kali Dalam Euclid)
Jika
dan
yang berada dalam
, maka hasil kali dalam Euclid
adalah vektor-vektor
didefinisikan sebagai
(Anton 1994).
Definisi 18 (Panjang/Norm Euclid)
Panjang Euclid (norm Euclid) dari sebuah vektor
dalam
didefinisikan sebagai
(Anton 1994).
‖ ‖
√
PEMBAHASAN
Model untuk Peubah Acak Klaim Individu
Misalkan suatu perusahaan asuransi mengeluarkan suatu aturan sebagai
berikut. Jika pemegang asuransi tertimpa musibah (contohnya, meninggal dunia
atau kecelakaan) pada kurun waktu satu tahun sehingga pemegang asuransi
tersebut harus mengajukan klaim, perusahaan tersebut harus membayar sebesar
satuan. Namun, perusahaan asuransi tidak akan membayar jika tidak ada
6
pengajuan klaim pada kurun waktu tersebut. Misalkan peluang terjadinya suatu
klaim pada kurun waktu satu tahun dinotasikan dengan . Bila peubah acak
menyatakan besarnya klaim yang harus dibayarkan oleh perusahaan asuransi
kepada pemegang asuransi, maka memiliki fungsi massa peluang
{
a
a
dan fungsi sebaran
{
Dari fungsi massa peluang dan fungsi sebaran tersebut, diperoleh
dan
Peubah acak
dapat ditulis juga dengan notasi sebagai berikut:
(1)
dengan adalah besarnya nilai klaim yang harus dibayarkan oleh perusahaan
asuransi kepada pemegang asuransi bila terjadi klaim dan adalah peubah acak
Bernoulli yang akan bernilai 1 bila terjadi pengajuan klaim dan bernilai 0 bila
tidak terjadi pengajuan klaim. Jadi, peluang terjadinya klaim adalah
,
sedangkan peluang tidak terjadinya klaim adalah
Dari persamaan (1), dapat ditentukan model yang lebih umum, yaitu
(2)
dengan
adalah peubah acak dari besarnya klaim yang harus dibayarkan
perusahaan asuransi bila terjadi pengajuan klaim untuk setiap tahun, adalah
peubah acak dari besarnya total klaim yang terjadi selama satu tahun, dan adalah
indikator bahwa klaim terjadi minimum sekali untuk satu kejadian. Peubah
bernilai 1
bila terjadi pengajuan klaim dan bernilai 0
bila tidak
terjadi pengajuan klaim pada satu tahun tersebut. Jadi, tidak menjelaskan
mengenai banyaknya klaim pada tahun tersebut.
Menurut Bowers et al. (1997), ada beberapa persamaan yang berhubungan
dengan momen peubah acak untuk suatu kondisi bersyarat. Bentuk umum dari
persamaan nilai harapan dan ragam adalah
(3)
7
dan
(4)
Peubah acak pada persamaan (3) dan (4) disubstitusikan dengan peubah
acak karena peubah acak tersebut merupakan syarat untuk mengetahui peluang
pada peubah acak . Sementara itu, peubah acak tetap menjadi sehingga nilai
harapan dan ragam dari peubah acak pada persamaan (2) adalah
[
dan
[
]
]
]
[
Bila diketahui
dan
� , terdapat dua
kemungkinan yang akan terjadi, yaitu ketika pengajuan klaim terjadi
, dan
ketika pengajuan klaim tidak terjadi
.
Saat terjadi klaim
maka
dan didapatkan bahwa
(5)
dan
Namun, saat tidak terjadi klaim
maka
�
(6)
dan didapatkan bahwa
(7)
dan
(8)
Persamaan (5) dan (7) mendefinisikan
dengan syarat yang bisa ditulis menjadi
sebagai nilai harapan dari
Persamaan (6) dan (8) mendefinisikan
sebagai ragam dari
syarat Kedua persamaan tersebut bisa dikombinasikan menjadi
dengan
� .
Berdasarkan persamaan (3), dengan perhitungan aljabar sederhana, dapat
disimpulkan bahwa
[
]
(9)
8
Di samping itu, berdasarkan persamaan (4), bila diketahui
dan
[
]
[
dapat disimpulkan pula bahwa
[
]
]
�
[
�
]
�
�
(10)
Bentuk-Bentuk Portofolio
Portofolio asuransi yang akan digunakan terdiri atas sejumlah besar peserta
asuransi dengan peubah acak besarnya klaim menyebar bebas dan identik
(independent and identically distributed atau disingkat i.i.d.). Menurut Yulianasari
(2011), ketika menentukan premi untuk polis asuransi dari risiko-risiko pada suatu
portofolio, terdapat dua asumsi premi yang digunakan sebagai pertimbangan,
yaitu:
1. Peluang risiko bahwa total klaim melebihi total premi yang dibayarkan
dinyatakan dengan , dengan
2. Besarnya premi meningkat seiring dengan meningkatnya ukuran klaim.
Berikut ini adalah penjelasan mengenai dua bentuk portofolio asuransi, yaitu
portofolio homogen dan portofolio heterogen.
Portofolio Homogen
Menurut Zaks et al. (2006), portofolio homogen adalah kumpulan asuransi
yang memiliki nilai risiko yang sama. Hal ini menyebabkan premi yang harus
dibayarkan oleh nasabah pun sama karena disesuaikan dengan risiko yang sama
antar nasabah.
Untuk lebih memperjelas uraian selanjutnya, akan digunakan notasi-notasi
berikut:
= Banyaknya peserta asuransi.
= Besarnya klaim yang diajukan oleh peserta asuransi pada perusahaan
asuransi dengan
= Nilai harapan dari besarnya klaim individu.
� = Ragam dari besarnya klaim individu.
= Besarnya total klaim untuk semua peserta asuransi.
= Nilai harapan dari besarnya total klaim.
� = Ragam dari besarnya total klaim.
= Besarnya premi yang dibayarkan setiap peserta asuransi kepada perusahaan
asuransi.
9
Karena besarnya total klaim untuk semua peserta asuransi adalah
∑
maka nilai harapan dari besarnya total klaim adalah
[∑
]
∑
dan ragam besarnya total klaim adalah
�
[∑
]
∑
�
Portofolio Heterogen
Menurut Zaks et al. (2006), portofolio heterogen adalah portofolio asuransi
yang terdiri atas sejumlah peserta asuransi yang dibagi menjadi beberapa kelas
risiko. Setiap peserta asuransi memiliki risiko dan premi yang harus dibayar
berdasarkan kelasnya masing-masing.
Sebagai ilustrasi, misalkan pada sebuah asuransi kesehatan setiap peserta
asuransi memiliki risiko yang berbeda-beda. Anggap ada tiga kelas risiko bagi
semua peserta asuransi. Kelas risiko A bagi peserta asuransi yang memiliki risiko
yang tinggi, kelas risiko B bagi peserta asuransi dengan risiko sedang, dan kelas
risiko C bagi peserta asuransi dengan risiko ringan. Setiap kelas risiko memiliki
besaran premi yang harus dibayar yang disesuaikan dengan tingkat risikonya.
Besar premi yang harus dibayar bagi para peserta asuransi di kelas A paling tinggi
dibandingkan dengan semua kelas karena kelas A memiliki risiko yang paling
tinggi. Para peserta asuransi di kelas risiko B memiliki besarnya premi yang lebih
tinggi dibandingkan dengan besarnya premi para peserta asuransi di kelas risiko C
karena risiko di kelas B lebih tinggi dibandingkan dengan risiko di kelas C.
Untuk lebih memperjelas uraian selanjutnya, akan digunakan notasi-notasi
berikut:
= Banyaknya kelas risiko.
= Banyaknya peserta asuransi yang terdapat dalam kelas
dengan
.
= Besarnya klaim yang diajukan oleh peserta asuransi dalam kelas kepada
perusahaan asuransi dengan
dan
.
= Besarnya premi yang dibayarkan peserta asuransi pada kelas kepada
perusahaan asuransi dengan
.
= Nilai harapan dari besarnya klaim individu untuk kelas dengan
.
� = Ragam dari besarnya klaim individu untuk kelas dengan
.
10
= Total peserta asuransi dari semua kelas.
= Besarnya total klaim di kelas dengan
.
= Nilai harapan dari besarnya total klaim untuk kelas dengan
.
= Ragam dari besarnya total klaim untuk kelas dengan
.
= Besarnya total klaim dari semua kelas.
= Besarnya nilai harapan dari besarnya total klaim untuk semua kelas.
� = Besarnya ragam dari besarnya total klaim untuk semua kelas.
Berikut ini terdapat beberapa asumsi yang terpenuhi oleh portofolio
heterogen:
1 Peubah acak-peubah acak klaim yang terdapat pada portofolio saling bebas.
2 Setiap kelas terdiri atas
peserta asuransi sehingga didapatkan bahwa
∑
Peubah acak klaim dari setiap kelas adalah
yang
i.i.d. dan menyebar sebagai
Peubah acak
sendiri memiliki nilai harapan
dan ragam � , dengan
.
3 Asumsikan bahwa
dengan
cukup besar untuk
mengaplikasikan Teori Limit Pusat.
Berdasarkan Yulianasari (2011), portofolio heterogen dapat digambarkan
dengan skema berikut ini.
Gambar 1 Skema pembagian kelas pada portofolio heterogen
Gambar 1 menunjukkan skema yang terdapat pada portofolio heterogen.
Terdapat kelas yang terlihat di skema tersebut. Besarnya total klaim ditunjukkan
oleh
yang terjadi berturut-turut pada kelas
Pembagian
kelas ini disesuaikan dengan tingkat risiko yang berada pada tiap kelas. Di setiap
kelas, ada klaim individu yang dinotasikan sebagai
Peubah acak
bermakna klaim yang diajukan oleh individu pada kelas Penjumlahan semua
klaim
di kelas dinotasikan dengan dan besarnya total klaim dari semua
nasabah secara keseluruhan dinotasikan dengan
Karena adalah besarnya total klaim dari kelas , maka
∑
11
untuk
. Dari portofolio homogen, diketahui bahwa [ ]
[ ]
dan
� . Di samping itu, karena nilai total klaim dari semua kelas
adalah , dapat diperoleh
∑
Nilai harapan untuk total klaim semua kelas j adalah
∑
dan ragamnya adalah
�
∑
�
Premi Asuransi
Premi asuransi adalah biaya yang harus dibayarkan oleh peserta asuransi
kepada perusahaan asuransi sebagai bentuk pengalihan risiko sesuai dengan polis
asuransi yang telah disepakati (Bowers et al. 1997). Perusahaan asuransi sebagai
pihak penanggung membebankan premi sebesar untuk setiap risiko , dengan
. Premi total individu yang dibayarkan adalah sehingga
∑
Berdasarkan hampiran Gauss, untuk mencegah kebangkrutan perusahaan
asuransi dengan peluang kebangkrutan
perusahaan asuransi harus
mengumpulkan premi sebesar
dengan
adalah
�
persentil dari sebaran normal baku.
Penentuan Premi pada Asuransi Portofolio Homogen
Diasumsikan bahwa perusahaan asuransi telah siap untuk menghadapi risiko
, yaitu
12
Akan ditentukan besarnya premi dari portofolio homogen yang didekati dengan
menggunakan Teori Limit Pusat pada tingkat risiko , yaitu:
√
(11)
√
Substitusikan
dan
persamaan (11) sehingga
(
�
�
berturut-turut dengan
dan � pada
)
√ �
Berdasarkan Teori Limit Pusat, didapatkan bahwa
�
sehingga
√ �
dengan
�
√
adalah persentil
dari sebaran normal baku.
Jadi, premi pada asuransi portolio homogen adalah
�
√
(12)
Pada portofolio homogen, semua peserta asuransi membayar premi dengan
besaran yang sama, yaitu
Penentuan Premi pada Asuransi Portofolio Heterogen
Pada bagian ini akan ditentukan premi optimum secara umum pada sebuah
portofolio heterogen dengan metode argumen geometris sedehana. Metode ini
menunjukkan bahwa premi optimum didapatkan dari hasil peminimuman kuadrat
selisih terboboti antara total klaim yang diajukan dan total premi yang dibayarkan
oleh peserta asuransi.
13
Sebuah Masalah Pengoptimuman
Didefinisikan sebuah peubah baru
dari kuadrat selisih terboboti, yaitu
yang merupakan jumlah nilai harapan
[
∑
]
(13)
dengan
turut
adalah barisan peubah acak dengan nilai harapan berturutdan ragam berturut-turut
adalah bilangan-bilangan yang berturut-turut dapat mengganti
serta
adalah bilangan-bilangan positif (bobot) yang
diketahui. Dengan sifat-sifat ragam dari peubah acak, persamaan (13) dapat ditulis
kembali menjadi
∑
[ ]
(
∑
(14)
Bukti persamaan (14) disajikan pada Lampiran 1.
[ ] bernilai tetap, masalah peminimuman diperoleh dari
Karena
dan
∑
(
(15)
Solusi optimum dari persamaan (15) adalah
dan nilai minimum dari (15) adalah nol. Hal ini mengakibatkan nilai minimum
dari adalah
∑
[ ]
Bukti disajikan pada Lampiran 2.
Masalah lebih menarik muncul jika masalah peminimuman (15)
ditambahkan sebuah kendala pada peubah
sehingga masalah
tersebut dapat diformulasikan menjadi sebagai berikut.
Masalah 1: Nilai minimum dari kuadrat selisih terboboti (13) dengan kendala
(16)
dengan
adalah konstanta yang sudah diketahui.
14
Persamaan (15) merupakan modifikasi dari persamaan (14). Hal ini
mengakibatkan persamaan (15) dapat digunakan untuk menemukan nilai
minimum dengan kendala persamaan (16).
Di samping itu, berdasarkan Zaks et al. (2006), untuk menemukan solusi
optimum dari masalah ini, diperlukan peubah-peubah baru, yaitu
√
, dengan
, dengan
, yang dapat diubah menjadi
√
Peubah baru tersebut disubstitusikan pada persamaan (16) sehingga
masalah 1 dapat diubah menjadi sebagai berikut.
Masalah 2: Nilai minimum dari fungsi
(
∑
(17)
dengan diberikan kendala
∑
∑
√
∑
dengan
Bukti persamaan (18) disajikan pada Lampiran 3.
Selanjutnya, misalkan
(18)
dan
√
√
√
merupakan vektor-vektor yang memenuhi sifat-sifat vektor Euclid dimensi
dengan ruang vektor
. Fungsi
pada persamaan (17) dapat
ditulis menjadi ‖ ‖ dengan
‖ ‖
√
adalah panjang dari vektor
Di samping itu, penjumlahan sisi kiri dari
persamaan (18) adalah perkalian dalam dari
yang berlaku untuk semua
vektor.
Masalah 2 dianalisis dengan Ketaksamaan Schwarz yang menyatakan
bahwa untuk setiap vektor
berlaku
‖ ‖‖ ‖
(20)
Persamaan pada ketaksamaan (20) terjadi jika vektor dan bergantung linear.
Diketahui pula bahwa adalah vektor taknol, hal ini berarti bahwa merupakan
perkalian skalar dari , yaitu
dengan
.
15
Dengan Ketaksamaan Schwarz, yaitu
‖ ‖
didapatkan nilai dari
‖ ‖
(
Akibatnya, nilai minimum dari
(
∑
∑
∑
∑
Bukti disajikan pada Lampiran 4.
Karena vektor adalah vektor taknol, persamaan pada ketaksamaan (20) terjadi
jika dan hanya jika terdapat bilangan konstan , seperti
(21)
√
dan persamaan (18) terpenuhi.
Persamaan (18) dan (21) memiliki solusi yang tunggal, yaitu
√
(
∑
∑
dan solusi optimum untuk masalah 1 adalah
∑
∑
dengan
Di samping itu, karena
∑
sehingga didapatkan
[ ]
∑
(
(22)
16
(
[ ]
∑
Bukti disajikan pada Lampiran 5.
∑
∑
Peluang Kebangkrutan pada Suatu Perusahaan Asuransi
Untuk menentukan premi optimum pada suatu portofolio heterogen, perlu
diperkenalkan peluang kebangkrutan pada suatu perusahaan asuransi terlebih
dahulu. Misalkan model risiko individu ditulis sebagai berikut
∑
dengan adalah banyaknya peserta asuransi pada suatu portofolio, peubah acak
menggambarkan kerugian yang terkait dengan risiko dengan
selama periode tertentu, dan adalah jumlah kerugian untuk portofolio secara
keseluruhan.
Diasumsikan bahwa peubah acak
dengan
merupakan
peubah acak yang saling bebas. Selain itu, diasumsikan pula bahwa untuk yang
cukup besar, total kerugian suatu portofolio dapat diperkirakan dengan sebaran
Gauss,
, sehingga dapat ditulis
(
)
�
Anggap perusahaan asuransi menuntut premi
peluang kebangkrutan diberikan oleh:
untuk risiko
maka
dengan adalah besarnya total dari semua klaim dan adalah besarnya total
∑
premi yang terkumpul, yaitu
Dengan menggunakan pendekatan
sebaran Gauss, didapatkan:
(
�
�
)
�
(23)
Diasumsikan bahwa perusahaan asuransi siap untuk menerima sebuah risiko
yang cukup kecil (misalnya,
). Persamaan (23) memberikan formula
untuk premi total yang dikumpulkan, yaitu
�
(24)
17
Namun, persamaan (24) tidak menjelaskan premi kelas dengan
Untuk menemukan premi individu, perlu digunakan prinsip lainnya.
Peminimuman dari Selisih Risiko dan Premi untuk Peluang Kebangkrutan
yang Diberikan
Pada bagian ini akan digunakan hasil pengoptimuman yang telah
didapatkan dan peluang kebangkrutan yang telah diperkenalkan pada bagian
sebelumnya. Misalkan kuadrat selisih terboboti yang didefinisikan sebagai
yaitu
[
∑
]
dengan
merupakan risiko individu untuk kelas dengan
merupakan premi individu yang harus dibayarkan peserta asuransi di kelas
dengan
, serta yang merupakan bilangan positif adalah suatu bobot
di tiap kelas dengan
Untuk mendapatkan premi yang minimum untuk tiap kelas, maka
haruslah minimum dan dapat ditulis
(25)
min.
Berdasarkan Falin (2008), solusi optimum untuk masalah 1 yang terdapat pada
(22) dapat disubstitusikan dengan peubah lain yang bersesuaian, yaitu
;
�
;
dengan
Dari hasil substitusi tersebut, didapatkan bahwa masalah
peminimuman (25) dengan kendala (24) memiliki solusi tunggal, yaitu
∑
�
(26)
Bukti disajikan pada Lampiran 6.
Selanjutnya, diasumsikan bahwa suatu asuransi portofolio heterogen
dapat dibagi menjadi kelas risiko yang homogen dengan sifat-sifat klaim yang
i.i.d.. Antar kelas memiliki bobot risiko yang berbeda. Portofolio pada kelas
memiliki risiko sebanyak
dengan nilai harapan
dan ragam � dengan
Diketahui pula bahwa total besarnya klaim dari portofolio pada
[ ]
kelas adalah yang memiliki nilai harapan [ ]
dan ragam
� dengan
Kemudian, besarnya klaim pada portofolio secara
∑
yang memiliki nilai harapan
keseluruhan dinotasikan dengan
∑
∑
dan ragam �
� dengan
Karena risiko pada suatu kelas relatif homogen, perusahaan asuransi sebaiknya
18
mengumpulkan premi dari peserta asuransi sejumlah
untuk suatu kelas
dengan
Menurut Zaks et al. (2006), kuadrat selisih terboboti dari bisa ditulis
menjadi
∑
[
]
dengan merupakan besarnya total klaim dari portofolio kelas ,
merupakan
besarnya total premi yang dikumpulkan dari kelas , dan adalah suatu bobot di
kelas
yang merupakan bilangan positif dengan
Untuk
mendapatkan premi yang minimum, haruslah
(27)
min.
Di samping itu, agar premi tetap minimum namun tidak menyebabkan
kebangkrutan pada perusahaan asuransi, syarat (24) harus terpenuhi. Berdasarkan
Falin (2008), solusi optimum untuk masalah 1 yang terdapat pada (22) dapat
disubstitusikan dengan peubah lain yang bersesuaian, yaitu
;
�
;
dengan
Dari hasil substitusi tersebut, didapatkan bahwa masalah
peminimuman (27) dengan kendala (24) memiliki solusi tunggal, yaitu
∑
∑
�
�
Bukti disajikan pada Lampiran 7.
Persamaan (26) menunjukkan bahwa solusi optimum untuk masalah (25)
dengan kendala (24) serupa dengan solusi optimum untuk masalah (27) dengan
kendala yang sama. Jadi, premi optimum dapat ditentukan dengan
meminimumkan kuadrat selisih terboboti antara klaim yang diajukan dan premi
yang dikumpukan oleh peserta asuransi.
Penentuan premi pada asuransi portofolio heterogen secara umum dapat
dituliskan sebagai berikut:
∑
�
Berikut ini, penjelasan notasi pada persamaan (28):
= Besarnya premi pada kelas dengan
= Nilai harapan dari besarnya klaim individu pada kelas
(28)
dengan
19
= Banyaknya peserta asuransi pada kelas dengan
� = Ragam untuk semua klaim.
= Persentil
dari sebaran normal baku.
= Besarnya bobot untuk kelas
Besarnya premi pada portofolio heterogen berbeda di setiap kelasnya. Hal
ini disesuaikan dengan tingkat risiko yang dimiliki oleh tiap-tiap kelas. Dari
persamaan tersebut, dapat diperoleh berbagai alokasi penentuan premi dengan
menggunakan nilai bobot
yang berbeda-beda.
Penerapan Formula Penentuan Premi Optimum
Dari bagian sebelumnya, didapatkan bahwa formula penentuan premi untuk
risiko yang diberikan, , yaitu:
�
∑
dengan merupakan nilai harapan dari klaim di kelas , merupakan nilai bobot
di kelas , merupakan jumlah peserta asuransi di kelas , � merupakan besarnya
total klaim secara keseluruhan, dan
adalah persentil dari sebaran normal
baku.
Pada bagian ini akan ditentukan alokasi-alokasi penentuan premi
berdasarkan formula penentuan premi yang telah didapatkan sebelumnya.
Alokasi-alokasi ini ditentukan dengan menggunakan bobot-bobot yang berbeda.
1 Alokasi seragam
Alokasi seragam menganggap bobot diperoleh dari banyaknya individu dari
tiap kelas. Misalkan
=
dengan
Dari informasi tersebut,
didapatkan bahwa
∑
∑
sehingga
∑
�
�
�
20
�
dengan
Dari rumus yang diperoleh, alokasi seragam dipengaruhi
oleh banyaknya peserta asuransi seluruhnya.
2 Alokasi semi-seragam
Alokasi semi-seragam mengganggap setiap peserta asuransi memiliki bobot
yang sama. Misalkan
dengan
, dapat disimpulkan bahwa
∑
sehingga
∑
�
∑
�
�
�
dengan
Dari rumus yang diperoleh, alokasi semi-seragam
dipengaruhi oleh banyaknya kelas dan banyaknya peserta asuransi di tiap kelas
3
Alokasi relatif
Bobot pada alokasi relatif bergantung pada banyaknya peserta asuransi yang
terdapat dalam kelas ragam dari besarnya klaim individu untuk kelas dan
ragam dari besarnya total klaim untuk semua kelas dengan
Misalkan
Karena �
dengan
∑
∑
=
�
�
�
�
�
�
�
�
∑
�
�
�
�
�
�
�
didapatkan
21
�
�
�
�
�
�
Jumlah bobot yang dimiliki oleh semua peserta asuransi bernilai 1. Jadi,
�
∑
�
�
�
�
�
dengan
Dari rumus yang diperoleh, alokasi relatif dipengaruhi oleh
ragam dari besarnya klaim individu untuk kelas dengan
yang
dibagi dengan simpangan baku dari besarnya total klaim.
4 Prinsip nilai harapan dan prinsip ragam
Misalkan
adalah fungsi dari semua peubah acak taknegatif pada
sedemikian sehingga untuk peubah acak
,
dengan
∑
(
Kemudian, misalkan pula
Pada kasus ini, premi untuk kelas adalah
�
∑
�
(
�
(
�
(
�
dengan
Dalam kasus ini, akan dipertimbangkan dua prinsip khusus
dalam menentukan premi, yaitu:
1 Prinsip nilai harapan
Misalkan
maka
22
�
�
(
�
[ ]
�
dengan
Dari rumus yang diperoleh, prinsip nilai harapan
dipengaruhi oleh nilai harapan dari besarnya total klaim untuk semua kelas yang
dibagi dengan nilai harapan dari besarnya klaim individu untuk kelas dengan
.
2 Prinsip ragam
Misalkan
maka
�
�
�
�
�
�
(
�
[ ]
dengan
Dari rumus yang diperoleh, prinsip ragam dipengaruhi oleh
ragam dari besarnya klaim individu untuk kelas dengan
yang
dibagi dengan simpangan baku dari besarnya total klaim. Hal ini mengakibatkan
rumus prinsip ragam sama dengan rumus alokasi relatif.
Contoh Kasus
Pada contoh kasus yang akan dijelaskan selanjutnya, terdapat peubah yang
belum dijelaskan, yaitu
Dengan adanya peubah tersebut, penentuan nilai
harapan dan ragam haruslah melibatkan peubah tersebut. Oleh karena itu, menurut
Bowers et al. (1997), dengan melibatkan penerapan model peubah acak klaim,
maka ditentukanlah nilai harapan dan ragam dari total klaim. Berdasarkan
persamaan (9) dan (10), didapatkan bahwa
;
�
.
dengan
adalah nilai harapan dari besarnya total klaim untuk kelas dan
adalah ragam dari besarnya total klaim untuk kelas dengan
.
Diasumsikan pula bahwa tingkat risiko yang diberikan adalah
atau sebesar
. Nilai harapan dan ragam klaim suatu kelas adalah dan �
(dalam satuan $).
23
Tabel 1 Data portofolio (dalam satuan $)
1
2
3
4
5
6
4 000
2 200
800
1 500
800
500
0.050
0.100
0.210
0.185
0.250
0.300
2 100
10 000
13 000
15 000
17 000
19 000
�
100 000
200 000
100 000
6 000 000
8 000 000
7 000 000
105
1 000
2 730
2 775
4 250
5 700
214 475
9 020 000
28 058 100
35 034 375
56 187 500
77 910 000
Keterangan:
Indeks kelas
Banyaknya peserta asuransi untuk kelas dengan
Peluang terjadinya klaim individu untuk kelas dengan
Nilai harapan dari besarnya klaim individu untuk kelas dengan
.
Ragam dari besarnya klaim individu untuk kelas dengan
.
�
Nilai harapan dari besarnya total klaim untuk kelas dengan
.
Ragam dari besarnya total klaim untuk kelas dengan
.
Pada Tabel 1, diperlihatkan data mengenai banyaknya peserta asuransi
untuk setiap kelas, peluang terjadinya klaim untuk setiap kelas , nilai harapan,
dan ragam klaim. Nilai harapan dan ragam besarnya klaim dibedakan menjadi dua,
yaitu untuk individu pada setiap kelas dan total secara keseluruhan. Semakin
tinggi suatu kelas, semakin tinggi peluang atau risiko klaim individu yang terjadi.
Selanjutnya, akan ditentukan premi dari setiap kelas dengan menggunakan
alokasi-alokasi penentuan premi yang telah dibahas di bagian sebelumnya, yaitu
alokasi seragam, alokasi semi-seragam, prinsip nilai harapan, dan prinsip ragam.
Setelah didapatkan besarnya premi pada tiap alokasi, besarnya premi-premi
tersebut akan dibandingkan satu sama lain.
Karena nilai harapan dan ragam yang digunakan adalah nilai harapan dan
ragam dari besarnya total klaim dari kelas , yaitu dan , penentuan premi dari
setiap alokasi akan dijelaskan sebagai berikut:
1 Alokasi Seragam
Bentuk umum:
�
√∑
Bentuknya menjadi:
�
24
√∑
2
Alokasi Semi-Seragam
Bentuk umum:
�
√∑
�
Bentuknya menjadi:
√∑
3
Prinsip Nilai Harapan
Bentuk umum:
�
√∑
�
∑
Bentuknya menjadi:
√∑
4
∑
Prinsip Ragam
Bentuk umum:
�
�
√∑
�
�
25
Bentuknya menjadi:
√∑
Pada Tabel 2 akan ditunjukkan premi dari setiap kelas berdasarkan
alokasi-alokasi penentuan premi, yaitu alokasi seragam, alokasi semi-seragam,
prinsip nilai harapan, dan prinsip ragam atau alokasi relatif.
Tabel 2 Premi optimum dari tiap alokasi (dalam satuan $)
Kelas Alokasi
Seragam
1
176.13
2
1 071.13
3
2 801.13
4
2 846.13
5
4 321.13
6
5 771.13
Alokasi
Semi-seragam
134.05
1 052.81
2 875.23
2 852.45
4 395.23
5 932.36
Prinsip Nilai
Harapan
109.81
1 045.81
2 855.06
2 902.13
4 444.70
5 961.12
Prinsip
Ragam
105.83
1 035.01
2 838.90
2 910.98
4 468.08
6 002.39
Pada Tabel 2 terlihat bahwa semakin tinggi tingkat risiko, semakin tinggi
pula tingkat premi yang harus dibayarkan. Namun, dapat dilihat bahwa pada
alokasi semi-seragam, premi optimum untuk kelas 3 lebih besar dibandingkan
dengan kelas 4. Hal ini disebabkan oleh banyaknya peserta asuransi pada kelas 3
lebih sedikit dibandingkan dengan kelas 4 sehingga nilai pembagi untuk kelas 3
lebih kecil dibandingkan dengan kelas 4. Dengan kata lain, alokasi semi-seragam
bergantung pada jumlah peserta asuransi di setiap kelas dengan
Total premi yang diharapkan oleh perusahaan asuransi sudah ditentukan
sebelumnya. Hal ini didasarkan pada peluang kebangkrutan yang diinginkan oleh
perusahaan. Total premi yang diharapkan oleh perusahaan akan dialokasikan
sesuai dengan bobot yang ditentukan untuk masing-masing kelas.
Jika suatu perusahaan asuransi menggunakan alokasi seragam untuk
pengalokasian premi optimum, peserta asuransi pada kelas 3, 4, 5, dan 6 akan
lebih diuntungkan. Harga premi alokasi seragam pada kelas-kelas tersebut lebih
kecil dibandingkan dengan harga premi pada alokasi-alokasi yang lain. Namun,
perusahaan tersebut berisiko untuk kehilangan para peserta asuransi pada kelas 1
dan 2 karena dengan alokasi seragam besaran premi pada kelas-kelas tersebut
adalah yang paling besar dibandingkan dengan alokasi-alokasi yang lain.
Jika perusahaan asuransi memilih prinsip ragam dalam penentuan alokasi
premi, premi pada kelas 1 dan 2 memiliki besaran premi yang lebih kecil
dibandingkan jika perusahaan asuransi memilih alokasi yang lain. Hal ini
mengakibatkan para peserta pada kelas 1 dan 2 akan tertarik untuk tetap
berasuransi pada perusahaan tersebut. Namun, untuk kelas 4, 5, dan 6, premi yang
dihasilkan oleh prinsip ragam lebih besar dibandingkan dengan premi yang
dihasilkan oleh alokasi yang lain.
Untuk alokasi semi-seragam dan prinsip nilai harapan, besaran premi dari
tiap kelas relatif lebih merata. Tidak ada kelas yang diberikan beban berlebihan
26
dalam membayar premi. Besaran premi pada prinsip nilai harapan tidak ada yang
terlalu murah dan terlalu mahal dibandingkan dengan besaran premi pada alokasialokasi yang lain. Besaran premi pada alokasi semi-seragam pun tidak ada yang
terlalu murah dan terlalu mahal. Namun khusus kelas 3, alokasi premi ini
menghasilkan premi yang lebih tinggi dibandingkan dengan alokasi-alokasi yang
lain.
SIMPULAN
Penentuan premi yang optimum dapat ditentukan dengan metode argumen
geometris sederhana. Metode yang digunakan adalah dengan meminimumkan
masalah jumlah nilai harapan kuadrat selisih terboboti antara total premi dan total
klaim dengan kendala total premi yang sudah ditentukan sebelumnya. Masalah
tersebut bisa diselesaikan dengan melakukan transformasi menjadi masalah yang
baru. Setelah mendapatkan masalah yang baru, akan ditemukan sebuah solusi
optimum bagi masalah yang telah didefinisikan sebelumnya. Kemudian, dengan
menyubstitusikan peubah-peubah yang bersesuaian, diperoleh premi optimum
untuk setiap kelas risiko pada asuransi portofolio heterogen.
Dengan menggunakan nilai bobot yang berbeda, dapat ditentukan beragam
alokasi penentuan premi, yaitu alokasi seragam, alokasi semi-seragam, alokasi
relatif atau prinsip nilai harapan, dan prinsip ragam. Penentuan premi pada setiap
alokasi memiliki karakteristik masing-masing. Besarnya premi pada alokasi
seragam berbanding lurus dengan nilai harapan total klaim untuk setiap kelas.
Besarnya premi alokasi semi-seragam berbanding terbalik dengan banyaknya
peserta asuransi pada setiap kelas dan banyaknya kelas. Besarnya premi alokasi
relatif atau prinsip ragam berbanding lurus dengan ragam total klaim untuk setiap
kelas Besarnya premi untuk prinsip nilai harapan berbanding lurus dengan nilai
harapan total klaim untuk setiap kelas, namun berbanding terbalik dengan jumlah
nilai harapan total klaim untuk setiap kelas. Untuk data yang disajikan, alokasi
seragam dan prinsip ragam menghasilkan besaran premi yang bebannya tidak
merata bagi setiap kelas. Ada kelas yang terbebani berlebihan, namun ada juga
yang sebaliknya. Sementara itu, alokasi semi-seragam dan prinsip harapan
menghasilkan besaran premi yang bebannya relatif lebih merata bagi setiap kelas.
DAFTAR PUSTAKA
Anton H. 1994. Aljabar Linear Elementer. Ed ke-4. Jakarta (ID): Erlangga.
Bowers NL, Gerber HU, Hickman JC, Jones DA, Nesbitt CJ. 1997. Actuarial
Mathematics. Ed ke-2. Schaumburg (GR): The Society of Actuaries.
Falin GI. 2008. On the optimal pricing of a heterogeneous portfolio. ASTIN
Bulletin 38(1): 161-170. doi: 10.2143/AST.38.1.2030408.
Grimmett GR, Stirzaker DR. 1992. Probability and Random Processes. Ed ke-2.
New York (US): Clarendon Press Oxford.
27
Hogg RV, Craig AT, Mckean JW. 2005. Introduction to Mathematical Statistics.
Ed ke-6. New Jersey (US): Prentice Hall, Inc.
Leon SJ. 1998. Linear Algebra with Applications. Ed ke-5. New Jersey (US):
Prentice Hall, Inc.
Walpole RE. 1990. Pengantar Statistika. Ed ke-3. Jakarta (ID): PT. Gramedia
Pustaka Utama.
Yulianasari. 2011. Penentuan premi optimal pada portofolio heterogen dengan
menggunakan pemrograman tak linear [skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian
Bogor.
Zaks Y, Frostig E, Levikson B. 2006. Optimal pricing for a given risk level.
ASTIN Bulletin 36(1):161-185. doi: 10.2143/AST.36.1.2014148
28
Lampiran 1 Pembuktian persamaan (14)
Sifat dari ragam, yaitu
[
∑
[
[
Misalkan
[
]
]
[
]
]]
sehingga
[
( [
∑
[
]
∑
[
]
∑
]
( [
]
]
∑
(
[
∑
(
[ ]
∑
]
]
] ]
maka
[
∑
[
[
[
[ ]
]
∑
[ ]
∑
( [
∑
]
( [ ]
[ ]
(
■
29
Lampiran 2 Penentuan solusi optimum dan nilai minimum dari
(
Diketahui nilai minimum dari ∑
merupakan sebuah konstanta positif, maka untuk setiap
adalah nol. Karena
(
sehingga solusi optimumnya adalah
.
Di samping itu,
∑
[
]
Karena nilai minimum ∑
∑
[ ]
∑
(
∑
(
nilai minimum dari
[
]
∑
adalah
[ ]
■
30
Lampiran 3 Pembuktian transformasi masalah 1 menjadi masalah 2
dengan
merupakan fungsi
Anggap
√ (
objektif bagi masalah 2, persamaan tersebut dapat diubah menjadi
(
Kemudian, kendalanya pun dapat diubah
∑
= √
=
√
= ∑
√
Karena diketahui bahwa ∑
menjadi
(
,
∑
, kendala pada masalah 2 dapat diubah
∑
√
∑
■
31
Lampiran 4 Pembuktian ketaksamaan (18)
Akan dibuktikan
‖ ‖
(
Bila diketahui
= √(
‖ ‖
√
√
√
(
∑
∑
)
dapat diperoleh dari
=
√(
= √
√
= √∑
√
√
√
∑
∑
(
)
√∑
√
= √∑
sehingga
√
√
= √
∑
.
Selanjutnya, bila diketahui
‖ ‖ = √(
√
√
√
)(
√
√
√
)
32
‖ ‖ diperoleh dari
‖ ‖ = √(
sehingga ‖ ‖
√
√
= √
∑
)(
√
√
√
√
)
= √∑
. Jadi, terbukti bahwa
‖ ‖
(
(
‖ ‖
∑
∑
dan dapat disimpulkan pula bahwa nilai minimum dari
(
(
∑
∑
■
33
Lampiran 5 Penentuan solusi optimum pada masalah 1
Akan dibuktikan, karena persamaan (21) berlaku, pastilah (18) memiliki
solusi yang tunggal, yaitu
(
Bukti:
Diketahui bahwa
∑
∑
√
)
√
(√
√
,
)
Dari persamaan (18), didapatkan
∑
∑
√
∑
√
∑
√
∑
∑
Solusi optimum yang diperoleh adalah
∑
dan
√
∑
34
Jadi, solusi optimum untuk masalah 1 adalah
dan
(
√
∑
[ ]
(
∑
∑
∑
∑
■
35
Lampiran 6 Penentuan solusi optimum persamaan (25) dengan kendala (24)
Diketahui bahwa solusi optimum untuk masalah 1 adalah
∑
∑
Berdasarkan Falin (2008), didapatkan informasi bahwa setiap peubah yang
terdapat pada solusi optimum dapat disubstitusikan dengan peubah lain yang
bersesuaian, yaitu
�
dengan
Peubah
Penentuan solusi optimum dimulai dengan menuliskan
∑
∑
dan
disubstitusikan berturut-turut dengan
sehingga
∑
Diketahui bahwa ∑
maka
dan
∑
∑
∑
∑
Diketahui pula bahwa
�
maka
∑
�
�
sehingga
dengan
36
Langkah terakhir untuk mendapatkan solusi optimum adalah dengan
dengan
sehingga
menyubstitusikan
dan
�
∑
Dari hasil substitusi tersebut, didapatkan bahwa masalah peminimuman (25)
dengan kendala (24) memiliki solusi tunggal, yaitu
∑
�
■
37
Lampiran 7 Penentuan solusi optimum persamaan (27) dengan kendala (24)
Diketahui bahwa solusi optimum untuk masalah 1 adalah
∑
∑
Berdasarkan Falin (2008), didapatkan informasi bahwa setiap peubah yang
terdapat pada solusi optimum dapat disubstitusikan dengan peubah lain yang
bersesuaian, yaitu
∑
�
dengan
Penentuan solusi optimum dimulai dengan menuliskan
=
∑
dengan
Setiap peubah
disubstitusikan dengan
∑
,
dengan , dan
sehingga
∑
∑
Diketahui bahwa ∑
maka
∑
∑
∑
Diketahui pula bahwa
�
�
maka
∑
�
sehingga
dengan
38
Langkah terakhir untuk mendapatkan solusi optimum adalah dengan
menyubstitusikan
sehingga
∑
�
Dari hasil substitusi tersebut, didapatkan bahwa masalah peminimuman (25)
dengan kendala (24) memiliki solusi tunggal, yaitu
∑
∑
�
�
■
39
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Cianjur, Jawa Barat, pada tanggal 4 Mei 1991. Penulis
merupakan putra kedua dari tiga bersaudara dari Bapak Tjetjep Sunardjaja, Ibu
Utami Dewi (alm.), dan Ibu Ratna Hadijah. Tahun 2008, penulis lulus dari SMA
Negeri 1 Cianjur dan diterima di Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur
Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN). Penulis tercatat
sebagai mahasiswa Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam (FMIPA).
Semasa menjadi mahasiswa, penulis aktif di berbagai kegiatan organisasi
dan kepanitiaan. Penulis tergabung sebagai Staf Departemen Kominfo BEM TPB
45 pada tahun 2009, Ketua Departemen PPSDM BEM FMIPA pada tahun 2010,
Wakil Ketua Umum BEM FMIPA pada tahun 2011, dan Menteri BOS BEM KM
pada tahun 2012. Penulis juga terlibat aktif dalam kepanitiaan seperti dalam
kepanitiaan Masa Perkenalan Kampus Mahasiswa Baru pada tahun 2009, Masa
Perkenalan Fakultas pada tahun 2010, dan Masa Perkenalan Departemen pada
tahun 2011.
Penulis aktif sebagai Asisten Pendidikan Agama Islam TPB IPB Semester
Ganjil pada tahun 2011. Penulis juga pernah menjadi tentor mata kuliah Pengantar
Matematika dan Landasan Matematika untuk Bimbingan Belajar Gumatika pada
tahun 2009, Bimbingan Belajar Katalis Corp. dan Direktorat TPB IPB pada tahun
2013, serta tentor mata pelajaran SMP dan SMA pada tahun 2012.
Penulis pernah mendapat Beasiswa Program Pembinaan Sumber Daya
Manusia Strategis Nurul Fikri (PPSDMS NF) pada tahun 2010-2012. Banyak pula
tulisan penulis yang dimuat media online seperti okezone.com dan detik.com.
HETEROGEN DENGAN ARGUMEN
GEOMETRIS SEDERHANA
PRAMA ADISTYA WIJAYA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penentuan Premi
Optimum pada Portofolio Heterogen dengan Argumen Geometris Sederhana
adalah benar karya saya dengan arahan dari dosen pembimbing dan belum
diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber
informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak
diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam
Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Februari 2014
Prama Adistya Wijaya
NIM G54080081
ABSTRAK
PRAMA ADISTYA WIJAYA. Penentuan Premi Optimum pada Portofolio
Heterogen dengan Argumen Geometris Sederhana. Dibimbing oleh I GUSTI
PUTU PURNABA dan RUHIYAT.
Asuransi adalah sebuah proses pelimpahan risiko dari tertanggung ke
penanggung. Tertanggung membayarkan premi sebagai bentuk pengalihan risiko.
Besar premi disepakati oleh penanggung dan tertanggung dalam polis asuransi.
Pada asuransi portofolio heterogen, terdapat lebih dari satu kelas yang dibagi
berdasarkan tingkat risiko yang dimiliki tiap kelas. Besar premi yang terdapat
pada setiap kelas disesuaikan dengan tingkat risiko yang dimiliki tertanggung. Di
setiap kelas tersebut, perlu ditentukan premi yang optimum sesuai dengan kelas
risiko yang diberikan. Penentuan premi ini bertujuan agar perusahaan asuransi
tidak menderita kerugian, namun tetap tidak memberatkan para peserta asuransi.
Premi optimum bisa ditentukan dengan argumen geometris sederhana. Langkah
yang dilakukan adalah dengan meminimumkan masalah kuadrat selisih terboboti
antara total premi dan total klaim dengan kendala total premi yang sudah
ditentukan. Solusi optimum yang didapatkan dari masalah tersebut merupakan
formula yang bisa digunakan untuk menentukan premi optimum untuk setiap
kelas pada portofolio heterogen. Dari formula tersebut, dapat ditentukan beragam
alokasi penentuan premi optimum, yaitu alokasi seragam, alokasi semi-seragam,
prinsip nilai harapan, dan prinsip ragam.
Kata kunci: argumen geometris sederhana, portofolio heterogen, premi optimum
ABSTRACT
PRAMA ADISTYA WIJAYA. Pricing of Optimal Premium in Heterogeneous
Portfolio Using Simple Geometrical Arguments. Supervised by I GUSTI PUTU
PURNABA and RUHIYAT.
Insurance is a process of risk transfering from insureds to insurers. Insureds
pay premium as a transfered risk. Amount of premium satisfies the agreement of
insureds and insurers in insurance policy. In heterogeneous portfolio, there are
more than one classes based on risk level for policyholders. The risk level of each
class is different. For each class, it has to be determined the optimal premium
based on risk level. The determining of optimal premium is to avoid insurance
company from bankrupt, but it does not incriminate policyholder. Optimal
premium can be determined by using simple geometrical arguments. The method
for determining premium is minimizing a weighted squared difference of the total
premium and total claim. From this, we will get formula for pricing optimal
premium for each class in heterogeneous portfolio. The formula can be used to
determine allocations for pricing of optimal premium, which are uniform
allocation, semi-uniform allocation, expected principle, and variance principle.
Key words: heterogeneous portfolio, optimal premium, simple geometrical
arguments
PENENTUAN PREMI OPTIMUM PADA PORTOFOLIO
HETEROGEN DENGAN ARGUMEN
GEOMETRIS SEDERHANA
PRAMA ADISTYA WIJAYA
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Judul Skripsi : Penentuan Premi Optimum pada Portofolio Heterogen dengan
Argumen Geometris Sederhana
Nama
: Prama Adistya Wijaya
NIM
: G54080081
Disetujui oleh
Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA
Pembimbing I
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
Ruhiyat, MSi
Pembimbing II
Judul Skripsi: Penentuan Premi Optimum pada Portofolio Heterogen dengan
Argumen Oeometris Sederhana
Nama
: Prama Adistya Wijaya
: 054080081
NIM
Disetujui oleh
Dr Ir I Ousti Putu Pumaba, DEA
Pembimbing I
Tanggal Lulus:
·25 FEB 2014
Ruhiyat MSi
Pembimbing II
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah Subhanahu Wa Ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang
dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Februari 2013 ini ialah
asuransi, dengan judul Penentuan Premi Optimum pada Portofolio Heterogen
dengan Argumen Geometris Sederhana.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA dan
Ruhiyat, MSi selaku pembimbing, serta Dr Donny Citra Lesmana, MFinMath
yang telah banyak memberi saran. Di samping itu, penghargaan penulis
sampaikan kepada seluruh dosen dan staf di Departemen Matematika atas segala
ilmu dan bantuan yang diberikan semasa perkuliahan. Ungkapan terima kasih juga
disampaikan kepada ayah, ibu, kakak, dan adik, serta seluruh keluarga, atas segala
doa dan kasih sayangnya. Penulis pun mengucapkan terima kasih kepada Bapak
Herry Suhardiyanto, Bapak Yonny Koesmaryono, dan Bapak Rimbawan atas
pelajaran berharganya. Tak lupa juga, penulis ucapkan terima kasih kepada
seluruh keluarga di Departemen Matematika, khususnya angkatan 45, Lingkaran
Peradaban, Pelangi Harapan 45, PPSDMS NF, POMI 22, Tim Al-Fata’, BEM
TPB Kabinet Pejuang 45, khususnya Dept. Kominfo, BEM FMIPA Kabinet
Totalitas Kebangkitan, khususnya Dept. PPSDM, BEM FMIPA Kabinet Sahabat
Scientist, khususnya BPH, dan BEM KM Kabinet IPB Berkarya, khususnya
Kementerian BOS, kakak dan adik kelas Matematika angkatan 43 hingga 48 dan
seluruh pihak yang telah mendukung penulis menyelesaikan karya ilmiah ini.
Bogor, Februari 2014
Prama Adistya Wijaya
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Perumusan Masalah
1
Tujuan Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
Peluang
2
Matriks dan Vektor
4
PEMBAHASAN
5
Model untuk Peubah Acak Klaim Individu
5
Bentuk-Bentuk Portofolio
8
Portofolio Homogen
8
Portofolio Heterogen
9
Premi Asuransi
11
Penentuan Premi pada Asuransi Portofolio Homogen
11
Penentuan Premi pada Asuransi Portofolio Heterogen
12
Sebuah Masalah Pengoptimuman
13
Peluang Kebangkrutan pada Suatu Perusahaan Asuransi
16
Peminimuman dari Selisih Risiko dan Premi untuk Peluang Kebangkrutan
yang Diberikan
17
Penerapan Formula Penentuan Premi Optimum
Contoh Kasus
19
22
SIMPULAN
26
DAFTAR PUSTAKA
26
LAMPIRAN
28
RIWAYAT HIDUP
39
DAFTAR TABEL
1 Data portofolio
2 Premi optimum dari tiap alokasi
23
25
DAFTAR LAMPIRAN
1 Pembuktian persamaan (14)
2 Penentuan solusi optimum dan nilai minimum dari
3 Pembuktian transformasi masalah 1 menjadi masalah 2
4 Pembuktian ketaksamaan (18)
5 Penentuan solusi optimum pada masalah 1
6 Penentuan solusi optimum persamaan (25) dengan kendala (24)
7 Penentuan solusi optimum persamaan (27) dengan kendala (24)
28
29
30
31
33
35
37
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Setiap orang tidak ingin suatu ketika ditimpa sebuah kemalangan. Walaupun
tidak mungkin terlepas dari musibah, kerugian materi itu bisa diperkecil. Dalam
menghadapi hal buruk yang mungkin terjadi, asuransi bisa digunakan sebagai
sebuah solusi.
Asuransi adalah sebuah proses pelimpahan risiko dari tertanggung ke
penanggung. Tertanggung (insured atau peserta asuransi) adalah istilah bagi
seseorang atau pihak yang ingin menyalurkan risiko, sedangkan penanggung
(insurer atau perusahaan asuransi) adalah istilah bagi pihak yang menerima risiko
tersebut. Tertanggung membayarkan premi sebagai bentuk pengalihan risiko.
Premi adalah biaya yang dibayar oleh tertanggung kepada penanggung untuk
risiko yang ditanggung. Besar premi diatur dan disepakati oleh penanggung dan
tertanggung dalam polis asuransi. Polis asuransi adalah suatu kontrak yang berisi
perjanjian yang sah antara penanggung dan tertanggung sehingga penanggung
bersedia menanggung sejumlah kerugian yang timbul di masa depan dengan
sejumlah premi yang dibayarkan oleh tertanggung sesuai kesepakatan. Dalam
polis asuransi, perusahaan asuransi sering dihadapkan pada suatu masalah, yaitu
adanya kecenderungan bahwa pengajuan klaim yang diajukan oleh pihak
tertanggung akan melebihi besarnya premi yang mereka dapatkan dari pihak
tertanggung. Bila hal ini terjadi, perusahaan asuransi akan mengalami
kebangkrutan. Diperlukan formulasi yang bisa mengoptimumkan premi sehingga
perusahaan asuransi tidak akan bangkrut dan para tertanggung pun tidak merasa
keberatan dengan harga premi yang harus dibayarkan dalam polis tersebut.
Dalam asuransi, dikenal istilah risiko. Risiko itu sendiri adalah suatu
ketidakpastian yang tidak dikehendaki karena dapat menyebabkan kerugian.
Portofolio adalah kumpulan asuransi yang terdiri atas kumpulan risiko dan premi.
Portofolio homogen merupakan kumpulan asuransi yang memiliki risiko yang
sama sehingga premi yang harus dibayarkan oleh nasabah pun sama. Portofolio
heterogen adalah kumpulan asuransi yang memiliki risiko yang berbeda. Premi
yang harus dibayarkan oleh nasabah disesuaikan dengan risiko yang dimiliki oleh
nasabah tersebut. Ketika nasabah memiliki risiko yang tinggi, premi yang harus
dibayar pun akan lebih mahal dan berlaku sebaliknya. Baik peserta asuransi
maupun perusahaan asuransi menginginkan premi yang optimum.
Perumusan Masalah
Premi yang optimum merupakan hal yang penting bagi suatu perusahaan
asuransi. Dengan premi optimum tersebut, diharapkan perusahaan asuransi tidak
menderita kerugian, namun tetap tidak memberatkan para peserta asuransi yang
harus membayar dan tetap bisa kompetitif dengan perusahaan asuransi lain.
Pada portofolio heterogen, terdapat lebih dari satu kelas yang dibagi
berdasarkan tingkat risiko yang dimiliki tiap peserta asuransi. Besar premi yang
terdapat pada setiap kelas pun berbeda-beda. Di setiap kelas tersebut, perlu
ditentukan premi yang optimum sesuai dengan kelas risiko yang diberikan agar
para peserta asuransi tetap tertarik berasuransi di perusahaan tersebut.
2
Dari beberapa uraian di atas, dapat dirumuskan beberapa permasalahan
sebagai berikut:
1. Bagaimana menentukan premi optimum pada portofolio heterogen dengan
metode argumen geometris sederhana?
2. Bagaimana menentukan alokasi-alokasi premi optimum dengan mengubah
nilai bobot yang diberikan?
Tujuan Penelitian
Tujuan dari karya ilmiah ini adalah menentukan premi yang optimum pada
portofolio heterogen dengan metode argumen sederhana dan alokasi-alokasi dari
premi tersebut dengan mengubah nilai bobot yang diberikan.
TINJAUAN PUSTAKA
Agar lebih memperjelas uraian berikutnya, diberikan beberapa definisi
berikut.
Peluang
Definisi 1 (Percobaan Acak)
Percobaan acak adalah percobaan yang dapat dilakukan berulang-ulang
dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat
diketahui, tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat ditebak dengan tepat
(Hogg et al. 2005).
Definisi 2 (Ruang Contoh dan Kejadian)
Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut
ruang contoh, dinotasikan dengan . Suatu kejadian adalah himpunan bagian
dari (Grimmett & Stirzaker 1992).
Definisi 3 (Medan-�)
Medan-� adalah himpunan ℱ yang anggotanya adalah himpunan bagian
dari ruang contoh , yang memenuhi kondisi berikut:
1
ℱ
ℱ
2 Jika
ℱ, maka ⋃
3 Jika
ℱ maka
ℱ dengan
adalah himpunan komplemen dari
(Grimmett & Stirzaker 1992).
Definisi 4 (Ukuran Peluang)
Misalkan ℱ adalah medan-� dari ruang contoh . Ukuran peluang adalah
suatu fungsi ℱ
pada (ℱ ) yang memenuhi:
1
2 Jika
ℱ adalah himpunan yang saling lepas, yaitu
untuk setiap pasangan
, maka
3
(⋃
)
∑
(Grimmett & Stirzaker 1992).
Definisi 5 (Peubah Acak)
Misalkan ℱ adalah medan-� dari ruang contoh
adalah suatu fungsi
dengan sifat
(Grimmett & Stirzaker 1992).
. Suatu peubah acak X
ℱ untuk setiap
Definisi 6 (Peubah Acak Diskret)
Peubah acak dikatakan diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian
yang terhitung dari (Grimmett & Stirzaker 1992).
Definisi 7 (Fungsi Massa Peluang)
Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret
yang diberikan oleh
adalah fungsi
(Grimmett & Stirzaker 1992).
Definisi 8 (Peubah Acak Kontinu)
Peubah acak dikatakan kontinu jika ada fungsi
sebarannya adalah
sehingga fungsi
∫
dengan
adalah fungsi yang terintegralkan. Fungsi
fungsi kepekatan peluang dari (Grimmett & Stirzaker 1992).
disebut
Definisi 9 (Persentil)
Persentil adalah nilai-nilai yang membagi segugus pengamatan menjadi 100
bagian yang sama. Nilai-nilai itu dilambangkan dengan
bersifat
bahwa 1% dari seluruh data terletak di bawah , 2% terletak di bawah
dan
99% terletak di bawah
(Walpole 1990).
Definisi 10 (Nilai Harapan)
1 Jika adalah peubah acak diskret dengan fungsi masa peluang
nilai harapan dari , dinotasikan dengan
, adalah
∑
asalkan jumlah di atas konvergen mutlak.
, maka
4
2
Jika
adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang
, maka nilai harapan dari , juga dinotasikan dengan
, adalah
∫
asalkan integral di atas konvergen mutlak (Hogg et al. 2005).
Definisi 11 (Ragam)
Ragam dari peubah acak adalah nilai harapan dari kuadrat selisih antara
dan nilai harapannya. Secara matematis, dapat dituliskan sebagai
=
=
(Hogg et al. 2005).
[
[
]
]
Matriks dan Vektor
Definisi 12 (Transpos dari Suatu Matriks)
(
Transpos dari suatu matriks
yang berorde
(
yang berorde
yang didefinisikan oleh
dengan
(Leon 1998).
dan
Transpos dari
adalah matriks
dinotasikan oleh
Definisi 13 (Ruang Euclid Dimensi )
Jika adalah bilangan bulat positif, maka sebuah pasangan terurut adalah
barisan bilangan real
. Himpunan dari semua pasangan terurut
disebut Ruang Euclid dimensi dan dinotasikan dengan
(Anton 1994).
Definisi 14 (Penjumlahan dan Perkalian Skalar)
Misalkan vektor
dan vektor
Penjumlahan vektor
didefinisikan sebagai
dan jika
adalah skalar, perkalian skalar
(Anton 1994).
didefinisikan sebagai
5
Definisi 15 (Kombinasi Linear)
Sebuah vektor disebut kombinasi linear dari vektor-vektor
jika dapat diekspresikan dalam bentuk
dengan
adalah skalar (Anton 1994).
Definisi 16 (Bebas Linear)
Jika
vektor dan persamaan
adalah himpunan takkosong yang berisi vektor-
hanya memiliki satu solusi, yaitu:
maka
disebut himpunan vektor bebas linear (Anton 1994).
Definisi 17 (Hasil Kali Dalam Euclid)
Jika
dan
yang berada dalam
, maka hasil kali dalam Euclid
adalah vektor-vektor
didefinisikan sebagai
(Anton 1994).
Definisi 18 (Panjang/Norm Euclid)
Panjang Euclid (norm Euclid) dari sebuah vektor
dalam
didefinisikan sebagai
(Anton 1994).
‖ ‖
√
PEMBAHASAN
Model untuk Peubah Acak Klaim Individu
Misalkan suatu perusahaan asuransi mengeluarkan suatu aturan sebagai
berikut. Jika pemegang asuransi tertimpa musibah (contohnya, meninggal dunia
atau kecelakaan) pada kurun waktu satu tahun sehingga pemegang asuransi
tersebut harus mengajukan klaim, perusahaan tersebut harus membayar sebesar
satuan. Namun, perusahaan asuransi tidak akan membayar jika tidak ada
6
pengajuan klaim pada kurun waktu tersebut. Misalkan peluang terjadinya suatu
klaim pada kurun waktu satu tahun dinotasikan dengan . Bila peubah acak
menyatakan besarnya klaim yang harus dibayarkan oleh perusahaan asuransi
kepada pemegang asuransi, maka memiliki fungsi massa peluang
{
a
a
dan fungsi sebaran
{
Dari fungsi massa peluang dan fungsi sebaran tersebut, diperoleh
dan
Peubah acak
dapat ditulis juga dengan notasi sebagai berikut:
(1)
dengan adalah besarnya nilai klaim yang harus dibayarkan oleh perusahaan
asuransi kepada pemegang asuransi bila terjadi klaim dan adalah peubah acak
Bernoulli yang akan bernilai 1 bila terjadi pengajuan klaim dan bernilai 0 bila
tidak terjadi pengajuan klaim. Jadi, peluang terjadinya klaim adalah
,
sedangkan peluang tidak terjadinya klaim adalah
Dari persamaan (1), dapat ditentukan model yang lebih umum, yaitu
(2)
dengan
adalah peubah acak dari besarnya klaim yang harus dibayarkan
perusahaan asuransi bila terjadi pengajuan klaim untuk setiap tahun, adalah
peubah acak dari besarnya total klaim yang terjadi selama satu tahun, dan adalah
indikator bahwa klaim terjadi minimum sekali untuk satu kejadian. Peubah
bernilai 1
bila terjadi pengajuan klaim dan bernilai 0
bila tidak
terjadi pengajuan klaim pada satu tahun tersebut. Jadi, tidak menjelaskan
mengenai banyaknya klaim pada tahun tersebut.
Menurut Bowers et al. (1997), ada beberapa persamaan yang berhubungan
dengan momen peubah acak untuk suatu kondisi bersyarat. Bentuk umum dari
persamaan nilai harapan dan ragam adalah
(3)
7
dan
(4)
Peubah acak pada persamaan (3) dan (4) disubstitusikan dengan peubah
acak karena peubah acak tersebut merupakan syarat untuk mengetahui peluang
pada peubah acak . Sementara itu, peubah acak tetap menjadi sehingga nilai
harapan dan ragam dari peubah acak pada persamaan (2) adalah
[
dan
[
]
]
]
[
Bila diketahui
dan
� , terdapat dua
kemungkinan yang akan terjadi, yaitu ketika pengajuan klaim terjadi
, dan
ketika pengajuan klaim tidak terjadi
.
Saat terjadi klaim
maka
dan didapatkan bahwa
(5)
dan
Namun, saat tidak terjadi klaim
maka
�
(6)
dan didapatkan bahwa
(7)
dan
(8)
Persamaan (5) dan (7) mendefinisikan
dengan syarat yang bisa ditulis menjadi
sebagai nilai harapan dari
Persamaan (6) dan (8) mendefinisikan
sebagai ragam dari
syarat Kedua persamaan tersebut bisa dikombinasikan menjadi
dengan
� .
Berdasarkan persamaan (3), dengan perhitungan aljabar sederhana, dapat
disimpulkan bahwa
[
]
(9)
8
Di samping itu, berdasarkan persamaan (4), bila diketahui
dan
[
]
[
dapat disimpulkan pula bahwa
[
]
]
�
[
�
]
�
�
(10)
Bentuk-Bentuk Portofolio
Portofolio asuransi yang akan digunakan terdiri atas sejumlah besar peserta
asuransi dengan peubah acak besarnya klaim menyebar bebas dan identik
(independent and identically distributed atau disingkat i.i.d.). Menurut Yulianasari
(2011), ketika menentukan premi untuk polis asuransi dari risiko-risiko pada suatu
portofolio, terdapat dua asumsi premi yang digunakan sebagai pertimbangan,
yaitu:
1. Peluang risiko bahwa total klaim melebihi total premi yang dibayarkan
dinyatakan dengan , dengan
2. Besarnya premi meningkat seiring dengan meningkatnya ukuran klaim.
Berikut ini adalah penjelasan mengenai dua bentuk portofolio asuransi, yaitu
portofolio homogen dan portofolio heterogen.
Portofolio Homogen
Menurut Zaks et al. (2006), portofolio homogen adalah kumpulan asuransi
yang memiliki nilai risiko yang sama. Hal ini menyebabkan premi yang harus
dibayarkan oleh nasabah pun sama karena disesuaikan dengan risiko yang sama
antar nasabah.
Untuk lebih memperjelas uraian selanjutnya, akan digunakan notasi-notasi
berikut:
= Banyaknya peserta asuransi.
= Besarnya klaim yang diajukan oleh peserta asuransi pada perusahaan
asuransi dengan
= Nilai harapan dari besarnya klaim individu.
� = Ragam dari besarnya klaim individu.
= Besarnya total klaim untuk semua peserta asuransi.
= Nilai harapan dari besarnya total klaim.
� = Ragam dari besarnya total klaim.
= Besarnya premi yang dibayarkan setiap peserta asuransi kepada perusahaan
asuransi.
9
Karena besarnya total klaim untuk semua peserta asuransi adalah
∑
maka nilai harapan dari besarnya total klaim adalah
[∑
]
∑
dan ragam besarnya total klaim adalah
�
[∑
]
∑
�
Portofolio Heterogen
Menurut Zaks et al. (2006), portofolio heterogen adalah portofolio asuransi
yang terdiri atas sejumlah peserta asuransi yang dibagi menjadi beberapa kelas
risiko. Setiap peserta asuransi memiliki risiko dan premi yang harus dibayar
berdasarkan kelasnya masing-masing.
Sebagai ilustrasi, misalkan pada sebuah asuransi kesehatan setiap peserta
asuransi memiliki risiko yang berbeda-beda. Anggap ada tiga kelas risiko bagi
semua peserta asuransi. Kelas risiko A bagi peserta asuransi yang memiliki risiko
yang tinggi, kelas risiko B bagi peserta asuransi dengan risiko sedang, dan kelas
risiko C bagi peserta asuransi dengan risiko ringan. Setiap kelas risiko memiliki
besaran premi yang harus dibayar yang disesuaikan dengan tingkat risikonya.
Besar premi yang harus dibayar bagi para peserta asuransi di kelas A paling tinggi
dibandingkan dengan semua kelas karena kelas A memiliki risiko yang paling
tinggi. Para peserta asuransi di kelas risiko B memiliki besarnya premi yang lebih
tinggi dibandingkan dengan besarnya premi para peserta asuransi di kelas risiko C
karena risiko di kelas B lebih tinggi dibandingkan dengan risiko di kelas C.
Untuk lebih memperjelas uraian selanjutnya, akan digunakan notasi-notasi
berikut:
= Banyaknya kelas risiko.
= Banyaknya peserta asuransi yang terdapat dalam kelas
dengan
.
= Besarnya klaim yang diajukan oleh peserta asuransi dalam kelas kepada
perusahaan asuransi dengan
dan
.
= Besarnya premi yang dibayarkan peserta asuransi pada kelas kepada
perusahaan asuransi dengan
.
= Nilai harapan dari besarnya klaim individu untuk kelas dengan
.
� = Ragam dari besarnya klaim individu untuk kelas dengan
.
10
= Total peserta asuransi dari semua kelas.
= Besarnya total klaim di kelas dengan
.
= Nilai harapan dari besarnya total klaim untuk kelas dengan
.
= Ragam dari besarnya total klaim untuk kelas dengan
.
= Besarnya total klaim dari semua kelas.
= Besarnya nilai harapan dari besarnya total klaim untuk semua kelas.
� = Besarnya ragam dari besarnya total klaim untuk semua kelas.
Berikut ini terdapat beberapa asumsi yang terpenuhi oleh portofolio
heterogen:
1 Peubah acak-peubah acak klaim yang terdapat pada portofolio saling bebas.
2 Setiap kelas terdiri atas
peserta asuransi sehingga didapatkan bahwa
∑
Peubah acak klaim dari setiap kelas adalah
yang
i.i.d. dan menyebar sebagai
Peubah acak
sendiri memiliki nilai harapan
dan ragam � , dengan
.
3 Asumsikan bahwa
dengan
cukup besar untuk
mengaplikasikan Teori Limit Pusat.
Berdasarkan Yulianasari (2011), portofolio heterogen dapat digambarkan
dengan skema berikut ini.
Gambar 1 Skema pembagian kelas pada portofolio heterogen
Gambar 1 menunjukkan skema yang terdapat pada portofolio heterogen.
Terdapat kelas yang terlihat di skema tersebut. Besarnya total klaim ditunjukkan
oleh
yang terjadi berturut-turut pada kelas
Pembagian
kelas ini disesuaikan dengan tingkat risiko yang berada pada tiap kelas. Di setiap
kelas, ada klaim individu yang dinotasikan sebagai
Peubah acak
bermakna klaim yang diajukan oleh individu pada kelas Penjumlahan semua
klaim
di kelas dinotasikan dengan dan besarnya total klaim dari semua
nasabah secara keseluruhan dinotasikan dengan
Karena adalah besarnya total klaim dari kelas , maka
∑
11
untuk
. Dari portofolio homogen, diketahui bahwa [ ]
[ ]
dan
� . Di samping itu, karena nilai total klaim dari semua kelas
adalah , dapat diperoleh
∑
Nilai harapan untuk total klaim semua kelas j adalah
∑
dan ragamnya adalah
�
∑
�
Premi Asuransi
Premi asuransi adalah biaya yang harus dibayarkan oleh peserta asuransi
kepada perusahaan asuransi sebagai bentuk pengalihan risiko sesuai dengan polis
asuransi yang telah disepakati (Bowers et al. 1997). Perusahaan asuransi sebagai
pihak penanggung membebankan premi sebesar untuk setiap risiko , dengan
. Premi total individu yang dibayarkan adalah sehingga
∑
Berdasarkan hampiran Gauss, untuk mencegah kebangkrutan perusahaan
asuransi dengan peluang kebangkrutan
perusahaan asuransi harus
mengumpulkan premi sebesar
dengan
adalah
�
persentil dari sebaran normal baku.
Penentuan Premi pada Asuransi Portofolio Homogen
Diasumsikan bahwa perusahaan asuransi telah siap untuk menghadapi risiko
, yaitu
12
Akan ditentukan besarnya premi dari portofolio homogen yang didekati dengan
menggunakan Teori Limit Pusat pada tingkat risiko , yaitu:
√
(11)
√
Substitusikan
dan
persamaan (11) sehingga
(
�
�
berturut-turut dengan
dan � pada
)
√ �
Berdasarkan Teori Limit Pusat, didapatkan bahwa
�
sehingga
√ �
dengan
�
√
adalah persentil
dari sebaran normal baku.
Jadi, premi pada asuransi portolio homogen adalah
�
√
(12)
Pada portofolio homogen, semua peserta asuransi membayar premi dengan
besaran yang sama, yaitu
Penentuan Premi pada Asuransi Portofolio Heterogen
Pada bagian ini akan ditentukan premi optimum secara umum pada sebuah
portofolio heterogen dengan metode argumen geometris sedehana. Metode ini
menunjukkan bahwa premi optimum didapatkan dari hasil peminimuman kuadrat
selisih terboboti antara total klaim yang diajukan dan total premi yang dibayarkan
oleh peserta asuransi.
13
Sebuah Masalah Pengoptimuman
Didefinisikan sebuah peubah baru
dari kuadrat selisih terboboti, yaitu
yang merupakan jumlah nilai harapan
[
∑
]
(13)
dengan
turut
adalah barisan peubah acak dengan nilai harapan berturutdan ragam berturut-turut
adalah bilangan-bilangan yang berturut-turut dapat mengganti
serta
adalah bilangan-bilangan positif (bobot) yang
diketahui. Dengan sifat-sifat ragam dari peubah acak, persamaan (13) dapat ditulis
kembali menjadi
∑
[ ]
(
∑
(14)
Bukti persamaan (14) disajikan pada Lampiran 1.
[ ] bernilai tetap, masalah peminimuman diperoleh dari
Karena
dan
∑
(
(15)
Solusi optimum dari persamaan (15) adalah
dan nilai minimum dari (15) adalah nol. Hal ini mengakibatkan nilai minimum
dari adalah
∑
[ ]
Bukti disajikan pada Lampiran 2.
Masalah lebih menarik muncul jika masalah peminimuman (15)
ditambahkan sebuah kendala pada peubah
sehingga masalah
tersebut dapat diformulasikan menjadi sebagai berikut.
Masalah 1: Nilai minimum dari kuadrat selisih terboboti (13) dengan kendala
(16)
dengan
adalah konstanta yang sudah diketahui.
14
Persamaan (15) merupakan modifikasi dari persamaan (14). Hal ini
mengakibatkan persamaan (15) dapat digunakan untuk menemukan nilai
minimum dengan kendala persamaan (16).
Di samping itu, berdasarkan Zaks et al. (2006), untuk menemukan solusi
optimum dari masalah ini, diperlukan peubah-peubah baru, yaitu
√
, dengan
, dengan
, yang dapat diubah menjadi
√
Peubah baru tersebut disubstitusikan pada persamaan (16) sehingga
masalah 1 dapat diubah menjadi sebagai berikut.
Masalah 2: Nilai minimum dari fungsi
(
∑
(17)
dengan diberikan kendala
∑
∑
√
∑
dengan
Bukti persamaan (18) disajikan pada Lampiran 3.
Selanjutnya, misalkan
(18)
dan
√
√
√
merupakan vektor-vektor yang memenuhi sifat-sifat vektor Euclid dimensi
dengan ruang vektor
. Fungsi
pada persamaan (17) dapat
ditulis menjadi ‖ ‖ dengan
‖ ‖
√
adalah panjang dari vektor
Di samping itu, penjumlahan sisi kiri dari
persamaan (18) adalah perkalian dalam dari
yang berlaku untuk semua
vektor.
Masalah 2 dianalisis dengan Ketaksamaan Schwarz yang menyatakan
bahwa untuk setiap vektor
berlaku
‖ ‖‖ ‖
(20)
Persamaan pada ketaksamaan (20) terjadi jika vektor dan bergantung linear.
Diketahui pula bahwa adalah vektor taknol, hal ini berarti bahwa merupakan
perkalian skalar dari , yaitu
dengan
.
15
Dengan Ketaksamaan Schwarz, yaitu
‖ ‖
didapatkan nilai dari
‖ ‖
(
Akibatnya, nilai minimum dari
(
∑
∑
∑
∑
Bukti disajikan pada Lampiran 4.
Karena vektor adalah vektor taknol, persamaan pada ketaksamaan (20) terjadi
jika dan hanya jika terdapat bilangan konstan , seperti
(21)
√
dan persamaan (18) terpenuhi.
Persamaan (18) dan (21) memiliki solusi yang tunggal, yaitu
√
(
∑
∑
dan solusi optimum untuk masalah 1 adalah
∑
∑
dengan
Di samping itu, karena
∑
sehingga didapatkan
[ ]
∑
(
(22)
16
(
[ ]
∑
Bukti disajikan pada Lampiran 5.
∑
∑
Peluang Kebangkrutan pada Suatu Perusahaan Asuransi
Untuk menentukan premi optimum pada suatu portofolio heterogen, perlu
diperkenalkan peluang kebangkrutan pada suatu perusahaan asuransi terlebih
dahulu. Misalkan model risiko individu ditulis sebagai berikut
∑
dengan adalah banyaknya peserta asuransi pada suatu portofolio, peubah acak
menggambarkan kerugian yang terkait dengan risiko dengan
selama periode tertentu, dan adalah jumlah kerugian untuk portofolio secara
keseluruhan.
Diasumsikan bahwa peubah acak
dengan
merupakan
peubah acak yang saling bebas. Selain itu, diasumsikan pula bahwa untuk yang
cukup besar, total kerugian suatu portofolio dapat diperkirakan dengan sebaran
Gauss,
, sehingga dapat ditulis
(
)
�
Anggap perusahaan asuransi menuntut premi
peluang kebangkrutan diberikan oleh:
untuk risiko
maka
dengan adalah besarnya total dari semua klaim dan adalah besarnya total
∑
premi yang terkumpul, yaitu
Dengan menggunakan pendekatan
sebaran Gauss, didapatkan:
(
�
�
)
�
(23)
Diasumsikan bahwa perusahaan asuransi siap untuk menerima sebuah risiko
yang cukup kecil (misalnya,
). Persamaan (23) memberikan formula
untuk premi total yang dikumpulkan, yaitu
�
(24)
17
Namun, persamaan (24) tidak menjelaskan premi kelas dengan
Untuk menemukan premi individu, perlu digunakan prinsip lainnya.
Peminimuman dari Selisih Risiko dan Premi untuk Peluang Kebangkrutan
yang Diberikan
Pada bagian ini akan digunakan hasil pengoptimuman yang telah
didapatkan dan peluang kebangkrutan yang telah diperkenalkan pada bagian
sebelumnya. Misalkan kuadrat selisih terboboti yang didefinisikan sebagai
yaitu
[
∑
]
dengan
merupakan risiko individu untuk kelas dengan
merupakan premi individu yang harus dibayarkan peserta asuransi di kelas
dengan
, serta yang merupakan bilangan positif adalah suatu bobot
di tiap kelas dengan
Untuk mendapatkan premi yang minimum untuk tiap kelas, maka
haruslah minimum dan dapat ditulis
(25)
min.
Berdasarkan Falin (2008), solusi optimum untuk masalah 1 yang terdapat pada
(22) dapat disubstitusikan dengan peubah lain yang bersesuaian, yaitu
;
�
;
dengan
Dari hasil substitusi tersebut, didapatkan bahwa masalah
peminimuman (25) dengan kendala (24) memiliki solusi tunggal, yaitu
∑
�
(26)
Bukti disajikan pada Lampiran 6.
Selanjutnya, diasumsikan bahwa suatu asuransi portofolio heterogen
dapat dibagi menjadi kelas risiko yang homogen dengan sifat-sifat klaim yang
i.i.d.. Antar kelas memiliki bobot risiko yang berbeda. Portofolio pada kelas
memiliki risiko sebanyak
dengan nilai harapan
dan ragam � dengan
Diketahui pula bahwa total besarnya klaim dari portofolio pada
[ ]
kelas adalah yang memiliki nilai harapan [ ]
dan ragam
� dengan
Kemudian, besarnya klaim pada portofolio secara
∑
yang memiliki nilai harapan
keseluruhan dinotasikan dengan
∑
∑
dan ragam �
� dengan
Karena risiko pada suatu kelas relatif homogen, perusahaan asuransi sebaiknya
18
mengumpulkan premi dari peserta asuransi sejumlah
untuk suatu kelas
dengan
Menurut Zaks et al. (2006), kuadrat selisih terboboti dari bisa ditulis
menjadi
∑
[
]
dengan merupakan besarnya total klaim dari portofolio kelas ,
merupakan
besarnya total premi yang dikumpulkan dari kelas , dan adalah suatu bobot di
kelas
yang merupakan bilangan positif dengan
Untuk
mendapatkan premi yang minimum, haruslah
(27)
min.
Di samping itu, agar premi tetap minimum namun tidak menyebabkan
kebangkrutan pada perusahaan asuransi, syarat (24) harus terpenuhi. Berdasarkan
Falin (2008), solusi optimum untuk masalah 1 yang terdapat pada (22) dapat
disubstitusikan dengan peubah lain yang bersesuaian, yaitu
;
�
;
dengan
Dari hasil substitusi tersebut, didapatkan bahwa masalah
peminimuman (27) dengan kendala (24) memiliki solusi tunggal, yaitu
∑
∑
�
�
Bukti disajikan pada Lampiran 7.
Persamaan (26) menunjukkan bahwa solusi optimum untuk masalah (25)
dengan kendala (24) serupa dengan solusi optimum untuk masalah (27) dengan
kendala yang sama. Jadi, premi optimum dapat ditentukan dengan
meminimumkan kuadrat selisih terboboti antara klaim yang diajukan dan premi
yang dikumpukan oleh peserta asuransi.
Penentuan premi pada asuransi portofolio heterogen secara umum dapat
dituliskan sebagai berikut:
∑
�
Berikut ini, penjelasan notasi pada persamaan (28):
= Besarnya premi pada kelas dengan
= Nilai harapan dari besarnya klaim individu pada kelas
(28)
dengan
19
= Banyaknya peserta asuransi pada kelas dengan
� = Ragam untuk semua klaim.
= Persentil
dari sebaran normal baku.
= Besarnya bobot untuk kelas
Besarnya premi pada portofolio heterogen berbeda di setiap kelasnya. Hal
ini disesuaikan dengan tingkat risiko yang dimiliki oleh tiap-tiap kelas. Dari
persamaan tersebut, dapat diperoleh berbagai alokasi penentuan premi dengan
menggunakan nilai bobot
yang berbeda-beda.
Penerapan Formula Penentuan Premi Optimum
Dari bagian sebelumnya, didapatkan bahwa formula penentuan premi untuk
risiko yang diberikan, , yaitu:
�
∑
dengan merupakan nilai harapan dari klaim di kelas , merupakan nilai bobot
di kelas , merupakan jumlah peserta asuransi di kelas , � merupakan besarnya
total klaim secara keseluruhan, dan
adalah persentil dari sebaran normal
baku.
Pada bagian ini akan ditentukan alokasi-alokasi penentuan premi
berdasarkan formula penentuan premi yang telah didapatkan sebelumnya.
Alokasi-alokasi ini ditentukan dengan menggunakan bobot-bobot yang berbeda.
1 Alokasi seragam
Alokasi seragam menganggap bobot diperoleh dari banyaknya individu dari
tiap kelas. Misalkan
=
dengan
Dari informasi tersebut,
didapatkan bahwa
∑
∑
sehingga
∑
�
�
�
20
�
dengan
Dari rumus yang diperoleh, alokasi seragam dipengaruhi
oleh banyaknya peserta asuransi seluruhnya.
2 Alokasi semi-seragam
Alokasi semi-seragam mengganggap setiap peserta asuransi memiliki bobot
yang sama. Misalkan
dengan
, dapat disimpulkan bahwa
∑
sehingga
∑
�
∑
�
�
�
dengan
Dari rumus yang diperoleh, alokasi semi-seragam
dipengaruhi oleh banyaknya kelas dan banyaknya peserta asuransi di tiap kelas
3
Alokasi relatif
Bobot pada alokasi relatif bergantung pada banyaknya peserta asuransi yang
terdapat dalam kelas ragam dari besarnya klaim individu untuk kelas dan
ragam dari besarnya total klaim untuk semua kelas dengan
Misalkan
Karena �
dengan
∑
∑
=
�
�
�
�
�
�
�
�
∑
�
�
�
�
�
�
�
didapatkan
21
�
�
�
�
�
�
Jumlah bobot yang dimiliki oleh semua peserta asuransi bernilai 1. Jadi,
�
∑
�
�
�
�
�
dengan
Dari rumus yang diperoleh, alokasi relatif dipengaruhi oleh
ragam dari besarnya klaim individu untuk kelas dengan
yang
dibagi dengan simpangan baku dari besarnya total klaim.
4 Prinsip nilai harapan dan prinsip ragam
Misalkan
adalah fungsi dari semua peubah acak taknegatif pada
sedemikian sehingga untuk peubah acak
,
dengan
∑
(
Kemudian, misalkan pula
Pada kasus ini, premi untuk kelas adalah
�
∑
�
(
�
(
�
(
�
dengan
Dalam kasus ini, akan dipertimbangkan dua prinsip khusus
dalam menentukan premi, yaitu:
1 Prinsip nilai harapan
Misalkan
maka
22
�
�
(
�
[ ]
�
dengan
Dari rumus yang diperoleh, prinsip nilai harapan
dipengaruhi oleh nilai harapan dari besarnya total klaim untuk semua kelas yang
dibagi dengan nilai harapan dari besarnya klaim individu untuk kelas dengan
.
2 Prinsip ragam
Misalkan
maka
�
�
�
�
�
�
(
�
[ ]
dengan
Dari rumus yang diperoleh, prinsip ragam dipengaruhi oleh
ragam dari besarnya klaim individu untuk kelas dengan
yang
dibagi dengan simpangan baku dari besarnya total klaim. Hal ini mengakibatkan
rumus prinsip ragam sama dengan rumus alokasi relatif.
Contoh Kasus
Pada contoh kasus yang akan dijelaskan selanjutnya, terdapat peubah yang
belum dijelaskan, yaitu
Dengan adanya peubah tersebut, penentuan nilai
harapan dan ragam haruslah melibatkan peubah tersebut. Oleh karena itu, menurut
Bowers et al. (1997), dengan melibatkan penerapan model peubah acak klaim,
maka ditentukanlah nilai harapan dan ragam dari total klaim. Berdasarkan
persamaan (9) dan (10), didapatkan bahwa
;
�
.
dengan
adalah nilai harapan dari besarnya total klaim untuk kelas dan
adalah ragam dari besarnya total klaim untuk kelas dengan
.
Diasumsikan pula bahwa tingkat risiko yang diberikan adalah
atau sebesar
. Nilai harapan dan ragam klaim suatu kelas adalah dan �
(dalam satuan $).
23
Tabel 1 Data portofolio (dalam satuan $)
1
2
3
4
5
6
4 000
2 200
800
1 500
800
500
0.050
0.100
0.210
0.185
0.250
0.300
2 100
10 000
13 000
15 000
17 000
19 000
�
100 000
200 000
100 000
6 000 000
8 000 000
7 000 000
105
1 000
2 730
2 775
4 250
5 700
214 475
9 020 000
28 058 100
35 034 375
56 187 500
77 910 000
Keterangan:
Indeks kelas
Banyaknya peserta asuransi untuk kelas dengan
Peluang terjadinya klaim individu untuk kelas dengan
Nilai harapan dari besarnya klaim individu untuk kelas dengan
.
Ragam dari besarnya klaim individu untuk kelas dengan
.
�
Nilai harapan dari besarnya total klaim untuk kelas dengan
.
Ragam dari besarnya total klaim untuk kelas dengan
.
Pada Tabel 1, diperlihatkan data mengenai banyaknya peserta asuransi
untuk setiap kelas, peluang terjadinya klaim untuk setiap kelas , nilai harapan,
dan ragam klaim. Nilai harapan dan ragam besarnya klaim dibedakan menjadi dua,
yaitu untuk individu pada setiap kelas dan total secara keseluruhan. Semakin
tinggi suatu kelas, semakin tinggi peluang atau risiko klaim individu yang terjadi.
Selanjutnya, akan ditentukan premi dari setiap kelas dengan menggunakan
alokasi-alokasi penentuan premi yang telah dibahas di bagian sebelumnya, yaitu
alokasi seragam, alokasi semi-seragam, prinsip nilai harapan, dan prinsip ragam.
Setelah didapatkan besarnya premi pada tiap alokasi, besarnya premi-premi
tersebut akan dibandingkan satu sama lain.
Karena nilai harapan dan ragam yang digunakan adalah nilai harapan dan
ragam dari besarnya total klaim dari kelas , yaitu dan , penentuan premi dari
setiap alokasi akan dijelaskan sebagai berikut:
1 Alokasi Seragam
Bentuk umum:
�
√∑
Bentuknya menjadi:
�
24
√∑
2
Alokasi Semi-Seragam
Bentuk umum:
�
√∑
�
Bentuknya menjadi:
√∑
3
Prinsip Nilai Harapan
Bentuk umum:
�
√∑
�
∑
Bentuknya menjadi:
√∑
4
∑
Prinsip Ragam
Bentuk umum:
�
�
√∑
�
�
25
Bentuknya menjadi:
√∑
Pada Tabel 2 akan ditunjukkan premi dari setiap kelas berdasarkan
alokasi-alokasi penentuan premi, yaitu alokasi seragam, alokasi semi-seragam,
prinsip nilai harapan, dan prinsip ragam atau alokasi relatif.
Tabel 2 Premi optimum dari tiap alokasi (dalam satuan $)
Kelas Alokasi
Seragam
1
176.13
2
1 071.13
3
2 801.13
4
2 846.13
5
4 321.13
6
5 771.13
Alokasi
Semi-seragam
134.05
1 052.81
2 875.23
2 852.45
4 395.23
5 932.36
Prinsip Nilai
Harapan
109.81
1 045.81
2 855.06
2 902.13
4 444.70
5 961.12
Prinsip
Ragam
105.83
1 035.01
2 838.90
2 910.98
4 468.08
6 002.39
Pada Tabel 2 terlihat bahwa semakin tinggi tingkat risiko, semakin tinggi
pula tingkat premi yang harus dibayarkan. Namun, dapat dilihat bahwa pada
alokasi semi-seragam, premi optimum untuk kelas 3 lebih besar dibandingkan
dengan kelas 4. Hal ini disebabkan oleh banyaknya peserta asuransi pada kelas 3
lebih sedikit dibandingkan dengan kelas 4 sehingga nilai pembagi untuk kelas 3
lebih kecil dibandingkan dengan kelas 4. Dengan kata lain, alokasi semi-seragam
bergantung pada jumlah peserta asuransi di setiap kelas dengan
Total premi yang diharapkan oleh perusahaan asuransi sudah ditentukan
sebelumnya. Hal ini didasarkan pada peluang kebangkrutan yang diinginkan oleh
perusahaan. Total premi yang diharapkan oleh perusahaan akan dialokasikan
sesuai dengan bobot yang ditentukan untuk masing-masing kelas.
Jika suatu perusahaan asuransi menggunakan alokasi seragam untuk
pengalokasian premi optimum, peserta asuransi pada kelas 3, 4, 5, dan 6 akan
lebih diuntungkan. Harga premi alokasi seragam pada kelas-kelas tersebut lebih
kecil dibandingkan dengan harga premi pada alokasi-alokasi yang lain. Namun,
perusahaan tersebut berisiko untuk kehilangan para peserta asuransi pada kelas 1
dan 2 karena dengan alokasi seragam besaran premi pada kelas-kelas tersebut
adalah yang paling besar dibandingkan dengan alokasi-alokasi yang lain.
Jika perusahaan asuransi memilih prinsip ragam dalam penentuan alokasi
premi, premi pada kelas 1 dan 2 memiliki besaran premi yang lebih kecil
dibandingkan jika perusahaan asuransi memilih alokasi yang lain. Hal ini
mengakibatkan para peserta pada kelas 1 dan 2 akan tertarik untuk tetap
berasuransi pada perusahaan tersebut. Namun, untuk kelas 4, 5, dan 6, premi yang
dihasilkan oleh prinsip ragam lebih besar dibandingkan dengan premi yang
dihasilkan oleh alokasi yang lain.
Untuk alokasi semi-seragam dan prinsip nilai harapan, besaran premi dari
tiap kelas relatif lebih merata. Tidak ada kelas yang diberikan beban berlebihan
26
dalam membayar premi. Besaran premi pada prinsip nilai harapan tidak ada yang
terlalu murah dan terlalu mahal dibandingkan dengan besaran premi pada alokasialokasi yang lain. Besaran premi pada alokasi semi-seragam pun tidak ada yang
terlalu murah dan terlalu mahal. Namun khusus kelas 3, alokasi premi ini
menghasilkan premi yang lebih tinggi dibandingkan dengan alokasi-alokasi yang
lain.
SIMPULAN
Penentuan premi yang optimum dapat ditentukan dengan metode argumen
geometris sederhana. Metode yang digunakan adalah dengan meminimumkan
masalah jumlah nilai harapan kuadrat selisih terboboti antara total premi dan total
klaim dengan kendala total premi yang sudah ditentukan sebelumnya. Masalah
tersebut bisa diselesaikan dengan melakukan transformasi menjadi masalah yang
baru. Setelah mendapatkan masalah yang baru, akan ditemukan sebuah solusi
optimum bagi masalah yang telah didefinisikan sebelumnya. Kemudian, dengan
menyubstitusikan peubah-peubah yang bersesuaian, diperoleh premi optimum
untuk setiap kelas risiko pada asuransi portofolio heterogen.
Dengan menggunakan nilai bobot yang berbeda, dapat ditentukan beragam
alokasi penentuan premi, yaitu alokasi seragam, alokasi semi-seragam, alokasi
relatif atau prinsip nilai harapan, dan prinsip ragam. Penentuan premi pada setiap
alokasi memiliki karakteristik masing-masing. Besarnya premi pada alokasi
seragam berbanding lurus dengan nilai harapan total klaim untuk setiap kelas.
Besarnya premi alokasi semi-seragam berbanding terbalik dengan banyaknya
peserta asuransi pada setiap kelas dan banyaknya kelas. Besarnya premi alokasi
relatif atau prinsip ragam berbanding lurus dengan ragam total klaim untuk setiap
kelas Besarnya premi untuk prinsip nilai harapan berbanding lurus dengan nilai
harapan total klaim untuk setiap kelas, namun berbanding terbalik dengan jumlah
nilai harapan total klaim untuk setiap kelas. Untuk data yang disajikan, alokasi
seragam dan prinsip ragam menghasilkan besaran premi yang bebannya tidak
merata bagi setiap kelas. Ada kelas yang terbebani berlebihan, namun ada juga
yang sebaliknya. Sementara itu, alokasi semi-seragam dan prinsip harapan
menghasilkan besaran premi yang bebannya relatif lebih merata bagi setiap kelas.
DAFTAR PUSTAKA
Anton H. 1994. Aljabar Linear Elementer. Ed ke-4. Jakarta (ID): Erlangga.
Bowers NL, Gerber HU, Hickman JC, Jones DA, Nesbitt CJ. 1997. Actuarial
Mathematics. Ed ke-2. Schaumburg (GR): The Society of Actuaries.
Falin GI. 2008. On the optimal pricing of a heterogeneous portfolio. ASTIN
Bulletin 38(1): 161-170. doi: 10.2143/AST.38.1.2030408.
Grimmett GR, Stirzaker DR. 1992. Probability and Random Processes. Ed ke-2.
New York (US): Clarendon Press Oxford.
27
Hogg RV, Craig AT, Mckean JW. 2005. Introduction to Mathematical Statistics.
Ed ke-6. New Jersey (US): Prentice Hall, Inc.
Leon SJ. 1998. Linear Algebra with Applications. Ed ke-5. New Jersey (US):
Prentice Hall, Inc.
Walpole RE. 1990. Pengantar Statistika. Ed ke-3. Jakarta (ID): PT. Gramedia
Pustaka Utama.
Yulianasari. 2011. Penentuan premi optimal pada portofolio heterogen dengan
menggunakan pemrograman tak linear [skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian
Bogor.
Zaks Y, Frostig E, Levikson B. 2006. Optimal pricing for a given risk level.
ASTIN Bulletin 36(1):161-185. doi: 10.2143/AST.36.1.2014148
28
Lampiran 1 Pembuktian persamaan (14)
Sifat dari ragam, yaitu
[
∑
[
[
Misalkan
[
]
]
[
]
]]
sehingga
[
( [
∑
[
]
∑
[
]
∑
]
( [
]
]
∑
(
[
∑
(
[ ]
∑
]
]
] ]
maka
[
∑
[
[
[
[ ]
]
∑
[ ]
∑
( [
∑
]
( [ ]
[ ]
(
■
29
Lampiran 2 Penentuan solusi optimum dan nilai minimum dari
(
Diketahui nilai minimum dari ∑
merupakan sebuah konstanta positif, maka untuk setiap
adalah nol. Karena
(
sehingga solusi optimumnya adalah
.
Di samping itu,
∑
[
]
Karena nilai minimum ∑
∑
[ ]
∑
(
∑
(
nilai minimum dari
[
]
∑
adalah
[ ]
■
30
Lampiran 3 Pembuktian transformasi masalah 1 menjadi masalah 2
dengan
merupakan fungsi
Anggap
√ (
objektif bagi masalah 2, persamaan tersebut dapat diubah menjadi
(
Kemudian, kendalanya pun dapat diubah
∑
= √
=
√
= ∑
√
Karena diketahui bahwa ∑
menjadi
(
,
∑
, kendala pada masalah 2 dapat diubah
∑
√
∑
■
31
Lampiran 4 Pembuktian ketaksamaan (18)
Akan dibuktikan
‖ ‖
(
Bila diketahui
= √(
‖ ‖
√
√
√
(
∑
∑
)
dapat diperoleh dari
=
√(
= √
√
= √∑
√
√
√
∑
∑
(
)
√∑
√
= √∑
sehingga
√
√
= √
∑
.
Selanjutnya, bila diketahui
‖ ‖ = √(
√
√
√
)(
√
√
√
)
32
‖ ‖ diperoleh dari
‖ ‖ = √(
sehingga ‖ ‖
√
√
= √
∑
)(
√
√
√
√
)
= √∑
. Jadi, terbukti bahwa
‖ ‖
(
(
‖ ‖
∑
∑
dan dapat disimpulkan pula bahwa nilai minimum dari
(
(
∑
∑
■
33
Lampiran 5 Penentuan solusi optimum pada masalah 1
Akan dibuktikan, karena persamaan (21) berlaku, pastilah (18) memiliki
solusi yang tunggal, yaitu
(
Bukti:
Diketahui bahwa
∑
∑
√
)
√
(√
√
,
)
Dari persamaan (18), didapatkan
∑
∑
√
∑
√
∑
√
∑
∑
Solusi optimum yang diperoleh adalah
∑
dan
√
∑
34
Jadi, solusi optimum untuk masalah 1 adalah
dan
(
√
∑
[ ]
(
∑
∑
∑
∑
■
35
Lampiran 6 Penentuan solusi optimum persamaan (25) dengan kendala (24)
Diketahui bahwa solusi optimum untuk masalah 1 adalah
∑
∑
Berdasarkan Falin (2008), didapatkan informasi bahwa setiap peubah yang
terdapat pada solusi optimum dapat disubstitusikan dengan peubah lain yang
bersesuaian, yaitu
�
dengan
Peubah
Penentuan solusi optimum dimulai dengan menuliskan
∑
∑
dan
disubstitusikan berturut-turut dengan
sehingga
∑
Diketahui bahwa ∑
maka
dan
∑
∑
∑
∑
Diketahui pula bahwa
�
maka
∑
�
�
sehingga
dengan
36
Langkah terakhir untuk mendapatkan solusi optimum adalah dengan
dengan
sehingga
menyubstitusikan
dan
�
∑
Dari hasil substitusi tersebut, didapatkan bahwa masalah peminimuman (25)
dengan kendala (24) memiliki solusi tunggal, yaitu
∑
�
■
37
Lampiran 7 Penentuan solusi optimum persamaan (27) dengan kendala (24)
Diketahui bahwa solusi optimum untuk masalah 1 adalah
∑
∑
Berdasarkan Falin (2008), didapatkan informasi bahwa setiap peubah yang
terdapat pada solusi optimum dapat disubstitusikan dengan peubah lain yang
bersesuaian, yaitu
∑
�
dengan
Penentuan solusi optimum dimulai dengan menuliskan
=
∑
dengan
Setiap peubah
disubstitusikan dengan
∑
,
dengan , dan
sehingga
∑
∑
Diketahui bahwa ∑
maka
∑
∑
∑
Diketahui pula bahwa
�
�
maka
∑
�
sehingga
dengan
38
Langkah terakhir untuk mendapatkan solusi optimum adalah dengan
menyubstitusikan
sehingga
∑
�
Dari hasil substitusi tersebut, didapatkan bahwa masalah peminimuman (25)
dengan kendala (24) memiliki solusi tunggal, yaitu
∑
∑
�
�
■
39
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Cianjur, Jawa Barat, pada tanggal 4 Mei 1991. Penulis
merupakan putra kedua dari tiga bersaudara dari Bapak Tjetjep Sunardjaja, Ibu
Utami Dewi (alm.), dan Ibu Ratna Hadijah. Tahun 2008, penulis lulus dari SMA
Negeri 1 Cianjur dan diterima di Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur
Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN). Penulis tercatat
sebagai mahasiswa Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam (FMIPA).
Semasa menjadi mahasiswa, penulis aktif di berbagai kegiatan organisasi
dan kepanitiaan. Penulis tergabung sebagai Staf Departemen Kominfo BEM TPB
45 pada tahun 2009, Ketua Departemen PPSDM BEM FMIPA pada tahun 2010,
Wakil Ketua Umum BEM FMIPA pada tahun 2011, dan Menteri BOS BEM KM
pada tahun 2012. Penulis juga terlibat aktif dalam kepanitiaan seperti dalam
kepanitiaan Masa Perkenalan Kampus Mahasiswa Baru pada tahun 2009, Masa
Perkenalan Fakultas pada tahun 2010, dan Masa Perkenalan Departemen pada
tahun 2011.
Penulis aktif sebagai Asisten Pendidikan Agama Islam TPB IPB Semester
Ganjil pada tahun 2011. Penulis juga pernah menjadi tentor mata kuliah Pengantar
Matematika dan Landasan Matematika untuk Bimbingan Belajar Gumatika pada
tahun 2009, Bimbingan Belajar Katalis Corp. dan Direktorat TPB IPB pada tahun
2013, serta tentor mata pelajaran SMP dan SMA pada tahun 2012.
Penulis pernah mendapat Beasiswa Program Pembinaan Sumber Daya
Manusia Strategis Nurul Fikri (PPSDMS NF) pada tahun 2010-2012. Banyak pula
tulisan penulis yang dimuat media online seperti okezone.com dan detik.com.