ESTIMASI FUNGSI DENSITAS GEMPA TEKTONIK DI JAWABALI
ESTIMASI FUNGSI DENSITAS GEMPA
TEKTONIK DI JAWA-BALI
Oleh
Pumma Purwani
M.0104048
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan
memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2009
ABSTRAK
Pumma Purwani, 2009. Estimasi Fungsi Densitas Gempa Tektonik di Jawa-Bali. Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret.
Gempa tektonik yang terjadi di Jawa-Bali akan memberikan dampak yang signifikan. Gempa
yang terjadi mempunyai fungsi distribusi yang dapat menggambarkan karakteristiknya. Salah satu
metode untuk mengestimasi fungsi distribusi adalah pendekatan kernel nonparametrik.
Tujuan dalam skripsi ini adalah menentukan fungsi distribusi untuk magnitude dan banyak
kejadian gempa tektonik tiap bulan. Data yang digunakan untuk menentukan estimasi fungsi densitas
adalah gempa tektonik yang mempunyai magnitude 5.0-6.9 sR dengan kedalaman
70 km dan banyak
kejadian gempa tektonik tiap bulan.
Berdasarkan pembahasan, diperoleh kesimpulan bahwa estimasi fungsi densitas
magnitude
gempa
tektonik
antara
5.0-6.9
sR
dengan
kedalaman
ﾣ
70
km
untuk
adalah
2
598
� 1 � x − Xi �
�
1
1
fh ( x ) =
exp �− �
�
￥
� 2 �0,278394 �
166, 479612 i=1 2π
��
�
�, gempa tektonik yang terjadi di Jawa-Bali pada
^
tahun 1964-2005 mempunyai nilai estimasi magnitude antara 5.0-5.5 Rs. Estimasi fungsi densitas untuk
2
504
� 1 � x − Xi �
�
1
1
fh ( x ) =
exp �
− �
�
￥
�
� 2 �0,288081 ��
147,192824 i=1 2π
�
�
banyak kejadian gempa tektonik tiap bulan adalah
^
. Gempa tektonik setiap bulan yang terjadi di Jawa-Bali mempunyai frekuensi 0-26 kali.
Kata kunci
: fungsi densitas, gempa tektonik.
ABSRACT
Pumma Purwani, 2009. Tectonic Earthquake Density Function Estimation in Java-Bali. The
Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.
The tectonic earthquake which was happened in Java-Bali would give a significant impact. The
earthquake has a distribution function which describes earthquake characteristic. One of method to
estimate distribution function is kernel nonparametric approach.
The aims of this research are to find density function of magnitude and to find earthquake’s
frequency every month. In order to determine the estimation density function, the data which used
are magnitude 5.0-6.9 Rs with the depth ﾣ 70 km and frequency of earthquake every month.
Based on discussion, the density function estimation of earthquake magnitude is
2
598
� 1 � x − Xi �
�
1
1
fh ( x ) =
exp
−
�
￥
��
� 2�
166, 479612 i=1 2π
0,278394
�
��
�
�, the tectonic earthquakes happened in Java-Bali
^
in 1964-2005 have magnitude estimation between 5.0-5.5 Rs. Density function estimator of frequency
^
fh ( x ) =
of earthquake every month is
2
504
� 1 � x − Xi �
�
1
1
exp
−
� �
�
￥
�
� 2 �0,288081 ��
147,192824 i=1 2π
�
�. The tectonic
earthquake every month happened in Java-Bali in 1964-2005 have frequency 0-26 times.
Key words : density function, tectonic earthquake.
PERSEMBAHAN
Karya sederhana ini penulis persembahkan untuk
•
Bapak dan ibu tercinta
Sebagai wujud terima kasih atas doa, cinta dan dukungannya.
•
Kakak-kakak dan keponakan
Yang selalu memberiku semangat
•
Seseorang yang aku sayangi
Yang selalu memberiku dukungan
•
Sahabat-sahabat sejati
Yang selalu memotivasi penulis untuk menjadi lebih baik.
KATA PENGANTAR
Assalamu’alaaikum Wr. Wb.
Puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya, sehingga
penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul “Estimasi Fungsi Densitas Gempa Tektonik di JawaBali”.
Penulis menyadari bahwa tanpa bantuan dan dukungan dari semua pihak, maka penulis tidak
mungkin dapat menyelesaikan skripsi dengan baik. Pada kesempatan ini penulis menyampaikan rasa
terima kasih dan penghargaan kepada
1. Dra. Respatiwulan, M. Si., Dosen Pembimbing I yang penuh perhatian dan kesabaran
membimbing dan mengarahkan penulis hingga terselesaikannya skripsi ini.
2. Dra. Sri Sulistijowati, M. Si., Dosen Pembimbing II yang telah banyak membantu hingga
terselesaikannya skripsi ini.
3. Dra. Sri Kuntari, M. Si., Pembimbing Akademik yang telah banyak memberi bimbingan dan
pengarahan.
4. Tuning dan Rina, yang memberikan masukkan dan semangatnya.
5. Sahabat-sahabatku, Pipit, Saptini, Surya, Agung yang memberikkan semangat dan bantuannya
sehingga skripsi dapat terselesaikan.
6. Seluruh teman angkatan 2004 dan semua pihak yang telah membantu terselesaikannya skripsi
ini yang tidak dapat penulis tuliskan satu persatu.
Penulis berharap semoga skripsi ini bermanfaat. Amin.
Wassalamu’alaaikum Wr. Wb.
Penulis
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ……………………..………………………………………... i
HALAMAN PENGESAHAN …………..…………………………………………. ii
ABSTRAK ………………………………………………………………..………... iii
ABSTRACT ……………………………………………………………………….. iv
MOTTO ………………………………………………………………………….… v
PERSEMBAHAN ………………………………………………….……………… vi
KATA PENGANTAR ………………………………………..…………………… vii
DAFTAR ISI ……………………………………………..……………………….. viii
DAFTAR TABEL ………………………………………………………………… x
DAFTAR GAMBAR …………………………………………………………….... xi
DAFTAR SIMBOL DAN NOTASI …………………………….………………… xii
BAB I PENDAHULUAN ………………………………………………………. 1
1.1 Latar Belakang Masalah ................................................................... 1
1.2 Rumusan Masalah ............................................................................. 3
1.3 Batasan Masalah …………………………………………………... 3
1.4 Tujuan ……………………………………………………………... 3
1.5 Manfaat ……………………………………………………………. 3
BAB II LANDASAN TEORI …………………………………………………… 4
2.1
Tinjauan Pustaka …………………………………………………... 4
2.1.1 Konsep Dasar Statistika …………………………………….. 4
2.1.2 Sifat-sifat Estimator ………………………………………… 6
2.1.3 Fungsi Kernel .......................................................................... 7
2.2
Kerangka Pemikiran ……………………………………………….. 8
BAB III METODE PENELITIAN ……………………………………………….. 9
BAB IV PEMBAHASAN ………………………………………………………. 10
4.1 Deskripsi Data …………………………………………………….. 10
4.2 Estimasi Densitas Kernel …………………………………………. 11
4.3 Estimator Densitas Kernel Magnitude ……………………………. 15
4.4 Estimator Densitas Kernel Banyak Kejadian Gempa Tiap Bulan ... 16
BAB V PENUTUP ……………………………………………………………… 18
5.1 Kesimpulan ………………………………………………………… 18
5.2 Saran ……………………………………………………………….. 18
DAFTAR PUSTAKA …………………………………………………………….. 19
LAMPIRAN ………………………………………………………………………. 20
DAFTAR TABEL
Tabel 4.1. Nilai probabilitas magnitude …………………………………………… 16
Tabel 4.2. Nliai probabilitas untuk banyaj kejadian gempa tiap bulan ……………. 17
DAFTAR GAMBAR
Gambar 4.1. Plot magnitude gempa ……………………………………………….. 11
Gambar 4.2. Plot banyak kejadian gempa tiap bulan ……………………………… 11
Gambar 4.3. Estimasi densitas kernel Gaussian magnitude dengan h = 0.278394 ... 15
Gambar 4.4. Estimasi densitas kernel Gaussian banyak kejadian gempa dengan
h = 0.288081 …………………………………………………………. 17
DAFTAR SIMBOL DAN NOTASI
∀
: untuk setiap
∃
: terdapat
S
: ruang sampel
Ω
: ruang parameter
P ( .)
: peluang observasi
: mendekati sama dengan
c
: konstanta
: anggota himpunan, elemen
: harga mutlak
: norma (norm)
￥
: sigma, operator penjumlahan
π
: phi
ξ
: xi, interval
n
: jumlah data observasi berukuran n
X
: variabel random
X 1 , X 2 ,K , X n : sampel random
x
: titik estimasi
µ
: mean
h
: lebar interval (binwidth)
f ( .)
: fungsi densitas probabilitas
F ( .)
: fungsi distribusi kumulatif
^
f h ( .)
: estimator fungsi densitas dengan pengaruh lebar interval h
E ( .)
: harga harapan
Var ( .)
: variansi
MSE ( .)
: mean squared error
MISE ( .)
: mean integrated squared error
A − MISE ( .)
: asymptotic mean integrated squared error
K ( .)
: fungsi kernel
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Menurut Hutagalung [3], panas di inti bumi merupakan sumber energi yang menyebabkan
terjadinya gunung berapi, gempa bumi dan retakan atau patahan pada bagian batuan yang lemah.
Retakan ini membuat bumi seolah-olah terpisah dan berkelompok membentuk lempengan yang
mengapung di atas permukaan astenosfer. Gempa bumi adalah proses pelepasan energi panas oleh
batuan bumi yang mengalami regangan atau tekanan setelah mengalami akumulasi dalam jangka waktu
tertentu. Semakin tinggi kekuatan batuan menahan regangan atau tekanan semakin besar pula energi
yang dilepaskan.
Menurut [7] magnitude gempa adalah parameter gempa yang berhubungan dengan besarnya
kekuatan gempa di sumbernya. Pengukuran magnitude gempa yang dilakukan di tempat berbeda
memberikan nilai sama walaupun gempa yang dirasakan berbeda. Skala Richter (sR) yang
dikembangkan oleh Charles Richter tahun 1935 digunakan sebagai ukuran kekuatan gempa.
Intensitas merupakan parameter gempa yang diukur berdasarkan kerusakan yang terjadi.
Intensitas gempa berbeda untuk setiap daerah walaupun pusat gempanya sama, Waluyo [8]. Hal ini
berbeda dengan magnitude, dimana ukuran magnitude gempa yang sama dari tempat yang berbeda
mengakibatkan dampak yang berbeda juga.
Berdasarkan Lee dan Steward [5], gempa dengan magnitude 5.0-6.9 sR dapat menyebabkan
kerusakan dalam area yang luas (
160 km). Di sisi lain bila kedalaman fokus yang merupakan sumber
gempa dari permukaan bumi adalah
ﾣ 70 km, terjadilah gempa dangkal yang menimbulkan efek
goncangan lebih dahsyat dibandingkan dengan kedalaman fokus ﾣ 70 km.
Indonesia yang merupakan daerah aktif gempa berada disepanjang pertemuan lempeng tektonik
Eurasia dengan Indo-Australia yang membentuk busur dari Sumatra, Jawa, Bali, Nusa Tenggara sampai
Maluku dan lempeng Pasifik di bagian utara Irian. Menurut Lea [4] wilayah tersebut merupakan daerah
pertemuan tiga lempeng tektonik yaitu lempeng tektonik Eurasia, lempeng Indo-Australia dan lempeng
Pasifik. Karena gempa tektonik adalah gempa yang terjadi akibat pergeseran lempeng tektonik, wilayah
tersebut merupakan daerah gempa tektonik.
Pulau Jawa dan Bali merupakan pulau yang penting bagi negara Indonesia. Pulau Jawa
merupakan pulau yang mempunyai jumlah penduduk yang terbanyak dibandingkan pulau yang lain.
Pulau Jawa juga merupakan pusat pemerintahan Indonesia. Candi Borobudur dan objek wisata terkenal
lainnya terletak di pulau Jawa. Pulau Bali merupakan objek wisata terkenal lainnya. Dengan demikian,
pulau Jawa-Bali merupakan pusat ekonomi yang berpenduduk relatif terbesar. Gempa bumi di pulau
Jawa-Bali mengakibatkan kerugian yang cukup besar.
Gempa bumi yang terjadi di Jawa-Bali memerlukan suatu model matematis yang dapat
menggambarkan karakteristik gempa tersebut. Menurut Hardle [2], karakteristik dasar dari suatu
variabel random dapat dilihat melalui fungsi densitas probabilitasnya. Dalam penelitian ini variabel
randomnya adalah magnitude dan banyak kejadian gempa tiap bulan.
Fungsi densitas dapat diestimasi dengan dua metode, yaitu pendekatan parametrik dan
pendekatan nonparametrik. Pendekatan nonparametrik dapat digunakan ketika data tidak memberikan
cukup informasi tentang bentuk fungsi densitas yang sebenarnya. Estimasi densitas kernel merupakan
salah satu metode pendekatan fungsi densitas nonparametrik. Pada penulisan skripsi ini akan dikaji
ulang tentang estimasi fungsi densitas melalui kernel. Selanjutnya estimasi fungsi densitas yang
diperoleh akan diterapkan pada data magnitude gempa dan banyak kejadian gempa tiap bulan.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah di atas, maka rumusan masalahnya sebagai berikut.
(1) Bagaimana estimasi fungsi densitas magnitude gempa tektonik di Pulau Jawa-Bali dengan
magnitude 5.0-6.9 sR dan kedalaman fokus ﾣ 70 km?
(2) Bagaimana estimasi fungsi densitas banyak kejadian gempa tektonik tiap bulan di Pulau
Jawa-Bali?
1.3 Batasan Masalah
Dalam penulisan ini, estimasi densitas kernel diasumsikan bahwa fungsi densitas termuat dalam
kelas fungsi yang mempunyai turunan. Kernel yang akan digunakan dalam penelitian ini adalah kernel
Gaussian.
1.4 Tujuan
Tujuan dari penulisan ini adalah menentukan fungsi densitas magnitude dan banyak kejadian
gempa tektonik tiap bulan di Pulau Jawa-Bali.
1.5 Manfaat
Manfaat yang diharapkan dari penulisan ini adalah menambah wawasan dan pengetahuan
tentang fungsi distribusi kernel dan penerapannya pada data gempa bumi yang terjadi di Jawa-Bali
tahun 1964-2005.
BAB II
LANDASAN TEORI
Bab ini dibagi menjadi dua subbab, yaitu tinjauan pustaka dan kerangka pemikiran. Tinjauan
pustaka mengandung beberapa hasil penelitian yang telah dilakukan oleh peneliti terdahulu yang
disajikan dalam bentuk definisi, teorema dan pengertian yang berhubungan dengan pembahasan.
Kerangka pemikiran menggambarkan langkah dan arah penulisan dalam mencapai tujuan penulisan.
2.1 Tinjauan Pustaka
Skripsi ini memerlukan beberapa definisi, teorema dan pengertian yang berhubungan dengan
pembahasan. Pembahasan didasarkan pada teori tentang konsep dasar statistika dan estimasi densitas
kernel.
2.1.1 Konsep Dasar Statistika
Untuk menunjang materi dalam pembahasan diperlukan konsep dasar statistika mengenai ruang
sampel, dan variabel random, fungsi densitas probabilitas yang diambil dari Bain and Engelhardt [1].
Definisi 2.1. Himpunan dari semua hasil (outcome) yang mungkin dari suatu eksperimen disebut
sebagai ruang sampel (sample space), dinotasiakan dengan S.
Ruang sampel dapat berupa ruang sampel diskrit, yaitu ruang sampel dengan jumlah elemen
hingga atau elemen tak hingga terhitung dan ruang sampel kontinu, yaitu ruang sampel dengan elemen
titik-titik dalam interval pada garis bilangan real.
Definisi 2.2. Variabel random X adalah suatu fungsi yang memetakan setiap hasil yang mungkin e
pada ruang sampel S dengan suatu bilangan real x, sedemikian hingga X (e) = x.
Variabel random dibedakan menjadi dua, yaitu variabel random diskrit dan variabel random
kontinu.
Definisi 2.3. Jika himpunan semua nilai yang mungkin dari variabel random X merupakan himpunan
berhingga x1 , K , xn atau x1 , x2 , K , maka X disebut variabel random diskrit. Fungsi
f ( x ) = P [ X = x]
, untuk x1 , x2 ,K
menyatakan probabilitas setiap nilai x yang mungkin disebut fungsi densitas probabilitas diskrit
(discrete probability function).
Jika f (x) merupakan fungsi densitas probabilitas diskrit maka mempunyai sifat
semua
xi
f ( x) ﾣ 0
, untuk
￥f ( x ) = 1
i
, dan
mempunyai sifat
∀xi
f ( x)
. Jika f (x) merupakan fungsi densitas probabilitas kontinu maka
0
f ( x ) dx = 1
, untuk semua x dan
.
−ﾣ
Definisi 2.4. Fungsi distribusi kumulatif (cumulative distribution function) dari variabel random diskrit
X didefinisikan untuk setiap bilangan real x sebagai
F ( x) = P ( X
x)
.
Definisi 2.5. Jika X suatu variabel random diskrit dengan fungsi densitas probabilitas f (x), maka
harga harapan (expected value) dari X didefinisikan sebagai
E ( X ) = ￥xf ( x )
x
.
Definisi 2.6. Variabel random X disebut variabel kontinu jika terdapat fungsi f (x) yang merupakan
fungsi densitas probabilitas dari X, sehingga fungsi distribusi kumulatifnya dapat dinyatakan dengan
BAB III
METODE PENELITIAN
Metode yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah studi kasus. Studi kasus dilakukan
dengan mengumpulkan dan mempelajari referensi berupa artikel, buku, dan jurnal yang dapat
mendukung pembahasan tentang estimasi fungsi densitas gempa kemudian menerapkannya pada
masalah penentuan fungsi densitas gempa. Langkah-langkah yang diambil dalam mengestimasi fungsi
BAB IV
PEMBAHASAN
Karakteristik dari suatu variabel random X dapat diketahui melalui fungsi densitas
probabilitasnya. Sampel yang diambil secara random dari suatu populasi dapat dianalisis melalui
pendekatan parametrik dan pendekatan nonparametrik. Pendekatan parametrik dilakukan dengan
memberikan asumsi bahwa data berdistribusi tertentu. Pendekatan nonparametrik dilakukan tanpa
memberikan asumsi bahwa data berdistribusi tertentu. Data magnitude gempa akan dianalisis
menggunakan estimasi densitas kernel.
4.1 Deskripsi Data
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data gempa tektonik di Jawa-Bali pada tahun
1964 sampai tahun 2005. Data diperoleh dari lab seismik, Departemen Geofisika dan Meteorologi ITB.
Data yang diperoleh meliputi waktu kejadian, magnitude, dan kedalaman gempa. Magnitude
diklasifikasikan menjadi micro earthquake, small earthquake, moderate earthquake, dan major
earthquake. Kedalaman gempa dikelompokkan menjadi shallow earthquake dan deep earthquake.
Shallow earthquake memberikan efek goncangan yang lebih dahsyat dibandingkan deep earthquake,
hal itu dikarenakan sumber gempa lebih dekat dengan permukaan bumi. Dalam penelitian ini diambil
untuk magnitude 5.0-6.9 sR (moderate earthquake) dan kedalaman ﾣ 70 km (shallow eartquake). Plot
data untuk magnitude 5.0-6.9 sR dan kedalaman ﾣ 70 km dapat dilihat pada Gambar 4.1. Plot data
untuk banyak gempa yang terjadi tiap bulan dapat dilihat pada Gambar 4.2.
160
140
Frekuensi
120
100
80
60
40
20
0
5.00
5.20
5.10
5.40
5.30
5.60
5.50
5.80
5.70
6.00
5.90
6.20
6.10
Magnitude
Gambar 4.1 Plot magnitude gempa
6.50
6.30
6.60
80
Frekuensi
60
40
20
0
0
2
1
4
3
6
5
8
7
10
9
12
11
14
13
16
15
19
18
23
20
35
26
176
Banyak kejadian gempa tiap bulan
Gambar 4.2 Plot banyak kejadian gempa tiap bulan
4.2 Estimasi Densitas Kernel
Menurut Hardle [2], estimasi densitas kernel dapat digunakan untuk mengestimasi fungsi
densitas probabilitas nonparametrik dari suatu variabel random. Estimasi densitas kernel untuk estimasi
nilai densitas f (x) pada titik x adalah sebagai berikut
^
f h ( x) =
1 n
￥K h ( x − X i )
n i =1
.
(4.1)
1 �x �
K��
h �h �.
(4.2)
Kernel K didefinisikan sebagai
Kh ( x ) =
Persamaan (4.2) disubstitusikan ke dalam persamaan (4.1), sehingga diperoleh
1 n �x − X i �
f h ( x) =
￥K � �
nh i =1 � h �
^
(4.3)
dimana K disebut fungsi kernel dan h adalah bandwith.
^
Teorema 4.1 (Hardle) Jika
f h ( x)
diberikan oleh persamaan (4.1) dan X i identik maka
�^
�
E �f h ( x ) � f ( x ) K ( s ) ds = f ( x ) ,
�
�
Bukti :
h
0
.
n
�^
� 1
E �f h ( x ) �= ￥E ( K h ( x − X i ) )
�
� n i =1
= E ( Kh ( x − X ) )
= ﾣK h ( x − u ) f ( u ) du
= ﾣK ( s ) f ( x + sh ) ds
Jika u = x + sh dan h
.
0 maka
�^
�
E �f h ( x ) � f ( x ) K ( s ) ds = f ( x )
�
�
.
^
Teorema 4.2 (Hardle) Jika
f h ( x)
diberikan oleh persamaan (4.1) maka bias dinyatakan sebagai
2
�^
� h "
Bias �f h ( x ) �=
f ( x ) µ2 ( K ) + o ( h 2 ) ,
�
� 2
hﾣ 0
(4.4)
Bukti :
�f^ x �= K s f x + sh ds − f x
Bias �
(
)
( )
h( )� ﾣ ( )
�
�
�
�
h2 s2
= ﾣK ( s ) �f ( x ) + shf ' ( x ) +
f " ( x ) + o ( h 2 ) �ds − f ( x )
2
�
�
= f ( x) +
=
dimana
h2 "
f ( x ) µ2 ( K ) + o ( h2 ) − f ( x )
2
h2 "
f ( x ) µ2 ( K ) + o ( h2 )
2
µ 2 ( K ) = ﾣs 2 K ( s ) ds
s=
dan
x − Xi
h .
Dalam persamaan (4.4) diperoleh h kuadrat, sehingga untuk menurunkan nilai bias dipilih nilai h yang
kecil.
Variansi estimasi densitas kernel dihitung untuk mendapatkan kestabilan estimasi.
^
Teorema 4.3 (Hardle) Jika
f h ( x)
diberikan oleh persamaan (4.1) maka variansi dinyatakan sebagai
�^
� 1
Var �f h ( x ) �=
K
�
� nh
2
2
�1 �
f ( x) + o � �
�nh �
(4.5)
Bukti :
n
^
�= 1 Var � K x − X �
Var �
f
x
�h( )� 2
￥ h(
i) �
�
�
� n
�i =1
�
n
1
= 2 ￥Var ( K h ( x − X i ) )
n i =1
1
= Var ( K h ( x − X i ) )
n
2
1
= E�
Kh ( x − X i ) �
Kh ( x − X i ) �
− E�
�
�
�
�
n
{
Jika
(
2�
1 �1
x −u �
2�
�2 K �
�f ( u ) du − ( f ( x ) + o ( h ) ) �
n �h
�h �
=
2�
1 �1
2
� ﾣK ( s ) f ( x + sh ) ds − ( f ( x ) + o ( h ) ) �
n �h
=
1 �1
� K
n �h
2
2
( f ( x) + o ( h) ) − ( f ( x) + o ( h) )
2
�
�
dari persamaan (4.4) dan
K ( s ) f ( x + sh ) ds = �
K ( s ) ds ( f ( x ) + o ( h ) ) =
�
2
}
=
E ( Kh ( x − X ) ) = f ( x ) + o ( h )
2
)
K
2
2
( f ( x) + o ( h) ) .
Sehingga
untuk
nh
diperoleh
�^
� 1
Var �f h ( x ) �=
K
�
� nh
2
2
�1 �
f ( x) + o � �
�nh �
.
Variansi nilainya akan menurun jika dipilih nilai h yang besar. Variansi yang minimum dapat
diperoleh dengan menaikkan nilai h. Hal ini kontradiksi dengan bias yang mempunyai nilai minimum
jika nilai h kecil. Nilai h yang terlalu besar akan menyebabkan estimasi densitas yang terlalu mulus.
Sedangkan nilai h yang terlalu kecil akan menyebabkan estimasi densitas yang tidak mulus. Nilai
minimum MSE terhadap h merupakan langkah untuk mengatasi permasalahan tersebut karena MSE
^
merupakan jumlahan dari bias kuadrat dan variansi. Melalui pendekatan bias dan variansi dari
f h ( x)
diperoleh
2
h4
2
�1 �
�^
� �1 �
MSE �f h ( x ) �= � �f ( x ) K 2 + ( f " ( x ) µ 2 ( K ) ) + o ( h 4 ) + o � �
4
�
� �nh �
�nh �
dan
4
2
2
�1 �
�^
� �1 � 2 h
MISE �f h ( x ) �= � �K 2 + ( µ2 ( K ) ) f " 2 + o ( h 4 ) + o � �
4
�
� �nh �
�nh �
untuk h
0 dan nh
.
�1 �
o ( h4 ) + o � �
�nh �diabaikan, maka didefinisikan sebagai
Jika bagian yang berorder tinggi, yaitu
asymptotic mean squared error (A-MISE), yaitu
4
2
2
�^
� �1 � 2 h
A − MISE �f h ( x ) � � �K 2 + ( µ2 ( K ) ) f " 2
4
�
� �nh �
.
Bandwith
hopt
dapat diperoleh dengan menurunkan A-MISE terhadap parameter h, sehingga
didapatkan
4
2
�
� �
2�
� ^ �
�1 � 2 h
−
+
µ2 ( K ) ) f " 2 �
A
MISE
f
x
K
(
)
(
�
� �
� � 2
�h
�
4
�nh �
�
�
�
�ﾣ �
�
ﾣh
ﾣh
2
2
�1 � 2
ﾣ − � 2 �K 2 + h3 ( µ2 ( K ) ) f " 2
�nh �
�
�
� ^ �
ﾣ �A − MISE �f h ( x ) �
�
�
�
�
�
ﾣ
h
karena fungsi f kontinu dan diferensiabel, maka meminimumkan
dilakukan
�
�
� ^ �
ﾣ �A − MISE �f h ( x ) �
�
�
�
�
�
ﾣh
dengan membuat nilai
menjadi nol sehingga diperoleh
�
�
� ^ �
ﾣ �A − MISE �f h ( x ) �
�
�
�
�
�= 0
ﾣh
2
2
�1 � 2
− � 2 �K 2 + h3 ( µ 2 ( K ) ) f " 2 = 0
�nh �
�1 �
� 2 �K
�nh �
2
2
= h3 ( µ 2 ( K ) )
2
1
2
K 2
h5 = 2 n
2
µ 2 ( K ) f '' 2
2
f"2
.
1
hopt
2
5
1
�
�
K 2
−
�
�
=
ﾣn 5
� f " 2 ( µ2 ( K ) ) 2 n �
� 2
�
.
Bandwidth optimal digunakan untuk mengestimasi fungsi densitas data sehingga diperoleh estimator
fungsi densitas kernel.
4.3 Estimator Densitas Kernel Magnitude
Estimator densitas kernel didefinisikan dalam persamaan (4.1). Nilai
5.0-6.9 sR dan kedalaman fokus
hopt
untuk data magnitude
70 km adalah
hopt = ( 598 )
−
1
5
= 0,278394
.
Oleh karena itu dari persamaan (4.3) dapat dibentuk estimator densitas kernel magnitude 5.0-6.9 sR
dan kedalaman fokus ﾣ 70 km sebagai berikut
598
1
� x − Xi �
fh ( x ) =
K�
￥
166, 479612 i=1 �0,278394 �
�
^
(4.6)
Data diolah menggunakan software S-Plus 3.2 dengan langkah yang disajikan dalam lampiran.
�1
K ( x) =
Estimasi densitas kernel dengan fungsi kernel Gaussian
Pulau Jawa-Bali dengan magnitude 5.0-6.9 sR dan kedalaman fokus
estimasi densitas kernel pada Gambar 4.3.
�
− x2 �
1 �
e� 2 �
2π
pada data gempa tektonik di
70 km menghasilkan grafik
Gambar 4.3. Estimasi Densitas Kernel Gaussian Magnitude dengan h = 0.278394.
Dari Gambar 4.1, dapat dilihat bahwa data berkelompok pada magnitude 5.0-5.5 sR. Hal ini
berarti bahwa sebagian besar gempa tektonik yang terjadi di pulau Jawa-Bali pada tahun 1964-2005
mempunyai estimasi magnitude sebesar 5.0-5.5 sR. Estimasi densitas kernel untuk magnitude
^
�^
�
MSE �f h ( x ) �= 0.76587113
�
�
. Kesimpulan tersebut didukung oleh nilai
mempunyai nilai MSE sebesar
probabilitas pada interval tertentu.
Jumlah observasi yang berada dalam suatu interval
P ( a < x ﾣ b) =
( a, b ]
dihitung sebagai
b ^
f h ( x ) dx
a
.
Densitas juga menginformasikan letak observasi berkelompok maupun pada interval mana obsrevasi
muncul dengan frekuensi relatif tertinggi.
Tabel 4.1. Nilai frekuensi relatif magnitude
Interval (sR)
Frekuensi relatif
5.0-5.5
0.9270253
5.5-6.0
0.1511449
6.0-6.5
0.0144826
6.5-6.9
0.0018517
Dari Tabel 4.1 nilai frekuensi relatif yang terbesar terletak di antara nilai magnitude 5.0-6.9 sR.
4.4 Estimator Densitas Kernel Banyak Kejadian Gempa Tiap Bulan
Estimator densitas kernel didefinisikan dalam persamaan (4.1). Nilai
hopt
untuk data banyak
kejadian gempa tiap bulan adalah
hopt = ( 504 )
−
1
5
= 0,288081
.
Oleh karena itu dari persamaan (4.3) dapat dibentuk estimator densitas kernel banyak kejadian gempa
tiap bulan sebagai berikut
^
fh ( x ) =
504
1
� x − Xi �
K�
￥
145,192824 i=1 �0,288081 �
�
(4.7)
Data diolah menggunakan software S-Plus 3.2 dengan langkah yang disajikan dalam lampiran.
�1
�
− x2 �
1 �
�2 �
K ( x) =
e
2π
Estimasi densitas kernel dengan fungsi kernel Gaussian
pada data gempa tektonik
di Pulau Jawa-Bali untuk data banyak kejadian gempa tiap bulan menghasilkan grafik estimasi densitas
kernel pada Gambar 4.4.
Gambar 4.4. Estimasi Densitas Kernel Gaussian banyak kejadian gempa dengan h = 0.288081.
Dari Gambar 4.4 menunjukkan bahwa data berkelompok untuk banyak kejadian gempa antara
0-26 kali. Hal ini berarti bahwa setiap bulannya pada tahun 1964-2005 di pulau Jawa-Bali terjadi gempa
sebanyak 0-26 kali. Estimasi densitas kernel untuk banyak kejadian gempa tiap bulan mempunyai nilai
^
�^
�
MSE �f h ( x ) �= 0.023011868
�
�
MSE sebesar
.
Tabel 4.2. Nilai frekuensi relatif untuk banyak kejadian gempa tiap bulan
Interval
frekuensi relatif
0-0.29
0.0824511
0.71-1.29
0.1951342
1.71-2.29
0.1539087
2.71-3.29
0.1484119
M
M
22.71-23.29
0.005495344
25.71-26.29
0.002747672
34.71-35.29
0.002747672
175.71-176.29
0.002747672
Dari Tabel 4.2 terlihat bahwa semakin besar nilai intervalnya maka probabilitasnya semakin kecil dan
mendekati nol. Sehingga dapat disimulkan bahwa setiap bulannya terjadi gempa sebanyak 0-26 kali
densitas gempa adalah
1. menyeleksi data gempa yang mempunyai magnitude 5.0-6.9 sR dan kedalaman fokus
70 km,
2. menghitung banyak kejadian gempa tiap bulan,
3. estimasi fungsi densitas magnitude gempa dengan kernel Gaussian,
4. estimasi fungsi densitas banyak kejadian gempa tiap bulan dengan kernel Gaussian,
5. penarikan kesimpulan dan interpretasi dari estimasi fungsi distribusi yang diperoleh.
x
F ( x) =
f ( t ) dt
−
.
Definisi 2.7. Jika X suatu variabel random kontinu dengan fungsi densitas probabilitas f(x), maka
harga harapan dari X didefinisikan sebagai
ﾣ
E( X ) =
ﾣxf ( x ) dx
−ﾣ
.
Definisi 2.8. Variansi dari variabel random X adalah
2
Var ( X ) = E �
( X − µ) �
�
�.
Teorema 2.1. Variansi dari variabel random X dinyatakan dengan
Var ( X ) = E ( X 2 ) − ( E ( X ) ) = E ( X 2 ) − µ 2
2
.
Variansi merupakan suatu ukuran dari keragaman atau penyebaran di dalam distribusi dari variabel
random.
2.1.2 Sifat-sifat Estimator
Diberikan definisi tentang statistik, estimator tak bias, estimator bias, dan MSE.
Definisi 2.9. Statistik
T = t ( X 1 , X 2 ,K , X n )
disebut estimator dari
τ (θ )
yang digunakan untuk mengestimasi nilai dari
dan nilai dari statistik
Selanjutnya estimator T dinotasikan dengan
τ (θ )
t = t ( x1 , x2 ,K , xn )
disebut estimasi dari
τ (θ )
τ (θ )
.
.
^
Definisi 2.10. Misal Ω adalah ruang parameter. Estimator θ dikatakan sebagai estimator tak bias
dari
τ (θ )
jika
�^ �
E�
θ �= τ ( θ )
��
^
τ (θ )
untuk semua θ �Ω . Jika tidak demikian, θ dikatakan sebagai estimator bias dari
.
^
τ (θ )
Definisi 2.11. Jika θ adalah estimator dari
, maka bias dinyatakan dengan
�^ � �^ �
b�
θ �= E �
θ �− τ ( θ )
�� ��
^
dan mean square error (MSE) dari θ dinyatakan dengan
2
�^ � �^
MSE �
θ �= E �
θ −τ ( θ ) �
�
�� �
�
.
^
τ (θ )
Teorema 2.2 Jika θ adalah estimator dari
, maka
^
2
�^ �
MSE �
θ �= Var �
θ�
b(θ ) �
�
�+ �
�
�
��
��
.
MSE merupakan jumlahan dari variansi dan bias kuadrat serta digunakan sebagai ukuran keakuratan
suatu estimasi.
2.1.3 Estimasi Densitas Kernel
Menurut Menardi [6], estimator fungsi densitas kernel untuk estimasi nilai densitas
f ( x)
pada
titik x didefinisikan sebagai berikut
^
f h ( x) =
1 n
1 n �x − X i �
K
x
−
X
=
(
)
￥h
￥K � �
i
n i =1
nh i =1 � h �
dengan K disebut fungsi kernel dan h adalah bandwith.
Salah satu fungsi kernel yang sering digunakan adalah kernel Gaussian. Bentuk kernel Gaussian
adalah sebagai berikut
�1
�
− x2 �
1 �
K ( x) =
e� 2 �
2π
.
2.2 Kerangka Pemikiran
Karakteristik dari suatu variabel random X dapat diketahui melalui fungsi densitas
probabilitasnya. Estimasi dari fungsi densitas yang tidak diketahui dapat dilakukan melalui pendekatan
nonparametrik yaitu menggunakan kernel. Estimasi fungsi densitas kernel tergantung pada pemilihan
lebar jendela h dan fungsi kernel K. Estimasi fungsi densitas yang diperoleh akan diterapkan pada data
magnitude dan banyak kejadian gempa tektonik di Jawa-Bali.
BAB V
PENUTUP
5.1
Kesimpulan
Berdasarkan uraian dalam pembahasan diperoleh kesimpulan tentang estimasi fungsi densitas
magnitude dan banyak kejadian gempa tektonik tiap bulan di Jawa-Bali sebagai berikut.
1. Estimator fungsi densitas kernel Gaussian untuk magnitude 5.0-6.9 sR dan kedalaman fokus
70 km adalah
DAFTAR PUSTAKA
[1] Bain, L. J. and M. Engelhardt, Introduction to probability and mathematical statistics, 2 ed.,
Duxbury Press Belmont, California, 1992.
[2] Hardle, W., Smoothing techniques with implementation in S, Springer-Verlag, New York, 1990.
[3] Hutagalung, R., Prediksi tentang gempa-tsunami di Bali, http:// www. dbriptek. ristek. go.
id/cgi/gempa, 2007.
[4] Lea, Menguak misteri gempa di pulau Jawa, www.technologyindonesia.com/ downlodphp?
file=Gempa, 2008.
[5] Lee, W. H. K. and S. W. Steward, Principles and applications of microearthquake networks,
Academic Press, Inc., New York, 1981.
[6] Menardi, G., Variable kernel density function, http://geovani.menardi.net/ variable kernel density
function.spontanee%202006_579_582.pdf, 2008.
[7] Waluyo, Gempa, Hand out kuliah, Geofisika, UGM, Jogjakarta, 2006.
[8] Richter magnitude scale, http://en.wikipedia.org/wiki Richter magnitude scale, 2008.
^
fh ( x ) =
598
1
� x − Xi �
K�
￥
166, 479612 i=1 �0,278394 �
�.
Menurut plot estimator fungsi densitas magnitude gempa tektonik yang terjadi di Jawa-Bali
pada tahun 1964-2005 mempunyai estimasi magnitude antara 5.0-5.5 sR.
2. Estimator fungsi densitas kernel Gaussian untuk banyak kejadian gempa tektonik tiap bulan
adalah
^
fh ( x ) =
504
1
� x − Xi �
K�
￥
145,192824 i=1 �0,288081 �
�.
Menurut plot estimator fungsi densitas untuk banyak kejadian gempa tiap bulan yang terjadi di
Jawa-Bali pada tahun 1964-2005 mempunyai estimasi frekuensi terjadi gempa sebesar 0-26 kali
tiap bulan.
5.2
Saran
Dalam tulisan ini penulis mengkaji tentang estimasi fungsi densitas dengan menggunakan
kernel Gaussian. Kepada pembaca yang ingin mengembangkan estimasi densitas, penulis memberikan
saran menggunakan estimasi densitas kernel menyesuaikan (Adaptive Kernel Density Estimation) atau
menggunakan histogram WARPing untuk membandingkan metode mana yang lebih baik.
TEKTONIK DI JAWA-BALI
Oleh
Pumma Purwani
M.0104048
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan
memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2009
ABSTRAK
Pumma Purwani, 2009. Estimasi Fungsi Densitas Gempa Tektonik di Jawa-Bali. Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret.
Gempa tektonik yang terjadi di Jawa-Bali akan memberikan dampak yang signifikan. Gempa
yang terjadi mempunyai fungsi distribusi yang dapat menggambarkan karakteristiknya. Salah satu
metode untuk mengestimasi fungsi distribusi adalah pendekatan kernel nonparametrik.
Tujuan dalam skripsi ini adalah menentukan fungsi distribusi untuk magnitude dan banyak
kejadian gempa tektonik tiap bulan. Data yang digunakan untuk menentukan estimasi fungsi densitas
adalah gempa tektonik yang mempunyai magnitude 5.0-6.9 sR dengan kedalaman
70 km dan banyak
kejadian gempa tektonik tiap bulan.
Berdasarkan pembahasan, diperoleh kesimpulan bahwa estimasi fungsi densitas
magnitude
gempa
tektonik
antara
5.0-6.9
sR
dengan
kedalaman
ﾣ
70
km
untuk
adalah
2
598
� 1 � x − Xi �
�
1
1
fh ( x ) =
exp �− �
�
￥
� 2 �0,278394 �
166, 479612 i=1 2π
��
�
�, gempa tektonik yang terjadi di Jawa-Bali pada
^
tahun 1964-2005 mempunyai nilai estimasi magnitude antara 5.0-5.5 Rs. Estimasi fungsi densitas untuk
2
504
� 1 � x − Xi �
�
1
1
fh ( x ) =
exp �
− �
�
￥
�
� 2 �0,288081 ��
147,192824 i=1 2π
�
�
banyak kejadian gempa tektonik tiap bulan adalah
^
. Gempa tektonik setiap bulan yang terjadi di Jawa-Bali mempunyai frekuensi 0-26 kali.
Kata kunci
: fungsi densitas, gempa tektonik.
ABSRACT
Pumma Purwani, 2009. Tectonic Earthquake Density Function Estimation in Java-Bali. The
Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.
The tectonic earthquake which was happened in Java-Bali would give a significant impact. The
earthquake has a distribution function which describes earthquake characteristic. One of method to
estimate distribution function is kernel nonparametric approach.
The aims of this research are to find density function of magnitude and to find earthquake’s
frequency every month. In order to determine the estimation density function, the data which used
are magnitude 5.0-6.9 Rs with the depth ﾣ 70 km and frequency of earthquake every month.
Based on discussion, the density function estimation of earthquake magnitude is
2
598
� 1 � x − Xi �
�
1
1
fh ( x ) =
exp
−
�
￥
��
� 2�
166, 479612 i=1 2π
0,278394
�
��
�
�, the tectonic earthquakes happened in Java-Bali
^
in 1964-2005 have magnitude estimation between 5.0-5.5 Rs. Density function estimator of frequency
^
fh ( x ) =
of earthquake every month is
2
504
� 1 � x − Xi �
�
1
1
exp
−
� �
�
￥
�
� 2 �0,288081 ��
147,192824 i=1 2π
�
�. The tectonic
earthquake every month happened in Java-Bali in 1964-2005 have frequency 0-26 times.
Key words : density function, tectonic earthquake.
PERSEMBAHAN
Karya sederhana ini penulis persembahkan untuk
•
Bapak dan ibu tercinta
Sebagai wujud terima kasih atas doa, cinta dan dukungannya.
•
Kakak-kakak dan keponakan
Yang selalu memberiku semangat
•
Seseorang yang aku sayangi
Yang selalu memberiku dukungan
•
Sahabat-sahabat sejati
Yang selalu memotivasi penulis untuk menjadi lebih baik.
KATA PENGANTAR
Assalamu’alaaikum Wr. Wb.
Puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya, sehingga
penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul “Estimasi Fungsi Densitas Gempa Tektonik di JawaBali”.
Penulis menyadari bahwa tanpa bantuan dan dukungan dari semua pihak, maka penulis tidak
mungkin dapat menyelesaikan skripsi dengan baik. Pada kesempatan ini penulis menyampaikan rasa
terima kasih dan penghargaan kepada
1. Dra. Respatiwulan, M. Si., Dosen Pembimbing I yang penuh perhatian dan kesabaran
membimbing dan mengarahkan penulis hingga terselesaikannya skripsi ini.
2. Dra. Sri Sulistijowati, M. Si., Dosen Pembimbing II yang telah banyak membantu hingga
terselesaikannya skripsi ini.
3. Dra. Sri Kuntari, M. Si., Pembimbing Akademik yang telah banyak memberi bimbingan dan
pengarahan.
4. Tuning dan Rina, yang memberikan masukkan dan semangatnya.
5. Sahabat-sahabatku, Pipit, Saptini, Surya, Agung yang memberikkan semangat dan bantuannya
sehingga skripsi dapat terselesaikan.
6. Seluruh teman angkatan 2004 dan semua pihak yang telah membantu terselesaikannya skripsi
ini yang tidak dapat penulis tuliskan satu persatu.
Penulis berharap semoga skripsi ini bermanfaat. Amin.
Wassalamu’alaaikum Wr. Wb.
Penulis
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ……………………..………………………………………... i
HALAMAN PENGESAHAN …………..…………………………………………. ii
ABSTRAK ………………………………………………………………..………... iii
ABSTRACT ……………………………………………………………………….. iv
MOTTO ………………………………………………………………………….… v
PERSEMBAHAN ………………………………………………….……………… vi
KATA PENGANTAR ………………………………………..…………………… vii
DAFTAR ISI ……………………………………………..……………………….. viii
DAFTAR TABEL ………………………………………………………………… x
DAFTAR GAMBAR …………………………………………………………….... xi
DAFTAR SIMBOL DAN NOTASI …………………………….………………… xii
BAB I PENDAHULUAN ………………………………………………………. 1
1.1 Latar Belakang Masalah ................................................................... 1
1.2 Rumusan Masalah ............................................................................. 3
1.3 Batasan Masalah …………………………………………………... 3
1.4 Tujuan ……………………………………………………………... 3
1.5 Manfaat ……………………………………………………………. 3
BAB II LANDASAN TEORI …………………………………………………… 4
2.1
Tinjauan Pustaka …………………………………………………... 4
2.1.1 Konsep Dasar Statistika …………………………………….. 4
2.1.2 Sifat-sifat Estimator ………………………………………… 6
2.1.3 Fungsi Kernel .......................................................................... 7
2.2
Kerangka Pemikiran ……………………………………………….. 8
BAB III METODE PENELITIAN ……………………………………………….. 9
BAB IV PEMBAHASAN ………………………………………………………. 10
4.1 Deskripsi Data …………………………………………………….. 10
4.2 Estimasi Densitas Kernel …………………………………………. 11
4.3 Estimator Densitas Kernel Magnitude ……………………………. 15
4.4 Estimator Densitas Kernel Banyak Kejadian Gempa Tiap Bulan ... 16
BAB V PENUTUP ……………………………………………………………… 18
5.1 Kesimpulan ………………………………………………………… 18
5.2 Saran ……………………………………………………………….. 18
DAFTAR PUSTAKA …………………………………………………………….. 19
LAMPIRAN ………………………………………………………………………. 20
DAFTAR TABEL
Tabel 4.1. Nilai probabilitas magnitude …………………………………………… 16
Tabel 4.2. Nliai probabilitas untuk banyaj kejadian gempa tiap bulan ……………. 17
DAFTAR GAMBAR
Gambar 4.1. Plot magnitude gempa ……………………………………………….. 11
Gambar 4.2. Plot banyak kejadian gempa tiap bulan ……………………………… 11
Gambar 4.3. Estimasi densitas kernel Gaussian magnitude dengan h = 0.278394 ... 15
Gambar 4.4. Estimasi densitas kernel Gaussian banyak kejadian gempa dengan
h = 0.288081 …………………………………………………………. 17
DAFTAR SIMBOL DAN NOTASI
∀
: untuk setiap
∃
: terdapat
S
: ruang sampel
Ω
: ruang parameter
P ( .)
: peluang observasi
: mendekati sama dengan
c
: konstanta
: anggota himpunan, elemen
: harga mutlak
: norma (norm)
￥
: sigma, operator penjumlahan
π
: phi
ξ
: xi, interval
n
: jumlah data observasi berukuran n
X
: variabel random
X 1 , X 2 ,K , X n : sampel random
x
: titik estimasi
µ
: mean
h
: lebar interval (binwidth)
f ( .)
: fungsi densitas probabilitas
F ( .)
: fungsi distribusi kumulatif
^
f h ( .)
: estimator fungsi densitas dengan pengaruh lebar interval h
E ( .)
: harga harapan
Var ( .)
: variansi
MSE ( .)
: mean squared error
MISE ( .)
: mean integrated squared error
A − MISE ( .)
: asymptotic mean integrated squared error
K ( .)
: fungsi kernel
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Menurut Hutagalung [3], panas di inti bumi merupakan sumber energi yang menyebabkan
terjadinya gunung berapi, gempa bumi dan retakan atau patahan pada bagian batuan yang lemah.
Retakan ini membuat bumi seolah-olah terpisah dan berkelompok membentuk lempengan yang
mengapung di atas permukaan astenosfer. Gempa bumi adalah proses pelepasan energi panas oleh
batuan bumi yang mengalami regangan atau tekanan setelah mengalami akumulasi dalam jangka waktu
tertentu. Semakin tinggi kekuatan batuan menahan regangan atau tekanan semakin besar pula energi
yang dilepaskan.
Menurut [7] magnitude gempa adalah parameter gempa yang berhubungan dengan besarnya
kekuatan gempa di sumbernya. Pengukuran magnitude gempa yang dilakukan di tempat berbeda
memberikan nilai sama walaupun gempa yang dirasakan berbeda. Skala Richter (sR) yang
dikembangkan oleh Charles Richter tahun 1935 digunakan sebagai ukuran kekuatan gempa.
Intensitas merupakan parameter gempa yang diukur berdasarkan kerusakan yang terjadi.
Intensitas gempa berbeda untuk setiap daerah walaupun pusat gempanya sama, Waluyo [8]. Hal ini
berbeda dengan magnitude, dimana ukuran magnitude gempa yang sama dari tempat yang berbeda
mengakibatkan dampak yang berbeda juga.
Berdasarkan Lee dan Steward [5], gempa dengan magnitude 5.0-6.9 sR dapat menyebabkan
kerusakan dalam area yang luas (
160 km). Di sisi lain bila kedalaman fokus yang merupakan sumber
gempa dari permukaan bumi adalah
ﾣ 70 km, terjadilah gempa dangkal yang menimbulkan efek
goncangan lebih dahsyat dibandingkan dengan kedalaman fokus ﾣ 70 km.
Indonesia yang merupakan daerah aktif gempa berada disepanjang pertemuan lempeng tektonik
Eurasia dengan Indo-Australia yang membentuk busur dari Sumatra, Jawa, Bali, Nusa Tenggara sampai
Maluku dan lempeng Pasifik di bagian utara Irian. Menurut Lea [4] wilayah tersebut merupakan daerah
pertemuan tiga lempeng tektonik yaitu lempeng tektonik Eurasia, lempeng Indo-Australia dan lempeng
Pasifik. Karena gempa tektonik adalah gempa yang terjadi akibat pergeseran lempeng tektonik, wilayah
tersebut merupakan daerah gempa tektonik.
Pulau Jawa dan Bali merupakan pulau yang penting bagi negara Indonesia. Pulau Jawa
merupakan pulau yang mempunyai jumlah penduduk yang terbanyak dibandingkan pulau yang lain.
Pulau Jawa juga merupakan pusat pemerintahan Indonesia. Candi Borobudur dan objek wisata terkenal
lainnya terletak di pulau Jawa. Pulau Bali merupakan objek wisata terkenal lainnya. Dengan demikian,
pulau Jawa-Bali merupakan pusat ekonomi yang berpenduduk relatif terbesar. Gempa bumi di pulau
Jawa-Bali mengakibatkan kerugian yang cukup besar.
Gempa bumi yang terjadi di Jawa-Bali memerlukan suatu model matematis yang dapat
menggambarkan karakteristik gempa tersebut. Menurut Hardle [2], karakteristik dasar dari suatu
variabel random dapat dilihat melalui fungsi densitas probabilitasnya. Dalam penelitian ini variabel
randomnya adalah magnitude dan banyak kejadian gempa tiap bulan.
Fungsi densitas dapat diestimasi dengan dua metode, yaitu pendekatan parametrik dan
pendekatan nonparametrik. Pendekatan nonparametrik dapat digunakan ketika data tidak memberikan
cukup informasi tentang bentuk fungsi densitas yang sebenarnya. Estimasi densitas kernel merupakan
salah satu metode pendekatan fungsi densitas nonparametrik. Pada penulisan skripsi ini akan dikaji
ulang tentang estimasi fungsi densitas melalui kernel. Selanjutnya estimasi fungsi densitas yang
diperoleh akan diterapkan pada data magnitude gempa dan banyak kejadian gempa tiap bulan.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah di atas, maka rumusan masalahnya sebagai berikut.
(1) Bagaimana estimasi fungsi densitas magnitude gempa tektonik di Pulau Jawa-Bali dengan
magnitude 5.0-6.9 sR dan kedalaman fokus ﾣ 70 km?
(2) Bagaimana estimasi fungsi densitas banyak kejadian gempa tektonik tiap bulan di Pulau
Jawa-Bali?
1.3 Batasan Masalah
Dalam penulisan ini, estimasi densitas kernel diasumsikan bahwa fungsi densitas termuat dalam
kelas fungsi yang mempunyai turunan. Kernel yang akan digunakan dalam penelitian ini adalah kernel
Gaussian.
1.4 Tujuan
Tujuan dari penulisan ini adalah menentukan fungsi densitas magnitude dan banyak kejadian
gempa tektonik tiap bulan di Pulau Jawa-Bali.
1.5 Manfaat
Manfaat yang diharapkan dari penulisan ini adalah menambah wawasan dan pengetahuan
tentang fungsi distribusi kernel dan penerapannya pada data gempa bumi yang terjadi di Jawa-Bali
tahun 1964-2005.
BAB II
LANDASAN TEORI
Bab ini dibagi menjadi dua subbab, yaitu tinjauan pustaka dan kerangka pemikiran. Tinjauan
pustaka mengandung beberapa hasil penelitian yang telah dilakukan oleh peneliti terdahulu yang
disajikan dalam bentuk definisi, teorema dan pengertian yang berhubungan dengan pembahasan.
Kerangka pemikiran menggambarkan langkah dan arah penulisan dalam mencapai tujuan penulisan.
2.1 Tinjauan Pustaka
Skripsi ini memerlukan beberapa definisi, teorema dan pengertian yang berhubungan dengan
pembahasan. Pembahasan didasarkan pada teori tentang konsep dasar statistika dan estimasi densitas
kernel.
2.1.1 Konsep Dasar Statistika
Untuk menunjang materi dalam pembahasan diperlukan konsep dasar statistika mengenai ruang
sampel, dan variabel random, fungsi densitas probabilitas yang diambil dari Bain and Engelhardt [1].
Definisi 2.1. Himpunan dari semua hasil (outcome) yang mungkin dari suatu eksperimen disebut
sebagai ruang sampel (sample space), dinotasiakan dengan S.
Ruang sampel dapat berupa ruang sampel diskrit, yaitu ruang sampel dengan jumlah elemen
hingga atau elemen tak hingga terhitung dan ruang sampel kontinu, yaitu ruang sampel dengan elemen
titik-titik dalam interval pada garis bilangan real.
Definisi 2.2. Variabel random X adalah suatu fungsi yang memetakan setiap hasil yang mungkin e
pada ruang sampel S dengan suatu bilangan real x, sedemikian hingga X (e) = x.
Variabel random dibedakan menjadi dua, yaitu variabel random diskrit dan variabel random
kontinu.
Definisi 2.3. Jika himpunan semua nilai yang mungkin dari variabel random X merupakan himpunan
berhingga x1 , K , xn atau x1 , x2 , K , maka X disebut variabel random diskrit. Fungsi
f ( x ) = P [ X = x]
, untuk x1 , x2 ,K
menyatakan probabilitas setiap nilai x yang mungkin disebut fungsi densitas probabilitas diskrit
(discrete probability function).
Jika f (x) merupakan fungsi densitas probabilitas diskrit maka mempunyai sifat
semua
xi
f ( x) ﾣ 0
, untuk
￥f ( x ) = 1
i
, dan
mempunyai sifat
∀xi
f ( x)
. Jika f (x) merupakan fungsi densitas probabilitas kontinu maka
0
f ( x ) dx = 1
, untuk semua x dan
.
−ﾣ
Definisi 2.4. Fungsi distribusi kumulatif (cumulative distribution function) dari variabel random diskrit
X didefinisikan untuk setiap bilangan real x sebagai
F ( x) = P ( X
x)
.
Definisi 2.5. Jika X suatu variabel random diskrit dengan fungsi densitas probabilitas f (x), maka
harga harapan (expected value) dari X didefinisikan sebagai
E ( X ) = ￥xf ( x )
x
.
Definisi 2.6. Variabel random X disebut variabel kontinu jika terdapat fungsi f (x) yang merupakan
fungsi densitas probabilitas dari X, sehingga fungsi distribusi kumulatifnya dapat dinyatakan dengan
BAB III
METODE PENELITIAN
Metode yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah studi kasus. Studi kasus dilakukan
dengan mengumpulkan dan mempelajari referensi berupa artikel, buku, dan jurnal yang dapat
mendukung pembahasan tentang estimasi fungsi densitas gempa kemudian menerapkannya pada
masalah penentuan fungsi densitas gempa. Langkah-langkah yang diambil dalam mengestimasi fungsi
BAB IV
PEMBAHASAN
Karakteristik dari suatu variabel random X dapat diketahui melalui fungsi densitas
probabilitasnya. Sampel yang diambil secara random dari suatu populasi dapat dianalisis melalui
pendekatan parametrik dan pendekatan nonparametrik. Pendekatan parametrik dilakukan dengan
memberikan asumsi bahwa data berdistribusi tertentu. Pendekatan nonparametrik dilakukan tanpa
memberikan asumsi bahwa data berdistribusi tertentu. Data magnitude gempa akan dianalisis
menggunakan estimasi densitas kernel.
4.1 Deskripsi Data
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data gempa tektonik di Jawa-Bali pada tahun
1964 sampai tahun 2005. Data diperoleh dari lab seismik, Departemen Geofisika dan Meteorologi ITB.
Data yang diperoleh meliputi waktu kejadian, magnitude, dan kedalaman gempa. Magnitude
diklasifikasikan menjadi micro earthquake, small earthquake, moderate earthquake, dan major
earthquake. Kedalaman gempa dikelompokkan menjadi shallow earthquake dan deep earthquake.
Shallow earthquake memberikan efek goncangan yang lebih dahsyat dibandingkan deep earthquake,
hal itu dikarenakan sumber gempa lebih dekat dengan permukaan bumi. Dalam penelitian ini diambil
untuk magnitude 5.0-6.9 sR (moderate earthquake) dan kedalaman ﾣ 70 km (shallow eartquake). Plot
data untuk magnitude 5.0-6.9 sR dan kedalaman ﾣ 70 km dapat dilihat pada Gambar 4.1. Plot data
untuk banyak gempa yang terjadi tiap bulan dapat dilihat pada Gambar 4.2.
160
140
Frekuensi
120
100
80
60
40
20
0
5.00
5.20
5.10
5.40
5.30
5.60
5.50
5.80
5.70
6.00
5.90
6.20
6.10
Magnitude
Gambar 4.1 Plot magnitude gempa
6.50
6.30
6.60
80
Frekuensi
60
40
20
0
0
2
1
4
3
6
5
8
7
10
9
12
11
14
13
16
15
19
18
23
20
35
26
176
Banyak kejadian gempa tiap bulan
Gambar 4.2 Plot banyak kejadian gempa tiap bulan
4.2 Estimasi Densitas Kernel
Menurut Hardle [2], estimasi densitas kernel dapat digunakan untuk mengestimasi fungsi
densitas probabilitas nonparametrik dari suatu variabel random. Estimasi densitas kernel untuk estimasi
nilai densitas f (x) pada titik x adalah sebagai berikut
^
f h ( x) =
1 n
￥K h ( x − X i )
n i =1
.
(4.1)
1 �x �
K��
h �h �.
(4.2)
Kernel K didefinisikan sebagai
Kh ( x ) =
Persamaan (4.2) disubstitusikan ke dalam persamaan (4.1), sehingga diperoleh
1 n �x − X i �
f h ( x) =
￥K � �
nh i =1 � h �
^
(4.3)
dimana K disebut fungsi kernel dan h adalah bandwith.
^
Teorema 4.1 (Hardle) Jika
f h ( x)
diberikan oleh persamaan (4.1) dan X i identik maka
�^
�
E �f h ( x ) � f ( x ) K ( s ) ds = f ( x ) ,
�
�
Bukti :
h
0
.
n
�^
� 1
E �f h ( x ) �= ￥E ( K h ( x − X i ) )
�
� n i =1
= E ( Kh ( x − X ) )
= ﾣK h ( x − u ) f ( u ) du
= ﾣK ( s ) f ( x + sh ) ds
Jika u = x + sh dan h
.
0 maka
�^
�
E �f h ( x ) � f ( x ) K ( s ) ds = f ( x )
�
�
.
^
Teorema 4.2 (Hardle) Jika
f h ( x)
diberikan oleh persamaan (4.1) maka bias dinyatakan sebagai
2
�^
� h "
Bias �f h ( x ) �=
f ( x ) µ2 ( K ) + o ( h 2 ) ,
�
� 2
hﾣ 0
(4.4)
Bukti :
�f^ x �= K s f x + sh ds − f x
Bias �
(
)
( )
h( )� ﾣ ( )
�
�
�
�
h2 s2
= ﾣK ( s ) �f ( x ) + shf ' ( x ) +
f " ( x ) + o ( h 2 ) �ds − f ( x )
2
�
�
= f ( x) +
=
dimana
h2 "
f ( x ) µ2 ( K ) + o ( h2 ) − f ( x )
2
h2 "
f ( x ) µ2 ( K ) + o ( h2 )
2
µ 2 ( K ) = ﾣs 2 K ( s ) ds
s=
dan
x − Xi
h .
Dalam persamaan (4.4) diperoleh h kuadrat, sehingga untuk menurunkan nilai bias dipilih nilai h yang
kecil.
Variansi estimasi densitas kernel dihitung untuk mendapatkan kestabilan estimasi.
^
Teorema 4.3 (Hardle) Jika
f h ( x)
diberikan oleh persamaan (4.1) maka variansi dinyatakan sebagai
�^
� 1
Var �f h ( x ) �=
K
�
� nh
2
2
�1 �
f ( x) + o � �
�nh �
(4.5)
Bukti :
n
^
�= 1 Var � K x − X �
Var �
f
x
�h( )� 2
￥ h(
i) �
�
�
� n
�i =1
�
n
1
= 2 ￥Var ( K h ( x − X i ) )
n i =1
1
= Var ( K h ( x − X i ) )
n
2
1
= E�
Kh ( x − X i ) �
Kh ( x − X i ) �
− E�
�
�
�
�
n
{
Jika
(
2�
1 �1
x −u �
2�
�2 K �
�f ( u ) du − ( f ( x ) + o ( h ) ) �
n �h
�h �
=
2�
1 �1
2
� ﾣK ( s ) f ( x + sh ) ds − ( f ( x ) + o ( h ) ) �
n �h
=
1 �1
� K
n �h
2
2
( f ( x) + o ( h) ) − ( f ( x) + o ( h) )
2
�
�
dari persamaan (4.4) dan
K ( s ) f ( x + sh ) ds = �
K ( s ) ds ( f ( x ) + o ( h ) ) =
�
2
}
=
E ( Kh ( x − X ) ) = f ( x ) + o ( h )
2
)
K
2
2
( f ( x) + o ( h) ) .
Sehingga
untuk
nh
diperoleh
�^
� 1
Var �f h ( x ) �=
K
�
� nh
2
2
�1 �
f ( x) + o � �
�nh �
.
Variansi nilainya akan menurun jika dipilih nilai h yang besar. Variansi yang minimum dapat
diperoleh dengan menaikkan nilai h. Hal ini kontradiksi dengan bias yang mempunyai nilai minimum
jika nilai h kecil. Nilai h yang terlalu besar akan menyebabkan estimasi densitas yang terlalu mulus.
Sedangkan nilai h yang terlalu kecil akan menyebabkan estimasi densitas yang tidak mulus. Nilai
minimum MSE terhadap h merupakan langkah untuk mengatasi permasalahan tersebut karena MSE
^
merupakan jumlahan dari bias kuadrat dan variansi. Melalui pendekatan bias dan variansi dari
f h ( x)
diperoleh
2
h4
2
�1 �
�^
� �1 �
MSE �f h ( x ) �= � �f ( x ) K 2 + ( f " ( x ) µ 2 ( K ) ) + o ( h 4 ) + o � �
4
�
� �nh �
�nh �
dan
4
2
2
�1 �
�^
� �1 � 2 h
MISE �f h ( x ) �= � �K 2 + ( µ2 ( K ) ) f " 2 + o ( h 4 ) + o � �
4
�
� �nh �
�nh �
untuk h
0 dan nh
.
�1 �
o ( h4 ) + o � �
�nh �diabaikan, maka didefinisikan sebagai
Jika bagian yang berorder tinggi, yaitu
asymptotic mean squared error (A-MISE), yaitu
4
2
2
�^
� �1 � 2 h
A − MISE �f h ( x ) � � �K 2 + ( µ2 ( K ) ) f " 2
4
�
� �nh �
.
Bandwith
hopt
dapat diperoleh dengan menurunkan A-MISE terhadap parameter h, sehingga
didapatkan
4
2
�
� �
2�
� ^ �
�1 � 2 h
−
+
µ2 ( K ) ) f " 2 �
A
MISE
f
x
K
(
)
(
�
� �
� � 2
�h
�
4
�nh �
�
�
�
�ﾣ �
�
ﾣh
ﾣh
2
2
�1 � 2
ﾣ − � 2 �K 2 + h3 ( µ2 ( K ) ) f " 2
�nh �
�
�
� ^ �
ﾣ �A − MISE �f h ( x ) �
�
�
�
�
�
ﾣ
h
karena fungsi f kontinu dan diferensiabel, maka meminimumkan
dilakukan
�
�
� ^ �
ﾣ �A − MISE �f h ( x ) �
�
�
�
�
�
ﾣh
dengan membuat nilai
menjadi nol sehingga diperoleh
�
�
� ^ �
ﾣ �A − MISE �f h ( x ) �
�
�
�
�
�= 0
ﾣh
2
2
�1 � 2
− � 2 �K 2 + h3 ( µ 2 ( K ) ) f " 2 = 0
�nh �
�1 �
� 2 �K
�nh �
2
2
= h3 ( µ 2 ( K ) )
2
1
2
K 2
h5 = 2 n
2
µ 2 ( K ) f '' 2
2
f"2
.
1
hopt
2
5
1
�
�
K 2
−
�
�
=
ﾣn 5
� f " 2 ( µ2 ( K ) ) 2 n �
� 2
�
.
Bandwidth optimal digunakan untuk mengestimasi fungsi densitas data sehingga diperoleh estimator
fungsi densitas kernel.
4.3 Estimator Densitas Kernel Magnitude
Estimator densitas kernel didefinisikan dalam persamaan (4.1). Nilai
5.0-6.9 sR dan kedalaman fokus
hopt
untuk data magnitude
70 km adalah
hopt = ( 598 )
−
1
5
= 0,278394
.
Oleh karena itu dari persamaan (4.3) dapat dibentuk estimator densitas kernel magnitude 5.0-6.9 sR
dan kedalaman fokus ﾣ 70 km sebagai berikut
598
1
� x − Xi �
fh ( x ) =
K�
￥
166, 479612 i=1 �0,278394 �
�
^
(4.6)
Data diolah menggunakan software S-Plus 3.2 dengan langkah yang disajikan dalam lampiran.
�1
K ( x) =
Estimasi densitas kernel dengan fungsi kernel Gaussian
Pulau Jawa-Bali dengan magnitude 5.0-6.9 sR dan kedalaman fokus
estimasi densitas kernel pada Gambar 4.3.
�
− x2 �
1 �
e� 2 �
2π
pada data gempa tektonik di
70 km menghasilkan grafik
Gambar 4.3. Estimasi Densitas Kernel Gaussian Magnitude dengan h = 0.278394.
Dari Gambar 4.1, dapat dilihat bahwa data berkelompok pada magnitude 5.0-5.5 sR. Hal ini
berarti bahwa sebagian besar gempa tektonik yang terjadi di pulau Jawa-Bali pada tahun 1964-2005
mempunyai estimasi magnitude sebesar 5.0-5.5 sR. Estimasi densitas kernel untuk magnitude
^
�^
�
MSE �f h ( x ) �= 0.76587113
�
�
. Kesimpulan tersebut didukung oleh nilai
mempunyai nilai MSE sebesar
probabilitas pada interval tertentu.
Jumlah observasi yang berada dalam suatu interval
P ( a < x ﾣ b) =
( a, b ]
dihitung sebagai
b ^
f h ( x ) dx
a
.
Densitas juga menginformasikan letak observasi berkelompok maupun pada interval mana obsrevasi
muncul dengan frekuensi relatif tertinggi.
Tabel 4.1. Nilai frekuensi relatif magnitude
Interval (sR)
Frekuensi relatif
5.0-5.5
0.9270253
5.5-6.0
0.1511449
6.0-6.5
0.0144826
6.5-6.9
0.0018517
Dari Tabel 4.1 nilai frekuensi relatif yang terbesar terletak di antara nilai magnitude 5.0-6.9 sR.
4.4 Estimator Densitas Kernel Banyak Kejadian Gempa Tiap Bulan
Estimator densitas kernel didefinisikan dalam persamaan (4.1). Nilai
hopt
untuk data banyak
kejadian gempa tiap bulan adalah
hopt = ( 504 )
−
1
5
= 0,288081
.
Oleh karena itu dari persamaan (4.3) dapat dibentuk estimator densitas kernel banyak kejadian gempa
tiap bulan sebagai berikut
^
fh ( x ) =
504
1
� x − Xi �
K�
￥
145,192824 i=1 �0,288081 �
�
(4.7)
Data diolah menggunakan software S-Plus 3.2 dengan langkah yang disajikan dalam lampiran.
�1
�
− x2 �
1 �
�2 �
K ( x) =
e
2π
Estimasi densitas kernel dengan fungsi kernel Gaussian
pada data gempa tektonik
di Pulau Jawa-Bali untuk data banyak kejadian gempa tiap bulan menghasilkan grafik estimasi densitas
kernel pada Gambar 4.4.
Gambar 4.4. Estimasi Densitas Kernel Gaussian banyak kejadian gempa dengan h = 0.288081.
Dari Gambar 4.4 menunjukkan bahwa data berkelompok untuk banyak kejadian gempa antara
0-26 kali. Hal ini berarti bahwa setiap bulannya pada tahun 1964-2005 di pulau Jawa-Bali terjadi gempa
sebanyak 0-26 kali. Estimasi densitas kernel untuk banyak kejadian gempa tiap bulan mempunyai nilai
^
�^
�
MSE �f h ( x ) �= 0.023011868
�
�
MSE sebesar
.
Tabel 4.2. Nilai frekuensi relatif untuk banyak kejadian gempa tiap bulan
Interval
frekuensi relatif
0-0.29
0.0824511
0.71-1.29
0.1951342
1.71-2.29
0.1539087
2.71-3.29
0.1484119
M
M
22.71-23.29
0.005495344
25.71-26.29
0.002747672
34.71-35.29
0.002747672
175.71-176.29
0.002747672
Dari Tabel 4.2 terlihat bahwa semakin besar nilai intervalnya maka probabilitasnya semakin kecil dan
mendekati nol. Sehingga dapat disimulkan bahwa setiap bulannya terjadi gempa sebanyak 0-26 kali
densitas gempa adalah
1. menyeleksi data gempa yang mempunyai magnitude 5.0-6.9 sR dan kedalaman fokus
70 km,
2. menghitung banyak kejadian gempa tiap bulan,
3. estimasi fungsi densitas magnitude gempa dengan kernel Gaussian,
4. estimasi fungsi densitas banyak kejadian gempa tiap bulan dengan kernel Gaussian,
5. penarikan kesimpulan dan interpretasi dari estimasi fungsi distribusi yang diperoleh.
x
F ( x) =
f ( t ) dt
−
.
Definisi 2.7. Jika X suatu variabel random kontinu dengan fungsi densitas probabilitas f(x), maka
harga harapan dari X didefinisikan sebagai
ﾣ
E( X ) =
ﾣxf ( x ) dx
−ﾣ
.
Definisi 2.8. Variansi dari variabel random X adalah
2
Var ( X ) = E �
( X − µ) �
�
�.
Teorema 2.1. Variansi dari variabel random X dinyatakan dengan
Var ( X ) = E ( X 2 ) − ( E ( X ) ) = E ( X 2 ) − µ 2
2
.
Variansi merupakan suatu ukuran dari keragaman atau penyebaran di dalam distribusi dari variabel
random.
2.1.2 Sifat-sifat Estimator
Diberikan definisi tentang statistik, estimator tak bias, estimator bias, dan MSE.
Definisi 2.9. Statistik
T = t ( X 1 , X 2 ,K , X n )
disebut estimator dari
τ (θ )
yang digunakan untuk mengestimasi nilai dari
dan nilai dari statistik
Selanjutnya estimator T dinotasikan dengan
τ (θ )
t = t ( x1 , x2 ,K , xn )
disebut estimasi dari
τ (θ )
τ (θ )
.
.
^
Definisi 2.10. Misal Ω adalah ruang parameter. Estimator θ dikatakan sebagai estimator tak bias
dari
τ (θ )
jika
�^ �
E�
θ �= τ ( θ )
��
^
τ (θ )
untuk semua θ �Ω . Jika tidak demikian, θ dikatakan sebagai estimator bias dari
.
^
τ (θ )
Definisi 2.11. Jika θ adalah estimator dari
, maka bias dinyatakan dengan
�^ � �^ �
b�
θ �= E �
θ �− τ ( θ )
�� ��
^
dan mean square error (MSE) dari θ dinyatakan dengan
2
�^ � �^
MSE �
θ �= E �
θ −τ ( θ ) �
�
�� �
�
.
^
τ (θ )
Teorema 2.2 Jika θ adalah estimator dari
, maka
^
2
�^ �
MSE �
θ �= Var �
θ�
b(θ ) �
�
�+ �
�
�
��
��
.
MSE merupakan jumlahan dari variansi dan bias kuadrat serta digunakan sebagai ukuran keakuratan
suatu estimasi.
2.1.3 Estimasi Densitas Kernel
Menurut Menardi [6], estimator fungsi densitas kernel untuk estimasi nilai densitas
f ( x)
pada
titik x didefinisikan sebagai berikut
^
f h ( x) =
1 n
1 n �x − X i �
K
x
−
X
=
(
)
￥h
￥K � �
i
n i =1
nh i =1 � h �
dengan K disebut fungsi kernel dan h adalah bandwith.
Salah satu fungsi kernel yang sering digunakan adalah kernel Gaussian. Bentuk kernel Gaussian
adalah sebagai berikut
�1
�
− x2 �
1 �
K ( x) =
e� 2 �
2π
.
2.2 Kerangka Pemikiran
Karakteristik dari suatu variabel random X dapat diketahui melalui fungsi densitas
probabilitasnya. Estimasi dari fungsi densitas yang tidak diketahui dapat dilakukan melalui pendekatan
nonparametrik yaitu menggunakan kernel. Estimasi fungsi densitas kernel tergantung pada pemilihan
lebar jendela h dan fungsi kernel K. Estimasi fungsi densitas yang diperoleh akan diterapkan pada data
magnitude dan banyak kejadian gempa tektonik di Jawa-Bali.
BAB V
PENUTUP
5.1
Kesimpulan
Berdasarkan uraian dalam pembahasan diperoleh kesimpulan tentang estimasi fungsi densitas
magnitude dan banyak kejadian gempa tektonik tiap bulan di Jawa-Bali sebagai berikut.
1. Estimator fungsi densitas kernel Gaussian untuk magnitude 5.0-6.9 sR dan kedalaman fokus
70 km adalah
DAFTAR PUSTAKA
[1] Bain, L. J. and M. Engelhardt, Introduction to probability and mathematical statistics, 2 ed.,
Duxbury Press Belmont, California, 1992.
[2] Hardle, W., Smoothing techniques with implementation in S, Springer-Verlag, New York, 1990.
[3] Hutagalung, R., Prediksi tentang gempa-tsunami di Bali, http:// www. dbriptek. ristek. go.
id/cgi/gempa, 2007.
[4] Lea, Menguak misteri gempa di pulau Jawa, www.technologyindonesia.com/ downlodphp?
file=Gempa, 2008.
[5] Lee, W. H. K. and S. W. Steward, Principles and applications of microearthquake networks,
Academic Press, Inc., New York, 1981.
[6] Menardi, G., Variable kernel density function, http://geovani.menardi.net/ variable kernel density
function.spontanee%202006_579_582.pdf, 2008.
[7] Waluyo, Gempa, Hand out kuliah, Geofisika, UGM, Jogjakarta, 2006.
[8] Richter magnitude scale, http://en.wikipedia.org/wiki Richter magnitude scale, 2008.
^
fh ( x ) =
598
1
� x − Xi �
K�
￥
166, 479612 i=1 �0,278394 �
�.
Menurut plot estimator fungsi densitas magnitude gempa tektonik yang terjadi di Jawa-Bali
pada tahun 1964-2005 mempunyai estimasi magnitude antara 5.0-5.5 sR.
2. Estimator fungsi densitas kernel Gaussian untuk banyak kejadian gempa tektonik tiap bulan
adalah
^
fh ( x ) =
504
1
� x − Xi �
K�
￥
145,192824 i=1 �0,288081 �
�.
Menurut plot estimator fungsi densitas untuk banyak kejadian gempa tiap bulan yang terjadi di
Jawa-Bali pada tahun 1964-2005 mempunyai estimasi frekuensi terjadi gempa sebesar 0-26 kali
tiap bulan.
5.2
Saran
Dalam tulisan ini penulis mengkaji tentang estimasi fungsi densitas dengan menggunakan
kernel Gaussian. Kepada pembaca yang ingin mengembangkan estimasi densitas, penulis memberikan
saran menggunakan estimasi densitas kernel menyesuaikan (Adaptive Kernel Density Estimation) atau
menggunakan histogram WARPing untuk membandingkan metode mana yang lebih baik.