,
= 3 5 3
z = 13
T T
T -1
B N
B
-1
x x
B b c B b
5 Solusi 5 merupakan solusi basis, karena
memenuhi kendala pada PL 4 dan kolom- kolom pada matriks kendala yang berpadanan
dengan komponen taknol dari 5, yaitu B bebas linear kolom yang satu bukan
merupakan kelipatan dari kolom yang lain. Solusi 5 juga merupakan solusi basis fisibel,
karena nilai-nilai variabelnya lebih dari atau sama dengan nol.
Hal yang juga penting dalam konsep pemrograman linear untuk model ini adalah
daerah fisibel dan solusi optimum yang didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 6 Daerah Fisibel
Daerah fisibel suatu PL adalah himpunan semua titik yang memenuhi semua kendala
dan pembatasan tanda pada PL tersebut. Winston, 2004
Definisi 7 Solusi Optimum Untuk
masalah maksimisasi,
solusi optimum suatu PL adalah suatu titik dalam
daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif terbesar. Untuk masalah minimisasi, solusi
optimum suatu PL adalah suatu titik dalam daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif
terkecil.
Winston, 2004
2.2 Integer Programming
Integer programming
IP atau
pemrograman integer adalah suatu model pemrograman linear dengan variabel yang
digunakan berupa bilangan bulat integer. Jika semua variabel harus berupa integer,
maka masalah tersebut dinamakan pure integer programming. Jika hanya sebagian
yang harus berupa integer, maka disebut mixed integer programming MIP. IP dengan
semua variabelnya harus bernilai 0 atau 1 disebut 0-1 IP.
Garfinkel Nemhauser, 1972
Definisi 8 Pemrograman Linear Relaksasi Pemrograman linear relaksasi atau sering
disebut PL-relaksasi
merupakan suatu
pemrograman linear yang diperoleh dari suatu IP dengan menghilangkan kendala integer
atau kendala 0-1 pada setiap variabelnya. Untuk
masalah maksimisasi,
nilai optimum fungsi objektif PL-relaksasi lebih
besar atau sama dengan nilai optimum fungsi objektif
IP, sedangkan untuk
masalah minimisasi, nilai optimum fungsi objektif PL-
relaksasi lebih kecil atau sama dengan nilai optimum fungsi objektif IP.
Winston, 2004
2.3 Metode Branch-and-Bound
Dalam penulisan karya ilmiah ini, untuk memperoleh solusi optimum dari masalah IP
digunakan software LINGO 8.0 yaitu sebuah program yang didesain untuk menentukan
solusi model linear, nonlinear, dan optimisasi integer dengan lebih cepat, mudah, dan lebih
efisien.
Software LINGO
8.0 ini
menggunakan metode branch and bound untuk menyelesaikan masalah IP.
Prinsip dasar metode branch and bound adalah memecah daerah fisibel dari masalah
PL-relaksasi dengan membuat subproblem- subproblem.
Daerah fisibel
suatu pemrograman linear adalah daerah yang
memuat titik-titik yang dapat memenuhi kendala linear masalah pemrograman linear.
Branch Branching pencabangan adalah proses
membagi-bagi permasalahan
menjadi subproblem-subproblem
yang mungkin
mengarah ke solusi. Bound
Bounding pembatasan adalah suatu proses untuk mencari atau menghitung batas
atas dalam masalah minimisasi dan batas bawah dalam masalah maksimisasi untuk
solusi optimum pada subproblem yang mengarah ke solusi.
Metode branch-and-bound diawali dari menyelesaikan PL-relaksasi dari suatu integer
programming. Jika semua nilai variabel keputusan solusi optimum sudah berupa
integer, maka solusi tersebut merupakan solusi optimum IP. Jika tidak, dilakukan
pencabangan dan penambahan batasan pada PL-relaksasinya kemudian diselesaikan.
Winston 2004 menyebutkan bahwa nilai fungsi objektif optimum untuk IP nilai
fungsi objektif optimum untuk PL-relaksasi masalah maksimisasi, sehingga nilai fungsi
objektif optimum PL-relaksasi merupakan batas atas bagi nilai fungsi objektif optimum
untuk masalah IP. Diungkapkan pula dalam Winston 2004 bahwa nilai fungsi objektif
optimum
untuk suatu
kandidat solusi
merupakan batas bawah nilai fungsi objektif optimum untuk masalah IP asalnya. Suatu
kandidat solusi diperoleh jika solusi dari suatu subproblem sudah memenuhi kendala integer
pada masalah IP, artinya fungsi objektif dan semua variabelnya sudah bernilai integer.
Sebelumnya akan dibahas terlebih dulu pengertian subproblem yang terukur. Menurut
Winston 2004, suatu subproblem dikatakan terukur fathomed jika terdapat situasi
sebagai berikut. 1.
Subproblem tersebut takfisibel, sehingga tidak dapat menghasilkan solusi optimum
untuk IP. 2.
Subproblem tersebut menghasilkan suatu solusi optimum dengan semua variabelnya
bernilai integer. Jika solusi optimum ini mempunyai nilai fungsi objektif yang
lebih baik daripada solusi fisibel yang diperoleh sebelumnya, maka solusi ini
menjadi kandidat solusi optimum dan nilai fungsi objektifnya menjadi batas bawah
nilai fungsi objektif optimum bagi masalah IP pada saat itu. Bisa jadi subproblem ini
menghasilkan solusi optimum untuk masalah IP.
3. Nilai fungsi objektif optimum untuk
subproblem tersebut tidak melebihi untuk masalah maksimisasi batas bawah saat
itu, maka
subproblem ini
dapat dieliminasi.
Berikut ini
adalah langkah-langkah
penyelesaian suatu masalah maksimisasi dengan metode branch-and-bound.
Langkah 0 Didefinisikan z sebagai batas bawah dari nilai
fungsi objektif solusi IP yang optimum. Pada awalnya ditetapkan
z
dan
.
i
Langkah 1 Subproblem
i
PL dipilih sebagai bagian masalah berikutnya untuk diteliti. Subproblem
i
PL diselesaikan dan diukur dengan kondisi yang sesuai.
a Jika
i
PL terukur, batas bawah z diperbarui jika solusi IP yang lebih baik
ditemukan. Jika tidak, bagian masalah subproblem baru i dipilih dan langkah 1
diulangi. Jika semua subproblem telah diteliti, maka proses dihentikan.
b Jika
i
PL tidak
terukur, proses
dilanjutkan ke
langkah 2
untuk melakukan pencabangan
i
PL . Langkah 2
Dipilih salah satu variabel
j
x yang nilai optimumnya adalah
j
x yang tidak memenuhi batasan integer dalam solusi
i
PL
. Bidang 1
] [
] [
j j
j
x x
x disingkirkan
dengan membuat dua subproblem PL yang berkaitan
menjadi dua subproblem yang tidak dapat dipenuhi secara bersamaan, yaitu
[ ]
j j
x x
dan
[ ] 1
j j
x x
, dengan
] [
j
x didefinisikan sebagai integer
terbesar yang kurang dari atau sama dengan .
j
x Kembali ke langkah 1. Taha, 1996
Untuk memudahkan pemahaman metode branch-and-bound diberikan contoh sebagai
berikut.
Contoh 2 Misalkan diberikan IP berikut:
1 2
,
max 3
5 z
x x
1 2
1 2
1 2
1 2
terhadap 2
4 25,
8, 2
10 ,
, .
x x
x x
x x x x integer
6
Solusi optimum PL-relaksasi dari masalah IP 6 adalah
1
8 x
,
2
2.25 x
, dan
35.25 z
lihat pada Lampiran 1. Batas atas nilai optimum fungsi objektif masalah ini
adalah
35.25 z
. Daerah fisibel masalah 6 ditunjukkan pada Gambar 1. Solusi optimum
berada pada titik perpotongan dua garis yang berasal dari kendala pertidaksamaan masalah
6.
Gambar 1 Daerah fisibel daerah yang diarsir untuk PL-relaksasi dari IP 6.
x
1
= 8 x
2
= 2.25
Daerah fisibel
Langkah berikutnya adalah memartisi daerah fisibel PL-relaksasi menjadi dua
bagian berdasarkan variabel yang berbentuk pecahan non-integer. Dipilih
2
x sebagai dasar pencabangan. Jika masalah PL-relaksasi
diberi nama
Subproblem 1,
maka pencabangan
tersebut menghasilkan
2 subproblem, yaitu:
Subproblem 2: Subproblem 1 ditambah kendala
2
2. x
Subproblem 3: Subproblem 1 ditambah
kendala
2
3 x
; Hal ini diilustrasikan secara grafis pada
Gambar 2.
Gambar 2 Daerah fisibel untuk Subproblem 2 dan Subproblem 3.
Setiap titik solusi fisibel dari IP 6 termuat dalam daerah fisibel Subproblem 2
atau Subproblem 3. Setiap subproblem ini saling lepas. Subproblem 2 dan Subproblem 3
dikatakan dicabangkan oleh
2
. x
Sekarang dipilih subproblem yang belum diselesaikan. Misalkan dipilih Subproblem 2,
kemudian diselesaikan. Solusi optimum untuk Subproblem 2 ini adalah x
1
= 8, x
2
= 2, dan z = 34 lihat Lampiran 1. Semua variabel bernilai
integer solusinya
memenuhi kendala
bilangan bulat, maka tidak perlu dilakukan pencabangan di Subproblem 2. Solusi dari
Subproblem 2 menjadi batas bawah dari solusi IP yaitu sama dengan 34.
Saat ini
subproblem yang
belum diselesaikan adalah Subproblem 3. Solusi
optimum untuk Subproblem 3 adalah x
1
= 6.5, x
2
= 3, dan z = 34.5 lihat Lampiran 1. Karena solusi optimum yang dihasilkan
Subproblem 3 bukan solusi integer, maka dipilih pencabangan pada Subproblem 3 atas
1
, x sehingga diperoleh dua subproblem lagi,
yakni: Subproblem 4: Subproblem 3 ditambah
kendala
1
6 x
; Subproblem 5: Subproblem 3 ditambah
kendala
1
7 x
. Selesaikan masalah Subproblem 4 dan
Subproblem 5 satu per satu. Subproblem 5 takfisibel lihat Lampiran 1 pada Subproblem
5, maka subproblem ini tidak dapat menghasilkan solusi optimum.
Solusi optimum untuk Subproblem 4 adalah x
1
= 6, x
2
= 3.25, dan z = 34.25 lihat Lampiran 1 bagian Subproblem 4. Karena
solusi optimum Subproblem 4 bukan solusi integer,
maka dipilih
pencabangan Subproblem 4 pada x
2
, sehingga diperoleh dua subproblem lagi, yaitu:
Subproblem 6: Subproblem 4 + kendala
2
3
x
Subproblem 7: Subproblem 4 + kendala
2
4
x
Penyelesaian Subproblem 6 menghasilkan solusi optimum x
1
= 6, x
2
= 3, dan z = 33 lihat Lampiran 1 bagian Subproblem 6. Semua
variabel bernilai integer solusinya memenuhi kendala integer, akan tetapi solusi yang
dihasilkan pada subproblem ini tidak lebih baik dari batas bawah sehingga solusi pada
Subproblem 6 tidak menjadi batas bawah yang baru.
Solusi optimum dari Subproblem 7 adalah x
1
= 4.5, x
2
= 4, dan z = 33.5 lihat Lampiran 1 bagian
Subproblem 7.
Karena solusi
optimum dari Subproblem 7 tidak lebih baik dari batas bawah, maka tidak perlu dilakukan
pencabangan pada Subproblem 7. Subproblem
2 menghasilkan
solusi optimum yang berupa integer, dengan x
1
= 8, x
2
= 2, dan z = 34. Solusi optimum dari Subproblem 2 telah berupa integer dan tidak
perlu lagi dilakukan pencabangan. Dengan demikian, solusi optimum pada IP 6 adalah
solusi optimum dari Subproblem 2. Pohon pencabangan yang menunjukkan penyelesaian
masalah IP 6 secara keseluruhan ditunjukkan pada Gambar 3.
Subproblem 2 Subproblem 3
Gambar 3 Seluruh pencabangan pada metode Branch-and-Bound untuk menentukan solusi optimum dari IP.
III PEMODELAN
Langkah awal
membangun model
penjadwalan kegiatan
belajar mengajar
dengan kendala waktu luang siswa, ruangan, dan pengajar adalah mendeskripsikan masalah
tersebut dengan
jelas dan
lengkap. Selanjutnya, masalah tersebut diformulasikan
dalam bentuk ILP yang siap diselesaikan dengan metode yang sesuai.
Pemodelan masalah ini dibuat berdasarkan ketersediaan ruangan yang dapat digunakan
untuk kegiatan belajar mengajar KBM, kemudian waktu yang diatur setiap harinya
dalam periode enam hari Senin s.d. Sabtu dengan sejumlah mata pelajaran yang akan
dijadwalkan serta pengajar yang mengajar sesuai dengan bidangnya.
Untuk memformulasikan masalah tersebut ke dalam ILP tentunya diperlukan beberapa
asumsi, di antaranya adalah: 1.
setiap kelompok menentukan sendiri mata pelajaran yang ingin dipelajari dalam
seminggu, 2.
setiap kelompok memberikan pola belajar mereka, yaitu 2 jam per hari dan tiga kali
per minggu: Senin – Rabu – Jumat ataukah Selasa – Kamis – Sabtu,
3. setiap kelompok memberikan waktu luang
pada siang ataukah sore hari, 4.
setiap pengajar tidak mengajar pada lokasi yang berbeda dalam setiap harinya.
Variabel-variabel yang digunakan:
si
I
= waktu siang hari pada dua pola belajar
so
I
= waktu sore hari pada dua pola belajar
si
N
= kelompok dengan waktu siang hari
pada dua pola belajar
so
N
= kelompok dengan waktu sore hari pada dua pola belajar
sks
I
= waktu pada pola belajar Selasa– Kamis–Sabtu
srj
I
= waktu pada pola belajar Senin– Rabu–Jumat
sks
N
= kelompok dengan waktu pada pola belajar Selasa–Kamis–Sabtu
srj
N
= kelompok dengan waktu pada pola belajar Senin–Rabu–Jumat
jb
K
= ruangan Jalan Baru
gs
N
= kelompok dengan ruangan Gedung Sawah
Subproblem 1 x
1
= 8, x
2
= 2.25 dan z = 35.25
Subproblem 3 x
1
= 6.5, x
2
= 3 dan z = 34.5
2
4
x
2
3
x
1
6
x
1
7
x
2
3 x
2
2
x
Subproblem 3 Subproblem 2
x
1
= 8, x
2
= 2 dan z = 34
Subproblem 4 x
1
= 6, x
2
= 3.25 dan z = 34.25 Subproblem 5
Solusi takfisibel
Subproblem 7 x
1
= 4.5, x
2
= 4 dan z = 33.5 Subproblem 6
x
1
= 6, x
2
= 3 dan z = 33
gs
K
= ruangan Gedung Sawah
jb
N
= kelompok dengan ruangan Jalan Baru
kt
K
= ruangan dengan kapasitas terbatas
rt
N
= kelompok yang bisa pada ruangan tertentu
mt
N
= kelompok di mana mata pelajaran yang telah mereka tentukan tidak
terjadwalkan
ms
J
= mata pelajaran
yang bukan
spesialisasi dari pengajar
tm
P
= pengajar yang tidak dapat mengajar pada periode waktu tertentu
pt
I
= waktu di mana pengajar tidak dapat mengajar
Selain itu, diperlukan pula pendefinisian suatu variabel keputusan:
1 ; jik a m a ta p elajaran d iselen g g arak an p a d a
w ak tu d alam ru a n g u n tu k k e lo m p o k
d en g an p en g ajar 0 ; selain n ya
=
ijkn p
j i
k n
p
x
Karena tujuan utama adalah mencari solusi penjadwalan terbaik dengan waktu luang
siswa dan ruangan dengan kapasitas terbatas serta pengajar yang sesuai dengan bidangnya,
maka fungsi objektif dari permasalahan ini adalah memaksimumkan variabel keputusan
yang dimodelkan sebagai berikut: max
i j
k n
p
ijknp
x
dengan kendala-kendala sebagai berikut: 1.
Dalam setiap pola belajar, suatu kelompok belajar sore hari tidak boleh belajar siang
hari.
,
i j
k n
p si
so
ijknp I
n N
i
x
2. Dalam setiap pola belajar, suatu kelompok
belajar siang hari tidak boleh belajar sore hari.
,
i j
k n
p so
si
ijknp n
N
i I
x
3. Suatu kelompok hanya belajar di satu
tempat, Gedung Sawah atau Jalan Baru. a.
Ruang 1-4 Gedung Sawah
,
i j
k n
p jb
gs
ijknp k
K n
N
x
b. Ruang 5-8 Jalan Baru
,
i j
k n
p gs
jb
ijknp k
K n
N
x
4. Keterbatasan kapasitas ruangan yang
tersedia di bimbingan belajar sesuai dengan
banyaknya siswa
di setiap
kelompoknya. ,
i j
k n
p rt
kt
ijknp n
N k
K
x
5. Setiap kelompok hanya belajar dengan
satu pola belajar.
,
i j
k n
p sks
srj
ijknp i
I n
N
x
,
i j
k n
p srj
sks
ijknp i
I n
N
x
6. Paling banyak satu mata pelajaran dengan
satu kelompok diselenggarakan dalam suatu ruangan, suatu waktu, dan suatu
periode.
1, ,
i k
p
ijknp
j n
x
7. Paling banyak satu mata pelajaran dengan
suatu waktu diselenggarakan dalam suatu ruangan, suatu kelompok, dan seorang
pengajar.
1, ,
k n
p
ijknp
i j
x
8. Paling banyak satu ruangan dengan suatu
waktu digunakan dalam suatu kelompok, suatu
mata pelajaran,
dan seorang
pengajar.
1, ,
j n
p
ijknp
i k
x
9. Paling banyak satu kelompok dengan
suatu waktu diselenggarakan dalam suatu ruangan, suatu mata pelajaran, dan seorang
pengajar.
1, ,
k n
p
i n ijknp
x
10. Ada beberapa mata pelajaran yang tidak
dijadwalkan, yaitu selain mata pelajaran yang
mereka tentukan
dalam seminggunya.
,
i k
n p
mt
ijknp n
N
j
x
11. Setiap pengajar tidak mengajarkan mata
pelajaran yang bukan spesialisasinya.
,
i j
k n
ms
ijknp j
J
p
x
12. Sebagian besar pengajar tidak dapat
mengajar pada periode waktu tertentu. ,
i j
k n
p tm
pt
ijknp p
P i
I
x
13. Semua variabel keputusan bernilai nol atau
satu.
, , , ,
{0,1} ;
ijknp
i j k n p
x
IV STUDI KASUS
Masalah yang akan dicontohkan di sini adalah masalah penjadwalan kegiatan belajar
mengajar di lembaga bimbingan belajar Bimbingan Tes Alumni Bogor BTA Bogor.
Hal yang
perlu diperhatikan
adalah ketersediaan ruangan yang memiliki kapasitas
berbeda. Pada saat ini, lembaga bimbingan belajar BTA Bogor mengasuh 13 mata
pelajaran, dengan 79 pengajar, dan 14 ruangan, serta 27 kelompok bimbingan yang
terdaftar. Akan tetapi, dalam studi kasus ini hanya diambil sebagian saja.
Mata pelajaran yang diambil dalam studi kasus ini ada 13 mata pelajaran dan setiap
siswa akan mendapatkan materi sesuai tingkatannya masing-masing Tabel 1.
Kegiatan belajar mengajar ini dilakukan enam hari dalam seminggu, yang setiap
harinya dibagi menjadi dua waktu dengan sejumlah mata pelajaran yang dijadwalkan.
Pertama, waktu siang hari pada pukul 14.25- 16.25 WIB. Kedua, waktu sore hari pada
pukul 16.30-18.30 WIB Tabel 2. Kemudian lembaga bimbingan belajar BTA membagi
waktu pertemuannya menjadi tiga kali dalam setiap minggunya yaitu Senin - Rabu - Jumat
dan Selasa - Kamis - Sabtu, setiap pertemuan hanya dua jam belajar.
Banyaknya siswa dalam setiap kelompok tidak melebihi kapasitas ruangan yang tersedia
Tabel 3. Lembaga bimbingan belajar BTA memiliki dua cabang yaitu cabang Jalan
Gedung Sawah dan cabang Jalan Baru Tabel 3. Apabila seseorang mendaftar di Jalan
Gedung Sawah maka ruangan belajarnya di Jalan Gedung Sawah begitu juga untuk di
Jalan Baru.
Dalam studi kasus ini juga hanya diambil 16 kelompok belajar yang terdiri dari
beberapa tingkatan yaitu kelas 6 SD sampai XII SMA baik IPA maupun IPS dengan waktu
luang mereka serta banyaknya siswa dalam setiap kelompok Tabel 4. Kemudian pada
studi kasus ini banyaknya pengajar ada 15 yang mengajar sesuai dengan bidangnya
Tabel 5. Dari ke-16 kelompok tersebut mereka telah menentukan mata pelajaran yang
akan mereka pelajari dalam setiap minggunya Tabel 6.
Tabel 1 Mata Pelajaran
Indeks j Mata Pelajaran
1 Matematika
2 Ekonomi
3 Bahasa Indonesia
4 Bahasa Inggris
5 IPA
6 IPS
7 Agama
8 Kimia
9 Fisika
10 Biologi
11 Geografi
12 Sosiologi
13 Sejarah
Tabel 2 Periode Waktu
Indeks i Hari Waktu
1 Senin
Siang 2
Sore 3
Selasa Siang
4 Sore
5 Rabu
Siang 6
Sore 7
Kamis Siang
8 Sore
9 Jumat
Siang 10
Sore 11
Sabtu Siang
12 Sore
Tabel 3 Ruangan yang tersedia
Indeks k Kapasitas Tempatlokasi
1 10
Jalan Gedung Sawah 2
7 Jalan Gedung Sawah
3 5
Jalan Gedung Sawah 4
5 Jalan Gedung Sawah
5 10
Jalan Baru 6
5 Jalan Baru
7 5
Jalan Baru 8
4 Jalan Baru
Tabel 4 Daftar Kelompok
Indeks n Kelompok Tingkat
Waktu Luang Jam Kosong
Banyaknya Siswa
Tempat lokasi 1
Aritmatika XII IPA
Sore 10
Jalan Gedung Sawah 2
Vektor XII IPA
Siang 7
Jalan Gedung Sawah 3
Geometri XII IPA
Sore 5
Jalan Gedung Sawah 4
Matriks XII IPA
Siang 10
Jalan Gedung Sawah 5
Median XII IPA
Sore 2
Jalan Baru 6
Valas XII IPS
Siang 5
Jalan Gedung Sawah 7
Fiskal XII IPS
Sore 5
Jalan Gedung Sawah 8
Monetary XII IPS
Sore 4
Jalan Baru 9
Mikro XII IPS
Siang 4
Jalan Baru 10
Teuku Umar IX SMP Sore
7 Jalan Gedung Sawah
11 Hasanudin
IX SMP Siang
5 Jalan Gedung Sawah
12 Diponegoro IX SMP
Sore 3
Jalan Baru 13
Sudirman IX SMP
Siang 2
Jalan Baru 14
Mawar VIII SMP
Siang 5
Jalan Gedung Sawah 15
Grape VI SD
Sore 5
Jalan Gedung Sawah 16
Banana VI SD
Sore 4
Jalan Baru Tabel 5
Daftar Pengajar Indeks p Nama Pengajar Spesialisasi pengajar
Tidak bisa mengajar pada hari:
1 Fajriansyah
Matematika Kamis
2 Cut Yuni
Ekonomi Kamis
3 Purwatiningsih Bahasa Indonesia
Rabu 4
Andry Bahasa Inggris
Sabtu 5
Diana Novalia IPA -
6 Siti Sholihat
IPS Senin
7 Ardhy
Agama Rabu
8 Abdul Gani
Kimia Selasa
9 Mardanih
Fisika Kamis
10 Adisti
Biologi Selasa
Lanjutan Tabel 5
Indeks p Nama Pengajar Spesialisasi pengajar Tidak bisa mengajar
pada hari: 11
Rully Budiman Geografi Sabtu
12 Latifah Sulton
Sosiologi Selasa
13 Siti Nurhasanah Sejarah
Kamis 14
Dadi Mulyadi Matematika
Jumat 15
Rini Rustiani Bahasa Indonesia
Selasa Tabel 6
Kelompok dan mata pelajaran yang ditentukan Indeks n
Kelompok Mata pelajaran yang mereka tentukan
1 Aritmatika Fisika
Kimia Matematika
2 Vektor
Matematika Bahasa Indonesia Kimia
3 Geometri
Biologi Matematika
Bahasa Indonesia 4
Matriks Biologi
Kimia Fisika
5 Median
Biologi Fisika
Kimia 6
Valas Bahasa Inggris Geografi
Sosiologi 7
Fiskal Ekonomi
Geografi Sejarah
8 Monetary
Ekonomi Sosiologi
Sejarah 9
Mikro Ekonomi
Geografi Sejarah
10 Teuku Umar IPA
IPS Bahasa Inggris
11 Hasanudin IPA
IPS Bahasa Inggris
12 Diponegoro IPA
Bahasa Indonesia Matematika 13
Sudirman Agama
Bahasa Indonesia Matematika 14
Mawar IPA
IPS Agama
15 Grape
Bahasa Inggris Matematika Bahasa Indonesia
16 Banana
Matematika IPS
Agama Untuk memformulasikan ILP, peubah
ijknp
x
didefinisikan pada setiap periode waktu i = 1, 2, …, 12, mata pelajaran j = 1, 2,
…, 13, ruangan k = 1, 2, …, 8, kelompok n = 1, 2, …, 16, pengajar p = 1, 2, …, 15.
Sehingga masalahnya dapat diformulasikan dalam ILP berikut:
max
i j
k n
p
ijknp
x
dengan kendala : 1.
Dalam setiap pola belajar, suatu kelompok belajar sore hari tidak boleh belajar siang
hari. Untuk
1,3,5, 7,9,11, i
dan
1, 3, 5, 7,8,10,12,15,16 : n
j k
p
ijknp
x
Banyaknya kendala pertama adalah 54. 2.
Dalam setiap pola belajar, suatu kelompok belajar siang hari tidak boleh belajar sore
hari. Untuk
2, 4, 6,8,10,12, i
dan
2, 4, 6, 9,11,13,14 : n
j k
p
ijknp
x
Banyaknya kendala kedua adalah 42. 3.
Suatu kelompok hanya belajar di satu tempat, Jalan Gedung Sawah atau Jalan
Baru. a.
Ruang 1-4 Jalan Gedung Sawah Untuk
5, 6, 7,8, k
dan
1, 2, 3, 4, 6, 7,10,11,14,15 : n
i j
p
ijknp
x
b. Ruang 5-8 Jalan Baru
Untuk
1, 2, 3, 4, k
dan
5, 8, 9,12,13,16 : n
i j
p
ijknp
x
Banyaknya kendala ketiga adalah 64. 4.
Keterbatasan kapasitas ruangan yang tersedia di BTA sesuai dengan banyaknya
siswa di setiap kelompoknya. Untuk
1, 4, dan 2, 3, 4 :
n k
i j
p
ijknp
x
Untuk
2,10, dan 1, 3, 4 : n
k
i j
p
ijknp
x
Untuk
3, 6, 7,11,14,15, dan 1, 2 : n
k
i j
p
ijknp
x
Untuk
5,8,9,12,13,16, dan 1, 2,3, 4 :
n k
i j
p
ijknp
x
Banyaknya kendala keempat adalah 48. 5.
Setiap kelompok hanya belajar dengan satu pola belajar.
Untuk
2, 4,5,...,8,11,12,15,16, n
dan
3, 4, 7, 8,11,12 : i
j k
p
ijknp
x
Untuk
1,3,9,10,13,14, n
dan
1, 2, 5, 6, 9,10 : i
j k
p
ijknp
x
Banyaknya kendala ke-5 adalah 96. 6.
Paling banyak satu mata pelajaran dengan satu kelompok diselenggarakan dalam
suatu ruangan, suatu waktu, dan suatu periode.
1
i k
p
ijknp
x
Untuk
1, 2, ...,13, j
dan
1, 2,...,16. n
Banyaknya kendala ke-6 adalah 208. 7.
Paling banyak satu mata pelajaran dengan suatu waktu diselenggarakan dalam suatu
ruangan, suatu kelompok dan seorang pengajar.
1
k n
p
ijknp
x
Untuk
1,2,...,12, i
dan
1,2,...,13. j
Banyaknya kendala ke-7 adalah 156. 8.
Paling banyak satu ruangan dengan suatu waktu digunakan dalam suatu kelompok,
suatu mata
pelajaran, dan
seorang pengajar.
1
j n
p
ijknp
x
Untuk
1,2,...,12, i
dan 1,2, ...,8.
k
Banyaknya kendala ke-8 adalah 96. 9.
Paling banyak satu kelompok dengan suatu waktu diselenggarakan dalam suatu
ruangan, suatu mata pelajaran, dan seorang pengajar.
1
k j
p
ijknp
x
Untuk
1,2,...,12, i
dan
1,2,...,16. n
Banyaknya kendala ke-9 adalah 192. 10.
Ada beberapa mata pelajaran yang tidak dijadwalkan, yaitu selain mata pelajaran
yang mereka
tentukan dalam
seminggunya. Untuk
1, j
dan
4,5,...,11,14: n
i k
p
ijknp
x
Untuk
2, j
dan
1,2,...,6,10,11,...16: n
i k
p
ijknp
x
Untuk
3, j
dan
1,4,5,...,11,14,16: n
i k
p
ijknp
x
Untuk
4, j
dan
1,2,...,5,7,8,9,12,13,14,16: n
i k
p
ijknp
x
Untuk
5, j
dan
1,2,...,9,13,15,16: n
i k
p
ijknp
x
Untuk
6, j
dan
1,2,...,9,12,13,15: n
i k
p
ijknp
x
Untuk
7, j
dan
1,2,...,12,15: n
i k
p
ijknp
x
Untuk
8, j
dan
3,6,7,...,16: n
i k
p
ijknp
x
Untuk
9, j
dan
2, 3,6,7,...,16: n
i k
p
ijknp
x
Untuk
10, j
dan
1,2,6,7,...,16: n
i k
p
ijknp
x
Untuk
11, j
dan
1, 2,...,5,8,10,11,...,16: n
i k
p
ijknp
x
Untuk
12, j
dan
1, 2,...,5,7,9,10,...,16: n
i k
p
ijknp
x
Untuk
13, j
dan
1,2,...,6,10,11,...,16: n
i k
p
ijknp
x
Banyaknya kendala ke-10 adalah 160. 11.
Setiap pengajar tidak mengajarkan mata pelajaran yang bukan spesialisasinya.
Untuk
2,3,...,13, j
dan
1,14: p
i k
n
ijknp
x
Untuk
1,2,3,...,13, j
dan
2 : p
i k
n
ijknp
x
Untuk
1,2,4,5,...,13, j
dan
3,15 : p
i k
n
ijknp
x
Untuk
1,2,3,5,6,...,13, j
dan
4 : p
i k
n
ijknp
x
Untuk
1,2,...,4,6,7,...,13, j
dan
5 : p
i k
n
ijknp
x
Untuk
1,2,...,5,7,8,...,13, j
dan
6 : p
i k
n
ijknp
x
Untuk
1,2,...,6,8,9,...,13, j
dan
7 : p
i k
n
ijknp
x
Untuk
1,2,...,7,9,10,...,13, j
dan
8 : p
i k
n
ijknp
x
Untuk
1,2,...,8,10,11,...,13, j
dan
9 : p
i k
n
ijknp
x
Untuk
1,2,...,9,11,12,13, j
dan
10 : p
i k
n
ijknp
x
Untuk
1,2,...,10,12,13, j
dan
11: p
i k
n
ijknp
x
Untuk
= 1,2,...,11,13, j
dan
12 : p
i k
n
ijknp
x
Untuk
1,2,...,12, j
dan
13 : p
i k
n
ijknp
x
Banyaknya kendala ke-11 adalah 156.
12.
Sebagian besar pengajar tidak dapat mengajar pada waktu tertentu
.
Untuk
7,8, i
dan
1, 2, 9,13 : p
j k
n
ijknp
x
Untuk
5, 6, i
dan
3, 7 : p
j k
n
ijknp
x
Untuk
11,12, i
dan
4,11 : p
j k
n
ijknp
x
Untuk
1, 2, i
dan
6 : p
j k
n
ijknp
x
Untuk
3, 4, i
dan
8,10,12,15 : p
j k
n
ijknp
x
Untuk
9,10, i
dan
14 : p
j k
n
ijknp
x
Banyaknya kendala ke-12 adalah 28. 13.
Semua variabel keputusan bernilai nol atau satu.
, , , ,
{0,1} ;
ijknp
i j k n p
x
Pada uraian tersebut, terlihat bahwa banyak
sekali persamaan
maupun pertidaksamaan yang harus diselesaikan.
Dalam hal ini sulit jika digunakan metode branch and bound secara manual. Masalah di
atas selanjutnya
diselesaikan dengan
menggunakan LINGO 8.0. Dari asumsi 4 diketahui bahwa setiap
pengajar tidak mengajar pada lokasi yang berbeda setiap harinya. Dalam hal ini, proses
runningnya dilakukan dengan dua cara. Cara pertama, ditentukan jadwal untuk lokasi Jalan
Gedung Sawah terlebih dahulu kemudian jadwal untuk Jalan Baru Lampiran 2.
Dengan cara serupa, dapat ditentukan jadwal untuk Jalan Baru terlebih dahulu kemudian
jadwal Jalan Gedung Sawah. Hasil proses pertama bisa dilihat pada Tabel 7, sedangkan
proses kedua bisa dilihat pada Tabel 8. Dari kedua proses tersebut nilai total fungsi
objektif maksimumnya sama yaitu 48 yang menunjukkan bahwa banyaknya penjadwalan
maksimum pada masing-masing proses ada 48 jadwal. Total waktu yang dibutuhkan untuk
mendapatkan solusi dari proses pertama adalah 1 menit 4 detik didapat pada iterasi
total ke 66, sedangkan untuk proses kedua 1 menit 3 detik didapat pada iterasi total ke 57.
Komputer yang
digunakan untuk
melakukan proses ini adalah processor komputer 1.34 GHz dengan kecepatan
memori RAM 512 MB. Hasil komputasi tidak semuanya
dicantumkan, karena
terlalu banyak. Hasil yang dicantumkan hanya untuk
x yang bernilai satu saja.
Tabel 7 Jadwal kegiatan belajar mengajar di BTA
No Hari Waktu Mata pelajaran
Ruangan Kelompok Pengajar
1
Senin Siang Bahasa Indonesia
2 Vektor
Purwatiningsih 2
Siang IPA 4
Hasanudin Diana Novalia 3
Siang Kimia 1
Matriks Abdul Gani
4 Siang Bahasa Inggris
3 Valas
Andry 5
Sore Bahasa Indonesia 4
Grape Rini Rustiani
6 Sore Ekonomi
3 Fiskal
Cut Yuni 7
Sore Matematika 5
Diponegoro Dadi Mulyadi 8
Sore Agama 8
Banana Ardhy
9 Sore Biologi
6 Median
Adisti 10
Sore Sejarah 7
Monetary Siti Nurhasanah
11 Selasa
Siang Matematika 5
Sudirman Fajriansyah
12 Siang Ekonomi
6 Mikro
Cut Yuni 13
Siang IPA 3
Mawar Diana Novalia
14 Sore Matematika
1 Aritmatika Dadi Mulyadi
15 Sore Bahasa Indonesia
3 Geometri
Purwatiningsih 16
Sore Bahasa Inggris 2
Teuku Umar Andry 17
Rabu Siang Geografi
4 Valas
Rully Budiman 18
Siang Bahasa Inggris 3
Hasanudin Andry 19
Siang Matematika 2
Vektor Dadi Mulyadi
20 Siang Fisika
1 Matriks
Mardanih 21
Sore Bahasa Indonesia 6
Diponegoro Rini Rustiani 22
Sore Sosiologi 5
Monetary Latifah Sulton
23 Sore Matematika
3 Grape
Rini Rustiani 24
Sore IPS 7
Banana Siti Sholihat
25 Sore Kimia
8 Median
Abdul Gani 26
Sore Geografi 4
Fiskal Rully Budiman
Lanjutan Tabel 7
No Hari Waktu Mata pelajaran
Ruangan Kelompok Pengajar
27 Kamis
Siang Agama 8
Sudirman Ardhy
28 Siang IPS
3 Mawar
Siti Sholihat 29
Siang Geografi 6
Mikro Rully Budiman
30 Sore Biologi
3 Geometri
Adisti 31
Sore IPA 2
Teuku Umar Diana Novalia 32
Sore Kimia 1
Aritmatika Abdul Gani 33
Jumat Siang Kimia
2 Vektor
Abdul Gani 34
Siang IPS 3
Hasanudin Siti Sholihat 35
Siang Biologi 1
Matriks Adisti
36 Siang Geografi
4 Valas
Rully Budiman 37
Sore Matematika 5
Banana Fajriansyah
38 Sore Bahasa Inggris
3 Grape
Andry 39
Sore IPA 7
Diponegoro Diana Novalia 40
Sore Fisika 8
Median Mardanih
41 Sore Sejarah
4 Fiskal
Siti Nurhasanah 42
Sore Ekonomi 6
Monetary Cut Yuni
43 Sabtu
Siang Bahasa Indonesia 8
Sudirman Rini Rustiani
44 Siang Agama
3 Mawar
Ardhy 45
Siang Sejarah 5
Mikro Siti Nurhasanah
46 Sore IPS
2 Teuku Umar Siti Sholihat
47 Sore Fisika
1 Aritmatika Mardanih
48 Sore Matematika
3 Geometri
Dadi Mulyadi Tabel 8
Jadwal kegiatan belajar mengajar di BTA No Hari Waktu
Mata pelajaran Ruangan Kelompok
Pengajar 1
Senin Siang Bahasa Indonesia
2 Vektor
Purwatiningsih 2
Siang IPA 3
Hasanudin Diana Novalia 3
Siang Biologi 1
Matriks Adisti
4 Siang Bahasa Inggris
3 Valas
Andry 5
Sore Bahasa Indonesia 3
Grape Purwatiningsih
6 Sore Sejarah
4 Fiskal
Siti Nurhasanah 7
Sore Bahasa Indonesia 7
Diponegoro Rini Rustiani 8
Sore Matematika 5
Banana Dadi Mulyadi
9 Sore Kimia
8 Median
Abdul Gani 10
Sore Ekonomi 6
Monetary Cut Yuni
11 Selasa
Siang Matematika 5
Sudirman Dadi Mulyadi
12 Siang Ekonomi
6 Mikro
Cut Yuni 13
Siang IPA 3
Mawar Diana Novalia
14 Sore Matematika
1 Aritmatika Fajriansyah
15 Sore Bahasa Indonesia
3 Geometri
Purwatiningsih 16
Sore Bahasa Inggris 2
Teuku Umar Andry
Lanjutan Tabel 8
No Hari Waktu Mata pelajaran
Ruangan Kelompok Pengajar
17
Rabu Siang Geografi
4 Valas
Rully Budiman 18
Siang Bahasa Inggris 3
Hasanudin Andry 19
Siang Matematika 2
Vektor Fajriansyah
20 Siang Kimia
1 Matriks
Abdul Gani 21
Sore Matematika 5
Diponegoro Dadi Mulyadi 22
Sore Sosiologi 8
Monetary Latifah Sulton
23 Sore Matematika
4 Grape
Fajriansyah 24
Sore IPS 6
Banana Siti Sholihat
25 Sore Fisika
7 Median
Mardanih 26
Sore Ekonomi 3
Fiskal Cut Yuni
27 Kamis
Siang Bahasa Indonesia 5
Sudirman Rini Rustiani
28 Siang Agama
3 Mawar
Ardhy 29
Siang Geografi 6
Mikro Rully Budiman
30 Sore Biologi
3 Geometri
Adisti 31
Sore IPA 2
Teuku Umar Diana Novalia 32
Sore Kimia 1
Aritmatika Abdul Gani 33
Jumat Siang Kimia
2 Vektor
Abdul Gani 34
Siang IPS 3
Hasanudin Siti Sholihat 35
Siang Fisika 1
Matriks Mardanih
36 Siang Sosiologi
4 Valas
Latifah Sulton 37
Sore Agama 6
Banana Ardhy
38 Sore Bahasa Inggris
3 Grape
Andry 39
Sore IPA 5
Diponegoro Diana Novalia 40
Sore Biologi 7
Median Adisti
41 Sore Geografi
4 Fiskal
Rully Budiman 42
Sore Sejarah 8
Monetary Siti Nurhasanah
43 Sabtu
Siang Agama 5
Sudirman Ardhy
44 Siang IPS
3 Mawar
Siti Sholihat 45
Siang Sejarah 6
Mikro Siti Nurhasanah
46 Sore IPS
2 Teuku Umar Siti Sholihat
47 Sore Fisika
1 Aritmatika Mardanih
48 Sore Matematika
3 Geometri
Dadi Mulyadi
V SIMPULAN DAN SARAN
5.1 Simpulan
