Model Matematika dan Analisis Kandungan Oksigen Terlarut dalam Badan Air yang Mengalami Eutrofikasi
MODEL MATEMATIKA DAN ANALISIS KANDUNGAN
OKSIGEN TERLARUT DALAM BADAN AIR
YANG MENGALAMI EUTROFIKASI
SRI LESTARI MAHMUD
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Model Matematika dan
Analisis Kandungan Oksigen Terlarut dalam Badan Air yang Mengalami
Eutrofikasi adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan
belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber
informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak
diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam
Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, September 2014
Sri Lestari Mahmud
NIM G551120021
RINGKASAN
SRI LESTARI MAHMUD. Model Matematika dan Analisis Kandungan Oksigen
Terlarut dalam Badan Air yang Mengalami Eutrofikasi. Dibimbing oleh ENDAR
HASAFAH NUGRAHANI dan PAIAN SIANTURI.
Eutrofikasi adalah proses pengayaan nutrien melalui proses dekomposisi
yang dapat memicu terjadinya perubahan seperti peningkatan produksi alga yang
mengakibatkan berkurangnya oksigen terlarut dalam badan air. Pengurangan
kandungan oksigen terlarut dapat mengakibatkan kematian terhadap ikan dan
komponen akuatik lainnya. Pada penelitian ini dibahas model matematika
kandungan oksigen terlarut dalam badan air yang mengalami eutrofikasi.
Pada model ini terdapat enam variabel yang dipertimbangkan, yaitu
konsentrasi nutrien, populasi alga, populasi makrofita, populasi zooplankton,
kepadatan detritus dan konsentrasi oksigen terlarut. Ketika proses eutrofikasi
terjadi, alga, makrofita dan zooplankton mati dan tenggelam ke bagian bawah badan
air, sehingga terjadi pembusukan oleh dekomposer, yang akhirnya terbentuk
detritus yang berlebihan. Detritus tersebut selanjutnya diubah menjadi nutrien
melalui proses biokimia. Proses pengubahan detritus menjadi nutrien menggunakan
banyak oksigen terlarut, sehingga mengurangi kandungan oksigen terlarut di badan
air.
Dalam penelitian ini diperoleh enam titik tetap. Selanjutnya dilakukan
analisis kestabilan pada titik tetap dengan mula-mula melinearisasi sistem
kemudian mencari nilai eigen dari matriks Jacobiannya. Hasil analisis
menunjukkan bahwa dari enam titik tetap, satu diantaranya stabil dan lima lainnya
tidak stabil. Simulasi menunjukkan bahwa jika laju masuknya nutrisi ke dalam
badan air mengalami kenaikan, maka populasi alga, makrofita, zooplankton dan
detritus juga meningkat, sedangkan konsentrasi oksigen terlarut menurun. Selain
itu, laju pengubahan detritus menjadi nutrien juga mempunyai pengaruh terhadap
konsentrasi oksigen terlarut di mana jika laju pengubahan detritus menjadi nutrien
meningkat, maka konsentrasi oksigen terlarut di badan air menurun. Simulasi
numerik juga menunjukkan bahwa jika laju masuknya nutrisi di badan air adalah
nol, maka populasi alga, makrofita, zooplankton dan kepadatan detritus juga
cenderung menuju nol setelah periode waktu yang singkat sedangkan konsentrasi
oksigen terlarut cenderung menuju nilai maksimum.
Kata kunci: eutrofikasi, kestabilan, model matematika, oksigen terlarut,
SUMMARY
SRI LESTARI MAHMUD. Mathematical Modeling and Analysis of Dissolved
Oxygen Level in the Water Body with Eutrophication. Supervised by ENDAR
HASAFAH NUGRAHANI and PAIAN SIANTURI.
Eutrophication is the enrichment of nutrients through decomposition
processes that can lead to changes, such as increased production of algae, which
reduces dissolved oxygen in the water body. Reduction of dissolved oxygen can
lead to the death of fish and other aquatic components. This study presents and
analyzes a mathematical model of dissolved oxygen in water bodies experiencing
eutrophication.
In the mathematical model, there are six variables to be considered, namely
the concentration of nutrients, algae population, macrophyte population,
zooplankton population, density of detritus and dissolved oxygen concentration.
When the process of eutrophication occurs, then algae, macrophytes and
zooplankton die and sink to the bottom of water bodies resulting in decomposition
by decomposers, which eventually formed excessive detritus. Detritus is then
converted into nutrients through biochemical processes. The process of conversion
of detritus into nutrients uses dissolved oxygen, thus reduces the dissolved oxygen
content in the water body.
In this study, six fixed points are obtained. Analysis on the stability of the
fixed points is carried out as follows. First step is to linearize the system, then
compute the eigenvalues of the Jacobian matrix. It is found that among the six fixed
points, one of them is stable and the other five are unstable. Simulations show that,
if the rate of entry of nutriens into the body of water increase, then the population
of algae, macrophytes, zooplankton and detritus also increase, however the
concentration of dissolved oxygen decreases. In addition, the rate of conversion of
detritus into nutrients also has an influence on the concentration of dissolved
oxygen. If the rate of conversion of detritus into nutriens increases, then the
concentration of dissolved oxygen in water bodies decreases. Numerical
simulations show that if the rate of entry of nutrients in a body of water is zero, then
the population of algae, macrophytes, zooplankton and detritus density also tends
to zero after a short period of time, while the dissolved oxygen concentration tends
towards a maximum value.
Keywords: dissolved oxygen, eutrophication, mathematical model, stability
© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2014
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau
menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan,
penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau
tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan IPB
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini
dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB
MODEL MATEMATIKA DAN ANALISIS KANDUNGAN
OKSIGEN TERLARUT DALAM BADAN AIR
YANG MENGALAMI EUTROFIKASI
SRI LESTARI MAHMUD
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains
pada
Program Studi Matematika Terapan
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr Jaharuddin, MS
Judul Tesis : Model Matematika dan Analisis Kandungan Oksigen Terlarut
dalam Badan Air yang Mengalami Eutrofikasi
Nama
: Sri Lestari Mahmud
NIM
: G551120021
Disetujui oleh
Komisi Pembimbing
Dr Ir Endar H Nugrahani, MS
Ketua
Dr Paian Sianturi
Anggota
Diketahui oleh
Ketua Program Studi
Matematika Terapan
Dekan Sekolah Pascasarjana
Dr Jaharuddin, MS
Dr Ir Dahrul Syah, MScAgr
Tanggal Ujian: 26 Agustus 2014
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur Penulis panjatkan kepada Allah Subhanahu wa ta’ala atas
segala nikmat dan karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan.
Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Februari 2014
ini ialah pemodelan matematika, dengan judul Model Matematika dan Analisis
Kandungan Oksigen Terlarut dalam Badan Air yang Mengalami Eutrofikasi
Penulisan tesis ini merupakan salah satu syarat memperoleh gelar Magister
Sains pada program studi Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana Institut
Pertanian Bogor. Penulis menyadari bahwa bantuan-bantuan dan arahan-arahan
dari kedua pembimbing sangat membantu dalam menyelesaikan karya tulis ini.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Ibu Dr Ir Endar Hasafah Nugrahani, MS
selaku pembimbing I dan Bapak Dr Paian Sianturi dan selaku pembimbing II.
Penulis juga menyampaikan terima kasih kepada:
1. Dr Jaharuddin, MS selaku Ketua Program Studi Matematika Terapan dan
.
sekaligus penguji luar komisi pembimbing.
2. Seluruh dosen dan staf pegawai tata usaha Departemen Matematika.
3. Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi (DIKTI) sebagai sponsor Beasiswa
Unggulan.
4. Bapak Drs Eko Harsono, MT selaku peneliti LIPI yang menjadi narasumber
tentang masalah eutrofikasi.
5. Orang tua, saudara dan seluruh keluarga yang selalu memberikan dorongan dan
mendoakan untuk keberhasilan studi bagi penulis.
6. Seluruh mahasiswa Departemen Matematika khususnya teman-teman
angkatan tahun 2012 di Program Studi S2 Matematika Terapan.
7. Teman-teman MSP dan BIOLOGI khususnya ka Apri, Anes, Hasan dan
Efariana yang selalu memberikan masukan untuk masalah eutrofikasi.
8. Sahabat-sahabat yang tak dapat disebutkan satu persatu yang telah banyak
membantu penulis dalam penyelesaian tesis ini.
Semoga segala bantuan, bimbingan, dan motivasi yang telah diberikan kepada
penulis senantiasa mendapat balasan dari Allah Subhanahu wa ta’ala.
Akhirnya, semoga penulisan tesis ini dapat memperkaya pengalaman belajar
serta wawasan kita semua.
Bogor, September 2014
Sri Lestari Mahmud
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
1 PENDAHULUAN
Latar Belakang
Tujuan Penelitian
1
1
2
2 TINJAUAN PUSTAKA
Oksigen Terlarut
Eutrofikasi
Sistem Persamaan Diferensial Biasa
Model Misra (2007)
Model Misra (2010)
3
3
3
4
5
7
3 HASIL DAN PEMBAHASAN
Modifikasi Model Matematika Kandungan Oksigen Terlarut
Penentuan Titik Tetap
Analisis Kestabilan Titik Tetap
Simulasi Numerik
8
8
11
15
21
4 SIMPULAN
24
DAFTAR PUSTAKA
25
LAMPIRAN
26
RIWAYAT HIDUP
50
DAFTAR TABEL
1
Nilai Parameter Model
19
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Skema model Misra (2007)
6
Skema model Misra (2010)
8
Skema model matematika kandungan oksigen terlarut pada badan air
yang mengalami eutrofikasi
9
Grafik solusi perilaku kestabilan pada titik tetap E6.
20
Populasi alga terhadap t dengan nilai berbeda
21
22
Populasi zooplankton terhadap t dengan nilai berbeda
Populasi makrofita terhadap t dengan nilai berbeda
22
Kepadatan detritus terhadap t dengan nilai berbeda
22
Konsentrasi oksigen terlarut terhadap t dengan nilai berbeda
23
Konsentrasi oksigen terlarut terhadap t dengan nilai � berbeda 23
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5
Sintaks mathematica untuk penentuan titik tetap
Unsur-unsur matriks jacobi untuk masing-masing titik tetap
Sintaks mathematica untuk penentuan nilai eigen
Simulasi kestabilan titik tetap E6
Simulasi laju pengubahan detritus menjadi nutrien
26
33
35
45
48
1 PENDAHULUAN
Latar Belakang
Air merupakan sumber daya alam yang sangat penting bagi kehidupan
makhluk hidup sehingga harus dijaga kelestariannya agar di kemudian hari
ketersediaan air tetap tercukupi. Air yang digunakan tersebut tentunya merupakan
air yang bersih, sehat dan memenuhi standar kesehatan yaitu dalam kondisi yang
tidak tercemar.
Definisi pencemaran air menurut surat Keputusan Mentri Negara
Kependudukan dan Lingkungan Hidup No. 20 tahun 1990 adalah masuk atau
dimasukkannya makhluk hidup, zat, energi dan atau komponen lain ke dalam air
dan atau berubahnya tatanan air oleh kegiatan manusia atau oleh proses alam,
sehingga kualitas air turun sampai ke tingkat tertentu yang menyebabkan air
menjadi kurang atau tidak dapat berfungsi lagi sesuai dengan peruntukannya
(Effendi 2003).
Misra (2010) menyatakan bahwa kegiatan manusia merupakan salah satu
faktor utama yang mengakibatkan terjadinya pencemaran air di alam ini. Salah satu
contohnya adalah untuk memaksimalkan hasil panen dan meningkatkan hasil
produksi, petani menggunakan nitrogen, fosfor berbasis pupuk dan juga
menggunakan herbisida dan insektisida, yang masing-masing digunakan untuk
membunuh gulma dan serangga di lahan pertanian mereka. Sebagian dari jumlah
pupuk, pestisida, herbisida dan insektisida ini telah digunakan oleh tanaman. Sisa
dari bahan kimia yang tidak terpakai mengalir bersama ke badan air melalui air
limpasan. Bahan kimia yang masuk melalui air limpasan tersebut mengandung
fosfat dan nitrogen (senyawa nutrisi) sehingga badan air (danau) menjadi tercemar.
Selain itu, Misra (2010) juga mengatakan bahwa nutrisi yang masuk ke badan
air tidak hanya berasal dari limbah pertanian, tetapi ada juga yang berasal dari
limbah rumah tangga. Nutrisi yang terdapat dalam badan air, menyebabkan alga
dan tumbuhan air lainnya tumbuh sangat cepat sehingga menyebabkan eutrofikasi.
Eutrofikasi adalah proses pengayaan nutrien melalui proses dekomposisi yang
dapat memicu terjadinya perubahan seperti peningkatan produksi alga atau
tumbuhan makrofit lainnya yang menyebabkan berkurangnya oksigen terlarut
dalam badan air.
Oksigen terlarut (Dissolved Oxygen = DO) adalah oksigen yang digunakan
oleh mahluk hidup yang tinggal di dalam air baik hewan maupun tumbuhan untuk
mempertahankan hidupnya. Oksigen terlarut ini dibutuhkan untuk pernapasan dan
proses metabolisme atau pertukaran zat yang kemudian menghasilkan energi untuk
pertumbuhan dan pembiakan (Kristanto 2004).
Kandungan oksigen terlarut dapat bersumber dari proses difusi oksigen yang
berasal dari udara maupun proses fotosintesis oleh alga dan tumbuhan. Kadar
oksigen dari kedua proses ini mengakibatkan peningkatan kandungan oksigen
terlarut yang tidak terlalu tinggi. Semakin banyak nutrisi yang masuk ke badan air,
maka populasi alga dan tumbuhan akan semakin banyak. Hal ini mengakibatkan
alga dan tumbuhan menutupi permukaan air sehingga perpindahan oksigen dari
udara ke air melalui difusi dan cahaya yang digunakan untuk proses fotosintesis
juga menjadi berkurang (Misra 2010).
2
Selain itu, ketika alga dan tumbuhan mati dan tenggelam ke bagian bawah
badan air, terjadi pembusukan oleh dekomposer yang akhirnya terbentuk detritus
yang berlebihan. Detritus tersebut selanjutnya diubah menjadi nutrien melalui
proses biokimia. Proses pengubahan detritus menjadi nutrisi menggunakan banyak
oksigen terlarut, sehingga mengurangi kandungan oksigen terlarut di badan air.
Penggunaan oksigen terlarut yang sangat besar pada proses biokimia
mengakibatkan suplai oksigen terlarut bagi ikan dan komponen akuatik lainnya
menjadi berkurang sehingga hal ini akan berpengaruh buruk terhadap kehidupan
ikan dan kehidupan akuatik lainnya (Soeprobowati et al. 2012).
Berdasarkan permasalahan tentang oksigen terlarut pada badan air yang
mengalami eutrofikasi, maka dibutuhkan suatu model matematika yang dapat
menggambarkan fenomena-fenomena yang menyebabkan berubahnya kandungan
oksigen teralarut serta menganalisis model untuk melihat dinamika populasi di
badan air tersebut.
Model matematika dan analisis tentang oksigen terlarut ini telah banyak dikaji
oleh beberapa peneliti. Voinov dan Tonkikh (1987) telah menyajikan sebuah model
matematika taklinear untuk eutrofikasi di danau yang menyebabkan berkurangnya
DO. Model tersebut mengasumsikan bahwa penyebab berkurangnya oksigen
terlarut hanya dipengaruhi oleh nutrien, alga dan detritus. Model Voinov dan
Tonkikh dikaji lebih lanjut oleh Misra (2007) dengan menambahkan parameter
zooplankton pada model dan direkonstruksi kembali oleh Misra (2010) dengan
menambahkan parameter makrofita dan mengabaikan parameter zooplankton pada
model.
Penelitian ini akan mengkaji sebuah model modifikasi yang mengacu pada
kajian Misra (2007) dan Misra (2010) dengan menambahkan sekaligus parameter
zooplankton dan makrofita pada model matematika kandungan oksigen terlarut
dalam badan air yang mengalami eutrofikasi.
Tujuan Penelitian
1
2
3
Penelitian ini bertujuan untuk:
Melakukan modifikasi model matematika kandungan oksigen terlarut.
Menentukan titik tetap dan analisis kestabilan pada model.
Melakukan simulasi numerik terhadap model untuk menggambarkan
keterkaitan antara konsentrasi nutrisi, populasi alga, makrofita, zooplankton,
detritus dan kandungan oksigen terlarut dalam badan air yang mengalami
eutrofikasi.
3
2 TINJAUAN PUSTAKA
Oksigen Terlarut
Oksigen terlarut adalah konsentrasi oksigen yang terlarut dalam air dan
dapat diukur dalam satuan miligram per liter. Oksigen terlarut ini dibutuhkan oleh
semua jasad hidup untuk proses pernapasan, metabolisme atau pertukaran zat yang
kemudian menghasilkan energi untuk pertumbuhan dan pembiakan. Oksigen
terlarut juga dapat dijadikan ukuran untuk menentukan kualitas air. Hal itu
dikarenakan oksigen terlarut berperan dalam proses oksidasi dan reduksi bahan
organik dan anorganik.
Oksigen terlarut dapat berasal dari fotosintesis tanaman air dan dari atmosfir
(udara) yang masuk ke dalam air dengan kecepatan tertentu. Kadar oksigen akan
lebih tinggi karena adanya proses difusi antara air dengan udara bebas serta adanya
proses fotosintesis. Bertambahnya kedalaman menyebabkan terjadinya penurunan
kadar oksigen terlarut, karena proses fotosintesis semakin berkurang dan kadar
oksigen yang ada banyak digunakan untuk pernapasan dan oksidasi dan bahanbahan organik dan anorganik (Kristanto 2004).
Eutrofikasi
Eutrofikasi didefinisikan sebagai pengayaan (enrichment) air dengan
nutrien/unsur hara berupa bahan anorganik yang dibutuhkan oleh tumbuhan dan
meningkatkan terjadinya peningkatan produktivitas primer perairan. Nutrien yang
dimaksud adalah nitrogen dan fosfor. Eutrofikasi diklasifikasikan menjadi dua yaitu
artificial (cultural) eutrophication dan natural eutrophication. Eutrofikasi
diklasifikasikan sebagai artificial (cultural) eutrophication apabila peningkatan
unsur hara di perairan disebabkan oleh aktivitas manusia; dan diklasifikasikan
sebagai natural eutrophication jika peningkatan unsur hara di perairan bukan
disebabkan oleh aktivitas manusia, melainkan aktivitas alam (Effendi 2003).
Gejala eutrofikasi di perairan badan air biasanya ditunjukkan dengan
melimpahnya konsentrasi unsur hara dan perubahan parameter kimia seperti
oksigen terlarut, kandungan klorofil-a dan turbiditas serta produktivitas primer. Hal
ini menyebabkan terjadinya peningkatan konsentrasi biomassa di bagian epilimnion
badan air dan tingginya laju pengendapan alga ke bagian dalam kolom air, sehingga
menjadikan kondisi anaerobik pada daerah hipolimnion (Gather dan Imboden
1985). Agustiyani (2004) mengemukakan hal yang senada bahwa meningkatnya
unsur hara di badan air akan meningkatkan biomassa jenis organisme primer tetapi
akan menurunkan jenis konsumer. Hal ini mengakibatkan melimpahnya salah satu
jenis saja dan mengurangi varietas dan kualitas. Salah satu contohnya adalah
melimpahnya alga yang biasa didominasi oleh blue green algae (alga biru-hijau)
dan berkembangnya gulma air.
4
Sistem Persamaan Diferensial Biasa
Sistem Persamaan Diferensial Biasa Linear
Misalkan suatu sistem persamaan diferensial biasa (SPDB) dinyatakan
sebagai
(2.1)
�̇ = �� + �; �
=� ,
� ∈ ℝ�
dengan � adalah matriks koefisien konstan berukuran x dan � adalah vektor
konstan. Sistem persamaan (2.1) dinamakan sistem persamaan diferensial linear
orde satu dengan kondisi awal �
= � . Jika � = , maka sistem dikatakan
homogen dan jika � ≠ , maka sistem dikatakan takhomogen (Tu 1994).
Sistem Persamaan Diferensial Biasa Taklinear
Misalkan suatu sistem persamaan diferensial biasa (SPDB) dinyatakan
sebagai
(2.2)
�̇ =
,� ,
dengan
, � , � , … , ��
�
�
, � , � , … , ��
�=[
] dan
,� = [
]
��
� , � , � , … , ��
adalah fungsi taklinear dalam � , � , … , �� . Sistem persamaan (2.2) disebut sistem
persamaan diferensial biasa taklinear (Braun 1983).
Sistem Persamaan Diferensial Biasa Mandiri
Misalkan suatu sistem persamaan diferensial biasa (SPDB) dinyatakan
sebagai
(2.3)
�̇ = � , � ∈ ℝ� ,
dengan merupakan fungsi kontinu bernilai real dari �. Sistem persamaan (2.3)
disebut sistem persamaan diferensial biasa mandiri (autonomous) karena tidak
memuat secara eksplisit di dalamnya (Tu 1994).
Titik Tetap
Diberikan SPD Mandiri
�̇ = � , � ∈ ℝ� .
̅ disebut titik tetap, jika �
̅ = . Titik tetap disebut juga titik kritis
Titik �
atau titik kesetimbangan atau titik ekuilibrium (Tu 1994). Untuk selanjutnya
digunakan istilah titik tetap.
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Diberikan matriks koefisien konstan � berukuran
×
dan sistem
persamaan diferensial biasa homogen �̇ = ��, �
= � , � ∈ ℝ� . Suatu vektor
taknol � di dalam ℝ� disebut vektor eigen dari � jika untuk suatu skalar � berlaku
(2.4)
�� = ��.
Nilai skalar � dinamakan nilai eigen dari �. Untuk mencari nilai � dari �, maka
sistem persamaan (2.4) dapat ditulis
(2.5)
�−� �= ,
dengan adalah matriks identitas. Sistem persamaan (2.5) mempunyai solusi taknol
jika dan hanya jika
5
(2.6)
det � − � = .
Persamaan (2.6) merupakan persamaan karakteristik matriks � (Anton dan Rorres
1995).
Pelinearan
Analisis kestabilan dari suatu SPD taklinear dilakukan melalui model hasil
pelinearan. Misalkan diberikan SPD taklinear sebagai berikut
(2.7)
�̇ = � .
̅ , maka sistem
Dengan menggunakan ekspansi Taylor untuk suatu titik tetap �
persamaan (2.7) dapat ditulis sebagai
(2.8)
�̇ = �� + � � .
Persamaan tersebut merupakan SPD taklinear dengan � adalah matriks Jacobi,
̅ =
�=
�
� �=�̅
=
�
�
⋱
��
�
=[
�
⋱
�
��
]
�� ]
[ �
dan � � suku berorde tinggi yang bersifat lim � � = .Akibatnya persamaan
�→
diferensial (2.8) diberikan sebagai berikut
(2.9)
�̇ = ��.
Persamaan (2.9) disebut pelinearan dari persamaan diferensial (2.7) (Tu 1994).
Analisis Kestabilan Titik Tetap
Misalkan diberikan SPD mandiri sebagaimana pada sistem (2.3). Pelinearan
selanjutnya dilakukan di sekitar titik tetap sesuai dengan persamaan (2.8), sehingga
diperoleh persamaan (2.9). Analisis kestabilan SPD (2.3) dilakukan melalui analisis
kestabilan SPD (2.9). Penentuan kestabilan titik tetap didapat dengan melihat nilainilai eigen matriks �, yaitu: �� , � = , , … , yang diperoleh dari
�−� =
.
Secara umum kestabilan titik tetap mempunyai perilaku sebagai berikut :
1 Stabil, jika
a) Setiap nilai eigen real negatif (�� < untuk setiap �), atau
b) Setiap nilai eigen kompleks yang memiliki bagian real negatif atau sama
dengan nol, (
��
untuk setiap �).
2 Takstabil, jika
a) Terdapat nilai eigen real positif atau sama dengan nol (��
untuk suatu
�), atau
b) Terdapat nilai eigen kompleks yang memiliki bagian real positif, (
�� >
untuk suatu �) (Tu 1994).
Model Misra (2007)
Model matematika taklinear dalam penelitian ini diusulkan dan dianalisa
untuk mempelajari berkurangnya oksigen terlarut pada badan air yang mengalami
6
eutrofikasi karena pertumbuhan alga, zooplankton dan spesies biologi lainnya yang
berlebihan, yang disebabkan oleh masukan nutrisi yang berlebihan di badan air.
Asumsi yang diberikan pada model ini yakni sebagai berikut:
Populasi alga sepenuhnya bergantung pada nutrien dan zooplankton.
Zooplankton berperan sebagai predator dari alga.
Kadar oksigen terlarut dalam badan air meningkat karena difusi dan proses
fotosintesis alga yang diasumsikan konstan.
Detritus yang terbentuk diperoleh dari alga dan zooplankton yang mati yang
kemudian didekomposisi menjadi nutrien.
Variabel yang dipertimbangkan dalam model ini adalah konsentrasi nutrien
( ), kepadatan populasi alga (�), kepadatan populasi zooplankton ( ), kepadatan
detritus ( ) dan konsentrasi oksigen terlarut ( ). Secara skematis, pola
berkurangnya oksigen terlarut dalam model ini digambarkan dalam diagram
kompartemen yang disajikan pada Gambar 1. Model yang menggambarkan
fenomena tersebut diformulasikan sebagai berikut
�
=
=
+�
=
=�
=
−
�−
� −
−
�+�
�−
−
−
�
� −
�
(2.10)
−
+� �−
dimana:
, �
,
,
,
.
Koefisien
dan
dalam model (2.10) masing-masing merupakan
koefisien positif yang menunjukkan laju berkurangnya nutrien dan oksigen terlarut
secara alami dan positif. Koefisien
dan
masing-masing menunjukkan angka
kematian alami alga dan zooplankton sedangkan menunjukkan laju berkurangnya
detritus karena proses biokimia yang terjadi di badan air. Koefisien , , ,
Gambar 1 Skema model Misra (2007)
7
adalah konstanta pembanding yang juga positif. Konstanta
dan
adalah
koefisien laju berkurangnya alga dan zooplankton karena adanya interaksi diantara
sesama alga dan zooplankton tersebut. Koefisien � , � dan � adalah konstanta
pembanding dengan < � , � , � 0.
+ −
−
∗
Titik tetap �
, �∗ , , , �∗ , �∗
Pada titik tetap ini, makrofita dan zooplankton belum ada pada badan air
menyebabkan badan air yang tercemar hanya berpengaruh pada populasi alga
artinya nutrien hanya digunakan oleh alga sehingga nilai � = dan = . Nilainilai dari titik tetap E3 diperoleh dengan menyelesaikan persamaan di bawah ini:
+�
−
−
� =
− −
� =
� �−
=
−
+� �−
= ,
Sehingga diperoleh titik tetap
yaitu
∗ ∗
, � , , , ∗, ∗ ,
dengan
�∗
−
=
+√
∗
∗
=
=
∗
−
+ �∗
�∗ �
=
−
−
Syarat agar titik tetap
+� �
+
∗
+ �∗ �
.
+� �
ada yaitu
−
−
+
∗
+
>
∗
�
dan
> .
∗
Titik tetap �
, �∗ , , �∗ , �∗ , �∗
Pada titik tetap ini, makrofita belum ada pada badan air, maka badan air yang
tercemar berpengaruh pada populasi alga dan zooplankton sehingga nilai = .
Nilai-nilai dari titik tetap E4 diperoleh dengan menyelesaikan persamaan di bawah
ini
+�
−
−
� =
− −
�−
=
�− −
=
� �+�
−
=
−
+� �−
= .
Sehingga diperoleh titik tetap E4 yaitu
∗ ∗
, � , , ∗, ∗, ∗ ,
13
dengan
�∗ =
∗
∗
∗
=
=
=
∗
(−
−
−
�∗ �
=
+ �∗
−
Syarat agar titik tetap
−
−
−
+
+
−
)
−� �
+
−� �
−√ −
−
−� �
+
−
−
+
−
−
+� �
−
+� �
+
+ �∗
+ �∗
+
∗
+�
+ �∗ �
ada yaitu
−
∗
∗
+
>
∗
−
.
+ �∗
−� �
+
dan
�
> .
>
dan
∗
Titik tetap �
, �∗ , ∗ , , �∗ , �∗
Pada titik tetap ini, zooplankton belum ada pada badan air, maka badan air
yang tercemar berpengaruh pada populasi alga dan makrofita sehingga nilai Z=0.
Nilai-nilai dari titik tetap E5 diperoleh dengan menyelesaikan persamaan di bawah
ini
+�
−
−
�−
=
− −
� =
− −
=
� �+�
−
=
−
+� �−
+�
= .
Sehingga diperoleh titik tetap E5 yaitu
∗ ∗
, � , ∗, , ∗, ∗ ,
dengan
∗
=
−√
�∗ =
∗
=
(−
−
−� �
+−
−� �
− + ∗
−
+
∗
−
−� �
)
−
−� �
−
+� �
+
+
−
+� �
−
−
14
∗
=
∗
�∗ + �
�
−
=
∗
∗
+ � ∗�
∗
+�
.
Syarat agar titik tetap ada yaitu
−� �
−� �
− + ∗
> dan
∗
− +
> dan
∗
−
+ � ∗�
+
∗
+�
>
dan
> .
∗
Titik tetap �
, �∗ , ∗ , �∗ , �∗ , �∗
Pada titik tetap ini, alga, makrofita dan zooplankton ketiganya menggunakan
oksigen terlarut dalam badan air untuk bertahan hidup, sehingga badan air telah
tercemar yang mengakibatkan kandungan oksigen terlarut akan rendah. Nilai-nilai
dari titik tetap pada kondisi ini diperoleh dengan cara menyelesaikan persamaan
dibawah ini:
+�
−
− � −
=
− −
�−
=
− −
=
�− −
=
� �+�
+�
−
=
−
+� �+�
−
= .
Sehingga diperoleh titik tetap E6 yaitu
∗ ∗
, � , ∗, ∗ , ∗, ∗ ,
dengan
� ∗
− +� ∗
∗
=
∗
∗
∗
dimana �
−
∗
∗
=
=
=
=
−
∗
+ �∗
�
−
+
+
∗
∗
∗
+
∗
�
+ �∗ �
+�
+�
∗
∗
,
dapat dilihat pada Lampiran 1. Syarat agar titik tetap ada yaitu:
+
+
−
−� �
+
−
+
−
−� �
+� �
> dan
∗
− +�
> dan
− + ∗
> dan
∗
∗
∗
−
+� � +�
> .
15
Analisis Kestabilan Titik Tetap
Pada bagian ini, akan dilakukan analisis untuk melihat sifat kestabilan pada
masing-masing titik tetap. Untuk melihat sifat kestabilan di sekitar titik tetap, maka
akan dilakukan pelinearan pada sistem (3.1) yang merupakan sistem persamaan
diferensial taklinear. Jenis kestabilan tersebut ditentukan berdasarkan nilai eigen
dari matriks Jacobian dari sistem yang sudah berbentuk linear.
Misalkan sistem persamaan (3.1) dituliskan sebagai berikut
, �, , , ,
= +�
−
− � −
, �, , , ,
=
�− �−
� − �
, �, , , ,
=
−
−
(3.3)
� , �, , , ,
=
� −
−
� , �, , , ,
=� �+�
+�
−
, �, , , , = −
+� �+�
−
.
Pelineran pada sistem (3.3) memperoleh matriks Jacobi sebagai berikut
�
�
=
�
(
=
di mana
=−
=−
−
−
�
�
�
�
�
�
�
−
�
�
�
(
�−
,
+
�
�
−
�
�
�
�
−
�
�
−
�
�
=− −
,
=−
�
�−
�
�
−
−
+
+
)
−
)
,
(3.4)
,
�.
Perilaku kestabilan dari sistem (3.1) akan dianalisis dengan mensubstitusikan
nilai dari titik tetap , , , ,
dan
ke dalam matriks Jacobi (3.4).
Menurut Tu (1994), sistem akan stabil jika nilai eigen dari matriks Jacobi ( �� )
semuanya bernilai riil negatif dan bersifat tidak stabil jika minimal ada satu nilai
eigen dari matriks �� yang positif.
16
Kestabilan Titik Tetap �
Pelinearan sistem (3.1) pada titik tetap
( ⁄ , , , , , ⁄ ) dapat
dilakukan dengan mensubstitusikan nilai-nilai
ke dalam matriks (3.4) sehingga
diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut
=
�
(
)
,
di mana , , , … ,
dapat dilihat pada Lampiran 2.
Kestabilan dari
selanjutnya akan dianalisis berdasarkan nilai eigen dari
matriks Jacobian tersebut. Berdasarkan matriks | � − � | diperoleh enam nilai
eigen berikut
=−
−
+
=
=
−
+
=−
=−
=− .
Hasil tersebut menunjukkan bahwa
, , , dan
bernilai negatif
sedangkan
bernilai negatif jika
<
dan
bernilai negatif jika
<
. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa titik tetap
stabil jika
syarat untuk nilai eigen
dan
dipenuhi. Sebaliknya, jika syarat tersebut tidak
terpenuhi, maka tetap
tidak stabil.
Kestabilan Titik Tetap �
∗
, , ∗ , , ∗ , ∗ dapat
Pelinearan sistem (3.1) pada titik tetap
dilakukan dengan mensubstitusikan nilai-nilai
ke dalam matriks (3.4) sehingga
diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut
�
=
,
(
)
di mana , , , … ,
dapat dilihat pada Lampiran 2.
Kestabilan dari
selanjutnya akan dianalisis berdasarkan nilai eigen dari matriks
Jacobian tersebut. Berdasarkan matriks | � − � | diperoleh enam nilai eigen
berikut
=−
=−
=− + ∗
=
17
=
=
,
, , dapat dilihat pada Lampiran 3.
Hasil tersebut menunjukkan bahwa
dan
bernilai negatif. Dengan
demikian dapat disimpulkan bahwa titik tetap
akan stabil jika , , ,
bernilai negatif sedangkan jika terdapat salah satu yang positif di antara empat nilai
eigen tersebut, maka titik tetap
menjadi tidak stabil.
nilai
Kestabilan Titik Tetap �
∗ ∗
, � , , , ∗ , ∗ dapat
Pelinearan sistem (3.1) pada titik tetap
dilakukan dengan mensubstitusikan nilai-nilai
ke dalam matriks (3.4) sehingga
diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut
�
=
,
(
)
di mana
, , ,…,
dapat dilihat pada Lampiran 2. Kestabilan dari
selanjutnya akan dianalisis berdasarkan nilai eigen dari matriks Jacobian tersebut.
Berdasarkan matriks | � − � | diperoleh enam nilai eigen berikut
=−
=− + ∗
= − + �∗
=
=
= ,
nilai , , dapat dilihat pada Lampiran 3.
Hasil tersebut menunjukkan bahwa
bernilai negatif. Dengan demikian
dapat disimpulkan bahwa titik tetap
akan stabil jika , , , ,
bernilai
negatif sedangkan jika terdapat salah satu yang positif di antara lima nilai eigen
tersebut, maka titik tetap
menjadi tidak stabil.
Kestabilan Titik Tetap �
∗ ∗
, � , , ∗ , ∗ , ∗ dapat
Pelinearan sistem (3.1) pada titik tetap
dilakukan dengan mensubstitusikan nilai-nilai
ke dalam matriks (3.4) sehingga
diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut
�
=
,
(
)
di mana
, , ,…,
dapat dilihat pada Lampiran 2. Kestabilan dari
selanjutnya akan dianalisis berdasarkan nilai eigen dari matriks Jacobian tersebut.
Berdasarkan matriks | � − � | diperoleh enam nilai eigen berikut
=−
18
=− + ∗
=
=
=
= ,
nilai , , , dapat dilihat pada Lampiran 3.
Hasil tersebut menunjukkan bahwa
bernilai negatif. Dengan demikian
dapat disimpulkan bahwa titik tetap
akan stabil jika , , , ,
bernilai
negatif sedangkan jika terdapat salah satu yang positif di antara lima nilai eigen
tersebut, maka titik tetap
menjadi tidak stabil.
Kestabilan Titik Tetap �
∗ ∗
, � , ∗ , , ∗ , ∗ dapat
Pelinearan sistem (3.1) pada titik tetap
dilakukan dengan mensubstitusikan nilai-nilai
ke dalam matriks (3.4) sehingga
diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut
�
=
,
(
)
di mana
, , ,…,
dapat dilihat pada Lampiran 2. Kestabilan dari
selanjutnya akan dianalisis berdasarkan nilai eigen dari matriks Jacobian tersebut.
Berdasarkan matriks | � − � | diperoleh enam nilai eigen berikut :
=−
= − + �∗
=
=
=
= ,
nilai , , , dapat dilihat pada Lampiran 3.
Hasil tersebut menunjukkan bahwa
bernilai negatif. Dengan demikian
dapat disimpulkan bahwa titik tetap
akan stabil jika , , , ,
bernilai
negatif sedangkan jika terdapat salah satu yang positif di antara lima nilai eigen
tersebut, maka titik tetap
menjadi tidak stabil.
Kestabilan Titik Tetap �
∗ ∗
, � , ∗ , ∗ , ∗ , ∗ dapat
Pelinearan sistem (3.1) pada titik tetap
dilakukan dengan mensubstitusikan nilai-nilai
ke dalam matriks (3.4) sehingga
diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut
�
=
(
)
,
19
di mana
, , ,…,
dapat dilihat pada Lampiran 2. Kestabilan dari
selanjutnya akan dianalisis berdasarkan nilai eigen dari matriks Jacobian tersebut.
Berdasarkan matriks | � − � | diperoleh enam nilai eigen berikut :
=−
=
=
=
=
= ,
nilai , , , , dapat dilihat pada Lampiran 3.
Hasil tersebut menunjukkan bahwa
bernilai negatif. Dengan demikian
dapat disimpulkan bahwa titik tetap
akan stabil jika , , , ,
bernilai
negatif sedangkan jika terdapat salah satu yang positif di antara lima nilai eigen
tersebut, maka titik tetap
menjadi tidak stabil.
Berdasarkan hasil analisis tersebut, sifat kestabilan dari masing-masing titik
tetap belum dapat dikatakan stabil atau tidak. Sifat kestabilan titik tetap dari model
akan diperiksa dengan pemberian nilai parameter pada bagian selanjutnya.
Nilai Parameter
Nilai-nilai parameter yang akan digunakan, diambil dari Amemiyaa et al.
(2007) dan Misra (2007, 2010). Nilai-nilai parameter tersebut disajikan pada Tabel
1.
Tabel 1 Nilai Parameter Model
Parameter
�
�
�
�
�
�
Nilai
0.5
0.3
0.005
0.025
0.02
0.5
0.01
0.4
0.6
1
0.002
0.004
2
0.02
0.02
0.04
0.06
0.02
0.9
0.9
0.9
0.9
0.9
1
Satuan
mg l-1 hari-1
mg l-1 hari-1
hari-1
hari-1
hari-1
hari-1
hari-1
l mg-1 hari-1
l mg-1 hari-1
l mg-1 hari-1
l mg-1 hari-1
l mg-1 hari-1
l mg-1 hari-1
hari-1
hari-1
hari-1
hari-1
non dimensi
non dimensi
non dimensi
non dimensi
non dimensi
non dimensi
non dimensi
20
Kestabilan Model
Model dalam sistem (3.1) memiliki enam titik tetap yang dapat ditunjukkan
dengan solusi numerik menggunakan software Mathematica. Nilai dari masingmasing titik tetap dap at diperoleh dengan menggunakan nilai parameter pada Tabel
1 sehingga diperoleh
1.0
0.4
0.9
0.3
0.8
Nutrien
0.2
Alga
0.7
0.6
0.1
0.5
0.0
0
50
100
150
200
250
300
0
350
50
100
150
200
300
350
1.0
Kepadatan populasi zooplankton
8
Kepadatan Populasi makrofita
250
u
u
7
6
5
Makrofita
4
3
0.8
0.6
Zooplankton
0.4
0.2
0.0
2
0
50
100
150
200
250
300
350
0
50
100
150
200
250
300
350
Waktu
4.0
3.5
Konsentrasi DO
Kepadatan detritus
20
3.0
15
10
Detritus
2.5
Oksigen Terlarut
5
2.0
0
50
100
150
200
Waktu
250
300
350
0
50
100
150
200
250
Waktu
Gambar 4 Grafik solusi perilaku kestabilan pada titik tetap E6.
300
350
21
=
, , , , ,
= .
, , .
, , .
,
.
= .
,
.
, , , .
,
.
= .
, .
, , .
, .
, .
= .
, .
, .
, , .
,
.
= .
, .
, .
, .
, .
,
.
.
Linearisasi dan perhitungan terhadap sistem (3.1) memperoleh matriks
jacobian dan nilai eigen untuk masing-masing titik kesetimbangan. Selanjutnya
dapat disimpulkan bahwa satu dari enam titik tetap tersebut yaitu memiliki sifat
stabil karena semua nilai eigennya bernilai negatif sedangkan lima titik tetap
lainnya tidak stabil karena terdapat satu atau dua nilai eigennya yang positif.
Jika digunakan beberapa nilai awal dalam mensimulasikan sistem (3.1) untuk
jangka waktu yang cukup, maka akan ditemui bahwa s olusi mendekti titik tetap
. Hal ini ditunjukkan pada Gambar 4. Berdasarkan Gambar 4 terlihat bahwa
konsentrasi nutrien konvergen ke nilai stabil yaitu .
. Populasi alga
konvergen ke nilai stabil .
. Populasi makrofita konvergen ke nilai stabil
.
. Populasi zooplankton konvergen ke nilai stabil .
. Kepadatan
detritus konvergen ke nilai stabil .
. Konsentrasi oksigen terlarut konvergen
ke nilai stabil .
. Dengan demikian terlihat bahwa sistem (3.1) stabil pada
titik tetap
= .
, .
, .
, .
, .
,
.
.
Simulasi Numerik
Simulasi laju masuknya nutrisi ke badan air (�)
Simulasi ini dilakukan untuk menunjukkan pengaruh parameter terhadap
populasi alga (�), populasi makrofita ( ), populasi zooplankton ( ), kepadatan
detritus ( ), dan konsentrasi oksigen terlarut ( ) dalam badan air yang mengalami
eutrofikasi. Simulasi ini menggunakan nilai parameter yang ada pada Tabel 1
kecuali nilai yang dibuat bervariasi. Pengaruh parameter terhadap variabelvariabel tersebut dapat dilihat dalam Gambar 5, 6, 7, 8 dan 9.
0.7
Kepadatan Populasi Alga
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0
200
400
600
800
Waktu
Gambar 5 Populasi alga terhadap t dengan nilai
berbeda
22
Kepadatan Populasi makrofita
10
8
6
4
2
0
0
20
40
60
80
100
Waktu
Gambar 6 Populasi makrofita terhadap t dengan nilai
berbeda
n
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
0
200
400
600
800
u
Gambar 7 Populasi zooplankton terhadap t dengan nilai
berbeda
5
Kepadatan detritus
4
3
2
1
0
0
50
100
150
200
250
Gambar 8 Kepadatan detritus terhadap t dengan nilai
300
berbeda
350
23
30
konsntrasi DO
25
20
15
10
5
0
200
400
600
800
Waktu
Gambar 9 Konsentrasi oksigen terlarut terhadap t dengan nilai
berbeda
Berdasarkan Gambar 5, 6, 7, 8 dan 9 terlihat bahwa jika laju masuknya nutrisi
meningkat, maka populasi alga, makrofita, zooplankton dan kepadatan detritus juga
meningkat, sedangkan konsentrasi oksigen terlarut menurun. Selain itu, dapat kita
lihat juga bahwa jika laju masuknya nutrisi di badan air adalah nol, yaitu = ,
maka populasi alga, makrofita, zooplankton dan kepadatan detritus menuju nol
setelah periode waktu yang singkat sedangkan konsentrasi oksigen terlarut naik
menuju nilai maksimum. Hasil ini jelas karena sesuai dengan fakta bahwa nutrien
yang terbentuk dari detritus tidak akan cukup untuk pertumbuhan populasi alga,
makrofita dan zooplankton.
Simulasi laju pengubahan detritus menjadi nutrien (� )
Simulasi ini dilakukan untuk menunjukkan pengaruh parameter � terhadap
konsentrasi oksigen terlarut ( ) dalam badan air yang mengalami eutrofikasi.
Simulasi ini masih men ggunakan nilai parameter yang ada pada Tabel 1 kecuali
nilai � yang dibuat bervariasi. Pengaruh parameter � terhadap konsentrasi
oksigen terlarut ( ) tersebut ditunjukkan pada Gambar 10.
Konsentrasi DO
24
23
22
21
20
0
50
100
150
200
250
300
350
Waktu
Gambar 10 Konsentrasi oksigen terlarut terhadap t dengan nilai
� berbeda
24
Berdasarkan Gambar 10 terlihat bahwa jika laju pengubahan detritus menjadi
nutrien meningkat, maka konsentrasi oksigen terlarut menurun. Pada awalnya
konsentrasi oksigen terlarut tidak terlalu berbeda untuk setiap nilai � . Ketika >
penurunan konsentrasi oksigen terlarut sudah terlihat jelas di mana untuk � =
. , . dan . konsentrasi oksigen terlarut masing-masing mendekati nilai
.
, .
dan .
. Hal ini sesuai fakta bahwa dengan banyaknya detritus
yang tebentuk di dalam badan air, maka akan semakin banyak pula oksigen terlarut
yang terpakai dalam proses biokimia untuk mengubah detritus menjadi nutrien,
sehingga hal ini menyebabkan turunnya konsentrasi oksigen terlarut ketika laju
pengubahan detritus meningkat. Oleh karena itu, kita dapat menyatakan bahwa
suatu mekanisme kontrol yang tepat harus diterapkan untuk mengurangi laju
pengubahan detritus menjadi nutrien agar oksigen terlarut dalam badan air tersedia
dalam jumlah yang cukup sehingga terjadi keseimbangan dalam badan air.
4 SIMPULAN
Secara umum model yang dihasilkan dapat menunjukkan perilaku perubahan
kandungan oksigen terlarut dalam badan air yang mengalami eutrofikasi.
Perubahan nilai oksigen terlarut ini disebabkan oleh banyak faktor diantaranya
nutrie
OKSIGEN TERLARUT DALAM BADAN AIR
YANG MENGALAMI EUTROFIKASI
SRI LESTARI MAHMUD
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Model Matematika dan
Analisis Kandungan Oksigen Terlarut dalam Badan Air yang Mengalami
Eutrofikasi adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan
belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber
informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak
diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam
Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, September 2014
Sri Lestari Mahmud
NIM G551120021
RINGKASAN
SRI LESTARI MAHMUD. Model Matematika dan Analisis Kandungan Oksigen
Terlarut dalam Badan Air yang Mengalami Eutrofikasi. Dibimbing oleh ENDAR
HASAFAH NUGRAHANI dan PAIAN SIANTURI.
Eutrofikasi adalah proses pengayaan nutrien melalui proses dekomposisi
yang dapat memicu terjadinya perubahan seperti peningkatan produksi alga yang
mengakibatkan berkurangnya oksigen terlarut dalam badan air. Pengurangan
kandungan oksigen terlarut dapat mengakibatkan kematian terhadap ikan dan
komponen akuatik lainnya. Pada penelitian ini dibahas model matematika
kandungan oksigen terlarut dalam badan air yang mengalami eutrofikasi.
Pada model ini terdapat enam variabel yang dipertimbangkan, yaitu
konsentrasi nutrien, populasi alga, populasi makrofita, populasi zooplankton,
kepadatan detritus dan konsentrasi oksigen terlarut. Ketika proses eutrofikasi
terjadi, alga, makrofita dan zooplankton mati dan tenggelam ke bagian bawah badan
air, sehingga terjadi pembusukan oleh dekomposer, yang akhirnya terbentuk
detritus yang berlebihan. Detritus tersebut selanjutnya diubah menjadi nutrien
melalui proses biokimia. Proses pengubahan detritus menjadi nutrien menggunakan
banyak oksigen terlarut, sehingga mengurangi kandungan oksigen terlarut di badan
air.
Dalam penelitian ini diperoleh enam titik tetap. Selanjutnya dilakukan
analisis kestabilan pada titik tetap dengan mula-mula melinearisasi sistem
kemudian mencari nilai eigen dari matriks Jacobiannya. Hasil analisis
menunjukkan bahwa dari enam titik tetap, satu diantaranya stabil dan lima lainnya
tidak stabil. Simulasi menunjukkan bahwa jika laju masuknya nutrisi ke dalam
badan air mengalami kenaikan, maka populasi alga, makrofita, zooplankton dan
detritus juga meningkat, sedangkan konsentrasi oksigen terlarut menurun. Selain
itu, laju pengubahan detritus menjadi nutrien juga mempunyai pengaruh terhadap
konsentrasi oksigen terlarut di mana jika laju pengubahan detritus menjadi nutrien
meningkat, maka konsentrasi oksigen terlarut di badan air menurun. Simulasi
numerik juga menunjukkan bahwa jika laju masuknya nutrisi di badan air adalah
nol, maka populasi alga, makrofita, zooplankton dan kepadatan detritus juga
cenderung menuju nol setelah periode waktu yang singkat sedangkan konsentrasi
oksigen terlarut cenderung menuju nilai maksimum.
Kata kunci: eutrofikasi, kestabilan, model matematika, oksigen terlarut,
SUMMARY
SRI LESTARI MAHMUD. Mathematical Modeling and Analysis of Dissolved
Oxygen Level in the Water Body with Eutrophication. Supervised by ENDAR
HASAFAH NUGRAHANI and PAIAN SIANTURI.
Eutrophication is the enrichment of nutrients through decomposition
processes that can lead to changes, such as increased production of algae, which
reduces dissolved oxygen in the water body. Reduction of dissolved oxygen can
lead to the death of fish and other aquatic components. This study presents and
analyzes a mathematical model of dissolved oxygen in water bodies experiencing
eutrophication.
In the mathematical model, there are six variables to be considered, namely
the concentration of nutrients, algae population, macrophyte population,
zooplankton population, density of detritus and dissolved oxygen concentration.
When the process of eutrophication occurs, then algae, macrophytes and
zooplankton die and sink to the bottom of water bodies resulting in decomposition
by decomposers, which eventually formed excessive detritus. Detritus is then
converted into nutrients through biochemical processes. The process of conversion
of detritus into nutrients uses dissolved oxygen, thus reduces the dissolved oxygen
content in the water body.
In this study, six fixed points are obtained. Analysis on the stability of the
fixed points is carried out as follows. First step is to linearize the system, then
compute the eigenvalues of the Jacobian matrix. It is found that among the six fixed
points, one of them is stable and the other five are unstable. Simulations show that,
if the rate of entry of nutriens into the body of water increase, then the population
of algae, macrophytes, zooplankton and detritus also increase, however the
concentration of dissolved oxygen decreases. In addition, the rate of conversion of
detritus into nutrients also has an influence on the concentration of dissolved
oxygen. If the rate of conversion of detritus into nutriens increases, then the
concentration of dissolved oxygen in water bodies decreases. Numerical
simulations show that if the rate of entry of nutrients in a body of water is zero, then
the population of algae, macrophytes, zooplankton and detritus density also tends
to zero after a short period of time, while the dissolved oxygen concentration tends
towards a maximum value.
Keywords: dissolved oxygen, eutrophication, mathematical model, stability
© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2014
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau
menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan,
penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau
tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan IPB
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini
dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB
MODEL MATEMATIKA DAN ANALISIS KANDUNGAN
OKSIGEN TERLARUT DALAM BADAN AIR
YANG MENGALAMI EUTROFIKASI
SRI LESTARI MAHMUD
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains
pada
Program Studi Matematika Terapan
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr Jaharuddin, MS
Judul Tesis : Model Matematika dan Analisis Kandungan Oksigen Terlarut
dalam Badan Air yang Mengalami Eutrofikasi
Nama
: Sri Lestari Mahmud
NIM
: G551120021
Disetujui oleh
Komisi Pembimbing
Dr Ir Endar H Nugrahani, MS
Ketua
Dr Paian Sianturi
Anggota
Diketahui oleh
Ketua Program Studi
Matematika Terapan
Dekan Sekolah Pascasarjana
Dr Jaharuddin, MS
Dr Ir Dahrul Syah, MScAgr
Tanggal Ujian: 26 Agustus 2014
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur Penulis panjatkan kepada Allah Subhanahu wa ta’ala atas
segala nikmat dan karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan.
Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Februari 2014
ini ialah pemodelan matematika, dengan judul Model Matematika dan Analisis
Kandungan Oksigen Terlarut dalam Badan Air yang Mengalami Eutrofikasi
Penulisan tesis ini merupakan salah satu syarat memperoleh gelar Magister
Sains pada program studi Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana Institut
Pertanian Bogor. Penulis menyadari bahwa bantuan-bantuan dan arahan-arahan
dari kedua pembimbing sangat membantu dalam menyelesaikan karya tulis ini.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Ibu Dr Ir Endar Hasafah Nugrahani, MS
selaku pembimbing I dan Bapak Dr Paian Sianturi dan selaku pembimbing II.
Penulis juga menyampaikan terima kasih kepada:
1. Dr Jaharuddin, MS selaku Ketua Program Studi Matematika Terapan dan
.
sekaligus penguji luar komisi pembimbing.
2. Seluruh dosen dan staf pegawai tata usaha Departemen Matematika.
3. Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi (DIKTI) sebagai sponsor Beasiswa
Unggulan.
4. Bapak Drs Eko Harsono, MT selaku peneliti LIPI yang menjadi narasumber
tentang masalah eutrofikasi.
5. Orang tua, saudara dan seluruh keluarga yang selalu memberikan dorongan dan
mendoakan untuk keberhasilan studi bagi penulis.
6. Seluruh mahasiswa Departemen Matematika khususnya teman-teman
angkatan tahun 2012 di Program Studi S2 Matematika Terapan.
7. Teman-teman MSP dan BIOLOGI khususnya ka Apri, Anes, Hasan dan
Efariana yang selalu memberikan masukan untuk masalah eutrofikasi.
8. Sahabat-sahabat yang tak dapat disebutkan satu persatu yang telah banyak
membantu penulis dalam penyelesaian tesis ini.
Semoga segala bantuan, bimbingan, dan motivasi yang telah diberikan kepada
penulis senantiasa mendapat balasan dari Allah Subhanahu wa ta’ala.
Akhirnya, semoga penulisan tesis ini dapat memperkaya pengalaman belajar
serta wawasan kita semua.
Bogor, September 2014
Sri Lestari Mahmud
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
1 PENDAHULUAN
Latar Belakang
Tujuan Penelitian
1
1
2
2 TINJAUAN PUSTAKA
Oksigen Terlarut
Eutrofikasi
Sistem Persamaan Diferensial Biasa
Model Misra (2007)
Model Misra (2010)
3
3
3
4
5
7
3 HASIL DAN PEMBAHASAN
Modifikasi Model Matematika Kandungan Oksigen Terlarut
Penentuan Titik Tetap
Analisis Kestabilan Titik Tetap
Simulasi Numerik
8
8
11
15
21
4 SIMPULAN
24
DAFTAR PUSTAKA
25
LAMPIRAN
26
RIWAYAT HIDUP
50
DAFTAR TABEL
1
Nilai Parameter Model
19
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Skema model Misra (2007)
6
Skema model Misra (2010)
8
Skema model matematika kandungan oksigen terlarut pada badan air
yang mengalami eutrofikasi
9
Grafik solusi perilaku kestabilan pada titik tetap E6.
20
Populasi alga terhadap t dengan nilai berbeda
21
22
Populasi zooplankton terhadap t dengan nilai berbeda
Populasi makrofita terhadap t dengan nilai berbeda
22
Kepadatan detritus terhadap t dengan nilai berbeda
22
Konsentrasi oksigen terlarut terhadap t dengan nilai berbeda
23
Konsentrasi oksigen terlarut terhadap t dengan nilai � berbeda 23
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5
Sintaks mathematica untuk penentuan titik tetap
Unsur-unsur matriks jacobi untuk masing-masing titik tetap
Sintaks mathematica untuk penentuan nilai eigen
Simulasi kestabilan titik tetap E6
Simulasi laju pengubahan detritus menjadi nutrien
26
33
35
45
48
1 PENDAHULUAN
Latar Belakang
Air merupakan sumber daya alam yang sangat penting bagi kehidupan
makhluk hidup sehingga harus dijaga kelestariannya agar di kemudian hari
ketersediaan air tetap tercukupi. Air yang digunakan tersebut tentunya merupakan
air yang bersih, sehat dan memenuhi standar kesehatan yaitu dalam kondisi yang
tidak tercemar.
Definisi pencemaran air menurut surat Keputusan Mentri Negara
Kependudukan dan Lingkungan Hidup No. 20 tahun 1990 adalah masuk atau
dimasukkannya makhluk hidup, zat, energi dan atau komponen lain ke dalam air
dan atau berubahnya tatanan air oleh kegiatan manusia atau oleh proses alam,
sehingga kualitas air turun sampai ke tingkat tertentu yang menyebabkan air
menjadi kurang atau tidak dapat berfungsi lagi sesuai dengan peruntukannya
(Effendi 2003).
Misra (2010) menyatakan bahwa kegiatan manusia merupakan salah satu
faktor utama yang mengakibatkan terjadinya pencemaran air di alam ini. Salah satu
contohnya adalah untuk memaksimalkan hasil panen dan meningkatkan hasil
produksi, petani menggunakan nitrogen, fosfor berbasis pupuk dan juga
menggunakan herbisida dan insektisida, yang masing-masing digunakan untuk
membunuh gulma dan serangga di lahan pertanian mereka. Sebagian dari jumlah
pupuk, pestisida, herbisida dan insektisida ini telah digunakan oleh tanaman. Sisa
dari bahan kimia yang tidak terpakai mengalir bersama ke badan air melalui air
limpasan. Bahan kimia yang masuk melalui air limpasan tersebut mengandung
fosfat dan nitrogen (senyawa nutrisi) sehingga badan air (danau) menjadi tercemar.
Selain itu, Misra (2010) juga mengatakan bahwa nutrisi yang masuk ke badan
air tidak hanya berasal dari limbah pertanian, tetapi ada juga yang berasal dari
limbah rumah tangga. Nutrisi yang terdapat dalam badan air, menyebabkan alga
dan tumbuhan air lainnya tumbuh sangat cepat sehingga menyebabkan eutrofikasi.
Eutrofikasi adalah proses pengayaan nutrien melalui proses dekomposisi yang
dapat memicu terjadinya perubahan seperti peningkatan produksi alga atau
tumbuhan makrofit lainnya yang menyebabkan berkurangnya oksigen terlarut
dalam badan air.
Oksigen terlarut (Dissolved Oxygen = DO) adalah oksigen yang digunakan
oleh mahluk hidup yang tinggal di dalam air baik hewan maupun tumbuhan untuk
mempertahankan hidupnya. Oksigen terlarut ini dibutuhkan untuk pernapasan dan
proses metabolisme atau pertukaran zat yang kemudian menghasilkan energi untuk
pertumbuhan dan pembiakan (Kristanto 2004).
Kandungan oksigen terlarut dapat bersumber dari proses difusi oksigen yang
berasal dari udara maupun proses fotosintesis oleh alga dan tumbuhan. Kadar
oksigen dari kedua proses ini mengakibatkan peningkatan kandungan oksigen
terlarut yang tidak terlalu tinggi. Semakin banyak nutrisi yang masuk ke badan air,
maka populasi alga dan tumbuhan akan semakin banyak. Hal ini mengakibatkan
alga dan tumbuhan menutupi permukaan air sehingga perpindahan oksigen dari
udara ke air melalui difusi dan cahaya yang digunakan untuk proses fotosintesis
juga menjadi berkurang (Misra 2010).
2
Selain itu, ketika alga dan tumbuhan mati dan tenggelam ke bagian bawah
badan air, terjadi pembusukan oleh dekomposer yang akhirnya terbentuk detritus
yang berlebihan. Detritus tersebut selanjutnya diubah menjadi nutrien melalui
proses biokimia. Proses pengubahan detritus menjadi nutrisi menggunakan banyak
oksigen terlarut, sehingga mengurangi kandungan oksigen terlarut di badan air.
Penggunaan oksigen terlarut yang sangat besar pada proses biokimia
mengakibatkan suplai oksigen terlarut bagi ikan dan komponen akuatik lainnya
menjadi berkurang sehingga hal ini akan berpengaruh buruk terhadap kehidupan
ikan dan kehidupan akuatik lainnya (Soeprobowati et al. 2012).
Berdasarkan permasalahan tentang oksigen terlarut pada badan air yang
mengalami eutrofikasi, maka dibutuhkan suatu model matematika yang dapat
menggambarkan fenomena-fenomena yang menyebabkan berubahnya kandungan
oksigen teralarut serta menganalisis model untuk melihat dinamika populasi di
badan air tersebut.
Model matematika dan analisis tentang oksigen terlarut ini telah banyak dikaji
oleh beberapa peneliti. Voinov dan Tonkikh (1987) telah menyajikan sebuah model
matematika taklinear untuk eutrofikasi di danau yang menyebabkan berkurangnya
DO. Model tersebut mengasumsikan bahwa penyebab berkurangnya oksigen
terlarut hanya dipengaruhi oleh nutrien, alga dan detritus. Model Voinov dan
Tonkikh dikaji lebih lanjut oleh Misra (2007) dengan menambahkan parameter
zooplankton pada model dan direkonstruksi kembali oleh Misra (2010) dengan
menambahkan parameter makrofita dan mengabaikan parameter zooplankton pada
model.
Penelitian ini akan mengkaji sebuah model modifikasi yang mengacu pada
kajian Misra (2007) dan Misra (2010) dengan menambahkan sekaligus parameter
zooplankton dan makrofita pada model matematika kandungan oksigen terlarut
dalam badan air yang mengalami eutrofikasi.
Tujuan Penelitian
1
2
3
Penelitian ini bertujuan untuk:
Melakukan modifikasi model matematika kandungan oksigen terlarut.
Menentukan titik tetap dan analisis kestabilan pada model.
Melakukan simulasi numerik terhadap model untuk menggambarkan
keterkaitan antara konsentrasi nutrisi, populasi alga, makrofita, zooplankton,
detritus dan kandungan oksigen terlarut dalam badan air yang mengalami
eutrofikasi.
3
2 TINJAUAN PUSTAKA
Oksigen Terlarut
Oksigen terlarut adalah konsentrasi oksigen yang terlarut dalam air dan
dapat diukur dalam satuan miligram per liter. Oksigen terlarut ini dibutuhkan oleh
semua jasad hidup untuk proses pernapasan, metabolisme atau pertukaran zat yang
kemudian menghasilkan energi untuk pertumbuhan dan pembiakan. Oksigen
terlarut juga dapat dijadikan ukuran untuk menentukan kualitas air. Hal itu
dikarenakan oksigen terlarut berperan dalam proses oksidasi dan reduksi bahan
organik dan anorganik.
Oksigen terlarut dapat berasal dari fotosintesis tanaman air dan dari atmosfir
(udara) yang masuk ke dalam air dengan kecepatan tertentu. Kadar oksigen akan
lebih tinggi karena adanya proses difusi antara air dengan udara bebas serta adanya
proses fotosintesis. Bertambahnya kedalaman menyebabkan terjadinya penurunan
kadar oksigen terlarut, karena proses fotosintesis semakin berkurang dan kadar
oksigen yang ada banyak digunakan untuk pernapasan dan oksidasi dan bahanbahan organik dan anorganik (Kristanto 2004).
Eutrofikasi
Eutrofikasi didefinisikan sebagai pengayaan (enrichment) air dengan
nutrien/unsur hara berupa bahan anorganik yang dibutuhkan oleh tumbuhan dan
meningkatkan terjadinya peningkatan produktivitas primer perairan. Nutrien yang
dimaksud adalah nitrogen dan fosfor. Eutrofikasi diklasifikasikan menjadi dua yaitu
artificial (cultural) eutrophication dan natural eutrophication. Eutrofikasi
diklasifikasikan sebagai artificial (cultural) eutrophication apabila peningkatan
unsur hara di perairan disebabkan oleh aktivitas manusia; dan diklasifikasikan
sebagai natural eutrophication jika peningkatan unsur hara di perairan bukan
disebabkan oleh aktivitas manusia, melainkan aktivitas alam (Effendi 2003).
Gejala eutrofikasi di perairan badan air biasanya ditunjukkan dengan
melimpahnya konsentrasi unsur hara dan perubahan parameter kimia seperti
oksigen terlarut, kandungan klorofil-a dan turbiditas serta produktivitas primer. Hal
ini menyebabkan terjadinya peningkatan konsentrasi biomassa di bagian epilimnion
badan air dan tingginya laju pengendapan alga ke bagian dalam kolom air, sehingga
menjadikan kondisi anaerobik pada daerah hipolimnion (Gather dan Imboden
1985). Agustiyani (2004) mengemukakan hal yang senada bahwa meningkatnya
unsur hara di badan air akan meningkatkan biomassa jenis organisme primer tetapi
akan menurunkan jenis konsumer. Hal ini mengakibatkan melimpahnya salah satu
jenis saja dan mengurangi varietas dan kualitas. Salah satu contohnya adalah
melimpahnya alga yang biasa didominasi oleh blue green algae (alga biru-hijau)
dan berkembangnya gulma air.
4
Sistem Persamaan Diferensial Biasa
Sistem Persamaan Diferensial Biasa Linear
Misalkan suatu sistem persamaan diferensial biasa (SPDB) dinyatakan
sebagai
(2.1)
�̇ = �� + �; �
=� ,
� ∈ ℝ�
dengan � adalah matriks koefisien konstan berukuran x dan � adalah vektor
konstan. Sistem persamaan (2.1) dinamakan sistem persamaan diferensial linear
orde satu dengan kondisi awal �
= � . Jika � = , maka sistem dikatakan
homogen dan jika � ≠ , maka sistem dikatakan takhomogen (Tu 1994).
Sistem Persamaan Diferensial Biasa Taklinear
Misalkan suatu sistem persamaan diferensial biasa (SPDB) dinyatakan
sebagai
(2.2)
�̇ =
,� ,
dengan
, � , � , … , ��
�
�
, � , � , … , ��
�=[
] dan
,� = [
]
��
� , � , � , … , ��
adalah fungsi taklinear dalam � , � , … , �� . Sistem persamaan (2.2) disebut sistem
persamaan diferensial biasa taklinear (Braun 1983).
Sistem Persamaan Diferensial Biasa Mandiri
Misalkan suatu sistem persamaan diferensial biasa (SPDB) dinyatakan
sebagai
(2.3)
�̇ = � , � ∈ ℝ� ,
dengan merupakan fungsi kontinu bernilai real dari �. Sistem persamaan (2.3)
disebut sistem persamaan diferensial biasa mandiri (autonomous) karena tidak
memuat secara eksplisit di dalamnya (Tu 1994).
Titik Tetap
Diberikan SPD Mandiri
�̇ = � , � ∈ ℝ� .
̅ disebut titik tetap, jika �
̅ = . Titik tetap disebut juga titik kritis
Titik �
atau titik kesetimbangan atau titik ekuilibrium (Tu 1994). Untuk selanjutnya
digunakan istilah titik tetap.
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Diberikan matriks koefisien konstan � berukuran
×
dan sistem
persamaan diferensial biasa homogen �̇ = ��, �
= � , � ∈ ℝ� . Suatu vektor
taknol � di dalam ℝ� disebut vektor eigen dari � jika untuk suatu skalar � berlaku
(2.4)
�� = ��.
Nilai skalar � dinamakan nilai eigen dari �. Untuk mencari nilai � dari �, maka
sistem persamaan (2.4) dapat ditulis
(2.5)
�−� �= ,
dengan adalah matriks identitas. Sistem persamaan (2.5) mempunyai solusi taknol
jika dan hanya jika
5
(2.6)
det � − � = .
Persamaan (2.6) merupakan persamaan karakteristik matriks � (Anton dan Rorres
1995).
Pelinearan
Analisis kestabilan dari suatu SPD taklinear dilakukan melalui model hasil
pelinearan. Misalkan diberikan SPD taklinear sebagai berikut
(2.7)
�̇ = � .
̅ , maka sistem
Dengan menggunakan ekspansi Taylor untuk suatu titik tetap �
persamaan (2.7) dapat ditulis sebagai
(2.8)
�̇ = �� + � � .
Persamaan tersebut merupakan SPD taklinear dengan � adalah matriks Jacobi,
̅ =
�=
�
� �=�̅
=
�
�
⋱
��
�
=[
�
⋱
�
��
]
�� ]
[ �
dan � � suku berorde tinggi yang bersifat lim � � = .Akibatnya persamaan
�→
diferensial (2.8) diberikan sebagai berikut
(2.9)
�̇ = ��.
Persamaan (2.9) disebut pelinearan dari persamaan diferensial (2.7) (Tu 1994).
Analisis Kestabilan Titik Tetap
Misalkan diberikan SPD mandiri sebagaimana pada sistem (2.3). Pelinearan
selanjutnya dilakukan di sekitar titik tetap sesuai dengan persamaan (2.8), sehingga
diperoleh persamaan (2.9). Analisis kestabilan SPD (2.3) dilakukan melalui analisis
kestabilan SPD (2.9). Penentuan kestabilan titik tetap didapat dengan melihat nilainilai eigen matriks �, yaitu: �� , � = , , … , yang diperoleh dari
�−� =
.
Secara umum kestabilan titik tetap mempunyai perilaku sebagai berikut :
1 Stabil, jika
a) Setiap nilai eigen real negatif (�� < untuk setiap �), atau
b) Setiap nilai eigen kompleks yang memiliki bagian real negatif atau sama
dengan nol, (
��
untuk setiap �).
2 Takstabil, jika
a) Terdapat nilai eigen real positif atau sama dengan nol (��
untuk suatu
�), atau
b) Terdapat nilai eigen kompleks yang memiliki bagian real positif, (
�� >
untuk suatu �) (Tu 1994).
Model Misra (2007)
Model matematika taklinear dalam penelitian ini diusulkan dan dianalisa
untuk mempelajari berkurangnya oksigen terlarut pada badan air yang mengalami
6
eutrofikasi karena pertumbuhan alga, zooplankton dan spesies biologi lainnya yang
berlebihan, yang disebabkan oleh masukan nutrisi yang berlebihan di badan air.
Asumsi yang diberikan pada model ini yakni sebagai berikut:
Populasi alga sepenuhnya bergantung pada nutrien dan zooplankton.
Zooplankton berperan sebagai predator dari alga.
Kadar oksigen terlarut dalam badan air meningkat karena difusi dan proses
fotosintesis alga yang diasumsikan konstan.
Detritus yang terbentuk diperoleh dari alga dan zooplankton yang mati yang
kemudian didekomposisi menjadi nutrien.
Variabel yang dipertimbangkan dalam model ini adalah konsentrasi nutrien
( ), kepadatan populasi alga (�), kepadatan populasi zooplankton ( ), kepadatan
detritus ( ) dan konsentrasi oksigen terlarut ( ). Secara skematis, pola
berkurangnya oksigen terlarut dalam model ini digambarkan dalam diagram
kompartemen yang disajikan pada Gambar 1. Model yang menggambarkan
fenomena tersebut diformulasikan sebagai berikut
�
=
=
+�
=
=�
=
−
�−
� −
−
�+�
�−
−
−
�
� −
�
(2.10)
−
+� �−
dimana:
, �
,
,
,
.
Koefisien
dan
dalam model (2.10) masing-masing merupakan
koefisien positif yang menunjukkan laju berkurangnya nutrien dan oksigen terlarut
secara alami dan positif. Koefisien
dan
masing-masing menunjukkan angka
kematian alami alga dan zooplankton sedangkan menunjukkan laju berkurangnya
detritus karena proses biokimia yang terjadi di badan air. Koefisien , , ,
Gambar 1 Skema model Misra (2007)
7
adalah konstanta pembanding yang juga positif. Konstanta
dan
adalah
koefisien laju berkurangnya alga dan zooplankton karena adanya interaksi diantara
sesama alga dan zooplankton tersebut. Koefisien � , � dan � adalah konstanta
pembanding dengan < � , � , � 0.
+ −
−
∗
Titik tetap �
, �∗ , , , �∗ , �∗
Pada titik tetap ini, makrofita dan zooplankton belum ada pada badan air
menyebabkan badan air yang tercemar hanya berpengaruh pada populasi alga
artinya nutrien hanya digunakan oleh alga sehingga nilai � = dan = . Nilainilai dari titik tetap E3 diperoleh dengan menyelesaikan persamaan di bawah ini:
+�
−
−
� =
− −
� =
� �−
=
−
+� �−
= ,
Sehingga diperoleh titik tetap
yaitu
∗ ∗
, � , , , ∗, ∗ ,
dengan
�∗
−
=
+√
∗
∗
=
=
∗
−
+ �∗
�∗ �
=
−
−
Syarat agar titik tetap
+� �
+
∗
+ �∗ �
.
+� �
ada yaitu
−
−
+
∗
+
>
∗
�
dan
> .
∗
Titik tetap �
, �∗ , , �∗ , �∗ , �∗
Pada titik tetap ini, makrofita belum ada pada badan air, maka badan air yang
tercemar berpengaruh pada populasi alga dan zooplankton sehingga nilai = .
Nilai-nilai dari titik tetap E4 diperoleh dengan menyelesaikan persamaan di bawah
ini
+�
−
−
� =
− −
�−
=
�− −
=
� �+�
−
=
−
+� �−
= .
Sehingga diperoleh titik tetap E4 yaitu
∗ ∗
, � , , ∗, ∗, ∗ ,
13
dengan
�∗ =
∗
∗
∗
=
=
=
∗
(−
−
−
�∗ �
=
+ �∗
−
Syarat agar titik tetap
−
−
−
+
+
−
)
−� �
+
−� �
−√ −
−
−� �
+
−
−
+
−
−
+� �
−
+� �
+
+ �∗
+ �∗
+
∗
+�
+ �∗ �
ada yaitu
−
∗
∗
+
>
∗
−
.
+ �∗
−� �
+
dan
�
> .
>
dan
∗
Titik tetap �
, �∗ , ∗ , , �∗ , �∗
Pada titik tetap ini, zooplankton belum ada pada badan air, maka badan air
yang tercemar berpengaruh pada populasi alga dan makrofita sehingga nilai Z=0.
Nilai-nilai dari titik tetap E5 diperoleh dengan menyelesaikan persamaan di bawah
ini
+�
−
−
�−
=
− −
� =
− −
=
� �+�
−
=
−
+� �−
+�
= .
Sehingga diperoleh titik tetap E5 yaitu
∗ ∗
, � , ∗, , ∗, ∗ ,
dengan
∗
=
−√
�∗ =
∗
=
(−
−
−� �
+−
−� �
− + ∗
−
+
∗
−
−� �
)
−
−� �
−
+� �
+
+
−
+� �
−
−
14
∗
=
∗
�∗ + �
�
−
=
∗
∗
+ � ∗�
∗
+�
.
Syarat agar titik tetap ada yaitu
−� �
−� �
− + ∗
> dan
∗
− +
> dan
∗
−
+ � ∗�
+
∗
+�
>
dan
> .
∗
Titik tetap �
, �∗ , ∗ , �∗ , �∗ , �∗
Pada titik tetap ini, alga, makrofita dan zooplankton ketiganya menggunakan
oksigen terlarut dalam badan air untuk bertahan hidup, sehingga badan air telah
tercemar yang mengakibatkan kandungan oksigen terlarut akan rendah. Nilai-nilai
dari titik tetap pada kondisi ini diperoleh dengan cara menyelesaikan persamaan
dibawah ini:
+�
−
− � −
=
− −
�−
=
− −
=
�− −
=
� �+�
+�
−
=
−
+� �+�
−
= .
Sehingga diperoleh titik tetap E6 yaitu
∗ ∗
, � , ∗, ∗ , ∗, ∗ ,
dengan
� ∗
− +� ∗
∗
=
∗
∗
∗
dimana �
−
∗
∗
=
=
=
=
−
∗
+ �∗
�
−
+
+
∗
∗
∗
+
∗
�
+ �∗ �
+�
+�
∗
∗
,
dapat dilihat pada Lampiran 1. Syarat agar titik tetap ada yaitu:
+
+
−
−� �
+
−
+
−
−� �
+� �
> dan
∗
− +�
> dan
− + ∗
> dan
∗
∗
∗
−
+� � +�
> .
15
Analisis Kestabilan Titik Tetap
Pada bagian ini, akan dilakukan analisis untuk melihat sifat kestabilan pada
masing-masing titik tetap. Untuk melihat sifat kestabilan di sekitar titik tetap, maka
akan dilakukan pelinearan pada sistem (3.1) yang merupakan sistem persamaan
diferensial taklinear. Jenis kestabilan tersebut ditentukan berdasarkan nilai eigen
dari matriks Jacobian dari sistem yang sudah berbentuk linear.
Misalkan sistem persamaan (3.1) dituliskan sebagai berikut
, �, , , ,
= +�
−
− � −
, �, , , ,
=
�− �−
� − �
, �, , , ,
=
−
−
(3.3)
� , �, , , ,
=
� −
−
� , �, , , ,
=� �+�
+�
−
, �, , , , = −
+� �+�
−
.
Pelineran pada sistem (3.3) memperoleh matriks Jacobi sebagai berikut
�
�
=
�
(
=
di mana
=−
=−
−
−
�
�
�
�
�
�
�
−
�
�
�
(
�−
,
+
�
�
−
�
�
�
�
−
�
�
−
�
�
=− −
,
=−
�
�−
�
�
−
−
+
+
)
−
)
,
(3.4)
,
�.
Perilaku kestabilan dari sistem (3.1) akan dianalisis dengan mensubstitusikan
nilai dari titik tetap , , , ,
dan
ke dalam matriks Jacobi (3.4).
Menurut Tu (1994), sistem akan stabil jika nilai eigen dari matriks Jacobi ( �� )
semuanya bernilai riil negatif dan bersifat tidak stabil jika minimal ada satu nilai
eigen dari matriks �� yang positif.
16
Kestabilan Titik Tetap �
Pelinearan sistem (3.1) pada titik tetap
( ⁄ , , , , , ⁄ ) dapat
dilakukan dengan mensubstitusikan nilai-nilai
ke dalam matriks (3.4) sehingga
diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut
=
�
(
)
,
di mana , , , … ,
dapat dilihat pada Lampiran 2.
Kestabilan dari
selanjutnya akan dianalisis berdasarkan nilai eigen dari
matriks Jacobian tersebut. Berdasarkan matriks | � − � | diperoleh enam nilai
eigen berikut
=−
−
+
=
=
−
+
=−
=−
=− .
Hasil tersebut menunjukkan bahwa
, , , dan
bernilai negatif
sedangkan
bernilai negatif jika
<
dan
bernilai negatif jika
<
. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa titik tetap
stabil jika
syarat untuk nilai eigen
dan
dipenuhi. Sebaliknya, jika syarat tersebut tidak
terpenuhi, maka tetap
tidak stabil.
Kestabilan Titik Tetap �
∗
, , ∗ , , ∗ , ∗ dapat
Pelinearan sistem (3.1) pada titik tetap
dilakukan dengan mensubstitusikan nilai-nilai
ke dalam matriks (3.4) sehingga
diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut
�
=
,
(
)
di mana , , , … ,
dapat dilihat pada Lampiran 2.
Kestabilan dari
selanjutnya akan dianalisis berdasarkan nilai eigen dari matriks
Jacobian tersebut. Berdasarkan matriks | � − � | diperoleh enam nilai eigen
berikut
=−
=−
=− + ∗
=
17
=
=
,
, , dapat dilihat pada Lampiran 3.
Hasil tersebut menunjukkan bahwa
dan
bernilai negatif. Dengan
demikian dapat disimpulkan bahwa titik tetap
akan stabil jika , , ,
bernilai negatif sedangkan jika terdapat salah satu yang positif di antara empat nilai
eigen tersebut, maka titik tetap
menjadi tidak stabil.
nilai
Kestabilan Titik Tetap �
∗ ∗
, � , , , ∗ , ∗ dapat
Pelinearan sistem (3.1) pada titik tetap
dilakukan dengan mensubstitusikan nilai-nilai
ke dalam matriks (3.4) sehingga
diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut
�
=
,
(
)
di mana
, , ,…,
dapat dilihat pada Lampiran 2. Kestabilan dari
selanjutnya akan dianalisis berdasarkan nilai eigen dari matriks Jacobian tersebut.
Berdasarkan matriks | � − � | diperoleh enam nilai eigen berikut
=−
=− + ∗
= − + �∗
=
=
= ,
nilai , , dapat dilihat pada Lampiran 3.
Hasil tersebut menunjukkan bahwa
bernilai negatif. Dengan demikian
dapat disimpulkan bahwa titik tetap
akan stabil jika , , , ,
bernilai
negatif sedangkan jika terdapat salah satu yang positif di antara lima nilai eigen
tersebut, maka titik tetap
menjadi tidak stabil.
Kestabilan Titik Tetap �
∗ ∗
, � , , ∗ , ∗ , ∗ dapat
Pelinearan sistem (3.1) pada titik tetap
dilakukan dengan mensubstitusikan nilai-nilai
ke dalam matriks (3.4) sehingga
diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut
�
=
,
(
)
di mana
, , ,…,
dapat dilihat pada Lampiran 2. Kestabilan dari
selanjutnya akan dianalisis berdasarkan nilai eigen dari matriks Jacobian tersebut.
Berdasarkan matriks | � − � | diperoleh enam nilai eigen berikut
=−
18
=− + ∗
=
=
=
= ,
nilai , , , dapat dilihat pada Lampiran 3.
Hasil tersebut menunjukkan bahwa
bernilai negatif. Dengan demikian
dapat disimpulkan bahwa titik tetap
akan stabil jika , , , ,
bernilai
negatif sedangkan jika terdapat salah satu yang positif di antara lima nilai eigen
tersebut, maka titik tetap
menjadi tidak stabil.
Kestabilan Titik Tetap �
∗ ∗
, � , ∗ , , ∗ , ∗ dapat
Pelinearan sistem (3.1) pada titik tetap
dilakukan dengan mensubstitusikan nilai-nilai
ke dalam matriks (3.4) sehingga
diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut
�
=
,
(
)
di mana
, , ,…,
dapat dilihat pada Lampiran 2. Kestabilan dari
selanjutnya akan dianalisis berdasarkan nilai eigen dari matriks Jacobian tersebut.
Berdasarkan matriks | � − � | diperoleh enam nilai eigen berikut :
=−
= − + �∗
=
=
=
= ,
nilai , , , dapat dilihat pada Lampiran 3.
Hasil tersebut menunjukkan bahwa
bernilai negatif. Dengan demikian
dapat disimpulkan bahwa titik tetap
akan stabil jika , , , ,
bernilai
negatif sedangkan jika terdapat salah satu yang positif di antara lima nilai eigen
tersebut, maka titik tetap
menjadi tidak stabil.
Kestabilan Titik Tetap �
∗ ∗
, � , ∗ , ∗ , ∗ , ∗ dapat
Pelinearan sistem (3.1) pada titik tetap
dilakukan dengan mensubstitusikan nilai-nilai
ke dalam matriks (3.4) sehingga
diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut
�
=
(
)
,
19
di mana
, , ,…,
dapat dilihat pada Lampiran 2. Kestabilan dari
selanjutnya akan dianalisis berdasarkan nilai eigen dari matriks Jacobian tersebut.
Berdasarkan matriks | � − � | diperoleh enam nilai eigen berikut :
=−
=
=
=
=
= ,
nilai , , , , dapat dilihat pada Lampiran 3.
Hasil tersebut menunjukkan bahwa
bernilai negatif. Dengan demikian
dapat disimpulkan bahwa titik tetap
akan stabil jika , , , ,
bernilai
negatif sedangkan jika terdapat salah satu yang positif di antara lima nilai eigen
tersebut, maka titik tetap
menjadi tidak stabil.
Berdasarkan hasil analisis tersebut, sifat kestabilan dari masing-masing titik
tetap belum dapat dikatakan stabil atau tidak. Sifat kestabilan titik tetap dari model
akan diperiksa dengan pemberian nilai parameter pada bagian selanjutnya.
Nilai Parameter
Nilai-nilai parameter yang akan digunakan, diambil dari Amemiyaa et al.
(2007) dan Misra (2007, 2010). Nilai-nilai parameter tersebut disajikan pada Tabel
1.
Tabel 1 Nilai Parameter Model
Parameter
�
�
�
�
�
�
Nilai
0.5
0.3
0.005
0.025
0.02
0.5
0.01
0.4
0.6
1
0.002
0.004
2
0.02
0.02
0.04
0.06
0.02
0.9
0.9
0.9
0.9
0.9
1
Satuan
mg l-1 hari-1
mg l-1 hari-1
hari-1
hari-1
hari-1
hari-1
hari-1
l mg-1 hari-1
l mg-1 hari-1
l mg-1 hari-1
l mg-1 hari-1
l mg-1 hari-1
l mg-1 hari-1
hari-1
hari-1
hari-1
hari-1
non dimensi
non dimensi
non dimensi
non dimensi
non dimensi
non dimensi
non dimensi
20
Kestabilan Model
Model dalam sistem (3.1) memiliki enam titik tetap yang dapat ditunjukkan
dengan solusi numerik menggunakan software Mathematica. Nilai dari masingmasing titik tetap dap at diperoleh dengan menggunakan nilai parameter pada Tabel
1 sehingga diperoleh
1.0
0.4
0.9
0.3
0.8
Nutrien
0.2
Alga
0.7
0.6
0.1
0.5
0.0
0
50
100
150
200
250
300
0
350
50
100
150
200
300
350
1.0
Kepadatan populasi zooplankton
8
Kepadatan Populasi makrofita
250
u
u
7
6
5
Makrofita
4
3
0.8
0.6
Zooplankton
0.4
0.2
0.0
2
0
50
100
150
200
250
300
350
0
50
100
150
200
250
300
350
Waktu
4.0
3.5
Konsentrasi DO
Kepadatan detritus
20
3.0
15
10
Detritus
2.5
Oksigen Terlarut
5
2.0
0
50
100
150
200
Waktu
250
300
350
0
50
100
150
200
250
Waktu
Gambar 4 Grafik solusi perilaku kestabilan pada titik tetap E6.
300
350
21
=
, , , , ,
= .
, , .
, , .
,
.
= .
,
.
, , , .
,
.
= .
, .
, , .
, .
, .
= .
, .
, .
, , .
,
.
= .
, .
, .
, .
, .
,
.
.
Linearisasi dan perhitungan terhadap sistem (3.1) memperoleh matriks
jacobian dan nilai eigen untuk masing-masing titik kesetimbangan. Selanjutnya
dapat disimpulkan bahwa satu dari enam titik tetap tersebut yaitu memiliki sifat
stabil karena semua nilai eigennya bernilai negatif sedangkan lima titik tetap
lainnya tidak stabil karena terdapat satu atau dua nilai eigennya yang positif.
Jika digunakan beberapa nilai awal dalam mensimulasikan sistem (3.1) untuk
jangka waktu yang cukup, maka akan ditemui bahwa s olusi mendekti titik tetap
. Hal ini ditunjukkan pada Gambar 4. Berdasarkan Gambar 4 terlihat bahwa
konsentrasi nutrien konvergen ke nilai stabil yaitu .
. Populasi alga
konvergen ke nilai stabil .
. Populasi makrofita konvergen ke nilai stabil
.
. Populasi zooplankton konvergen ke nilai stabil .
. Kepadatan
detritus konvergen ke nilai stabil .
. Konsentrasi oksigen terlarut konvergen
ke nilai stabil .
. Dengan demikian terlihat bahwa sistem (3.1) stabil pada
titik tetap
= .
, .
, .
, .
, .
,
.
.
Simulasi Numerik
Simulasi laju masuknya nutrisi ke badan air (�)
Simulasi ini dilakukan untuk menunjukkan pengaruh parameter terhadap
populasi alga (�), populasi makrofita ( ), populasi zooplankton ( ), kepadatan
detritus ( ), dan konsentrasi oksigen terlarut ( ) dalam badan air yang mengalami
eutrofikasi. Simulasi ini menggunakan nilai parameter yang ada pada Tabel 1
kecuali nilai yang dibuat bervariasi. Pengaruh parameter terhadap variabelvariabel tersebut dapat dilihat dalam Gambar 5, 6, 7, 8 dan 9.
0.7
Kepadatan Populasi Alga
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0
200
400
600
800
Waktu
Gambar 5 Populasi alga terhadap t dengan nilai
berbeda
22
Kepadatan Populasi makrofita
10
8
6
4
2
0
0
20
40
60
80
100
Waktu
Gambar 6 Populasi makrofita terhadap t dengan nilai
berbeda
n
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
0
200
400
600
800
u
Gambar 7 Populasi zooplankton terhadap t dengan nilai
berbeda
5
Kepadatan detritus
4
3
2
1
0
0
50
100
150
200
250
Gambar 8 Kepadatan detritus terhadap t dengan nilai
300
berbeda
350
23
30
konsntrasi DO
25
20
15
10
5
0
200
400
600
800
Waktu
Gambar 9 Konsentrasi oksigen terlarut terhadap t dengan nilai
berbeda
Berdasarkan Gambar 5, 6, 7, 8 dan 9 terlihat bahwa jika laju masuknya nutrisi
meningkat, maka populasi alga, makrofita, zooplankton dan kepadatan detritus juga
meningkat, sedangkan konsentrasi oksigen terlarut menurun. Selain itu, dapat kita
lihat juga bahwa jika laju masuknya nutrisi di badan air adalah nol, yaitu = ,
maka populasi alga, makrofita, zooplankton dan kepadatan detritus menuju nol
setelah periode waktu yang singkat sedangkan konsentrasi oksigen terlarut naik
menuju nilai maksimum. Hasil ini jelas karena sesuai dengan fakta bahwa nutrien
yang terbentuk dari detritus tidak akan cukup untuk pertumbuhan populasi alga,
makrofita dan zooplankton.
Simulasi laju pengubahan detritus menjadi nutrien (� )
Simulasi ini dilakukan untuk menunjukkan pengaruh parameter � terhadap
konsentrasi oksigen terlarut ( ) dalam badan air yang mengalami eutrofikasi.
Simulasi ini masih men ggunakan nilai parameter yang ada pada Tabel 1 kecuali
nilai � yang dibuat bervariasi. Pengaruh parameter � terhadap konsentrasi
oksigen terlarut ( ) tersebut ditunjukkan pada Gambar 10.
Konsentrasi DO
24
23
22
21
20
0
50
100
150
200
250
300
350
Waktu
Gambar 10 Konsentrasi oksigen terlarut terhadap t dengan nilai
� berbeda
24
Berdasarkan Gambar 10 terlihat bahwa jika laju pengubahan detritus menjadi
nutrien meningkat, maka konsentrasi oksigen terlarut menurun. Pada awalnya
konsentrasi oksigen terlarut tidak terlalu berbeda untuk setiap nilai � . Ketika >
penurunan konsentrasi oksigen terlarut sudah terlihat jelas di mana untuk � =
. , . dan . konsentrasi oksigen terlarut masing-masing mendekati nilai
.
, .
dan .
. Hal ini sesuai fakta bahwa dengan banyaknya detritus
yang tebentuk di dalam badan air, maka akan semakin banyak pula oksigen terlarut
yang terpakai dalam proses biokimia untuk mengubah detritus menjadi nutrien,
sehingga hal ini menyebabkan turunnya konsentrasi oksigen terlarut ketika laju
pengubahan detritus meningkat. Oleh karena itu, kita dapat menyatakan bahwa
suatu mekanisme kontrol yang tepat harus diterapkan untuk mengurangi laju
pengubahan detritus menjadi nutrien agar oksigen terlarut dalam badan air tersedia
dalam jumlah yang cukup sehingga terjadi keseimbangan dalam badan air.
4 SIMPULAN
Secara umum model yang dihasilkan dapat menunjukkan perilaku perubahan
kandungan oksigen terlarut dalam badan air yang mengalami eutrofikasi.
Perubahan nilai oksigen terlarut ini disebabkan oleh banyak faktor diantaranya
nutrie