Penyajian Data - Repository UNIKOM
Penyajian Data dan Ukuran Pemusatan Tri Rahajoeningroem, MT T. Elektro - Unikom
BAB I : PENDAHULUAN
DEFINISI STATISTIK
1. Statistik dalam arti sempit :
Statistik adalah data ringkasan berbentuk angka ( kuantitatif ).
2. Statistik dalam arti luas : Suatu ilmu yang mempelajari cara pengumpulan, pengolahan, penyajian dan analisis data serta cara pengambilan kesimpulan secara umum berdasarkan hasil penelitian yang tidak menyeluruh.
JENIS STATISTIK : 1. Statistik Deskriptif.
2. Statistik Inferensial.
DATA
Menurut Sifatnya Data yang tidak berbentuk angka.
1. Data Kualitatif : 2. Data dalam bentuk angka.
Data Kualitatif :
Menurut Sumbernya 1. Data Internal.
2. Data Eksternal.
Menurut Cara Perolahannya 1. Data Primer.
2. Data Sekunder.
Menurut Waktu Pengumpulannya 1. Data Cross Section.
2. Data Time Series.
POPULASI dan SAMPEL
POPULASI : Semua individu / unit-unit yang menjadi obyek penelitian.
SAMPEL : Sebagian individu / unit-unit yang diambil dari populasi untuk diteliti.
BAB 2. DISTRIBUSI FREKUENSI
BEBERAPA KONSEP DALAM DISTRIBUSI FREKUENSI.
1. ARRAY DATA.
2. KELAS.
3. RANGE.
4. INTERVAL KELAS.
5. BATAS KELAS ( ATAS, BAWAH ).
6.TEPI KELAS ( ATAS, BAWAH ) 7. FREKUENSI.
TEKNIK PEMBENTUKAN DISTRIBUSI FREKUENSI 1.
Tentukan banyaknya kelas. Menggunakan “ KRITERIUM STURGES “ Rumus : 1+ 3,322 log n dimana : k = banyaknya kelas yang dicari. n = banyaknya data 2. Tentukan besarnya Interval Kelas.
Rumus : i = jarak atau range banyak kelas
3. Menghitung frekuensi data dengan menggunakan
Contoh Distribusi Frekuensi
Besarnya Tunggakan KreditNasabah Bank Arta Tahun 2004
KELAS FREKUENSI
14 - 18,99
19 – 23,99 24 – 28,99 29 – 33,99 34 – 38,99 39 – 43,99 44 – 48,99
JUMLAH
10
14
18
21
16
7
4
90 Jenis Distribusi Frekuensi 1.
Distribusi Frekuensi Relatif Frekuensi tidak dinyatakan dalam bentuk angka absolut tetapi dalam bentuk angka-angka relatif tau prosentase.
2. Distribusi Frekuensi Komulatif Terdiri dari :
a. Distribusi frekuensi komulatif kurang dari.
b.Distribusi frekuensi komulatif atau lebih.
PENYAJIAN DATA DALAM BENTUK GRAFIK 1. POLYGON FREKUENSI.
Merupakan penggambaran suatu distribusi frekuensi
dalam bentuk garis yang menghubungkan titik-titik tengah kelas sebagai sumbu mendatar.2. CURVE OGIVE.
Merupakan penggambaran suatu distribusi frekuensi
komulatif kurang dari dan distribusi frekuensi komulatif atau lebih dalam suatu diagram.3. HISTOGRAM FREKUENSI
Merupakan penggambaran suatu distribusi frekuensi
Histogram Tentang Besarnya Tunggakan Kredit Tahun 2001 - 2004
BAB 3. UKURAN TENDESI SENTRAL Merupakan bilangan-bilangan yang menunjukkan di sekitar
- mana bilangan2 yang ada dalam sekumpulan data itu tersebar.
Jenis Data :
- 1. Group Data ( Data yang dikelompokkan ).
2. Un-group Data (Data yang tidak dikelompokkan)
MACAM – MACAM UKURAN TENDENSI SENTRAL.
1. MEAN ( RATA – RATA ), Notasi = a. Mean untuk Un-Group Data.
X1 + X2 + X3 + X4 + X5 X = n
Di mana : X = Mean yang sedang dicari.
X = harga tiap-tiap data. n = banyaknya data.
b. Mean untuk Group Data .
Rumus : X = f. x ( 1 ) n dimana : f = Frekuensi tiap-tiap kelas. x = Titik tengah kelas. n = Banyaknya data.
Mean untuk Group Data ( Lanj. )
Rumus ( 2 ) X = Xo + i f.U n Di mana : Xo = Harga x ( titik tengah kelas yang bersesuaian dengan angka nol pada skala U. i = Besarnya interval kelas. U = Skala baru pengganti skala x
Peletakan angka nol pada skala U: 1. Jika datanya ganjil : Angka nol pada kelas yang di tengah.
2. Jika datanya genap : Angka nol diletakkan pada salah satu di antara 2 kelas yang di tengah.
Rumus mencari skala U x – xo U = i
di mana : x = titik tengah yang angka U nya dicari. xo= Titik tengah yang skala Unya = 0 i = interval kelas. MEDIAN a.
Untuk ungroup data :
- Jika banyaknya data ganjil, median merupakan nilai data yang ditengah.
- Jika banyaknya data genap, median merupakan rata-rata dari dua harga data yang di tengah.
b.
Untuk Group data : Rumus 1 . Md = TBKmd + i n/2 – f fmd
2. Md = TAKmd - i f ‘ – n / 2 fmd Di mana : md = Tepi bawah kelas median.
TBK TAKmd = Tepi atas kelas median.
n = banyaknya data. i = interval kelas. f = Frekuensi komulatif dari kelas2 di muka kelas median. f ‘ = Frekuensi komulatif sampai dengan kelas median. LETAK KELAS MEDIAN = n / 2
MODUS ( MODE ) SIMBOL = Mo a.
Untuk un- group data : Modus adalah angka / bilangan yang paling sering muncul ( keluar ).
b.
Untuk group – data : Modus terletak pada kelas
yang mempunyai frekuensi terbesar.Rumus : Mo = Xmo + i/ 2 f1 – f-1 2 fmo – f1 – f-1
Atau : Mo = TBKmo + i d1 d1 + d2
Di mana : Xmo = titik tengah kelas modus. fmo = frekuensi kelas modus. TBKmo = tepi bawah kelas modus. f-1 = Frek. Dari kelas sebelum kelas modus. f1 = frek.dari kelas sesudah kelas modus. d1 = selisih antara frekuensi kelas modus dengan frek. kelas sebelumnya ( fmo – f-1 ). d2 = selisih antara frek. Kelas modus dengan kelas sesudahnya. ( fmo – f1 ).
BAB 4. UKURAN LETAK 1. KUARTIL Adalah nilai yang membagi data ke dalam 4 bagian yang sama. Ada 3 kuartil, yaitu : Kuartil 1 ( K1 ) , kuartil 2 ( K2 ), dan kuartil 3 ( K3 ).
a. Kuartil untuk un – group data. :
- Dicari dengan rumus : Letak K1 pada bilangan ke ( n + 1 ) / 4. Letak K2 = 2 ( n + 1 ) / 4. Atau sama dengan letak median. Letak K3 = 3 ( n + 1 ) / 4.
b. Kuartil untuk group data : K1 = TBK.k1 + i n / 4 – F K3 = TBKk3 + i 3n / 4 – F fk1 fk3 K2 = TBK.k2 + i 2n / 4 – F fk2
Di mana : TBK.k = Tepi bawah kelas kuartil.
n = banyaknya data. i = interval kelas. F = Frekuensi kumulatif dari kelas-kelas sebelum kelas kuartil. Fk = Frekuensi kelas kuartil.
2. DESIL.
Suatu harga yang menbagi data menjadi 10 bagian yang sama. Dalam sekelompok data ada 9 desil, dimana nilai D5 = median.
Rumus : D1 = TBK D
Letak D1 = n / 10 1 + i n / 10 – F f D1
Letak D2 = 2n / 10 D2 = TBKD2 + i 2n / 10 – F fD2 PERSENTIL Adalah : harga – harga yang membagi data menjadi 100 bagian yang sama.
Terdapat 99 harga persentil, dimana P50 = harga median.
Letak P1 = n / 100 Letak P2 = 2n / 100 , dst.
P1 = TBKp1 + in/100 – F fp1
BAB 5. UKURAN VARIASI / DISPERSI Adalah : Harga yang menunjukkan besar kecilnya sekelompok data itu bervariasi. MACAM UKURAN VARIASI.
1.
RANGE.
Adalah : Selisih perbedaan antara nilai data terbesar dengan nilai data yang terkecil.
Kelemahannya : Range belum dapat menjelaskan bentuk distribusi dari angka2 dalam kelompok data.
2 RANGE ANTAR KUARTIL ( RAK ). RAK = K3 –K1 3. RANGE SEMI ANTAR KUARTIL ( RSAK ) atau DEVIASI KUARTIL
4. DEVIASI RATA – RATA ( MEAN DEVIATION = DR ).
a. Untuk un – group data : dimana x = X - X DR = x n x = deviasi data dari mean-nya. X = data yang diketahui. X = Mean dari kelompok data.
b. Untuk group data : DR = f x n dimana : x = X – X ; ( X = titik tengah kelas ).
5. STANDAR DEVIASI.
a. Untuk un – group data. * Jika datanya merupakan data dari suatu populasi :
2 SD = x n
- * Jika datanya merupakan sampel : SD = x2 n-1 b. Untuk data yang dikelompokkan : 2 ( untuk POPULAsi ). SD = f x n 2 ( untuk SAMPEL ). SD = f x n-1 di mana x = X - X
- Untuk menilai besarnya perubahan ( kenaikan /
penurunan ) suatu variabel dari rata-ratanya.
- Semakin besar Z, maka semakin besar perubahan
variabel dari rata-ratanya.- Nilai Sk = 0, maka bentuk kurvanya simetris.
- Nilai Sk = negatif ( - ), maka kurva akan menceng negatif.
- Adalah perhitungan indeks harga yang mengabaikan kuantitas barang yang bersangkutan.
- –
1. Buat sumbu tegak Y sebagai skala variabel tergantung ( misalnya
volume penjualan, volume produksi, dsb ) dan sumbu Xsebagai skala waktu.
6. VARIANCE.
2 S = SD 7. KOEFISIEN VARIASI ( V ). V = SD X 100%
X 8. STANDAR SCORE ( Z ).
Z = X – X SD UKURAN KECONDONGAN dan UKURAN KERUNCINGAN SUATU DISTRIBUSI
A. UKURAN KECONDONGAN ( Ukuran Kemencengan; Scewness = Sk )
Untuk mengukur derajat kemencengan suatu distribusi
frekuensi. Kemungkinan : Beberapa distribusi frekuensi yang
bentuknya berbeda tetapi mempunyai harga Mean dan Standar Deviasi yang sama.
TEKNIK PENGUKURAN.
Sk = X – Md ( Rumus Karl Pearson ).
SD Jika modusnya lebih dari 1 : Sk = 3 ( X – Md )
Besarnya nilai koefisien Skewness ( Sk ) - Nilai Sk positif ( + ) , maka kurva akan menceng positif.
B. UKURAN KERUNCINGAN ( PEAKEDNESS = KURTOSIS ).
Untuk mengetahui bentuk / derajat keruncingan suatu distribusi
frekuensi.
Beberapa distribusi frekuensi yang mempunyai Mean, Standar
deviasi dan Kemencengan yang sama, tetapi memiliki tingkat keruncingan yang berbeda. TEKNIK PENGUKURAN.
Diukur dengan menggunakan Koefisien Kurtosis ( 4 ).
a. Untuk un – group data :
4 di mana : x = ( X – X ) 4 = ( x )
4 n. SD b. Untuk group data :
4 di mana : x = ( X – X ) 4 = f ( x )
4 n. SD X = titik tengah kelas. X = mean. f = n UKURAN NILAI 4.
: Bentuk kurva LEPTOKURTIS. - 4 > 3 : Bentuk kurva PLATIKURTIS. - 4 < 3 : Bentuk kurva MESOKURTIS. - 4 = 3
BAB 6. ANGKA INDEKS
Merupakan ukuran yang menunjukkan perbandingan antara nilai suatu barang pada waktu atau tempat tertentu dengan nilai barang yang sama pada waktu atau tempat yang berbeda.
Biasanya dinyatakan dalam prosentase.
INDEKS HARGA Merupakan angka yang menunjukan besar kecilnya tingkat perubahan harga suatu barang pada waktu atau tempat yang sama atau berbeda.
A.
TEKNIK PERHITUNGAN INDEKS HARGA.
INDEKS HARGA TAK TERTIMBANG.
Metode perhitungan 1.
Metode Sederhana ( Simple Method ). Pn Is = X 100 dimana : Pn = harga barang pada P tahun tertentu P 0= harga barang pada tahun dasar.
2. Metode Agregatif Sederhana ( Simple Agregative Method ).
Pn Ias = X 100 P 3.
Metode Rata-rata Relatif Sederhana ( Simple average relative method ).
( Pn / P
0 ) Irs = X 100 k dimana k = banyaknya macam barang.
B. INDEKS HARGA TERTIMBANG. - Memperhitungkan besarnya timbangan ( kuantitas penjualan ), produksi dsb. Rumus : Pn. W I = X 100
0.W
P 1. Metode Agregatif Tertimbang ( Weighted agregatif method ). Ada 5 rumus : a. Rumus Laspeyres. ( Pn. Q0 )
IL = X 100 ( P0.Q0 )
b. Indeks Pasche. ( Pn. Qn )
IL = X 100 ( P0.Qn ) c. Rumus DROBISCH.
ID = IL + IP
2 d. Rumus Fisher.
IF = IL.IF e. Rumus Marshall – Edgeworth. Pn ( Q0 +Qn )
IME = X 100 P0 ( Q0 + Qn )
6. Metode Rata – rata relatif tertimbang ( weighted average relative method ). Rumus : ( Pn / P0 ) W I = X 100 W w = weight : timbangan. Ada 2 rumus : 1. Nilai tahun dasar dipakai sebagai penimbang.
( Pn / P0 ) ( P
0. Q )
I RT = X 100
.Q ) ( P2. Nilai tahun tertentu sebagai tahun dasar. Rumus : ( Pn / P0 ) ( P n. Qn )
I RT = X 100 ( P
n. Qn )
BAB 6. REGRESI dan KORELASI A. REGRESI. Regresi garis sederhana : menggambarkan hubungan
antara 2 variabel yang biasanya cukup tepat dinyatakan dalam suatu garis lurus.
DIAGRAM PENCAR : Fungsi :
1. Membantu menunjukkan apakah terdapat
hubungan yang bermanfaat antara 2 variabel.
2. Membantu menetapkan tipe persamaan yang menunjukkan hubungan antara ke2
PERSAMAAN REGRESI LINIER
Bentuk persamaan : Y’ = a + b X
di mana : Y’ = Nilai yang diukur / dihitung pada variabel
tidak bebas. a = Y pintasan ( Nilai Y’, bila X = 0 ). b = Koefisien garis regresi atau kemiringan dari garis regresi.Mengukur besarnya pengaruh X terhadap Y kalau X naik satu unit.
X = nilai tertentu dari variabel bebas.
di mana x = X – X ; y = Y - Y
b =
xy 2 x a = Y – b. X atau : b = n XY - X. Y 2 2 n. X – ( X )
B. KORELASI
Apabila 2 variabel X dan Y mempunyai hubungan, maka nilai variabel
X yang sudah diketahui dapat digunakan untuk menaksir / meramalkan nilai Y.
Variabel Y yang nilainya akan diramalkan disebut variabel tidak
bebas ( dependent variabel ).
Variabel X yang nilainya digunakan untuk meramalkan nilai Y
disebut variabel bebas ( independent variabel ).
Hubungan 2 variabel :
a. Hubungan positif. Apabila kenaikan / penurunan X pada umumnya diikuti oleh kenaikan / penurunan Y.
b. Hubungan negatif.
pada umumnya diikuti oleh penurunan / Apabila kenaikan / penurunan X kenaikan Y. Kuat tidaknya hubungan antara X dan Y diukur
dengan suatu nilai yang disebut dengan : Koefisien Korelasi ( r ).
Koefisien korelasi berkisar antara –1 sampai
dengan 1.
a. r = 1 ; hubungan X dan Y sempurna dan positif.
( r mendekati 1, maka hubungannya sangat kuat dan positif ).
b. r = -1 ; hubungan X dan Y sempurna dan negatif.
( r mendekati –1, maka hubungannya sangat kuat dan negatif ).
c. r = 0 ; hubungan X dan Y lemah sekali atau tidak ada hubungan
KOEFISIEN PENENTUAN ( = KP atau KOEFISIEN OF DETERMINATION ). 2 KP = r dimana r = 2 2 xy .
Besarnya kontribusi X terhadap naaik turunnya Y dapat dihitung dengan
x . y dan : x = X – X y = Y – Y Atau : r = n XY - X Y 2 2 2 2. n x – ( X ) . n Y – (Y)
Kedua rumus ini disebut dengan : Koefisien Korelasi Pearson ( Pearson’s
Product moment coefficient of correlation. Contoh :
2 Bila r = 0,9 maka KP = ( 0,9 ) = 0,81 atau 81%.
Artinya : Besarnya sumbangan variabel X terhadap naik
turunnya Y adalah 81%, sedangkan 19% disebabkan oleh
faktor lainnya.ANALISA RANGKAIAN WAKTU ( TIME SERIES ANALYSIS )
Secara umum variasi ( gerakan ) data rangkaian waktu dibedakan menjadi 4 komponen :
1. Trend Jangka Panjang / trend sekuler ; atau sering disebut TREND: adalah suatu garis ( trend ) yang menunjukkan gerakan data dalam jangka waktu panjang, biasanya tiap tahun , yang menunjukkan arah perkembangan secara umum.
2. VARIASI UMUM.
Adalah suatu gerakan yang naik turun secara teratur yang cenderung
untuk terulang kembali dalam jangka waktu yang tidak lebih dari 1 tahun.3. VARIASI SIKLIS.
Merupakan suatu gerakan data yang naik turun secara teratur yang
cenderung terulang kembali setelah jangka waktu lebih dari 1 tahun.
4. VARIASI RANDOM. Merupakan suatu gerakan yang naik turun secara tiba-tiba atau mempunyai sifat yang sporadiss, sehingga biasanya sulit untttuk diperkirakan sebelumnya.
TREND LINIER
Merupakan garis peramalan yang sifatnya linier, sehingga secara matematis bentuk fungsinya adalah sebagai berikut : Y’ = a + bX dimana : Y’ = Nilai trend periode tertentu. a = Harga konstanta = nilai trend pada periode dasar. b = Koefisien arah garis trend = perubahan trend setiap periode.
X = Unit periode yang dihitung dari periode dasar. METODE PENENTUAN PERSAMAAN TREND LINIER
1. METODE BEBAS.
Langkah – langkah :
2. Gambar titik – titik koordinat ( X, Y ) dalam diagram sebaran.
3. Tarik sebuah garis lurus yang relatif mewakili atau mendekati semua titik koordinat yang membentuk diagram sebaran tersebut.
4. Ambil 2 buaah titik secara sembarang yang berada digaris tsb. Misalnya
titik tsb. adalah A ( X1,Y1 ) dan B ( X2, Y2 ) maka garis trend tsb.
fungsinya dapat dicari dengan rumus sebagai berikut : Y1 – Y2Y – Y’ = ( X – X1 ) X1– X2
2. METODE SETENGAH RATA – RATA.
Langkah – langkahnya :
1. Bagi data yang ada menjadi 2 kelompok, tiap kelompok mempunyai data yang sama.
Jika jumlah data ganjil : a. Data yang di tengah diikut-sertakan dalam setiap kelompok.
b. Data yang di tengah tidak diikut-sertakan dalam pengelompokan.
2. Hitung harga rata-rata setiap kelompok. Rata – rata kelompok I = Y1 Rata – rata kelompok II = Y2
3. Menghitung konstanta b, di mana Y2 - Y1 b = n
4. Menentukan skala tahun ( Skala X ) sesuai dengan periode dasar yang digunakan ( Y1 atau Y2 ).
3. METODE KUADRAT TERKECIL ( LEAST SQUARE METHOD ).
Jika persamaan garis trend linier itu Y’ = a + bX maka untuk menentukan harga konstanta a dan b dapat digunakan persamaan normal sebagai berikut : I.
Y = n.a + b. x II.
XY = a.
x + b. x2 Dimana : Y = harga-harga hasil observasi.
X = Unit tahun yang dihitung dari tahun dasar. a = Nilai trend pada periode dasar. b = Perubahan trend ( koefisien arah garis ). n = Banyaknya data.
BILA DIPENUHI SYARAT
X = 0 , maka a =
Y dan b =
XY n
x2
4. METODE MOMENT.
Rumus dasar yang digunakan :
I. Y’ = a + bX
II. Y = n.a + b. X
III. XY = a. X + b. X 2
B. TREND NON LINIER
Merupakan suatu trend yang persamaannya berpangkat satu, berpangkat dua dan berpangkat x.
MACAMNYA : 1. TREND PARABOLIK / KUADRATIS. Persamaan : Y’ = a + bX + cX2 Harga a, b, dan c dapat dicari dengan : I. Y = n.a + b. X + c X2
II. XY = a. X + b. X2 + c X 3
III. X2Y = a. X2 + b. X3 + c. X 4 Jika dapat dipenuhi syarat X = 0 , maka rumusnya menjadi : I. Y = n.a + c X2
II. XY = b. X2
III. X2Y = a. X2 + c. X 4
Jika dapat dipenuhi syarat X = 0 , maka rumusnya menjadi : I. Y = n.a + c X2
II. XY = b. X2 III. X2Y = a. X2 + c. Dapat disederhanakan lagi menjadi : b = XY 2 X 2 2
.Y c = X . Y – n. X 2 2 4 ) ( X + n. X 2 a = Y – c. X n
2. TREND EKSPONENSIIL. x Persamaan : Y’ = a.b Apabila bentuk persamaan trend di ats diubah dalam bentuk logaritma, maka persamaannya menjadi Y’ = Log a + x . log b
Harga a dan b dapat dicari dengan menggunakan persamaan
normal dari metode least square untuk trend linier sebagai berikut :I. logY = n log a + ( X ). Log b 2 ) log b
II. ( XY ) = X log a + ( X
Jika X = 0 maka persamaannya menjadi : I. logY = n log a log a = logY n 2 II. ( X. log Y ) ) logb = ( X log b = ( X. logY ) 2
X