JUMLAH PERTEMUAN : 4 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Memahami konsep dasar turunan fungsi dan mengaplikasikan turunan fungsi pada permasalahan yang ada Materi : 5.1 Pendahuluan - Turunan - Repository UNIKOM

   TURUNAN _{TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS :} JUMLAH PERTEMUAN : 4 PERTEMUAN _{permasalahan yang ada} Memahami konsep dasar turunan fungsi dan mengaplikasikan turunan fungsi pada _{5.1 Pendahuluan} Materi :

  Ide awal adanya turunan adalah karena adanya permasalahan garis singgung di titik _{Tali busur Garis singgung c c+h} P h _{Maka kemiringan garis singgung di titik P:} adalah tali busur untuk kurva , dengan kemiringan

  _{Jika , tentukan kemiringan garis di titik:} Contoh: _b.

  a. _Jawab: c. _{maka dapat dikerjakan secara langsung, dengan cara mengerjakan secara umum untuk di} Untuk menyelesaikan permasalahan diatas karena hanya yang berubah hanya titiknya saja titik : Karena maka dan Maka

  _{a. kemiringan garis singgung fungsi di titik adalah , maka} Maka kemiringan garis singgung kurva adalah , jadi _{b. kemiringan garis singgung fungsi di titik adalah , maka} kemiringan garis singgung di titik adalah _{c. kemiringan garis singgung fungsi di titik adalah , maka} kemiringan garis singgung di titik adalah kemiringan garis singgung di titik adalah _{Dapat dilihat bahwa kemiringan garis singgung fungsi di titik} ! adalah , maka kemiringan garis singgung di titik adalah . Ini sama seperti _{5.2 Definisi ketika kita mencari turunan fungsi yaitu} "

  Turunan fungsi adalah fungsi lain _{bilangan adalah} # (dibaca “ aksen”) yang nilainya pada sebarang _{asalkan limitnya ini ada.}

  "

5.3 Notasi dari turunan

2. Notasi d,

  _{1. Notasi aksen,} "

  $ &

  % _{3. Notasi Leibniz,} '( _Contoh: '%

  Andaikan . Cari _Jawab: # .

  ) * ) *

• "
_Contoh: + + _{Jawab: Jika , cari D !}
• ) * )

  ,

  $

  , Contoh: _{Jika , cari !} ' _Jawab: % '%

• &
• 5.4 Bentuk yang setara untuk turunan _{Tali busur Garis singgung}

  " _P . /

  1 _{c x} " 0 .

  1 _{Andaikan . Cari} Contoh: _Jawab: # .

  ) * ) * !

  "

• % ,

  % , % , _{Jika , cari !} ' _Jawab: % '%

  3

• &

  3

  3

  3

  2 % 2 % 2 %

  3

  3 3 -

  3

  3

  3

  3

  3

  

2 % 2 % 2 %

  3

  3

  3

  3

  2 % _{5.5 Keterdiferensialan menunjukkan kekontinuan}

  3 _{dapat melompat atau sangat berayun di titik tersebut. Perumusan yang persis dari} Jika sebuah kurva mempunyai sebuah garis singgung di sebuah titik, maka kurva itu tidak _Teorema kenyataan ini merupakan sebuah teorema penting.

  Jika _{Kebalikan dari teorema ini tidak berlaku.} # ada, maka kontinu di . _{Jika , tentukan apakah fungsi kontinu di ?} Contoh:

  _{Tanpa harus membuktikan} Jawab: 1. ada _{2. ada}

  4

  4 _3.

  4 _{Berdasarkan teorema diatas maka:}

  4

  " _{Karena fungsi ada turunannya di , maka dapat dikatakan fungsi}

% % % %

_{Contoh (penyangkal teorema):} kontinu di

  Jika _Jawab: 5 5, tentukan # 5 5 5 5 5 5

  " _{Limit ini tidak ada karena} . . .

  5 5 _{6 6}

  7 _Sedangkan . .

  5 5 _{8 8}

  7 . .

  _{5.6 Aturan Pencarian Turunan} Karena limit kanan dan limit kirinya tidak sama.

5.6.1 Fungsi konstanta

  _{Fungsi konstanta kemiringannya nol dimana-mana.}

  9 mempunyai grafik berupa garis horisontal, sehingga

  Teorema (Aturan Fungsi Konstanta) _Jika " _{, yakni}

  9 dengan 9 suatu konstanta maka untuk sebarang , _Bukti $ 9 9 9 _{5.6.2 Fungsi identitas} "

  Teorema (Aturan Fungsi Identitas) _{Jika , maka , yakni} " _Bukti $ "

5.6.3 Fungsi polinom

  _{Teorema (Aturan Pangkat) Jika , dengan , yakni} : " : >

  ; < = , maka ;

  : : > _Bukti $ ; : : "

  ; ;

  : : > : : > : :

  ; ? ; ; ;

  : > : : : >

  @; ? ; A

  : > _Contoh:

  ; _{Jika , cari} , _Jawab: #

  , _{5.6.4 D adalah sebuah operator linier} # $ Teorema (Aturan Kelipatan Konstanta) _Jika

  "

  9 suatu konstanta dan suatu fungsi yang terdiferensialkan, maka 9 _{, yakni}

  9 B $

  _Bukti $)9 B * 9$ Andaikan . Maka

  C

  9 C C

  9 B

  9 B

  "

  C

  9 B _Contoh:

  9 B

  9 B # _{Jika , cari} > _Jawab: #

  > D D >

• _{Teorema (Aturan Jumlah)}

  $) $ _{Jika dan}

  " "

  E fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka E E# , yakni _Contoh: $) E * $ $E Jika _Jawab: , cari # _{Teorema (Aturan Selisih)} $) * $ $ $ _{Jika dan}

  " "

  E fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka E E# , yakni

  _Contoh: $) E * $ $E Jika _Jawab: , cari # _{Teorema (Hasil kali)} $) * $ $ _{Jika dan}

  " "

  E fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka B E E E # , yakni _Contoh: $) B E * $E E $ Jika , cari _Jawab: #

• $) $ $ _{Teorema (Aturan Hasilbagi)}

  !

  " ^I _{Jika dan} G % % % G" % _{, yakni}

  E fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka F H _J

  G G %

  E $ $E _Contoh: $ E E

  _{Jika , cari} > _J # _Jawab: ,% >

  $ $ ! ! _{5.6.5 Fungsi sinus dan kosinus} $ @ A Jika

  K L , tentukan # K L K L K L MNK MNK K L K L

  $ K L MNK K L O K L MNK P MNK K L _{Ingat bahwa} K L Q R MNK Q R

  MNK K L _Maka 44444444444 _Jika $ K L K L MNK MNK MNK , tentukan # MNK MNK MNK MNK K L K L MNK $ MNK

  MNK K L _Contoh: MNK @ A K L MNK K L K L Jika _Jawab

  1SL , maka # ? _{Karena , maka} TUV %

  1SL

  /WT % _Misalkan " "

  E K L

  X E MNK dan MNK

  X K L

  " "

  E E MNK MNK K L K L MNK K L

  "

  MNK MNK KYM _{5.7 Aturan Rantai} MNK _Andaikan Teorema (Aturan Rantai) _Jika & Z dan Z E menentukan fungsi komposit & E [ E . _{terdiferensialkan di dan} E terdiferensialkan di dan terdiferensialkan di Z E , maka [ E

  "

  [ E # E E# Yakni $ & $ &$ Z _Contoh % \ % _{Jika , cari} >^

  & ] $ & _Jawab % _{Misal , maka dan} >^ >_ Z ] dan & Z $ Z $ & +Z _Jadi, % \ >_ >_

  $ & $ & B $ Z +Z ] + _{5.8 Aturan Rantai Bersusun} % \ % Andaikan _Maka & Z 4`SL4Z E a 4`SL4a

  $ & $ &$ Z$ a

  % \ b %

• _Jawab: Misal a dan Z K L a dan & Z

  $

  d d # ^{Perbandingan yang menggambarkan kemiringan talibusur yang melalui Jika} d ^{, kemiringan talibusur ini mendekati} _{kemiringan garis singgung, dan untuk kemiringan ini disebut kemiringan Leibniz menggunakan lambang}

  d%

  d& d

  d& d d d

  d d d d d&

  c ^x

  ,

  &

  '( '% ^jika

  Z MNK a MNK K L _{5.9 Notasi Leibniz} Contoh _Cari

  %

  K L a $

  b

  ,

  Z

  \

  a $

  %

  Z$

  b

  &$

  \

  & $

  %

  $

  , _Maka

  % )K L ,

  Contoh _Cari $

  '( '% ^. _Sehingga

• &
• d%

Penyelesaian:

  ,

• &
• ,

  c c c

_{5.9.1 Aturan Rantai} ! c

  Andaikan bahwa & Z dan Z E . Dalam notasi Leibniz, Aturan Rantai:

• & -& -Z _Contoh:
• Z - -

  , >

  e jika & _Jawab Cari -& - _{Misal dan , maka} , > Z & Z

• & -& -Z

  >> , >>

  Z _Contoh: - -Z - _{Cari , jika} '( & fK L _Jawab: '%

• &
>g <
• Z
>&amp; <
• @ fg
• &amp;
• _Kedua ## &amp;## $
• _Ketiga ### &amp;###
• ,
• ,
• :
• : _Contoh:

  Jika &amp;

  &amp;

  &amp;

  % :

  $

  

:

  &amp;

  :

  _Ke-n j j j j j

  &amp;

  &amp;

  % ,

  &amp; - &amp;

  $

  %

  &amp;

  %

  # &amp;# $

  Turunan Notasi # ^Notasi &amp;# ^Notasi $ ^{Notasi Leibniz} _Pertama

  A MNK Z MNK @ fK L Z A MNK fK L _{5.10Turunan Tingkat Tinggi}

  &gt; fi

  g ^{h J}

  '( 'i &gt;

  MNK Z dan

  

'\

'%

^, 'i '\

  Misal Z ^, g K L Z4 dan &amp; g ^{h J , maka}

  &gt; ^ _{, cari} ' ^J ( '% ^{J ,} ' ^k ( '% ^{k ,} ' ^hJ ( '% _Jawab: ^{hJ .}

• &amp;
• _
• D
• &amp;
• ]
• ,

  l ,

  &amp;

  c

  m

  !

• ,
• _
• n
• _
• ^ ^
• &gt;

  &amp;

• ^

  &amp;

  j

  &amp;

• &gt;
_{5.11Pendiferensialan Implisit}

  Contoh: _Jika &amp; &amp;

  , _tentukan '( '% _Jawab:

  Cara 1

  Dapat diselesaikan dengan mengubahnya kedalam fungsi eksplisit terlebih dahulu

  

,

  &amp; Maka

  , _

• &amp; _{Cara 2}
• Didiferensialkan secara bersamaan untuk kedua ruas

  ,

  &amp; &amp;

• &amp; -&amp;

  &amp;

• &amp;

  &amp;

• &amp; &amp;
o _{Tampak terlihat hasilnya berbeda dengan metode 1, tapi jika kita substitusi nilai} % &gt;

  &amp; _{J maka diperoleh}

  _% , , _ _

  ]

  _

  @ A

• &amp;

  ]

• _{5.12.1 Definisi}

5.12Diferensial

• , diferensial dari variabel _{dari variabel tak bebas}
• &amp; &amp; didefinisikan oleh _Contoh:

  Andaikan terdiferensialkan di dan andaikan bahwa _{bebas menyatakan pertambahan sebarang dari . Diferensial yang bersesuaian dengan} &amp;

• &amp; # -
_Cari , _Jawab: -&amp; jika &
• &amp; -
Aturan-aturan utama diferensial dan turunan dapat digambarkan _{Aturan Turunan Aturan Diferensial}
• 9
• 9
• 9Z -Z - 9Z 9-Z

  9

• Z a ->Z a -Z -a
• Za -a -Z - Za Z-a a-Z

  Z a

  Z a-Z Z-a e H p

• F - Z a aF-Z - e H ZF-a - aH a
• a

  : : : &gt;

• Z -Z
• Z ;Z -Z

  : &gt;

  ;Z

5.12.2 Aproksimasi

  _{Formula aproksimasi: Contoh:} d q -&amp; # d

  Tentukan aproksimasi dari f ! adalah

  _Misal Jawab: _{Maka aproksimasi dari} &amp; f f ! adalah ! q -&amp;

• &amp; - _{Sedangkan di}

  f dan - ! mempunyai nilai !

• &amp; ! _Jadi

  f

• r ! q f -&amp;