UKBM XII 3.4 4.4 aplikasi turunan fungsi

UKBM MTK P/3.4/4.4/5/6-

APLIKASI TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

1. Identitas

  4.4. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan nilai maksimum, nilai minimum, selang kemonotonan fungsi, kemiringan garis singgung serta titik belok dan selang kecekungan kurva fungsi trigonometri.

  aplikasi turunan fungsi trigonometri yang meliputi kemiringan garis singgung dan persamaan garis singgung kurva, nilai maksimum dan minimum, serta kenomotonan dan kecekungan kurva sebuah fungsi trigonometri, dengan mengembangkan sikap religius, penuh tanggung jawab, bekerja keras, serta dapat mengembangkan kemampuan berpikir kritis, kreativitas, kolaborasi, komunikasi (4C).

  Problem Based Learning, peserta didik dapat menjelaskan dan menentukan

  Melalui pendekatan saintifik dengan menggunakan model pembelajaran

  a. Nama Mata Pelajaran : Matematika Peminatan

  b. Semester : 5

  6

  Matematika untuk SMA/MA Kelas XII Kelopok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. 2017. Sukino. Jakarta: Erlangga.

  f. Tujuan Pembelajaran:

  e. Kompetensi Dasar :

  d. Alokasi Waktu : 8 x 2 jam pelajaran

  c. Materi Pokok : Aplikasi turunan fungsi trigonometri

  3.4. Menjelaskan Keberkaitan turunan pertama dan kedua fungsi dengan nilai maksimum, nilai minimum, selang kemonotonan fungsi serta titik belok dan selang kecekungan kurva fungsi trigonometri.

g. Materi Pembelajaran

  Petunjuk Umum

  1. Pastikan dan fokuskan apa yang akan anda pelajari hari ini.

  2. Baca dan pahami Pendahuluan (Apersepsi) untuk membantu anda memfokuskan permasalahan yang akan dipelajari.

  3. Cari referensi/buku-buku teks yang terkait dengan topik/permasalahan yang anda hadapi.

  4. Jangan lupa browsing internet untuk menda-patkan pengetahuan yang up to date.

  5. Selalu diskusikan setiap persoalan yang ada dengan teman-teman dan atau guru.

  6. Presentasikan hasil pemahaman anda agar bermanfaat bagi orang lain.

  Jika tahapan-tahapan telah kalian lewati, kalian boleh meminta tes formatif kepada Bp/Ibu guru sebagai prasyarat untuk melanjutkan ke UKBM berikutnya. Oke.?!

  h. Kegiatan Pembelajaran

  a) Pendahuluan Sebelum belajar pada materi ini silahkan kalian amati narasi di bawah ini.

  Apersepsi : Jika kita mengunjung orang sakit di kamar ICU,

  kita akan melihat alat pemacu jantung yang disambungkan ke pasien. Layar pada monitor menggambarkan grafik sebuah fungsi kurva lengkung turun, naik serta mendatar. Keadaan grafik kurva lengkung yang terletak pada monitor tersebut merupakan salah satu aplikasi turunan fungsi yang akan kita pelajari dalam bab berikut. Keadaan naik turun menandakan kecekungan kurva pada sebuah selang atau interval. Keadaan yang stabil menandakan kemonotonan suatu kurva tersebut.

  Nah sekarang kalian perlu menggunakan pengetahuan tersebut dan menggabungkannya dengan pengetahuan mengenai turunan fungsi trigonometri. a K e ta m u P iri e n sin g rs g a a n g m u a n (G a g

b) Peta Konsep

  n ra d G a ie n ris ) d a Tr Tu

  N A

n Fu ig

Pe Tr p

  A ru n ila o ig

  N n

p

g rt o lik n a a a n o i m n ila m lik o m si m a a si F a e i m u

  Tr e Fu ks n n d tr ig si tr i g g in a i im o

Tu

n n im u si si o ru K m u m

n

e m

a

d e

n

u tr a i ke m ke o n S

  K ce o e u to la ku rv

2. Kegiatan Inti n

  n n a a g g n a n d a n

   Kegiatan Belajar 1

  Sebelumnya telah kalian ketahui bahwa kemiringan garis singgung kurva

   y=f (x ) di titik x , f x adalah m=f '(x ) 1 ( 1 )

  1 ( )

  Contoh soal Sebuah kurva memliki persamaan . Tentukan kemiringan garis singgung kurva tersebut pada titik di mana dan tentukan persamaan garis singgung tersebut

  Penyelesaian

3 Persamaan kurva y=sin x−3 sin x

  Gradien garis singgung adalah turunan pertama dari persamaan kurva

  ' 3−1 d (sin x) m= y 3 (sin x ) 3 cos x

  = −

  dx

  2

  (

  ⟺ m=3 sin cos x )−3 cos x

  2 ⟺ m=3 cos x ( sin x−1

  ¿

  π

  Gradien untuk x= adalah

  3

  π π 2 π m= x= 3 cos sin

  1 = −

  3

  3

  3

  ( ) [ ]

  2

  1

  1 ¿

  3 3 −

  1 √

  2

  2 ( ) ( )

  [ ]

  1

  3

  ¿

  3 −

  1

  2

  4

  ( ) [ ]

  3

  1 −

  ¿

  2

  4

  ( ) π

  3 Jadi kemiringan garis singgung kurva y=sin x−3 sin x pada titik di mana x=

  3

  3 − adalah .

  8 Selanjutnya kita cari titk singgungnya

  3 π π π x = ⟹ y = sin − 3 sin

  1

  1

  3

  3

  3

  ( ) ( )

  3

  1

  1

  ¿

  3 −

  3

  3

  √ √

  2

  2

  ( ) ( )

  3

  3

  3

  3

  3

  3

  12 3 −

  9

  3

  √ √ √ √ √ ¿ − = − =

  8

  2

  8

  8

  8

  π −

  9 √

  3

  x , y ≡ ,

  Persamaan garis singgung melalui adalah

  ( )

  1

  1 (

  3 8 )

  y− y = m x−x 1 ( 1 )

  9

  3 3 π − √ −

  x− ⟺ y− =

  8

  8

  3

  ( ) ( ) Kalikan kedua ruas dengan 8 diperoleh

  8 y +9 3=−3 x +π

  √

  3

  ⟺ 8 y=−3 x +π−9 √

  3=0

  ⟺ 3 x+8 y−π +9 √

  , y

  ) Persamaan Garis Singgung dan Garis Normal Sebuah Kurva y=f (x )di titik A (x

  1 1 .

  Persamaan garis normal kurva adalah persamaan garis yang tegak lurus terhadap garis singgung suatu kurva. Persamaan garis normal ditentukan oleh :

  1

  y− y = ( x−x )

  1

  1 ' f ( x )

AYO BERLATIH

  1. Nilai kemiringan garis singgung pada kurva y = sin x di

  2 adalah …. Apabila kalian telah mampu menyelesaikan persoalan di atas, maka kalian bisa melanjutkan pada kegiatan belajar 2 berikut.

Gambar 4.1. Sedangkan, dikatakan turun pada selang apabila untuk setiap dengan

  Grafik fungsi dikatakan naik pada selang apabila untuk setiap dengan berlaku ,

  

x )=0 menyatakan syarat titik stasioner. Fungsi naik atau fungsi turun disebut

fungsi monoton.

  (

  x )>0 menyatakan fungsi naik. Sedangkan, f '

  (

  x )<0 menyatakan fungsi turun dan f '

  (

  f '

  Telah dibahas pada buku matematika wajib kelas XI bahwa turunan pertama

  Kegiatan Belajar 2

  pada titik yang berabsis π

  absis π

  cos x 1+sin x

  f ( x )=

  3. Persamaan garis normal pada kurva

  ) adalah ….

  2

  5

  ,

  6

  ( π

  f ( x )=sin x +2 pada titik

  2. Persamaan garis singgung pada kurva

  3 adalah ….

  berlaku , Gambar 4.2 Definisi Fungsi Monoton

  Masalah Tentukan selang dimana fungsi naik, fungsi turun dari f ( x )=2cos x−cos 2 x dalam selang (0,2 π)

  Ayo Menalar

  Penyelesaian

  (1) Tentukan dahulu turunan pertama, f ' (x)

  f ( x )=2cos x−cos 2 x '

  (

  f x )=…+… '

  (

  f x )=…+… (…) ' f ( x )=… (…−…)

  '

  ( x )=0 (2) Tentukan titik-titik stasioner dengan syarat f

  Jadi, … (…−…)=0, 0<x<2 π

  …=0 atau (…−…)=0 ⟺ …=0 ⟺ cos x=cos … x=… (*memenuhi/tidak ⟺ sin x=sin … memenuhi) x=… (*memenuhi/tidak memenuhi) atau atau

  x=(2 π−… )

  x=π−…=… (*memenuhi/tidak memenuhi) … (*memenuhi/tidak ¿ memenuhi) Jadi, dalam interval 0<x <2 π ada tiga absis yang memenuhi yaitu … , … , dan ….

  Mari menetukan ordinat titik stasioner dengan menyubstitusikan nilai-nilai x ini ke f ( x )=2cos x−cos 2 x . Untuk x=…

  f ( x )=2cos …−cos … ¿ 2 (…)−(…)=…

  Untuk x=…

  f ( x )=2cos …−cos … ¿ 2 (…)−(…)=…

  Untuk x=…

  x=2 cos …−cos…

  2 (…)−(…)=…

  ¿ Jadi titik-titik stasioner f (x) adalah (… , …) , (… , …) , (… , …).

  '

  ( (3) Menentukan tanda f x ) di sisi kiri dan sisi kanan titik stasioner dalam suatu daerah untuk selang yang diberikan (0<x <2 π ).

  Ketiga titik stasioner akan membagi interval (0<x <2 π) menjadi 4 daerah. Daerah I untuk 0<x <…; daerah II untuk …<x <…; daerah III untuk …<x <… dan daerah IV untuk …<x <2 π .

  Untuk menentukan tanda setiap selang kita perlu memilih salahsatu absis x

  0<x <…

  yang ,udah dihitung (sudut-sudut istimewa). Misalnya, dalam daerah I: kita memilih x=…; daerah II: …<x <… kita memilih x=…; daerah III: …<x <…

  x=… …< x <2 π x=…

  kita memilih ; dan daerah IV: kita memilih . Proses ini ditunukkan pada gambar Gambar 4.2

  X X

  I II

  II I

  X X

  X I

  V X

  X X

Gambar 4.2 Titik-titik stasioner yang membagi selang atas empat daerah

  '

  ( x )=−2 sin x (1−2 cos x) Mari kita tentukan tanda (positif atau negatif) dari f

  x pada setiap daerah untuk absis yang telah dipilih.

  Daerah I (0<x <… ) untuk x=…

  '

  (

  f … )=−2 sin … (1−2 cos …)=−2 (…) (1−…) ¿ (… )(… ) ¿ (*positif/negatif) x=…

  Daerah II (…<x <… ) untuk

  '

  (

  f … )=−2 sin … (1−2 cos …) ¿ − 2 (…) (1−…)=… (*positif/negatif) x=…

  Daerah III (…<x <… ) untuk

  '

  (

  f … )=−2 sin … (1−2 cos …) (*positif/negatif)

  ¿ − 2 (…) (1−…)=… x=…

  Daerah IV (…<x <2 π ) untuk

  '

  (

  f … )=−2 sin … (1−2 cos …) ¿ − 2 (…) (1−…)

  … (*positif/negatif) ¿

  Tanda-tanda f ' (x) untuk setiap daerah yang telah diuji di atas ditunjukkkan pada

  Gambar 4.3

  (4) Menentukan selang di mana fungsi naik atau turun Daerah di mana tanda f

  Ayo Menyimpulkan Langkah-langkah menentukan selang kemonotonan Kurva Fungsi Trigonometri …………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………..

Gambar 4.3 Titik-titik stasioner (bulatan hitam) berikut tanda-tanda f ' (x) dalam tiap daerah.

  … … …

  ⊝ 2 π

  ⨁ /

  ⊝ ¿

  ⨁ /

  ⨁ / ⊝ ¿

  X X ¿

  X X

  ¿ ⨁ / ⊝

AYO BELATIH !!

  dua metode yaitu metode pertama dengan menggunakan uji turunan pertama dan metode kedua menggunakan tanda uji turunan kedua di titik stasioner.

  '

  Kegiatan Belajar 3 Titik stasioner terjadi jika dipenuhi f ’(x )=0, yaitu titik di mana gradien

kurva sama dengan nol. Untuk menentukan jenis titik stasioner dapat menggunakan

  0 ≤ x ≤ 2 π . Tentukan selang kemonotonan fungsi tersebut menggunakan turunan pertama.

  Diberikan f ( x )=2sin x−cos 2 x

dalam selang

  dan daerah … : …<x <… fungsi turun dalam daerah … : …<x <… dan daerah IV : …<x <…

  …<x <…

  fungsi naik dalam daerah … :

  4.3, jelas bahwa:

  menyatakan selang fungsi turun. Dengan memerhatikan secara saksama Gambar

  x )<0

  (

  x )>0 menyatakan selang fungsi naik dan tanda f '

  (

1. Metode Pertama : Uji turunan pertama pada kedua sisi di sebelah titik stasioner.

  b. Jika dari sisi sebelah kiri titik stasioner menuju ke sisi sebelah kanannya tidak terjadi perubahan tanda gradien, keduanya f ’(x )>0 (titik belok naik) atau keduanya f ’(0)<0 (titik belok turun), maka jenis titik stasioner adalah titik belok.

  a. Jika dari sisi sebelah kiri titik stasioner menuju ke sisi sebelah kanannya terjadi perubahan tanda gradient :

• dari f ’(x )>0 menjadi f ’(x )<0, maka jenis titik stasioner adalah titik balik maksimum.
• dari f ’ ( x)<0 menjadi f ’ ( x)>0, maka jenis titik stasioner adalah titik balik minimum.

1. Jika sin x=sin a maka,

• n.2 π 
• n .2 π atau x= −

• n .2 π
• x +n .2 π
• n .2 π 
• n .2 π atau x−x =
• n . π atau =
• n .2 π ( tidak memenuhi)
• 0=
• 1. π = 5 π
• 2 π >2 π

  −

  π

  2

  x

  =

  π

  4

  − π

  2

  n=0

  

  x = π

  4

  π

  4

  n=1

  

  x= ¿ = π

  4

  4

  n=2

  

  x = π

  4

  

(tidak memenuhi)

  Jadi, ada dua absis yang memenuhi titik stasioner yaitu ¿

  π dan x=

  2

  2 x = π

  

  f (x)=sin x +cos x, dengan 0 ≤ x ≤ 2 π f ‘(x)= ¿ f ‘(x)= ¿ f ‘(x)= ¿

  x=… .

  Atau x=… .

  2. Jika cos x=cosa maka x=… .

  Atau x=… .

  3. Jika tan x=tan a maka x=… .

  4. Titik stasioner terjadi apabila dipenuhi f

  ' ( x )=… .

  Contoh soal : Diberikan f (x)=sin x +cos x, dengan 0 ≤ x ≤ 2 π.

  a.Tentukan semua titik stasioner berikut jenisnya.

  b. Tentukan titik-titik ujung interval.

  Penyelesaian :

  a. Langkah – langkah penyelesaian : 1) Menentukan koordinat titik stasioner, gradient kurva adalah nol (f ‘(x )=0).

  cos x=sin x ↔cos x=cos(

  2

  

π

  2 − x)

  x= (

  π

  2 − x

  )

  

(

π

  2 − x

  )

  x +x = π

  2

  atau x = − π

  5 π .

  π π π π

  1

  1 = sin cos = 2+ 2=

• ¿ f √ √

  2 untuk x= √

  4

  4

  4

  4

  2

  2

  ( )

  5 π 5 π 5 π 5 π

  1

  1 − sin cos 2− 2=−

  2 untuk x= + ¿ f = =

  √ √ √

  4

  4

  4

  4

  2

  2

  ( ) π 5 π , ,−

  Jadi, ada dua titik stasioner yaitu ( √ 2) dan ( √ 2).

  4

  4 2) Gambar absis stasioner pada garis bilangan dalam selang yang diberikan. uji uji uji

  X

  2 3) Tentukan dua titik Uji, satu di kiri dan satu lagi di kanan titik stasioner.

  Substitusikan absis titik uji pada f ‘(x), yang diambil hanyalah tanda dari f ‘(x), positif atau negative.

  π untuk x= ,titik uji dipilih x=0 dan x=π .

  4 5 π

  ,titik uji dipilih x=π x=2 π

  untuk x= dan

  4

  f ‘(x)=cos x – sin x '

  0)=cos 0 – sin 0=1−0=1>0( positif ) Uji x=0 f (

  ' x=π

  Uji ( π )=cos π – sin π =−1−0=−1<0 (negatif ) f

  '

  Uji x=2 π f ( 2 π )=cos 2 π – sin 2 π =1−0=1>0 ( positif ) 4) Buatlah tabel dari hasil-hasil itu untuk mempermudah menganalisis jenis titik stasioner.

  π π 5 π 2 π x

  4

  4

  f ' (x) +

• Grafik

  π

  Dengan memperhatikan tabel dapat disimpulkan bahwa x= adalah absis

  4 5 π titik balik maksimum dan x= adalah absis titik balik minimum.

  4

  π

  5 π

  ,

  2 ,−

  2 Jadi, jenis titik balik ( ¿ adalah titik balik maksimum dan ( ¿

  √ √

  4 4 adalah titik balik minimum.

  b. Titik maksimun atau titik minimum yang kita peroleh dari f ’(x )=0 sesungguhnya adalah titik maksimum lokal atau titik minimum lokal dalam selang yang diberikan. Supaya menjadi titik maksimum mutlak atau titik minimum mutlak, maka nilai dari titik-titik stasioner ini harus dibandingkan dengan nilai-nilai fungsi pada titik-titik ujung interval. Jika nilai maksimum lebih besar dari nilai terbesar ordinat titik ujung interval, maka titik ini adalah titik maksimum mutlak. sedangkan jika nilai minimum lebih kecil dari nilai terkecil ordinat titik ujung, maka titik ini adalah titik minimum mutlak. Absis tiitk-titik ujung interval adalah x=0 dan x=2 π .

  f (x)=sin x +cos x untuk x=0 → f (0)=sin 0+cos 0=0+1=1.

  untuk x=2 π → f (2 π )=sin 0+cos 0=0+1=1.

  2 π , 1

  Jadi, titik-titik ujung interval adalah (0,1) dan ( ¿

2. Metode Kedua : Menggunakan tanda uji turunan kedua di titik stasioner.

  Contoh soal :

  Tentukan nilai minimum mutlak dari y=2sin x +cos 2 x dalam selang 0 ≤ x ≤ 2 π.

  Penyeleaaian :

  Pertama kita tentukan dahulu absis titik stasioner, yaitu saat gradient kurva sama dengan nol (f ‘(x )=0).

  f (x)=2sin x +cos 2 x , 0 ≤ x ≤ 2 π f ' (x)=2cos x+(−2 sin 2 x ) 2 cos x−2 sin 2 x f ' (x)=0

  2 cos x−2 sin 2 x= 0

  = 0

  2(cos x −sin 2 x ) cos x=sin2 x 

  π

  cos ⁡x =cos( ¿ − 2 x) ¿

  2

  π π x= 2 x +n .2 π x=−( 2 x)+n .2 π

  − atau −

  2

  2

  π π

  − 3 x= n .2 π x= 2 x +n .2 π

  2

  2

  π n π x= .2 π x= − n .2 π +

  6

  3

  2

  π π π π

  0= 0=

  n=0 n= ¿ −

   x= 0 

• 6

  6

  2

  2

  π

  1 5 π π 3 π −

  .2 π = − 2 π=

  n=1 n= ¿ (t.m)

•  x= 1 

  6

  3

  6

  2

  2

  π

  2 3 π

  n=2 .2 π = +

   x=

  6

  3

  2

  π

  3

  1 .2 π =2 π

  n=3 > 2 π ( t.m) +

   x=

  6

  3

  6

  π π 5 π 3 π , , , ¿

  Jadi, ada empat absis titik stasioner yang diperoleh, yaitu x = (

  6

  2

  6

  2 Selanjutnya kita akan menentukan mana dari keempat absis titik stasioner ini yang termasuk titik balik minimum(sesuai yang diminta dalam soal). Kaitan antara tanda dari turunan kedua fungsi pada titik stasioner ( ”(c ), dengan x=c adalah absis titik stasioner) dengan jenis titik stasionernya. Ini dinyatakan dalam teorema berikut.

  Teorema Nilai Balik a< x<b

  Misalkan y=f (x ) terdefinisi pada selang . Misalkan juga f ‘(c )=0, yang berarti x=cadalah absis titik stasioner.

  1) Jika f “(c)<0 atau negative, maka f (c ) adalah nilai balik maksimum. 2) Jika f ”(c)>0 atau positif, maka f (c ) adalah nilai balik minimum. 3) Jika f “(c)=0, maka f (c ) adalah titik belok

  Mari kita terapkan teorema metode 2 ini untuk menentukan mana dari keempat absis stasioner yang telah kita hitung sebelumnya, yang merupakan absis titik minimum. Karena metode 2 adalah metode uji tanda turunan kedua, maka kita perlu menentukan dahulu turunan kedua, f ”(x ), sebelum mengujinya.

  f (x)=2sin x +cos 2 x

  f ' (x)=2cos x−2sin 2 x f ' ' (x)=2(−sin x)−2(2 cos 2 x ) f ' ' (x)=−2 sin x−4 cos 2 x π π 2 π

  1

  1

  f ' ' ( )=− 2 sin( )− 4 cos ⁡( )=− 2( )− 4( )=− 1−2=−3<0

  6

  6

  6

  2

  2 (maksimum)

  π π 2 π f ' ' ( 2 sin( 4 cos ⁡(

  )=− )− )=− 2(1)−4 (−1)=−2+4=2>0 (minimum)

  2

  2

  2 5 π 5 π 10 π

  1

  1

  

f ' ' ( )=− 2 sin( )− 4 cos ⁡( )=− 2( )− 4 ( )=− 1−2=−3<0

  6

  6

  6

  2

  2 (maksimum) 3 π 3 π 2 π

  f ' ' ( )=− 2 sin( )− 4 cos ⁡( )=− 2(−1)−4 (−1)=2+4=6 <0

  2

  2

  6 (minimum)

  π 3 π dan x=

  Jadi, ada dua absis minimum, yaitu ¿ . untuk menentukan nilai

  2

  2 minimum mutlak, mka kita harus membandingkan kedua nilai minimum ini dengan nilai-nilai fungsi pada ujung-ujung selang dan x=2 π)

  ¿

  Nilai minimum f(x) = 2 sin x + cos 2x untuk kedua tiitik balik minimum,

  π π π x= f 2 sin

  = cos π=2.1+(−1)=2−1=1

• 3 π 3 π 3 π

  2

  2

  2

  ( ) ( )

  x= f 2sin

  = cos 3 π =2.(−1)+(−1 )=−2−1=−3 + 2 ( 2 ) ( )

  2 untuk kedua titik di ujung-ujung selang

  x=0 f (0)=2 sin 0+cos 0=0+1 =1 x=2 π f (2 π )=2sin π +cos 2 π=0+1=1

  Jika keempat nilai ini kita bandingkan, maka nilai yang paling kecil adlah -3. Jadi nilai minimum mutlak dari y=2sin x +cos 2 x adalah -3, yang terjadi 3 π ketika x=

  2 AYO BERLATIH

  0<x <2 π

  1. Diberikan f (x)=2cos x – cos 2 x, dengan . Tentukan semua titik stasioner dan jenisnya.(Gunakan metode uji turunan pertama)

  2. Tentukan nilai minimum mutlak dari f ( x )=2sin x +cos 2 x, dengan 0 ≤ x ≤ 2 π dengan menggunakan uji turunan kedua.

  Kegiatan Belajar 4

  Menentukan rumus nilai ekstrem dari y= A sin x +B cos x yaitu : syarat kurva y= A sin x +B cos x mencapai ekstrem adalah y ’=0.

  y= A sin x +B cos x y ’=0 … … – … …=0

   … …=… … sin x … =

   cos x …

  …

   … …=

  … Kemungkinan 1

  − A tan x= − B

  2

  2

  2

2 Hipotenusa =

  ( …) +( …) = … …

• …

  √ √

  Sin x =

  2

  2 … …

  √

• …

  Cos x =

  2

  2 … …

  √

• Nilai ekstrem fungsi

  y= A sin x +B cos x

  2

  2 … … −( … … + )

  2

  2 y=… …( … …

• )= =−

  √

  2

  2

  2

  2

  2

  2 … … … … … …

  ( √ ) √ √ + + + Kemungkinan 2

  A

  tan x=

  B

  2

2 Hipotenusa =

  … … √

• …

  sin x =

  2

  2 … …

  √

• …

  cos x =

  2

  2 … …

  √

• Nilai ekstrem fungsi

  y= A sin x +B cos x

  2

  

2

… … … …

  2 y=… … ( )= … …

• 2
• =

  √

  2

  2

  2

  2

  2

  

2

… … … … … …

  ( )

  √ √ √ KESIMPULAN Nilai Ekstrem y = A sin x + B cos x untuk kurva y = A sin x + B cos x, dengan A dan B adalah konstanta, maka.

  Nilai minimum : Nilai maksimum :

AYO BERLATIH

  1. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari f (x)=sin x – cos x !

  2

  2 x +14 sin x +24 sinx cos x+10!

2. Tentukan nilai maksimum dari f (x)=4 cos

   Kegiatan Belajar 5

  Turunan kedua f ' ' (x) dapat digunakan untuk menentukan jenis dari titik stasioner, apakah merupakan untuk merupakan titik minimum, titik maksimum, ataukah titik belok. Suatu kurva memiliki titik stasioner minimum pada selang I jika dalam selang

  I

  kurva cekung ke atas. Sedangkan suatu kurva memiliki titik stasioner minimum pada selang I jika dalam selang I kurva cekung ke bawah.

  Definisi Kecekungan Fungsi Grafik fungsi dikatakan cekung ke atas pada selang bila naik pada selang . Sedangkan, dikatakan cekung ke bawah pada selang bila turun pada selang .

  '' ''

  ( (

  f ' (x) naik berarti f x )>0 dan f ' (x) turun berarti f x )<0. Oleh karena itu, bisa

  disimpulkan :

  ''

a. Bila f x )>0 , x ∈ I , maka f (x) cekung ke atas pada

  ( I .

  ''

  ( x )<0 , x b. Bila f ∈ I , maka f (x) cekung ke bawah pada I.

1. Jika sin x=sin a maka,

  2. Jika cos x=cosa maka x=… .

  Atau x=… .

  3. Jika tan x=tan a maka x=… .

  ' 4. Titik stasioner terjadi apabila dipenuhi f ( x )=… .

  5. Tentukan semua titik stasioner dari f ( x )=sin x+cos x , dengan 0 ≤ x ≤ 2 π Jawab:

  '

  (

  x )=…

  Syarat stasioner adalah f

  f ( x )=sin x +cos x 0 ≤ x , ≤ 2 π

  dengan

  ' f ( x )=…−… ∴ …−…=…

  ⟺ …=… … ⟺ cos x=cos − x …

  ( ) …

  … x n . … x=− x n . …

  − − x= dan

  ( ) (

  … … ) … …

  −

  n∙ … …+n ∙ … ⟺ x+ x= ⟺ x= + + … … …

  …

  −

  n ∙ …

  n ∙ … ⟺ …= ⟺ …−…= …

  … … − … ⟺ x= n ∙… ⟺ …= n∙ … + +

  (*memenuhi/tidak memenuhi) …

  … … … n=0 …∙ …= ⟹ x= (*memenuhi/ tidak memenuhi)

• … … … … n=1 …∙ …= ⟹ x=

  )

  (*memenuhi/ tidak memenuhi

• … … … … n=2 ⟹ x= … ∙ …=

  (*memenuhi/tidak memenuhi)

• … … Jadi ada dua absis yang memenuhi titik stasioner yaitu … .

  Untuk x=…⟹ f (…)=sin …+cos…=…+…=… Untuk x=…⟹ f (…)=sin …+cos…=…+…=… Jadi, ada dua titik stasioner yaitu (…, …) dan (…, …)

  Masalah Diberikan ( x )=20 x−10 sin 4 x , 0 ≤ x ≤ π. Tentukan selang kecekungan kurva.

  Ayo Menalar

  Penyelesaian (1) Tentukan dahulu turunan kedua fungsi. f ( x )=20 x−10 sin 4 x

  ' f ( x )=…−…

  '' ''

  ( (

  f x )=…+… ⟺ f x )=… (2) Tentukan absis titik-titik yang diperoleh dari syarat kecekungan kurva.

  ''

  ( x )>… Syarat cekungan ke atas f

  …>… ⟺ …>0

  Titik-titik krtis yang diperoleh untuk:

  …=0 ⟺ sin …=sin … …=…+n .2 π atau …=π +n .2 π ⟺ x=…2 π =… π atau x=…+…

   Untuk n=0

  n=0

   Untuk

  x=…+… x=… (*memenuhi/tidak memenuhi) … (*memenuhi/tidak memenuhi)

  ¿

   Untuk n=1

  n=1

   Untuk

  x=… (*memenuhi/tidak memenuhi) x=…+…

   Untuk n=2

  … (*memenuhi/tidak memenuhi) ¿ x=… (*memenuhi/tidak memenuhi) n=2

   Untuk

  x=…+… … (*memenuhi/tidak memenuhi) ¿ Jadi ada 5 nilai absis titik kritis, yaitu: ………………………………………..

  (3) Kelima x ini membagi selang [0 , π ] menjadi 4 daerah, daerah I: 0<x <… ; daerah

  II; …<x <… ; daerah III: …<x <… ; daerah IV: …<x <π , seperti ditunjukkan pada Gambar 4.4. Kita akana menentukan tanda f ' ' (x) untuk setiap daerah. Untuk itu, kita perlu memilih salah satu nilai absis x dalam setiap daerah sebagai wakil untuk penentuan tanda f ' ' (x). Kita memilih x=… , x=… , x=… , x=… berturut-turut dalam daerah I,II, III, dan IV

  ''

  ( x )=160 sin 4 x pada Mari kita menentukan tanda (positif atau negatif) dari f

  X X setiap daerah dengan meyubstitusi absis x sebagai wakil daerah.

  I II

  II I

  X X

  X I

  V X

  x=…

  Daerah I (0<x <… ) dengan wakil

  X X ''

  ( ( ¿ ⨁ / ⊝)

  f …)=160 sin …=160 sin …

  Daerah II (…<x <… ) dengan wakil x=…

  ''

  ⨁ /

  f ( …)=160 sin …=… ( ¿ ⊝)

  Daerah III (…<x <… ) dengan wakil x=…

  ''

  (

  f …)=160 sin …=160 sin … ¿ 160 sin …=…>0 ( ¿ ⨁ / ⊝)

  Daerah IV (…<x <π ) dengan wakil x=…

  '' f ( …)=160 sin …=160 sin …

  ¿ 160 sin (2 π +…)=… ( ¿ ⨁ / ⊝)

  Tanda-tanda f ' ' (x) untuk setiap daerah yang telah diuji di atas ditunjukkan pada

  Gambar 4.5

  I II

  II I

  X X

  I V

  X X

  X X

  X X

Gambar 4.5 Tanda-tanda dalam setiap daerah untuk menentukan kecekungan grafik

  

(4) Dengan menggunakan Gambar 4.5 sekarang kita bisa menentukan selang

kecekungan kurva.

  ''

  ( x )>0 , x  Kurva cekung ke atas untuk f ∈ I, yaitu

  …<x <…

  pada daerah …: dan daerah …: …<x <…

  

''

  (

  x )<0 , x

   Kurva cekung ke bawah untuk f ∈ I, yaitu pada daerah II : …<x <… dan daerah IV : …<x <… Ayo Menyimpulkan