Contoh Makalah Matematika Diskrit Logika Matematika
KATA PENGANTAR
Tiada kata yang pantas kita ucapkan selain kata puja dan puji syukur
kehadirat ilahi rabbi yang senantiasa memeberikan nikmat-Nya beru[a
kesehatan dan kesempatan kepada kita sehingga dalam penyusunan
makalah “matematika diskrit” ini dapat terselesaikan sebagaimana mestinya.
Makalah ini kami sususn sebagai pendukung dalam prosese
perkuliahan dan sebagai bahan diskusi guna menyatakan pendapat
dan
saran dari teman-teman namun dalam makalah ini pastilah terdapat
kekurangan, oleh karena itu krutik dan saran akan kami terima demi kualitas
penyusunan makalah selanjutnya.
Semoga makalah ini bermanfaat bagi kita semua khususnya kami
kelompok IV, atau teman-teman pada umumnya.
Majene…………………….
Penyusun
Kelompok IV
BAB I
PENDAHULUAN
LATAR BELAKANG
Seseorang
dalam
melakukan
komunikasi
dengan
orang
lain
menggunakan kata-kata. Rangkaian kata ini merupakan suatu kalimat yang
kemudian dapat dimengerti oleh orang lain. Kalimat itu disebut kalimat
berarti. Kalimat berarti dapat digolongkan menjadi dua, yaitu pernyataan
(deklaratif) dan bukan pernyataan ( non deklaratif).
Tapi dalam makalah ini kita tidak akan membahas tentang kalimat
deklaratif dan kalimat non deklaratif karena pada penjelasanb sebenarnya
telah dijelaskan tentang kedua bentuk kalimat tersebut, mulai dari kanjungasi,
disjungsi, semua itu telah dibahas pada pertemuan sebelumnya.
Pada petemuam sebelumnya telah dibahas bahwa ekspresilogika
dapat termasuk teutologi, kotradiksi, jika sesuatu ekspresi logika termasuk
teutologi, maka ada implikasi logis yang diakibatkannya, yaitu jika dua buah
ekspresi logika eknivalen (sama)
Contoh : A
B adalah eknivalen secara logis jika terbukti teutologi
Bab ini akan membahas tentang persaman-persaman antara dua
buah ekspresi logika yang mungkin eknivalen ( sama), atau mungkin
berbeda, yang kesamaan atau berbeda itu akan dibuktikan dalam table
kebenaran, dan juga membahas tentang, konvers, invers, dan kontraposisi.
BAB II
PEMBAHASAN
1. EKUIVALENSI LOGIS
Pada teutologi dan juga kontradiksi, dapat dipastikan bahwa jika
dua buah ekspresi logika adalah teutologi, maka keduabuh ekspresi
tersebut ekuivalen secara logis, demikian juga jika keduanya kontradiksi :
persoalanya ada pada catingent, karena memiliki semua nilai S dan B.
tetapi jika ukuran B dan S atau sebaliknya pada table kebenaran tetap
pada ukuran yang sama maka tetap disebut ekuivalen secara logis.
Contoh :
1. Dewi sangat cantik dan peramah
2. Dewi peramah dan sangat cantik
Kedua pernyataan diatas, tanpa dipikir panjang, akan dikatakan
ekuivalen atau sama saja, dalam bentuk ekspresi logika dapat ditampilkan
berikut :
A
=
Dewi sangat cantik
B
=
Dewi peramah
Maka ekspresi logika adalah :
(1) A ∧ B
(2) B ∧ A
Kedua buah ekspresi logika tesebut dikatakan ekuivalen secara logis, dan
dapat ditulis :
(A ∧ B) = (B ∧ A)
Ekuivaelnsi logis dan kedua ekspresi ogikja dapat dibuktikan dengan tebel
kebenaran. Sebagai berikut.
A
B
B
S
S
A∧ B
B
S
S
S
B
B
S
B
S
B∧A
B
S
S
S
Pembuktian dengan tabel kebenaran diatas, w3alaupun setiap
ekspresi logika memiliki nilai B dan S, tetapi untungnya sama maka
secara logis dikatakan ekuivalen, tetapi jika untuk S dan B tidak sama
maka tidak bias dikatakan ekuivalen secara logis.
Defenisi
=
proposisi A dan B disebut ekuivalen secara logis jika A
B adalah teutologi. Notasi atau symbol A ≡ B
menandakan bahwa A dan B ekuivalen secara logis.
Tabel
kebenaran
merupakan
alat
untuk
membuktikan
kebenaran
ekuivalen secara logis. Kesimpulan diambil berdasarkan hasil dari tabel
kebenaran tersebut.
Contoh:
1. Badu tidak pandai, atau dia tidak jujur
2. Adalah tidak benar jika badu pandai dan jujur
Kedua pernyataan diatas sebenarnya
sama
saja,
tetapi
bagaimana jika dibuktikan dengan tabel kebenaran. Berdasarkan ekspersi
logika, ubah dahulu pernyataan diatas menjadi ekspresi logika dengan
member variable propesional.
A= Badu pandai
B = Badu jujur
Kedua penyataan menjadi :
1. –A V – B
2. – (A V B)
Selanjutnya dibuktikan dalam tabel kebenaran bahwa kedua ekspresi
logika itu ekuivalen
A
B
A∧ B
-AV -B
- (A ∧
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
S
S
B
B
B
B)
S
B
B
B
Meskipun kedua ekspresi logika diatas memiliki nilai kebenaran
yang sama, ada nilai B dan S, keduanya
baru dukatakan ekuivalen
secara lois kija dihubungkan dengan perangkai ekuivalen (
akhirnya menghasilkan teutologi
Perhatikan lanjutan tabel berikut :
–AV–B
– (A V B)
B
B
B
B
) dan
Terbukti bahwa kedua ekspresi
karena nilai kebenaran bernilai B.
logika diatas ekuivalen secara logis
2. Komutatif (Pertukaran)
Pada begian diatas sudah dibahas bahwa (A ∧ B) ≡ (B ∧ A), pada
perangkai (∧) tersebut, variable kedua propesional dapat salng berganti
tempat tampa mengubah nilai kebenaran dari kedua ekspresi logika
karena tetap memiliki nilai kebenaran yang sama disebut komutatif
Jadi (A ∧ B) ≡ (B ∧ A)
Demikian juga dengan perangkai (V) : (A V B) ≡ (B V A)
Demikian juga dengan perangkai (
) : (A
B) = (B
A)
Sifat komutatif dari ketiga perangkai diatas dapat dibuktikan denga tabel
kebenaran . lain halnya dengan perangkai (
komutatif, karena (A
B) dengan (B
) tidak memiliki sifat
A) memiliki nilai kebenaran ahng
berbeda. Lihat pembuktiannya dengan tabel kebenaran berikut.
A
B
B
S
S
B
B
S
B
S
A
B
B
S
B
B
Jadi terbukti bahwa ekspresi logika A
ekuivalen
3. Asosiatif (Pengelompokan)
B
A
B
B
S
B
B dengan B
A keduanya tidak
Penempatan tanda kurung bias pada suati ekspresi logika peranan
penting, karena tanda kurung berarti meminta proses dikerjakan lebih
dahulu pada tanda kurung terdalam.
Jika diterapkan pada dua buah ekspresi logika,
tanda
kurung
biasa
dapat
diubah,
tetapi
tidak
penempatan
mengubah
nilai
kebenarannya pada tabel kebenaran yan dibuat
contoh :
A
B
B
B
B
S
S
S
S
B
B
B
S
S
B
B
S
S
C
B
S
B
S
B
S
B
S
A∧ B
B
B
S
S
S
S
S
S
(A ∧ B) ∧ C
B
S
S
S
S
S
S
S
B∧C
B
S
S
S
B
S
S
S
A ∧ (B ∧ C)
B
S
S
S
S
S
S
S
Jadi dapat dibuktikan bahwa
{(A ∧ B) ∧ C} ≡ {A ∧ (B ∧ C)}
dan karena tanda kurungnya bias dipindahkan dan tidak mengubah nilai
kebenaran maka disebut asosiatif
asosiatif lainya biasana terjadi pada perangkai yang sama misalnya :
perangkai (V) dan perangkai ( ), jadi (A V B)VA) ≡ (AV(BVC). Tetapui tidak
berlaku (
), jika pada A
Maka ((A
B)
C) dan (A
B dan B
(B
A sudah bernilai tidak sama.
C)) juga dipastikan tidak sama.
Akan
tetapi, jika perangkainya berbeda pada satu ekspresi logika, anda tidak
bisa memindahkan tandakurung dengan sembarangan karena akan
menghasilkan nilai kebenaran yang berbeda.
Contoh :
A
B
C
A∧ B
(A ∧ B) V C
BVC
A ∧ (B V C)
B
B
B
B
S
S
S
S
B
B
S
S
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
B
S
B
B
S
S
S
S
S
S
B
B
B
S
B
S
B
S
B
B
B
S
B
B
B
S
B
B
B
S
S
S
S
S
Jadi terbukti nilai kebenaran dari (A > B) VC dan A > (B V C) tidak
sama, walaupun urutan perangkainya sama. Pletakan tanda kurung
yang berbeda menyebabkan perbedaan nilai kebenaran.
4. Hukum logika
hukum-hukum logika yang digunakan untuk memebutikan berbagai
keperluan, termasuk validitas sebuah argument,
dari ekuivalen logis. Hukum-hukum logika
dapat dikembangkan
juga diambil dari ekspresi-
ekspresi logika berdasarkan pernyataan-pernyataan sehingga tetap dapat
dibuktikan kebenarannya melalui pernyataan tersebut
contoh:
1. Jika anda tidak belajar, maka anda akan gagal.
2. Anda Harus Belajar, atau anda akan gagal.
Jika ingin membuat ekspresi logika, maka variabel proposisionalnya harus
duganti dulu, seperti berikut.
A = anda belajar
B = anda gagal
Maka ekspresi logika akan menjadi
1. A
B
2. – A V B
Kemudian dibuktikan bahwa A
A
B
B
S
S
B
B
S
B
S
Ternyata A
B ≡ – A V B. dalam tabel kebenaran.
A
B
B
S
B
B
–A
S
S
B
B
–AVB
B
S
B
B
B ≡ - A V B karena memiliki nilai kebenaran yang sama
pada tabel kebenaran.
Sekarang perhatikan hukum de morgan
1. – (A Λ B) - A V – B
2. – (A V B)≡ - A Λ- B
Pembuktian hukum de morgan juga dapat dibuiktikan dengan tabel
kebenaran,
seperti hukum-hukum lainya, sebuah hukum juga dapat
diberlakukan terbalik, jadi – (A Λ B) ≡- A V – B tetap akan sam dengan - A
V – B ≡ – (A Λ B) untuk hukum-hukum logika lainya dapat dilihat pada
contoh berikut.
Contoh :
1. Jika badu tidak sekolah, maka badi tidak akan pandai
2. Jika badu pandai, maka badu pasti sekolah
untuk membuktikan maka harus diubah menjadi ekspresi logika seperti
berikut :
A = badu sekolah
B = badu pandai
Maka akan menjadi
1. – A
2. B
-B
A
Pembuktian ekuivalensi dilakukan dengan tabel kebenaran
A
B
B
S
S
B
B
S
B
S
–A
S
S
B
B
–B
S
B
S
B
–A
–B
B
B
B
S
B
A
B
B
S
B
Jadi terbukti bahwa :
–A
–B ≡ B
A
5. Konvers, invers, dan kontraposisi
Dari suatu komplikasi p
q, dapat peroleh :
i. q
p yang disebut konvers dari p
q
ii. –p
-q yang disebut invers dari p
q
iii. –q
-p yang disebut kontraposisi dari p
q
Tabel kebenaran dari keempatpernyataan diatas sebagai berikut.
Implikasi
Konvers
Invers
Kontraposis
i
p
B
B
S
S
q
B
S
B
S
–p –q
S
S
S
B
B
S
B
B
p
q
B
S
B
B
q
p
B
B
S
B
Dari tabel kebenaran ini dapat dilihat bahwa
–p
–q
B
B
S
B
–q
–p
B
S
B
B
i.
ii.
p
q
q≡–q
p≡–p
–p
–q
contoh :
apakah konvers, invers, kantraposisi kalimat dibawah ini ?
a. Jika merupakan suatu bujur sangkar, maka A meruppakan sauatu 4
persegi panjang
b. Jika N adalah bilangan prima > 2, maka N adalah bilangan ganjil
Penyelesaian :
a. Konvers
:
jika a merupakan 4 persegi panjang maka a
adalah suatu bujur sangkar
Invers
:
jika a bukan bujur sangkar mak a bukan 4
persegi panjang
Kantraposisi
:
jika a bukan 4
persegi panjang maka a bukan
bujur sangkar
b. Konvers
:
jika N adalah bilangan ganjil, maka N adalah
bilangan prima > 2
Invers
:
jika N bukan bilangan prima > 2 maka N bukan
bilangan ganjil
Kantraposisis :
jika N bukan bilangan ganjil, maka N bukan
bilangan prima. > 2
BAB III
PENUTUP
1. KESIMPULAN
Dari penjelasan dan pembahasan tentang logika matematika,
dapat dapat disimpulkan bahwa matematika merupakan mata kuliah yang
sangat membutuhkan pemahaman yang tinggi, khususnya dalam
kehidupan sahari-hari logika peranan yang sangat penting, karena apabila
seseorang
tidak
memahami
logika
maka
akan
sering
terjadi
kesalapahaman dalam kehidupan sehari-hari. Logika matematika juga
memberiikan bukti bahwa pada bidang matematika itu bukan selamanya
berupa angka- angka tapi selain dari itu terdapat sebuah pernyataanpernyataan yang membutuhkan pemahaman tinggi
2. SARAN-SARAN
Dalamn makalah ini masih terdapat kekurangan dan masih sangat
membutuhkan penambahan-penambahan, misalnya contoh-contoh dan
pembahasan yang mungkin masih belum bisa dimengerti dengan cepat
oleh yang sempat membacanya, kami harapka semoga makalah ini dapat
berguna bagi pewmbacanya dan dapat menjadi reperensi dalam
mempelajari logika matematika, karena begitu pentingnya logika dalam
kehidupan sehari-hari maka kami sarankan kepada teman-teman untuk
dapat memahami logika untuk menghindari
mungkin terjadi.
kesalahpahaman
yang
Tiada kata yang pantas kita ucapkan selain kata puja dan puji syukur
kehadirat ilahi rabbi yang senantiasa memeberikan nikmat-Nya beru[a
kesehatan dan kesempatan kepada kita sehingga dalam penyusunan
makalah “matematika diskrit” ini dapat terselesaikan sebagaimana mestinya.
Makalah ini kami sususn sebagai pendukung dalam prosese
perkuliahan dan sebagai bahan diskusi guna menyatakan pendapat
dan
saran dari teman-teman namun dalam makalah ini pastilah terdapat
kekurangan, oleh karena itu krutik dan saran akan kami terima demi kualitas
penyusunan makalah selanjutnya.
Semoga makalah ini bermanfaat bagi kita semua khususnya kami
kelompok IV, atau teman-teman pada umumnya.
Majene…………………….
Penyusun
Kelompok IV
BAB I
PENDAHULUAN
LATAR BELAKANG
Seseorang
dalam
melakukan
komunikasi
dengan
orang
lain
menggunakan kata-kata. Rangkaian kata ini merupakan suatu kalimat yang
kemudian dapat dimengerti oleh orang lain. Kalimat itu disebut kalimat
berarti. Kalimat berarti dapat digolongkan menjadi dua, yaitu pernyataan
(deklaratif) dan bukan pernyataan ( non deklaratif).
Tapi dalam makalah ini kita tidak akan membahas tentang kalimat
deklaratif dan kalimat non deklaratif karena pada penjelasanb sebenarnya
telah dijelaskan tentang kedua bentuk kalimat tersebut, mulai dari kanjungasi,
disjungsi, semua itu telah dibahas pada pertemuan sebelumnya.
Pada petemuam sebelumnya telah dibahas bahwa ekspresilogika
dapat termasuk teutologi, kotradiksi, jika sesuatu ekspresi logika termasuk
teutologi, maka ada implikasi logis yang diakibatkannya, yaitu jika dua buah
ekspresi logika eknivalen (sama)
Contoh : A
B adalah eknivalen secara logis jika terbukti teutologi
Bab ini akan membahas tentang persaman-persaman antara dua
buah ekspresi logika yang mungkin eknivalen ( sama), atau mungkin
berbeda, yang kesamaan atau berbeda itu akan dibuktikan dalam table
kebenaran, dan juga membahas tentang, konvers, invers, dan kontraposisi.
BAB II
PEMBAHASAN
1. EKUIVALENSI LOGIS
Pada teutologi dan juga kontradiksi, dapat dipastikan bahwa jika
dua buah ekspresi logika adalah teutologi, maka keduabuh ekspresi
tersebut ekuivalen secara logis, demikian juga jika keduanya kontradiksi :
persoalanya ada pada catingent, karena memiliki semua nilai S dan B.
tetapi jika ukuran B dan S atau sebaliknya pada table kebenaran tetap
pada ukuran yang sama maka tetap disebut ekuivalen secara logis.
Contoh :
1. Dewi sangat cantik dan peramah
2. Dewi peramah dan sangat cantik
Kedua pernyataan diatas, tanpa dipikir panjang, akan dikatakan
ekuivalen atau sama saja, dalam bentuk ekspresi logika dapat ditampilkan
berikut :
A
=
Dewi sangat cantik
B
=
Dewi peramah
Maka ekspresi logika adalah :
(1) A ∧ B
(2) B ∧ A
Kedua buah ekspresi logika tesebut dikatakan ekuivalen secara logis, dan
dapat ditulis :
(A ∧ B) = (B ∧ A)
Ekuivaelnsi logis dan kedua ekspresi ogikja dapat dibuktikan dengan tebel
kebenaran. Sebagai berikut.
A
B
B
S
S
A∧ B
B
S
S
S
B
B
S
B
S
B∧A
B
S
S
S
Pembuktian dengan tabel kebenaran diatas, w3alaupun setiap
ekspresi logika memiliki nilai B dan S, tetapi untungnya sama maka
secara logis dikatakan ekuivalen, tetapi jika untuk S dan B tidak sama
maka tidak bias dikatakan ekuivalen secara logis.
Defenisi
=
proposisi A dan B disebut ekuivalen secara logis jika A
B adalah teutologi. Notasi atau symbol A ≡ B
menandakan bahwa A dan B ekuivalen secara logis.
Tabel
kebenaran
merupakan
alat
untuk
membuktikan
kebenaran
ekuivalen secara logis. Kesimpulan diambil berdasarkan hasil dari tabel
kebenaran tersebut.
Contoh:
1. Badu tidak pandai, atau dia tidak jujur
2. Adalah tidak benar jika badu pandai dan jujur
Kedua pernyataan diatas sebenarnya
sama
saja,
tetapi
bagaimana jika dibuktikan dengan tabel kebenaran. Berdasarkan ekspersi
logika, ubah dahulu pernyataan diatas menjadi ekspresi logika dengan
member variable propesional.
A= Badu pandai
B = Badu jujur
Kedua penyataan menjadi :
1. –A V – B
2. – (A V B)
Selanjutnya dibuktikan dalam tabel kebenaran bahwa kedua ekspresi
logika itu ekuivalen
A
B
A∧ B
-AV -B
- (A ∧
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
S
S
B
B
B
B)
S
B
B
B
Meskipun kedua ekspresi logika diatas memiliki nilai kebenaran
yang sama, ada nilai B dan S, keduanya
baru dukatakan ekuivalen
secara lois kija dihubungkan dengan perangkai ekuivalen (
akhirnya menghasilkan teutologi
Perhatikan lanjutan tabel berikut :
–AV–B
– (A V B)
B
B
B
B
) dan
Terbukti bahwa kedua ekspresi
karena nilai kebenaran bernilai B.
logika diatas ekuivalen secara logis
2. Komutatif (Pertukaran)
Pada begian diatas sudah dibahas bahwa (A ∧ B) ≡ (B ∧ A), pada
perangkai (∧) tersebut, variable kedua propesional dapat salng berganti
tempat tampa mengubah nilai kebenaran dari kedua ekspresi logika
karena tetap memiliki nilai kebenaran yang sama disebut komutatif
Jadi (A ∧ B) ≡ (B ∧ A)
Demikian juga dengan perangkai (V) : (A V B) ≡ (B V A)
Demikian juga dengan perangkai (
) : (A
B) = (B
A)
Sifat komutatif dari ketiga perangkai diatas dapat dibuktikan denga tabel
kebenaran . lain halnya dengan perangkai (
komutatif, karena (A
B) dengan (B
) tidak memiliki sifat
A) memiliki nilai kebenaran ahng
berbeda. Lihat pembuktiannya dengan tabel kebenaran berikut.
A
B
B
S
S
B
B
S
B
S
A
B
B
S
B
B
Jadi terbukti bahwa ekspresi logika A
ekuivalen
3. Asosiatif (Pengelompokan)
B
A
B
B
S
B
B dengan B
A keduanya tidak
Penempatan tanda kurung bias pada suati ekspresi logika peranan
penting, karena tanda kurung berarti meminta proses dikerjakan lebih
dahulu pada tanda kurung terdalam.
Jika diterapkan pada dua buah ekspresi logika,
tanda
kurung
biasa
dapat
diubah,
tetapi
tidak
penempatan
mengubah
nilai
kebenarannya pada tabel kebenaran yan dibuat
contoh :
A
B
B
B
B
S
S
S
S
B
B
B
S
S
B
B
S
S
C
B
S
B
S
B
S
B
S
A∧ B
B
B
S
S
S
S
S
S
(A ∧ B) ∧ C
B
S
S
S
S
S
S
S
B∧C
B
S
S
S
B
S
S
S
A ∧ (B ∧ C)
B
S
S
S
S
S
S
S
Jadi dapat dibuktikan bahwa
{(A ∧ B) ∧ C} ≡ {A ∧ (B ∧ C)}
dan karena tanda kurungnya bias dipindahkan dan tidak mengubah nilai
kebenaran maka disebut asosiatif
asosiatif lainya biasana terjadi pada perangkai yang sama misalnya :
perangkai (V) dan perangkai ( ), jadi (A V B)VA) ≡ (AV(BVC). Tetapui tidak
berlaku (
), jika pada A
Maka ((A
B)
C) dan (A
B dan B
(B
A sudah bernilai tidak sama.
C)) juga dipastikan tidak sama.
Akan
tetapi, jika perangkainya berbeda pada satu ekspresi logika, anda tidak
bisa memindahkan tandakurung dengan sembarangan karena akan
menghasilkan nilai kebenaran yang berbeda.
Contoh :
A
B
C
A∧ B
(A ∧ B) V C
BVC
A ∧ (B V C)
B
B
B
B
S
S
S
S
B
B
S
S
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
B
S
B
B
S
S
S
S
S
S
B
B
B
S
B
S
B
S
B
B
B
S
B
B
B
S
B
B
B
S
S
S
S
S
Jadi terbukti nilai kebenaran dari (A > B) VC dan A > (B V C) tidak
sama, walaupun urutan perangkainya sama. Pletakan tanda kurung
yang berbeda menyebabkan perbedaan nilai kebenaran.
4. Hukum logika
hukum-hukum logika yang digunakan untuk memebutikan berbagai
keperluan, termasuk validitas sebuah argument,
dari ekuivalen logis. Hukum-hukum logika
dapat dikembangkan
juga diambil dari ekspresi-
ekspresi logika berdasarkan pernyataan-pernyataan sehingga tetap dapat
dibuktikan kebenarannya melalui pernyataan tersebut
contoh:
1. Jika anda tidak belajar, maka anda akan gagal.
2. Anda Harus Belajar, atau anda akan gagal.
Jika ingin membuat ekspresi logika, maka variabel proposisionalnya harus
duganti dulu, seperti berikut.
A = anda belajar
B = anda gagal
Maka ekspresi logika akan menjadi
1. A
B
2. – A V B
Kemudian dibuktikan bahwa A
A
B
B
S
S
B
B
S
B
S
Ternyata A
B ≡ – A V B. dalam tabel kebenaran.
A
B
B
S
B
B
–A
S
S
B
B
–AVB
B
S
B
B
B ≡ - A V B karena memiliki nilai kebenaran yang sama
pada tabel kebenaran.
Sekarang perhatikan hukum de morgan
1. – (A Λ B) - A V – B
2. – (A V B)≡ - A Λ- B
Pembuktian hukum de morgan juga dapat dibuiktikan dengan tabel
kebenaran,
seperti hukum-hukum lainya, sebuah hukum juga dapat
diberlakukan terbalik, jadi – (A Λ B) ≡- A V – B tetap akan sam dengan - A
V – B ≡ – (A Λ B) untuk hukum-hukum logika lainya dapat dilihat pada
contoh berikut.
Contoh :
1. Jika badu tidak sekolah, maka badi tidak akan pandai
2. Jika badu pandai, maka badu pasti sekolah
untuk membuktikan maka harus diubah menjadi ekspresi logika seperti
berikut :
A = badu sekolah
B = badu pandai
Maka akan menjadi
1. – A
2. B
-B
A
Pembuktian ekuivalensi dilakukan dengan tabel kebenaran
A
B
B
S
S
B
B
S
B
S
–A
S
S
B
B
–B
S
B
S
B
–A
–B
B
B
B
S
B
A
B
B
S
B
Jadi terbukti bahwa :
–A
–B ≡ B
A
5. Konvers, invers, dan kontraposisi
Dari suatu komplikasi p
q, dapat peroleh :
i. q
p yang disebut konvers dari p
q
ii. –p
-q yang disebut invers dari p
q
iii. –q
-p yang disebut kontraposisi dari p
q
Tabel kebenaran dari keempatpernyataan diatas sebagai berikut.
Implikasi
Konvers
Invers
Kontraposis
i
p
B
B
S
S
q
B
S
B
S
–p –q
S
S
S
B
B
S
B
B
p
q
B
S
B
B
q
p
B
B
S
B
Dari tabel kebenaran ini dapat dilihat bahwa
–p
–q
B
B
S
B
–q
–p
B
S
B
B
i.
ii.
p
q
q≡–q
p≡–p
–p
–q
contoh :
apakah konvers, invers, kantraposisi kalimat dibawah ini ?
a. Jika merupakan suatu bujur sangkar, maka A meruppakan sauatu 4
persegi panjang
b. Jika N adalah bilangan prima > 2, maka N adalah bilangan ganjil
Penyelesaian :
a. Konvers
:
jika a merupakan 4 persegi panjang maka a
adalah suatu bujur sangkar
Invers
:
jika a bukan bujur sangkar mak a bukan 4
persegi panjang
Kantraposisi
:
jika a bukan 4
persegi panjang maka a bukan
bujur sangkar
b. Konvers
:
jika N adalah bilangan ganjil, maka N adalah
bilangan prima > 2
Invers
:
jika N bukan bilangan prima > 2 maka N bukan
bilangan ganjil
Kantraposisis :
jika N bukan bilangan ganjil, maka N bukan
bilangan prima. > 2
BAB III
PENUTUP
1. KESIMPULAN
Dari penjelasan dan pembahasan tentang logika matematika,
dapat dapat disimpulkan bahwa matematika merupakan mata kuliah yang
sangat membutuhkan pemahaman yang tinggi, khususnya dalam
kehidupan sahari-hari logika peranan yang sangat penting, karena apabila
seseorang
tidak
memahami
logika
maka
akan
sering
terjadi
kesalapahaman dalam kehidupan sehari-hari. Logika matematika juga
memberiikan bukti bahwa pada bidang matematika itu bukan selamanya
berupa angka- angka tapi selain dari itu terdapat sebuah pernyataanpernyataan yang membutuhkan pemahaman tinggi
2. SARAN-SARAN
Dalamn makalah ini masih terdapat kekurangan dan masih sangat
membutuhkan penambahan-penambahan, misalnya contoh-contoh dan
pembahasan yang mungkin masih belum bisa dimengerti dengan cepat
oleh yang sempat membacanya, kami harapka semoga makalah ini dapat
berguna bagi pewmbacanya dan dapat menjadi reperensi dalam
mempelajari logika matematika, karena begitu pentingnya logika dalam
kehidupan sehari-hari maka kami sarankan kepada teman-teman untuk
dapat memahami logika untuk menghindari
mungkin terjadi.
kesalahpahaman
yang