PENURUNAN MODEL BLACK SCHOLES DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL STOKASTIK UNTUK OPSI TIPE EROPA.
PENURUNAN MODEL BLACK SCHOLES
DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL
STOKASTIK UNTUK OPSI TIPE EROPA
SKRIPSI SARJANA MATEMATIKA
OLEH :
DESI SUSANTI
BP. 1010432006
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS ANDALAS
PADANG
2014
ABSTRAK
Opsi tipe Eropa adalah kontrak yang memberikan hak kepada pemilik atau
pemegangnya untuk membeli atau menjual sejumlah aset (saham) suatu perusahaan tertentu dengan harga tertentu (harga pelaksanaan), yang dilaksanakan saat
jatuh tempo saja. Harga opsi saham dapat ditentukan dengan model Black Scholes yang dirumuskan oleh Fisher Black dan Mayor Scholes pada tahun 1973 .
Model ini mengasumsikan bahwa harga saham tidak membayarkan dividen, tidak
ada pembayaran pajak, suku bunga bebas resiko, dan opsi yang digunakan bertipe
Eropa. Perubahan harga saham yang terjadi di pasar bergerak secara acak menurut waktu. Perubahan tersebut dapat diasumsikan mengikuti proses Wiener yang
merupakan suatu gerak Brown. Perubahan harga saham yang mengikuti gerak
Brown dapat diformulasikan kedalam suatu persamaan diferensial stokastik dimana solusinya dapat menentukan model Black Scholes. Perhitungan harga opsi
saham Sony Corporation periode 31 Desember 2012 samapi 31 Desember 2013
dengan Black Scholes menunjukan bahwa pada semua harga pelaksanaan yang
dipakai sebaiknya opsi call dibeli karena harga opsi di pasar lebih rendah dibandingkan yang dihitung dengan Black Scholes, sedangkan untuk opsi put pada
harga pelaksanaan 19.00 dolar sebaiknya opsi dijual.
Kata kunci : Opsi, proses stokastik, persamaan diferensial stokastik, model Black
Scholes.
ii
ABSTRACT
European option is a contract that gives the right for the owner or holder
to buy or sell a number of assets (shares) of a particular company at a specified
price (the exercise price), which is carried out when due course. The price of
the stock options can be determined by the Black-Scholes models formulated by
Fisher Black and Scholes Major in 1973. This model assumes that the stock price
does not pay dividends, no tax, risk-free interest rate, and a European options is
used. Changes in stock prices that occurred in the markets move randomly according to time. Such changes can be assumed to follow a Wiener process which
is a Brownian motion. Changes in stock prices follows Brownian motion that can
be formulated into a stochastic differential equation where the solution can determine the Black-Scholes model. The calculation of the Sony Corporation’s stock
option during the period of December 31, 2012 to December 31, 2013 with Black
Scholes showed that in all the exercise prices of the purchased call option should
be used because the option price in the market is lower than that calculated by
the Black-Scholes, while a put option at the exercise price of the option should be
19.00 dollars sold.
Keywords: Options , stochastic processes , stochastic differential equations , the
Black-Scholes models.
iii
BAB I
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Dalam perkembangan ilmu matematika, banyak penerapannya yang da-
pat diaplikasikan ke bidang lain. Salah satu aplikasi ilmu matematika adalah
dalam masalah investasi. Perkembangan dunia investasi tidak hanya dilihat dari
semakin banyaknya uang yang diinvestasikan atau semakin banyaknya investor
yang melakukan investasi. Akan tetapi perkembangan investasi dapat dilihat dari
semakin banyaknya alternatif instrumen investasi yang dapat dijadikan sebagai
pilihan bagi seorang investor untuk berinvestasi. Dalam investasi, seorang investor memiliki pilihan untuk membeli aset yang diperdagangkan secara langsung
di pasar keuangan atau membeli aset derivatif. Aset derivatif merupakan suatu
instrumen keuangan yang nilainya bergantung kepada aset yang mendasarinya.
Salah satu produk derivatif yang banyak dikenal adalah opsi.
Opsi adalah suatu jenis kontrak antara dua pihak, yang mana satu pihak
memberikan hak kepada pihak lain untuk menjual atau membeli aset tertentu
pada harga dan periode tertentu [10]. Aset yang mendasari opsi dapat berupa
saham, emas, mata uang asing, indeks saham, dan lain-lain. Dalam penulisan
ini aset yang dipakai adalah saham. Berdasarkan jenis hak yang diberikan, opsi
dapat dibedakan menjadi dua yaitu opsi call dan opsi put. Opsi call adalah
suatu tipe kontrak yang memberikan hak kepada pemegang opsi untuk membeli
dari penjual opsi sejumlah lembar saham tertentu pada harga dan jangka waktu
tertentu. Opsi put merupakan opsi yang memberikan hak kepada pemegangnya
untuk menjual saham dalam jumlah tertentu kepada pembeli opsi pada waktu dan
harga yang telah ditentukan. Sedangkan berdasarkan periode waktu penggunaan,
opsi dapat dibedakan menjadi dua yaitu opsi tipe Eropa dan opsi tipe Amerika
[9]. Tipe Eropa menunjukkan bahwa opsi tersebut dapat dilaksanakan pada saat
jatuh tempo saja. Sedangkan tipe Amerika menunjukkan bahwa opsi tersebut
dapat dilaksanakan pada saat jatuh tempo atau sebelumnya.
Fisher Black dan Mayor Scholes pada tahun 1973 merumuskan suatu metode
untuk menetapkan harga opsi. Metode tersebut dikenal dengan model Black Scholes. Dalam merumuskan model Black Scholes terdapat beberapa faktor yang
mempengaruhi yaitu harga pelaksanaan, harga saham, waktu jatuh tempo, tingkat
suku bunga, serta nilai volatilitas harga saham. Model Black Scholes hanya dapat
digunakan pada saat jatuh tempo saja, sehingga dalam penulisan ini yang akan
dibahas adalah untuk opsi tipe Eropa, karena opsi tipe Eropa dilaksanakan pada
saat jatuh tempo saja.
Perubahan harga saham yang terjadi di pasar bergerak secara acak menurut waktu. Perubahan tersebut dapat diasumsikan mengikuti proses Wiener yang
merupakan suatu gerak Brown, sehingga dapat dinyatakan juga bahwa harga saham mengikuti gerak Brown yang bergantung kepada waktu. Gerak Brown merupakan proses stokastik dimana suatu perubahan terjadi dalam waktu yang cukup
2
singkat dan nilai saat ini berpengaruh untuk memprediksi nilai yang akan datang.
Perubahan harga saham yang mengikuti gerak Brown tersebut dapat diformulasikan kedalam suatu persamaan diferensial stokastik dimana solusinya dapat
menentukan model Black Scholes. Sehingga menjadi menarik untuk dikaji penurunan model Black Scholes untuk opsi saham tipe Eropa dengan menggunakan
persamaan diferensial stokastik, serta penerapan model Black Scholes tersebut
pada suatu data harga saham.
1.2
Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang, rumusan masalah dapat dituliskan sebagai be-
rikut :
1. Bagaimana model harga opsi call dan opsi put tipe Eropa menggunakan model Black-Scholes yang diturunkan melalui persamaan diferensial stokastik?
2. Bagaimana penerapan model harga opsi call dan opsi put tipe Eropa pada
data harga penutupan saham?
1.3
Pembatasan Masalah
Pada penulisan ini permasalahan dibatasi pada penurunan model Black-
Scholes dengan persamaan diferensial stokastik, serta penentuan harga opsi call
dan opsi put tipe Eropa yang menggunakan data harga penutupan saham Sony
Corporation selama satu tahun.
3
1.4
Tujuan
Pada penulisan ini ada beberapa tujuan yang ingin dicapai yaitu:
1. Untuk mengkaji model Black scholes pada harga opsi call dan opsi put
Eropa yang telah diturunkan dengan proses stokastik.
2. Untuk mengkaji penerapan model harga opsi call dan opsi put Eropa pada
data harga saham
1.5
Sistematika Penulisan
Tulisan ini akan dibagi atas lima bab, yaitu Bab I Pendahuluan berisi latar
belakang, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penulisan, dan sistematika
penulisan. Bab II Landasan Teori berisi uraian mengenai teori-teori serta definisi yang menjadi dasar perhitungan untuk mengkaji bab pembahasan. Bab III
Metode Pembahasan. Kemudian pada bab IV Pembahasan, agar lebih jelas maka
pada bab ini disertai penerapan data. Terakhir pada bab V Penutup disajikan
kesimpulan dan saran.
4
DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL
STOKASTIK UNTUK OPSI TIPE EROPA
SKRIPSI SARJANA MATEMATIKA
OLEH :
DESI SUSANTI
BP. 1010432006
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS ANDALAS
PADANG
2014
ABSTRAK
Opsi tipe Eropa adalah kontrak yang memberikan hak kepada pemilik atau
pemegangnya untuk membeli atau menjual sejumlah aset (saham) suatu perusahaan tertentu dengan harga tertentu (harga pelaksanaan), yang dilaksanakan saat
jatuh tempo saja. Harga opsi saham dapat ditentukan dengan model Black Scholes yang dirumuskan oleh Fisher Black dan Mayor Scholes pada tahun 1973 .
Model ini mengasumsikan bahwa harga saham tidak membayarkan dividen, tidak
ada pembayaran pajak, suku bunga bebas resiko, dan opsi yang digunakan bertipe
Eropa. Perubahan harga saham yang terjadi di pasar bergerak secara acak menurut waktu. Perubahan tersebut dapat diasumsikan mengikuti proses Wiener yang
merupakan suatu gerak Brown. Perubahan harga saham yang mengikuti gerak
Brown dapat diformulasikan kedalam suatu persamaan diferensial stokastik dimana solusinya dapat menentukan model Black Scholes. Perhitungan harga opsi
saham Sony Corporation periode 31 Desember 2012 samapi 31 Desember 2013
dengan Black Scholes menunjukan bahwa pada semua harga pelaksanaan yang
dipakai sebaiknya opsi call dibeli karena harga opsi di pasar lebih rendah dibandingkan yang dihitung dengan Black Scholes, sedangkan untuk opsi put pada
harga pelaksanaan 19.00 dolar sebaiknya opsi dijual.
Kata kunci : Opsi, proses stokastik, persamaan diferensial stokastik, model Black
Scholes.
ii
ABSTRACT
European option is a contract that gives the right for the owner or holder
to buy or sell a number of assets (shares) of a particular company at a specified
price (the exercise price), which is carried out when due course. The price of
the stock options can be determined by the Black-Scholes models formulated by
Fisher Black and Scholes Major in 1973. This model assumes that the stock price
does not pay dividends, no tax, risk-free interest rate, and a European options is
used. Changes in stock prices that occurred in the markets move randomly according to time. Such changes can be assumed to follow a Wiener process which
is a Brownian motion. Changes in stock prices follows Brownian motion that can
be formulated into a stochastic differential equation where the solution can determine the Black-Scholes model. The calculation of the Sony Corporation’s stock
option during the period of December 31, 2012 to December 31, 2013 with Black
Scholes showed that in all the exercise prices of the purchased call option should
be used because the option price in the market is lower than that calculated by
the Black-Scholes, while a put option at the exercise price of the option should be
19.00 dollars sold.
Keywords: Options , stochastic processes , stochastic differential equations , the
Black-Scholes models.
iii
BAB I
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Dalam perkembangan ilmu matematika, banyak penerapannya yang da-
pat diaplikasikan ke bidang lain. Salah satu aplikasi ilmu matematika adalah
dalam masalah investasi. Perkembangan dunia investasi tidak hanya dilihat dari
semakin banyaknya uang yang diinvestasikan atau semakin banyaknya investor
yang melakukan investasi. Akan tetapi perkembangan investasi dapat dilihat dari
semakin banyaknya alternatif instrumen investasi yang dapat dijadikan sebagai
pilihan bagi seorang investor untuk berinvestasi. Dalam investasi, seorang investor memiliki pilihan untuk membeli aset yang diperdagangkan secara langsung
di pasar keuangan atau membeli aset derivatif. Aset derivatif merupakan suatu
instrumen keuangan yang nilainya bergantung kepada aset yang mendasarinya.
Salah satu produk derivatif yang banyak dikenal adalah opsi.
Opsi adalah suatu jenis kontrak antara dua pihak, yang mana satu pihak
memberikan hak kepada pihak lain untuk menjual atau membeli aset tertentu
pada harga dan periode tertentu [10]. Aset yang mendasari opsi dapat berupa
saham, emas, mata uang asing, indeks saham, dan lain-lain. Dalam penulisan
ini aset yang dipakai adalah saham. Berdasarkan jenis hak yang diberikan, opsi
dapat dibedakan menjadi dua yaitu opsi call dan opsi put. Opsi call adalah
suatu tipe kontrak yang memberikan hak kepada pemegang opsi untuk membeli
dari penjual opsi sejumlah lembar saham tertentu pada harga dan jangka waktu
tertentu. Opsi put merupakan opsi yang memberikan hak kepada pemegangnya
untuk menjual saham dalam jumlah tertentu kepada pembeli opsi pada waktu dan
harga yang telah ditentukan. Sedangkan berdasarkan periode waktu penggunaan,
opsi dapat dibedakan menjadi dua yaitu opsi tipe Eropa dan opsi tipe Amerika
[9]. Tipe Eropa menunjukkan bahwa opsi tersebut dapat dilaksanakan pada saat
jatuh tempo saja. Sedangkan tipe Amerika menunjukkan bahwa opsi tersebut
dapat dilaksanakan pada saat jatuh tempo atau sebelumnya.
Fisher Black dan Mayor Scholes pada tahun 1973 merumuskan suatu metode
untuk menetapkan harga opsi. Metode tersebut dikenal dengan model Black Scholes. Dalam merumuskan model Black Scholes terdapat beberapa faktor yang
mempengaruhi yaitu harga pelaksanaan, harga saham, waktu jatuh tempo, tingkat
suku bunga, serta nilai volatilitas harga saham. Model Black Scholes hanya dapat
digunakan pada saat jatuh tempo saja, sehingga dalam penulisan ini yang akan
dibahas adalah untuk opsi tipe Eropa, karena opsi tipe Eropa dilaksanakan pada
saat jatuh tempo saja.
Perubahan harga saham yang terjadi di pasar bergerak secara acak menurut waktu. Perubahan tersebut dapat diasumsikan mengikuti proses Wiener yang
merupakan suatu gerak Brown, sehingga dapat dinyatakan juga bahwa harga saham mengikuti gerak Brown yang bergantung kepada waktu. Gerak Brown merupakan proses stokastik dimana suatu perubahan terjadi dalam waktu yang cukup
2
singkat dan nilai saat ini berpengaruh untuk memprediksi nilai yang akan datang.
Perubahan harga saham yang mengikuti gerak Brown tersebut dapat diformulasikan kedalam suatu persamaan diferensial stokastik dimana solusinya dapat
menentukan model Black Scholes. Sehingga menjadi menarik untuk dikaji penurunan model Black Scholes untuk opsi saham tipe Eropa dengan menggunakan
persamaan diferensial stokastik, serta penerapan model Black Scholes tersebut
pada suatu data harga saham.
1.2
Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang, rumusan masalah dapat dituliskan sebagai be-
rikut :
1. Bagaimana model harga opsi call dan opsi put tipe Eropa menggunakan model Black-Scholes yang diturunkan melalui persamaan diferensial stokastik?
2. Bagaimana penerapan model harga opsi call dan opsi put tipe Eropa pada
data harga penutupan saham?
1.3
Pembatasan Masalah
Pada penulisan ini permasalahan dibatasi pada penurunan model Black-
Scholes dengan persamaan diferensial stokastik, serta penentuan harga opsi call
dan opsi put tipe Eropa yang menggunakan data harga penutupan saham Sony
Corporation selama satu tahun.
3
1.4
Tujuan
Pada penulisan ini ada beberapa tujuan yang ingin dicapai yaitu:
1. Untuk mengkaji model Black scholes pada harga opsi call dan opsi put
Eropa yang telah diturunkan dengan proses stokastik.
2. Untuk mengkaji penerapan model harga opsi call dan opsi put Eropa pada
data harga saham
1.5
Sistematika Penulisan
Tulisan ini akan dibagi atas lima bab, yaitu Bab I Pendahuluan berisi latar
belakang, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penulisan, dan sistematika
penulisan. Bab II Landasan Teori berisi uraian mengenai teori-teori serta definisi yang menjadi dasar perhitungan untuk mengkaji bab pembahasan. Bab III
Metode Pembahasan. Kemudian pada bab IV Pembahasan, agar lebih jelas maka
pada bab ini disertai penerapan data. Terakhir pada bab V Penutup disajikan
kesimpulan dan saran.
4