PENENTUAN HARGA OPSI TIPE EROPA MENGGUNAKAN TRANSFORMASI FOURIER PADA MODEL PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL BLACK SCHOLES SKRIPSI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PENENTUAN HARGA OPSI TIPE EROPA MENGGUNAKAN TRANSFORMASI FOURIER PADA MODEL PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL BLACK SCHOLES SKRIPSI

Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh : Rochi Ifahyani Siagian NIM : 063114009 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

A DETERMINATION OF EUROPEAN TYPE OPTION PRICE USING

FOURIER TRANSFORMATION ON THE BLACK SCHOLES PARTIAL

DIFFERENTIAL EQUATION MODEL

THESIS

Presented As a Partial Fulfillment of The Requirements to Obtain The Sarjana Sains Degree In Mathematics

by :

Rochi Ifahyani Siagian

Student Number : 063114009

MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTEMENT OF MATHEMATICS

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

HALAMAN PERSEMBAHAN

“ !"

# $ % & $ % & $ % & $ % &

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PRAKATA

Puji dan syukur kepada Tuhan Yesus Kristus atas penyertaan dan kemurahanNya kepada penulis, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul ”Penentuan Harga Opsi Tipe Eropa Menggunakan Transformasi Fourier Pada Model Persamaan Diferensial Parsial Black Scholes.” sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains di Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.

Kesuksesan penyusunan ini tidak lepas dari dukungan dan bantuan dari banyak pihak, baik berupa materiil, moral, tenaga, maupun doa. Penulis mengucapkan terima kasih kepada : 1.

Ibu Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si., M.Si. selaku dosen pembimbing yang telah menyediakan waktu dan tenaga untuk memberikan bimbingan, masukan, dan perhatiannya yang besar serta saran dalam penyusunan skripsi ini.

2. Bapak Yosef Agung Cahyanta, S.T., M.T. selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi.

3. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si. selaku Ketua Program Studi Matematika yang telah banyak membantu.

4. Bapak Ir. Ign. Aris Dwiatmoko, M.Sc. selaku penguji skripsi yang telah menyediakan waktu untuk memberikan saran dan masukan demi kesempurnaan skripsi ini.

5. Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si. selaku dosen pembimbing akademik.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

7. Bapak Tukijo dan Ibu Linda yang telah memberikan pelayanan administrasi selama penulis menjalankan kuliah.

8. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma yang memberikan fasilitas dan kemudahan kepada penulis.

9. Kedua orang tuaku yaitu Bapak Haden Siagian dan Ibu Murniati Sitorus yang telah memberikan kasih sayang yang besar dan memberikan dukungan dalam doa dan perhatian sehingga skripsi ini dapat terselesaikan.

10. Saudara-saudaraku yaitu Jeannie Setiyanti Siagian, Denny Irjanto Siagian, Putri Yunita Siagian, Rocha Ifahyana Siagian, dan Aditya Indra Wijaya, serta seluruh keluarga besarku atas semua perhatian, dukungan, serta doa yang tiada hentinya selama penelitian dan penyusunan skripsi ini.

11. Keluarga besar Rantetana yang juga turut serta memberikan dukungan dan doa selama penulis menjalankan kuliah dan menyelesaikan skripsi ini.

12. Kakak Mitra Samadara yang senantiasa memberikan semangat dan dukungan setiap hari melalui alat komunikasi sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.

13. Sahabat-sahabat terkasih Ribka Anggarani Mandak, Diyah Sayekti, Titik Murwani, Metta, Victor, Tito, Liong, John Gobai, dan Demeninggus Pekei atas bantuannya kepada penulis baik dalam bentuk dukungan semangat dan membantu penulis dalam menyelesaikan persoalan-persoalan dalam penyusunan skripsi ini.

14. Teman-teman terkasih jurusan matematika angkatan 2006.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

16. Semua pihak telah ikut membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.

Walaupun skripsi ini telah dibuat sebaik-baiknya oleh penulis, namun penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam penuyusunan skripsi ini. Oleh kerana itu, penulis mengharapkan kritik dan saran demi penyempurnaan skripsi ini.

Akhirnya, semoga skripsi ini dapat memberikan wawasan dan pengetahuan bagi pembaca demi perkemabngan ilmu pengetahuan, khusunya dalam ilmu matematika.

Yogyakarta, 26 Maret 2010 Penulis

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ABSTRAK

Saham merupakan objek finansial yang nilainya pada setiap waktu berubah- ubah sehingga pergerakannya berfluktuasi secara random. Untuk mengestimasi harga saham tersebut, maka dibuat suatu model matematika yang digambarkan dalam persamaan diferensial sebagai berikut

=
2 dimana S(t) merupakan harga saham pada waktu t dan t merupakan waktu kontinu, dan masing-masing merupakan mean dan standar deviasi dari return harga saham, dan merupakan variabel random berdistribusi normal. Model di atas sering disebut sebagai model harga saham gerak Brown yang merupakan model probabilistik karena terdapat unsur probabilistik yaitu . Dalam skripsi ini saham dibahas sebagai aset dasar dari suatu opsi tipe Eropa.

Opsi saham tipe Eropa merupakan suatu kontrak antara dua pihak dimana salah satu pihak (pembeli) memiliki hak dan bukan kewajiban, untuk membeli atau menjual saham sebagai aset dasarnya dari pihak lain (penjual) dengan harga yang telah ditentukan/ disepakati dan hanya dapat dilaksanakan pada masa jatuh tempo opsi tersebut. Opsi saham tipe Eropa dibedakan menjadi dua yaitu opsi beli dan opsi jual. Untuk menentukan harga opsi beli digunakan suatu model matematika yang disebut model persamaan diferensial parsial Black Scholes.

Model persamaan diferensial parsial Black Scholes merupakan model deterministik yang diperoleh dengan menurunkan model harga saham menggunakan Lemma Ito dan dinyatakan dalam persamaan di bawah ini

1 − = 0 + +

2 dimana F merupakan fungsi pembayaran untuk harga opsi dan r merupakan tingkat suku bunga.

Walaupun masih terdapat S yang merupakan variabel random pada model Black Scholes, namun unsur probabilitas d yang terdapat dalam model tersebut dieliminasi dengan asumsi adanya proses hedging sehingga resiko yang disebabkan oleh kerandoman dari dW(t) tidak ada. Kemudian, model Black Scholes tersebut diselesaikan dengan menggunakan transformasi Fourier.

Prinsip penggunaan transformasi Fourier adalah dengan mengubah persamaan diferensial parsial Black Scholes menjadi persamaan panas dimana persamaan panas merupakan persamaan diferensial parsial yang sederhana. Dengan demikian diperoleh suatu penyelesaian yang merupakan formula harga opsi beli. Sementara itu, untuk mendapatkan formula harga opsi jual digunakan hubungan kesamaan opsi beli dan opsi jual.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ABSTRACT

Stock is a financial object which its value changes every time so that its movement fluctuates randomly. In order to estimate the price stock, it need a mathematical model described in the following differential equation

=
2 where S(t) is the stock price on t, and t is a continuous time, each of and is a mean and standard deviation of the stock price return, and dW(t) is normally distributed random variable. The model above is often named as Brownian motion stock price model which is a probabilistic model since there is probabilistic element, dW(t). In this thesis, the stock is discussed as a basic asset of a Europe type option.

The European type stock option is a contract between two parties, where one of the parties (buyer) owns right and it is not an obligation to buy or to sell the stock as the basic asset from another party (seller) with an agreed price and it is only able to be conducted at the time period of the option. There are two type of European stock option, that are call and put option. To determine the call option price, it is used a mathematical model called Black Scholes partial differential equation model.

The Black Scholes partial differential equation model is a deterministic model acquired by decreasing the stock price model using Lemma Ito and it is expressed into the following equation

1 − = 0 + +

2 where F is a payment function of the option price and r is an interest rate. Although S still appears as a random variable in the Black Scholes model, but the probability element of dW(t) existing in the model is eliminated by an assumption that there is a hedging process, so that the risk caused by the randomness of dW(t) does not exist. Furthermore, the Black Scholes model is determined by using Fourier Transformation.

The principle of using the Fourier transformation is by changing the Black Scholes partial differential equation into hot equation, which is a simple partial differential equation. Thereby, we have a solution for call option price formula.

Meanwhile, to achieve a put option price formula, the put-call parity is used.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL................................................................................... i HALAMAN JUDUL (INGGRIS)............................................................... ii HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING......................................... iii HALAMAN PENGESAHAN..................................................................... iv HALAMAN PERSEMBAHAN.................................................................. v PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI........................................ vi PRAKATA.................................................................................................. vii PERNYATAAN KEASLIAN KARYA..................................................... x ABSTRAK................................................................................................... xi ABSTRACT................................................................................................ xii DAFTAR ISI............................................................................................... xiii DAFTAR GAMBAR.................................................................................. xvii

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang ............................................................................ 1 B. Perumusan Masalah..................................................................... 4 C. Pembatasan Masalah.................................................................... 4 D. Tujuan Penulisan.......................................................................... 5 E. Manfaat Penulisan........................................................................ 5 F. Metode Penulisan......................................................................... 5 G. Sistematika Penulisan.................................................................. 6

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

BAB II DERET FOURIER, MASALAH SYARAT BATAS, DISTRIBUSI LOGNORMAL A. Fungsi Kontinu............................................................................ 8 B. Bilangan Kompleks dan Persamaan Euler................................... 14 C. Derivatif dan Antiderivatif.......................................................... 16 D. Konvergensi Barisan dan Deret................................................... 20 E. Deret Taylor................................................................................. 28 F. Pengertian Deret Fourier.............................................................. 31 G. Kekonvergenan Deret Fourier...................................................... 44 1. Sifat Koefisien Deret Fourier................................................ 44 2. Teorema Riemann-Lebesgue dan Akibatnya....................... 47 3. Kernel Dirichlet.................................................................... 49 H. Integral Fourier............................................................................ 59 I. Deret Fourier Kompleks.............................................................. 61 J. Integral Fourier Kompleks........................................................... 64 K.

67 Persamaan Diferensial Biasa dan Parsial..................................... L.

Keluarga Penyelesaian................................................................. 70 M.

Masalah Syarat Batas................................................................... 71 N. Pemisahan Variabel...................................................................... 73 O. Probabilitas.................................................................................. 74 P. Variabel Random dan Distribusinya............................................ 76 Q.

Distribusi Probabilitas Bersama/ Gabungan................................ 79

Fungsi Gamma............................................................................. 90 T.

Metode Fungsi Distribusi............................................................. 95 U.

Distribusi Normal dan Lognormal............................................... 95 V. Nilai Waktu Uang........................................................................ 109

BAB III OPSI TIPE EROPA DAN PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL BLACK SCHOLES A. Opsi Tipe Eropa........................................................................... 115 1. Pengertian Saham................................................................. 115 2. Gerak Brown........................................................................ 117 3. Lemma Ito............................................................................ 122 4. Model Gerak Brown............................................................. 126 5. Pengertian Opsi Eropa.......................................................... 128 6. Arbitrase............................................................................... 134 7. Hubungan kesamaan opsi beli dan jual................................ 136 B. Persamaan Diferensial Parsial Black Scholes.............................. 140 1. Asumsi-Asumsi Dasar Persamaan Diferensial Parsial Black Scholes............................................................ 141 2. Model Persamaan Diferensial Parsial Black Scholes........... 142 3. Syarat Nilai Batas dan Nilai Akhir untuk Opsi Eropa.......... 145 BAB IV FORMULA HARGA OPSI TIPE EROPA A. Transformasi Fourier .................................................................. 148 1. Konvolusi Fourier................................................................. 153 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Persamaan Diferensial Parsial Black Scholes menjadi Persamaan Panas............................................................ 159 C.

Penyelesaian Persamaan Diferensial Parsial Black Scholes pada Opsi Beli dan Opsi Jual Tipe Eropa

1. Penyelesaian persamaan diferensial parsial Black Scholes pada opsi beli tipe Eropa...................................................... 170

2. Penyelesaian persamaan diferensial parsial Black Scholes pada opsi jual tipe Eropa...................................................... 183

BAB V PENUTUP A. Kesimpulan.................................................................................. 186 B. Saran............................................................................................ 186 DAFTAR PUSTAKA.................................................................................. 187

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Fungsi ganjil dan fungsi genap............................................. 10Gambar 2.2 Fungsi periodik kontinu g(x) dengan periode T................... 11 Gambar 2.3 Kurva normal dengan mean dan variansi ....................

97 Gambar 3.1 Hubungan harga opsi dan harga saham................................ 134

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Setiap orang dihadapkan pada berbagai pilihan dalam menentukan proporsi

dana atau sumber daya yang mereka miliki untuk konsumsi saat ini dan di masa datang. Investasi merupakan komitmen untuk menanamkan sejumlah dana atau sumber daya lainnya pada saat ini dengan tujuan memperoleh sejumlah keuntungan di masa datang. Perkembangan dunia investasi tidak saja ditunjukkan oleh semakin meningkatnya jumlah dana yang diinvestasikan ataupun semakin banyaknya jumlah investor yang berinvestasi, tetapi juga ditunjukkan oleh semakin banyaknya alternatif instrumen investasi yang biasa dijadikan sebagai pilihan investor dalam berinvestasi.

Salah satu instrumen investasi yang telah banyak dikenal dan diperdagangkan oleh masyarakat adalah opsi. Opsi merupakan suatu kontrak antara dua pihak dimana salah satu pihak (pembeli) memiliki hak, bukan kewajiban, untuk membeli atau menjual dari pihak lain (penjual), suatu sekuritas (jaminan) atau aset tertentu seperti halnya saham, dengan harga yang telah ditentukan/ disepakati (strike price) dalam periode waktu yang juga telah ditentukan (exercise time).

Opsi sungguh popular dan mendunia di tengah kegiatan pasar ekonomi dalam beberapa dekade ini. Tidak hanya di bursa-bursa besar seperti European Options di Amsterdam dan di Chicago Board Options Exchange (CBOE), tetapi

Exchange

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

2 Tenggara seperti Singapura, Malaysia, dan Filipina tidak mau ketinggalan memperdagangkan opsi di bursa resmi yang terorganisir. Di Indonesia, perdagangan opsi baru disimulasikan di Bursa Efek Jakarta pada paro kedua tahun 2003 dan dilakukan pertama kali pada tanggal 6 Oktober 2004. Perdagangan opsi di Indonesia yang dikenal adalah opsi saham. Berdasarkan definisi opsi, maka opsi saham adalah opsi untuk membeli atau menjual saham. Selain itu, opsi yang diperdagangkan tidak hanya opsi saham, tetapi juga opsi indeks saham, opsi kurs valas, opsi obligasi, dan lain-lain. Dalam pasar opsi, yang diperjualbelikan bukanlah saham atau instrumen investasi finansial lainnya, melainkan hanyalah hak, baik hak untuk menjual maupun hak untuk membeli suatu aset dasar (un-

derlying asset

Berdasarkan jenisnya, opsi dibedakan menjadi dua, yaitu opsi beli (call

option ) dan opsi jual (put option). Opsi beli merupakan hak untuk membeli suatu

sekuritas/ aset, sedangkan opsi jual merupakan hak untuk menjual suatu sekuritas/ aset. Opsi juga dibedakan atas waktu pembayaran (waktu dimana opsi tersebut dijalankan), yaitu opsi tipe Amerika dan opsi tipe Eropa. Opsi tipe Amerika adalah opsi yang dapat dilaksanakan kapan saja antara tanggal kesepakatan sampai masa jatuh temponya, sedangkan opsi tipe Eropa adalah opsi yang hanya dapat dilaksanakan pada masa jatuh tempo opsi tersebut. Dalam tulisan skripsi ini, penulis hanya akan membahas mengenai opsi tipe Eropa dengan aset dasar (seku- ritasnya) adalah saham.

Jika seorang investor memegang opsi saham, maka yang menjadi

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

3 kegiatan pasar yang dioperasikan pada waktu kontinu. Pertanyaan ini muncul karena pergerakan harga saham yang tidak menentu yang mempengaruhi harga opsi. Oleh karena itu, investor tersebut perlu mengetahui estimasi harga opsi yang rasional sebelum membeli opsi agar tidak mengalami kerugian dalam kegiatan menginvestasinya. Mengetahui estimasi harga opsi tipe Eropa yang rasional sama halnya dengan bagaimana menentukan harga opsi tersebut.

Persamaan diferensial parsial Black Scholes merupakan persamaan paling terkenal yang berani menerobos pasar dunia dalam penentuan harga opsi.

Persamaan ini pertama kali diperkenalkan oleh Fischer Black, seorang kontraktor keuangan swasta di Cambridge, Massachutsetts, dan Myron Scholes, seorang asisten profesor keuangan di MIT (Massachusetts Institute of Technology) pada tahun 1973 dalam karya ilmiah mereka yang berjudul “The Pricing of Options and

Corporate Liabilities ”, yang secara garis besar berisi tentang model analitik yang

digunakan untuk menentukan harga pasar yang rasional untuk opsi beli tipe Eropa.

Persamaan diferensial parsial Black Scholes tersebut digunakan untuk menurunkan suatu formula yang akan digunakan untuk menentukan harga opsi tipe Eropa. Formula tersebut merupakan solusi analitis dari persamaan diferensial parsial Black Scholes. Namun tidak mudah untuk menyelesaikan persamaan diferensial tersebut karena persamaan ini berbentuk persamaan diferensial parsial parabolik orde dua dan juga terdapat syarat batas dan akhir dari persamaan tersebut. Salah satu cara yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

4 Fourier. Oleh karena itu, penulis tertarik membahas lebih jauh bagaimana transformasi Fourier digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial Black Scholes sehingga menghasilkan formula harga opsi tipe Eropa.

B. Perumusan Masalah

Bagaimana menentukan harga opsi tipe Eropa dengan formula yang diperoleh dari penyelesaian persamaan diferensial parsial Black Scholes menggunakan transformasi Fourier? C.

Pembatasan Masalah

Ada beberapa hal yang dibatasi dalam penulisan skripsi ini, antara lain:

1. Penulis hanya akan membahas opsi tipe Eropa dengan aset dasarnya adalah saham.

2. Deret Taylor dalam penurunan Lemma Ito tidak dibahas secara mendalam.

3. Teorema 2.1.2 tentang kesamaan hasil kali trigonometri tidak dibuktikan.

4. Persamaan panas tidak dibahas secara mendalam.

5. Pada persamaan diferensial parsial Black Scholes, ada beberapa asumsi penting yang perlu diperhatikan dalam penentuan harga opsi tipe Eropa yaitu tidak ada biaya transaksi (premi) dan pajak terhadap opsi, saham tidak membayarkan dividen, suku bunga dan volatilitas konstan selama masa opsi, tidak ada kegiatan arbitrase, adanya tindakan hedging, pergerakan harga saham mengikuti pola acak (gerak Brown), harga saham berdistribusi

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

D. Tujuan Penulisan

Tujuan yang ingin dicapai penulis dalam penulisan ini adalah mempelajari dan mengetahui persamaan diferensial parsial Black Scholes terhadap opsi tipe Eropa dan menentukan harga opsi tipe Eropa dengan formula yang diperoleh dari penyelesaian persamaan diferensial parsial Black Scholes menggunakan transformasi Fourier.

E. Manfaat Penulisan

Manfaat yang akan diperoleh setelah mempelajari topik ini adalah dapat menentukan harga opsi tipe Eropa Black Scholes dengan formula yang diperoleh dari penyelesaian persamaan diferensial parsial Black Scholes menggunakan transformasi Fourier.

F. Metode Penulisan

Metode yang digunakan penulis adalah metode studi pustaka, yaitu dengan mempelajari buku-buku, jurnal ilmiah, dan karangan-karangan ilmiah lain yang telah dipublikasikan dan berkaitan dengan judul skripsi ini, sehingga tidak ada hal-hal baru.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

G. Sistematika Penulisan

BAB I: PENDAHULUAN Dalam bab I dibahas tentang latar belakang, perumusan

masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, metode penulisan, dan sistematika penulisan.

BAB II: DERET FOURIER, MASALAH SYARAT BATAS,

DAN DISTRIBUSI LOGNORMAL Dalam bab II akan dibahas fungsi kontinu, bilangan

kompleks dan persamaan Euler, derivatif dan antiderivatif, konvergensi barisan dan deret, deret Taylor, pengertian deret Fourier, kekonvergenan deret Fourier, integral Fourier, deret Fourier kompleks, integral Fourier kompleks, persamaan diferensial biasa dan parsial, keluarga penyelesaian, masalah syarat batas, pemisahan variabel, probabilitas, variabel random dan distribusinya, distribusi probabilitas bersama/ gabungan, nilai harapan dan variansi, fungsi gamma, metode fungsi distibusi, distribusi normal dan lognormal, nilai waktu uang.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

BAB III: OPSI TIPE EROPA DAN PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL BLACK SCHOLES Dalam bab III akan dibahas opsi tipe Eropa dan persamaan diferensial parsial Black Scoles. BAB IV: FORMULA HARGA OPSI TIPE EROPA Dalam bab IV akan dibahas transformasi Fourier,

persamaan diferensial parsial Black Scholes menjadi persamaan panas, penyelesaian persamaan diferensial parsial Black Scholes pada opsi beli dan opsi jual tipe Eropa

BAB V: KESIMPULAN Dalam bab V akan diberikan kesimpulan dan saran.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

BAB II DERET FOURIER, MASALAH NILAI BATAS, DAN DISTIBUSI LOGNORMAL A. Fungsi Kontinu Definisi 2.1.1 Suatu fungsi f adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan setiap objek x

dalam suatu himpunan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai tunggal f(x) dari himpunan kedua. Himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah hasil fungsi tersebut.

Definisi 2.1.2

Suatu fungsi f(x) yang terdefinisi pada interval − ≤ ≤ dikatakan fungsi genap dalam interval tersebut jika

(2.1) − = dan dikatakan fungsi ganjil dalam interval tersebut jika

. (2.2) − = −

Teorema 2.1.1

Hasil kali dua fungsi genap dan hasil kali dua fungsi ganjil adalah fungsi genap, sedangkan hasil kali fungsi antara fungsi genap dan fungsi ganjil adalah fungsi ganjil.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Bukti a.

Misalkan f(x) adalah hasil kali antara fungsi genap g(x) dan fungsi genap h(x), maka f(x) = g(x)h(x). Akan ditunjukkan bahwa f(-x) = f(x).

f (-x) = g(-x)h(-x).

Karena g dan h adalah fungsi genap, maka

f (-x) = g(x)h(x) = f(x).

Jadi, hasil kali dua fungsi genap adalah fungsi genap.

Misalkan f(x) adalah hasil kali antara fungsi ganjil g(x) dan fungsi ganjil h(x), maka f(x) = g(x)h(x). Akan ditunjukkan bahwa f(-x) = f(x).

f (-x) = g(-x)h(-x).

Karena g dan h adalah fungsi ganjil, maka

f (-x) = (-g(x))(-h(x))

= g(x)h(x) = f(x).

Jadi, hasil kali dua fungsi ganjil adalah fungsi genap.

Misalkan f(x) adalah hasil kali antara fungsi genap g(x) dan fungsi ganjil h(x), maka f(x) = g(x)h(x). Akan ditunjukkan bahwa f(-x) = -f(x).

f (-x) = g(-x)h(-x).

Karena g adalah fungsi genap dan h adalah fungsi ganjil, maka

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

= -g(x)h(x) f (-x) = -f(x).

Jadi, hasil kali antara fungsi genap dan fungsi ganjil adalah fungsi ganjil.

∎ Adapun, suatu fungsi f disebut simetri di x = 0 jika f adalah fungsi genap seperti pada gambar (a) dalam Gambar 2.1 dan suatu fungsi f disebut antisimetri di x = 0 jika

f adalah fungsi ganjil seperti pada gambar (b) dalam Gambar 2.1.

Gambar 2.1: Fungsi ganjil dan fungsi genap

Definisi 2.1.3

Suatu fungsi g(x) dikatakan periodik dengan periode T jika (2.3)

= + untuk semua x, dan T merupakan konstanta positif. Nilai terkecil dari T disebut sebagai periode terkecil atau periode dari g(x).

Berikut ini diberikan contoh fungsi periodik dengan periode T pada Gambar 2.2.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Gambar 2.2: Fungsi periodik g(x) dengan periode T

Contoh 2.1.1

1. Fungsi sin x mempunyai periode 2 , 4 , 6 ,... karena sin (x + 2 ), sin (x + 4 ), sin (x + 6 ),... sama dengan sin x, tetapi 2 adalah periode terkecil atau periode sin x.

2. Periode fungsi sin nx atau cos nx, dimana n bilangan bulat positif, adalah .

3. Suatu konstanta mempunyai periode suatu bilangan positif.

Dalam Contoh 2.1.1 di atas, kita dapat menemukan fungsi-fungsi trigonometri seperti fungsi sinus dan kosinus. Masih banyak fungsi trigonometri lainnya, namun dalam skripsi ini kita hanya membahas mengenai fungsi sinus dan fungsi kosinus.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Teorema 2.1.2

Andaikan diketahui fungsi-fungsi trigonometri yaitu sin , sin , cos , cos dimana

= 1, 2, 3, … dan = 1, 2, 3, … , maka berlaku kesamaan hasil kali trigonometri sebagai berikut

, (2.4) sin sin = cos − − cos ≠ .

, (2.5) sin cos = sin − + sin ≠ .

, (2.6) cos cos = cos − + cos ≠ .

(2.7) sin + cos = 1, = .

Teorema 2.1.2 di atas merupakan teorema dasar kalkulus trigonometri yang sangat mudah untuk dibuktikan sehingga bukti teorema tersebut tidak diberikan dalam skripsi ini.

Definisi 2.1.4 (Limit)

lim = berarti bahwa untuk setiap $ > 0 yang diberikan, terdapat ' > 0 !→# sedemikian sehingga untuk setiap x, 0 < ) − *) < ' maka berlaku ) − ) < $.

Definisi 2.1.5 (Limit kanan dan limit kiri)

!→#

Limit kanan yang dinyatakan dengan lim = berarti bahwa untuk setiap

$ > 0 yang diberikan, terdapat ' > 0 sedemikian sehingga untuk setiap x, 0 < −

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

lim = berarti bahwa untuk setiap $ > 0 yang diberikan, terdapat ' > 0 !→# sedemikian sehingga untuk setiap x, 0 < − − * < ' maka berlaku ) − ) < $.

Definisi 2.1.6 (Kekontinuan fungsi di suatu titik)

Suatu fungsi, f, dikatakan kontinu di c jika untuk setiap $ > 0 yang diberikan, terdapat

' > 0 sedemikian sehingga untuk setiap x, ) − *) < ' maka berlaku ) − * ) < $.

Definisi 2.1.7

Fungsi f(x) disebut fungsi kontinu bagian demi bagian pada interval [a, b] bila dipenuhi syarat-syarat berikut:

1. Interval [a, b] dapat dibagi menjadi sebanyak berhingga sub interval sehingga

f (x) kontinu pada setiap sub interval tersebut.

2. Limit dari f(x) jika x mendekati ujung-ujung dari sub interval ada dan berhingga. Dengan kata lain, f(x) disebut fungsi kontinu bagian demi bagian bila dan hanya bila f (x) mempunyai sebanyak berhingga diskontinuitas.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

B. Bilangan Kompleks dan Persamaan Euler Definisi 2.2.1

Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk x + yi atau x + iy dengan x dan y

2 adalah bilangan real dan i = -1.

Biasanya z dipakai untuk menyatakan bilangan kompleks yang bentuknya sesuai dengan definisi di atas dan ditulis z = x + yi, dimana x dapat dinyatakan juga sebagai bagian real dari z dan y bagian imajiner dari z. Bagian real dan bagian imajiner dari bilangan kompleks z biasanya dinyatakan dengan Re(z) dan Im(z), sehingga jika x dan y adalah real dan z = x + iy, maka x = Re(z) dan y = Im(z).

Himpunan semua bilangan kompleks biasanya diberi notasi ℂ, sehingga dapat ditulis

ℂ = {z: z = x + iy, x ∈ ℝ dan y ∈ ℝ}. Jika Im(z) = 0, maka bilangan kompleks z menjadi bilangan real x, sehingga bilangan real adalah keadaan khusus dari bilangan kompleks. Oleh karena itu, kita dapat mengatakan bahwa himpunan bilangan real merupakan himpunan bagian dari himpunan bilangan kompleks atau

ℝ ⊂ ℂ. Jika

(z) = x = 0, dan Im(z) 0, maka z menjadi iy dan dinamakan bilangan imajiner murni.

Definisi 2.2.2

Untuk setiap bilangan kompleks z = x + iy, maka bilangan kompleks 12 = − 34,

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

dinamakan konjugat bilangan z.

Diberikan suatu daerah asal 5 yang merupakan subhimpunan bidang kompleks ℂ dan f suatu fungsi dari 5 ke dalam ℂ. Jika z menyatakan sembarang titik di dalam 5, dan z menyatakan bilangan kompleks dalam 5, maka z dinamakan suatu variabel kompleks. Untuk z

∈ 5 maka nilai fungsi f(z) adalah bilangan kompleks. Fungsi yang bernilaikan bilangan kompleks disebut fungsi bernilai kompleks atau disingkat fungsi kompleks. Jadi, fungsi f ini adalah fungsi kompleks dari variabel kompleks dengan daerah definisi (daerah asal)

5 . Nilai fungsi kerap dinyatakan dengan huruf w sehingga fungsi f dengan domain definisi 5 ditulis w = f(z) dengan z ∈ 5. Jika suatu fungsi bernilai kompleks dari variabel kompleks f(z), maka f(z) = u(x,y) + iv(x,y) dengan u dan v adalah fungsi bernilai real dari variabel real x dan y. Fungsi u(x,y) dan

v (x,y) berturut-turut dinamakan bagian real dan bagian imajiner dari fungsi f(z).

Dalam fungsi kompleks, ada beberapa fungsi elementer yang dikenal. Namun dalam skripsi ini, penulis hanya akan membahas fungsi Euler yang merupakan fungsi eksponensial.

Definisi 2.2.3

Untuk bilangan kompleks z didefinisikan 7 !

(2.8) 6 = 6 cos 4 + 3 sin 4 dimana z = x + iy dengan x ∈ ℝ dan y ∈ ℝ.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Dalam Definisi 2.2.3, kita dapat melihat bahwa jika diambil z real, yaitu z = x +

i 0, maka ruas kiri dari Persamaan (2.8) menjadi e , sedangkan ruas kanan menjadi

! ! . Oleh karena itu, kita dapat mengatakan bahwa Persamaan 6 cos 0 + 3 sin 0 = 6

(2.8) merupakan perluasan fungsi eksponensial real yang sudah kita kenal dalam kalkulus. Jika diambil z = iy dengan y real, kita memperoleh hubungan yang dijabarkan di atas. Dengan melihat Definisi 2.2.3 dengan z = ± iy, maka kita dapat memperoleh rumus sebagai berikut

±9: (2.9) 6 = cos 4 ± 3 sin 4.

Persamaan (2.9) di atas disebut sebagai persamaan Euler.

C. Derivatif dan Antiderivatif Definisi 2.3.1

Turunan atau derivatif f yang dinyatakan dengan ′ (dibaca “f aksen”) untuk sebarang nilai c adalah

ℎ − *

= lim

=→> ℎ jika limitnya ada.

Teorema 2.3.1

< Jika * ada, maka f kontinu di c.

Bukti

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

@ ! A@ # = * + − * , dimana ≠ *.

!A# @ ! A@ #

= lim lim B * + − * C !→# !→#

!A# @ ! A@ #

= lim !→# * + lim !→# B − * C !A#

@ ! A@ # = lim * + lim B C ∙ lim − * .

!→# !→# !→# !A#

Berdasarkan Definisi 2.3.1 dan Definisi 2.1.4, maka <

= lim * + * ∙ 0 !→#

= * . Berdasarkan Definisi 2.1.5, maka f kontinu di c.

∎

Definisi 2.3.2

Suatu fungsi F disebut antiderivatif (anti turunan) dari fungsi f bila turunan dari F adalah f.

Definisi 2.3.3 (Integral tentu)

Andaikan f suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup EF, GH. Jika

J lim ∆ →I

9 O ada, maka f dikatakan terintegralkan pada disebut

EF, GH. Lebih lanjut, M N P integral tentu (atau integral Riemann) f dari a ke b yang didefinisikan oleh

O ∗

N = lim J ∆ M →I

9L P

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

O Bilangan a dan b dalam disebut berturut-turut sebagai batas bawah dan

N M P batas atas integral, serta f(x) disebut integran.

Berikut ini akan diberikan penggunaan simetri dalam penghitungan integral tentu.

Teorema 2.3.2 (Teorema simetri)

Jika f adalah fungsi genap, maka R R

(2.10) M N = 2 M N

AR > dan jika f adalah fungsi ganjil, maka

R (2.11) N = 0. M AR

Bukti a.

Karena f adalah fungsi genap, maka R > R

M N = M N + M N AR AR >

> R =

− N − + M N M

R > R R

= − M − − N + M N

> > R R

= M − N + M N

> > R R

= N + M N

M > >

R = 2 M N .

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Bukti

= 0.

∎

Teorema 2.3.3 (Teorema periodik)

Jika f periodik dengan periode T, maka M N OST PST

= M N O P

. (2.12)

Andaikan U = − sehingga = U + dan NU = N , sehingga

N + M R

M N OST PST =

M U + NU

O P .

Berdasarkan Definisi 2.1.3, maka M N OST PST

= M U NU O P

= M N O P .

∎

> N

Karena f adalah fungsi ganjil, maka M R AR

> N

N = M >

AR N + M

R >

N =

M −

> R

N − + M R

= − M − −

= − M

R >

N + M R

> N

= M −

R >

N + M R

> N

R >

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

D. Konvergensi Barisan dan Deret Definisi 2.4.1 (Barisan)

Suatu barisan adalah himpunan dari bilangan-bilangan W , W , W , … dengan urutan

X penyusunan yang pasti (atau dengan kata lain korespondensi dengan bilangan- bilangan asli) dan tersusun menurut suatu aturan yang pasti.

Dari definisi di atas, kita juga dapat mengatakan bahwa suatu barisan (atau barisan tak hingga) adalah suatu fungsi yang daerahnya hasilnya adalah himpunan bilangan bulat positif.

Definisi 2.4.2 (Konvergensi barisan)

S Suatu barisan disebut mempunyai limit L(x) bila untuk sebarang

Z YW $ > 0

L ada bilangan bulat positif N sedemikian rupa sehingga

)W − ) < $ bila S mempunyai limit L(x), maka barisan konvergen ke

≤ [. Bila barisan YW Z L

L (x) dan ditulis .

lim W = →

Definisi 2.4.3 (Deret tak hingga)

Suatu deret tak hingga adalah suatu ungkapan bentuk U + U + U + ⋯ + U + ⋯

X atau dengan notasi sigma dengan J U U , U , U , … disebut suku-suku deret.

]L ]

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Definisi 2.4.4 (Konvergensi deret tak hingga)

Andaikan . Jika barisan

Z adalah barisan jumlah bagian deret J Y^

W ]L ]

Z konvergen ke limit S(x), maka deret itu konvergen dan S(x) disebut jumlah Y^ deret, ditulis

. ^ = J W ]

]L Untuk sebuah deret tak terhingga , didefinisikan jumlah parsial ke-n

J W ]L ] dari deret tersebut sebagai jumlah n suku yang pertama dari deret tersebut, yaitu .

^ = J W ]

]L Berdasarkan Definisi 2.4.4, suatu deret tak terhingga dapat dikatakan konvergen ke f(x) pada suatu interval jika diberikan sebarang bilangan positif

$, sedemikian sehingga untuk setiap x di dalam interval tersebut terdapat suatu bilangan bulat positif N, sehingga )^ ) < $ untuk semua ≥ [.

−

Teorema 2.4.1 (Uji banding)

Andaikan dan adalah deret dengan suku-suku positif dan andaikan J F J G

] ] F ≤ G , F ≤ G , F ≤ G , … , F ≤ G , …, maka

X X ] ] i. (deret yang lebih besar) konvergen, maka (deret yang lebih kecil)

Jika J G J F

] ] juga konvergen. ii. (deret yang lebih kecil) divergen, maka (deret yang lebih besar)

Jika J F

J G ]

] juga divergen.

PENENTUAN HARGA OPSI TIPE EROPA MENGGUNAKAN TRANSFORMASI FOURIER PADA MODEL PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL BLACK SCHOLES SKRIPSI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI