BILANGAN DOMINASI PERSEKITARAN PADA GRAF LENGKAP DAN GRAF BIPARTIT LENGKAP | Ratnasari | MATEMATIKA 15283 37013 1 PB
BIL A NGA N DOMINA SI PE R SE K IT A R A N PA DA GR A F L E NGK A P DA N
GR A F BIPA R T IT L E NGK A P
L ucia Ratnasari1, Bayu Surarso2, Harjito3, Uun Maunah4
1,2,3
Departemen Matematika FSM Universitas Diponegoro
4
Program Studi S1 Departemen Matematika FSM Universitas Diponegoro
J l. Prof. H. Soedarto, S.H. Tembalang Semarang
A bstract. Given graph with set of vertex and set of edge E. Set subset of is
called domination set if every point in − is adjacent with at least one point in in
graph . The minimum cardinality of all set of domination graph is called domination
〉
number. L et be a subset of , set is called a neighborhood set if =⋃ ∈ 〈 ()
〈
〉
() induced subgraph
with
of ()
. The minimum cardinality of all the
neighborhood set of graph is called the neighborhood number. There are several types
of neighborhood domination number depending on the parameters. In this paper we
examine the transversal neighborhood domination number and global neighborhood
domination number in complete graph and complete bipartite graph.
K eywords: neighborhood domination number, transversal neighborhood
domination number, global neighborhood domination number global.
1. PE NDA HUL UA N
Salah satu topik dari teori graf adalah
himpunan dominasi. Secara historis,
masalah dominasi mulai dipelajari dari
tahun 1950 oleh Hedetniemi dan L askar,
kemudian Haynes dkk menuliskan dalam
bukunya lebih dari 75 jenis dominasi dan
topik-topik lanjutan dalam dominasi yang
telah didefinisikan dan diselidiki oleh
beberapa penulis [1]. Himpunan dominasi
dari sebuah graf
=( , ) merupakan
himpunan
subset dari
dimana setiap
titik di
−
bertetangga setidaknya
dengan satu titik di , sedangkan bilangan
dominasi adalah kardinalitas minimum dari
semua himpunan dominasi dari suatu graf
.
Berbagai
jenis parameter dari
dominasi telah didefinisikan dan dipelajari
oleh beberapa penulis. Untuk suatu
himpunan dominasi S dari graf G juga
ingin diketahui bagaimana perilaku dari
himpunan persekitaran S. Beberapa kajian
dengan parameter dominasi persekitaran
diantaranya adalah dominasi persekitaran
total, dominasi persekitaran terhubung,
dominasi persekitaran terhubung equitable,
dominasi persekitaran global dan dominasi
20
persekitaran transversal. Pada tulisan ini
dikaji bilangan dominasi persekitaran
transversal dan bilangan dominasi
persekitaran global pada graf lengkap dan
graf bipartit lengkap dan selanjutnya
dibandingkan bilangan dominasi dengan
parameter-parameter tersebut. Istilahistilah dan notasi yang tidak didefinisikan
dalam tulisan ini diambil dari referensi [2]
dan [3].
2. HA SIL DA N PE MBA HA SA N
2.1 Bilangan Dominasi Persekitaran
T ransversal
Sebelum membahas bilangan dominasi
persekitaran transversal terlebih dahulu
dijelaskan
pengertian
himpunan
persekitaran dan himpunan persekitaran
minimum.
Definisi 2.1 [4] Himpunan ⊆ pada
graf
=( , ) disebut himpunan
〉
persekitaran
jika
=⋃ ∈ 〈 ()
,
〉 subgraf induksi
dari
dengan 〈 ()
()
. Himpunan persekitaran
disebut
himpunan persekitaran minimum jika
himpunan tersebut mempunyai kardinalitas
minimum
dari
semua
himpunan
persekitaran pada graf . Kardinalitas
J urnal Matematika V ol. 20, No. 1, A pril 2017 : 20 - 26
minimum
dari
semua
himpunan
persekitaran disebut bilangan persekitaran
dari dan dinotasikan sebagai ( )
.
dinotasikan dengan
()
. Suatu
himpunan
dominasi
persekitaran
transversal dari dengan | |= ( )
disebut himpunan
.
C ontoh 2.2 Diberikan Graf
dengan
himpunan titik = , , , , dan
=
,
,
,
,
,
.
Misal diambil
= ,
C ontoh 2.4 Diberikan gambar graf seperti
berikut :
G ambar 2.1 Graf
,
Gambar 2.3 Graf
= ,
dengan himpunan
=
,dengan
himpunan dominasi
Oleh karena tidak ada himpunan
persekitaran yang mempunyai kardinalitas
kurang dari 2 maka kardinalitas minimum
dari setiap himpunan persekitaran di
graf
adalah dua sehingga bilangan
persekitaran dari graf
adalah dua atau
( )=2.
J ika
= ( , , ) adalah graf bipartit
lengkap
, maka hanya terdapat satu
himpunan persekitaran minimum
pada
graf bipartit lengkap
tersebut
yaitu
,
= , . Misal akan dibentuk
himpunan dominasi
= , dengan
dua titik dimana satu titiknya diambil dari
= , dan satu titik lainnya diambil
maka
∩ =
dari
= ,,
.
K arena
, ∩ , =
himpunan dominasi
dan himpunan
persekitaran minimum
beririsan maka
himpunan dominasi
merupakan
himpunan
dominasi
persekitaran
transversal. Oleh karena himpunan
dominasi persekitaran transversal
merupakan kardinalitas minimum dari
himpunan
dominasi
persekitaran
transversal yang berada pada graf bipartit
lengkap , maka terbukti jika bilangan
dominasi persekitaran transversal graf
adalah 2.
Definisi 2.3 [4] Himpunan dominasi
⊆ dari sebuah graf
disebut
himpunan
dominasi
persekitaran
transversal jika himpunan tersebut
beririsan dengan setiap himpunan
persekitaran
minimum.
Kardinalitas
minimum dari himpunan dominasi
persekitaran transversal disebut bilangan
dominasi persekitaran transversal dan
T eorema 2.5 [4] Untuk setiap graf bipartit
lengkap , berlaku ;
2,
≠1;
( )=
1,
=1.
Bukti :
Misal =( , , )adalah sebuah graf
bipartit lengkap
, maka terdapat tiga
kasus yaitu :
K asus I : < atau , ≠1
Pada Gambar 2.1 terlihat bahwa
=
, merupakan himpunan persekitaran
〉=
dari
karena =⋃ ∈ 〈 ()
〈( )
〉∪〈 ( )
〉
.
(a)
G ambar 2.2 Subgraf Induksi
dan (b) ( )
(b)
dari (a)
( )
21
L ucia Ratnasari, Bayu Surarso dan Harjito (Bilangan Dominasi Persekitaran pada Graf L engkap dan...)
Diketahui graf
adalah graf bipartit
lengkap
untuk
< atau , ≠1
,
dengan | |=
dan | |= . K arena
< maka
merupakan himpunan
persekitaran minimum dari graf bipartit
lengkap
,. K emudian setiap himpunan
dominasi
dengan dua titik dimana satu
titik berasal dari
dan satu titik lainnya
berasal dari
akan mendominasi semua
titik pada graf bipartit lengkap
, dan
juga beririsan dengan sebagai himpunan
persekitaran minimum pada graf bipartit
lengkap
,. Oleh karena himpunan
dominasi
beririsan dengan setiap
himpunan persekitaran minimum pada graf
( )=2.
bipartit lengkap , maka
K asus II : =
Diketahui graf
adalah bipartit lengkap
= dimana | |= dan
, untuk
| |= . K arena
= maka terdapat
dua himpunan persekitaran minimum pada
graf bipartit lengkap
dan .
, yaitu
K emudian setiap himpunan dominasi
dengan dua titik dimana satu titik berasal
dari m dan satu titik lainnya berasal dari
atau sebaliknya akan mendominasi semua
titik pada graf bipartit lengkap
, dan
juga beririsan dengan setiap himpunan
persekitaran minimum pada graf bipartit
lengkap
,. Oleh karena himpunan
dominasi
beririsan dengan setiap
himpunan persekitaran minimum pada graf
bipartit lengkap , maka ( )=2.
K asus III : atau =1
Diketahui graf
adalah graf bipartit
| |=
lengkap
dimana
dan
,
| |= . K arena
atau
=1 maka
terdapat satu himpunan persekitaran
minimum graf bipartit lengkap
, yaitu
atau =1 yang mempunyai anggota
himpunan titik berjumlah satu. K emudian
titik tersebut juga yang akan menjadi
himpunan dominasi dan juga beririsan
dengan himpunan persekitaran minimum
pada graf bipartit lengkap
,. Oleh
karena himpunan dominasi
beririsan
dengan setiap himpunan persekitaran
22
minimum pada graf bipartit lengkap
maka ( )=1. ∎
,
C ontoh 2.6
K asus I :
Diberikan gambar graf bipartit lengkap
seperti berikut :
G ambar 2.4 Graf bipartit lengkap
himpunan dominasi = ,
, dengan
Pada Gambar 2.4 merupakan graf bipartit
lengkap , dengan
= , , dan
= , , , . K arena | |
GR A F BIPA R T IT L E NGK A P
L ucia Ratnasari1, Bayu Surarso2, Harjito3, Uun Maunah4
1,2,3
Departemen Matematika FSM Universitas Diponegoro
4
Program Studi S1 Departemen Matematika FSM Universitas Diponegoro
J l. Prof. H. Soedarto, S.H. Tembalang Semarang
A bstract. Given graph with set of vertex and set of edge E. Set subset of is
called domination set if every point in − is adjacent with at least one point in in
graph . The minimum cardinality of all set of domination graph is called domination
〉
number. L et be a subset of , set is called a neighborhood set if =⋃ ∈ 〈 ()
〈
〉
() induced subgraph
with
of ()
. The minimum cardinality of all the
neighborhood set of graph is called the neighborhood number. There are several types
of neighborhood domination number depending on the parameters. In this paper we
examine the transversal neighborhood domination number and global neighborhood
domination number in complete graph and complete bipartite graph.
K eywords: neighborhood domination number, transversal neighborhood
domination number, global neighborhood domination number global.
1. PE NDA HUL UA N
Salah satu topik dari teori graf adalah
himpunan dominasi. Secara historis,
masalah dominasi mulai dipelajari dari
tahun 1950 oleh Hedetniemi dan L askar,
kemudian Haynes dkk menuliskan dalam
bukunya lebih dari 75 jenis dominasi dan
topik-topik lanjutan dalam dominasi yang
telah didefinisikan dan diselidiki oleh
beberapa penulis [1]. Himpunan dominasi
dari sebuah graf
=( , ) merupakan
himpunan
subset dari
dimana setiap
titik di
−
bertetangga setidaknya
dengan satu titik di , sedangkan bilangan
dominasi adalah kardinalitas minimum dari
semua himpunan dominasi dari suatu graf
.
Berbagai
jenis parameter dari
dominasi telah didefinisikan dan dipelajari
oleh beberapa penulis. Untuk suatu
himpunan dominasi S dari graf G juga
ingin diketahui bagaimana perilaku dari
himpunan persekitaran S. Beberapa kajian
dengan parameter dominasi persekitaran
diantaranya adalah dominasi persekitaran
total, dominasi persekitaran terhubung,
dominasi persekitaran terhubung equitable,
dominasi persekitaran global dan dominasi
20
persekitaran transversal. Pada tulisan ini
dikaji bilangan dominasi persekitaran
transversal dan bilangan dominasi
persekitaran global pada graf lengkap dan
graf bipartit lengkap dan selanjutnya
dibandingkan bilangan dominasi dengan
parameter-parameter tersebut. Istilahistilah dan notasi yang tidak didefinisikan
dalam tulisan ini diambil dari referensi [2]
dan [3].
2. HA SIL DA N PE MBA HA SA N
2.1 Bilangan Dominasi Persekitaran
T ransversal
Sebelum membahas bilangan dominasi
persekitaran transversal terlebih dahulu
dijelaskan
pengertian
himpunan
persekitaran dan himpunan persekitaran
minimum.
Definisi 2.1 [4] Himpunan ⊆ pada
graf
=( , ) disebut himpunan
〉
persekitaran
jika
=⋃ ∈ 〈 ()
,
〉 subgraf induksi
dari
dengan 〈 ()
()
. Himpunan persekitaran
disebut
himpunan persekitaran minimum jika
himpunan tersebut mempunyai kardinalitas
minimum
dari
semua
himpunan
persekitaran pada graf . Kardinalitas
J urnal Matematika V ol. 20, No. 1, A pril 2017 : 20 - 26
minimum
dari
semua
himpunan
persekitaran disebut bilangan persekitaran
dari dan dinotasikan sebagai ( )
.
dinotasikan dengan
()
. Suatu
himpunan
dominasi
persekitaran
transversal dari dengan | |= ( )
disebut himpunan
.
C ontoh 2.2 Diberikan Graf
dengan
himpunan titik = , , , , dan
=
,
,
,
,
,
.
Misal diambil
= ,
C ontoh 2.4 Diberikan gambar graf seperti
berikut :
G ambar 2.1 Graf
,
Gambar 2.3 Graf
= ,
dengan himpunan
=
,dengan
himpunan dominasi
Oleh karena tidak ada himpunan
persekitaran yang mempunyai kardinalitas
kurang dari 2 maka kardinalitas minimum
dari setiap himpunan persekitaran di
graf
adalah dua sehingga bilangan
persekitaran dari graf
adalah dua atau
( )=2.
J ika
= ( , , ) adalah graf bipartit
lengkap
, maka hanya terdapat satu
himpunan persekitaran minimum
pada
graf bipartit lengkap
tersebut
yaitu
,
= , . Misal akan dibentuk
himpunan dominasi
= , dengan
dua titik dimana satu titiknya diambil dari
= , dan satu titik lainnya diambil
maka
∩ =
dari
= ,,
.
K arena
, ∩ , =
himpunan dominasi
dan himpunan
persekitaran minimum
beririsan maka
himpunan dominasi
merupakan
himpunan
dominasi
persekitaran
transversal. Oleh karena himpunan
dominasi persekitaran transversal
merupakan kardinalitas minimum dari
himpunan
dominasi
persekitaran
transversal yang berada pada graf bipartit
lengkap , maka terbukti jika bilangan
dominasi persekitaran transversal graf
adalah 2.
Definisi 2.3 [4] Himpunan dominasi
⊆ dari sebuah graf
disebut
himpunan
dominasi
persekitaran
transversal jika himpunan tersebut
beririsan dengan setiap himpunan
persekitaran
minimum.
Kardinalitas
minimum dari himpunan dominasi
persekitaran transversal disebut bilangan
dominasi persekitaran transversal dan
T eorema 2.5 [4] Untuk setiap graf bipartit
lengkap , berlaku ;
2,
≠1;
( )=
1,
=1.
Bukti :
Misal =( , , )adalah sebuah graf
bipartit lengkap
, maka terdapat tiga
kasus yaitu :
K asus I : < atau , ≠1
Pada Gambar 2.1 terlihat bahwa
=
, merupakan himpunan persekitaran
〉=
dari
karena =⋃ ∈ 〈 ()
〈( )
〉∪〈 ( )
〉
.
(a)
G ambar 2.2 Subgraf Induksi
dan (b) ( )
(b)
dari (a)
( )
21
L ucia Ratnasari, Bayu Surarso dan Harjito (Bilangan Dominasi Persekitaran pada Graf L engkap dan...)
Diketahui graf
adalah graf bipartit
lengkap
untuk
< atau , ≠1
,
dengan | |=
dan | |= . K arena
< maka
merupakan himpunan
persekitaran minimum dari graf bipartit
lengkap
,. K emudian setiap himpunan
dominasi
dengan dua titik dimana satu
titik berasal dari
dan satu titik lainnya
berasal dari
akan mendominasi semua
titik pada graf bipartit lengkap
, dan
juga beririsan dengan sebagai himpunan
persekitaran minimum pada graf bipartit
lengkap
,. Oleh karena himpunan
dominasi
beririsan dengan setiap
himpunan persekitaran minimum pada graf
( )=2.
bipartit lengkap , maka
K asus II : =
Diketahui graf
adalah bipartit lengkap
= dimana | |= dan
, untuk
| |= . K arena
= maka terdapat
dua himpunan persekitaran minimum pada
graf bipartit lengkap
dan .
, yaitu
K emudian setiap himpunan dominasi
dengan dua titik dimana satu titik berasal
dari m dan satu titik lainnya berasal dari
atau sebaliknya akan mendominasi semua
titik pada graf bipartit lengkap
, dan
juga beririsan dengan setiap himpunan
persekitaran minimum pada graf bipartit
lengkap
,. Oleh karena himpunan
dominasi
beririsan dengan setiap
himpunan persekitaran minimum pada graf
bipartit lengkap , maka ( )=2.
K asus III : atau =1
Diketahui graf
adalah graf bipartit
| |=
lengkap
dimana
dan
,
| |= . K arena
atau
=1 maka
terdapat satu himpunan persekitaran
minimum graf bipartit lengkap
, yaitu
atau =1 yang mempunyai anggota
himpunan titik berjumlah satu. K emudian
titik tersebut juga yang akan menjadi
himpunan dominasi dan juga beririsan
dengan himpunan persekitaran minimum
pada graf bipartit lengkap
,. Oleh
karena himpunan dominasi
beririsan
dengan setiap himpunan persekitaran
22
minimum pada graf bipartit lengkap
maka ( )=1. ∎
,
C ontoh 2.6
K asus I :
Diberikan gambar graf bipartit lengkap
seperti berikut :
G ambar 2.4 Graf bipartit lengkap
himpunan dominasi = ,
, dengan
Pada Gambar 2.4 merupakan graf bipartit
lengkap , dengan
= , , dan
= , , , . K arena | |