PELABELAN SELIMUT H-AJAIB SUPER PADA GRAF BIPARTIT LENGKAP, GRAF BUKU, GRAF RODA T -LIPAT DAN GRAF BUNGA
PELABELAN SELIMUT H-AJAIB SUPER PADA GRAF
BIPARTIT LENGKAP, GRAF BUKU, GRAF RODA T -LIPAT
DAN GRAF BUNGA oleh RACHEL WULAN NIRMALASARI WIJAYA NIM. M0110068 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Sarjana Sains Matematika JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA
commit to user
2014 perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id commit to user
ABSTRAK
Rachel Wulan Nirmalasari Wijaya . 2014. PELABELAN SELIMUT H - AJAIB SUPER PADA GRAF BIPARTIT LENGKAP, GRAF BUKU, GRAF RODA T -LIPAT DAN GRAF BUNGA. Fakultas Matematika dan Ilmu Penge- tahuan Alam. Universitas Sebelas Maret.
Suatu graf G = (V, E) dikatakan memiliki sebuah selimut H-ajaib, dengan H adalah subgraf dari G, jika setiap sisi dalam E berada dalam sebuah subgraf dari G yang isomorfik terhadap H. Graf G merupakan H-ajaib jika terdapat su- atu pelabelan total λ : V (G) E(G) → {1, 2, . . . ,|V (G)| + |E(G)|}, sedemikian ′ ′ ′ sehingga setiap subgraf H = (V , E ) dari G akan isomorfik terhadap H dan berlaku ′ def
λ(H ) = λ(v) + λ(e) = m(λ), v∈V e∈E ′ ′ dengan m(λ) suatu jumlah ajaib yang konstan, sedangkan G dikatakan memiliki pelabelan selimut H-ajaib super bila label di titik adalah λ(V ) = {1, 2, ..., |V |} dengan s(λ) adalah jumlahan ajaib super.
Tujuan penelitian ini adalah menentukan adanya pelabelan selimut H-ajaib super pada graf bipartit lengkap K dengan H adalah K , graf buku B m,n m,k n dengan H adalah B k , graf roda t-lipat W n dengan H adalah roda k-lipat W n dan pada graf bunga F dengan H adalah C n 3 . Selanjutnya diperoleh bahwa K m,n adalah K m,k -ajaib super dengan 3 ≤ m < n dan m ≤ k < n, B n adalah B k -ajaib super dengan 3 ≤ k < n, roda t-lipat W n adalah roda k-lipat W n -ajaib super 3 dengan n ≥ 3 dan 2 ≤ k < t, dan F n adalah C -ajaib super dengan n ≡ 3 (mod
4). Metodologi penelitian yang digunakan adalah studi literatur.
Hasil dari penelitian ini adalah diperoleh pelabelan selimut K m,k -ajaib su- per pada graf bipartit lengkap K m,n dengan 3 ≤ m < n dan m ≤ k < n, B k -ajaib super pada graf buku B dengan 3 ≤ k < n, roda k-lipat W -ajaib super pada n n 3 graf roda t-tipat W n dengan n ≥ 3 dan 2 ≤ k < t, serta C -ajaib super pada graf bunga F dengan n ≡ 3 (mod 4). n Kata Kunci : pelabelan selimut H-ajaib super, graf bipartit lengkap, graf buku, graf roda t-lipat, graf bunga
commit to user ABSTRACT
Rachel Wulan Nirmalasari Wijaya. 2014. H - SUPERMAGIC COVERING ON COMPLETE BIPARTITE GRAPH, BOOK GRAPH, T -FOLD WHEEL GRAPH AND FLOWER GRAPH. Faculty of Mathematics and Natural Sci- ences, Sebelas Maret University.
A simple graph G = (V, E) admits a H-covering, where H is subgraph of G, if every edge in E belongs to a subgraph of G isomorphic to H. Graph G is H- magic if there is a total labeling λ : V (G) E(G) → {1, 2, . . . , |V (G)| + |E(G)|}, ′ ′ ′ such that each subgraph H = (V , E ) of G isomorphic to H and satisfying ′ def
λ(H ) = λ(v) + λ(e) = m(λ), v∈V e∈E ′ ′ where m(λ) is a constant magic sum. Additionaly, G admits H-supermagic if λ(V ) = {1, 2, ..., |V |} where s(λ) is a constant supermagic sum.
This research aims to find H-supermagic covering on a complete bipartite graph K m,n where H is K m,k , a book graph B n where H is B k , a t-fold wheel 3 graph W n where H is k-fold wheel W n and a flower graph F n where H is C .
Here, we find that a complete bipartite K m,n is K m,k -supermagic for 3 ≤ m < n and m ≤ k < n, a book graph B n is B k -supermagic for 3 ≤ k < n, a t-fold wheel graph W n is k-fold wheel W n -supermagic for n ≥ 3 and 2 ≤ k < t, and a flower graph F is C n 3 -supermagic for n ≡ 3 (mod 4). The method of this research is a literary study. The results show that a complete bipartite graph K - admits a K m,n m,k supermagic covering for 3 ≤ m < n and m ≤ k < n, a book graph B n admts a
B k -supermagic covering for 3 ≤ k < n, a t-fold wheel graph W n admits a k-fold wheel W n -supermagic covering for n ≥ 3 and 2 ≤ k < t, and a flower graph F n 3 admits a C -supermagic covering for n ≡ 3 (mod 4).
: Keywords H-supermagic covering, complete bipartite graph, book graph, t-fold wheel graph, flower graph
commit to user commit to user PERSEMBAHAN
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii ABSTRACT
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
I PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 1.3 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 1.4 Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 II LANDASAN TEORI 4 2.1 Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 2.2 Teori-Teori Penunjang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 2.2.1 Pengertian Dasar Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 2.2.2 Pemetaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 2.2.3 Kelas Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 2.2.4 Graf Isomorfik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9 2.2.5 Pelabelan Graf dan Bobot Graf . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.2.6 Pelabelan Ajaib . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . commit to user
11 commit to user 2.2.7 Pelabelan Selimut Ajaib . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12 2.3 Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13 III METODE PENELITIAN
14 IV HASIL DAN PEMBAHASAN
15
4.1 Pelabelan Ajaib Super pada Graf Bipartit Lengkap K m,n dengan Selimut-K m,k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15 4.2 Pelabelan Ajaib Super pada Graf Buku B n dengan Selimut-B k . .
21
4.3 Pelabelan Ajaib Super pada Graf Roda t-Lipat W n dengan Selimut Roda k-Lipat W n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
4.4 Pelabelan Ajaib Super pada Graf Bunga F n untuk n ≡ 3 (mod 4) dengan Selimut-C 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33 V PENUTUP 38 5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38 5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38 DAFTAR PUSTAKA
40 DAFTAR GAMBAR
5 2.2 Graf bipartit lengkap K 4,n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 2.1 Pelabelan selimut C -ajaib super dari graf bipartit lengkap K 2,5 .
8 2.3 Graf buku B n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 2.4 Graf roda W n (kiri) dan graf roda 3-lipat W n (kanan) . . . . . . .
9 2.5 Graf helm H (kiri) dan graf bunga F (kanan) . . . . . . . . . . 1 2 n n 3 9 2.6 Graf G , G dan G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10 2.7 Graf G (kiri) dan graf G yang telah diberi bobot (kanan) . . . . .
11
2.8 Pelabelan selimut C 3 -ajaib super dari graf roda W 4 . . . . . . . .
12 4.1 Graf bipartit lengkap K 4,n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
4.2 Pelabelan selimut K m,k -ajaib super dari graf bipartit lengkap K 4,7
19
4.3 Pelabelan selimut K -ajaib super dari graf bipartit lengkap K 4,8 m,k 20 4.4 Graf buku B n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
21 4.5 Pelabelan selimut B k -ajaib super dari graf buku B . . . . . . . . 7
24 4.6 Pelabelan selimut B -ajaib super dari graf buku B . . . . . . . . k 25 4.7 Graf roda 3-lipat W n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
27
4.8 Pelabelan selimut roda k-lipat W ajaib super dari graf roda 5-lipat W 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
31
4.9 Pelabelan selimut roda k-lipat W ajaib super dari graf roda 6-lipat 6 W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32 4.10 Graf Bunga F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 n 34 4.11 Graf Bunga F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
commit to user
DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL
commit to user
G : graf G G = (V, E) : graf G dengan himpunan titik V dan himpunan sisi E V (G) : himpunan titik dari graf G |V (G)| : order atau banyaknya titik dari graf G
E(G) : himpunan sisi dari graf G |E(G)| : size atau banyaknya sisi pada graf G H : suatu selimut pada pelabelan H ′ : suatu subgraf pada G yang isomorfik dengan H H 1 , H 2 , . . . , H k : keluarga dari subgraf-subgraf G yang berbeda m(λ) : jumlah selimut ajaib s(λ) : jumlah selimut ajaib super C n : cycle dengan panjang n K m,n : graf bipartit lengkap K 1,n /S n : graf bintang dengan daun sebanyak n P n : lintasan dengan panjang n B n : graf buku W n : graf roda dengan n + 1 titik H n : graf helm F n : graf bunga G 1
∼ = G 2 : graf G 1 isomorfik dengan graf G 2 G 1 ≇ G 2 : graf G 1 tidak isomorfik dengan graf G 2 wt : bobot pada suatu graf
λ : pelabelan ajaib pada graf G ✷
: akhir bukti