M01922

See discussions, stats, and author profiles for this publication at: https://www.researchgate.net/publication/292615759

Pemetaan (1/z)^\alpha dan hasil pemetaannya

Conference Paper · December 2009

CITATION

1

READS

46

1 author:

Hanna Arini Parhusip

Universitas Kristen Satya Wacana

61 PUBLICATIONS 21 CITATIONS SEE PROFILE

All content following this page was uploaded by Hanna Arini Parhusip on 02 February 2016.

ISBN : 978-979-16353-3-2

“

P

P

e

e

n

n

e

e

l

l

i

i

t

t

i

i

a

a

n

n

d

d

a

a

n

n

P

P

e

e

n

n

d

d

i

i

d

d

i

i

k

k

a

a

n

n

M

M

a

a

t

t

e

e

m

m

a

a

t

t

i

i

k

k

a

a

s

s

e

e

r

r

t

t

a

a

k

k

o

o

n

n

t

t

r

r

i

i

b

b

u

u

s

s

i

i

n

n

y

y

a

a

d

d

a

a

l

l

a

a

m

m

U

U

p

p

a

a

y

y

a

a

P

P

e

e

n

n

c

c

a

a

p

p

a

a

i

i

a

a

n

n

W

W

C

C

U

U

(

(

W

W

o

o

r

r

l

l

d

d

C

C

l

l

a

a

s

s

s

s

U

U

n

n

i

i

v

v

e

e

r

r

s

s

i

i

t

t

y

y

)

)

”

”

Yogyakarta, 5 Desember 2009

Jurusan Pendidikan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Negeri Yogyakarta

2009

PROSIDING

SEMINAR NASIONAL

MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN

MATEMATIKA

Penyelenggara :

Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY

Kerjasama dengan

Himpunan Matematika Indonesia (Indo-MS)

wilayah Jateng dan DIY

PROSIDING SEMINAR NASIONAL

MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

5 Desember 2009 FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta

Artikel‐artikel dala prosidi g i i telah diprese tasika

pada

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

pada tanggal 5 Desember 2009

di Jurusan Pendidikan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Negeri Yogyakarta

Tim Penyunting Artikel Seminar :

1. Prof. Dr. Rusgianto

2. Dr. Hartono

3. Dr. Jailani

4. Sahid, M.Sc

Jurusan Pendidikan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Negeri Yogyakarta

1

DAFTAR MAKALAH

kode Nama pemakalah Judul Hal

A.1 Imam Fahcruddin _{Spectrum Pada Graf Star ( ) Dan Graf Bipartisi Komplit ( )} Dengan

1

A.2 M.V.Any Herawati,S.Si.,M.Si. TEOREMA GOURSAT Konstruksi subgrup dari grup darab langsung 12 A.3 Lucia Ratnasari/ Y.D. Sumanto KOMPLEMEN GRAF FUZZY 22 An.1 Muslim Ansori _{RUANG LINEAR BERNORMA}

(

(

)

)

2

,

[ , ]

ESS

C

H L

a b

31

An.2 Drajad Maknawi /Drs. Mulich, M.Si

Definisi Tipe Riemann untuk Integral Lebesgue

38

An.3 Rudianto Artiono Discounted Feynman Kac Untuk Mencari PDP Pada Penentuan Harga Opsi Saham Karyawan Setelah Vesting Period

49 An.4 Sujito, S.T., M.T Implementasi Lagrange Equation Pada Optimasi Incremental Fuel Cost

Pembangkit Energi Guna Penjadwalan Pembangkit Berbasis Metode Dynamic Programming

57

An.5 Hairur Rahman Globally Small Riemann Sums (Gsrs) Integral Henstock-Pettis Pada Ruang Euclide Rn

72 P.1 Drs. M. Nur Yadil, M.Si Penerapan Model Pembelajaran Van Hiele Untuk Meningkatkan

Pemahaman Siswa SMP Karunadipa Palu Terhadap Konsep Bangun- Bangun Segiempat

81

P.2 Drs. Syaiful, M.Pd Model Pengajaran Untuk Meningkatkan Kemampuan Pemecahan Masalah Matematika Pada Guru SMP

92 P.3 Dra. Dwi Astuti, M.Si/ Bambang

Hudiono Perilaku Metakognisi Anak Dalam Matematika: Kajian Berdasarkan Etnis Dan Gender Pada Siswa SMP Di Kalimantan Barat

107

P.4 Budiyono Kompetensi Guru Sekolah Dasar Dalam Memahami Matematika SD

119

P.5 Budiyono /Wanti Guspriati Jenis-Jenis Kesalahan Dalam Menyelesaikan Soal Persamaan Differensial Biasa (PDB) Studi Kasus Pada Mahasiswa Semester V Program Studi Pendidikan Matematika

Universitas Muhammadiyah Purworejo

131

P.6 Drs. Abusyafik, M. Pd./ Siti Khanifah, S.

Pd PEMBELAJARAN FPB DAN KPK DENGAN DAN TANPA ALAT PERAGA PADA SISWA KELAS V SD NEGERI BLENGORKULON KECAMATAN AMBAL KABUPATEN KEBUMEN TAHUN PELAJARAN 2008/2009

141

P.7 Dra. Sulis Janu Hartati, M.T Karakteristik Proses Berpikir Siswa Kelas III Sekolah Dasar Pada Saat Melakukan Aktivitas Membagi

153

P.8 Drs. Hamdani, M.Pd. Pengembangan Pembelajaran Dengan Mathematical Discourse Dalam Meningkatkan Kemampuan Komunikasi Matematik Pada Siswa Sekolah Menengah Pertama

163

P.9 Dra. Tina Yunarti, M.Si Fungsi Dan Pentingnya Pertanyaan Dalam Pembelajaran

174

P.10 Supratman Membandingkan Hasil Belajar Matematika Siswa Yang Pembelajarannya Menggunakan Model Kooperatif Tipe Jigsaw Dengan Tipe Stad Pada Materi Lingkaran

185

P.11 Akhmad Jazuli Berfikir Kreatif Dalam Kemampuan Komunikasi Matematika 209 P.12 Agustin Ernawati, S.Pd./

Sitti Maesuri Patahuddin Pemanfaatan Internet dalam Mempersiapkan Guru mengajar di Kelas RSBI 221

2

P.13 Alfath Famela Rokhim/ Sitti Maesuri Patahuddin

Penggunaan Permainan Online Dalam Belajar Matematika

234 P.14 Darmadi, S.Si, M.Pd.

Spektrum Hasil Belajar Analisis Real Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika IKIP PGRI Madiun

Tahun Akademik 2008/2009

247

P.15 Endang Rahayu, S.Si, M.Pd. Pembelajaran Konstruktivisme Ditinjau Dari Gaya Belajar Siswa

252 P.16 Armiati Komunikasi Matematis dan Kecerdasan Emosional 270 P.17 Sitti Maesuri Patahuddin/ Siti Rokhmah/

Mohamad Nur

Pengembangan LKS berbasis ICT pada Pembelajaran Matematika SMP RSBI

281 P.18 Drs. Mustangin, M.Pd / Agustin Debora

MS

Penerapan Global Learning Dan Mind Mapping Dalam Pembelajaran Matematika Sebagai Jaringan Konsep

295 P.19 Drs.Dwikoranto,M.Pd MENINGKATKAN KOMPETENSI

GURU MATEMATIKA DAN IPA SMP MELALUI KEGIATAN LESSON STUDY 310

P.20 Siti Rokhmah/ Siti Maesuri Patahuddin /

Mohamad Nur LKS Matematika Berbasis ICT Untuk Memfasilitasi Siswa Berpikir Kritis

325 P.21 Agustin Debora MS, Drs. Mustangin,

MPd Dra. Santi Irawati, M.Si,Ph.D

Mengoptimalkan Memory Jangka Panjang Siswa SMPN1 Pajarakan dalam Memaknai Konsep Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran Dengan Penyandian

336

P.22 Kartini, S.Pd. M.Si Peranan Representasi dalam Pembelajaran Matematika 361 P.23 Ariyadi Wijaya, M.Sc Hypothetical Learning Trajectory

dan Peningkatan Pemahaman Konsep Pengukuran Panjang

373 P.24 Abdussakir, M.Pd/ Nur Laili Achadiyah,

S.Pd PEMBELAJARAN KELILING DAN LUAS LINGKARAN DENGAN STRATEGI REACT PADA SISWA KELAS VIII SMP NEGERI 6 KOTA MOJOKERTO

388

P.25 Djamilah Bondan Widjajanti, M.Si KEMAMPUAN PEMECAHAN MASALAH MATEMATIS MAHASISWA CALON GURU MATEMATIKA: APA dan BAGAIMANA MENGEMBANGKANNYA

402 P.26 Sugiman, M.Si PANDANGAN MATEMATIKA SEBAGAI AKTIVITAS INSANI BESERTA

DAMPAK PEMBELAJARANNYA

414

P.28 Kadir, S.Pd., M.Si. Peningkatan Kemampuan Pemecahan Masalah Matematik Siswa SMP melalui Penerapan Pembelajaran Kontekstual Pesisir

428 P.30 Risnanosanti PENGGUNAAN PEMBELAJARAN INKUIRI DALAM MENGEMBANGKAN

KEMAMPUAN BERPIKIR KREATIF SISWA SMA DI KOTA BENGKULU

441 P.31 Abdul Qohar PEMAHAMAN MATEMATIS SISWA SEKOLAH MENENGAH PERTAMA

PADA PEMBELAJARAN DENGAN MODEL RECIPROCAL TEACHING

453

P.32 Ali Mahmudi, M.Pd Menulis sebagai Strategi Belajar Matematika 466 P.33 Dra. Sri Hastuti Noer, M.Pd. Peningkatan Kemampuan Berpikir Kritis Matematis Siswa SMP Melalui

Pembelajaran Berbasis Masalah

473 P.34 Dra. Nila Kesumawati, M. Si Peningkatan Kemampuan Pemecahan Masalah Matematis Siswa SMP

Melalui Pendekatan Pendidikan Matematika Realistik

484 P.35 Eri Satria Model Pembelajaran Computer Support Collaborative Learning (CSCL) 494 S.1 Pika Silvianti,

Khairil A. Notodiputro, I Made Sumertajaya

Pendekatan Metode Bayes Untuk Pendugaan Pengaruh Interaksi Pada Model Ammi

(Bayesian Approach for Estimating Interaction Effect of AMMI Model)

503

S.2 I Gede Nyoman Mindra Jaya Analisis Interaksi Genotipe Lingkungan Menggunakan Partial Least Square Path Modeling

514 S.3 H. Bernik Maskun *) _{Pengujian Hipotesis Rata-Rata Berurut}

Menggunakan Statistik Chi-Kuadrat Rank (Pendekatan Non Parametrik)

530

3

S.5 Mohammad Masjkur

Metode Kemungkinan Maksimum Em Pendugaan Parameter Model Nonlinear Jerapan Fosfor

551

S.6 Enny Supartini Menentukan Statistik Pengujian Untuk Eksperimen Faktorial dengan Dua Kali Pembatasan Pengacakan

560 S.7 Neneng Sunengsih Seleksi Variabel Dalam Analisis Regresi Multivariat Multipel 567 S.8 Liana Kusuma Ningrum / Winita

Sulandari, M.Si

Penerapan Model Arfima (Autoregressive Fractionally Integrated Moving Average)

Dalam Peramalan Suku Bunga Sertifikat Bank Indonesia (SBI)

581

S.9 Retno Hestiningtyas / Winita Sulandari, M.Si

Pemodelan Tarch Pada

Nilai Tukar Kurs Euro Terhadap Rupiah

591

S.10 Epha Diana Supandi, S.Si., M.Sc./ Dra. Khurul Wardati, M.Si./ Iwan Kuswidi, S.Pd.I., M.Sc.

Aplikasi Multidimensional Scalling

(Studi Kasus : Analisis Segmentasi dan Peta Posisi UIN Sunan Kalijaga terhadap Perguruan Tinggi di Yogyakarta)

599

S.11 Anindya Apriliyanti Pravitasari

Penentuan Banyak Kelompok dalam Fuzzy CMeans Cluster Berdasarkan Proporsi Eigen Value Dari Matriks Similarity dan Indeks XB (Xie dan Beni)

623

S.12 Wahyu Wibowo METODE KUADRAT TERKECIL UNTUK ESTIMASI KURVA REGRESI SEMIPARAMETRIK SPLINE

633 S.13 Achmad Zanbar Soleh / Peris Siregar/

Resa Septiani Pontoh

SELEKSI VARIABEL KUALITATIF

MELALUI PROPORTIONAL REDUCTION IN UNCERTAINTY (PRU)

646 S.14 Lisnur Wachidah

Uji Kecocokan Chi-Kuadrat Untuk Distribusi Poisson Pada Data Asuransi 653 S.15 Danang Teguh Qoyyimi Model Suku Bunga Multinomial 666 S.16 Hery Tri Sutanto MULTI KOLLINIERITAS DALAM REGRESI MULTIPLE LOGISTIK 676 S.17 Hery Tri Sutanto Cluster Analysis 681 S.18 Anna Chadidjah/ Indra Elfiyan Model Regresi Data Panel untuk Menaksir Realisasi Total Investasi Asing dan

Dalam Negeri .(Studi Kasus di Provinsi Jawa Barat)

690

S.19 Siti Sunendiari Model Regresi Linier Dalam Melihat Keberhasilan Belajar Siswa SMU

731

S.20 Anik Djuraidah Indeks Kerentanan Sosial Ekonomi Untuk Bencana Alam Di Wilayah Indonesia

746 S.21 Anik Djuraidah Evaluasi Status Ketertinggalan Daerah Dengan Analisis Diskriminan 756 S.22 Isnani, M.Si Penggunaan Bootstrap Untuk Mendeteksi Keakuratanan Kriging 772 S.23 Dr.rer.nat. Dedi Rosadi, M.Sc Pemanfaatan Software Open Source R dalam pemodelan ARIMA 786 S.24 Indahwati / Dian Kusumaningrum /

Wiwid Widiyani

APLIKASI REGRESI DUA LEVEL TERHADAP NILAI AKHIR METODE STATISTIKA

796

S.25 Indahwati / Yenni Angraeni /Tri Wuri Sastuti

PEMODELAN REGRESI TIGA LEVEL PADA DATA PENGAMATAN BERULANG

816

S.26 Yusep Suparman Perlukah Cross Validation dilakukan?

Perbandingan antara Mean Square Prediction Error dan Mean Square Error sebagai Penaksir Harapan Kuadrat Kekeliruan Model

833

S.27 Ridha Ferdhiana, M.Sc

Uji Alternatif Data Terurut

Perbandingan antara Uji Jonckheere Terpstra dan Modifikasinya

4

S.28 Bertho Tantular Pelanggaran Asumsi Normalitas Model Multilevel Pada Galat Level yang Lebih Tinggi

849 S.30 Dien Sukardinah SENSITIFITAS INDIKATOR KESELURUHAN MULTIKOLINEARITAS

DALAM MODEL REGRESI LINEAR MULTIPEL

862 S.31 Lienda Noviyanti SUATU MODEL HARGA OBLIGASI 871 S.32 Kismiantini / Dhoriva Urwatul Wutsqa DAMPAK PENURUNAN HARGA BBM JENIS PREMIUM TERHADAP

ANGKA INFLASI DI KOTA YOGYAKARTA (Studi Aplikasi Model Intervensi dengan Step Function)

879

S.33 Iqbal Kharisudin Koefisien Determinasi Regresi Fuzzy Simetris Untuk Pemilihan Model Terbaik 895 S.35 Heri Retnawati Pengaruh Kemampuan Awal dan Kemampuan Berfikir Logis/penalaran

terhadap Kemampuan Matematika (Studi Komparasi Sensitivitas Program Lisrel 8.51 dan Amos 6.0)

910

S.36 Dhoriva Urwatul Wutsqa /Suhartono PERAMALAN DERET WAKTU MULTIVARIAT SEASONAL PADA DATA PARIWISATA DENGAN MODEL VAR-GSTAR

933 T.1 Muhammad Wakhid Musthofa, M.Si Desain Linear Quadratic Regulator pada Sistem Inverted Pendulum 950 T.2 Gumgum Darmawan, Okira Mapanta ,

Trifandi Lasalewo

Membangun Software Aplikasi pada Antrian Jaringan Jackson untuk menentukan Performansi Optimal

960 T.3 Totok Yulianto Simulasi Pengendalian Struktur berbasis pada Material Cerdas 979 T.4 John Maspupu

ESTIMASI EKSPONEN SPEKTRAL DAN KEMUNCULAN DERAU KEDIP (FLICKER NOISE) PADA SINYAL ULF GEOMAGNET

993

T.5 John Maspupu

PENENTUAN HUBUNGAN EKSPONEN SPEKTRAL DAN DIMENSI FRAKTAL SINYAL ULF GEOMAGNET

1000

T.6 Gatot Riwi Setyanto, Drs., M.Si. RISIKO PENDANAAN PENSIUN ACCRUED BENEFIT COST METHOD DENGAN MEMPERTIMBANGKAN PENGARUH KURS VALUTA ASING

1010

T.7 Bachtiar Anwar Analyzing Coronal Mass Ejection of July 10, 2005 and Its Effect on the Earth’s Magnetosphere

1021

T.8 Sangadji FORMULA HERON:

TINJAUAN DI GEOMETRI EUKLID DAN GEOMETRI SFERIK

1033

T.9 Dwi Lestari / Atmini Dhoruri, MS

Model Epidemi Berdasarkan Umur dan Kriteria Threshold 1040 T.10 Renny, M.Si MODEL MATEMATIKA

DALAM KASUS EPIDEMIK KOLERA DENGAN POPULASI KONSTAN

1051 T.11 Rubono Setiawan Analisa Kestabilan Ekuilibrium

Model Matematika Berbentuk Sistim Persamaan Diferensial Tundaan dengan Waktu Tundaan Diskrit

1064

T.12 I Made Sulandra Algoritma Groebner Walk Lambat? 1078 T.13 Dwi Ertiningsih, Widodo Optimalisasi dan Pemodelan Inventory dengan Dua Gudang Penyimpanan

untuk Barang yang Mengalami Penyusutan dengan Backlog Shortage dan Waktu Tunggu (Lead Time) Fuzzy

1093

T.14 M. Navi’ Jauhari Ulinnuha Perancangan Software Batik Berbasis Geometri Fraktal 1109 T.15 Habirun ANALISIS MODEL VARIASI HARIAN KOMPONEN GEOMAGNET

BERDASARKAN POSISI MATAHARI

1116 T.16 Dr. Hanna Arini Parhusip, MSc.nat /

Sulistyono _PEMETAAN

α

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

z

w

1

_{DAN HASIL PEMETAANNYA}

1127

T.17 Dr. Hanna Arini Parhusip, MSc.nat / Siska Ayunani

METODEFINALTIUNTUKMENENTUKANBERATSAPIOPTIMAL 1139 T.18 Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si. Metode Levenberg-Marquardt

Untuk Masalah Kuadrat Terkecil Nonlinear

5

T.19 Dra. Asmara Iriani Tarigan, M.Si Optimasi Jadwal Ujian di Perguruan Tinggi dengan Metode Branch and Bound 1162 T.20 Fitriana Yuli Saptaningtyas Metode Volume Hingga Untuk Mengetahui Pengaruh Sudut Pertemuan

Saluran Terhadap Profil Perubahan Sedimen Pasir Pada Pertemuan Sungai

1174

T.21 Nikenasih Binatari Model SIR untuk Ketahanan Behavioural 1187 T.22 Kuswari Hernawati Optimalisasi SEO (Search Engine Optimizer) sebagai upaya meningkatkan

unsur Visibility dalam Webometric

1198

T.23 Isnaini Rosyida PENENTUAN BILANGAN KROMATIK FUZZY PADA GRAF FUZZY GF(V,EF) MELALUI BILANGAN KROMATIK PADA CUT Gα(V,Eα)

PROSIDING    ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009

   

T-16

PEMETAAN

 

α

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

z

w

1

 

DAN

 

HASIL

 

PEMETAANNYA

 

Oleh

 

:

 

H.

 

A.

 

Parhusip

1

 

dan

 

Sulistyono

2

 

Program

 

Studi

 

Matematika

 

Industri

 

dan

 

Statistika

  

Fakultas

 

Sains

 

dan

 

Matematika

 

(FSM)

 

Universitas

 

Kristen

 

Satya

 

Wacana

 

(UKSW)

 

(www.uksw.edu)

 

1

pressure1733@hotmail.com

 

2

mahasiswa

 

S1,

 

matematika

 

–FSM

‐

UKSW

 

 

Abstrak

 

:

 

Pemetaan

 

w

=

(

1

/

z

)

α

 

,

 

dengan

 

α

∈

Z

−

(himpunan

 

bulat

 

negatif)

 

dan

 

α

∈

(

0

,

1

)

 

serta

 

hasil

 

pemetaannya

 

ditunjukkan

 

pada

 

makalah

 

ini.

 

Dapat

 

ditunjukkan

 

pemetaan

 

ini

 

konformal.

 

Hasil

 

pemetaan

 

diperoleh

 

dengan

 

melakukan

 

transformasi

 

geometri.

  

 

Kata

 

kunci

 

:

 

pemetaan

 

konformal,

 

fungsi

 

analitik,

 

persegi

 

 

1.

Pendahuluan

 

Pemetaan

 

konformal

 

adalah

 

pemetaan

 

yang

 

mempertahankan

 

besaran

 

dan

 

arah

 

sudut

 

diantara

 

sebarang

 

dua

 

kurva

 

yang

 

berpotongan

 

di

 

suatu

 

titik

 

tertentu.

 

Pada

 

makalah

 

terdahulu

 

(Parhusip

 

dan

 

Sulisyono,

 

2009)

 

ditunjukkan

 

hasil

 

pemetaan

 

α

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

z

w

1

untuk

 

α

=

1

dan

 

α

=

2

.

 

Hasil

 

pemetaan

 

ditunjukkan

 

dengan

 

terlebih

 

dahulu

 

ditunjukkan

 

untuk

 

pemetaan

 

garis

 

vertikal

 

dan

 

garis

 

horizontal

 

secara

 

terpisah.

 

Selanjutnya

 

dilakukan

 

pemetaan

 

untuk

 

1

 

bidang

 

persegi.

 

Untuk

 

persegi

 

lebih

 

dari

 

1

 

dilakukan

 

dengan

 

menggunakan

 

transformasi

 

geometri

 

seperti

 

pencerminan.

   

Pada

 

makalah

 

ini

 

akan

 

ditunjukkan

 

pemetaan

 

α

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

z

w

1

untuk

 

berbagai

 

nilai

 

α

.

  

Pada

 

Bab

 

II

 

ditunjukkan

 

pemetaan

 

konformal

 

w

=1/

z

   

dan

 

hasil

 

pemetaannya

 

yang

 

merupakan

 

hasil

 

penelitian

 

sebelum

 

ini

 

(Parhusip

 

dan

 

Sulisyono,

 

2009)

 

.

 

Pada

 

Bab

 

III

 

dijelaskan

 

cara

 

melakukan

 

penelitian

 

ini.

 

Hasil

 

dan

 

Pembahasan

 

ditunjukkan

 

pada

 

Bab

 

IV.

 

Selanjutnya

 

kesimpulan

 

ditunjukkan

 

pada

 

Bab

 

terakhir.

  

 

2.

Pemetaan

 

konformal

  

w

=1/

z

  

dan

 

hasil

 

pemetaannya

  

Pemetaan

 

garis

 

vertikal

 

dan

 

garis

 

horizontal

 

PROSIDING    ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009

   

 

Telah

 

diketahui

 

bahwa

  

pemetaan

 

garis

 

vertikal

 

dan

 

haris

 

horisontal

 

oleh

 

w

=1/

z

 

merupakan

 

persamaan

 

lingkaran

 

(Parhusip

 

dan

 

Sulisyono,

 

2009).

 

Beberapa

 

hasil

 

pemetaan

 

untuk

 

garis

 

vertikal

 

dan

 

horizontal

 

ditunjukkan

 

pada

 

Gambar

 

1

‐

3.

  

Sedangkan

 

untuk

 

y

 

=

 

a

 

dan

 

garis

 

x

 

=

 

b

  

(

a,b

 

≠

0

 

)

 

dengan

 

fungsi

 

pemetaan

 

w

 

=

 

1/

z

 

untuk

 

berbagai

 

nilai

 

a

 

dan

 

b

 

yang

 

berbeda,

 

yaitu

 

a,b

 

>

 

0,

 

a

 

>

 

0

 

dan

 

b

 

<0,

 

a

 

<

 

0

 

dan

 

b

 

>

 

0

 

dan

 

a,b

 

<

 

0

 

berturut

‐

turut

 

ditunjukkan

 

pada

 

Gambar

 

4.

 

 

 

 

Gambar

 

1.

 

Persamaan

 

garis

 

x

=

c

,

 

x

=

d

 

dipetakkan

 

dengan

 

w

=1/

z

  

menjadi

 

lingkaran

 

,

 

c,d

 

>

 

0

  

 

Gambar

 

2.

 

Persamaan

 

garis

 

x

=

c

,

 

x

=

d

 

dipetakkan

 

dengan

 

w

=1/

z

  

menjadi

 

lingkaran

 

,

c,d

 

<

 

0.

  

 

Gambar

 

3.

 

Persamaan

 

garis

 

x

=

c

 

dan

  

x

=

d

 

dan

 

bayangannya

 

untuk

 

c

>0

 

dan

 

d

<0

 

 

Gambar

 

4.

 

Persamaan

 

garis

 

y

=

a

,

 

x

=

b

 

dipetakkan

 

dengan

 

w

=1/

z

 

menjadi

 

lingkaran

 

dengan

 

a,b

 

>

 

0,

 

a

 

>

 

0

 

dan

 

b

 

<0,

 

a

 

<

 

0

 

dan

 

b

 

>

 

0

 

dan

 

a,b

 

<

 

0.

 

Bayangan

 

persegí

  

untuk

 

1

 

persegi

  

 

Gambar

 

4a

 

menunjukkan

 

bahwa

 

a,b

 

>

 

0

 

dan

 

bayangan

 

digambarkan

 

dalam

 

lingkaran

 

penuh.

 

Bayangan

 

pada

 

Gambar

 

4a

 

ini

 

dapat

 

dibatasi

 

(tidak

 

sebagai

 

lingkaran

 

PROSIDING    ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009

   

penuh)

 

jika

 

kita

 

juga

 

membatasi

 

persegí

 

yang

 

terbentuk

 

pada

 

Gambar

 

4a,

 

yaitu

 

Gambar

 

4a

 

diubah

 

sedemikian

 

sehingga

 

terbentuk

 

Gambar

 

5.

 

 

Gambar

 

5.

  

Persegi

 

ABCO

 

dan

 

bayangannya

 

dengan

 

pemetaan

 

w=1/z

.

 

Bayangan

 

pada

 

Gambar

 

5b

 

diperoleh

 

pertama

 

kali

 

mencari

 

batas

 

dari

 

bayangannya

 

yaitu

 

titik

 

A

'

,

 

B

'

dan

 

C

'

dan

 

kemudian

 

menghubungkan

 

titik

‐

titik

 

tersebut.

 

Untuk

 

titik

 

asal

 

tetap

 

dipetakkan

 

ke

 

titik

 

asal,

 

karena

 

titik

 

asal

 

O(0,0)

 

adalah

 

titik

 

singular

 

atau

 

kesingularan

 

dari

 

w=1/z

.

 

Untuk

 

titik

 

A(0,

a

)

 

pada

 

bidang

 

z

 

akan

 

dipetakkan

 

oleh

 

fungsi

 

w=1/z

 

ke

 

titik

  

'

(

0

,

1

)

a

A

−

pada

 

bidang

 

w

.

 

Hal

 

ini

 

karena

 

titik

 

A(0,

a

)

 

pada

 

bidang

 

z

 

dapat

 

ditulis

 

sebagai

 

z

 

=

 

0+

ia

,

 

sehingga

 

a

ia

z

w

1

0

1

1

−

=

+

=

=

 

dan

 

karena

 

w

 

=

 

u

 

+

 

iv

 

maka

 

diperoleh

 

titik

 

'

(

0

,

1

)

a

A

−

.

 

 

Untuk

 

titik

 

B

(

b,a

)

 

pada

 

bidang

 

z

 

akan

 

dipetakkan

 

oleh

 

fungsi

 

pemetaan

 

w

=1/

z

 

ke

 

titik

 

_⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

−

+

2 2 2

2

,

'

b

a

a

b

a

b

B

 

pada

 

bidang

 

w

.

 

Titik

 

B

'

diperoleh

 

dengan

 

menuliskan

 

titik

 

B

 

sebagai

 

z

 

=

 

b

 

+

 

ia

 

,

 

sehingga

 

diperoleh

 

2 2

b

a

ia

b

w

+

−

=

 

sehingga

 

diperoleh

 

koordinat

 

B

'

 

tersebut.

 

Untuk

 

selanjutnya

 

titik

 

C

(b,0)

 

pada

 

bidang

 

z

 

dipetakkan

 

ke

 

titik

 

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

0

,

1

'

b

C

 

pada

 

bidang

 

w

 

oleh

 

fungsi

 

pemetaan

 

w=1/z

 

Kemudian

 

titik

‐

titik

 

tersebut

 

dihubungkan

 

untuk

 

memperoleh

 

Gambar

 

5b.

   

Untuk

 

selanjutnya

 

kita

 

dapat

 

menyusun

 

hasil

 

pemetaan

 

untuk

 

tiap

 

persegi

 

pada

 

kuadran

 

yang

 

lain

 

dengan

 

cara

 

melakukan

 

pencerminan.

  

 

Matriks

 

transformasi

 

untuk

 

pencerminan

 

terhadap

 

sumbu

 

x

 

dan

 

sumbu

 

u

 

PROSIDING    ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009

   

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

1

0

0

1

R

X

 

 

 

 

 

(3)

 

sehingga

 

jika

 

koordinat

 

suatu

 

titik

 

A

 

dinyatakan

 

dalam

 

notasi

 

vektor

 

posisi

 

_⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

A A

y

x

 

dengan

 

koordinat

 

bayangannya

 

adalah

   

A

'

sebagai

 

vektor

 

posisi

 

_⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

'

'

A A

y

x

 

maka

 

dapat

 

ditulis

 

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

A A R A

A

y

x

X

y

x

' '

.

 

 

 

 

 

  

Kita

 

dapat

 

melakukan

 

transformasi

 

pencerminan

 

untuk

 

titik

 

B

 

dan

 

C

 

untuk

 

mendapatkan

 

koordinat

 

pencerminannya

 

berturut

‐

turut

B

'

 

dan

 

C

'

.

 

Kita

 

dapat

 

melakukan

 

pencerminan

 

dengan

 

cara

 

serupa

 

sehingga

 

dapat

 

diperoleh

 

berbagai

 

hasil

 

pemetaan

 

yang

 

ditunjukkan

 

pada

 

Gambar

 

6.

 

Gambar

 

6

 

diperoleh

 

dengan

 

melakukan

 

pencerminan

 

Gambar

 

5a

 

dan

 

Gambar

 

5b

 

terhadap

 

Sumbu

 

y

 

dan

 

sumbu

 

v

 

secara

 

berturut

‐

turut

 

menggunakan

 

matriks

 

transformasi

 

_⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

1

0

0

1

R

X

 

dan

 

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−

=

1

0

0

1

R

X

.

  

 

Gambar

 

6.

 

Pemetaan

 

1

 

persegi

 

dan

 

hasil

 

pemetaannya

 

melalui

 

pencerminan.

 

 

PROSIDING    ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009

   

 

Dengan

 

menggabungkan

 

hasil

 

gambar

‐

gambar

 

yang

 

diperoleh

 

pada

 

subbab

 

sebelum

 

ini

 

beserta

 

bayangannya,

 

diperoleh

 

beberapa

 

hasil

 

pemetaan

 

sebagaimana

 

ditunjukkan

 

pada

 

Gambar

 

7.

 

Untuk

 

persegi

 

dengan

 

jumlah

 

yang

 

lebih

 

banyak,

 

bayangannya

 

dapat

 

diperoleh

 

dengan

 

langkah

‐

langkah

 

yang

 

sama.

   

 

 

Gambar

 

7a.

 

Ilustrasi

 

perseguí

 

4

 

x

 

4

  

yang

 

dipetakkan

 

(kiri)

 

dan

 

hasil

 

pemetaannya

 

(kanan)

 

oleh

 

w=1/z

.

  

 

Gambar

 

7b.

 

Ilustrasi

 

perseguí

 

14

 

x

 

14

 

yang

 

dipetakkan

 

(kiri)

 

dan

 

hasil

 

pemetaannya

 

(kanan)

 

oleh

 

w=1/z

.

  

 

 

Modifikasi

 

pemetaan

 

w=1/z

 

dan

 

hasil

 

pemetaannya

 

 

Modifikasi

 

yang

 

ditunjukkan

 

pada

 

makalah

 

ini

 

adalah

 

menyusun

 

pemetaan

 

α

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

z

w

1

dan

 

α

∈

N

 

(himpunan

 

bilangan

 

asli).

 

Dapat

 

ditunjukkan

 

bahwa

 

pemetaan

 

ini

 

merupakan

 

pemetaan

 

konformal

 

dengan

 

menyatakan

 

w

 

dalam

 

koordinat

 

polar

 

dan

 

memenuhi

 

persamaan

 

Cauchy

‐

Riemann.

 

Untuk

 

persegi

 

yang

 

dibentuk

 

dari

 

persegi

 

14

 

x14

 

yang

 

dipetakkan

 

oleh

 

2

1

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

z

w

ditunjukkan

 

pada

 

Gambar

 

10.

  

 

Gambar

 

10.

 

Pemetaan

 

persegi

 

14

 

x

 

14

 

(kiri)

 

oleh

 

2 1

1

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

z

w

dan

 

hasil

 

pemetaannya

 

(kanan).

 

3.

 

METODE

 

PENELITIAN

  

PROSIDING    ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009

   

3.1

 

Menunjukkan

 

bahwa

 

pemetaan

 

α

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

z

w

1

dengan

 

α

∈

Z

−

 

(himpunan

 

bulat

 

negatif)

 

adalah

 

pemetaan

 

konformal

 

3.2

 

Mengilustrasikan

 

hasil

 

pemetaan

 

α

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

z

w

1

,

 

α

=

−

β

 

dan

 

β

=

2

 

untuk

 

bidang

 

persegi

 

yang

 

dipetakkan.

 

3.3

 

Menunjukkan

 

bahwa

 

pemetaan

 

α

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

z

w

1

dengan

 

α

∈

(

0

,

1

)

 

adalah

 

pemetaan

 

konformal.

 

3.4

 

Mengilustrasikan

 

hasil

 

pemetaan

 

α

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

z

w

1

,

α

=

0

.

5

 

untuk

 

bidang

 

persegi

 

yang

 

dipetakkan.

 

 

4.

 

HASIL

 

&

 

PEMBAHASAN

 

4.1

 

Pemetaan

 

α

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

z

w

1

dengan

 

α

∈

Z

−

 

(himpunan

 

bulat

 

negatif)

  

Untuk

 

α

∈

Z

−

maka

 

dapat

 

dituliskan

 

sebagai

 

α

=

−

β

 

dengan

 

β

∈

N

 

(himpunan

 

bilangan

 

asli)

 

sehingga

  

α

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

z

w

1

=

 

β

β

z

z

⎟

⎠

=

⎞

⎜

⎝

⎛

1

−

.

 

Sebutlah

 

w

=

z

β

=

w

₁

dengan

 

w

₁

=

u

+

iv

.

  

 

 

(4.1)

 

Teorema

 

4.1

.

 

Pemetaan

 

β

β

z

z

⎟

⎠

=

⎞

⎜

⎝

⎛

1

−

dengan

 

β

∈

N

merupakan

 

pemetaan

 

konformal.

 

Bukti.

 

Perlu

 

ditunjukkan

 

bahwa

 

w

=

z

β

=

w

₁

 

merupakan

 

pemetaan

 

analitik

 

yang

 

dapat

 

ditunjukkan

 

2

 

cara

 

yaitu

 

dengan

 

Koefisien

 

Binomial

 

(cara

 

I)

 

dan

 

koordinat

 

kutub

 

(cara

 

II).

 

Pada

 

bagian

 

ini

 

ditunjukkan

 

kedua

 

cara.

 

Cara

 

1

.

  

Karena

 

z

 

=

 

x

 

+

 

iy

 

maka

 

w

₁

=

z

β

=

(

x

+

iy

)

β

.

 

Dengan

 

menggunakan

 

koefisien

 

Binomial

 

diperoleh

  

β

z

w

₁

=

=

(

x

+

iy

)

β

=

j j

j

j

x

iy

C

(

)

0

− =

∑

β β β

 

=

C

₀β

x

β

+

iC

₁β

x

β−1

y

−

C

₂β

x

β−2

y

2

−

iC

₃β

x

β−3

y

3

+

C

₄β

x

β−4

y

4

+

iC

₅β

x

β−5

y

5

+

...

 

.

 

(4.a)

 

Dengan

 

menuliskan

 

bagian

 

riil

 

dan

 

bagian

 

khayal

 

dari

 

persamaan

 

(4.a)

 

berturut

‐

turut

 

diperoleh

 

j j j k

j

j

y

x

C

y

x

C

y

x

C

y

x

C

x

u

₂ 2 2

0 6

6 6 4 4 4 2 2

2

...

(

1

)

− =

− −

−

₊

₋

₊

₌

∑

₋

−

=

β β β β β β β β β

PROSIDING    ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009

   

1 2 ) 1 2 ( 1 2 0 5 5 5 5 5 5 3 3 3 1

)

1

(

...

₊ − + + = − − − −

₋

₊

₊

₊

₌

∑

₋

=

j j

j k j j

y

x

C

y

x

C

y

x

C

y

x

C

y

x

u

β

β β β β β β β β β

       

 

 

Sehingga

 

j j j k j

j

_j

_C

_x

_y

x

u

_{2 1 2}

2 0

)

2

(

)

1

(

− − =

−

−

=

∂

∂

_∑

_β

β β

  

 

_(5.a)

 

1 2 2 2 0

2

)

1

(

− − =

∑

−

=

∂

∂

j j

j k j j

y

x

jC

y

u

_{β β}

 

 

 

 

(5.b)

   

 

1 2 ) 1 ( 2 1 2 0

)

1

2

(

)

1

(

₊ − + + =

−

−

−

=

∂

∂

∑

j j

j k j j

y

x

C

j

x

v

_β

_{β β}

,

   

 

(5.c)

 

 

j j j k j j

y

x

C

j

y

v

_{2( 1) 2}

1 2 0

)

1

2

(

)

1

(

₊ − + =

+

−

=

∂

∂

_∑

β β

 

 

 

 

_(5.d)

 

dengan

  

⎥⎦

⎥

⎢⎣

⎢

=

2

β

k

.

 

Dari

  

persamaan

 

(5.a)

‐

(5.b)

 

belum

 

terlihat

 

bahwa

 

persamaan

 

tersebut

 

memenuhi

 

persamaan

 

Cauchy

‐

Riemann

 

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

−

=

∂

∂

∂

∂

=

∂

∂

x

v

y

u

y

v

x

u

dan

.

  

 

Oleh

 

karena

 

itu

 

masing

‐

masing

 

turuna

 

parsial

 

pada

 

persamaan

 

(5.a)

‐

(5.d)

 

dijabarkan

  

diperoleh

  

(

2

)

₂ 3 2

(

4

)

₄ 5 4

...,

1

0

−

−

+

−

+

=

∂

∂

− − −

y

x

C

y

x

C

x

C

x

u

_β

_{β β}

_β

_{β β}

_β

_{β β}

   

(6.a)

 

...,

6

4

2

0

−

₂ 2

+

₄ 4 3

+

₆ 6 5

+

=

∂

∂

− − −

y

x

C

y

x

C

y

x

C

y

u

β β β β β β

 

 

(6.b)

 

...,

)

5

(

)

3

(

)

1

(

−

₁ 2

−

−

₃ 4 3

+

−

₅ 6 5

+

=

∂

∂

− − −

y

x

C

y

x

C

y

x

C

x

v

_β

_{β β}

_β

_{β β}

_β

_{β β}

   

(6.c)

 

...,

5

3

₃ 3 2 ₅ 5 4

1

1

−

+

+

=

∂

∂

− − −

y

x

C

y

x

C

x

C

y

v

β β β β β β

 

 

(6.d)

 

Dengan

 

menggunakan

 

identitas

 

0!=1,

 

maka

 

C

₀a

=

C

_aa

=

1

,

 

C

₁a

=

a

dan

 

a

b a a b

C

C

=

₋

.

 

Selain

 

itu

  

 

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

−

−

−

−

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

)!

(

!

)!

))(

1

(

)...(

2

)(

1

(

)!

(

!

!

b

a

b

b

a

b

a

a

a

a

b

b

a

b

a

b

bC

_ba

 

 

 

 

 

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

−

−

−

−

=

)!

1

(

!

))

1

(

)...(

3

)(

2

)(

1

(

b

b

b

a

a

a

a

a

b

 

 

 

 

 

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

−

−

−

−

−

−

=

)!

1

(

))

1

(

)...(

3

)(

2

)(

1

(

))

1

(

(

b

b

a

a

a

a

a

b

a

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009    1 2 ) 1 2 ( 1 2 0 5 5 5 5 5 5 3 3 3 1 ) 1 ( ... ₊ − + + = − − − − _{− + + + =}

∑

₋

= j j

j k j j y x C y x C y x C y x C y x

u β β β β β β β β β β        

    Sehingga  j j j k j

j _{j C x y}

x

u _{2 1 2}

2 0 ) 2 ( ) 1 ( − − = − − = ∂

∂

_∑

_β β β      _(5.a) 

1 2 2 2 0 2 ) 1 ( − − =

∑

− = ∂

∂ j j

j k j j y x jC y

u _{β β}

       (5.b)   

  1 2 ) 1 ( 2 1 2 0 ) 1 2 ( ) 1 ( ₊ − + + = − − − = ∂ ∂

∑

j j

j k j j y x C j x

v _{β β β}

,      (5.c) 

  j j j k j j y x C j y

v _{2( 1) 2}

1 2 0 ) 1 2 ( ) 1 ( ₊ − + = + − = ∂

∂

_∑

β β        _(5.d) 

dengan   ⎥⎦ ⎥ ⎢⎣ ⎢ = 2 β

k . Dari   persamaan  (5.a)‐(5.b)  belum  terlihat  bahwa 

persamaan  tersebut  memenuhi  persamaan  Cauchy‐Riemann 

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ x v y u y v x u

dan .    Oleh  karena  itu  masing‐masing  turuna  parsial  pada persamaan (5.a)‐(5.d) dijabarkan  diperoleh  

(

2

)

₂ 3 2

(

4

)

₄ 5 4 ...,

1

0 − − + − +

= ∂ ∂ − − − y x C y x C x C x

u _{β β β β β β β β β}

    (6.a)  ...,

6 4

2

0− ₂ 2 + ₄ 4 3 + ₆ 6 5 +

= ∂ ∂ − − − y x C y x C y x C y

u β β β β β β    

(6.b)  ..., ) 5 ( ) 3 ( ) 1

( − ₁ 2 − − ₃ 4 3 + − ₅ 6 5 +

= ∂ ∂ − − − y x C y x C y x C x

v _{β β β β β β β β β}

    (6.c) 

..., 5

3 ₃ 3 2 ₅ 5 4

1

1 − + +

= ∂ ∂ − − − y x C y x C x C y

v β β β β β β    

(6.d)  Dengan  menggunakan  identitas  0!=1,  maka  C₀a =C_aa =1,  C₁a =adan  a

b a a

b C

C = ₋ . 

Selain itu  

  _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − − − − − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = )! ( ! )! ))( 1 ( )...( 2 )( 1 ( )! ( ! ! b a b b a b a a a a b b a b a b

bC_ba  

        _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − − − − − = )! 1 ( ! )) 1 ( )...( 3 )( 2 )( 1 ( b b b a a a a a b           _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − − − − − − − = )! 1 ( )) 1 ( )...( 3 )( 2 )( 1 ( )) 1 ( ( b b a a a a a b a  

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009   

Maka  didapatkan  2C₂β =

(

β −1

)

C₁β,3C₃β =

(

β−2

)

C₂β,4C₄β =

(

β −3

)

C₃β  dan 

seterusnya  sehingga  persamaan  (6.a)‐(6.d)  diperoleh  _⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

∂ ∂ − = ∂ ∂ ∂

∂ = ∂ ∂

x v y

u y

v x u

dan . 

Yang berarti w₁ memenuhi persamaan Cauchy‐Riemann.   

Cara  2.  Dalam  koordinat  polar  w₁  dapat  ditulis  sebagai  )

sin (cos

1 βθ βθ

β β

i r

z

w = = + . Denan menuliskan bagian riil dan bagian khayal  w₁ 

diperoleh  u(r,θ)=rβ cosβθ   dan  v(r,θ)=rβ sinβθ .  Sehingga 

θ βθ

β βθ

β β β

∂ ∂ = =

= ∂

∂ − v

r r

r r

r

u 1

cos 1

cos

1   

dan 

r u r r

r r

r v

∂ ∂ − = −

= =

∂

∂ _β β−1_{sinβθ β} β_sinβθ

.  Jadi memenuhi  persamaan  Cauchy‐ Riemann.  

Karena w₁ merupakan polinom berderajat β atau dapat juga disebut sebagai fungsi  pangkat,  maka  turunan  w₁ yaitu  w₁' =βzβ−1ada  untuk  setiap  z≠0∈C.  Jadi  w₁ 

merupakan pemetaan konformal.  

  Untuk β =1 maka diperolehw₁= z . Hasil pemetaan adalah gambar yang sama  karena fungsi pemetaan ini tidak mengubah bentuk gambar tetapi hanya menggantu  sumbu‐sumbu koordinat, yaitu sumbu x menjadi sumbu u dan sumbu y menjadi sumbu 

v berturut‐turut untuk bidang z dan bidang w.   Pada bagian selanjutnya ditunjukkan  untuk β =2.  

4.2 Hasil pemetaan 

α

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

z

w 1 , α =−β dan β =2 

  Untuk nilai β =2 diperoleh w₁ =z2 dan ini merupakan fungsi parabolik atau  fungsi  kuadrat.  Berdasarkan  persamaan  (4.1)  maka  w₁ =x2 +2ixy−y2.  Dengan  menuliskan bagian riil dan bagian khayal dari w₁ berturut‐turut diperoleh  

2 2

y x

u= −  dan v=2xy.       (7) 

Berdasarkan persamaan (7) maka persamaan garis  x=±apada bidang –z dipetakkan  sebagai keluarga parabola pada bidang‐w, yang ditunjukkan oleh persamaan (8.). Yaitu  karena  

ay

v=±2  sehingga 

a v y

2

±

=  dan u =a2 −y2 maka 

2 2 2 2 2

4

2 a

v a a v a

u ⎟ = −

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛± −

= . 

  (8.a) 

Untuk  persamaan  garis  y=±b pada  bidang‐z dipetakkan sebagai  suatu  keluarga  parabola pada bidang‐w, yaitu  

bx

v=±2  sehingga 

b v x

2

±

=  dan  2 2

b x

u= −  maka  2

2 2 2 2

4

2 b b

v b b v

u ⎟ − = −

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛±

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009   

Keluarga parabola persamaan (8.a)‐(8.b) merupakan sistem ortogonal (Gordon,1963).  Masing‐masing dari bayangan garis x=±a dan  y=±b dan persegi ditunjukkan pada  Gambar 4.1‐4.3. 

 

 

Gambar 11. Bayangan garis  x=±a dany=±b  beserta  bayangan persegi  ABCD  dengan fungsi  2

z

w= . 

 

Gambar 12. Bayangan garis x=±a dan y =±b untuk a=1,2 dan b=a,2 serta w= z2. 

 

Gambar 13. Bayangan sejumlah persegi berukuran 14 x 14 dengan fungsi _w= _z2_.  4.3 Pemetaan 

α

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

z

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009   

  Karena α∈(0,1), maka dapat dituliskan 

b a =

α  dengan a,b∈N, a<b, sehingga  diperoleh   b a z z w ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

= 1 1

α

. 

Dalam koordinat polar dapat diperoleh  ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

= _θ − θ θ

b a i b a r re w b a b a

i cos sin

1

. Dengan 

menuliskan bagian riil dan khayalnya diperoleh  θ

b a r u b a cos −

= ,    θ

b a r v b a sin − − = .   Sehingga   θ b a r b a r

u _ba

cos 1 − − − = ∂ ∂

;   θ

θ b

a r

b a

u _ba

sin − − = ∂ ∂

;        (9.a) 

θ b a r b a r

v _ba

sin 1 − − = ∂ ∂

;  θ

θ b

a r

b a

v _ba

cos − − = ∂ ∂

.        (9.b) 

Jadi  persamaan  Cauchy‐Riemann  dipenuhi.  Karena  z C

z b a w b a ∈ ∀ ≠ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − , 0 1 ' 1 maka  terbukti  α ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = z

w 1 dengan α∈(0,1) merupakan pemetaan konformal.  

   Untuk 

2 1

=

α ,  maka  diperoleh  bentuk  pemetaan 

z

w= 1 .  Dengan  menggunakan koordinat polar diperoleh  

( )

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = = − 2 2 sin 2 2 cos 1 2 /

1 θ π θ π

θ k

i k r

re

w i ,  k = 0,1.     (10) 

Sehingga untuk k = 0 diperoleh nilai utama _⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = 2 sin 2 cos 1 0 θ θ i r

w_k dan untuk 

nilai  k  =  1  diperoleh

( )

_⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = = − = 2 2 sin 2 2 cos 1 2 / 1 1 π θ π θ θ i r re

w_k i .  Dengan 

mengingat bahwa  

sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b dan cos(a+b)=cos a cos b – sin a sin b , maka  

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = = 2 sin 2 cos 1 1 θ θ i r

w_k = −w_k=0. 

Dengan menuliskan  w_k=0 =u+iv , maka bagian riil dan bagian khayal dapat ditulis  sebagai     2 cos 1 θ r

u =  dan 

2 sin

1 θ

r

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009   

Dengan menuliskan  persamaan  (11)  dalam  x dan  y diperoleh 

2 cos 1

1 + θ

= r

u . 

Karena 

2 2 cos 1

cos2θ = + θ  _diperoleh  

2 1

2 1 2 1 2 1

1 2 2

2 2

x y x y x x r r r

x r r r x r

u + +

+ = + = + =

+

= . 

Secara sama, karena 

2 2 cos 1

sin2θ = − θ  diperoleh  

2 1

2 1 2

1 2

1

1 2 2

2 2

x y x y x x

r r r

x r r r

x

r

v + −

+ − = − − = − −

= − −

= . 

Sehingga  untuk  setiap  titik  (a,b)  pada  bidang‐z  akan  dipetakkan  menjadi  titik 

⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎜ ⎝

⎛ _{+ −}

+ − + +

+ 2

1 , 2

1 2 2

2 2 2

2 2 2

a b a b a b b a b a

 pada bidang‐w. Dengan mengambil  nilai utama w_k=0 yaitu 0≤θ <2π maka bayangan sejumlah persegi berukuran 14 x 14  ditunjukkan pada Gambar 14 pada dua cabang.  

 

Gambar 14 Hasil pemetaan w_k=0= z

1

 untuk 14 x14 persegi. 

Kita dapat melakukan pemetaan untuk berbagai nilai α  yang lain dan menyusun aspek  matematis sebagaimana di atas. Untuk nilai 

2 1

− =

α dapat ditunjukkan hasil pemetaan  yang ditunjukkan pada Gambar 15. 

 

Gambar 15. Hasil pemetaan persegi 14x14 dengan 

α

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

z

w 1 dengan 

2 1

− = α .  5 KESIMPULAN DAN SARAN 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009   

  Pada  makalah  ini  telah  ditunjukkan  hasil  pemetaan  persegi  n  x  n  dari 

α

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

z

w 1 untuk  α∈Z−(himpunan  bilangan  bulat  negatif)  dan  α∈(0,1).  Diperoleh bahwa hasil pemetaan persegi n x n untuk α =2 merupakan keluarga  parabola. Sedangkan pemetaan persegi n x n   dengan 

2 1

=

α  merupakan bentuk 

lemniscate  yang  terpotong‐potong.  Beberapa  pengembangan  dapat  dilakukan  dengan melakukan pemetaan tak konformal untuk bidang persegi. 

   

DAFTAR PUSTAKA 

Churchill, R. V. 1960. Complex Variables and Applications,2nd Edition. McGraw‐Hill  Book Company. New York. 

Gordon, L. I dan Sim Lasher.  1963. Elements of Complex Variables.  Holt, Rinehart and  Winston, Inc. 

Parhusip H. A., dan Sulistyono,  Pemetaaan Konformal dan Modifikasinya untuk suatu  Bidang Persegi, Prosiding Seminar Nasioanal Matematika UNPAR 5 September 2009,  hal.MT 250‐259, Vol 4. Th. 2009, ISSN 1907‐3909. 

 

 Pustaka Web 

web1. http://mathworld.wolfram.com/ConformalMapping.html   

View publication stats View publication stats