Materi Pertemuan 1 Persamaan Diferensial
P❡♥❞❛❤✉❧✉❛♥
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❙♦❧✉s✐ ❞❛♥ ◆❆❙❇
❘❡✈✐❡✇ ❑❛❧❦✉❧✉s ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❘❡❢❡r❡♥s✐
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
P❡rt❡♠✉❛♥ ■
◆✐❦❡♥❛s✐❤ ❇✐♥❛t❛r✐
❏✉r✉s❛♥ P❡♥❞✐❞✐❦❛♥ ▼❛t❡♠❛t✐❦❛ ❋▼■P❆ ❯◆❨
❙❡♣t❡♠❜❡r ✽✱ ✷✵✶✻
◆✐❦❡♥❛s✐❤ ❇✐♥❛t❛r✐
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
P❡♥❞❛❤✉❧✉❛♥
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❙♦❧✉s✐ ❞❛♥ ◆❆❙❇
❘❡✈✐❡✇ ❑❛❧❦✉❧✉s ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❘❡❢❡r❡♥s✐
❙❦②❞✐✈❡r
❋✐❣✉r❡✿ P❡♥❡r❥✉♥ P❛②✉♥❣
◆✐❦❡♥❛s✐❤ ❇✐♥❛t❛r✐
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
P❡♥❞❛❤✉❧✉❛♥
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❙♦❧✉s✐ ❞❛♥ ◆❆❙❇
❘❡✈✐❡✇ ❑❛❧❦✉❧✉s ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❘❡❢❡r❡♥s✐
❙❦②❞✐✈❡r
❆s✉♠s✐ ✉♥t✉❦ ♣❡r❣❡r❛❦❛♥ s❦②❞✐✈❡r
✶ ❣❛②❛ ❣r❛✈✐t❛s✐
✷ ❣❛②❛ ❤❛♠❜❛t ❦❛r❡♥❛ ❛t♠♦s❢❡r
❍✉❦✉♠ ◆❡✇t♦♥ ■■
mg − kv ✷ = m
◆✐❦❡♥❛s✐❤ ❇✐♥❛t❛r✐
d ✷v
dt ✷
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
P♦♣✉❧❛t✐♦♥
P❡♥❞❛❤✉❧✉❛♥
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❙♦❧✉s✐ ❞❛♥ ◆❆❙❇
❘❡✈✐❡✇ ❑❛❧❦✉❧✉s ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❘❡❢❡r❡♥s✐
❤tt♣✿✴✴✇✇✇✳❝❡♥s✉s✳❣♦✈✴♣♦♣❝❧♦❝❦✴
❋✐❣✉r❡✿ P❡rt✉♠❜✉❤❛♥ P♦♣✉❧❛s✐
◆✐❦❡♥❛s✐❤ ❇✐♥❛t❛r✐
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
P❡♥❞❛❤✉❧✉❛♥
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❙♦❧✉s✐ ❞❛♥ ◆❆❙❇
❘❡✈✐❡✇ ❑❛❧❦✉❧✉s ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❘❡❢❡r❡♥s✐
❯✳❙ ❈❡♥s✉s
◆✐❦❡♥❛s✐❤ ❇✐♥❛t❛r✐
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
P♦♣✉❧❛t✐♦♥
P❡♥❞❛❤✉❧✉❛♥
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❙♦❧✉s✐ ❞❛♥ ◆❆❙❇
❘❡✈✐❡✇ ❑❛❧❦✉❧✉s ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❘❡❢❡r❡♥s✐
❚❤♦♠❛s ▼❛❧t✉s✱ ❆♥ ❊ss❛② ♦♥ t❤❡ ♣r✐♥❝✐♣❧❡ ♦❢ P♦♣✉❧❛t✐♦♥✱ ✶✼✾✽
✏P♦♣✉❧❛t✐♦♥✱ ✇❤❡♥ ✉♥❝❤❡❝❦❡❞✱ ✐♥❝r❡❛s❡s ✐♥ ❛ ❣❡♦♠❡tr✐❝❛❧ r❛t✐♦✳✑
◆✐❦❡♥❛s✐❤ ❇✐♥❛t❛r✐
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
P♦♣✉❧❛t✐♦♥
P❡♥❞❛❤✉❧✉❛♥
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❙♦❧✉s✐ ❞❛♥ ◆❆❙❇
❘❡✈✐❡✇ ❑❛❧❦✉❧✉s ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❘❡❢❡r❡♥s✐
❚❤♦♠❛s ▼❛❧t✉s✱ ❆♥ ❊ss❛② ♦♥ t❤❡ ♣r✐♥❝✐♣❧❡ ♦❢ P♦♣✉❧❛t✐♦♥✱ ✶✼✾✽
✏P♦♣✉❧❛t✐♦♥✱ ✇❤❡♥ ✉♥❝❤❡❝❦❡❞✱ ✐♥❝r❡❛s❡s ✐♥ ❛ ❣❡♦♠❡tr✐❝❛❧ r❛t✐♦✳✑
❆s✉♠s✐
▲❛❥✉ ♣❡rt✉♠❜✉❤❛♥ ❞❛r✐ ♣♦♣✉❧❛s✐ ♣r♦♣♦rs✐♦♥❛❧ t❡r❤❛❞❛♣ ♣♦♣✉❧❛s✐♥②❛✳
◆✐❦❡♥❛s✐❤ ❇✐♥❛t❛r✐
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
P♦♣✉❧❛t✐♦♥
P❡♥❞❛❤✉❧✉❛♥
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❙♦❧✉s✐ ❞❛♥ ◆❆❙❇
❘❡✈✐❡✇ ❑❛❧❦✉❧✉s ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❘❡❢❡r❡♥s✐
❚❤♦♠❛s ▼❛❧t✉s✱ ❆♥ ❊ss❛② ♦♥ t❤❡ ♣r✐♥❝✐♣❧❡ ♦❢ P♦♣✉❧❛t✐♦♥✱ ✶✼✾✽
✏P♦♣✉❧❛t✐♦♥✱ ✇❤❡♥ ✉♥❝❤❡❝❦❡❞✱ ✐♥❝r❡❛s❡s ✐♥ ❛ ❣❡♦♠❡tr✐❝❛❧ r❛t✐♦✳✑
❆s✉♠s✐
▲❛❥✉ ♣❡rt✉♠❜✉❤❛♥ ❞❛r✐ ♣♦♣✉❧❛s✐ ♣r♦♣♦rs✐♦♥❛❧ t❡r❤❛❞❛♣ ♣♦♣✉❧❛s✐♥②❛✳
▼♦❞❡❧
dP
dt
= kP,
◆✐❦❡♥❛s✐❤ ❇✐♥❛t❛r✐
P>✵
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❚✐♣❡ ❱❛r✐❛❜❡❧
P❡♥❞❛❤✉❧✉❛♥
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❙♦❧✉s✐ ❞❛♥ ◆❆❙❇
❘❡✈✐❡✇ ❑❛❧❦✉❧✉s ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❘❡❢❡r❡♥s✐
❚✐❣❛ t✐♣❡ ❞❛s❛r ✈❛r✐❛❜❡❧ ②❛♥❣ ❞✐❣✉♥❛❦❛♥ ❞❛❧❛♠ ♠♦❞❡❧ ♣❡rs❛♠❛❛♥
❞✐❢❡r❡♥s✐❛❧ ❛❞❛❧❛❤
✶ ❱❛r✐❛❜❡❧ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t
◆✐❦❡♥❛s✐❤ ❇✐♥❛t❛r✐
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❚✐♣❡ ❱❛r✐❛❜❡❧
P❡♥❞❛❤✉❧✉❛♥
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❙♦❧✉s✐ ❞❛♥ ◆❆❙❇
❘❡✈✐❡✇ ❑❛❧❦✉❧✉s ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❘❡❢❡r❡♥s✐
❚✐❣❛ t✐♣❡ ❞❛s❛r ✈❛r✐❛❜❡❧ ②❛♥❣ ❞✐❣✉♥❛❦❛♥ ❞❛❧❛♠ ♠♦❞❡❧ ♣❡rs❛♠❛❛♥
❞✐❢❡r❡♥s✐❛❧ ❛❞❛❧❛❤
✶ ❱❛r✐❛❜❡❧ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t
✷ ❱❛r✐❛❜❡❧ ❞❡♣❡♥❞❡♥t
◆✐❦❡♥❛s✐❤ ❇✐♥❛t❛r✐
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❚✐♣❡ ❱❛r✐❛❜❡❧
P❡♥❞❛❤✉❧✉❛♥
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❙♦❧✉s✐ ❞❛♥ ◆❆❙❇
❘❡✈✐❡✇ ❑❛❧❦✉❧✉s ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❘❡❢❡r❡♥s✐
❚✐❣❛ t✐♣❡ ❞❛s❛r ✈❛r✐❛❜❡❧ ②❛♥❣ ❞✐❣✉♥❛❦❛♥ ❞❛❧❛♠ ♠♦❞❡❧ ♣❡rs❛♠❛❛♥
❞✐❢❡r❡♥s✐❛❧ ❛❞❛❧❛❤
✶ ❱❛r✐❛❜❡❧ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t
✷ ❱❛r✐❛❜❡❧ ❞❡♣❡♥❞❡♥t
✸ P❛r❛♠❡t❡r
◆✐❦❡♥❛s✐❤ ❇✐♥❛t❛r✐
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
P❡♥❞❛❤✉❧✉❛♥
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❙♦❧✉s✐ ❞❛♥ ◆❆❙❇
❘❡✈✐❡✇ ❑❛❧❦✉❧✉s ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❘❡❢❡r❡♥s✐
❉❡✜♥✐s✐ P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❛❞❛❧❛❤ ♣❡rs❛♠❛❛♥ ②❛♥❣ ♠❡♠✉❛t s❛t✉ ❛t❛✉ ❧❡❜✐❤ ✈❛r✐❛❜❡❧ ❞❡♣❡♥❞❡♥t
t❡r❤❛❞❛♣ s❛t✉ ❛t❛✉ ❧❡❜✐❤ ✈❛r✐❛❜❡❧ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t✳
❈♦♥t♦❤
✶
✷
✸
✹
d ✷y
dx ✷
+ xy
dy
dx
✷
✷
d ✹x
+ ✺ ddt ✷x + ✸x
dt ✹
∂v
∂v
∂s + ∂t = v
∂✷u
∂✷u
∂✷u
+ ∂y
✷ + ∂z ✷
∂x ✷
=✵
= s✐♥ t
=✵
◆✐❦❡♥❛s✐❤ ❇✐♥❛t❛r✐
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
P❡♥❞❛❤✉❧✉❛♥
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❙♦❧✉s✐ ❞❛♥ ◆❆❙❇
❘❡✈✐❡✇ ❑❛❧❦✉❧✉s ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❘❡❢❡r❡♥s✐
❑❧❛s✐✜❦❛s✐
❜❡r❞❛s❛r❦❛♥ ❜❛♥②❛❦♥②❛ ✈❛r✐❛❜❡❧ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t✱ ♣❡rs❛♠❛❛♥ ❞✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❞✐❜❛❣✐ ♠❡♥❥❛❞✐ ❞✉❛ ❥❡♥✐s ②❛✐t✉ ✿
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧ ❊❧❡♠❡♥t❡r ✭P❉❊✮
◆✐❦❡♥❛s✐❤ ❇✐♥❛t❛r✐
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
P❡♥❞❛❤✉❧✉❛♥
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❙♦❧✉s✐ ❞❛♥ ◆❆❙❇
❘❡✈✐❡✇ ❑❛❧❦✉❧✉s ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❘❡❢❡r❡♥s✐
❑❧❛s✐✜❦❛s✐
❜❡r❞❛s❛r❦❛♥ ❜❛♥②❛❦♥②❛ ✈❛r✐❛❜❡❧ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t✱ ♣❡rs❛♠❛❛♥ ❞✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❞✐❜❛❣✐ ♠❡♥❥❛❞✐ ❞✉❛ ❥❡♥✐s ②❛✐t✉ ✿
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧ ❊❧❡♠❡♥t❡r ✭P❉❊✮
❉❡✜♥✐s✐
P❉❊ ❛❞❛❧❛❤ ♣❡rs❛♠❛❛♥ ❞✐❢❡r❡♥s✐❛❧ ❞❛r✐ s❛t✉ ❛t❛✉ ❧❡❜✐❤ ✈❛r✐❛❜❡❧
❞❡♣❡♥❞❡♥t t❡r❤❛❞❛♣ s❛t✉ ✈❛r✐❛❜❡❧ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t✳
◆✐❦❡♥❛s✐❤ ❇✐♥❛t❛r✐
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
P❡♥❞❛❤✉❧✉❛♥
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❙♦❧✉s✐ ❞❛♥ ◆❆❙❇
❘❡✈✐❡✇ ❑❛❧❦✉❧✉s ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❘❡❢❡r❡♥s✐
❑❧❛s✐✜❦❛s✐
❜❡r❞❛s❛r❦❛♥ ❜❛♥②❛❦♥②❛ ✈❛r✐❛❜❡❧ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t✱ ♣❡rs❛♠❛❛♥ ❞✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❞✐❜❛❣✐ ♠❡♥❥❛❞✐ ❞✉❛ ❥❡♥✐s ②❛✐t✉ ✿
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧ ❊❧❡♠❡♥t❡r ✭P❉❊✮
❉❡✜♥✐s✐
P❉❊ ❛❞❛❧❛❤ ♣❡rs❛♠❛❛♥ ❞✐❢❡r❡♥s✐❛❧ ❞❛r✐ s❛t✉ ❛t❛✉ ❧❡❜✐❤ ✈❛r✐❛❜❡❧
❞❡♣❡♥❞❡♥t t❡r❤❛❞❛♣ s❛t✉ ✈❛r✐❛❜❡❧ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t✳
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧ P❛rs✐❛❧ ✭P❉P✮
◆✐❦❡♥❛s✐❤ ❇✐♥❛t❛r✐
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
P❡♥❞❛❤✉❧✉❛♥
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❙♦❧✉s✐ ❞❛♥ ◆❆❙❇
❘❡✈✐❡✇ ❑❛❧❦✉❧✉s ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❘❡❢❡r❡♥s✐
❑❧❛s✐✜❦❛s✐
❜❡r❞❛s❛r❦❛♥ ❜❛♥②❛❦♥②❛ ✈❛r✐❛❜❡❧ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t✱ ♣❡rs❛♠❛❛♥ ❞✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❞✐❜❛❣✐ ♠❡♥❥❛❞✐ ❞✉❛ ❥❡♥✐s ②❛✐t✉ ✿
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧ ❊❧❡♠❡♥t❡r ✭P❉❊✮
❉❡✜♥✐s✐
P❉❊ ❛❞❛❧❛❤ ♣❡rs❛♠❛❛♥ ❞✐❢❡r❡♥s✐❛❧ ❞❛r✐ s❛t✉ ❛t❛✉ ❧❡❜✐❤ ✈❛r✐❛❜❡❧
❞❡♣❡♥❞❡♥t t❡r❤❛❞❛♣ s❛t✉ ✈❛r✐❛❜❡❧ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t✳
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧ P❛rs✐❛❧ ✭P❉P✮
❉❡✜♥✐s✐
P❉P ❛❞❛❧❛❤ ♣❡rs❛♠❛❛♥ ❞✐❢❡r❡♥s✐❛❧ ❞❛r✐ s❛t✉ ❛t❛✉ ❧❡❜✐❤ ✈❛r✐❛❜❡❧
❞❡♣❡♥❞❡♥t t❡r❤❛❞❛♣ ❧❡❜✐❤ ❞❛r✐ s❛t✉ ✈❛r✐❛❜❡❧ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t✳
◆✐❦❡♥❛s✐❤ ❇✐♥❛t❛r✐
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
P❡♥❞❛❤✉❧✉❛♥
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❙♦❧✉s✐ ❞❛♥ ◆❆❙❇
❘❡✈✐❡✇ ❑❛❧❦✉❧✉s ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❘❡❢❡r❡♥s✐
❑❧❛s✐✜❦❛s✐
❇❡r❞❛s❛r❦❛♥ s✐❢❛t ❧✐♥❡❛r✐t❛s♥②❛✱ ♣❡rs❛♠❛❛♥ ❞✐❢❡r❡♥s✐❛❧ ❥✉❣❛ ❞✐❜❛❣✐
♠❡♥❥❛❞✐ ❞✉❛ ②❛✐t✉ ✿
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧ ▲✐♥❡❛r
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧ ◆♦♥❧✐♥❡❛r
❈♦♥t♦❤
d ✷y
dx ✷
d ✷y
dx ✷
d ✷y
dx ✷
d ✷y
dx ✷
✷
+ ✺ dy
dx + ✻y = ✵
+ ✺ dy
+ ✻y = ✵
dx
✸
+ ✺ dy
+ ✻y = ✵
dx
+ ✺y dy
dx + ✻y = ✵
◆✐❦❡♥❛s✐❤ ❇✐♥❛t❛r✐
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
P❡♥❞❛❤✉❧✉❛♥
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❙♦❧✉s✐ ❞❛♥ ◆❆❙❇
❘❡✈✐❡✇ ❑❛❧❦✉❧✉s ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❘❡❢❡r❡♥s✐
❖r❞❡r
❖r❞❡r ❞❛r✐ s✉❛t✉ ♣❡rs❛♠❛❛♥ ❞✐❢❡r❡♥s✐❛❧ ❛❞❛❧❛❤ ♥✐❧❛✐ t✉r✉♥❛♥
t❡rt✐♥❣❣✐ ❞❛r✐ s✉❛t✉ ♣❡rs❛♠❛❛♥ ❞✐❢❡r❡♥❡✐❛❧✳
❈♦♥t♦❤
d ✷y
dx ✷
d ✷y
dx ✷
d ✷y
dx ✷
d ✷y
dx ✷
✷
+ ✺ dy
dx + ✻y = ✵
+ ✻y = ✵
+ ✺ dy
dx
✸
+ ✺ dy
+ ✻y = ✵
dx
+ ✺y dy
dx + ✻y = ✵
◆✐❦❡♥❛s✐❤ ❇✐♥❛t❛r✐
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
P❡♥❞❛❤✉❧✉❛♥
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❙♦❧✉s✐ ❞❛♥ ◆❆❙❇
❘❡✈✐❡✇ ❑❛❧❦✉❧✉s ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❘❡❢❡r❡♥s✐
❙♦❧✉s✐
P❡rs❛♠❛❛♥ ❞✐❢❡r❡♥s✐❛❧ ♦r❞❡r ♥ s❡❝❛r❛ ✉♠✉♠ ❞❛♣❛t ❞✐♥②❛t❛❦❛♥
❞❛❧♠❛ ❜❡♥t✉❦
d ny
dy
F x, y , , · · · , n
dx
dx
❞❡♥❣❛♥
F
=
✵
✭✶✮
❛❞❛❧❛❤ ❢✉♥❣s✐ r❡❛❧✳
❋✉♥❣s✐ ❢ s❡❞❡♠✐❦✐❛♥ s❡❤✐♥❣❣❛
y = f (x)
♠❡♠❡♥✉❤✐ P❡rs❛♠❛❛♥
✶ ❞✐s❡❜✉t ❞❡♥❣❛♥ s♦❧✉s✐ ❡❦s♣❧✐s✐t✳
❘❡❧❛s✐
g (x, y ) = ✵
❞✐s❡❜✉t s♦❧✉s✐ ✐♠♣❧✐s✐t ❥✐❦❛ ♠❡♠❡♥✉❤✐
P❡rs❛♠❛❛♥ ✶✳
◆✐❦❡♥❛s✐❤ ❇✐♥❛t❛r✐
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❈♦♥t♦❤
P❡♥❞❛❤✉❧✉❛♥
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❙♦❧✉s✐ ❞❛♥ ◆❆❙❇
❘❡✈✐❡✇ ❑❛❧❦✉❧✉s ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❘❡❢❡r❡♥s✐
❇✉t❦✐❦❛♥ ❜❛❤✇❛ ❢✉♥❣s✐ ❢ ②❛♥❣ t❡r❞❡✜♥✐s✐ ❞✐ s❡t✐❛♣ ❜✐❧❛♥❣❛♥ r❡❛❧ ①
f (x) = ✷ s✐♥ x + ✸ ❝♦s x
♠❡r✉♣❛❦❛♥ s♦❧✉s✐ ❡❦s♣❧✐s✐t ❞❛r✐ ♣❡rs❛♠❛❛♥ ❞✐❢❡r❡♥s✐❛❧
d ✷y
dx ✷ + y = ✵
◆✐❦❡♥❛s✐❤ ❇✐♥❛t❛r✐
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
P❡♥❞❛❤✉❧✉❛♥
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❙♦❧✉s✐ ❞❛♥ ◆❆❙❇
❘❡✈✐❡✇ ❑❛❧❦✉❧✉s ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❘❡❢❡r❡♥s✐
◆✐❧❛✐ ❆✇❛❧ ❞❛♥ ❙②❛r❛t ❇❛t❛s
❋✐❣✉r❡✿ ❙②❛r❛t t❛♠❜❛❤❛♥
◆✐❦❡♥❛s✐❤ ❇✐♥❛t❛r✐
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
P❡♥❞❛❤✉❧✉❛♥
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❙♦❧✉s✐ ❞❛♥ ◆❆❙❇
❘❡✈✐❡✇ ❑❛❧❦✉❧✉s ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❘❡❢❡r❡♥s✐
❙♦❛❧ ✶
❤✐t✉♥❣❧❛❤ ❞❡r✐✈❛t✐❢ ❞❛r✐ y = e ✷t ❝♦s ✸t
◆✐❦❡♥❛s✐❤ ❇✐♥❛t❛r✐
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
P❡♥❞❛❤✉❧✉❛♥
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❙♦❧✉s✐ ❞❛♥ ◆❆❙❇
❘❡✈✐❡✇ ❑❛❧❦✉❧✉s ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❘❡❢❡r❡♥s✐
❙♦❛❧ ✷
❍✐t✉♥❣❧❛❤ ❞❡r✐✈❛t✐❢ ❞❛r✐ y = ✶−tt ✷
◆✐❦❡♥❛s✐❤ ❇✐♥❛t❛r✐
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
P❡♥❞❛❤✉❧✉❛♥
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❙♦❧✉s✐ ❞❛♥ ◆❆❙❇
❘❡✈✐❡✇ ❑❛❧❦✉❧✉s ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❘❡❢❡r❡♥s✐
❙♦❛❧ ✸
❚❡♥t✉❦❛♥ ❜❡♥t✉❦ ❦✉r✈❛ ②❛♥❣ ❞✐♣❛r❛♠❡tr✐s❛s✐ ❞✐ ❜✐❞❛♥❣✲①② ❜❡r✐❦✉t ✿
x = ✸ s✐♥ ✷t, y = ❝♦s ✷t, ✵ ≤ t ≤ π
◆✐❦❡♥❛s✐❤ ❇✐♥❛t❛r✐
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
P❡♥❞❛❤✉❧✉❛♥
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❙♦❧✉s✐ ❞❛♥ ◆❆❙❇
❘❡✈✐❡✇ ❑❛❧❦✉❧✉s ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❘❡❢❡r❡♥s✐
❙♦❛❧ ✹
❉❛r✐ ❦❡❧✐♠❛ ❢✉♥❣s✐ ❜❡r✐❦✉t✱ ②❛♥❣ ♠❡r✉♣❛❦❛♥ ❢✉♥❣s✐ ♥❛✐❦ ♣❛❞❛
✐♥t❡r✈❛❧ ✵
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❙♦❧✉s✐ ❞❛♥ ◆❆❙❇
❘❡✈✐❡✇ ❑❛❧❦✉❧✉s ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❘❡❢❡r❡♥s✐
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
P❡rt❡♠✉❛♥ ■
◆✐❦❡♥❛s✐❤ ❇✐♥❛t❛r✐
❏✉r✉s❛♥ P❡♥❞✐❞✐❦❛♥ ▼❛t❡♠❛t✐❦❛ ❋▼■P❆ ❯◆❨
❙❡♣t❡♠❜❡r ✽✱ ✷✵✶✻
◆✐❦❡♥❛s✐❤ ❇✐♥❛t❛r✐
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
P❡♥❞❛❤✉❧✉❛♥
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❙♦❧✉s✐ ❞❛♥ ◆❆❙❇
❘❡✈✐❡✇ ❑❛❧❦✉❧✉s ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❘❡❢❡r❡♥s✐
❙❦②❞✐✈❡r
❋✐❣✉r❡✿ P❡♥❡r❥✉♥ P❛②✉♥❣
◆✐❦❡♥❛s✐❤ ❇✐♥❛t❛r✐
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
P❡♥❞❛❤✉❧✉❛♥
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❙♦❧✉s✐ ❞❛♥ ◆❆❙❇
❘❡✈✐❡✇ ❑❛❧❦✉❧✉s ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❘❡❢❡r❡♥s✐
❙❦②❞✐✈❡r
❆s✉♠s✐ ✉♥t✉❦ ♣❡r❣❡r❛❦❛♥ s❦②❞✐✈❡r
✶ ❣❛②❛ ❣r❛✈✐t❛s✐
✷ ❣❛②❛ ❤❛♠❜❛t ❦❛r❡♥❛ ❛t♠♦s❢❡r
❍✉❦✉♠ ◆❡✇t♦♥ ■■
mg − kv ✷ = m
◆✐❦❡♥❛s✐❤ ❇✐♥❛t❛r✐
d ✷v
dt ✷
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
P♦♣✉❧❛t✐♦♥
P❡♥❞❛❤✉❧✉❛♥
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❙♦❧✉s✐ ❞❛♥ ◆❆❙❇
❘❡✈✐❡✇ ❑❛❧❦✉❧✉s ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❘❡❢❡r❡♥s✐
❤tt♣✿✴✴✇✇✇✳❝❡♥s✉s✳❣♦✈✴♣♦♣❝❧♦❝❦✴
❋✐❣✉r❡✿ P❡rt✉♠❜✉❤❛♥ P♦♣✉❧❛s✐
◆✐❦❡♥❛s✐❤ ❇✐♥❛t❛r✐
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
P❡♥❞❛❤✉❧✉❛♥
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❙♦❧✉s✐ ❞❛♥ ◆❆❙❇
❘❡✈✐❡✇ ❑❛❧❦✉❧✉s ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❘❡❢❡r❡♥s✐
❯✳❙ ❈❡♥s✉s
◆✐❦❡♥❛s✐❤ ❇✐♥❛t❛r✐
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
P♦♣✉❧❛t✐♦♥
P❡♥❞❛❤✉❧✉❛♥
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❙♦❧✉s✐ ❞❛♥ ◆❆❙❇
❘❡✈✐❡✇ ❑❛❧❦✉❧✉s ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❘❡❢❡r❡♥s✐
❚❤♦♠❛s ▼❛❧t✉s✱ ❆♥ ❊ss❛② ♦♥ t❤❡ ♣r✐♥❝✐♣❧❡ ♦❢ P♦♣✉❧❛t✐♦♥✱ ✶✼✾✽
✏P♦♣✉❧❛t✐♦♥✱ ✇❤❡♥ ✉♥❝❤❡❝❦❡❞✱ ✐♥❝r❡❛s❡s ✐♥ ❛ ❣❡♦♠❡tr✐❝❛❧ r❛t✐♦✳✑
◆✐❦❡♥❛s✐❤ ❇✐♥❛t❛r✐
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
P♦♣✉❧❛t✐♦♥
P❡♥❞❛❤✉❧✉❛♥
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❙♦❧✉s✐ ❞❛♥ ◆❆❙❇
❘❡✈✐❡✇ ❑❛❧❦✉❧✉s ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❘❡❢❡r❡♥s✐
❚❤♦♠❛s ▼❛❧t✉s✱ ❆♥ ❊ss❛② ♦♥ t❤❡ ♣r✐♥❝✐♣❧❡ ♦❢ P♦♣✉❧❛t✐♦♥✱ ✶✼✾✽
✏P♦♣✉❧❛t✐♦♥✱ ✇❤❡♥ ✉♥❝❤❡❝❦❡❞✱ ✐♥❝r❡❛s❡s ✐♥ ❛ ❣❡♦♠❡tr✐❝❛❧ r❛t✐♦✳✑
❆s✉♠s✐
▲❛❥✉ ♣❡rt✉♠❜✉❤❛♥ ❞❛r✐ ♣♦♣✉❧❛s✐ ♣r♦♣♦rs✐♦♥❛❧ t❡r❤❛❞❛♣ ♣♦♣✉❧❛s✐♥②❛✳
◆✐❦❡♥❛s✐❤ ❇✐♥❛t❛r✐
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
P♦♣✉❧❛t✐♦♥
P❡♥❞❛❤✉❧✉❛♥
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❙♦❧✉s✐ ❞❛♥ ◆❆❙❇
❘❡✈✐❡✇ ❑❛❧❦✉❧✉s ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❘❡❢❡r❡♥s✐
❚❤♦♠❛s ▼❛❧t✉s✱ ❆♥ ❊ss❛② ♦♥ t❤❡ ♣r✐♥❝✐♣❧❡ ♦❢ P♦♣✉❧❛t✐♦♥✱ ✶✼✾✽
✏P♦♣✉❧❛t✐♦♥✱ ✇❤❡♥ ✉♥❝❤❡❝❦❡❞✱ ✐♥❝r❡❛s❡s ✐♥ ❛ ❣❡♦♠❡tr✐❝❛❧ r❛t✐♦✳✑
❆s✉♠s✐
▲❛❥✉ ♣❡rt✉♠❜✉❤❛♥ ❞❛r✐ ♣♦♣✉❧❛s✐ ♣r♦♣♦rs✐♦♥❛❧ t❡r❤❛❞❛♣ ♣♦♣✉❧❛s✐♥②❛✳
▼♦❞❡❧
dP
dt
= kP,
◆✐❦❡♥❛s✐❤ ❇✐♥❛t❛r✐
P>✵
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❚✐♣❡ ❱❛r✐❛❜❡❧
P❡♥❞❛❤✉❧✉❛♥
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❙♦❧✉s✐ ❞❛♥ ◆❆❙❇
❘❡✈✐❡✇ ❑❛❧❦✉❧✉s ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❘❡❢❡r❡♥s✐
❚✐❣❛ t✐♣❡ ❞❛s❛r ✈❛r✐❛❜❡❧ ②❛♥❣ ❞✐❣✉♥❛❦❛♥ ❞❛❧❛♠ ♠♦❞❡❧ ♣❡rs❛♠❛❛♥
❞✐❢❡r❡♥s✐❛❧ ❛❞❛❧❛❤
✶ ❱❛r✐❛❜❡❧ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t
◆✐❦❡♥❛s✐❤ ❇✐♥❛t❛r✐
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❚✐♣❡ ❱❛r✐❛❜❡❧
P❡♥❞❛❤✉❧✉❛♥
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❙♦❧✉s✐ ❞❛♥ ◆❆❙❇
❘❡✈✐❡✇ ❑❛❧❦✉❧✉s ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❘❡❢❡r❡♥s✐
❚✐❣❛ t✐♣❡ ❞❛s❛r ✈❛r✐❛❜❡❧ ②❛♥❣ ❞✐❣✉♥❛❦❛♥ ❞❛❧❛♠ ♠♦❞❡❧ ♣❡rs❛♠❛❛♥
❞✐❢❡r❡♥s✐❛❧ ❛❞❛❧❛❤
✶ ❱❛r✐❛❜❡❧ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t
✷ ❱❛r✐❛❜❡❧ ❞❡♣❡♥❞❡♥t
◆✐❦❡♥❛s✐❤ ❇✐♥❛t❛r✐
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❚✐♣❡ ❱❛r✐❛❜❡❧
P❡♥❞❛❤✉❧✉❛♥
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❙♦❧✉s✐ ❞❛♥ ◆❆❙❇
❘❡✈✐❡✇ ❑❛❧❦✉❧✉s ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❘❡❢❡r❡♥s✐
❚✐❣❛ t✐♣❡ ❞❛s❛r ✈❛r✐❛❜❡❧ ②❛♥❣ ❞✐❣✉♥❛❦❛♥ ❞❛❧❛♠ ♠♦❞❡❧ ♣❡rs❛♠❛❛♥
❞✐❢❡r❡♥s✐❛❧ ❛❞❛❧❛❤
✶ ❱❛r✐❛❜❡❧ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t
✷ ❱❛r✐❛❜❡❧ ❞❡♣❡♥❞❡♥t
✸ P❛r❛♠❡t❡r
◆✐❦❡♥❛s✐❤ ❇✐♥❛t❛r✐
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
P❡♥❞❛❤✉❧✉❛♥
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❙♦❧✉s✐ ❞❛♥ ◆❆❙❇
❘❡✈✐❡✇ ❑❛❧❦✉❧✉s ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❘❡❢❡r❡♥s✐
❉❡✜♥✐s✐ P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❛❞❛❧❛❤ ♣❡rs❛♠❛❛♥ ②❛♥❣ ♠❡♠✉❛t s❛t✉ ❛t❛✉ ❧❡❜✐❤ ✈❛r✐❛❜❡❧ ❞❡♣❡♥❞❡♥t
t❡r❤❛❞❛♣ s❛t✉ ❛t❛✉ ❧❡❜✐❤ ✈❛r✐❛❜❡❧ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t✳
❈♦♥t♦❤
✶
✷
✸
✹
d ✷y
dx ✷
+ xy
dy
dx
✷
✷
d ✹x
+ ✺ ddt ✷x + ✸x
dt ✹
∂v
∂v
∂s + ∂t = v
∂✷u
∂✷u
∂✷u
+ ∂y
✷ + ∂z ✷
∂x ✷
=✵
= s✐♥ t
=✵
◆✐❦❡♥❛s✐❤ ❇✐♥❛t❛r✐
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
P❡♥❞❛❤✉❧✉❛♥
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❙♦❧✉s✐ ❞❛♥ ◆❆❙❇
❘❡✈✐❡✇ ❑❛❧❦✉❧✉s ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❘❡❢❡r❡♥s✐
❑❧❛s✐✜❦❛s✐
❜❡r❞❛s❛r❦❛♥ ❜❛♥②❛❦♥②❛ ✈❛r✐❛❜❡❧ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t✱ ♣❡rs❛♠❛❛♥ ❞✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❞✐❜❛❣✐ ♠❡♥❥❛❞✐ ❞✉❛ ❥❡♥✐s ②❛✐t✉ ✿
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧ ❊❧❡♠❡♥t❡r ✭P❉❊✮
◆✐❦❡♥❛s✐❤ ❇✐♥❛t❛r✐
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
P❡♥❞❛❤✉❧✉❛♥
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❙♦❧✉s✐ ❞❛♥ ◆❆❙❇
❘❡✈✐❡✇ ❑❛❧❦✉❧✉s ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❘❡❢❡r❡♥s✐
❑❧❛s✐✜❦❛s✐
❜❡r❞❛s❛r❦❛♥ ❜❛♥②❛❦♥②❛ ✈❛r✐❛❜❡❧ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t✱ ♣❡rs❛♠❛❛♥ ❞✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❞✐❜❛❣✐ ♠❡♥❥❛❞✐ ❞✉❛ ❥❡♥✐s ②❛✐t✉ ✿
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧ ❊❧❡♠❡♥t❡r ✭P❉❊✮
❉❡✜♥✐s✐
P❉❊ ❛❞❛❧❛❤ ♣❡rs❛♠❛❛♥ ❞✐❢❡r❡♥s✐❛❧ ❞❛r✐ s❛t✉ ❛t❛✉ ❧❡❜✐❤ ✈❛r✐❛❜❡❧
❞❡♣❡♥❞❡♥t t❡r❤❛❞❛♣ s❛t✉ ✈❛r✐❛❜❡❧ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t✳
◆✐❦❡♥❛s✐❤ ❇✐♥❛t❛r✐
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
P❡♥❞❛❤✉❧✉❛♥
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❙♦❧✉s✐ ❞❛♥ ◆❆❙❇
❘❡✈✐❡✇ ❑❛❧❦✉❧✉s ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❘❡❢❡r❡♥s✐
❑❧❛s✐✜❦❛s✐
❜❡r❞❛s❛r❦❛♥ ❜❛♥②❛❦♥②❛ ✈❛r✐❛❜❡❧ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t✱ ♣❡rs❛♠❛❛♥ ❞✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❞✐❜❛❣✐ ♠❡♥❥❛❞✐ ❞✉❛ ❥❡♥✐s ②❛✐t✉ ✿
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧ ❊❧❡♠❡♥t❡r ✭P❉❊✮
❉❡✜♥✐s✐
P❉❊ ❛❞❛❧❛❤ ♣❡rs❛♠❛❛♥ ❞✐❢❡r❡♥s✐❛❧ ❞❛r✐ s❛t✉ ❛t❛✉ ❧❡❜✐❤ ✈❛r✐❛❜❡❧
❞❡♣❡♥❞❡♥t t❡r❤❛❞❛♣ s❛t✉ ✈❛r✐❛❜❡❧ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t✳
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧ P❛rs✐❛❧ ✭P❉P✮
◆✐❦❡♥❛s✐❤ ❇✐♥❛t❛r✐
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
P❡♥❞❛❤✉❧✉❛♥
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❙♦❧✉s✐ ❞❛♥ ◆❆❙❇
❘❡✈✐❡✇ ❑❛❧❦✉❧✉s ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❘❡❢❡r❡♥s✐
❑❧❛s✐✜❦❛s✐
❜❡r❞❛s❛r❦❛♥ ❜❛♥②❛❦♥②❛ ✈❛r✐❛❜❡❧ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t✱ ♣❡rs❛♠❛❛♥ ❞✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❞✐❜❛❣✐ ♠❡♥❥❛❞✐ ❞✉❛ ❥❡♥✐s ②❛✐t✉ ✿
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧ ❊❧❡♠❡♥t❡r ✭P❉❊✮
❉❡✜♥✐s✐
P❉❊ ❛❞❛❧❛❤ ♣❡rs❛♠❛❛♥ ❞✐❢❡r❡♥s✐❛❧ ❞❛r✐ s❛t✉ ❛t❛✉ ❧❡❜✐❤ ✈❛r✐❛❜❡❧
❞❡♣❡♥❞❡♥t t❡r❤❛❞❛♣ s❛t✉ ✈❛r✐❛❜❡❧ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t✳
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧ P❛rs✐❛❧ ✭P❉P✮
❉❡✜♥✐s✐
P❉P ❛❞❛❧❛❤ ♣❡rs❛♠❛❛♥ ❞✐❢❡r❡♥s✐❛❧ ❞❛r✐ s❛t✉ ❛t❛✉ ❧❡❜✐❤ ✈❛r✐❛❜❡❧
❞❡♣❡♥❞❡♥t t❡r❤❛❞❛♣ ❧❡❜✐❤ ❞❛r✐ s❛t✉ ✈❛r✐❛❜❡❧ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t✳
◆✐❦❡♥❛s✐❤ ❇✐♥❛t❛r✐
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
P❡♥❞❛❤✉❧✉❛♥
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❙♦❧✉s✐ ❞❛♥ ◆❆❙❇
❘❡✈✐❡✇ ❑❛❧❦✉❧✉s ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❘❡❢❡r❡♥s✐
❑❧❛s✐✜❦❛s✐
❇❡r❞❛s❛r❦❛♥ s✐❢❛t ❧✐♥❡❛r✐t❛s♥②❛✱ ♣❡rs❛♠❛❛♥ ❞✐❢❡r❡♥s✐❛❧ ❥✉❣❛ ❞✐❜❛❣✐
♠❡♥❥❛❞✐ ❞✉❛ ②❛✐t✉ ✿
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧ ▲✐♥❡❛r
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧ ◆♦♥❧✐♥❡❛r
❈♦♥t♦❤
d ✷y
dx ✷
d ✷y
dx ✷
d ✷y
dx ✷
d ✷y
dx ✷
✷
+ ✺ dy
dx + ✻y = ✵
+ ✺ dy
+ ✻y = ✵
dx
✸
+ ✺ dy
+ ✻y = ✵
dx
+ ✺y dy
dx + ✻y = ✵
◆✐❦❡♥❛s✐❤ ❇✐♥❛t❛r✐
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
P❡♥❞❛❤✉❧✉❛♥
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❙♦❧✉s✐ ❞❛♥ ◆❆❙❇
❘❡✈✐❡✇ ❑❛❧❦✉❧✉s ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❘❡❢❡r❡♥s✐
❖r❞❡r
❖r❞❡r ❞❛r✐ s✉❛t✉ ♣❡rs❛♠❛❛♥ ❞✐❢❡r❡♥s✐❛❧ ❛❞❛❧❛❤ ♥✐❧❛✐ t✉r✉♥❛♥
t❡rt✐♥❣❣✐ ❞❛r✐ s✉❛t✉ ♣❡rs❛♠❛❛♥ ❞✐❢❡r❡♥❡✐❛❧✳
❈♦♥t♦❤
d ✷y
dx ✷
d ✷y
dx ✷
d ✷y
dx ✷
d ✷y
dx ✷
✷
+ ✺ dy
dx + ✻y = ✵
+ ✻y = ✵
+ ✺ dy
dx
✸
+ ✺ dy
+ ✻y = ✵
dx
+ ✺y dy
dx + ✻y = ✵
◆✐❦❡♥❛s✐❤ ❇✐♥❛t❛r✐
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
P❡♥❞❛❤✉❧✉❛♥
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❙♦❧✉s✐ ❞❛♥ ◆❆❙❇
❘❡✈✐❡✇ ❑❛❧❦✉❧✉s ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❘❡❢❡r❡♥s✐
❙♦❧✉s✐
P❡rs❛♠❛❛♥ ❞✐❢❡r❡♥s✐❛❧ ♦r❞❡r ♥ s❡❝❛r❛ ✉♠✉♠ ❞❛♣❛t ❞✐♥②❛t❛❦❛♥
❞❛❧♠❛ ❜❡♥t✉❦
d ny
dy
F x, y , , · · · , n
dx
dx
❞❡♥❣❛♥
F
=
✵
✭✶✮
❛❞❛❧❛❤ ❢✉♥❣s✐ r❡❛❧✳
❋✉♥❣s✐ ❢ s❡❞❡♠✐❦✐❛♥ s❡❤✐♥❣❣❛
y = f (x)
♠❡♠❡♥✉❤✐ P❡rs❛♠❛❛♥
✶ ❞✐s❡❜✉t ❞❡♥❣❛♥ s♦❧✉s✐ ❡❦s♣❧✐s✐t✳
❘❡❧❛s✐
g (x, y ) = ✵
❞✐s❡❜✉t s♦❧✉s✐ ✐♠♣❧✐s✐t ❥✐❦❛ ♠❡♠❡♥✉❤✐
P❡rs❛♠❛❛♥ ✶✳
◆✐❦❡♥❛s✐❤ ❇✐♥❛t❛r✐
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❈♦♥t♦❤
P❡♥❞❛❤✉❧✉❛♥
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❙♦❧✉s✐ ❞❛♥ ◆❆❙❇
❘❡✈✐❡✇ ❑❛❧❦✉❧✉s ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❘❡❢❡r❡♥s✐
❇✉t❦✐❦❛♥ ❜❛❤✇❛ ❢✉♥❣s✐ ❢ ②❛♥❣ t❡r❞❡✜♥✐s✐ ❞✐ s❡t✐❛♣ ❜✐❧❛♥❣❛♥ r❡❛❧ ①
f (x) = ✷ s✐♥ x + ✸ ❝♦s x
♠❡r✉♣❛❦❛♥ s♦❧✉s✐ ❡❦s♣❧✐s✐t ❞❛r✐ ♣❡rs❛♠❛❛♥ ❞✐❢❡r❡♥s✐❛❧
d ✷y
dx ✷ + y = ✵
◆✐❦❡♥❛s✐❤ ❇✐♥❛t❛r✐
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
P❡♥❞❛❤✉❧✉❛♥
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❙♦❧✉s✐ ❞❛♥ ◆❆❙❇
❘❡✈✐❡✇ ❑❛❧❦✉❧✉s ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❘❡❢❡r❡♥s✐
◆✐❧❛✐ ❆✇❛❧ ❞❛♥ ❙②❛r❛t ❇❛t❛s
❋✐❣✉r❡✿ ❙②❛r❛t t❛♠❜❛❤❛♥
◆✐❦❡♥❛s✐❤ ❇✐♥❛t❛r✐
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
P❡♥❞❛❤✉❧✉❛♥
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❙♦❧✉s✐ ❞❛♥ ◆❆❙❇
❘❡✈✐❡✇ ❑❛❧❦✉❧✉s ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❘❡❢❡r❡♥s✐
❙♦❛❧ ✶
❤✐t✉♥❣❧❛❤ ❞❡r✐✈❛t✐❢ ❞❛r✐ y = e ✷t ❝♦s ✸t
◆✐❦❡♥❛s✐❤ ❇✐♥❛t❛r✐
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
P❡♥❞❛❤✉❧✉❛♥
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❙♦❧✉s✐ ❞❛♥ ◆❆❙❇
❘❡✈✐❡✇ ❑❛❧❦✉❧✉s ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❘❡❢❡r❡♥s✐
❙♦❛❧ ✷
❍✐t✉♥❣❧❛❤ ❞❡r✐✈❛t✐❢ ❞❛r✐ y = ✶−tt ✷
◆✐❦❡♥❛s✐❤ ❇✐♥❛t❛r✐
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
P❡♥❞❛❤✉❧✉❛♥
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❙♦❧✉s✐ ❞❛♥ ◆❆❙❇
❘❡✈✐❡✇ ❑❛❧❦✉❧✉s ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❘❡❢❡r❡♥s✐
❙♦❛❧ ✸
❚❡♥t✉❦❛♥ ❜❡♥t✉❦ ❦✉r✈❛ ②❛♥❣ ❞✐♣❛r❛♠❡tr✐s❛s✐ ❞✐ ❜✐❞❛♥❣✲①② ❜❡r✐❦✉t ✿
x = ✸ s✐♥ ✷t, y = ❝♦s ✷t, ✵ ≤ t ≤ π
◆✐❦❡♥❛s✐❤ ❇✐♥❛t❛r✐
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
P❡♥❞❛❤✉❧✉❛♥
P❡rs❛♠❛❛♥ ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❙♦❧✉s✐ ❞❛♥ ◆❆❙❇
❘❡✈✐❡✇ ❑❛❧❦✉❧✉s ❉✐❢❡r❡♥s✐❛❧
❘❡❢❡r❡♥s✐
❙♦❛❧ ✹
❉❛r✐ ❦❡❧✐♠❛ ❢✉♥❣s✐ ❜❡r✐❦✉t✱ ②❛♥❣ ♠❡r✉♣❛❦❛♥ ❢✉♥❣s✐ ♥❛✐❦ ♣❛❞❛
✐♥t❡r✈❛❧ ✵