Linear Programming Kendala Sama Dengan a
KENDALA BERBENTUK
SAMA DENGAN (=) ,
LEBIH BESAR SAMA DENGAN (≥)
&
MASALAH KHUSUS
DALAM METODE SIMPLEKS
BOBBY SATRIA AJI
Lebih Besar Sama Dengan (≥)
2x1 + 3x2
≥ 30
Dikurangi Surplus Variable
Sama Dengan (=)
2x1 + 4x2
= 20
/ -S :
Ditambah Variabel Basis Semu (Q) :
2x1 + 3x2 - S
= 30
2x1 + 4x2 + Q = 20
Ditambah Variabel Basis Semu (Q) :
2x1 + 3x2 - S + Q = 30
Kurang Dari Sama Dengan (≤)
3x1 + 2x2
≤ 150
Ditambah Slack Variable
/
3x1 + 2x2 + S = 150
+S
≤
≥
=
+S
-S+Q
+Q
Q sebagai variabel semu harus dikurangi hingga menjadi nol
Metode M Besar
Metode Dua Fase ( Dua Tahapan )
Metode M Besar
Koefisien fungsi tujuan variabel semu ( Q )
diberi nilai M
Z mak = - M
( - MQ )
Z min
( + MQ )
= +M
Maksimum Z = 50x1 + 80x2
d.k
[1]
x1
[2]
[1]
≤
40
x2
≥
20
[3]
x1
+
x2
=
50
[4]
x1
,
x2
≥
0
x1
+
[2]
S1 + 0S2
x2
+ 0S1 -
+ 0S1 + 0S2
[3]
x1
+
x2
[4]
x1
,
x2
,
S1 ,
S2
S2
+ 0Q1 + 0Q2
=
40
+
=
20
Q2
=
50
Q2
≥
0
Q1 + 0Q2
+ 0Q1 +
,
Q1
,
Maksimum Z = 50x1 + 80x2 + 0S1 – 0S2 – MQ1 – MQ2
Maksimum Z = 50x1 + 80x2 + 0S1 – 0S2 – MQ1 – MQ2
[1]
1x1 + 0x2 + 1S1 + 0S2 + 0Q1 + 0Q2 =
40
[2]
0x1
+
1x2
+ 0S1 -
1S2
+ 1Q1 + 0Q2
=
20
[3]
1x1
+
1x2
+ 0S1 + 0S2
+ 0Q1 + 1Q2
=
50
[4]
x1
,
x2
≥
0
,
S1 ,
Tabel Awal Simpleks Metode M Besar
cj
50
80
CB
Variabel
Basis
0
S2
0
,
Q1
0
,
-M
Q2
-M
bi
x1
x2
S1
S2
Q1
Q2
S1
40
1
0
1
0
0
0
-M
Q1
20
0
1
0
-1
1
0
-M
Q2
50
1
1
0
0
0
1
Zj - Cj
Indeks
Tabel Awal Simpleks Metode M Besar
CB
Variabel
Basis
0
cj
50
80
0
0
-M
-M
Indeks
bi
x1
x2
S1
S2
Q1
Q2
S1
40
1
0
1
0
0
0
40/0 = ~
-M
Q1
20
0
1
0
-1
1
0
20/1=20
-M
Q2
50
1
1
0
0
0
1
50/1=50
Zj - Cj
-70M
-M
-2M
0
M
0
0
-50
-80
1
1
0
1
Angka lama baris Q2
50
0
0
20
0
1
0
-1
1
0
(1)
______________________________________________
30
1
0
0
1
-1
1
Angka baru baris kunci
-
Tabel Iterasi 1
CB
Variabel
Basis
0
cj
50
80
0
0
-M
-M
Indeks
bi
x1
x2
S1
S2
Q1
Q2
S1
40
1
0
1
0
0
0
40/1 = 40
80
x2
20
0
1
0
-1
1
0
20/0 = ∞
-M
Q2
30
1
0
0
1
-1
1
50/1= 30
Zj - Cj
-30M
-M
0
0
-M
2M
0
1.600
-50
-80
+80
Solusi optimum apabila pada baris Zj – Cj ≥ 0
(variabel semu sudah keluar dari variabel basis)
Tabel Iterasi 2
(Optimum)
CB
Variabel
Basis
0
cj
50
80
0
0
-M
-M
bi
x1
x2
S1
S2
Q1
Q2
S1
40
1
0
1
0
0
0
80
x2
50
1
1
0
0
0
1
0
S2
30
1
0
0
1
-1
1
Zj - Cj
4.000
30
0
0
0
M
M
Indeks
+80
Solusi optimum dicapai apabila x1 = 0 dan x2 = 50 , dengan nilai Z = 4.000
Metode Dua Fase
Fase 1: Mengnolkan variable semu dengan cara membuat
fungsi tujuan semu.
Koefisien fungsi tujuan variable semu ( Q ) :
Z mak : -1 - Q1 , - Q2
Z min : +1 + Q1 , + Q2
Fase 2 : Memasukkan fungsi tujuan aslinya
Fase 1 :
Maksimum Z = – Q1 – Q2
( -1 Q1 -1 Q2) (Fungsi Tujuan Semu )
Tabel Awal Fase Pertama
CB
Variabel
Basis
0
cj
0
0
0
0
-1
-1
Indeks
bi
x1
x2
S1
S2
Q1
Q2
S1
40
1
0
1
0
0
0
40/0 = ~
-1
Q1
20
0
1
0
-1
1
0
20/1=20
-1
Q2
50
1
1
0
0
0
1
50/1=50
Zj - Cj
-70
-1
-2
0
1
0
0
Tabel Iterasi 1 Fase
Pertama
CB
Variabel
Basis
0
cj
0
0
0
0
-1
-1
Indeks
bi
x1
x2
S1
S2
Q1
Q2
S1
40
1
0
1
0
0
0
40/0 = ~
0
x1
20
0
1
0
-1
1
0
20/-1=-20
-1
Q2
30
1
0
0
1
-1
1
30/1=30
Zj - Cj
-30
-1
0
0
-1
2
0
Tabel Iterasi 2 Fase Pertama
(Optimum)
CB
Variabel
Basis
0
cj
0
0
0
0
-1
-1
bi
x1
x2
S1
S2
Q1
Q2
S1
40
1
0
1
0
0
0
0
x1
50
1
1
0
0
0
1
0
S2
30
1
0
0
1
-1
1
Zj - Cj
30
1
0
0
0
1
1
Indeks
Karena fungsi tujuan semu sudah optimum dan variabel
semu sudah keluar dari basis maka dilanjutkan ke fase
dua
Fase 2 :
Maksimum Z = 50x1 + 80x2
Tabel Awal Fase Kedua ( optimum )
CB
Variabel
Basis
0
cj
50
80
0
0
bi
x1
x2
S1
S2
S1
40
1
0
1
0
80
x1
50
1
1
0
1
0
S2
30
1
0
0
1
Zj - Cj
4.000
30
0
0
0
Indeks
Masalah Khusus Dalam Metode
Simpleks
[1] Multiple Optimum Solution
[2] No Feasible Solution
[3] Unbounded Solution
Multiple Optimum Solution
( apabila variable nonbasis dalam tabel optimum memiliki nilai 0
pada baris Zj - Cj )
Tabel Optimum
CB
Variabel
Basis
0
cj
0
0
0
0
-1
Indeks
bi
x1
x2
S1
S2
S3
S1
58
0
0
1
- 0,2
1,6
58/1,6 = 36,25
2
X2
12
0
1
0
0,2
- 0,6
12/-0,6 = -20
3
X1
42
1
0
0
0,2
0,4
42/0,4 = 105
Zj – Cj
150
0
0
0
1
0
Tabel Optimum Pengganti
CB
Variabel
Basis
0
cj
0
0
0
0
-1
bi
x1
x2
S1
S2
S3
S3
36,25
0
0
⅝
-⅛
1
2
X2
33,75
0
1
⅜
-⅛
0
3
X1
27,50
1
0
¼
¼
0
0
0
0
1
0
Zj – Cj
150
Solusi optimum :
alternatif 1 :
x1 = 42 dan x2 = 12
Z = 3(42) + 2(12) = 126 + 24
= 150
Indeks
alternatif 2 :
x1 = 27,50 dan x2 = 33,75
Z = 3(27,50) + 2(33,75) = 82,50
+ 67,50 = 150
Unbounded Solution
( apabila variabel basis yang harus dikeluarkan tidak dapat ditentukan karena
tidak ada koefisien variabel dengan nilai positif )
Tabel Awal Simpleks
CB
Variabel
Basis
0
0
cj
6
9
0
0
bi
x1
x2
S1
S2
S1
60
3
-3
1
0
S2
120
-9
3
0
1
Zj - Cj
0
-6
0
0
- 9
Indeks
120/3=40
Tabel Iterasi 1 ( Unbounded
Solution )
CB
Variabel
Basis
0
0
cj
6
9
0
0
bi
x1
x2
S1
S2
S1
180
-6
0
1
0
x2
40
- 3
1
0
⅓
Zj - Cj
360
- 33
0
0
3
Indeks
No Feasible Solution
(Nilai pada baris Zj – Cj ≥ 0 , tetapi masih ada variabel semu yang berada dalam
basis dengan nilai positif)
Maksimum Z = 2x1 + 5x2
d.k
[1]
x1
+
X2
≤
10
[2]
2x1
+
3x2
≥
48
[3]
X1
,
x2
≥
0
Maksimum Z = 2x1 + 5x2 + 0S1 – 0S2 – MQ1
d.k
[1]
x1
+
x2
+
S1 + 0S2
[2]
2x1
+
3x2
+
0S1
-
[3]
x1
,
x2
,
S1
,
+ 0Q1
=
10
S2
+
Q1
=
48
S2
,
Q1
≥
50
Tabel Awal Simpleks (No Feasible
Solution)
CB
Variabel
Basis
0
- M
cj
2
5
0
0
-M
Indeks
bi
x1
x2
S1
S2
Q1
S1
10
1
1
1
0
0
10/1 = 10
Q1
48
2
3
0
-1
1
48/3 = 16
- 2M
- 3M
0
M
0
-2
-5
Zj – Cj
- 48M
Tabel Iterasi 1 (No Feasible Solution)
CB
Variabel
Basis
5
- M
cj
2
5
0
0
-M
Indeks
bi
x1
x2
S1
S2
Q1
X2
10
1
1
1
0
0
10/1 = 10
Q1
18
- 1
0
-3
-1
1
48/3 = 16
Zj – Cj
50
M
0
3M
M
0
- 18M
+3
+5
Semua nilai pada baris Zj – Cj ≥ 0 , tetapi Q1 ( Variable semu ) masih berada
dalam basis dengan nilai positif 18 sehingga tidak ada penyelesaian yang
optimum.
Hal ini dapat terjadi karena kesalahan pada saat memformulasikan model
LP.
Degeneracy
(apabila terdapat variabel keputusan dalam basis yang bernilai nol)
Maksimum Z = 4x1 + 1x2 + 3x3 + 0S1 + 0S2 + 0S3
d.k [1]
2x1
-
2x2
[2]
4x1
[3]
2x1
+
2x2
[4]
x1
,
x2
+
S1
+ 0S2
+ 0S3
=
60
+ 0S3
=
120
+
S3
=
90
,
S3
≥
0
+ 2x3
+ 0S1
+
+ 2x3
+ 0S1
+ 0S2
,
x3
,
S1
,
S2
S2
Tabel awal simpleks (Degeneracy)
CB
Variabel
Basis
0
cj
4
1
3
0
0
0
Indeks
Bi
x1
x2
x3
S1
S2
S3
S1
60
2
- 2
0
1
0
0
60/2 = 30
0
S2
120
4
0
2
0
1
0
120/4 = 30
0
S3
90
2
2
2
0
0
1
90/2 = 45
Zj - Cj
0
-4
-1
-3
0
0
0
Tabel iterasi 1 (Degeneracy)
CB
Variabel
Basis
4
cj
4
1
3
0
0
0
Indeks
Bi
x1
x2
x3
S1
S2
S3
x1
30
1
- 1
0
½
0
0
30/-1 = -30
0
S2
0
0
4
2
- 2
1
0
0/4 = 0
0
S3
30
0
4
2
- 1
0
0
30/4 = 7,5
Zj - Cj
120
0
0
0
- 5
-3
2
Tabel iterasi 2 (Degeneracy)
CB
Variabel
Basis
4
cj
4
1
3
0
0
0
Indeks
Bi
x1
x2
x3
S1
S2
S3
x1
30
1
0
½
0
¼
0
30/0,5 = 60
1
x2
0
0
1
½
¼
0
0/0,5 = 0
0
S3
30
0
0
0
- 1
1
30/0 = ~
Zj - Cj
120
0
0
1,25
0
- ½
- ½
1
-½
( Variabel keputusan x2 bernilai nol sehingga
tidak ada perubahan pada nilai Z yaitu 120)
Tabel iterasi 3 (Degeneracy)
CB
Variabel
Basis
4
cj
4
1
3
0
0
0
Bi
x1
x2
x3
S1
S2
S3
x1
30
1
- 1
0
0,5
0
0
3
x3
0
0
2
1
- 1
0,5
0
0
S3
30
0
0
0
1
- 1
1
Zj - Cj
120
0
1
0
-1
1,5
0
( Variabel keputusan x3 bernilai nol sehingga
tidak ada perubahan pada nilai Z yaitu 120)
Indeks
30/0,5 = 60
30/1 = 30
Tabel iterasi 4 (Degeneracy)
CB
Variabel
Basis
4
cj
4
1
3
0
0
0
Bi
x1
x2
x3
S1
S2
S3
x1
15
1
- 1
0
0
½
-½
3
x3
30
0
2
1
0
-½
1
0
S3
30
0
0
0
1
- 1
1
Zj - Cj
150
0
1
0
0
½
1
Contoh di atas memberi gambaran bahwa ada kemungkinan
sebuah tabel tidak mengubah nilai Z, meskipun kasus
seperti ini jarang ditemui.
Indeks
Variabel Keputusan Bertanda
Negatif
Dalam asumsi formulasi LP maupun bentuk standar semua variabel
keputusan harus nonnegatif .
Tetapi dalam beberapa kasus dapat terjadi atau memang dikehendaki
adanya variabel keputusan bertanda negatif.
Maksimum Z = 6x1 + 3x2
d.k
[1]
6x1
+
8x2
≥
48
[2]
x1
+
x2
≤
12
[3]
- X1
+
x2
≤
4
[4]
2x1
+
x2
≤
2
x1
≥
-2
x2
≥
0
x1
+
2
u.h
x1ʹ
=
Menambah variabel baru sebagai variabel pengganti untuk menentukan nilai variabel x1 :
Maksimum Z = 6x1 + 3x2
Maksimum Z = 6(x1ʹ -2) + 3x2
d.k
[1]
6(x1ʹ -2) +
8x2
≥
48
[2]
1(x1ʹ -2) +
x2
≤
12
[3]
- 1(x1ʹ -2) +
x2
≤
4
[4]
2(x1ʹ -2) +
x2
≤
2
x1ʹ
≥
0
x2
≥
0
Atau ,
Maksimum Z = 6x1ʹ + 3x2 - 12
d.k
[1]
6x1ʹ +
8x2
≥
60
[2]
x1ʹ +
x2
≤
14
[3]
- x1ʹ +
x2
≤
2
[4]
2x1ʹ
x2
≤
6
x1ʹ
≥
0
x2
≥
0
+
Variabel Keputusan Tak Terhingga
Menambahkan dua variabel nonnegatif yang berbeda sebagai pengganti
apabila terdapat variabel keputusan bertanda tak terhingga .
Maksimum Z = x1 - 2x2 + 3x3
d.k
[1]
x1 +
x2 +
x3
≤
7
[2]
x1 -
x2 +
x3
≥
2
[3]
3x1 +
x2 + 2x2
=
5
[4]
x1
≥
0
[5]
x2
≥
0
[6]
x3
≥
~
Mengubah variabel bertanda tak terhingga (x3) dengan dua variabel
yang berbeda tanda yaitu x4 - x5 ,dimana x4 ≥ 0 , dan x5 ≥ 0 . Nilai x3
positif atau negatif tergantung pada kedua variabel tersebut.
Maksimum Z = x1 - 2x2 + 3x3
Maksimum Z = x1 -2x2 + 3(x4 – x5)
d.k
Atau ,
[1]
x1 +
x2 +
1(x4 – x5) ≤
7
[2]
x1 -
x2 +
1(x4 – x5) ≥
2
[3]
3x1 +
x2 +
2(x4 – x5) =
5
[4]
x1 ≥
0
[5]
x2 ≥
0
[6]
x4 ≥
0
x5 ≥
0
[7]
Maksimum Z = x1 -2x2 + 3x4 – 3x5
[1]
x1 +
d.k
[2]
x1 -
x2 +
x4
– x5 ≤
7
x2 +
x4
– x5 ≥
2
2x4 – 2x5 =
5
[4]
x1 ≥
0
[5]
x2 ≥
0
[6]
x4 ≥
0
[3]
3x1 +
x2 +
Terimakasih atas
perhatiannya :D
Mohon maaf apabila
penjelasan dari saya terlalu
njelimet dan sedikit
menyesatkan :3
http://Harapmaklum.com/
SAMA DENGAN (=) ,
LEBIH BESAR SAMA DENGAN (≥)
&
MASALAH KHUSUS
DALAM METODE SIMPLEKS
BOBBY SATRIA AJI
Lebih Besar Sama Dengan (≥)
2x1 + 3x2
≥ 30
Dikurangi Surplus Variable
Sama Dengan (=)
2x1 + 4x2
= 20
/ -S :
Ditambah Variabel Basis Semu (Q) :
2x1 + 3x2 - S
= 30
2x1 + 4x2 + Q = 20
Ditambah Variabel Basis Semu (Q) :
2x1 + 3x2 - S + Q = 30
Kurang Dari Sama Dengan (≤)
3x1 + 2x2
≤ 150
Ditambah Slack Variable
/
3x1 + 2x2 + S = 150
+S
≤
≥
=
+S
-S+Q
+Q
Q sebagai variabel semu harus dikurangi hingga menjadi nol
Metode M Besar
Metode Dua Fase ( Dua Tahapan )
Metode M Besar
Koefisien fungsi tujuan variabel semu ( Q )
diberi nilai M
Z mak = - M
( - MQ )
Z min
( + MQ )
= +M
Maksimum Z = 50x1 + 80x2
d.k
[1]
x1
[2]
[1]
≤
40
x2
≥
20
[3]
x1
+
x2
=
50
[4]
x1
,
x2
≥
0
x1
+
[2]
S1 + 0S2
x2
+ 0S1 -
+ 0S1 + 0S2
[3]
x1
+
x2
[4]
x1
,
x2
,
S1 ,
S2
S2
+ 0Q1 + 0Q2
=
40
+
=
20
Q2
=
50
Q2
≥
0
Q1 + 0Q2
+ 0Q1 +
,
Q1
,
Maksimum Z = 50x1 + 80x2 + 0S1 – 0S2 – MQ1 – MQ2
Maksimum Z = 50x1 + 80x2 + 0S1 – 0S2 – MQ1 – MQ2
[1]
1x1 + 0x2 + 1S1 + 0S2 + 0Q1 + 0Q2 =
40
[2]
0x1
+
1x2
+ 0S1 -
1S2
+ 1Q1 + 0Q2
=
20
[3]
1x1
+
1x2
+ 0S1 + 0S2
+ 0Q1 + 1Q2
=
50
[4]
x1
,
x2
≥
0
,
S1 ,
Tabel Awal Simpleks Metode M Besar
cj
50
80
CB
Variabel
Basis
0
S2
0
,
Q1
0
,
-M
Q2
-M
bi
x1
x2
S1
S2
Q1
Q2
S1
40
1
0
1
0
0
0
-M
Q1
20
0
1
0
-1
1
0
-M
Q2
50
1
1
0
0
0
1
Zj - Cj
Indeks
Tabel Awal Simpleks Metode M Besar
CB
Variabel
Basis
0
cj
50
80
0
0
-M
-M
Indeks
bi
x1
x2
S1
S2
Q1
Q2
S1
40
1
0
1
0
0
0
40/0 = ~
-M
Q1
20
0
1
0
-1
1
0
20/1=20
-M
Q2
50
1
1
0
0
0
1
50/1=50
Zj - Cj
-70M
-M
-2M
0
M
0
0
-50
-80
1
1
0
1
Angka lama baris Q2
50
0
0
20
0
1
0
-1
1
0
(1)
______________________________________________
30
1
0
0
1
-1
1
Angka baru baris kunci
-
Tabel Iterasi 1
CB
Variabel
Basis
0
cj
50
80
0
0
-M
-M
Indeks
bi
x1
x2
S1
S2
Q1
Q2
S1
40
1
0
1
0
0
0
40/1 = 40
80
x2
20
0
1
0
-1
1
0
20/0 = ∞
-M
Q2
30
1
0
0
1
-1
1
50/1= 30
Zj - Cj
-30M
-M
0
0
-M
2M
0
1.600
-50
-80
+80
Solusi optimum apabila pada baris Zj – Cj ≥ 0
(variabel semu sudah keluar dari variabel basis)
Tabel Iterasi 2
(Optimum)
CB
Variabel
Basis
0
cj
50
80
0
0
-M
-M
bi
x1
x2
S1
S2
Q1
Q2
S1
40
1
0
1
0
0
0
80
x2
50
1
1
0
0
0
1
0
S2
30
1
0
0
1
-1
1
Zj - Cj
4.000
30
0
0
0
M
M
Indeks
+80
Solusi optimum dicapai apabila x1 = 0 dan x2 = 50 , dengan nilai Z = 4.000
Metode Dua Fase
Fase 1: Mengnolkan variable semu dengan cara membuat
fungsi tujuan semu.
Koefisien fungsi tujuan variable semu ( Q ) :
Z mak : -1 - Q1 , - Q2
Z min : +1 + Q1 , + Q2
Fase 2 : Memasukkan fungsi tujuan aslinya
Fase 1 :
Maksimum Z = – Q1 – Q2
( -1 Q1 -1 Q2) (Fungsi Tujuan Semu )
Tabel Awal Fase Pertama
CB
Variabel
Basis
0
cj
0
0
0
0
-1
-1
Indeks
bi
x1
x2
S1
S2
Q1
Q2
S1
40
1
0
1
0
0
0
40/0 = ~
-1
Q1
20
0
1
0
-1
1
0
20/1=20
-1
Q2
50
1
1
0
0
0
1
50/1=50
Zj - Cj
-70
-1
-2
0
1
0
0
Tabel Iterasi 1 Fase
Pertama
CB
Variabel
Basis
0
cj
0
0
0
0
-1
-1
Indeks
bi
x1
x2
S1
S2
Q1
Q2
S1
40
1
0
1
0
0
0
40/0 = ~
0
x1
20
0
1
0
-1
1
0
20/-1=-20
-1
Q2
30
1
0
0
1
-1
1
30/1=30
Zj - Cj
-30
-1
0
0
-1
2
0
Tabel Iterasi 2 Fase Pertama
(Optimum)
CB
Variabel
Basis
0
cj
0
0
0
0
-1
-1
bi
x1
x2
S1
S2
Q1
Q2
S1
40
1
0
1
0
0
0
0
x1
50
1
1
0
0
0
1
0
S2
30
1
0
0
1
-1
1
Zj - Cj
30
1
0
0
0
1
1
Indeks
Karena fungsi tujuan semu sudah optimum dan variabel
semu sudah keluar dari basis maka dilanjutkan ke fase
dua
Fase 2 :
Maksimum Z = 50x1 + 80x2
Tabel Awal Fase Kedua ( optimum )
CB
Variabel
Basis
0
cj
50
80
0
0
bi
x1
x2
S1
S2
S1
40
1
0
1
0
80
x1
50
1
1
0
1
0
S2
30
1
0
0
1
Zj - Cj
4.000
30
0
0
0
Indeks
Masalah Khusus Dalam Metode
Simpleks
[1] Multiple Optimum Solution
[2] No Feasible Solution
[3] Unbounded Solution
Multiple Optimum Solution
( apabila variable nonbasis dalam tabel optimum memiliki nilai 0
pada baris Zj - Cj )
Tabel Optimum
CB
Variabel
Basis
0
cj
0
0
0
0
-1
Indeks
bi
x1
x2
S1
S2
S3
S1
58
0
0
1
- 0,2
1,6
58/1,6 = 36,25
2
X2
12
0
1
0
0,2
- 0,6
12/-0,6 = -20
3
X1
42
1
0
0
0,2
0,4
42/0,4 = 105
Zj – Cj
150
0
0
0
1
0
Tabel Optimum Pengganti
CB
Variabel
Basis
0
cj
0
0
0
0
-1
bi
x1
x2
S1
S2
S3
S3
36,25
0
0
⅝
-⅛
1
2
X2
33,75
0
1
⅜
-⅛
0
3
X1
27,50
1
0
¼
¼
0
0
0
0
1
0
Zj – Cj
150
Solusi optimum :
alternatif 1 :
x1 = 42 dan x2 = 12
Z = 3(42) + 2(12) = 126 + 24
= 150
Indeks
alternatif 2 :
x1 = 27,50 dan x2 = 33,75
Z = 3(27,50) + 2(33,75) = 82,50
+ 67,50 = 150
Unbounded Solution
( apabila variabel basis yang harus dikeluarkan tidak dapat ditentukan karena
tidak ada koefisien variabel dengan nilai positif )
Tabel Awal Simpleks
CB
Variabel
Basis
0
0
cj
6
9
0
0
bi
x1
x2
S1
S2
S1
60
3
-3
1
0
S2
120
-9
3
0
1
Zj - Cj
0
-6
0
0
- 9
Indeks
120/3=40
Tabel Iterasi 1 ( Unbounded
Solution )
CB
Variabel
Basis
0
0
cj
6
9
0
0
bi
x1
x2
S1
S2
S1
180
-6
0
1
0
x2
40
- 3
1
0
⅓
Zj - Cj
360
- 33
0
0
3
Indeks
No Feasible Solution
(Nilai pada baris Zj – Cj ≥ 0 , tetapi masih ada variabel semu yang berada dalam
basis dengan nilai positif)
Maksimum Z = 2x1 + 5x2
d.k
[1]
x1
+
X2
≤
10
[2]
2x1
+
3x2
≥
48
[3]
X1
,
x2
≥
0
Maksimum Z = 2x1 + 5x2 + 0S1 – 0S2 – MQ1
d.k
[1]
x1
+
x2
+
S1 + 0S2
[2]
2x1
+
3x2
+
0S1
-
[3]
x1
,
x2
,
S1
,
+ 0Q1
=
10
S2
+
Q1
=
48
S2
,
Q1
≥
50
Tabel Awal Simpleks (No Feasible
Solution)
CB
Variabel
Basis
0
- M
cj
2
5
0
0
-M
Indeks
bi
x1
x2
S1
S2
Q1
S1
10
1
1
1
0
0
10/1 = 10
Q1
48
2
3
0
-1
1
48/3 = 16
- 2M
- 3M
0
M
0
-2
-5
Zj – Cj
- 48M
Tabel Iterasi 1 (No Feasible Solution)
CB
Variabel
Basis
5
- M
cj
2
5
0
0
-M
Indeks
bi
x1
x2
S1
S2
Q1
X2
10
1
1
1
0
0
10/1 = 10
Q1
18
- 1
0
-3
-1
1
48/3 = 16
Zj – Cj
50
M
0
3M
M
0
- 18M
+3
+5
Semua nilai pada baris Zj – Cj ≥ 0 , tetapi Q1 ( Variable semu ) masih berada
dalam basis dengan nilai positif 18 sehingga tidak ada penyelesaian yang
optimum.
Hal ini dapat terjadi karena kesalahan pada saat memformulasikan model
LP.
Degeneracy
(apabila terdapat variabel keputusan dalam basis yang bernilai nol)
Maksimum Z = 4x1 + 1x2 + 3x3 + 0S1 + 0S2 + 0S3
d.k [1]
2x1
-
2x2
[2]
4x1
[3]
2x1
+
2x2
[4]
x1
,
x2
+
S1
+ 0S2
+ 0S3
=
60
+ 0S3
=
120
+
S3
=
90
,
S3
≥
0
+ 2x3
+ 0S1
+
+ 2x3
+ 0S1
+ 0S2
,
x3
,
S1
,
S2
S2
Tabel awal simpleks (Degeneracy)
CB
Variabel
Basis
0
cj
4
1
3
0
0
0
Indeks
Bi
x1
x2
x3
S1
S2
S3
S1
60
2
- 2
0
1
0
0
60/2 = 30
0
S2
120
4
0
2
0
1
0
120/4 = 30
0
S3
90
2
2
2
0
0
1
90/2 = 45
Zj - Cj
0
-4
-1
-3
0
0
0
Tabel iterasi 1 (Degeneracy)
CB
Variabel
Basis
4
cj
4
1
3
0
0
0
Indeks
Bi
x1
x2
x3
S1
S2
S3
x1
30
1
- 1
0
½
0
0
30/-1 = -30
0
S2
0
0
4
2
- 2
1
0
0/4 = 0
0
S3
30
0
4
2
- 1
0
0
30/4 = 7,5
Zj - Cj
120
0
0
0
- 5
-3
2
Tabel iterasi 2 (Degeneracy)
CB
Variabel
Basis
4
cj
4
1
3
0
0
0
Indeks
Bi
x1
x2
x3
S1
S2
S3
x1
30
1
0
½
0
¼
0
30/0,5 = 60
1
x2
0
0
1
½
¼
0
0/0,5 = 0
0
S3
30
0
0
0
- 1
1
30/0 = ~
Zj - Cj
120
0
0
1,25
0
- ½
- ½
1
-½
( Variabel keputusan x2 bernilai nol sehingga
tidak ada perubahan pada nilai Z yaitu 120)
Tabel iterasi 3 (Degeneracy)
CB
Variabel
Basis
4
cj
4
1
3
0
0
0
Bi
x1
x2
x3
S1
S2
S3
x1
30
1
- 1
0
0,5
0
0
3
x3
0
0
2
1
- 1
0,5
0
0
S3
30
0
0
0
1
- 1
1
Zj - Cj
120
0
1
0
-1
1,5
0
( Variabel keputusan x3 bernilai nol sehingga
tidak ada perubahan pada nilai Z yaitu 120)
Indeks
30/0,5 = 60
30/1 = 30
Tabel iterasi 4 (Degeneracy)
CB
Variabel
Basis
4
cj
4
1
3
0
0
0
Bi
x1
x2
x3
S1
S2
S3
x1
15
1
- 1
0
0
½
-½
3
x3
30
0
2
1
0
-½
1
0
S3
30
0
0
0
1
- 1
1
Zj - Cj
150
0
1
0
0
½
1
Contoh di atas memberi gambaran bahwa ada kemungkinan
sebuah tabel tidak mengubah nilai Z, meskipun kasus
seperti ini jarang ditemui.
Indeks
Variabel Keputusan Bertanda
Negatif
Dalam asumsi formulasi LP maupun bentuk standar semua variabel
keputusan harus nonnegatif .
Tetapi dalam beberapa kasus dapat terjadi atau memang dikehendaki
adanya variabel keputusan bertanda negatif.
Maksimum Z = 6x1 + 3x2
d.k
[1]
6x1
+
8x2
≥
48
[2]
x1
+
x2
≤
12
[3]
- X1
+
x2
≤
4
[4]
2x1
+
x2
≤
2
x1
≥
-2
x2
≥
0
x1
+
2
u.h
x1ʹ
=
Menambah variabel baru sebagai variabel pengganti untuk menentukan nilai variabel x1 :
Maksimum Z = 6x1 + 3x2
Maksimum Z = 6(x1ʹ -2) + 3x2
d.k
[1]
6(x1ʹ -2) +
8x2
≥
48
[2]
1(x1ʹ -2) +
x2
≤
12
[3]
- 1(x1ʹ -2) +
x2
≤
4
[4]
2(x1ʹ -2) +
x2
≤
2
x1ʹ
≥
0
x2
≥
0
Atau ,
Maksimum Z = 6x1ʹ + 3x2 - 12
d.k
[1]
6x1ʹ +
8x2
≥
60
[2]
x1ʹ +
x2
≤
14
[3]
- x1ʹ +
x2
≤
2
[4]
2x1ʹ
x2
≤
6
x1ʹ
≥
0
x2
≥
0
+
Variabel Keputusan Tak Terhingga
Menambahkan dua variabel nonnegatif yang berbeda sebagai pengganti
apabila terdapat variabel keputusan bertanda tak terhingga .
Maksimum Z = x1 - 2x2 + 3x3
d.k
[1]
x1 +
x2 +
x3
≤
7
[2]
x1 -
x2 +
x3
≥
2
[3]
3x1 +
x2 + 2x2
=
5
[4]
x1
≥
0
[5]
x2
≥
0
[6]
x3
≥
~
Mengubah variabel bertanda tak terhingga (x3) dengan dua variabel
yang berbeda tanda yaitu x4 - x5 ,dimana x4 ≥ 0 , dan x5 ≥ 0 . Nilai x3
positif atau negatif tergantung pada kedua variabel tersebut.
Maksimum Z = x1 - 2x2 + 3x3
Maksimum Z = x1 -2x2 + 3(x4 – x5)
d.k
Atau ,
[1]
x1 +
x2 +
1(x4 – x5) ≤
7
[2]
x1 -
x2 +
1(x4 – x5) ≥
2
[3]
3x1 +
x2 +
2(x4 – x5) =
5
[4]
x1 ≥
0
[5]
x2 ≥
0
[6]
x4 ≥
0
x5 ≥
0
[7]
Maksimum Z = x1 -2x2 + 3x4 – 3x5
[1]
x1 +
d.k
[2]
x1 -
x2 +
x4
– x5 ≤
7
x2 +
x4
– x5 ≥
2
2x4 – 2x5 =
5
[4]
x1 ≥
0
[5]
x2 ≥
0
[6]
x4 ≥
0
[3]
3x1 +
x2 +
Terimakasih atas
perhatiannya :D
Mohon maaf apabila
penjelasan dari saya terlalu
njelimet dan sedikit
menyesatkan :3
http://Harapmaklum.com/