INIER DANM ATRIKS 1.S

  S

  ISTEM P ERSAMAAN L

  INIER DAN M ATRIKS

  1. S

  ISTEM P ERSAMAAN L

  INIER

  Secara umum, persamaan linier dengan n variabel ( x x , ,..., x ) didefinisikan sebagai _{1 2 n} persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk:

  a x  a x   ... a x  b _{1 1 2 2 n n}

  dengan a a , ,..., a dan b merupakan konstanta riil. Variabel-variabel dalam persamaan linier _{1 2 n} seringkali disebut sebagai faktor-faktor yang tidak diketahui.

  Perlu diperhatikan bahwa persamaan linier tidak mengandung hasil kali atau akar dari variabel. Seluruh variabel yang ada hanya dalam bentuk pangkat pertama dan bukan merupakan argumen dari fungsi-fungsi trigonometri, logaritma, ataupun eksponensial.

  Solusi dari persamaan linier a x  a x   ... a x  b adalah suatu urutan bilangan dari _{1 1 2 2 n n} bilangan s s , ,..., s sedemikian sehingga persamaan tersebut akan terpenuhi jika _{1 2 n} menyubstitusikan x  s x ,  s ,..., x  s . Kumpulan semua solusi dari persamaan itu _{1 1 2 2 n n} disebut himpunan penyelesaian (himpunan solusi).

  

Sistem persamaan linier merupakan sejumlah tertentu persamaan linier dalam variabel

x x , ,..., x . Sebarang sistem m persamaan linier dengan n variabel dituliskan sebagai berikut: _{1 2 n} a x  a x   ... a x  b _{11 1 12 2 1 n n 1} a x  a x   ... a x  b _{21 1 22 2 2 n n 2}

  

  a x  a x   ... a x  b _{m 1 1 m 2 2 mn n m}

  dengan x x , ,..., x adalah faktor yang belum diketahui serta a dan b dengan subskrip _{1 2 n} merupakan konstanta.

  Suatu sistem persamaan linier yang tidak memiliki solusi disebut tidak konsisten, sedangkan jika terdapat paling tidak satu solusi dalam sistem disebut konsisten. Suatu sistem persamaan linier yang konsisten dapat memiliki tepat satu solusi atau memiliki takterhingga banyaknya solusi.

  Interpretasi mengenai solusi dari suatu sistem persamaan linier dapat dilihat pada gambar-gambar berikut ini.

Gambar 1.1 Interpretasi geometri suatu sistem persamaan linier dengan dua variabelGambar 1.2 Interpretasi geometri suatu sistem persamaan linier dengan tiga variabel

  >> SISTEM PERSAMAAN LINIER HOMOGEN Suatu sistem persamaan linier disebut homogen jika semua bentuk konstantanya adalah

  0, yaitu sistem ini memiliki bentuk:

  a x  a x   ... a x  _{11 1 12 2 1 n n} a x a x a x _{21 1 22 2}    ...  _{2 n n}

  

  

a x  a x   ... a x 

_{m m mn n 1 1 2 2}

  Setiap sistem persamaan linier homogen adalah konsisten karena semua sistem semacam ini memiliki solusi x  0, x  0, ..., x  . Solusi ini disebut solusi trivial. Jika terdapat _{1 2 n} solusi lain, maka solusi-solusi tersebut disebut solusi nontrivial.

  Karena sistem linier homogen selalu memiliki solusi trivial, maka hanya terdapat dua kemungkinan untuk solusi-solusinya:  sistem tersebut hanya memiliki solusi trivial,  sistem tersebut memiliki takterhingga banyaknya solusi selain solusi trivialnya.

  Ada satu kasus di mana sistem homogen bisa dipastikan memiliki solusi nontrivial, yaitu jika sistem tersebut melibatkan lebih banyak variabel dibandingkan dengan banyaknya persamaan linier yang ada. Sebagai contoh, jika terdapat 3 persamaan dengan 4 variabel, maka sistem tersebut memiliki solusi nontrivial.

  ATRIKS

2. M

  

Matriks adalah kelompok bilangan yang disusun dalam suatu jajaran berbentuk persegi

  atau persegi panjang yang terdiri dari baris-baris dan kolom-kolom. Nama dari suatu matriks biasanya dilambangkan dengan huruf kapital. Beberapa istilah dasar berkaitan dengan matriks yaitu: a.

  Baris suatu matriks adalah bagian susunan bilangan yang dituliskan mendatar atau horisontal dalam matriks.

  b.

  Kolom suatu matriks adalah bagian yang dituliskan tegak atau vertikal dalam matriks.

  c.

  Elemen / unsur / entri suatu matriks adalah bilangan-bilangan (riil atau kompleks) yang menyusun matriks itu.

  d.

  Ordo adalah ukuran suatu matriks yang ditentukan oleh banyaknya baris kali banyaknya kolom. Contoh: matriks A memiliki 2 baris dan 3 kolom, maka ordo matriks itu adalah 2 3  , dan dinotasikan A . _{2 3} 

  Secara umum, suatu matriks A dapat ditulis sebagai berikut:

   a ij menyatakan entri matriks dengan:

  i = 1, 2, 3, ..., m j = 1, 2, 3, ..., n Jika menginginkan notasi yang singkat, maka matriks di atas dapat ditulis sebagai: a .

    _{m n} 

  Entri pada baris ke-i dan kolom ke-j pada matriks A juga biasa dinyatakan dengan simbol A sehingga A = a ij .

      _{ij ij}

  Suatu matriks yang hanya terdiri dari satu kolom disebut matriks kolom (vektor kolom), sementara suatu matriks yang hanya terdiri dari satu baris disebut matriks baris (vektor baris).

  Dua matriks dikatakan sama (setara) jika kedua matriks memiliki ordo yang sama dan entri-entri yang seletak (bersesuaian) mempunyai nilai yang sama. Dalam notasi matriks, jika

  A = [a ij ] dan B = [b ij ] memiliki ordo yang sama, maka A = B jika dan hanya jika a ij = b ij untuk semua nilai i dan j.

  >> OPERASI PADA MATRIKS Jika A dan B adalah matriks-matriks dengan ordo yang sama, maka:

• entri-entri yang bersesuaian pada B.

  (A + B) adalah matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan entri-entri pada A dengan

  

A B   A  B  a  b

      ij ij

_{ij ij ij}

• dengan entri-entri yang bersesuaian pada B.

  (A – B) adalah adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan entri-entri pada A

  

A B   A  B  a  b

     

_{ij ij ij}

_{ij ij}

  Perkalian skalar dengan matriks yaitu: jika bilangan skalar k dikalikan dengan matriks A, maka kalikan bilangan k dengan semua entri pada A. Jika A = [a ij ], maka:

  k A  kA  ka     _{ij ij ij} m q 

  Perkalian matriks dengan matriks yaitu: jika matriks A berordo dan matriks B

  q n  A B 

  berordo , maka ( ) adalah suatu matriks C = [c ij ] berordo m n  yang entri-entrinya diperoleh dari penjumlahan hasil kali entri-entri pada baris ke-i matriks A dengan entri-entri

    pada kolom ke-j matriks B yang bersesuian, dengan i 1, 2, 3, ..., m dan j 1, 2, 3, ..., n .

  Pernyataan ini dapat ditulis sebagai berikut: _n

  c  a  b  a  b  a  b  ...  a  b _{ij ik kj i j i j in nj 1 1 2 2}  _{k  1}

  >> SIFAT-SIFAT ARITMETIKA MATRIKS Dengan mengasumsikan bahwa ordo matriks sedemikian rupa sehingga operasi-operasi tersebut yang disebutkan dapat dilakukan, aturan-aturan aritmetika matriks berikut ini berlaku. Misalkan pula a dan b merupakan suatu skalar/konstanta.

    

  (a) A B B A (Hukum komutatif dalam penjumlahan matriks) (b) A  B C   A B   C (Hukum asosiatif dalam penjumlahan matriks)

  ( ) ( )

  (c)  (Hukum asosiatif dalam perkalian matriks)

  A BC ( ) ( AB C )   

  (d) A B C ( ) AB AC (Hukum distributif kiri)

    

  (e) ( B C A ) BA CA (Hukum distributif kanan)

    

  (f) A B C ( ) AB AC (g) B C A   BA CA 

  ( )

  (h)   

  a B C ( ) aB aC   

  (i) a B C ( ) aB aC

    

  (j) ( a b C ) aC bC

    

  (k) ( a b C ) aC bC (l) a bC  ab C

  ( ) ( )  

  (m) a BC ( ) ( aB C ) B aC ( ) >> TRANSPOS MATRIKS _T

   , maka transpos dari A, dinyatakan dengan A Jika A adalah matriks berordo m n

  , didefinisikan sebagai matriks n m  yang didapatkan dengan mempertukarkan baris-baris dan _T kolom-kolom dari A, sehingga kolom pertama dari A adalah baris pertama dari A, kolom _T kedua dari A adalah baris kedua dari A, dan seterusnya. _T

  A  A  

    _{ij ji} Jika ordo matriks sedemikian rupa sehingga operasi-operasi berikut dapat dilakukan, dan

  k merupakan skalar sebarang, maka sifat-sifat transpos ini berlaku. _{T T} A A

  (a) ( )  _{T T T}

  A B A B

  (b)  )   ( _{T T T}

  A B A B

  (c) (  )   _{T T}

  kA kA

  (d)  dengan k adalah suatu konstanta ( ) _{T T T}

  AB B A

  (e) ( )  >> TRACE SUATU MATRIKS

  Jika A merupakan suatu matriks persegi, maka trace dari A yang dinyatakan dengan tr(A), didefinisikan sebagai jumlah entri-entri pada diagonal utama A. Trace dari matriks A tidak dapat didefinisikan jika A bukanlah matriks persegi. Contoh:

   1 2

  7  

    a a a _{11 12 13}

   

  3 5  8 4

   

   

  A a a a , B  _{21 22 23}   

   

  1

  2 7 

  3

    a a a _{31 32 33  }

   

  4  2 1   tr(A) = a + a + a tr(B) =

  11

  22 33 –1 + 5 + 7 + 0 = 11

  >> MATRIKS YANG DIPERBESAR Jika lokasi-lokasi dari +, x, dan = dapat diingat, maka sistem persamaan linier yang terdiri dari m persamaan linier dengan n variabel

  a x  a x   ... a x  b _{11 1 12 2 1 n n 1} a x  a x   ... a x  b _{21 1 22 2 2 n n 2}

  

  a x  a x   ... a x  b _{m 1 1 m 2 2 mn n m}

  dapat disingkat dengan hanya menuliskan bilangan-bilangannya dalam bentuk matriks sebagai berikut:

  a a a

   b  _{11 12 1 n}  ¹

   

  a a a _{21 22 2 n} b

   ²    

     

   

  a a a _{m 1 m}

_{2 mn}

b

    m   

  Sebagai contoh:

  9

  1 1 2

  9 _{1 2 3}    

  x   x 2 x 

  2 x  ₁ 4 x  ₂

  3 x  ₃ 1 

  2 4  3 1    

  3 x  ₁ 6 x  ₂

  5 x  ₃

  3 6  5 0  

• –2 kali baris pertama ke baris kedua untuk memperoleh:
_{2 1} 1 1 2

  1

  1

  → ^{7 17 2 2}

           

     

  b

  17 3 11 27

  7

  2

  9

  2

  1

  1

  untuk memperoleh: _{1 2 2}

  2

  Kalikan baris kedua dengan

  2

          

  x y z y z y z

  27

  11

  3

  17

  7

  2

  9

  2

  →

     

       

  17 3 11 27    

  1

  9

  2

  3

          

  9 x y z y z z

  2

  → ^{7 17} _{2 2 3 1 2 2}

           

  1    

  9

  2

  1

  1

  → ^{7 17} _{2 2 3 1 2 2}

            

     

  b b

  1 3 11 27

  1 3 11 27    

  27

           

  → ^{7 17 2 2}

  2

  9

  3

  11

  x y z y z y z

  9

          

  Tambahkan

  3 ²

  1

  1

  2

  7

  9

  Kalikan baris ketiga dengan –2 untuk memperoleh:

  9

  2

  9

  → 1 1 2

          

     

  b b

  3 6 5 0

  2

  2 4 3 1

  9

  Tambahkan

         

  3 6 5 0    

  2 4 3 1

   1 1 2

  17

  9

  >> ELIMINASI GAUSS-JORDAN Eliminasi Gauss-Jordan ini lebih dikenal dengan operasi baris elementer (OBE). Langkah-langkah eliminasi Gauss-Jordan dalam suatu sistem persamaan linier adalah: 1. perhatikan kolom paling kiri yang tidak seluruhnya nol, 2. jika perlu, pertukarkan baris paling atas dengan baris lain untuk menempatkan entri taknol pada puncak yang diperoleh pada langkah pertama,

  3. jika entri yang kini berada pada puncak kolom yang diperoleh pada langkah awal adalah a, kalikan baris pertama dengan 1/a sehingga terbentuk 1 utama,

  4. tambahkan kelipatan yang sesuai dari baris paling atas ke baris-baris di bawahnya sehingga semua entri di bawah 1 utama menjadi 0,

  5. tutuplah baris paling atas dan mulailah lagi dengan langkah pertama pada submatriks yang tersisa; lanjutkan langkah ini hingga seluruh matriks berada dalam bentuk eselon baris, 6. mulai dengan baris taknol terakhir dan bergerak ke atas, tambahkan kelipatan yang sesuai dari tiap baris ke baris di atasnya untuk memperoleh nol di atas 1 utama.

  Contoh:

  2

  2

          

  4

  3

  1

  3

  6

  5 x y z x y z x y z

  7

  3

  2

  9

  1

  1

  →

     

       

     

  b b

  3

  5

  6

  3

  17

  7

  2

  1 1 2

  6

  7

  5    

          

  →

  2

  9

  2

  17

  3 ¹

  3

  6

  5

  x y z y z x y z

       

     Tambahkan –3 kali baris pertama ke baris ketiga untuk memperoleh:

• –3 kali baris kedua ke baris ketiga untuk memperoleh:
_{7 17 2 2}

  1

  1

  2

  9

  1

  1

  2 9 x  y  2 z 

  9       _{7 17  7 17  7 17} 1   _{2 2 →} 1   y  z   _{2 2 → 2 2}

      _{1 3}  

     2b  0 1 _{2 2   3} 3  z 

  3  

7 Tambahkan kali baris ketiga ke baris kedua dan

• –2 kali baris ketiga ke baris pertama untuk

  2

  memperoleh:

  1

  1

  2 9 b  2 b

  1

  1 3 x  y 

  3     _{1 3}

   ^{7 17  7  } 1   b  b 1 2 y  _{2 2 2 2 3 → →}

  2         z 0 1

  3

  1 3 

  3    

  Tambahkan

• –1 kali baris kedua ke baris pertama untuk memperoleh:

  b b

  1

  1 3 

  1 1 x 

  1     _{1 2}

     

  1

  2

  1 2 y 

  2 → →

         

  1

  3

  1 3 z 

  3    

  >> JENIS-JENIS MATRIKS 1.

  Matriks baris Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri dari dari satu baris. Sebagai contoh: 2 0 ; −1 3 −5 ; 1 4 6 3 5

2. Matriks kolom

  Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom. Sebagai contoh:

  3

  2

  1

  7 1 ; ; −

  7 −11

  2

  5 3. Matriks nol

  Matriks nol adalah matriks yang seluruh entrinya berupa bilangan 0. Sebagai contoh: ;

  ; 0 0 0 4. Matriks persegi Matriks persegi adalah matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom. Sebagai contoh:

  1

  56

  9

  3

  34

  7 −83 ;

  19

  8

  2

  5 −9 5.

  Matriks identitas Matriks identitas ( ) adalah matriks persegi sedemikian sehingga a  jika i  dan j _ij

  a  _ij 1 jika i  . Atau dengan kata lain, matriks identitas adalah matriks persegi yang elemen j

  pada diagonal utamanya 1 dan elemen yang lainnya semua 0. Sebagai contoh:

  1

  1 =

  2

  3

  1

  1 6. Matriks segitiga atas

  Suatu matriks persegi A  a sedemikian sehingga a  jika i  disebut matriks j

  [ ]

_{ij ij}

  segitiga atas. Atau, dengan kata lain, matriks segitiga atas adalah matriks yang semua entri di bawah diagonal utamanya merupakan bilangan nol. Sebagai contoh:

7. Matriks segitiga bawah

     disebut matriks j

  Suatu matriks persegi A [ ] a sedemikian sehingga a jika i _{ij ij} segitiga bawah. Atau, dengan kata lain, matriks segitiga bawah adalah matriks yang semua entri di atas diagonal utamanya merupakan bilangan nol. Sebagai contoh: 8.

  Matriks diagonal (kuasi-skalar)

  

  Matriks diagonal adalah matriks persegi sedemikian sehingga a jika i  . j _ij

  2 = diag 2, −1, 0

  −1 0 9. Matriks skalar

  

  Matriks skalar adalah matriks persegi sedemikian sehingga a jika i  dan j _ij

  a  x (x merupakan suatu skalar) jika i  . Sebagai contoh: j _ij

  2

  2 = 2 (3)

  2 10. Matriks idempoten ₂ Suatu matriks persegi disebut sebagai matriks idempotent jika A  . Sebagai contoh: A

  2

  4

  4 −2 −2

  =

  6

  6 −3 −3 11.

  Matriks involutorik ₂ A

  I Suatu matriks persegi disebut sebagai matriks involutorik jika  . Sebagai contoh:

  2

  1

  1 =

  1 −1 12.

  Matriks simetrik _T Suatu matriks persegi disebut simetrik jika A  . Sebagai contoh: A

  1

  2

  3 −4

  3 −4 −2 13.

  Matriks simetrik-miring _T Suatu matriks persegi disebut simetrik-miring jika A   . Sebagai contoh: A

  2

  3 −2 0 −4 −3 4

  >> MATRIKS INVERS Jika A adalah matriks persegi, dan jika terdapat matriks B yang ordonya sama dengan matriks A sedemikian rupa sehingga AB = BA = I, maka A disebut matriks nonsingular

  (dapat dibalik) dan B disebut sebagai matriks invers dari A. Jika matriks B tidak dapat didefinisikan (atau dengan kata lain, matriks A tidak mempunyai invers), maka A dinyatakan sebagai matriks singular.

  TEOREMA 1 Jika B dan C kedua-duanya adalah invers dari matriks A, maka B = C.

  Teorema 1 menyatakan bahwa matriks yang dapat dibalik hanya memiliki tepat satu invers .

  TEOREMA 2

  Matriks = nonsingular jika ad

• – bc ≠ 0, dan inversnya dapat dicari menggunakan rumus berikut:

  −

  1 −

  −1

  − − = =

  − −

  − − −

  TEOREMA 3

  Jika A dan B adalah matriks nonsingular dan berordo sama, maka:

   ^{1  1}

  a. AA  A A  ; dimana matriks I adalah matriks identitas

  I  ^{1  1  1}

  b. ( AB )  B A

     _{1 1 1}

  c. ( BA )  A B

   ^{1  1}

  d. ( A )  A

  TEOREMA 4 _T

  Jika A adalah matriks nonsingular, maka A juga merupakan matriks nonsinngular dan _{T  1  1 T}

  ( A )  ( A )

  L A

  Suatu matriks A berordo jika _L × dikatakan memiliki matriks invers kiri

  A A

    , dan A disebut nonsingular kiri; dalam kasus ini, I haruslah berordo × dan

  I _L

  A haruslah berordo

  × . Sementara, suatu matriks A berordo × dikatakan memiliki _{R R}

  matriks invers kanan A jika A A

  I

    , dan A disebut nonsingular kanan; dalam kasus _R ini, I haruslah berordo A haruslah berordo × dan × .

  TEOREMA 5 Matriks invers kiri (kanan) dari suatu matriks tidaklah bersifat tunggal.

  Teorema 5 menyatakan bahwa matriks invers kiri (ataupun kanan) dari suatu matriks

  tidak hanya memiliki tepat satu invers kiri

  (ataupun invers kanan), melainkan memiliki banyak kemungkinan . Perhatikan contoh berikut. 1 2

    3  2 0  7 0 2    

   

  A 1 3 B C

  ; ;    

      

   1 1 0  11 3 2    

    4 7  

  1   1 0

     

  AB

  1 ; BA   

     0 1  

    5  1 0  

  

  29

  6

  5   1 0

     

  AC  

  40

  9 8 ; CA  

     0 1

     

   105 21 22  

  Dari contoh di atas, dapat dilihat bahwa matriks B dan C merupakan matriks invers kiri dari matriks A, tetapi matriks A bukanlah matriks invers kanan dari matriks B maupun C. _{L L} Jadi, B  A dan C  A , tetapi B  . C

  TEOREMA 6 _L

  Jika A adalah suatu matriks persegi dan mempunyai suatu matriks invers kiri A , maka A _{L R L}

   ¹ merupakan matriks nonsingular dan A  A . Akibatnya, pastilah A  A . _R

  Jika A adalah suatu matriks persegi dan mempunyai suatu matriks invers kanan A , maka A _{R  1 L R}

  A A A A merupakan matriks nonsingular dan  . Akibatnya, pastilah  .

  >> MATRIKS ELEMENTER Jika matriks B dapat diperoleh dengan melakukan sejumlah urutan operasi baris elementer terhadap matriks A, maka kita dapat memperoleh kembali matriks A dari matriks B dengan melakukan invers dari operasi-operasi baris elementer dalam urutan terbalik. Matriks

  A

  dan B dikatakan ekuivalen baris jika masing-masing matriks dapat diperoleh dari satu sama lainnya melalui sejumlah urutan operasi baris elementer.

  Selanjutnya akan dipelajari definisi dari matriks tipe khusus yang dapat digunakan untuk melakukan operasi baris elementer melalui perkaliann matriks. Suatu matriks persegi

  × disebut matriks elementer jika matriks tersebut dapat diperoleh dari matriks identitas dengan melakukan operasi baris elementer tunggal. Berikut ini terdapat empat matriks elementer dan operasi-operasi yang menghasilkannya.

  Ketika suatu matriks A dikalikan dengan sisi kirinya matriks elementer pada E, dampaknya adalah dilakukannya operasi baris elementer terhadap A. Ini merupakan isi dari Teorema 7 berikut.

  TEOREMA 7

  Jika matriks elementer E diperoleh dengan cara melakukan operasi baris elementer tertentu terhadap , dan jika A adalah matriks × , maka hasil kali EA adalah matriks yang dihasilkan jika operasi yang sama dilakukan terhadap A.

  Sebagai contoh, perhatikan matriks berikut.

  1 0 2 3    

  A 

  2  1 3 6     1 4 4 0  

  Jika baris ketiga matriks tersebut dijumlah dengan 3 kali baris pertama, maka akan diperoleh:  1 0 2 3   1 0 2 3      2  1 3 6

  2  1 3 6 →

          1 4 4 0 b  ₃ 3 b 4 4 10 9 ₁

     

  Matriks elementer dari operasi ‘ ’ terhadap matriks A adalah: _{3 1} 1 0 0 1 0 0     merupakan   

  b  3 b

  matriks yang

    0 1 0 0 1 0 E →

     

  sama

      0 0 1 b  ₃ 3 b 3 0 1 ₁    

  Berdasarkan Teorema 7, diperoleh: 1 0 0 1 0 2 3 1 0 2 3            

  EA  0 1 0 

  2  1 3 6  2  1 3 6             3 0 1 1 4 4 0 4 4 10 9      

  TEOREMA 8

  1

  6

  14

  → ^{1 2} 1 2 0

     

        

      

  b b b b

  2

  2 0 1 0

  5

  1

  3 0 0

  1

  2

  3

  3 0 1

  3

  13

  3

  13

       

     

  1 

  2

  5

  3 0 0 1

  5

  → 1 0 0 40 16 9 0 1 0

  5

     

       

     

   b b 

  1

  2

  5

  3 0 0 1

  1

  → ^{1 3 2 3} 1 2

  Setiap matriks elementer merupakan matriks nonsingular (dapat dibalik), dan inversnya juga merupakan matriks elementer.

  Hal yang perlu diingat adalah, untuk mencari invers dari matriks nonsingular, harus dicari suatu urutan operasi baris elementer yang mereduksi menjadi identitas dan melakukan urutan operasi yang sama terhadap untuk memperoleh

  !

        

     

  A

  2 5 3 1 0 8

  . Metode sederhana untuk melakukan prosedur ini diberikan pada contoh berikut. Contoh: Tentukan invers dari 1 2 3

  −1

   

  I A 

     _{1 3 2}

₁

... _{k n} E E E E I A

  I A  

  E E E E A I  _{1 1 3 2 1} ... _{k n} E E E E A A

  Sebagai aplikasi dari Teorema 9, dapat dicari metode untuk menentukan invers dari suatu matriks nonsingular. _{3 2 1} ... _{k n}

  Bentuk eselon baris tereduksi dari A adalah . (d) A dapat dinyatakan sebagai hasil kali dari matriks-matriks elementer.

  (a) A merupakan matriks nonsingular. (b) A = hanya memiliki solusi trivial. (c)

  Jika A adalah matriks × , maka persamaan-persamaan berikut adalah ekuivalen.

  TEOREMA 9

    ¹ | | A I

       _{2 1}

      

  1 3 2 1 0

       

     

  3 2 1 0 0 0 1 5 2 1 b

  → ₃ 1 2 3 1 0 0 0 1

      

       

  2 5 1 0 1 2 b b    

  3 1 0 0

  3 ¹

  2

  1

  → _{3 2}

    

      

     

  b b b b

  1 2 3 1 0 0 2 5 3 0 1 0 2 1 0 8 0 0 1

     

   40 16

  9  

   ¹

    Jadi, A  13  5  3 .

     5  2  1   

  >> MINOR DAN KOFAKTOR Jika A adalah suatu matriks persegi, maka minor dari entri dinyatakan sebagai dan didefinisikan sebagai determinan dari submatriks yang tersisa setelah baris ke-i dan

• +

  kolom ke-j dihilangkan dari A. Bilangan dinyatakan sebagai dan disebut

  −1 sebagai kofaktor dari entri . Contoh: 3 1 

  4    

  A 2 5

  6 Misalkan . Tentukan minor dan kofaktor dari entri: a dan a ! _{11 32}   

    1 4

  8  

  Minor dari entri a adalah ₁₁ Kofaktor dari a adalah _{11 1 1 }

  C   ( 1) M  M  _{11 11 11}

  16 Minor dari entri a adalah ₃₂ Kofaktor dari a adalah _{32 3 2 }

  C   ( 1) M   M   _{32 32 32}

  26 Berdasarkan contoh di atas, perhatikan bahwa kofaktor dan minor dari suatu elemen hanya berbeda dalam tandanya, dimana = ± . Satu cara cepat untuk menentukan apakah tanda + atau

• – yang digunakan adalah dengan menggunakan fakta bahwa tanda yang berkaitan dengan dan berada dalam baris ke-i dan kolom ke-j dari susunan ‘papan catur’ berikut.

        

    

       

     

       

        

   

        Sebagai contoh, C M , C M , C M , C M , dan seterusnya. _{11 11 21 21 13 13 34 34}

  >> MATRIKS KOFAKTOR DAN MATRIKS ADJOIN Jika A adalah matriks adalah kofaktor dari , maka matriks

  × sebarang dan

  C C C

    _{11 12 1 n} 

   

  C C C _{21 22 2 n}

      

      

  C C C _{n n nn}

   ^{1 2  }   disebut matriks kofaktor dari A dan dinyatakan sebagai cofac(A). Transpos dari matriks ini disebut matriks adjoin dari A dan dinyatakan sebagai adj(A).

  Contoh:

  3 2 

  1    

  A

  1

  6

  3 Misalkan . Tentukan matriks kofaktor dan matriks adjoin dari matriks A !   

   2  4   

  Kofaktor-kofaktor dari matriks A adalah

  C  C  C  

  16 ₁₁

  12 ₁₂

  

6

₁₃ C  ₂₁

  4 C  ₂₂

  2 C  ₂₃

  16 C  ₃₁

  12 C   ₃₂

  10 C  ₃₃

  16 Jadi, matriks kofaktor dari A adalah

  12 6 

  16     cofac A

  4

  2

  16

   

      12 

  10 16    dan matriks adjoin A adalah

  12

  4

  12     adj A 

  6 2 

  10

   

      16 16 16   

  L A T I H A N S O A L

  1. Manakah dari persamaan berikut yang merupakan persamaan linier?

    x x

  a) x

  3 y ₁

  7

  d)  ₁ 3  ₂

  5

  b x c

  3 a  2 b c ac   

  5

  b)   ₂ 3 

  1

  e)

  p p p p 

  c)  ₁

  2  ₂ 3   _{3 4}

  f) y log x

  2. Tentukanlah solusi untuk sistem persamaan linier berikut dengan menggunakan operasi baris elementer.

  x x x ₁  2   ₂

₃

  6 3 x   x _{1 2}

2 x 

₃

  4 7 x  ₁ 6 x  x  _{2 3}

  10

  3. Misalkan A, B, C, D, dan E adalah matriks-matriks dengan ordo berikut:

  A , B , C , D , E _{4 5  4 5  5 2  4 2  5 4 }

  Tentukan apakah pernyataan-pernyataan berikut ini dapat didefinisikan. Bagi yang dapat didefinisikan, berikan ordo matriks hasilnya.

  BA AB  B a.

  d. E AC ( ) g. _T

   AE  B

  b. E A ( B ) e. _T

  h. ( A  E D )

  c. AC  D

  f. E A 4. Selesaikanlah a, b, c, dan d pada persamaan matriks berikut.

  a b  b c  8 1

      

      3 d  c 2 a  4 d 7 6

     

  5. Misalkan matriks M dan N diberikan sebagai berikut: 1 2 3 2    

  M ; N

        1 3 2 2    

2 Hitunglah:

  a. MN

  c. M

  e. tr(M + N)

  b. NM

  d. tr(N)

  f. tr(3M)

  6. Perhatikan sistem persamaan linier berikut

  x  y  z 

  2

  3

  4 x   y z 

  3

  5 ₂

  2 4 x   y ( a  14) z   a

  2 Untuk nilai a berapakah sistem ini:

  a. tidak memiliki solusi

  b. tepat satu solusi

  c. takterhingga banyaknya solusi

  7. Untuk nilai n berapakah, sistem persamaan linier homogen berikut:

  2

           

  3 C    

  7

  2

  1

  7

  1

  c) ₃ E A C 

  4

  3

  ;

          

  1 B    

  4

  Tentukan matriks-matriks elementer ₁ E ,

₂

E , ₃ E , dan ₄ E sedemikian rupa sehingga: a) ₁ E A B 

  b) ₂ E B A 

  1

  ! 11. Tentukanlah matriks kofaktor dan matriks adjoin dari matriks P berikut.

    

     

  2 P 

  3

  6 0 0 3 3 4 1 0 14 4 1

  4 1 1

         

  d) ₄ E C A  10.

  1 M    

  6

  2

  5 3 6 9

  1

  Tentukan invers dari

  3

  7

  ( 3)

( 3)

n x y

x n y

  

B

  

  b) ¹ B

  

  a) ¹ A

    Tentukan:

      

  2 2

  ( ) AB 

    ; 3 2

      

  A

  1 2 1 3

  memiliki solusi nontrivial? 8. Perhatikan matriks-matriks berikut ini.

       

  c) ¹

  d) ¹ ( ) ^{T T}

  2

  1

  5

  1

  8

  ;

          

  5 A    

  8

  B A  9. Perhatikan matriks-matriks di bawah ini.

  1

  7

  2

  1

  4

  3

        