BILANGAN KROMATIK LOKASI UNTUK GRAF Cn Km , DENGAN n ≥ 3 DAN m ≥ 1

  Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 1 Hal. 37 – 41

  ISSN : 2303–2910 Jurusan Matematika FMIPA UNAND c

BILANGAN KROMATIK LOKASI UNTUK GRAF

C

_{n ⊙ K m , DENGAN n ≥ 3 DAN m ≥ 1}

  

MERY ANGGRAINI, NARWEN

Program Studi Matematika,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas,

Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia.

meryanggraini09@yahoo.com

Abstrak.

  Misalkan G merupakan graf terhubung dan c merupakan pewarnaan k yang _k

sesuai dari G dengan warna 1, 2, · · · , k. Misalkan Π = {S , S , · · · , S } merupakan par-

  1

  2 _i

tisi dari V (G) ke dalam kelas-kelas warna yang saling bebas, dimana S merupakan

himpunan dari titik yang diberi warna i, dengan 1 ≤ i ≤ k. Kode warna c (v) dari titik

V merupakan vektor dengan banyak unsur k yaitu _k

(d(v, S ), d(v, S ), · · · , d(v, S )),

_{i i}

  1

  

2

dimana d(v, S ) adalah jarak dari v ke S , dengan 1 ≤ i ≤ k. Jika untuk setiap dua titik

yang berbeda u, v di G, c (u) 6= c (v), maka c disebut sebagai pewarnaan kromatik

  Π Π

lokasi dari G. Pewarnaan lokasi dengan banyak warna yang digunakan minimum disebut

pewarnaan lokasi minimum, dan kardinalitas dari himpunan yang memuat pewarnaan

_L

lokasi minimum disebut bilangan kromatik lokasi dari G, dinotasikan dengan χ (G).

  Graf korona G ⊙ H dari dua graf G dan H adalah graf yang diperoleh

dengan mengambil sebuah duplikat dari graf G dan sebanyak |V (G)| duplikat

H , H ,

  1 2 · · · , H dari H, kemudian menghubungkan titik ke-i dari graf G ke se- _i |V (G)|

tiap titik di H , i = 1, 2, 3, · · · , |V (G)|. Pada tulisan ini, akan dikaji kembali makalah [2]

_{n m} tentang bilangan kromatik lokasi dari graf C ⊙ K , n ≥ 3 dan m ≥ 1.

  Kata Kunci : Bilangan kromatik lokasi, Graf korona

1. Pendahuluan

  Misalkan terdapat graf G dan H sebarang. Graf hasil korona antara graf G dan H dinotasikan dengan G ⊙ H. Misalkan V (G) = {x , x , · · · , x n } dan V (H i ) =

  1

  2 , a ,

  {a i i · · · , a im }, dimana H i adalah duplikat ke-i dari graf H. Maka graf G ⊙ H

  1

  2 mempunyai himpunan titik dan himpunan sisi sebagai berikut. _[ n V (G ⊙ H) = V (G) ∪ V (H i ), i =1 _[ n

  E (G ⊙ H) = E(G) ∪ E (H ) ∪ {x a |1 ≤ j ≤ m, a ∈ V (H )}, i i ij i i i =1 dengan H i adalah duplikat dari graf H. Dapat dilihat bahwa :

  |V (G ⊙ H)| = |V (G)| + |V (G)|.|V (H)|, n m Bilangan Kromatik Lokasi untuk Graf C ⊙ K

  41 Pada tulisan ini akan dikaji kembali makalah [2], yang membahas tentang bi-

  langan kromatik lokasi dari graf C n ⊙ K m , n ≥ 3 dan m ≥ 1, dimana K m adalah komplemen dari graf lengkap K m dengan m titik.

  2. Bilangan Kromatik Lokasi Pewarnaan titik (vertex coloring) pada graf G = (V, E) adalah suatu pemetaan c : V → N, dimana N adalah himpunan bilangan asli sedemikian sehingga c(v) 6= c (w) jika v dan w bertetangga. Jika banyaknya warna yang digunakan sebanyak k maka G dikatakan mempunyai k-pewarnaan. Bilangan kromatik (chromatic number) dari G adalah bilangan asli terkecil k sedemikian sehingga jika titik-titik di G diwarnai dengan k warna, maka setiap dua titik yang bertetangga tidak akan mempunyai warna yang sama. Bilangan kromatik dari G dinotasikan dengan χ(G).

  Bilangan kromatik lokasi (locating chromatic number) dari graf G, dinotasikan dengan χ L (G), adalah bilangan asli terkecil k sedemikian sehingga terdapat pewar- naan lokasi dengan kardinalitas k untuk graf G. Karena setiap pewarnaan lokasi merupakan suatu pewarnaan, maka χ(G) ≤ χ L (G) untuk setiap graf terhubung G. Chartrand, dkk. [5] menentukan bilangan kromatik lokasi dari beberapa graf seperti lintasan, siklus, graf multipartit lengkap dan graf bintang ganda.

  Berikut adalah lema pendukung yang diperlukan dalam pembuktian kembali hasil kajian makalah ini. Lema 2.1. [2] Misalkan G adalah graf terhubung nontrivial. Misalkan c adalah pewarnaan lokasi untuk G dan u, v ∈ V (G). Jika d(u, w) = d(v, w) untuk setiap w ∈ V (G) − {u, v}, maka u dan v harus berbeda warna. Bukti. Misalkan c adalah pewarnaan lokasi pada graf terhubung nontrivial G

  , S , dan misalkan Π = {S · · · , S k } adalah partisi dari titik-titik G ke dalam ke-

  1

  2 las warna S i untuk suatu titik u, v ∈ V (G). Akan dibuktikan dengan menggu- nakan kontradiksi. Misalkan c(u) = c(v) sedemikian sehingga titik u dan v berada

  , S , dalam kelas warna yang sama, misalnya S i dari Π = {S · · · , S k }. Akibatnya

  1

  2 d

  (u, S i ) = d(v, S i ) = 0. Karena d(u, w) = d(v, w) untuk setiap w ∈ V (G) − {u, v}, maka d(u, S j ) = d(v, S j ) untuk j 6= i, 1 ≤ j ≤ k. Akibatnya c Π (u) = c Π (v) sehingga c bukan pewarnaan lokasi. Jadi, c(u) 6= c(v).

  3. Pembahasan Graf C n ⊙ K m adalah graf yang diperoleh dari graf siklus C n dengan n titik dan sebanyak n buah duplikat dari komplemen graf lengkap K m dengan m titik, dengan cara menghubungkan setiap titik di duplikat K m ke-i ke titik x i di graf C n , untuk i = 1, 2, · · · , n. Dalam bab ini akan dikaji kembali mengenai bilangan kromatik lokasi untuk graf C n ⊙ K m dengan n ≥ 3 dan m ≥ 1. Perhatikan graf C n ⊙ K m pada Gambar 1.

  Teorema 3.1.

  Mery Anggraini, Narwen

  42 n m adalah sebagai berikut.

  3, jika 3 ≤ n ≤ 5, χ

  L (C n ⊙ K 1 ) = 4, jika n ≥ 6, m + 1, jika m ≥ 2, 3 ≤ n ≤ m + 1,

  χ L (C n ⊙ K m ) = m + 2, jika m ≥ 2, n ≥ m + 2.

  Bukti. Misalkan V (C n ⊙ K m ) = {x , x , · · · , x n } ∪ V (H ) ∪ V (H ) ∪ · · · ∪ V (H n ),

  1

  2

  1

  2 dimana V (H i ) = {a ij |1 ≤ j ≤ m} adalah himpunan titik dari duplikat ke-i di K m .

  Dari Lema 2.1, setiap dua titik di V (H i ) harus berada dalam kelas warna yang berbeda. Karena x i bertetangga dengan semua titik di H i , maka x i harus berada dalam kelas warna yang berbeda dari titik di V (H i ). Sehingga, χ L (C n ⊙ K m ) ≥ m

• 1. Pandang dua kasus berikut.

  Kasus 1 . m = 1. Untuk 3 ≤ n ≤ 5, jelas bahwa χ L (C n ⊙ K ) ≥ 3.

  1 Untuk C 3 ⊙ K 1 , akan ditunjukkan bahwa χ L (C 3 ⊙ K 1 ) = 3, seperti pada Gambar 2.

  Misal dikonstruksikan kelas warna sebagai berikut.

• S = {x , a , a },

  1

  1

  2

  3

• S = {x , a },

  2

  2

  1 • S = {x }.

  3

3 Untuk menunjukkan bahwa χ L (C ⊙ K ) = 3, cukup dengan menunjukkan

  3

  1 bahwa pewarnaan titik yang diberikan berikut memenuhi pewarnaan lokasi. Kode warna yang diperoleh adalah :

  , S , S , S

• c
• c Π (a 1 ) = (d(a
• c Π (a 2 ) = (d(a

  1 . Sehingga, bilangan kromatik lokasi

  3 , S

  1 ), d(a

  3 , S

  2 ), d(a

  3 , S 3 )) = (0, 2, 1).

  Karena setiap titik pada C

  3 ⊙ K

  1 memiliki kode warna yang berbeda, maka c merupakan pewarnaan lokasi pada graf C

  3 ⊙K

  χ L (C

  2 , S

  3 ⊙ K

  1 ) = 3.

  Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa untuk C

  4 ⊙ K

  1 , berlaku χ L (C

  4 ⊙ K

  1 ) = 3, seperti pada Gambar 3.

  Gambar 3. Graf C

  4 ⊙ K

  3 )) = (0, 1, 2),

  2 ), d(a

  1 Mery Anggraini, Narwen

  2 , S

  Bilangan Kromatik Lokasi untuk Graf C ⁿ ⊙ K ^m

  43 Gambar 2. Graf C 3 ⊙ K

  1

  Π (x

  2 ) = (d(x

  2 , S

  1 ), d(x

  2 , S

  2 ), d(x

  3 )) = (1, 0, 1),

  2 , S

  , S , S , S

  1 , S

  1 ), d(a

  1 , S

  2 ), d(a

  1 , S

  3 )) = (1, 0, 2),

  2 , S

  1 ), d(a

• c Π (a 3 ) = (d(a

  44

• S = {x , x , a },

  1

  1

  3

  2 , x , a

• S = {x },

  2

  2

  4

  3 , a • S = {a }.

  3

  1

4 Kode warna yang diperoleh adalah :

  , S , S , S

• c Π (x 1 ) = (d(x

  1 1 ), d(x

  1 2 ), d(x

  1 3 )) = (0, 1, 1), , S , S , S

• c Π (x 2 ) = (d(x

  2 1 ), d(x

  2 2 ), d(x

  2 3 )) = (1, 0, 2), , S , S , S

• c Π (x 3 ) = (d(x

  3 1 ), d(x

  3 2 ), d(x

  3 3 )) = (0, 1, 2), , S , S , S

• c Π (x 4 ) = (d(x

  4 1 ), d(x

  4 2 ), d(x

  4 3 )) = (1, 0, 1), , S , S , S

• c Π (a 1 ) = (d(a

  1 1 ), d(a

  1 2 ), d(a

  1 3 )) = (1, 2, 0),

• c (a ) = (d(a , S ), d(a , S ), d(a , S )) = (0, 1, 3),

  Π

  2

  2

  1

  2

  2

  2

  3

• c (a ) = (d(a , S ), d(a , S ), d(a , S )) = (1, 0, 3),

  Π

  3

  3

  1

  3

  2

  3

  3 • c (a ) = (d(a , S ), d(a , S ), d(a , S )) = (2, 1, 0). Π

  4

  4

  1

  4

  2

  4

  3 Karena setiap titik pada C ⊙ K memiliki kode warna yang berbeda, maka c

  4

  1 merupakan pewarnaan lokasi pada graf C ⊙K . Sehingga, bilangan kromatik lokasi

  4

  1 χ L (C ⊙ K ) = 3.

  4

1 Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa untuk C ⊙ K , berlaku χ L (C ⊙ K ) = 3,

  5

  1

  5

  1 seperti pada Gambar 4.

  Gambar 4. Graf C 5 ⊙ K

  1 Misal dikonstruksikan kelas warna sebagai berikut.

  , x , a , a

• S = {x },

  1

  1

  3

  2

  5 , x , a

• S = {x },

  2

  2

  4

  3 , a , a • S = {x }.

  3

  5

  1

4 Kode warna yang diperoleh adalah:

  , S , S , S n m Bilangan Kromatik Lokasi untuk Graf C ⊙ K

  45

• c (x ) = (d(x , S ), d(x , S ), d(x , S )) = (1, 0, 2),

  Π

  2

  2

  1

  2

  2

  2

  3 , S , S , S

• c (x ) = (d(x ), d(x ), d(x )) = (0, 1, 2),

  Π

  3

  3

  1

  3

  2

  3

  3 , S , S , S

• c (x ) = (d(x ), d(x ), d(x )) = (1, 0, 1),

  Π

  4

  4

  1

  4

  2

  4

  3 , S , S , S

• c (x ) = (d(x ), d(x ), d(x )) = (1, 1, 0),

  Π

  5

  5

  1

  5

  2

  5

  3 , S , S , S

• c (a ) = (d(a ), d(a ), d(a )) = (1, 2, 0),

  Π

  1

  1

  1

  1

  2

  1

  3 , S , S , S

• c (a ) = (d(a ), d(a ), d(a )) = (0, 1, 3),

  Π

  2

  2

  1

  2

  2

  2

  3 , S , S , S

• c (a ) = (d(a ), d(a ), d(a )) = (1, 0, 3),

  Π

  3

  3

  1

  3

  2

  3

  3 , S , S , S

• c Π (a 4 ) = (d(a

  4 1 ), d(a

  4 2 ), d(a

  4 3 )) = (2, 1, 0), , S , S , S

• c Π (a 5 ) = (d(a

  5 1 ), d(a

  5 2 ), d(a

  5 3 )) = (0, 2, 1).

  Karena setiap titik pada C ⊙ K memiliki kode warna yang berbeda, maka c

  5

  1 merupakan pewarnaan lokasi pada graf C ⊙K . Sehingga, bilangan kromatik lokasi

  5

  1 χ L (C ⊙ K ) = 3.

  5

1 Selanjutnya akan dibuktikan bahwa χ L (C n ⊙ K ) = 4 untuk n ≥ 6. Definisikan

  1 c : V (C n ⊙ K ) → [1, 4] sebagai berikut.

  1 _{   } 4, jika i = 1; _{  } 3, jika (n dan i ganjil, i 6= 1) atau _{  (n genap, i ganjil, 1 < i ≤ 2⌊ ⌋ + 1); } n

  4

• c(x i ) = 2, jika (n ganjil dan i genap) atau _{   (n genap, i ganjil dan i > 2⌊ ⌋ + 1) atau }

  n _

  4 _{ } n _ (n genap, i genap dan i ≤ ); _{ n }

  2 1, jika n dan i genap dan i ≥ + 1. _

  2 _ 1, jika (n ganjil dan semua i) atau n

• c(a i ) = (n genap, i ≤ 2⌊ ⌋ + 1);

  1 _{ n}

  4 3, jika n genap dan i > 2⌊ ⌋ + 1.

  4 Pemetaan c adalah pewarnaan lokasi pada C n ⊙K 1 , untuk n ≥ 6, karena apabila d

  (u, x 1 ) = d(v, x 1 ) maka berlaku salah satu dari empat kemungkinan berikut. (1) u = a i , v = x i ,

  1 +1 (2) u = x i , v = x n ,

• 1−i

  , v (3) u = a i = x n ,

  1

• 1−i

  , v (4) u = x i = a .

  (n+1−i)1 Jika salah satu (1) atau (2) berlaku maka titik u dan v berada di kelas warna yang berbeda. Jika (3) berlaku maka 1 = d(v, S ) < d(u, S ) = 2 atau u dan

  2

  2 v berada di kelas warna yang berbeda. Jika (4) berlaku maka 1 = d(u, S ) <

  2 d (v, S ) = 2 atau u dan v berada di kelas warna yang berbeda. Oleh karena itu,

  2 dalam semua kasus diatas kode warna di u dan v adalah berbeda. Sehingga, c adalah pewarnaan lokasi. Jadi diperoleh bahwa χ L (G) ≤ 4.

  Kasus 2 . m > 1. Untuk 3 ≤ n ≤ m + 1, definisikan c : V (C n ⊙ K m ) → [1, m + 1].

  1

• c 1 (x i ) = i,

  Mery Anggraini, Narwen

  46

  dimana c (V (H i )) = {(c (a i ), c (a i ), · · · , c (a im )}. Jelas bahwa c adalah pewar-

  1

  1

  1

  1

  2

  1

  1 naan lokasi pada C n ⊙ K m .

  Untuk menunjukkan batas atas, definisikan c : V (C n ⊙K m ) → [1, m+2] sebagai

  2 berikut.

• c (x ) = m+2, sementara untuk duplikat K m ke-1, definisikan c (K m ) = [1, m]

  2

  1

  2

  1

• c (x i ) = c(x i ), dimana c(x i ) adalah pewarnaan lokasi di Kasus 1. Sementara

  2 untuk duplikat K m ke-i, definisikan c (V (K m i )) = [1, m + 1] − {c (x i )}.

  2

  2 Dapat dilihat bahwa c 2 adalah pewarnaan lokasi pada (C n ⊙ K m ) untuk n ≥ m + 2 dan m ≥ 2.

  4. Kesimpulan Pada makalah ini, penulis mengkaji kembali makalah [2] mengenai bilangan kro- matik lokasi untuk graf C ⊙ K dengan n ≥ 3 dan m ≥ 1, dimana diperoleh n m bahwa bilangan kromatik lokasi dari graf C n ⊙ K m dengan n ≥ 3 dan m ≥ 1 adalah sebagai berikut.

  3, jika 3 ≤ n ≤ 5, χ

  L (C n ⊙ K 1 ) = 4, jika n ≥ 6, m + 1, jika m ≥ 2, 3 ≤ n ≤ m + 1,

  χ L (C n ⊙ K m ) = m + 2, jika m ≥ 2, n ≥ m + 2.

  5. Ucapan Terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Ibu Dr. Lyra Yulianti, Dr. Mahdhivan Syafwan, Bapak Drs. Syafruddin dan Bapak Zulakmal, M.Si yang telah memberikan masukan dan saran dalam penyempurnaan penulisan artikel ini.

  Daftar Pustaka [1] Asmiati, H. Assiyatun and E. T. Baskoro. 2011. Locating-chromatic number of amalgamation of stars. ITB J. Sci. 1: 1 – 8 [2] Baskoro, E.T, and Purwasih, I.A, (2012). The locating-chromatic number for corona product of graphs. Southeast-Asian J. of Sciences 1 (1): 124 – 134 [3] Bondy, J.A. and Murty, U.S.R. 1976. Graph Theory with Applications. Macmil- lan, London.

  [4] Chartrand, G.,dkk. 2002. The locating-chromatic number of a graph. Bull Inst Combin. Appl 36: 89 – 101

  [5] Chartrand, G.,dkk. 2003. Graphs of order n with locating-chromatic number n − 1. Discrete Math 269 (1 – 3): 65 – 79.