4. INTEGRAL FUNGSI KOMPLEKS - Integral Fungsi Kompleks

4. Integral Fungsi Kompleks

4. INTEGRAL FUNGSI KOMPLEKS
Seperti halnya dalam fungsi riil, dalam fungsi kompleks juga dikenal istilah
integral fungsi kompleks serta sifat-sifatnya. Sifat keanalitikan suatu fungsi dalam
suatu lintasan tertutup penting dalam perhitungan integral. Setelah membaca Bab
4, mahasiswa diharapkan dapat :


Menghitung integral lintasan kompleks.



Menggunakan teorema Cauchy Goursat dan rumus integral Cauchy
dalam perhitungan integral



Menggunakan turunan fungsi analitik untuk menghitung integral

4.1 Fungsi Kompleks dari Variabel Riil

Misalkan F (t ) adalah fungsi kompleks dari variabel riil t , ditulis
sebagai F (t )  u (t )  i v(t ) dengan u (t ) dan v (t ) adalah fungsi riil. Jika
u (t ) dan v (t ) kontinu pada interval tertutup
b


a

F (t ) dt 

Sifat-sifat

1.

b

 u (t ) dt
a

 i

b


a

v (t ) dt

a  t  b,

.

b
b
Re 
F (t ) dt 
Re F (t )  dt

 
 a

 a

38

maka

4. Integral Fungsi Kompleks

b
b
Im 
F (t ) dt 
Im F (t )  dt

 
 a
 a

2.

b

3.

b

 k F (t ) dt  k  F (t ) dt
 F (t ) dt    F (t ) dt
a
b

4.

a

a

a

b

b

5.

 F (t )
a

dt

b




a

F (t )

dt

Pembuktian sifat-sifat integral di atas menggunakan sifat-sifat integral fungsi riil.
Bukti sifat 3 :
b


a

b

k F (t ) dt 

 k [ u (t )  i v(t )] dt
  k u (t ) dt   k i v (t ) dt
a

b

b

a

a

(sifat integral fungsi riil :

b

b

k

f ( x ) dx  k  f ( x )dx

a

a

k

k

b

b

 u (t ) dt  k  i v(t ) dt
a

a

  u(t ) dt   i v(t ) dt 
b

b

a

a

b

k

(terbukti). □

 F (t ) dt
a

Bukti sifat 4 :
b


a

F (t ) dt 

b

 u (t ) dt

a

b


a

 i

b

v (t ) dt


a

(sifat integral fungsi riil :
a
f ( x ) dx   f ( x ) dx )
b

a

   u (t ) dt  i
b

a

 v(t )
b

dt

  u(t ) dt  i  v(t ) dt 
    u (t )  i v (t ) dt 
a



a

b
a

b

b

a

   F (t ) dt
b

4.2 Lintasan

(terbukti). □

Jika g dan h fungsi bernilai riil dan kontinu dari variabel t dalam interval
tertutup

a  t  b,

maka himpunan titik-titik di bidang xy dapat dinyatakan

dalam bentuk parametrik x  g (t ) ,

y  h(t ) ,

a  t  b.

Oleh karena itu,

himpunan titik-titik dalam bidang kompleks juga dapat dinyatakan dalam bentuk
parametrik.

Definisi
4.1

Kurva di bidang datar merupakan kurva mulus (smooth curve) jhj
kurva tersebut dapat dinyakan dengan dua fungsi bernilai riil
x  g (t ) , y  h(t ),   t  
sedemikian sehingga
dalam interval

dx
 g ' (t )
dt

 t  

.

39

dan

dy
 h' (t )
dt

ada dan kontinu

4. Integral Fungsi Kompleks

Contoh

Kurva

dengan

3
x  2 cos t , y  2 sin t , 0  t 
2

1

bentuk

parametrik

merupakan kurva mulus.

□

Jika C merupakan kurva mulus dengan bentuk parametrik :
x  g (t ) , y  h(t ),   t  

maka


titik pada C yang berpadanan dengan t   disebut titik awal C .



titik pada C yang berpadanan dengan

t 

disebut titik akhir C .

Selanjutnya, C disebut lintasan (path) bila C terdiri dari berhingga banyak kurva
mulus,
C  C1  C 2    C n

dengan

C1 , C 2 ,  , C n

penting

dalam

integral

merupakan kurva mulus. Pengertian lintasan ini sangat
fungsi

kompleks

karena

berperan

sebagai

selang

pengintegralan dalam integral fungsi riil dari satu variabel.
Catatan :
1.

C disebut lintasan tertutup jika titik akhir C berhimpit dengan titik

awal C .
2.

C disebut lintasan terbuka jika titik akhir C tidak berhimpit dengan

titik awal C .
3.

C disebut lintasan sederhana jika lintasan tidak memotong dirinya

sendiri.
4.

Contoh
2

Teorema

C disebut lintasan berganda jika lintasan memotong dirinya sendiri.

C2
C1

C2

C1

C3

C3

a. Lintasan tertutup

b. Lintasan terbuka

c. Lintasan sederhana

d. Lintasan berganda

Jika C lintasan tertutup sederhana di bidang datar, maka bidang
datar itu dibagi oleh C menjadi 3 bagian, yaitu

40

4. Integral Fungsi Kompleks

4.1
(

Kurva

Jordan )

1. kurva C .
2. bagian dalam C , ditulis Int (C ) , yang merupakan
himpunan terbuka dan terbatas.
3. bagian luar C , ditulis Ext (C ) , yang merupakan
himpunan terbuka dan tidak terbatas.
Kurva C merupakan batas dari himpunan Int (C ) dan
Ext (C ) . □

4.3 Integral Garis
Misalkan kurva mulus
a  t  b.

di

disajikan

C

g (t ) dan h(t ) kontinu di

a  t  b.

Kurva

x  g (t ) ,

dengan

a  t  b.

y  h(t ) ,

g ' (t ) dan h' (t ) kontinu

C mempunyai arah dari titik awal

A ( g ( a ), h( a )) ke titik

akhir B ( g (b), h(b)) dan P ( x, y ) suatu fungsi yang terdefinisi di C .

Teorema
4.2

Jika P ( x, y ) kontinu di C , maka

1.


C


C

P ( x, y ) dx dan

P ( x, y ) dy ada dan
b



P ( x, y ) dx 

 P [ g (t ), h(t ) ] g ' (t ) dt



P ( x, y ) dy 

 P [ g (t ), h(t ) ] h' (t ) dt

C

C

a

B

b

a

A

2.

 P ( x, y ) dx   P( x, y ) dx

3.

Jika

A

B

P ( x, y ) dan Q ( x, y ) kontinu di C , maka

 P( x, y ) dx   Q( x, y ) dx    P( x, y ) dx  Q ( x, y ) dx
C

C

C

. □

Teorema
4.3

Jika P ( x, y ) dan Q ( x, y ) serta turunan parsial tingkat
pertama kontinu pada seluruh daerah tertutup R yang dibatasi
lintasan tertutup C , maka

P
C

dx  Q dy 

Q

x


R



P 
dx dy .
y 


□

Contoh 3
Tentukan integral garis fungsi M ( x, y )  x  y sepanjang lintasan C  K dengan
C : garis dari (0,0) ke (2,0) dan K : garis dari (2,0) ke (2,2).

Penyelesaian :
(2,2)
K

C : y 0 , 0x2
K : x 2 , 0 y 2

Pada kurva C :
dx  0 .

41

dy  0

dan pada kurva K :

4. Integral Fungsi Kompleks

(0,0)

(2,0)

C

M ( x, y ) dx 

 M ( x, y ) dx 
  ( x  y ) dx



C K

C

M ( x, y ) dx

K

C

2




0

x dx

= 2.



C K

M ( x, y ) dy 

□

 M ( x, y ) dy 
  ( x  y ) dy
C

K

M ( x, y ) dy

K



2


0

( 2  y ) dx

= 6.

□

4.4 Integral Lintasan Kompleks
Diberikan lintasan C dalam bentuk parametrik x  g (t ) , y  h(t ) dengan
a  t  b.

kontinu di

g (t ) dan

a  t  b.

pada kurva

C

h(t ) kontinu di

Jika

z  x i y

a  t  b.

g ' (t ) dan

, maka titik-titik z terletak

h' (t )

C . Arah

( g ( a ), h( a )) ke ( g (b), h(b)) atau dari z   sampai

z 

dengan   ( g ( a ), h( a )) dan   ( g (b), h(b)) .

Diberikan fungsi f ( z )  u ( x, y )  i v ( x, y ) dengan u dan v
fungsi dari t yang kontinu sepotong-potong pada a  t  b .
Integral fungsi f (z ) sepanjang lintasan C dengan arah dari
z   sampai z   adalah

Definisi
4.2





Sifat-sifat

f ( z ) dz 

b

 f g (t )  i h(t )  g ' (t )  i h' (t ) dt
a



1.



f ( z ) dz   f ( z ) dz



C k f ( z ) dz  k C f ( z ) dz

2.
3.

  f ( z )  g ( z ) dz  
C

C

f ( z ) dz   g ( z ) dz
C

Contoh 4
2

z e z dz jika  : garis lurus dari
Hitung 

Penyelesaian :
z0  1

ke

z1  2  i .

z1  2  i

(0,1)
(2,1)

Persamaan garis
: y
x  g (t )  t
y  h(t )  1

z0  1

1

dan mempunyai bentuk parametrik :

, t  [ 0, 2]

( 4.1 )

42

4. Integral Fungsi Kompleks

Dari (4.1) diperoleh :
z  g (t )  i h(t )  t  i
dz   g ' (t )  i h' (t ) dt  1. dt
2

2

Karena f ( z )  z e z maka

f g (t )  i h(t )  f (t  i )  (t  i ) e ( t i ) .

Sehingga,

 z e

z2

dz 

2

2

(t  i ) e ( t i ) 1 dt


0

2

2

(t  i ) e ( t i ) dt







1
e 34 i  e 1
2

0



.

(gunakan subtitusi : u  (t  i ) )
□

4.5 Pengintegralan Cauchy

Teorema 4.4
( Teorema
Cauchy)

Jika f (z ) analitik dan f ' ( z ) kontinu di dalam dan pada
lintasan tertutup sederhana C , maka


C

f ( z ) dz  0 .

□

C

f (z ) analitik dan f ' ( z ) kontinu

Contoh 4
Misalkan diberikan C sebarang lintasan tertutup dalam bidang kompleks.
1.

f ( z)  z 2

2.

f ( z)  1

2

 z dz  0 .
 dz  0 .

□

C

□

C

Teorema 4.5
( Teorema
CauchyGoursat)

Jika

f (z ) analitik di dalam dan pada lintasan tertutup

sederhana C , maka


C

f ( z ) dz  0 .

□

C

f (z ) analitik

Contoh 5
Diketahui

C :

1.

z

Hitunglah


C

f ( z ) dz jika f ( z ) 

Penyelesaian :
f ' (z)  
C.

1
, f (z ) tidak analitik di z  3 dan z  3 terletak di luar
( z  3) 2

Oleh karena itu,

sehingga

1
.
z 3


C

Teorema 4.6
(Bentuk lain

f (z ) analitik di dalam dan pada lintasan C ,

1
dz  0 .
( z  3)

□

Jika fungsi f (z ) analitik di seluruh domain terhubung

sederhana D , maka untuk setiap lintasan tertutup
f ( z ) dz  0 . □
di dalam D , berlaku 
C
43

C

4. Integral Fungsi Kompleks

Teorema
Cauchy
Goursat )
Teorema 4.7
(Teorema
Cauchy
Goursat
yang
diperluas)

Diberikan

suatu

C,
lintasan
tertutup
sedangkan
adalah lintasan-lintasan tertutup yang
terletak di interior C sedemikian sehingga C1 , C 2 ,  , C n
tidak saling berpotongan. Jika fungsi f (z ) analitik di dalam
daerah tertutup yang terdiri dari titik-titik pada C dan titiktitik di dalam C , kecuali titik-titik interior C1 , C 2 ,  , C n
, maka
C1 , C 2 ,  , C n

f ( z ) dz   f ( z ) dz   f ( z ) dz     f ( z ) dz . □
C1
C2
Cn


C

C

f (z ) tidak analitik

C1

f (z ) analitik

Contoh 6
Hitung


C

dz
, jika C : z  2  2 .
( z  3)

Penyelesaian :
f ( z) 

1
z 3

tidak analitik di z  3 yang berada di dalam interior C .

Dibuat lintasan tertutup
1
C1 : z  3 
2

.

di dalam C

C1

Diperoleh

berpusat di

1 it
z 3
e , 0  t  2
2

z  3 yaitu
1
dan dz  e i t dt .
2

Menurut Teorema Cauchy Goursat yang diperluas,


C

dz

( z  3)



C1

2



i

dz
( z  3)



1
2

0

2

dt


0

 2 i

i e i t dt
it
1
2 e

.

□

4.6 Integral Tak Tentu dan Integral Tentu
Jika fungsi

f

analitik di dalam domain terhubung sederhana D , maka

z

F ( z )   f () d mempunyai turunan untuk setiap titik
z
0

F ' ( z )  f ( z ) , asalkan lintasan pengintegralan dari

dalam D . Jadi F (z ) juga analitik di dalam D .

44

z0

z di dalam

D dengan

ke z seluruhnya terletak di

4. Integral Fungsi Kompleks

Jika  dan  di dalam D , maka

Teorema
4.8





f ( z ) dz  F (  )  F ( ) .

□

D

f (z ) analitik




Contoh 7
2 i


i

1
2  i
z dz   z 2 
 2  2i .
2
 i

(Karena f ( z )  z merupakan fungsi utuh, maka dapat dibuat sebarang domain
terhubung sederhana D yang memuat lintasan pengintegralan dari z  i ke
z  2  i ).
□

4.7 Rumus Integral Cauchy

Teorema
4.9
(Rumus
Integral
Cauchy )

Jika f (z ) analitik di dalam dan pada lintasan tertutup C

dan

z0

sebarang titik di dalam
f ( z0 ) 

1
2 i


C

C

f ( z)
dz
z  z0

atau


C

f ( z)
dz  2 i . f ( z 0 ) .
z  z0

C
z0

Turunan
Fungsi
Analitik

, maka

f (z ) analitik

1
f ( z)
dz 
C (z  z )2
2 i 
0
f ( z)
C ( z  z 0 ) 2 dz  2 i . f ' ( z 0 )
2!
f ( z)
f ' ' ( z0 ) 
dz 

C
2 i
( z  z0 )3
2 i
f ( z)
C ( z  z 0 ) 3 dz  2! . f ' ' ( z 0 )
f ' ( z0 ) 



n!
f ( z)
dz 

2 i C ( z  z 0 ) n 1
2 i
f ( z)
dz 
. f n (z0 )
n 1
n!
( z  z0 )

f n ( z0 ) 


C

Contoh 8

45

□

4. Integral Fungsi Kompleks

1. Hitung 
C

dz
z 3

dengan

C :

z 2  2.

Penyelesaian :
Diambil : f ( z )  1 ( f (z ) analitik di dalam dan pada C )
z 0  3 di dalam C .
f ( z 0 )  f (3)  1

Menggunakan rumus integral Cauchy, diperoleh



dz
 2  i . f ( z 0 )  2  i .1  2  i
z 3

2. Hitung 
C

dz
dengan C : z  3  2 .
z 3 ( z  2) 2

C

. □

Penyelesaian :
Diambil : f ( z ) 
z0  2

1
( f (z ) analitik di dalam dan pada C )
z3

di dalam C .

f ' ( z)  

3
z4



f ' ( z 0 )  f ' ( 2)  

3
.
16

Menggunakan turunan fungsi analitik, diperoleh


C

2 i
2 i
dz
3
3

. f ( z0 ) 
.(
)  i. □
2
1!
1
16
8
z ( z  2)
3

4.8 Teorema Morera dan Teorema Lionville

Teorema
4.10
(Teorema
Morera)
Teorema
4.11
(Teorema
Lionville)

Jika f (z ) kontinu dalam domain terhubung D dan untuk
C
D
setiap
lintasan
tertutup
dalam
berlaku
f
(
z
)
dz

0
f
(z
)
, maka
analitik di seluruh D . □
C
Jika f (z ) analitik dan f ( z ) terbatas di seluruh bidang
kompleks, maka f (z ) adalah suatu fungsi konstan. □

4.9 Teorema Modulus Maksimum
Jika f (z ) analitik dan M nilai maksimum dari
daerah D   z : z  z 0  r  , dan jika

f ( z0 )  M

f ( z)

untuk z di dalam

, maka f (z ) konstan di seluruh

daerah D . Akibatnya, jika f (z ) analitik dan tidak konstan pada D , maka
f ( z0 )  M

.

Prinsip
Modulus
Maksimum
Teorema
4.12
(Teorema
Modulus

Jika fungsi tak konstan f (z ) analitik di z 0 , maka di setiap
kitar dari z 0 , terdapat titik z dan f ( z 0 )  f ( z ) .
Jika f (z ) analitik di dalam dan pada lintasan tertutup
sederhana C , dan f (z ) tidak konstan, maka f ( z )
mencapai nilai maksimum di suatu titik pada C , yaitu pada
perbatasan daerah itu dan tidak di titik interior. □

46

4. Integral Fungsi Kompleks

Maksimum)
Teorema
4.13
(Ketaksama
an Cauchy)

Jika f (z ) analitik di dalam dan pada lintasan tertutup
sederhana C : z  z 0  r , dan f (z ) terbatas pada C ,
f ( z)  M ,  z  C
maka
f

n

(z0 ) 

n!M
, n  0 ,1 , 2 , 
rn

□

.

Ringkasan
Sifat keanalitikan fungsi kompleks di dalam dan pada suatu lintasan tertutup
merupakan hal yang harus diperhatikan dalam perhitungan integral fungsi
kompleks.

47

4. Integral Fungsi Kompleks

Soal-soal
1. Hitung

ze



2. Hitung



z2

dz

jika  : kurva y  x 2 dari

z0  0

ke

z1  1  i

.

f ( z ) dz jika f ( z )  z 3 dengan C : setengan lingkaran

C

z

2

dari z  2i ke z  2i .
3. Hitung integral fungsi f (z ) sepanjang lintasan tertutup C berikut :
a. f ( z ) 

z ez
(4 z   i ) 2

b. f ( z ) 

e2z
, C : ellips x 2  4 y 2  4
( z  1) 2 ( z 2  4)

c. f ( z ) 

Ln ( z  3)  cos z
,
( z  1) 2

dan

z  2 i

d. f ( z ) 
z

,

C :

1

(counterclockwise).
(counterclockwise).

segiempat dengan titik-titik sudut z  2

C :

(counterclockwise).

2z 3  3
,
z ( z 1  i) 2

1

z

C :

terdiri dari

C :

z i

z

2

(counterclockwise) dan

(clockwiswe).

e. f ( z ) 

(1  z ) sin z
,
( 2 z  1) 2

f. f ( z ) 

ez
z ( z  2i ) 2

2

(counterclockwise).

2

,

C :

(counterclockwise) dan
g. f ( z ) 

z

segiempat dengan titik-titik sudut
1

z  3  3 i

(clockwiswe).

z 3  sin z
, C : segitiga dengan titik-titik sudut z  2 , z  2 i
( z  i) 3

(counterclockwise).

48