Implementasi Algoritma Clarke And Wright’s Savings Dalam Menyelesaikan Capacitated Vehicle Routing Problem (CVRP)
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1
Teori graf
2.1.1
Defenisi graf
Graf G adalah pasangan {
,
} dengan
adalah himpunan terhingga
yang tidak kosong dari objek-objek yang disebut titik (vertex) dan
himpunan pasangan tidak berurutan dari titik-titik berbeda di
adalah
yang disebut
sisi (edge). Misalkan graf G yang memuat himpunan titik
dan himpunan sisi
seperti berikut ini.
={ , , , , }
={ ,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
}
Graf G tersebut dapat dilihat pada Gambar 2.1 (Munir 2009).
a
b
G:
b
d
Gambar 2.1 Graf G
e
2.1.2 Graf Terhubung (Connected Graph)
Graf G dikatakan terhubung jika untuk setiap pasangan verteks dalam G terdapat
paling sedikit satu lintasan (path). Gambar 2.2 di bawah ini menggambarkan graf
terhubung.
Universitas Sumatera Utara
8
b
a
d
c
Gambar 2.2 Graf Terhubung
2.1.3 Graf Berbobot (Weighted Graph)
Graf berbobot adalah graf yang setiap nilainya diberi sebuah nilai atau bobot.
Bobot pada setiap sisi graf dapat berbeda-beda bergantung pada masalah yang
dimodelkan. Dalam tugas akhir ini, bobot pada setiap graf menyatakan jumlah
permintaan pelanggan. Contoh graf berbobot dapat dilihat pada Gambar 2.3.
a
b
9
6
12
7
e
6
9
c
d
Gambar 2.3 Graf Berbobot
2.1.4 Graf Berarah (Directed Graph)
Graf berarah adalah graf yang setiap edge nya memiliki orientasi arah atau panah.
Pada graf berarah
,
≠
,
. Contoh graf berarah dapat dilihat pada
Gambar 2.4.
Universitas Sumatera Utara
9
a
b
e
d
c
Gambar 2.4 Graf Berarah
2.1.5 Graf Tidak Berarah (Undirected Graph)
Graf tidak bearah adalah graf yang edge nya tidak mempunyai orientasi arah atau
panah. Pada graf ini, urutan pasangan verteks yang dihubungkan oleh edge tidak
diperhatikan. Jadi
,
=
,
. Contoh graf tak berarah dapat dilihat pada
Gambar 2.5.
a
e
b
c
d
Gambar 2.5 Graf Tidak Berarah
2.2
Vehicle Routing Problem (VRP)
VRP diperkenalkan pertama kali oleh Dantziq dan Ramser pada tahun 1959 dan
semenjak itu dipelajari secara luas. VRP didefnisikan sebagai sebuah pencarian
Universitas Sumatera Utara
10
atau penggunaan yang efisien untuk sejumlah kendaraan (vehicle) dimana
kendaraan tersebut harus mengunjungi sejumlah tempat untuk mengantar dan/atau
menjemput orang/barang. Istilah pelanggan digunakan untuk menunjukkan tempat
pemberhentian. Dan seorang pelanggan hanya boleh dilayani oleh sebuah
kendaraan (vehicle) saja. Hal ini dilakukan untuk meminimalkan biaya yang
diperlukan dengan mempertimbangkan kapasitas sebuah kendaraan dalam satu
kali pengantaran.
Bentuk dasar VRP berkaitan dengan masalah penentuan suatu himpunan
kendaraan (vehicle) yang melayani satu himpunan konsumen yang diasosiasikan
dengan vertex dan demand (permintaan) yang diketahui dan rute yang
menghubungkan depot dengan satu konsumen dengan konsumen yang lain. VRP
sering disebut sebagai Multi Traveling Salesman Problem (MTSP) di mana VRP
merupakan masalah kombinatorial dari dua masalah, yaitu Traveling Salesman
Problem (TSP) dan Bin Packing Problem (BPP) (Toth dan Vigo 2002).
BPP dan TSP dikategorikan sebagai permasalahan NP-hard problem,
sehingga VRP juga dapat dikategorikan sebagai NP-hard problem, dalam
optimasi kombinatorial yang mungkin belum ditemukan metode eksak untuk
mencari nilai optimalnya. Untuk memecahkan VRP berskala kecil dengan
beberapa pelanggan dan semua kendaraannya mempunyai kapasitas yang sama,
algoritma branch and bound terbukti sebagai metode terbaik dalam mencari solusi
optimal. Dan untuk memecahkan VRP berskala besar dapat diselesaikan secara
heuristik. Heuristik adalah algoritma berbasis kira-kira, yang berusaha mencari
solusi optimal secepat mungkin. Metaheuristik adalah aturan-aturan penyelesaian
secara umum yang memperluas ruang solusi untuk mengidentifikasi solusi yang
baik dan sering menyimpan beberapa susunan rute standar serta perbaikan
heuristik.
Tujuan yang ingin dicapai dalam VRP, antara lain:
1. Meminimalkan biaya perjalanan secara keseluruhan yang dipengaruhi oleh
keseluruhan jarak yang ditempuh dan jumlah kendaraan yang digunakan.
2. Meminimalkan jumlah kendaraan yang digunakan untuk melayani semua
konsumen.
Universitas Sumatera Utara
11
3. Menyeimbangkan rute.
4. Meminimalkan keluhan pelanggan.
Secara matematis VRP dapat dinyatakan sebagai suatu graf
=
,
= {0,1, … , } menyatakan himpunan vertex yang menunjukkan lokasi
dengan
= { , ! | , ! , ≠ !} yaitu himpunan sisi berarah yang
konsumen dan
menyatakan jalan penghubung antar lokasi konsumen. Vertex 0 menunjukkan
depot, yaitu tempat menyimpan kendaraan yang digunakan untuk distribusi dan
merupakan tempat dimulainya suatu rute kendaraan. Banyaknya kendaraan yang
tersedia di depot adalah K dengan kapasitas kendaraan ke-k adalah # . Setiap
konsumen i memiliki permintaan sebanyak $% . Jarak/biaya perjalanan dari
konsumen i ke konsumen j adalah &% .
Model VRP dapat dipresentasikan sebagai berikut:
/
/
-
. %.
.
min * = + + + &% ,% 2.1
Kendala-kendala, antara lain:
1. Konsumen
/
-
%.
.
+ + ,% = 1; ∀! = 2,3, … , 2.2
/
-
+ + ,% = 1; ∀= 2,3, … , 2.3
.
.
2. Depot
/
+,
.
= 1; ∀5 = 1,2, … , 6 2.4
/
+ ,% = 1; ∀5 = 1,2, … , 6 2.5
%.
3. Kekontinuan rute
Universitas Sumatera Utara
12
/
/
%.
%.
+ ,%9 = + ,9 ;
∀5 = 1,2, … , 6
2.6
∀: = 1,2, … ,
4. Kapasitas
/
/
%.
.
+ + $% ,% ≤ & ; ∀5 = 1,2, … , 6 2.7
,%
∈ {0,1};
∀ ! = 1,2, … ,
2.8
∀5 = 1, … , 6
Fungsi objektif dari VRP (2.1) adalah meminumkan total biaya perjalanan,
dengan &% adalah biaya perjalanan dari konsumen i menuju konsumen j. Variabel
keputusan ,% bernilai 1 jika rute dari konsumen i menuju konsumen j dilayani
oleh kendaraan k dan bernilai nol jika selainnya. Pada kendala (2.2) dan (2.3)
dipastikan tepat satu kendaraan yang datang dan pergi dari konsumen i, sedangkan
kendala (2.4) dan (2.5) memastikan bahwa tepat satu kendaraan yang pergi dan
tiba di depot untuk satu rute. Kendala (2.6) memastikan kekontinuan rute dari
setiap kendaraan yang beroperasi. Kendala (2.7) memastikan total permintaan ($% )
pada satu rute tidak melebihi kapasitas kendaraan &
yang beroperasi pada rute
tersebut (Kritikos & Ioannou 2004).
Menurut Agus Purnomo (2010), variasi dari VRP antara lain:
1. Capasitated VRP (CVRP)
Faktor: Setiap kendaraan punya kapasitas yang terbatas
2. VRP with Time Windows (VRPTW)
Faktor: Setiap pelanggan harus disuplai dalam jangka waktu tertentu
3. Multiple Depot VRP (MDVRP)
Faktor: Distributor memiliki banyak depot untuk menyuplai pelanggan
4. VRP With Pick-up and Delievering (VRPPD)
Faktor: Pelanggan mungkin mengembalikan barang pada depot asal.
5. Split Delievery VRP (SDVRP)
Faktor: Pelanggan dilayani dengan kendaraan berbeda
6. Stochastic VRP (SVRP)
Universitas Sumatera Utara
13
Faktor: Munculnya random values (seperti jumlsh pelanggan, jumlah
permintaan, waktu pelayanan atau waktu perjalanan.
7. Periodic VRP
Faktor: Pengantaran hanya dilakukan di hari tertentu.
2.2
Capasitated Vehicle Routing Problem (CVRP)
CVRP adalah sebuah VRP di mana diberikan sejumlah kendaraan dengan
kapasitas tersendiri yang harus melayani sejumlah permintaan pelanggan yang
telah diketahui untuk satu komoditas dari sebuah depot dengan biaya transit
minimum. Oleh karena itu, CVRP sama seperti VRP dengan faktor tambahan
yaitu tiap kendaraan punya kapasitas tersendiri untuk satu komoditas. CVRP
dapat dijabarkan sebagai berikut:
1. Tujuan: Meminimalisasi jumlah kendaraan dan total waktu perjalanan, dan
total permintaan barang untuk tiap rute tidak boleh melebihi kapasitas
kendaraan yang melewati rute tersebut.
2. Kelayakan: Solusi dikatakan ‘layak’ jika jumlah total barang yang diatur
untuk tiap rute tidak melebihi kapasitas kendaraan yang melewati rute
tersebut.
3. Perhitungan: Misalkan K melambangkan kapasitas sebuah kendaraan. Secara
matematis, solusi untuk CVRP sama dengan VRP, tapi dengan batasan
tambahan total permintaan pelanggan pada rute @% tidak boleh melebihi
kapasitas kendaraan atau ∑C
%. $% ≤ B , di mana @% merupakan rut ke-i.
Tonci Caric and Hrvoje Gold, (2008) mendefinisikan CVRP sebagai suatu
graf berarah
=
,
dengan
= {#D , # , # , … , #/ , #/E } adalah himpunan
node (vertex), #D menyatakan depot dan #/E merupakan depot semu dari #D yaitu
tempat kendaraan memulai dan mengakhiri rute perjalanan. Sedangkan
=
F#% , # ∈ , ≠ !G adalah himpunan sisi berarah yang merupakan himpunan sisi
yang menghubungkan antar node. Setiap node V memiliki permintaan (demand)
Universitas Sumatera Utara
14
sebesar $% . Himpunan B = {5 , 5 , … , 5/ } merupakan himpunan kendaraan
dengan kapasitas yang terbatas yaitu Q, sehingga panjang setiap rute dibatasi oleh
kapasitas kendaraan. Setiap node #% , #
dari node
memiliki jarak tempuh &% yaitu jarak
ke node !. Jarak perjalanan ini diasumsikan simetrik yaitu &% = & %
dan &%% = 0. Permasalahan dari CVRP adalah menentukan himpunan dari K rute
kendaraan yang memenuhi kondisi berikut:
1. Setiap rute berawal dan berakhir di depot
2. Setiap konsumen harus dilayani tepat satu kali oleh satu kendaraan
3. Total permintaan konsumen dari setiap rute tidak melebihi kapasitas
kendaraan
4. Total jarak dari semua rute diminimumkan.
2.3 Algoritma Clarke and Wright’s Savings
Clarke dan Wright (1964) menemukan sebuah metode sederhana untuk
mengoptimalkan rute pengiriman, di mana terdapat banyak kendaraan pengangkut
dengan berbagai kapasitas yang berasal dari satu pusat yang akan mengirimkan
barang-barang ke banyak tempat. Rute terpendek antara dua titik diberikan pada
sistem. Tujuan yang ingin dicapai adalah bagaimana mengalokasikan kendaraan
pengangkut, sehingga semua barang dapat terkirim dengan biaya pengirirman
serta operasional minimal. Algoritma ini didasari pada suatu konsep savings.
Algoritma ini adalah sebuah algoritma heuristik, di mana terjadi perubahan
prosedur dalam setiap langkah sehingga menghasilkan yang lebih baik.
Formulasi dari algoritma Clarke and Wrigh’s Savings yaitu sejumlah
kendaraan dengan kapasitas dan jumlah permintaan untuk didistribusikan ke
beberapa titik berawal dari depot, dengan jarak antar node &% , di antara beberapa
titik diharuskan memenuhi yang terdekat untuk meminimalkan total jarak yang
ditempuh kendaraan.
Universitas Sumatera Utara
15
Clarke and Wright’s Savings
Algoritma
melakukan perhitungan
penghematan yang diukur dari seberapa banyak dapat dilakukan pengurangan
jarak tempuh dan waktu yang digunakan dengan mengaitkan node-node yang ada
dan menjadikannya sebuah rute berdasarkan nilai penghematan yang terbesar
yaitu jarak tempuh antara node awal dan node tujuan. Untuk proses
perhitungannya, metode ini tidak hanya menggunakan jarak sebagai parameter,
tetapi juga waktu untuk memperoleh nilai penghematan yang terbesar kemudian
disusun menjadi sebuah rute yang terbaik. Langkah-langkah pada metode ini
adalah sebagai berikut (Clarke and Wright, 1964):
1. Menentukan jumlah kapasitas maksimum kendaraan yang tersedia dan
alokasi kendaraan yang digunakan untuk pengiriman barang ke pelanggan,
mengasumsikan bahwa setiap node permintaan pada rute awal suatu
kendaraan secara terpisah. Di mana setiap node membentuk rute tersendiri
yang dilayani oleh kendaraan yang berbeda. Seperti pada Gambar 2.6 yaitu
rute 0-i-0 dilayani oleh satu kendaraan, dan rute 0-j-0 dilayani oleh kendaraan
lain yang berbeda, dalam hal ini 0 untuk depot, i dan j untuk node yang lain.
2. Membuat matriks jarak yaitu matriks jarak antara depot dengan node dan
antar node. Matriks jarak ini termasuk matriks simetrik karena pengukuran
jari dari node A ke node B sama dengan jarak dari node B ke node A. Bentuk
umum matriks jarak ini dapat dilihat pada Tabel 2.1.
Tabel 2.1 Bentuk Umum Matriks Jarak
#D
#D
0
#%
&D%
#
&D
…
…
…
#/
&D/
…
0
#%
0
&%
&%/
…
0
#
…
#/
0
&/
0
0
di mana :
Universitas Sumatera Utara
16
#D = depot
#% = node ke i
# = node ke j
&D% = jarak dari depot ke node i
&D = jarak dari depot ke node j
&% = jarak dari node i ke node j
3
Menghitung nilai penghematan
H%
berupa jarak tempuh dari satu
kendaraan yang menggantikan dua kendaraan untuk melayani node i dan j.
ilustrasi konsep penghematan dapat dilihat pada Gambar 2.6.
i
&%D
j
&D%
&D
&D
&%
i
j
&D
&D%
0
0
(a)
(b)
Gambar 2.6 Ilustrasi Konsep Penghematan
Nilai penghematan adalah jarak yang dapat dihemat jika rute 0-i-0
digabungkan dengan rute 0-j-0 menjadi rute tunggal 0-i-j-0 yang dilayani oleh
satu kendaraan seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.6 (b). Berdasarkan
Gambar 2.6 (a) node i dan j dikunjungi dengan rute yang terpisah. Untuk
mendapatkan penghematan, node i dan j akan dikunjungi dengan rute yang
sama seperti yang terlihat pada Gambar 2.6 (b). Rute kendaraan yang
ditunjukkan diantara node i dan j adalah &% .
Rute kendaraan IJ pada Gambar 2.6 (a)
IJ = &D% + &%D + &D + & D 2.9
Ekuivalen dengan rute kendaraan IM pada Gambar 2.6 (b)
IM = &D% + &% + & D 2.10
Dengan menggabungkan kedua rute diperoleh nilai penghematan:
IJ = IM = H%
Universitas Sumatera Utara
17
&D% + &%D + &D + & D = &D% + &% + & D = H%
&D% + &%D + &D + & D − &D% − &% − & D = H%
H% = &%D + &D − &% 2.11
4
Membuat matriks penghematan, di mana bentuk umum dari matriks
penghematan yang dikembangkan oleh Clarke dan Wright dapat dilihat pada
Tabel 2.2.
Tabel 2.2 Bentuk umum Matriks Penghematan
#
#
…
0
#%
H
#
H
…
…
#/
…
H
0
%
#%
0
H%
/
…
#
0
H%/
…
#/
0
H/
0
0
di mana:
H% = nilai penghematan jarak dari node i ke node j
5
Memilih sebuah jalur dimana 2 rute yang dapat dikombinasikan menjadi satu
rute tunggal. Nilai penghematan tertinggi diambil, kemudian memilih jarak
yang terdekat dengan jalur sebelumnya. Iterasi akan berhenti apabila semua
entri dalam baris dan kolom sudah terpilih.
Langkah-langkah algoritma Clarke and Wright’s Savings dapat digambarkan
dalam flowchart, yang dapat dilihat pada Gambar 2.7.
Universitas Sumatera Utara
18
Mulai
A
Input data jarak
dan permintaan
tidak
Apakah semua
node telah
terkunjungi?
Buat matriks jarak
ya
Buat matriks
penghematan
Rute optimal
telah terbentuk
Pengelompokan rute
Selesai
Pilih nilai penghematan
tertinggi
Gabungkan node i dan j
menjadi 1 rute
tidak
Permintaan
< kapasitas
ya
A
Gambar 2.7 Flowchart Pengerjaan Algoritma Clarke and Wright’s Savings
Universitas Sumatera Utara
LANDASAN TEORI
2.1
Teori graf
2.1.1
Defenisi graf
Graf G adalah pasangan {
,
} dengan
adalah himpunan terhingga
yang tidak kosong dari objek-objek yang disebut titik (vertex) dan
himpunan pasangan tidak berurutan dari titik-titik berbeda di
adalah
yang disebut
sisi (edge). Misalkan graf G yang memuat himpunan titik
dan himpunan sisi
seperti berikut ini.
={ , , , , }
={ ,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
}
Graf G tersebut dapat dilihat pada Gambar 2.1 (Munir 2009).
a
b
G:
b
d
Gambar 2.1 Graf G
e
2.1.2 Graf Terhubung (Connected Graph)
Graf G dikatakan terhubung jika untuk setiap pasangan verteks dalam G terdapat
paling sedikit satu lintasan (path). Gambar 2.2 di bawah ini menggambarkan graf
terhubung.
Universitas Sumatera Utara
8
b
a
d
c
Gambar 2.2 Graf Terhubung
2.1.3 Graf Berbobot (Weighted Graph)
Graf berbobot adalah graf yang setiap nilainya diberi sebuah nilai atau bobot.
Bobot pada setiap sisi graf dapat berbeda-beda bergantung pada masalah yang
dimodelkan. Dalam tugas akhir ini, bobot pada setiap graf menyatakan jumlah
permintaan pelanggan. Contoh graf berbobot dapat dilihat pada Gambar 2.3.
a
b
9
6
12
7
e
6
9
c
d
Gambar 2.3 Graf Berbobot
2.1.4 Graf Berarah (Directed Graph)
Graf berarah adalah graf yang setiap edge nya memiliki orientasi arah atau panah.
Pada graf berarah
,
≠
,
. Contoh graf berarah dapat dilihat pada
Gambar 2.4.
Universitas Sumatera Utara
9
a
b
e
d
c
Gambar 2.4 Graf Berarah
2.1.5 Graf Tidak Berarah (Undirected Graph)
Graf tidak bearah adalah graf yang edge nya tidak mempunyai orientasi arah atau
panah. Pada graf ini, urutan pasangan verteks yang dihubungkan oleh edge tidak
diperhatikan. Jadi
,
=
,
. Contoh graf tak berarah dapat dilihat pada
Gambar 2.5.
a
e
b
c
d
Gambar 2.5 Graf Tidak Berarah
2.2
Vehicle Routing Problem (VRP)
VRP diperkenalkan pertama kali oleh Dantziq dan Ramser pada tahun 1959 dan
semenjak itu dipelajari secara luas. VRP didefnisikan sebagai sebuah pencarian
Universitas Sumatera Utara
10
atau penggunaan yang efisien untuk sejumlah kendaraan (vehicle) dimana
kendaraan tersebut harus mengunjungi sejumlah tempat untuk mengantar dan/atau
menjemput orang/barang. Istilah pelanggan digunakan untuk menunjukkan tempat
pemberhentian. Dan seorang pelanggan hanya boleh dilayani oleh sebuah
kendaraan (vehicle) saja. Hal ini dilakukan untuk meminimalkan biaya yang
diperlukan dengan mempertimbangkan kapasitas sebuah kendaraan dalam satu
kali pengantaran.
Bentuk dasar VRP berkaitan dengan masalah penentuan suatu himpunan
kendaraan (vehicle) yang melayani satu himpunan konsumen yang diasosiasikan
dengan vertex dan demand (permintaan) yang diketahui dan rute yang
menghubungkan depot dengan satu konsumen dengan konsumen yang lain. VRP
sering disebut sebagai Multi Traveling Salesman Problem (MTSP) di mana VRP
merupakan masalah kombinatorial dari dua masalah, yaitu Traveling Salesman
Problem (TSP) dan Bin Packing Problem (BPP) (Toth dan Vigo 2002).
BPP dan TSP dikategorikan sebagai permasalahan NP-hard problem,
sehingga VRP juga dapat dikategorikan sebagai NP-hard problem, dalam
optimasi kombinatorial yang mungkin belum ditemukan metode eksak untuk
mencari nilai optimalnya. Untuk memecahkan VRP berskala kecil dengan
beberapa pelanggan dan semua kendaraannya mempunyai kapasitas yang sama,
algoritma branch and bound terbukti sebagai metode terbaik dalam mencari solusi
optimal. Dan untuk memecahkan VRP berskala besar dapat diselesaikan secara
heuristik. Heuristik adalah algoritma berbasis kira-kira, yang berusaha mencari
solusi optimal secepat mungkin. Metaheuristik adalah aturan-aturan penyelesaian
secara umum yang memperluas ruang solusi untuk mengidentifikasi solusi yang
baik dan sering menyimpan beberapa susunan rute standar serta perbaikan
heuristik.
Tujuan yang ingin dicapai dalam VRP, antara lain:
1. Meminimalkan biaya perjalanan secara keseluruhan yang dipengaruhi oleh
keseluruhan jarak yang ditempuh dan jumlah kendaraan yang digunakan.
2. Meminimalkan jumlah kendaraan yang digunakan untuk melayani semua
konsumen.
Universitas Sumatera Utara
11
3. Menyeimbangkan rute.
4. Meminimalkan keluhan pelanggan.
Secara matematis VRP dapat dinyatakan sebagai suatu graf
=
,
= {0,1, … , } menyatakan himpunan vertex yang menunjukkan lokasi
dengan
= { , ! | , ! , ≠ !} yaitu himpunan sisi berarah yang
konsumen dan
menyatakan jalan penghubung antar lokasi konsumen. Vertex 0 menunjukkan
depot, yaitu tempat menyimpan kendaraan yang digunakan untuk distribusi dan
merupakan tempat dimulainya suatu rute kendaraan. Banyaknya kendaraan yang
tersedia di depot adalah K dengan kapasitas kendaraan ke-k adalah # . Setiap
konsumen i memiliki permintaan sebanyak $% . Jarak/biaya perjalanan dari
konsumen i ke konsumen j adalah &% .
Model VRP dapat dipresentasikan sebagai berikut:
/
/
-
. %.
.
min * = + + + &% ,% 2.1
Kendala-kendala, antara lain:
1. Konsumen
/
-
%.
.
+ + ,% = 1; ∀! = 2,3, … , 2.2
/
-
+ + ,% = 1; ∀= 2,3, … , 2.3
.
.
2. Depot
/
+,
.
= 1; ∀5 = 1,2, … , 6 2.4
/
+ ,% = 1; ∀5 = 1,2, … , 6 2.5
%.
3. Kekontinuan rute
Universitas Sumatera Utara
12
/
/
%.
%.
+ ,%9 = + ,9 ;
∀5 = 1,2, … , 6
2.6
∀: = 1,2, … ,
4. Kapasitas
/
/
%.
.
+ + $% ,% ≤ & ; ∀5 = 1,2, … , 6 2.7
,%
∈ {0,1};
∀ ! = 1,2, … ,
2.8
∀5 = 1, … , 6
Fungsi objektif dari VRP (2.1) adalah meminumkan total biaya perjalanan,
dengan &% adalah biaya perjalanan dari konsumen i menuju konsumen j. Variabel
keputusan ,% bernilai 1 jika rute dari konsumen i menuju konsumen j dilayani
oleh kendaraan k dan bernilai nol jika selainnya. Pada kendala (2.2) dan (2.3)
dipastikan tepat satu kendaraan yang datang dan pergi dari konsumen i, sedangkan
kendala (2.4) dan (2.5) memastikan bahwa tepat satu kendaraan yang pergi dan
tiba di depot untuk satu rute. Kendala (2.6) memastikan kekontinuan rute dari
setiap kendaraan yang beroperasi. Kendala (2.7) memastikan total permintaan ($% )
pada satu rute tidak melebihi kapasitas kendaraan &
yang beroperasi pada rute
tersebut (Kritikos & Ioannou 2004).
Menurut Agus Purnomo (2010), variasi dari VRP antara lain:
1. Capasitated VRP (CVRP)
Faktor: Setiap kendaraan punya kapasitas yang terbatas
2. VRP with Time Windows (VRPTW)
Faktor: Setiap pelanggan harus disuplai dalam jangka waktu tertentu
3. Multiple Depot VRP (MDVRP)
Faktor: Distributor memiliki banyak depot untuk menyuplai pelanggan
4. VRP With Pick-up and Delievering (VRPPD)
Faktor: Pelanggan mungkin mengembalikan barang pada depot asal.
5. Split Delievery VRP (SDVRP)
Faktor: Pelanggan dilayani dengan kendaraan berbeda
6. Stochastic VRP (SVRP)
Universitas Sumatera Utara
13
Faktor: Munculnya random values (seperti jumlsh pelanggan, jumlah
permintaan, waktu pelayanan atau waktu perjalanan.
7. Periodic VRP
Faktor: Pengantaran hanya dilakukan di hari tertentu.
2.2
Capasitated Vehicle Routing Problem (CVRP)
CVRP adalah sebuah VRP di mana diberikan sejumlah kendaraan dengan
kapasitas tersendiri yang harus melayani sejumlah permintaan pelanggan yang
telah diketahui untuk satu komoditas dari sebuah depot dengan biaya transit
minimum. Oleh karena itu, CVRP sama seperti VRP dengan faktor tambahan
yaitu tiap kendaraan punya kapasitas tersendiri untuk satu komoditas. CVRP
dapat dijabarkan sebagai berikut:
1. Tujuan: Meminimalisasi jumlah kendaraan dan total waktu perjalanan, dan
total permintaan barang untuk tiap rute tidak boleh melebihi kapasitas
kendaraan yang melewati rute tersebut.
2. Kelayakan: Solusi dikatakan ‘layak’ jika jumlah total barang yang diatur
untuk tiap rute tidak melebihi kapasitas kendaraan yang melewati rute
tersebut.
3. Perhitungan: Misalkan K melambangkan kapasitas sebuah kendaraan. Secara
matematis, solusi untuk CVRP sama dengan VRP, tapi dengan batasan
tambahan total permintaan pelanggan pada rute @% tidak boleh melebihi
kapasitas kendaraan atau ∑C
%. $% ≤ B , di mana @% merupakan rut ke-i.
Tonci Caric and Hrvoje Gold, (2008) mendefinisikan CVRP sebagai suatu
graf berarah
=
,
dengan
= {#D , # , # , … , #/ , #/E } adalah himpunan
node (vertex), #D menyatakan depot dan #/E merupakan depot semu dari #D yaitu
tempat kendaraan memulai dan mengakhiri rute perjalanan. Sedangkan
=
F#% , # ∈ , ≠ !G adalah himpunan sisi berarah yang merupakan himpunan sisi
yang menghubungkan antar node. Setiap node V memiliki permintaan (demand)
Universitas Sumatera Utara
14
sebesar $% . Himpunan B = {5 , 5 , … , 5/ } merupakan himpunan kendaraan
dengan kapasitas yang terbatas yaitu Q, sehingga panjang setiap rute dibatasi oleh
kapasitas kendaraan. Setiap node #% , #
dari node
memiliki jarak tempuh &% yaitu jarak
ke node !. Jarak perjalanan ini diasumsikan simetrik yaitu &% = & %
dan &%% = 0. Permasalahan dari CVRP adalah menentukan himpunan dari K rute
kendaraan yang memenuhi kondisi berikut:
1. Setiap rute berawal dan berakhir di depot
2. Setiap konsumen harus dilayani tepat satu kali oleh satu kendaraan
3. Total permintaan konsumen dari setiap rute tidak melebihi kapasitas
kendaraan
4. Total jarak dari semua rute diminimumkan.
2.3 Algoritma Clarke and Wright’s Savings
Clarke dan Wright (1964) menemukan sebuah metode sederhana untuk
mengoptimalkan rute pengiriman, di mana terdapat banyak kendaraan pengangkut
dengan berbagai kapasitas yang berasal dari satu pusat yang akan mengirimkan
barang-barang ke banyak tempat. Rute terpendek antara dua titik diberikan pada
sistem. Tujuan yang ingin dicapai adalah bagaimana mengalokasikan kendaraan
pengangkut, sehingga semua barang dapat terkirim dengan biaya pengirirman
serta operasional minimal. Algoritma ini didasari pada suatu konsep savings.
Algoritma ini adalah sebuah algoritma heuristik, di mana terjadi perubahan
prosedur dalam setiap langkah sehingga menghasilkan yang lebih baik.
Formulasi dari algoritma Clarke and Wrigh’s Savings yaitu sejumlah
kendaraan dengan kapasitas dan jumlah permintaan untuk didistribusikan ke
beberapa titik berawal dari depot, dengan jarak antar node &% , di antara beberapa
titik diharuskan memenuhi yang terdekat untuk meminimalkan total jarak yang
ditempuh kendaraan.
Universitas Sumatera Utara
15
Clarke and Wright’s Savings
Algoritma
melakukan perhitungan
penghematan yang diukur dari seberapa banyak dapat dilakukan pengurangan
jarak tempuh dan waktu yang digunakan dengan mengaitkan node-node yang ada
dan menjadikannya sebuah rute berdasarkan nilai penghematan yang terbesar
yaitu jarak tempuh antara node awal dan node tujuan. Untuk proses
perhitungannya, metode ini tidak hanya menggunakan jarak sebagai parameter,
tetapi juga waktu untuk memperoleh nilai penghematan yang terbesar kemudian
disusun menjadi sebuah rute yang terbaik. Langkah-langkah pada metode ini
adalah sebagai berikut (Clarke and Wright, 1964):
1. Menentukan jumlah kapasitas maksimum kendaraan yang tersedia dan
alokasi kendaraan yang digunakan untuk pengiriman barang ke pelanggan,
mengasumsikan bahwa setiap node permintaan pada rute awal suatu
kendaraan secara terpisah. Di mana setiap node membentuk rute tersendiri
yang dilayani oleh kendaraan yang berbeda. Seperti pada Gambar 2.6 yaitu
rute 0-i-0 dilayani oleh satu kendaraan, dan rute 0-j-0 dilayani oleh kendaraan
lain yang berbeda, dalam hal ini 0 untuk depot, i dan j untuk node yang lain.
2. Membuat matriks jarak yaitu matriks jarak antara depot dengan node dan
antar node. Matriks jarak ini termasuk matriks simetrik karena pengukuran
jari dari node A ke node B sama dengan jarak dari node B ke node A. Bentuk
umum matriks jarak ini dapat dilihat pada Tabel 2.1.
Tabel 2.1 Bentuk Umum Matriks Jarak
#D
#D
0
#%
&D%
#
&D
…
…
…
#/
&D/
…
0
#%
0
&%
&%/
…
0
#
…
#/
0
&/
0
0
di mana :
Universitas Sumatera Utara
16
#D = depot
#% = node ke i
# = node ke j
&D% = jarak dari depot ke node i
&D = jarak dari depot ke node j
&% = jarak dari node i ke node j
3
Menghitung nilai penghematan
H%
berupa jarak tempuh dari satu
kendaraan yang menggantikan dua kendaraan untuk melayani node i dan j.
ilustrasi konsep penghematan dapat dilihat pada Gambar 2.6.
i
&%D
j
&D%
&D
&D
&%
i
j
&D
&D%
0
0
(a)
(b)
Gambar 2.6 Ilustrasi Konsep Penghematan
Nilai penghematan adalah jarak yang dapat dihemat jika rute 0-i-0
digabungkan dengan rute 0-j-0 menjadi rute tunggal 0-i-j-0 yang dilayani oleh
satu kendaraan seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.6 (b). Berdasarkan
Gambar 2.6 (a) node i dan j dikunjungi dengan rute yang terpisah. Untuk
mendapatkan penghematan, node i dan j akan dikunjungi dengan rute yang
sama seperti yang terlihat pada Gambar 2.6 (b). Rute kendaraan yang
ditunjukkan diantara node i dan j adalah &% .
Rute kendaraan IJ pada Gambar 2.6 (a)
IJ = &D% + &%D + &D + & D 2.9
Ekuivalen dengan rute kendaraan IM pada Gambar 2.6 (b)
IM = &D% + &% + & D 2.10
Dengan menggabungkan kedua rute diperoleh nilai penghematan:
IJ = IM = H%
Universitas Sumatera Utara
17
&D% + &%D + &D + & D = &D% + &% + & D = H%
&D% + &%D + &D + & D − &D% − &% − & D = H%
H% = &%D + &D − &% 2.11
4
Membuat matriks penghematan, di mana bentuk umum dari matriks
penghematan yang dikembangkan oleh Clarke dan Wright dapat dilihat pada
Tabel 2.2.
Tabel 2.2 Bentuk umum Matriks Penghematan
#
#
…
0
#%
H
#
H
…
…
#/
…
H
0
%
#%
0
H%
/
…
#
0
H%/
…
#/
0
H/
0
0
di mana:
H% = nilai penghematan jarak dari node i ke node j
5
Memilih sebuah jalur dimana 2 rute yang dapat dikombinasikan menjadi satu
rute tunggal. Nilai penghematan tertinggi diambil, kemudian memilih jarak
yang terdekat dengan jalur sebelumnya. Iterasi akan berhenti apabila semua
entri dalam baris dan kolom sudah terpilih.
Langkah-langkah algoritma Clarke and Wright’s Savings dapat digambarkan
dalam flowchart, yang dapat dilihat pada Gambar 2.7.
Universitas Sumatera Utara
18
Mulai
A
Input data jarak
dan permintaan
tidak
Apakah semua
node telah
terkunjungi?
Buat matriks jarak
ya
Buat matriks
penghematan
Rute optimal
telah terbentuk
Pengelompokan rute
Selesai
Pilih nilai penghematan
tertinggi
Gabungkan node i dan j
menjadi 1 rute
tidak
Permintaan
< kapasitas
ya
A
Gambar 2.7 Flowchart Pengerjaan Algoritma Clarke and Wright’s Savings
Universitas Sumatera Utara