BAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n - Vektor Integral Turunan dimensi-n.rar (663Kb)

BAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n

  1. FUNGSI DUA PEUBAH ATAU LEBIH fungsi bernilai riil dari peubah riil fungsi bernilai vektor dari peubah riil

  ,

  Fungsi bernilai riil dari dua peubah riil yakni, fungsi

  yang memadankan setiap

  pasangan terurut , dalam rangka D pada bidang dengan bilangan riil , .

  , – , Himpunan D disebut daerah asal (domain) fungsi.

  Jika daerah asal fungsi tidak diperinci , maka D berupa daerah asal mulanya (natural domain), yakni himpunan semua titik

  , pada bidang dimana aturan fungsi berlaku dan menghasilkan suatu bilangan riil.

  Contoh : daerah mulanya adalah seluruh bidang

  , , daerah asal mulanya adalah , : ,

  Daerah nilai suatu fungsi adalah himpunan nilai-nilainya

  , dan peubah bebas peubah tak bebas

  Contoh : Buatlah grafik daerah asal mula untuk

  ,

  Solusi : Keluarkan dan titik

  , : ,

   

  

 

 

 

    ™ KURVA KETINGGIAN Setiap bidang mendatar memotong permukaan dalam sebuah kurva.

  Proyeksi kurva pada bidang disebut kurva ketinggian , dan kumpulan lengkungannya disebut peta kontur.

   

  Permukaan   Bidang    

  ,    

  Kurva  ketinggian  

  ,  

  5000  ft  7000  ft  Peta  kontur dengan  Permukaan   kurva  ketinggian 

2. TURUNAN PARSIAL

  Turunan parsial f terhadap x di dan dinyatakan sebagai

  , , ∆ , , ,

  ∆ ∆

  Sebaliknya :

  , ∆ , , ∆

  ∆

  Contoh : Carilah

  , dan , , , , , , ,

  , , , ; , , ; ,

  , ,

  Contoh : Jika

  , cari dan

  Solusi :

  ™ TURUNAN PARSIAL TINGKAT TINGGI ;

   Cari keempat turunan parsial dari , ⁄

  Solusi :

  , ⁄ , ⁄ , ⁄ , ⁄ ⁄

  , ⁄ ⁄ , ⁄ ⁄

3. LIMIT DAN KEKONTINUAN

  , , ,

  Nilai

  

, semakin dekat ke bilangan pada waktu , mendekati

  caranya tak terhingga

  ,

  Untuk mengatakan bahwa

  , berarti bahwa untuk , ,

  setiap

  0 (betapapun kecilnya) terdapat 0 yang berpadanan sedemikian

  hingga dengan syarat bahwa

  | |

, | , , |

  Contoh : Perlihatkan bahwa fungsi f yang didefinisikan oleh

  , tidak mempunyai limit di titik asal.

  Solusi :

  ,

  Jadi, limit

  , untuk , mendekati , sepanjang sumbu x adalah , , , , ,

  Limit

  , untuk , mendekati , sepanjang sumbu y adalah

  , , , , ,

  Jadi kita mendapat jawaban yang berbeda tergantung bagaimana , , .

  ™ Kekontinuan pada suatu titik , kontinu di titik (a,b), dengan syarat . mempunyai nilai di (a,b)

  . mempunyai limit di (a,b), dan . nilai f di (a,b) sama dengan limitnya , , , ,

  Berarti f tidak mempunyai loncatan atau fruktuasi liar di (a,b) Teorema :

  

komposisi tunggal jika g suatu fungsi dua peubah kontinu di a,b dan f suatu

fungsi satu peubah kontinu di , , maka fungsi komposisi yang didefinisikan oleh , , , adalah kontinu di a,b . Contoh : Perlihatkan bahwa , adalah kontinu di setiap titik dari bidang Solusi :

Fungsi , polinom, adalah kontinu dimana‐mana, juga

kontinu disetiap bilangan t di R. , , kontinu di semua x,y di bidang.

  4. KETERDIFERENSIALAN

dapat dideferensialkan di jika terdapat suatu vektor sedemikian hingga :

. | | dengan pada

Vektor gradient di

  | | . Catatan :

• Turunan adalah bilangan. Gradient adalah vector
• Titik dalam . menunjukkan hasil kali titik dari dua vector

  Jika fungsi dua peubah yang dapat dideferensialkan di , , maka turunan

  parsial pertama dari ada di dan

  Contoh : Perlihatkan bahwa , dapat dideferensialkan dimana‐

  mana dan hitung gradient‐gradientnya. Cari persamaan bidang singgung , di 2,0 Solusi : , Fungsi ini kontinu dimana‐mana

  , , , Persamaan bidang singgungnya : , , ,

  , , Contoh : , , , cari , , , , , ,

  , , Aturan‐aturan untuk gradient : Teorema : adalah operator linier, yakni

5. TURUNAN BERARAH DAN GRADIEN Andaikan , dan dan adalah vector‐vektor satuan arah dan positif.

  Maka turunan parsial di dapat dituliskan sebagai berikut : Untuk tiap vector satuan , andaikan Jika limit ini ada, ia disebut turunan berarah f di P pada arah u. Jadi di dan karena , ,

   

  Kemiringan:  

  ,      

  ,      

       

    ,

         

  Kaitan  dengan gradient :    Andaikan    dapat dideferensialkan di P. Maka f mempunyai turunan berarah di P pada  arah  vector satuan   dan 

    . , , ,

   

  Contoh  : jika  ,  tentukan turunan berarah   di (2,‐1) pada arah 

  ,

  vektor       Solusi  :  Vektor  satuan   pada arah a adalah     

  , ,

   

  , ,

   

  ,

  Contoh  : Cari turunan berarah dari fungsi   pada 

  , , di titik  , , arah .

   vector    Solusi  :  Vektor  satuan u pada arah a adalah      

  , , , ,

   

  , , , ,

   

  , , , ,

  Maka    

  , ,

   

  ™ LAJU PERUBAHAN MAKSIMUM  

  Untuk  suatu fungsi f di titik p , fungsi berubah paling cepat pada arah mana    yang  terbesar 

  | || | | . |  

   sudut antara   dan     maksimum pada     minimum pada    Suatu  fungsi bertambah secara paling cepat di p pada arah gradient (dengan laju 

  

| |) dan berkurang secara paling cepat pada arah berlawanan (dengan laju 

| |) 

   

  6.  ATURAN RANTAI (Chain Rule) 

  Andaikan    dan   dapat didiferensialkan di   dan andaikan  ,  akan dapat 

  , dapat didiferensialkan di   maka fungsi

  didiferensialkan  di 

  dan karenanya,   

    Contoh .  : Misalkan   dengan   dan   Tentukan 

  ⁄  

  Solusi  :          

   

  Contoh  :  Misalkan  sebuah tabung lingkaran tegak pejal dipanasi radiusnya bertambah pada  laju .  Tentukan laju 

    ,  dan tingginya bertambah pada laju  , pertambahan  luas permukaan terhadap waktu pada saat radius sama dengan    dan tinggi sama dengan      Luas  permukaan tabung     

    . , . ,  

  Pada    dan   

  . . . , . . ,  

   

  ⁄  

  Contoh  :   Andaikan .    Tentukan 

  , dengan  , , dan  ⁄  dan hitung nilainya di  ⁄ . 

  Solusi  : 

  √

    .

  √

      Misalkan  

  ,  dan  ,  mempunyai turunan pertama di  ,  dan 

  misalkan ,  

   maka 

  ,  dapat didiferensialkan di  , , ,

   mempunyai turunan parsial pertama yang diberikan oleh : 

  , , ,

      

   

  Contoh  :   Jika .    dengan   dan   Tentukan  dalam bentuk s  dan  t.  Solusi  :         

   

  Contoh  :  ,  dengan 

  , , . Tentukan  ⁄   

  Solusi  : 

  ⁄ ⁄ ⁄  

  ⁄ , ⁄ , ⁄  

  Contoh  :  Tentukan    

  ⁄  jika 

  Solusi  :  Misalkan    

  ,

  ⁄ ⁄

  , ,

   adalah   Bidang  singgung

  , ,  persamaan  bidang  singgung  di  , , ,

    Dalam   hal  khusus,  untuk  permukaan 

  , , , , , ,

    adalah 

  , ,

  ,   persamaan  bidang  singgung  di 

  , ,

   dinamakan bidang singgung  permukaan  itu di P.  Teorema  :  Untuk   permukaan 

  , ,

  ,  maka bidang yang melalui P tegak lurus 

   dari permukaan dengan 

     

  , ,

    menentukan  suatu  permukaan  dan  misalkan  F  dapat  dideferensialkan  di sebuah titik 

  , ,

            _Andaikan  

    Dengan  aturan rantai :    Persamaan  diatas dapat dinyatakan dalam bentuk gradient dari   dan tururnan dari  vektor  untuk kurva     sebagai   .      

  , ,

    adalah  persamaan parameter untuk kurva ini, maka untuk semua t 

  , , . Jika  , ,

   dan sebuah kurva pada  permukaan  tersebut yang melalui titik 

  , ,

  Suatu  permukaan yang ditentukan oleh 

  7.  BIDANG SINGGUNG, APROKSIMASI 

  , , , , , ,

   

  , ,

  Contoh:   Cari  persamaan bidang singgung terhadap   di titik (1,1,2).  Solusi  :  Misalkan     

  ,

   

  ,

   

  ,

        Contoh  : Cari persamaan bidang singgung dan garis normal terhadap  

  , ,  di  , ,  

  Solusi  :   

  , , , ,

   

  , ,

  Maka  persamaan bidang singgung    Persamaan  simetri dari normal yang melalui  , , adalah :      8.  MAKSIMUM DAN MINIMUM  Bila    suatu titik di s, yaitu daerah asal dari f   untuk semua   adalah nilai maksimum (global) dari  pada   jika  p  di s.   adalah nilai minimum (global) dari f pada s jika   untuk semua  p  di s. 

    adalah  nilai  ekstreem  (global)  dari  f  pada  s  jika  jika  ia  adalah  nilai  maksimum  (global) atau nilai minimum (global).  Maksimum  global  

     

  Maksimum  lokal 

         

  Maksimum  lokal

   

  Maksimum  global 

   

  Titik ‐titik kritis (ekstrem) dari f pada s ada tiga jenis :  1) Titik‐titik batas  2) Titik‐titik stasioner   jika   adalah suatu titik dalam dari s dimana f dapat  didiferensialkan  dan 

   bidang singgung mendatar. 

  3) Titik‐titik singular   jika   adalah suatu titik dalam dari s dimana f tidak dapat  didiferensialkan.   TEOREMA  :  Andaikan  f dideferensikan pada suatu himpunan S yang mengandung  . jika   adalah  suatu  ekstrem, maka   haruslah berupa suatu titik kritis,   berupa salah satu dari :  i. Suatu titik batas dari S, atau  ii. Suatu titik stasioner dari f ; atau  iii. Suatu titik singular dari f.  Contoh  : cari nilai maksimum dan minimum local dari  , ⁄   Solusi  :   

  , ,

   

  , ,

   

  ,

   

  , ⁄ ⁄

   

  ⁄

  jadi  

  ,  adalah minimum global untuk f 

   

  ™ SYARAT CUKUP UNTUK EKSTREM 

  Andaikan  bahwa 

  ,  mempunyai turunan parsial kedua kontinu di suatu 

  lingkungan  dari   dan bahwa  .  Ambil  

  , ,

   =  

  , , , ,

  Maka  :   jika   adalah nilai maksimum lokal. 

  0 dan  , 0, maka  ,

   jika   adalah nilai minimum lokal. 

  0 dan  , 0, maka  ,

   jika   bukan suatu nilai ekstrem   adalah titik pelana. 

  0,  , ,

  ,  jika   pengujian tidak member kesimpulan 

   

  Contoh  :  Tentukan  ekstrem; jika ada, untuk fungsi F yang didefinisikan oleh 

  ,

  Solusi  : 

  , ; ,  

  Titik    kritis  , ,

   

  ,

   

  ,

    Titik  dan     kritis  , ,

   

  , ; , ; ,

  Jadi    pada titik  ,

   

  , . , ,

    .  

  , 0 

  Sehingga  menurut 

  ,  ,  adalah nilai minimum local dari  

  Sedangkan  pada titik 

  , : 

   

  , . , ,

    .

  0 

  Maka  menurut     adalah titik pelana. 

  ,

   

   

  9.  METODE LAGRANGE 

  Untuk  mencari nilai minimum dari :   adalah suatu masalah nilai ekstrem bebas. Tapi, bila diminta  mencari  nilai minimum dari    

     Nilai ektrem terbatasi / terkendala

  Batasan  :    Untuk  menyelesaikan nilai ektrem terkendala dapat digunakan pengali lagrange 

  ™ Tafsiran Geometri Metode Lagrange   

    ,

  Maksimumkan  atau minimum   

  ,  

  terhadap  batasan   

  ,  

  Untuk  memaksimumkan f terhadap batasan 

   

   adalah mencari kurva. 

  ,

  Ketinggian    dengan 

  ,  

  kemungkinan  k terbesar yang memotong 

   

  kurva  batasan yaitu pada titik   

  ,

  dan   .  

    ,

   

  Pada  titik   dan  ,  kurva ketinggian dan 

     

  kurva  batasan memiliki suatu garis singgung 

   

  bersama,  kedua kurva tersebut mempunyai  suatu  garis tegak lurus bersama. 

     

  ,

  Vektor  gradient  adalah tegak lurus terhadap kurva ketinggian, dan   adalah tegak  lurus  terhadap kurva batasan, jadi   dan   sejajar di titik    dan 

  , maka :   dan   

   dan   adalah bilangan tak nol.  Teorema  : Metode Lagrange  Untuk  memaksimumkan atau meminimumkan   terhadap batasan/kendala    ,  seesaikan sistem persamaan :   dan    Tiap  titik   yang demikian adalah suatu titik kritis untuk masalah nilai ekstrem  terkendala  dan   yang berpadanan disebut pengali lagrange.   

  Contoh  :  Gunakan  Metode Lagrange untuk mencari nilai‐nilai maksimum dan minimum dari :     ;pada ellips   

  ,

  Solusi  :   

  , ,

   

  ;

  Persamaan  Lagrange : 

     

    Jadi   _Pers  dan   tidak dapat sama dengan nol  _Pers    

      ,

  Jadi  titik‐titik kritis 

  ,  

  Bila     Dari  persamaan pertama, bila   

  , maka dari persamaan ketiga 

  Maka   , juga titik‐titik kritis   

  ,

   

  ,

   

  ,  

  ,

   

  ,  maka nilai minimum dari   dan nilai maksimum adalah 1. 

  ,  adalah 

   

  Contoh  :  Tentukan  minimum 

  , , , terhadap batasan  , ,

    Solusi  : 

    , ,

   

  , ,

  Titik  kritis, bila   

  , , , ,  dan  , ,

  Untuk   , , ,  dengan λ pengali lagrange 

       

    Dari   ,  didapat   dan   

   substitusi ke   dan  _{Dari  persamaan  ,}    

                Sehinga  penyelesaian sistem persamaan simultan tersebut adalah   

• – , , ,

  Satu ‐satunya titik kritis adalah   

• – , ,

  Maka  minimum    

  , ,  terhadap kendala adalah  – , ,

  Bagaimana  bila batasannya lebih dari Satu  Misalkan  terdapat dua batasan   , maka persamaannya 

  , ,  dan  , ,

  menjadi  

  , , , , , ,  

   

  , , ; , ,

  Dimana    dan   adalah pengali lagrange  Sehingga  sistem lima persamaan simultan adalah 

     

   

  , , , , , ,      

  , , , , , ,  

  , , , , , ,

     

  , ,

    

  , ,

    Contoh  :  Tentukan  nilai‐nilai maksimum dan minimum dari   pada ellips 

  , ,

  yang  merupakan perpotongan tabung   dan    Solusi  :  Persamaan ‐persamaan Lagrange yang berpaduan 

       

      Dari    

    &

    Untuk  

   titik kritis  , ,  

  Untuk    

   titik kritis  – , , , ,  Nilai Maksimum 

• – , ,  Nilai Minimum