GRAF RAMSEY (K 1,2 ,C4) -MINIMAL DENGAN DIAMETER2

  Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 4 Hal. 67 – 72

  ISSN : 2303–2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND

GRAF RAMSEY -MINIMAL DENGAN

  1

  2

  4 (K , C ) _,

  DIAMETER

  2 DEBBY YOLA CRISTY

Program Studi Matematika,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas,

  

Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia,

lathifah.sulastri@yahoo.com

Abstrak.

  Diberikan graf F , G, dan H. Notasi F → (G, H) berarti bahwa sebarang

pewarnaan merah-biru terhadap sisi-sisi graf F mengakibatkan F memuat subgraf merah

yang isomorfik dengan G atau subgraf biru yang isomorfik dengan H. Graf F disebut

  ∗ sebagai graf Ramsey (G, H)-minimal jika F → (G, H) dan F 9 (G, H) untuk sebarang

  ∗

subgraf sejati F ⊂ F . Dalam makalah ini dikaji kembali tentang pembuktian beberapa

  1

  2

  4 graf dengan diameter 2 yang termasuk ke dalam R(K , C ). _, Kata Kunci

  1

  2

  4 : Graf Ramsey minimal, graf lintasan K , graf siklus C _,

  1. Pendahuluan

Suatu graf G = (V, E) didefinisikan sebagai pasangan terurut (V (G), E(G)), dengan

V (G) adalah himpunan tak kosong titik (vertices) dan E(G) adalah himpunan

sisi (edges) yang menghubungkan titik-titik di G. Misalkan terdapat titik u dan

v dimana u, v ∈ V (G). Jarak antara dua titik u dan v pada graf adalah panjang

lintasan terpendek dari u ke v dan dinotasikan dengan d(u, v).

  Suatu graf G dikatakan graf terhubung (connected graph) jika untuk setiap

pasang titik u, v ∈ V (G) terdapat suatu lintasan yang menghubungkan u dan v.

Jika tidak demikian, maka G dikatakan graf tidak terhubung (disconnected graph).

Jarak (distance) dari u ke v, dinotasikan oleh d(u, v) adalah panjang lintasan ter-

pendek pada graf tersebut. Sedangkan diameter dari suatu graf terhubung G adalah

maksimum jarak (distance) antara dua titik di G, dan dinotasikan dengan diam(G).

Jika G adalah graf tak terhubung maka didefinisikan diam(G) := ∞.

2. Bilangan Ramsey Graf Berikut adalah definisi dari bilangan Ramsey klasik dan bilangan Ramsey graf.

  

Definisi 2.1. Misalkan a, b ≥ 2 adalah bilangan asli. Bilangan Ramsey Klasik

R (a, b) adalah bilangan asli terkecil n sedemikian sehingga jika sisi-sisi graf lengkap

K

  n diwarnai dengan warna merah dan biru, maka senantiasa terdapat subgraf K a merah atau K b biru.

  

Definisi 2.2. Diberikan dua graf G dan H. Bilangan Ramsey Graf R(G, H) adalah

bilangan asli terkecil n sedemikian sehingga jika sisi-sisi graf F dengan n titik di-

  Debby Yola Cristy

warnai dengan warna merah dan biru, maka senantiasa terdapat subgraf G merah

atau H biru.

  Untuk menunjukkan bahwa bilangan Ramsey R(G, H) = n, dapat dilakukan dalam dua tahap sebagai berikut.

(1) Menunjukkan bahwa R(G, H) ≤ n, dengan cara menunjukkan bahwa sebarang

pewarnaan merah-biru pada semua sisi graf K n memuat graf G merah atau graf H biru.

(2) Menunjukkan bahwa R(G, H) ≥ n, dengan cara menunjukkan bahwa terdapat

pewarnaan merah-biru pada semua sisi dari graf K sehingga K tidak

  n−1 n−1 memuat graf G merah dan juga tidak memuat graf H biru.

3. Graf Ramsey (G, H)-Minimal Graf Ramsey (G, H)-minimal didefinisikan sebagai berikut.

  

Definisi 3.1. Diberikan graf G dan H. Graf F dikatakan sebagai graf Ramsey

(G, H)-minimal jika,

  1. F → (G, H),

  ∗ ∗

2. F := F − e ⊂ F .

  9 (G, H ) untuk F Kelas R(G, H) didefinisikan sebagai kelas yang memuat semua graf F dengan kondisi pada Definisi 3.1 di atas.

  4. Pembahasan

Dalam Gambar 1 berikut diberikan beberapa graf dengan diameter 2 yang menjadi

  1 , C

  4 anggota R(K ,2 ), seperti yang telah diperoleh dalam [2].

  1

2 , C

  4 Gambar 1. Graf R(K , ) dengan diameter 2.

  Pada makalah ini akan dibuktikan kembali bahwa semua graf dengan diameter

  1 , C

  4

  

2 dalam Gambar 1 merupakan anggota R(K ,2 ), seperti yang tercantum dalam

  Graf Ramsey

  1 2 , C

  4 ∈

  1 seperti pada Gambar 2, maka A

  1 Teorema 4.1. Misalkan terdapat graf A

  R

  1 , C

  4 (K ,2 ).

  1 Gambar 2. Graf A .

  →

  1 1 , C

  4 Bukti. Akan ditunjukkan bahwa A (K ,2 ). Pandang sebarang pewarnaan

  1

  1

  

merah-biru terhadap sisi-sisi A . Misalkan tidak terdapat K ,2 merah dalam pewar-

naan tersebut. Dapat dilihat bahwa sisi-sisi v

  2 v 3 , v 2 v 5 , v 3 v 5 , v 4 v 5 , atau v 5 v 6 adalah

  diagonal dari suatu C

  4 . Akibatnya, jika salah satu dari kelima sisi tersebut berwarna

  merah, maka akan diperoleh C

  4 biru v 1 v 2 v 5 v 3 , v 2 v 3 v 5 v 4 , v 2 v 3 v 6 v 5 , v 2 v 4 v 6 v 5 , atau

  v

  3 v 5 v 4 v 6 . Selanjutnya jika salah satu dari sisi-sisi v 2 v 4 dan v 3 v 6 berwarna biru,

  maka akan diperoleh C

  4 biru v 2 v 3 v 5 v 4 dan v 2 v 3 v 5 v 6 . Pada akhirnya tidak dapat

  4

  1

  2

  5

  3 1 →

  1

  4

  

dihindari C biru v v v v . Sehingga diperoleh A (K ,2 , C ), seperti terlihat

pada Gambar 3 berikut.

  1 Gambar 3. Hasil pewarnaan Graf A .

  ∗

  1 1 ,2 , C 4 ) untuk sebarang

  1

  − Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa A := A

  e 9 (K sisi e yang ada di A

  1 . Misalkan e adalah sisi v 1 v 2 . Warnai sisi v 2 v 4 dan v 3 v 6 dengan

  1

  

merah dan sisi-sisi lainnya dengan biru. Maka pewarnaan ini tidak memuat K ,2

  4 1 v

  2 1 v

  3

  

merah maupun C biru. Sisi v bersifat simetris dengan sisi v sehingga jika

e

  1 v

  3 1 v

  2

  

= v maka pewarnaannya sama dengan pewarnaan pada e = v . Jika e adalah

v

  2 v

  3 3 v

  5 4 v

  6

  , maka sisi v dan v diwarnai merah dan sisi-sisi lainnya dengan biru. Se-

  2 v

  4 2 v

  5 4 v

  6

  

lanjutnya jika e adalah v maka sisi v dan v diwarnai merah, sedangkan

  3 v

  6 2 v

  4

  

sisi-sisi lainnya diwarnai biru. Sisi v bersifat simetris dengan sisi v sehingga

  3 v

  6 2 v

  4

jika e = v maka pewarnaannya juga simetris dengan pewarnaan pada e = v .

2 v

  5 2 v

  4 3 v

  6 Jika e adalah sisi v , maka sisi v dan v diwarnai merah dan sisi-sisi lainnya 2 v 5 3 v

  5 3 v

  5

  

dengan biru. Sisi v bersifat simetris dengan sisi v sehingga jika e = v maka

  2 v

  5

  

pewarnaannya sama dengan pewarnaan pada e = v . Selanjutnya jika e adalah

v

  4 v

  5 2 v

  5 4 v

  6

  , maka sisi v dan v diwarnai merah dan sisi-sisi lainnya dengan biru. Sisi v

  4 v

  5 5 v

  6 5 v

  6

  bersifat simetris dengan sisi v sehingga jika e = v maka pewarnaan-

  4 v

  5 4 v

  6 Debby Yola Cristy

  1 v

  3 2 v

  4 5 v

  6

maka sisi-sisi v , v dan v diwarnai merah dan sisi-sisi lainnya dengan biru.

  1

  4 Akibatnya tidak terdapat K ,2 merah ataupun C biru dalam pewarnaan tersebut.

  1 e . Dengan demikian ∗

  − Pada Gambar 4 diperlihatkan hasil pewarnaan graf A

  1 , C 4 ). Dapat disimpulkan bahwa A 1 (K 1 , C 4 ). 1 ,2 ,2

  ∈ diperoleh A

  9 (K

  1 Gambar 4. Hasil pewarnaan Graf A − e .

  2 seperti pada Gambar 5, maka A 2 ∈

  Teorema 4.2. Misalkan terdapat graf A R

  1 , C

  4 (K ,2 ).

  2 Gambar 5. Graf A .

  2 Bukti. Pandang sebarang pewarnaan merah-biru terhadap sisi-sisi A sedemikian

  1 2 v

  3 3 v

  5

  

sehingga tidak terdapat K ,2 merah dalam pewarnaan tersebut. Sisi-sisi v , v ,

  2 v

  5

  4

  

dan v adalah diagonal dari suatu C . Akibatnya, jika salah satu dari ketiga

  4 1 v 2 v 5 v

  3 7 v 2 v 5 v

  3

  

sisi tersebut berwarna merah, maka akan diperoleh C biru v , v ,

v

  3 v 6 v 5 v

  2 3 v 5 v 4 v

  2 2 v

  4

  , atau v . Selanjutnya jika paling sedikit satu dari sisi-sisi v

  3 v

  6

  4 1 v 3 v 7 v

  2 7 v 3 v 5 v

  2

  

dan v berwarna merah, maka akan diperoleh C biru v , v , dan

v

  1 v 3 v 5 v

  2 2 v

  4 3 v

  6

  . Jika kedua sisi v dan v tersebut berwarna biru, maka tidak dapat →

  4 2 v 3 v 6 v

  5 2 v 3 v 5 v

  4

  2 1 , C

  4 dihindari C biru v atau v . Maka diperoleh A (K ,2 ). ∗

  −

  2 1 , C

  e 9 (K −

  4 Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa A 2 := A ,2 ) untuk sebarang

  2 2 e

sisi e yang ada di A . Pada Gambar 6 diberikan hasil pewarnaan dari graf A .

  ∗

  1 , C 4 ). Sehingga A 2 (K 1 , C 4 ). 2 ,2 ,2

  ∈ Dengan demikian diperoleh A

  9 (K ∈

  3 seperti pada Gambar 7, maka A

  3 Teorema 4.3. Misalkan terdapat graf A

  R

  1 , C

  4 (K ,2 ).

  Graf Ramsey

  1 2 , C

  4 2 − e

Gambar 6. Hasil pewarnaan Graf A .

  3 Gambar 7. Graf A .

  4 seperti pada Gambar 8, maka A

  ∈ Teorema 4.4. Misalkan terdapat graf A

  4 R

  (K

  1 , C 4 ).

  ,2

  4 Gambar 8. Graf A .

  Teorema 4.3 dan Teorema 4.4 dibuktikan dengan cara serupa dengan pembuk- tian Teorema 4.1 dan Teorema 4.2.

  5. Ucapan Terima kasih

Penulis mengucapkan terima kasih kepada Ibu Dr. Lyra Yulianti, Bapak Zulak-

mal, M.Si, Bapak Narwen, M.Si, Bapak Budi Rudianto, M.Si, dan Bapak Yudiantri

Asdi, M.Sc yang telah memberikan masukan dan saran sehingga makalah ini dapat

diselesaikan dengan baik. Daftar Pustaka

  1 , C

  4

  

[1] Baskoro, E. T, Yulianti, l., Assiyatun, H., 2008, Ramsey (K ,2 )-Minimal

  Debby Yola Cristy

  1 , C

  4

  

[2] Baskoro, E. T, Vetrik, T., Yulianti, L., 2008, A Note on Ramsey (K ,2 )-

Minimal Graphs of Diameter 2. Proceeding of The International Conference 70 years of Faculty of Civil Engineerings. Slovak University of Technology. pp. 1 –

  4

[3] Bondy, J. A dan Murty, U. S. R., 1976, Graph Theory with Applications,

London : The Macmillan Press Ltd

[4] Surahmat, 2003, Bilangan Ramsey untuk Graf Roda, ITB Bandung, Disertasi-

S3 , tidak diterbitkan

  1 , C

  4

  

[5] Vetrik, T, Yulianti, L., Baskoro, E. T., 2010, On Ramsey (K ,2 )-Minimal

Graphs, Discussiones Mathematics Graph Theory 30 : 637 – 649