PENENTUAN ANGGOTA KELAS RAMSEY MINIMAL UNTUK PASANGAN (2K2 ,C4)
Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 4 Hal. 83 – 90
ISSN : 2303–2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND
PENENTUAN ANGGOTA KELAS RAMSEY MINIMAL
UNTUK PASANGAN2
4 (2K , C )
LIZA HARIYANI
Program Studi Matematika,
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas,
Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia,
liza.hariyani12@gmail.com
Abstrak.Diberikan dua graf G dan H. Notasi F → (G, H) berarti bahwa sebarang pe-
warnaan merah-biru terhadap sisi-sisi graf F mengakibatkan F memuat subgraf merah
yang isomorfik dengan G atau subgraf biru yang isomorfik dengan H. Graf F disebut
∗ sebagai graf Ramsey (G, H)-minimal jika F → (G, H) dan F 9 (G, H) untuk sebarang
∗
subgraf sejati F ⊂ F . Dalam makalah ini akan dikaji kembali tentang penentuan be-
2
4
berapa graf yang berada dalam R(2K , C ).Kata Kunci
2
4 : Graf Ramsey Minimal, graf 2K , graf C
1. Pendahuluan
Graf G = (V, E) adalah suatu sistem yang terdiri dari himpunan titik berhingga
tak kosong V = V (G) dan himpunan sisi E = E(G), yaitu himpunan bagian dari
himpunan pasangan tak terurut dari anggota-anggota V . Misalkan G = (V, E)
adalah suatu graf. Jika e = uv ∈ E(G), maka u disebut tetangga dari v, demikian
juga sebaliknya.Misalkan diberikan graf G dan H sebarang. Notasi F → (G, H) berarti bahwa
sebarang pewarnaan merah-biru terhadap sisi-sisi graf F mengakibatkan F memuat
subgraf merah yang isomorfik dengan G atau subgraf biru yang isomorfik dengan
H. Suatu pewarnaan-(G, H) pada graf F didefinisikan sebagai pewarnaan merah-
biru terhadap sisi-sisi graf F sedemikian sehingga F tidak memuat subgraf merah G
∗
sekaligus tidak memuat subgraf biru H. Jika suatu graf F mempunyai pewarnaan-
∗
(G, H), maka dinotasikan F 9 (G, H ).
Dengan menggunakan notasi panah di atas dapat didefinisikan beberapa jenis
1
2
bilangan Ramsey. Diberikan dua bilangan asli n dan n , Bilangan Ramsey klasik
1
1
2
dan K m n , K n ) untuk setiap e ∈ E(K m ). Bilangan Ramsey sisi ˆ r(G, H)
− e 9 (K2 R(n , n ) adalah bilangan bulat terkecil m sedemikian sehingga K m → (K n , K n )
1
2 didefinisikan sebagai ˆ r(G, H) = min{q(F )|F → (G, H), F − e 9 (G, H)} untuk
setiap e ∈ E(F ), dengan q(F ) adalah banyaknya sisi di graf F . Bilangan Ramsey
graf R(G, H) didefinisikan sebagai minimum dari banyaknya titik graf lengkap K n
yang memenuhi K n → (G, H) dan K n n ).
− e 9 (G, H) untuk setiap e ∈ E(K
Selanjutnya graf F disebut sebagai graf Ramsey (G, H)-minimal jika F → (G, H)
dan F − e 9 (G, H) untuk sebarang sisi e di F . Semua graf Ramsey (G, H)-
84 yang dinotasikan sebagai R(G, H).
Karena tingkat kesulitan yang cukup tinggi, hasil yang diperoleh terkait R(G, H)
masih sangat sedikit, bahkan untuk graf G dan H yang berukuran kecil atau yang
berstruktur sederhana sekalipun. Oleh karena itu, masalah ini menjadi topik yang
sangat menarik untuk dikaji. Makalah ini merupakan kajian ulang dari rujukan [3],
2
4
yang membahas tentang penentuan beberapa graf yang berada dalam R(2K , C ).
2. Landasan Teori
Misalkan u dan v adalah dua titik yang bertetangga di G. Jika terdapat lebih
dari dua sisi yang menghubungkan u dan v, maka G dikatakan graf yang memuat
sisi ganda. Selanjutnya jika titik-titik ujung dari suatu sisi terkait pada titik yang
sama, maka sisi tersebut dinamakan loop. Graf G dikatakan graf sederhana apabila
G tidak memuat sisi ganda dan loop. Untuk selanjutnya pada makalah ini hanya
dibicarakan tentang graf sederhana.Titik u disebut tetangga (neighbour ) dari titik v jika e = uv untuk suatu e ∈
E(G). Lebih lanjut, titik u dan v dikatakan sebagai dua titik yang bertetangga,
sedangkan sisi e dikatakan terkait (incident) dengan titik u dan v. Banyaknya sisi
yang bertetangga dengan v ∈ V (G) dikatakan derajat dari v di G, dinotasikan
1
2
1
2
d G (V ). Dua sisi e dan e pada G disebut sisi-sisi bertetangga jika e dan e terkait
pada satu titik yang sama.Berikut diberikan definisi dari graf Ramsey (G, H)-minimal.
Definisi 2.1. [3] Diberikan graf G dan H. Graf F dikatakan sebagai graf Ramsey
(G, H)-minimal jika, (1) F → (G, H),∗ ∗ (2) F ⊂ F .
9 (G, H ) untuk sebarang subgraf sejati F
Selanjutnya, kelas Ramsey minimal R(G, H) didefinisikan sebagai kelas yang
memuat semua graf F dengan kondisi pada Definisi diatas.Pada [3] telah diperoleh beberapa syarat perlu untuk graf yang berada dalam R(2K
2 , C n ) untuk n ≥ 3 sebagai berikut.
2 Lema 2.2. [3] Misalkan graf F ∈ R(2K , C n ) untuk n ≥ 3. Maka: (1) F − v ⊇ C n untuk setiap v ∈ V (F ) dan F − e ⊇ C n untuk setiap e ∈ E(F ).
3
3 (2) F − E(C ) ⊇ C n untuk setiap segitiga C dalam F .
(3) Setiap sisi e ∈ E(F ) selalu termuat dalam suatu siklus C n di F .
Akibat 2.3. [3] Satu-satunya graf yang tak terhubung yang berada dalam
2 R(2K , C n ) untuk n ≥ 3 adalah 2C n .
∗
2 Lema 2.4. [3] Misalkan F ∈ R (2K , C n ), dengan n ≥ 3. Maka:
(1) Setiap dua siklus dengan panjang n di F memuat sedikitnya satu titik bersama.
(2) Graf F memuat paling sedikit tiga siklus dengan panjang n dan tidak semua
(2K , C )
85 Pada bagian ini akan dibahas tentang langkah-langkah penentuan graf-graf yang
2
4
menjadi anggota R(2K , C ). Berdasarkan Lema 2.2 dan Lema 2.4, diperoleh bahwa
setiap graf terhubung F ∈ R(2K2 , C 4 ) dapat dibangun dari irisan dua siklus dengan
panjang empat, dengan menambahkan paling sedikit satu siklus lain dengan panjang
empat yang beririsan dengan kedua siklus pada titik yang berbeda.Terdapat lima kemungkinan graf (yang tidak isomorfik) yang terbentuk dari
irisan dua siklus dengan panjang empat. Namakan kelima graf tesebut sebagai graf
1
2
3
4
5
dasar, dan dinotasikan sebagai L (1), L (2), L (2), L (2) dan L (3) (lihat Gambar
2.1). Notasi L i (j) berarti graf ke-i yang diperoleh dari dua siklus dengan panjang
empat yang beririsan di sebanyak j buah titik. Dapat dilihat bahwa graf dasar
4 Gambar 2.1. Irisan antara dua C .
5
3 L (3) adalah subgraf dari L (2). Karena yang akan dibangun adalah graf Ramsey
3
minimal, maka untuk selanjutnya graf L (2) tidak digunakan. Berdasarkan Lema
2
4
2.2(2), dapat diasumsikan bahwa F dalam R(2K , C ) memuat dua siklus yang
tidak beririsan di seberang titik atau sisi dalam suatu segitiga di F . Maka graf
4
2
4 L (2) tidak digunakan dalam konstruksi graf yang menjadi anggota R(2K , C ).
1
2
12 Pada Teorema berikut akan dikaji kembali bahwa graf F , F , · · · , F bersama
dengan 2C
4 (Gambar 2.2), yang dibangun dari graf dasar L 1 (1), L 2 (2) dan L 5 (3),
merupakan anggota R(2K
2 , C 4 ).
2
4
4
1
2
12 Teorema 2.5. R(2K , C ) ⊇ {2C } ∪ {F , F , · · · , F }.
Bukti. Berdasarkan Akibat 2.3 diperoleh 2C
4 ∈ R(2K 2 , C 4 ). Selanjutnya akan di-
tunjukkan bahwa F
1 , F 2 , · · · , F 12 ⊆ R(2K 2 , C 4 ), pandang beberapa kasus berikut.
2 Kasus 1. F dibangun dari L (2).
2 Kita harus menambahkan beberapa sisi dan/atau titik ke L (2) untuk memper- ∗
2
4
oleh F ∈ R (2K , C ). Berdasarkan Lema 2.2(3), setiap sisi dan/atau titik yang
4 ditambahkan harus termuat dalam suatu siklus C di F .
2 Misalkan satu sisi ditambahkan ke L (2). Berdasarkan persyaratan dalam Lema
1 2.2(1) dan Lema 2.4(1), diperoleh graf F (Gambar 2.2). ∗
1
2
4 Akan ditunjukkan bahwa F ∈ R (2K , C ). Pandang sebarang pewarnaan
1
2
merah-biru terhadap F . Misalkan tidak terdapat 2K merah dalam pewarnaan
1
tersebut. Maka subgraf yang diinduksi oleh sisi-sisi merah berbentuk K ,2 atau
1
1
1
1
4 K ,3 . Untuk setiap K ,2 atau K ,3 merah di F , selalu diperoleh C biru. Sehingga
1
2
4 F → (2K , C ).
86
2
4 Gambar 2.2. Anggota R(2K , C ).
1
e ∈ E(F ). Notasikan
1
1
2
3
4
5
6 V (F ) = {x , x , x , x , x , x },
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
1
6
1
4
2
5 E(F ) = {x x , x x , x x , x x , x x , x x , x x , x x }.
Misalkan e = x
1 x 6 . Maka warnai sisi-sisi x 1 x 4 , x 3 x 4 dan x 4 x 5 dengan merah, se-
mentara sisi-sisi lainnya diwarnai biru sedemikian sehingga tidak diperoleh C
4 biru
dalam pewarnaan tersebut. Untuk sisi e = x
3 x 4 pembuktian dilakukan dengan cara
yang sama. Selanjutnya, misalkan e = x
1 x 2 . Maka sisi-sisi x 2 x 5 , x 4 x 5 , x 5 x 6 diwarnai
merah. Untuk e = x
2 x 3 , x 4 x 5 , x 5 x 6 , pembuktian dilakukan dengan cara yang sama.
2
5
1
4
3
4
4
5
1
4 Jika e = x x maka warnai sisi x x , x x , x x dengan merah. Jika e = x x maka
1
2
2
5
2
3
1
2
4 warnai sisi x x , x x , x x dengan merah. Maka F ∈ R(2K , C ).
2 Misalkan dua sisi ditambahkan ke L (2). Semua graf baru, yang diperoleh sete-
1
lah penambahan dua sisi, yang memuat F sebagai subgraf diabaikan, karena graf
2
4
tersebut bukan merupakan graf Ramsey (2K , C )-minimal. Dapat dilihat bahwa
2
graf lain yang berasal dari penambahan dua sisi ke L (2) tidak termuat dalam
∗
2
4 R (2K , C ) karena tidak memenuhi syarat Lema 2.2(1) atau Lema 2.4(2). Maka
2
4
tidak diperoleh graf Ramsey (2K , C )-minimal baru yang diperoleh dengan cara
2 penambahan dua sisi ke L (2).
Penambahan lebih banyak sisi (tanpa penambahan titik) akan menghasilkan
1
2
2
graf yang memuat F atau F (Gambar 2.2) sebagai subgraf. Graf F adalah graf
5 yang dibangun dari graf dasar L (3).
(2K , C )
87
3
4
12
3
4
12
satu dari F , F , · · · , F (Gambar 2.2) sebagai subgraf. Graf-graf F , F , · · · , F
∗
1
2
4
adalah graf-graf yang dibangun dari L (1). Maka satu-satunya anggota R (2K , C )
2
1 yang berasal dari L (2) adalah F .
5 Kasus 2. F dibangun dari L (3).
Seperti dalam pembuktian Kasus 1, beberapa sisi dan/atau titik ditambahkan ke
∗
5
2
4 graf dasar L (3) untuk memperoleh F ∈ R (2K , C ).
Misalkan hanya sisi yang ditambahkan. Jika paling banyak dua sisi yang ditam-
∗
5
2
4
bahkan ke L (3) maka graf yang diperoleh bukan merupakan anggota R (2K , C )
karena tidak memenuhi syarat Lema 2.2(1) atau Lema 2.2(2) atau Lema 2.4(1). Jika
∼2
5
ditambahkan tiga sisi maka diperoleh F = K − e (Gambar 2.2) sebagai anggota
∗
2
4
5 R (2K , C ). Penambahan titik (dan sisi) ke L (3) mengakibatkan graf yang diper-
oleh akan memuat salah satu dari F
3 , F 4 , · · · , F 12 (Gambar 2.2) sebagai subgrafnya.
∗
Akan dibuktikan bahwa F
2 ∈ R (2K 2 , C 4 ). Pandang sebarang pewarnaan
merah-biru terhadap F
2 . Misalkan tidak terdapat 2K 2 merah dalam pewarnaan
tersebut. Maka subgraf yang diinduksi oleh sisi-sisi merah adalah K
1 ,3 , K 1 ,4 atau
C
3 . Untuk setiap K 1 ,3 , K 1 ,4 atau C 3 merah dalam pewarnaan tersebut, selalu diper-
4
2
2
4 oleh C biru. Maka F → (2K , C ).
∗
2
2
− e 9 (2K
4 Selanjutnya ditunjukkan bahwa F 2 := F , C ) untuk setiap e ∈
2 E(F ). Notasikan
2
1
2
3
4
5 V (F ) = {x , x , x , x , x },
2
1
2
2
3
3
4
1
4
1
5
2
5
3
5
4
5
2
4 E(F ) = {x x , x x , x x , x x , x x , x x , x x , x x , x x }.
1
2
1
5
2
5
3
5
4
5 Misalkan e = x x . Maka sisi-sisi x x , x x , x x , x x diwarnai merah dan sisi-sisi
4
lainnya diwarnai biru sedemikian sehingga tidak diperoleh C biru dalam pewar-
3
4
2
3
1
4
naan tersebut. Untuk e = x x , x x atau x x , pembuktian dilakukan dengan
cara yang sama. Misalkan e = x1 x 5 . Maka warnai sisi-sisi x 3 x 5 , x 3 x 4 , x 4 x 5 dengan
merah. Pembuktian untuk e = x
3 x 5 dilakukan dengan cara yang sama. Selanjutnya
misalkan e = x
2 x 5 . Maka sisi-sisi x 1 x 4 , x 4 x 5 , x 1 x 5 diwarnai merah. Pembuktian un-
tuk e = x
4 x 5 dilakukan dengan cara yang sama. Jika e = x 2 x 4 , maka warnai sisi-sisi ∗
x
1 x 4 , x 4 x 5 , x 1 x 5 dengan merah. Sehingga diperoleh F 2 ∈ R (2K 2 , C 4 ).
1 Kasus 3. F dibangun dari L (1).
1 Misalkan hanya sisi yang ditambahkan ke L (1). Maka diperoleh beberapa kasus berikut.
1 Kasus 3.1 Paling banyak dua sisi ditambahkan ke L (1).
4 Menurut Lema 2.2(1), graf F harus memuat siklus C baru yang tidak memuat
titik berderajat empat. Siklus baru ini harus memuat paling sedikit dua sisi dari
4
1
kedua C yang ada di L (1), tidak termasuk titik yang berderajat empat. Dengan
1
2
3
cara ini diperoleh graf H , H dan H (Gambar 2.3), tetapi ketiga graf tersebut
∗
2
4
1
bukan anggota R (2K , C ) karena memuat F (Gambar 2.2) yang berasal dari
2 L (2) sebagai subgrafnya.
1 Kasus 3.2 Penambahan tiga sisi ke L (1).
1
2
3 Semua graf yang memuat H , H atau H sebagai subgrafnya diabaikan. Maka
88 1 , H
2
3 Gambar 2.3. H dan H .
Graf lain yang diperoleh dengan cara penambahan tiga sisi ke L
1 (1) bukan meru-
pakan graf Ramsey (2K
2 , C 4 )-minimal karena tidak memenuhi persyaratan dalam ∗
Lema 2.2, ataupun karena memuat graf yang menjadi anggota R (2K
2 , C 4 ) sebagai
subgrafnya. Sebagai contoh, lihat Gambar 2.4. Semua sisi yang terkait dengan titik
4
1
2
3
5
v di H dan semua sisi pada segitiga e e e di H dapat diwarnai dengan warna
4
4
merah sedemikian sehingga tidak terdapat C biru pada pewarnaan terhadap H
5
6
4
dan H . Dapat dilihat bahwa sisi e di H tidak termuat dalam sebarang C di
∗
7
1
4
2
4
graf tersebut, dan H memuat F sebagai subgrafnya. Maka H ∈ R / (2K , C ).
5
6
7 Demikian pula halnya dengan H , H dan H .
4
5
6
7 Gambar 2.4. H , H , H dan H .
1 Kasus 3.3 Penambahan paling sedikit empat sisi ke L (1).
3
4
5
1
2
3 Semua graf yang memuat F , F , F (Gambar 2.2) atau H , H , H (Gambar 2.3)
atau H
7 (Gambar 2.4) sebagai subgrafnya diabaikan. Graf lainnya yang diperoleh
dengan cara penambahan paling sedikit empat sisi ke L
1 (1) bukan merupakan graf
Ramsey (2K
2 , C 4 )-minimal karena tidak memenuhi persyaratan dalam Lema 2.2.
Sebagai contoh, lihat Gambar 2.5. Kita dapat mewarnai segitiga e
1 e 2 e 3 di H 8 dan
e
4 e 5 e 6 di H 9 dengan warna merah sedemikian sehingga tidak diperoleh C 4 biru
8
9 dalam pewarnaan terhadap H dan H .
8
9 Gambar 2.5. H dan H .
(2K , C )
89
1 Jika satu titik ditambahkan ke L (1), maka berdasarkan Lema 2.2(3), titik tersebut
4
harus termuat dalam suatu C baru. Menurut Lema 2.2(1) dan Lema 2.4(1), siklus
4 C baru (dimana v menjadi salah satu titiknya) tidak memuat titik yang berderajat
1
1
empat di L (1). Maka perlu ditambahkan paling sedikit tiga sisi ke L (1). Diperoleh
∗
6
7
2
4 F dan F (Gambar 2.2) sebagai anggota R (2K , C ) yang berasal dari penamba-
8
han satu titik dan tiga sisi, serta F (Gambar 2.2) yang berasal dari penambahan
1 satu titik dan empat sisi ke L (1).
1 Kasus 3.5 Penambahan dua titik u dan v ke L (1).
1 Jika dua titik ditambahkan ke L (1) (namakan u dan v), maka berdasarkan Lema
4 2.2(3), titik-titik tersebut harus termuat dalam siklus C yang baru.
4 Jika terdapat satu siklus C baru yang memuat u dan v, maka berdasarkan
Lema 2.2(1), siklus C
4 baru tersebut tidak memuat titik berderajat empat di L 1 (1).
Berdasarkan Lema 2.4(1), harus ditambahkan paling sedikit empat sisi ke L 1 (1).
∗
Maka diperoleh F
9 , F 10 , F 11 dan F 12 (Gambar 2.2) sebagai anggota R (2K 2 , C 4 )
yang berasal dari L 1 (1) dengan penambahan dua titik.
Jika kedua titik u dan v tidak berada dalam siklus C
4 yang sama, maka graf
6
7
8
yang diperoleh akan memuat graf dalam Kasus 3.4, yaitu F , F atau F (Gambar
2.6) sebagai subgrafnya.
6
7
8 Gambar 2.6. F , F atau F .
Kasus 3.6 Penambahan paling sedikit tiga titik ke L 1 (1). Misalkan terdapat siklus C
4 baru yang memuat paling banyak dua dari semua
titik yang ditambahkan. Maka graf yang diperoleh akan memuat graf pada Kasus
4
3.4 atau Kasus 3.5. Hal ini menyebabkan siklus C baru tersebut harus memuat
1
4
paling sedikit tiga titik yang ditambahkan ke L (1). Karena C baru tersebut harus
4
4
beririsan dengan kedua C sebelumnya, maka berdasarkan Lema 2.4 (1), siklus C
1
baru tersebut memuat titik berderajat empat di L (1). Hal ini bertentangan dengan
∗
2
4 Lema 2.4(2). Sehingga tidak diperoleh graf anggota R (2K , C ) yang berasal dari
1 penambahan paling sedikit tiga titik ke L (1).
∗
3
2
4
4
5
12 Selanjutnya dibuktikan bahwa F ∈ R (2K , C ). Untuk graf F , F , · · · , F
pembuktian dilakukan dengan cara serupa. Pandang sebarang pewarnaan merah-
3
2
biru terhadap F sedemikian sehingga tidak terdapat 2K merah dalam pewarnaan
1
1
tersebut. Maka subgraf yang diinduksi oleh sisi-sisi merah berbentuk K ,4 , K ,3
3
4
dan C . Untuk setiap kemungkinan tersebut, selalu diperoleh adanya C biru dalam
3
2
4 pewarnaan. Sehingga F → (2K , C ).
90
3 Gambar 2.7. F .
Tuliskan
3
1
2
7 V (F ) = {x , x , · · · , x },
3
1
2
1
4
1
5
1
7
2
3
3
4
5
6
6
7
2
5
3
6
4
7 E(F ) = {x x , x x , x x , x x , x x , x x , x x , x x } ∪ {x x , x x , x x }.
1
2
5
6
6
7
3
6 Misalkan e = x x . Maka sisi-sisi x x , x x , x x diwarnai merah dan sisi-sisi
4
lainnya diwarnai biru sedemikian sehingga tidak diperoleh C biru dalam pewar-
1
4
1
5
1
7
naan tersebut. Untuk e = x x , x x , x x , pembuktian dilakukan dengan cara
2
3
5
6
6
7
3
6
yang sama. Misalkan e = x x . Maka warnai sisi-sisi x x , x x , x x dengan
3
4
5
6
6
7
merah. Untuk e = x x , x x , x x , pembuktian dilakukan dengan cara yang sama.
2
5
1
4
1
7
4
7 Jika e = x x maka sisi-sisi x x , x x , x x diwarnai merah. Pembuktian untuk
4
7
3
6
e = x x dilakukan dengan cara yang sama. Jika e = x x maka warnai sisi-sisi
∗
1
2
1
4
1
5
1
7
3
2
4 x x , x x , x x , x x dengan merah. Maka F ∈ R (2K , C ).
3. Kesimpulan
Misalkan diberikan dua graf G dan H. Notasi F → (G, H) berarti bahwa sebarang
pewarnaan merah-biru terhadap sisi-sisi graf F mengakibatkan F memuat subgraf
merah yang isomorfik dengan G atau subgraf biru yang isomorfik dengan H. Graf F
∗
disebut sebagai graf Ramsey (G, H)-minimal jika F → (G, H) dan F 9 (G, H ) un-
∗
tuk sebarang subgraf sejati F ⊂ F . Kemudian diperoleh kembali beberapa graf ter-
2
4
hubung yang menjadi anggota R(2K , C ). Selanjutnya telah ditunjukkan kembali
2
4
bahwa satu-satunya graf tak terhubung yang menjadi anggota R(2K , C ) adalah
4 2C .
4. Ucapan Terima kasih
Penulis mengucapkan terima kasih kepada Ibu Lyra Yulianti, Bapak Budi Rudianto,
Bapak Narwen, Bapak Ahmad Iqbal Baqi dan Bapak Zulakmal yang telah mem-
berikan masukan dan saran sehingga makalah ini dapat diselesaikan dengan baik.
Daftar Pustaka
[1] Baskoro, E.T, dkk. 2002. On Ramsey Number for Trees versus Wheels of Five
or Six Vertices. Graph and Combinatorics 4 : 717 – 721[2] Hasmawati. 2007. Bilangan Ramsey untuk Graf Gabungan Bintang. ITB Ban-
dung. Disertasi-S3. Tidak diterbitkan[3] Yulianti, L., Baskoro, E.T., Assiyatun, H., dan Uttunggadewa, S. 2009. Ram-
sey (2K2 , C 4 )-minimal Graphs. Diajukan ke Discussiones Mathematicae Graph Theory.