OR I 07 analisa sensitivitas n dualitas.pdf

  Operations Research Industrial Engineering

  Analisa Sensitivitas Pengaruh Perubahan

  Perubahan yang mempengaruhi optimalitas

  Perubahan koefisien tujuan

Perubahan dalam penggunaan sumber daya dalam kegiatan Perubahan dalam penggunaan sumber daya dalam kegiatan

Penambahan kegiatan baru (penambahan variabel)

  Perubahan yang mempengaruhi kelayakan

  Perubahan RHS Penambahan batasan baru

  Perubahan yang mempengaruhi optimalitas dan kelayakan Perubahan yang mempengaruhi optimalitas dan kelayakan

  Perubahan koefisien tujuan dan RHS secara simultan

  Analisa Sensitivitas: Simpleks

Informasi dari Tabel Optimal Simpleks

  Solusi Optimal Status Sumber Daya Shadow Price Shadow Price Reduced Cost Sensitivitas dari hasil solusi optimal terhadap perubahan ketersediaan sumber atau perubahan koefisien fungsi tujuan

Contoh Soal

  Reddy Mikks Company memiliki sebuah pabrik kecil yang

menghasilkan cat, baik untuk interior maupun eksterior untuk didistribusikan kepada para grosir. Dua bahan baku, A dan B, dipergunakan untuk membuat cat tersebut. Ketersediaan A dipergunakan untuk membuat cat tersebut. Ketersediaan A

maksimum adalah 6 ton satu hari; ketersediaan B adalah 8 ton satu hari. Kebutuhan harian akan bahan baku per ton cat interior dan eksterior diringkaskan dalam tabel 1. Sebuah

survey pasar telah menetapkan bahwa permintaan harian akan cat interior tidak akan lebih dari 1 ton lebih tinggi dibandingkan permintaan akan cat eksterior. Survey tersebut juga memperlihatkan bahwa permintaan maksimum akan cat

interior adalah terbatas pada 2 ton per hari. Harga grosir per interior adalah terbatas pada 2 ton per hari. Harga grosir per ton adalah $3000 untuk cat eksterior dan $2000 untuk cat interior. Berapa banyak cat interior dan eksterior yang harus dihasilkan perusahaan tersebut setiap hari untuk memaksimumkan pendapatan kotor? Contoh Soal (Tabel 1) Ton Bahan baku per Ton Cat Ketersediaan maksimum (ton)

  Eksterior Interior A

  1

  2

  6 A

  1

  2

  6 B

  2

  1

  8 Contoh Soal

  X1 = cat eksterior yang harus diproduksi X2 = cat interior yang harus diproduksi Fungsi Tujuan: maksimumkan pendapatan kotor max z = 3000 X1 + 2000 X2 Batasan bahan baku

  Bahan baku A maksimum 6 ton per hari Bahan baku A maksimum 6 ton per hari X1 + 2 X2 ≤ 6 Bahan baku B maksimum 8 ton per hari Contoh Soal

  Batasan permintaan harian

  Permintaan harian cat interior tidak akan lebih dari 1 ton lebih tinggi dari cat eksterior tinggi dari cat eksterior Permintaan maksimum harian cat interior adalah 2 ton X2 ≤ 2

  Batasan non negativitas Batasan non negativitas

  X1 ≥ 0 X2 ≥ 0 Contoh Soal

  max z = 3000 X1 + 2000 X2 Subject To: Subject To:

  1) X1 + 2 X2 ≤ 6

  2)

  3) X2 – X1 ≤ 1

  4) X2 ≤ 2

  5) X1 ≥ 0

  5) X1 ≥ 0

  6) X2 ≥ 0 Contoh Soal: Bentuk Standar max z = 3 X1 + 2 X2 + 0 s1 + 0 s2 + 0 s3 + 0 s4 atau

max z - 3 X1 - 2 X2 - 0 s1 - 0 s2 - 0 s3 - 0 s4 = 0 max z - 3 X1 - 2 X2 - 0 s1 - 0 s2 - 0 s3 - 0 s4 = 0

Subject To:

  X1 + 2 X2 + s1 = 6

• – X1 + x2 + s3 = 1 X2 + s4 = 2 X2 + s4 = 2 X1, X2, s1, s2, s3, s4 ≥ 0

Variabel Slack

  s1 = sisa bahan baku A s2 = sisa bahan baku B s3 = kelebihan selisih permintaan cat interior dan cat s3 = kelebihan selisih permintaan cat interior dan cat eksterior (X2 – X1) terhadap batas maksimum selisih yang ditentukan s4 = selisih batas maksimum permintaan cat interior (X2) terhadap produksinya

Penyelesaian dengan Simpleks Dasar z x1 x2 s1 s2 s3 s4 RHS z 1 -3 -2

  s1 ^{1 2 1 6} _{s2 2 1 1 8 s3 -1 1 1 1 s4 1 1 2 s4 1 1 2} Dasar z x1 x2 s1 s2 s3 s4 RHS _{z 1 -3 -2 s1 1 2 1 6 6 s2 2 1 1 8 4} s3 -1 ^{1 1 1 -1} _{s4 1 Dasar z x1 x2 s1 s2 s3 s4 RHS 1 2 ~} z ^{1 -1/2 3/2} _3/2 ¹² _{s1 1 -1/2 2 4/3 x1 1 1/2 1/2 4 8 s3 3/2 1/2 1 5 10/3} ^{Rasio Rasio} _{s3 3/2 1/2 1 5 10/3} s4 ^{1 1 2 2} _{Dasar z x1 x2 s1 s2 s3 s4 RHS z 1 1/3 4/3 12 2/3} x2 ^{1 2/3 -1/3 4/3} _{x1 1 -1/3 2/3 10/3 s3 -1 1 1 3 s4 -2/3 1/3 1 2/3}

Tabel Optimal Simpleks

  Dasar z x1 x2 s1 s2 s3 s4 RHS z 1 1/3 4/3 12 2/3 x2

  1 2/3 -1/3 4/3 x1 1 -1/3 2/3 10/3 s3

• -1

• -1

  1

  1

3 s3

  1

  1

  3 s4

• 2/3 1/3 1 2/3

Solusi Optimal Variabel Nilai Keputusan Keputusan Optimal

  X1 3 1/3 Harus memproduksi 3 1/3 ton cat eksterior eksterior X2 1 1/3 Harus memproduksi 1 1/3 ton cat interior

  Z 12 2/3 Keuntungan maksimum adalah $12.667

  Dasar z x1 x2 s1 s2 s3 s4 RHS _{x2 z 1 1/3 4/3 12 2/3 1 2/3 -1/3 4/3 s4 s3} x1 ^{1 -1/3 2/3 10/3} _{-2/3 1/3 -1 1 1 1 2/3 3} Status Sumber Sumber Slack Status Sumber

Bahan A s1 = 0 Langka, tidak ada sisa (bahan A habis terpakai)

(NBV) sehingga untuk menaikkan nilai Z, bahan A dapat ditambah dapat ditambah

Bahan B s2 = 0 Langka, tidak ada sisa (bahan A habis terpakai)

  (NBV) sehingga untuk menaikkan nilai Z, bahan A dapat ditambah

kelebihan cat interior s3 = 3 Melimpah, selisih maksimum (X2 – X1) adalah dibandingkan cat eksterior 1, tetapi hasil optimal menunjukkan selisih kurang dari 1

batas maksimum batas maksimum s4 = 2/3 Melimpah, permintaan cat interior maksimum s4 = 2/3 Melimpah, permintaan cat interior maksimum

permintaan cat interior adalah 2, tetapi hasil optimal menunjukkan X2

_{Dasar z x1 x2 s1 s2 s3 s4 RHS} kurang dari 2 _{x1 x2} z ^{1 1/3 4/3 12 2/3} _{1 -1/3 2/3 10/3 1 2/3 -1/3 4/3} Shadow Price

  Shadow Price hanya berlaku untuk sumber daya yang nilai variabel slacknya 0.

  perubahan perubahan maksimum maksimum nilai nilai Z Z yang yang disebabkan disebabkan perubahan perubahan sumber sumber i i y _i = perubahan maksimum ketersedia an sumber i

  y1 = 1/3; untuk setiap penambahan 1 ton bahan A, nilai Z akan bertambah $1/3ribu y2 = 4/3; untuk setiap penambahan 1 ton bahan B, nilai Z akan bertambah $4/3ribu akan bertambah $4/3ribu _{Dasar z x1 x2 s1 s2 s3 s4 RHS z 1 1/3 4/3 12 2/3 s3 x1} x2 _{1 -1/3 2/3 10/3} ^{1 2/3 -1/3 4/3} _{-1 1 1 3} s4

• ^{-2/3 1/3 1 2/3}
Shadow Price

  Shadow Price

Reduced Cost

  Hanya berlaku untuk variabel yang bernilai 0 Pada kasus Reddy Mikks X1 dan X2 tidak nol sehingga tidak ada informasi reduced cost tidak ada informasi reduced cost Contoh Reduced Cost max z = 8 X1 + 2 X2 + 0 s1 + 0 s2 + 0 s3 + 0 s4 atau

max z - 8 X1 - 2 X2 - 0 s1 - 0 s2 - 0 s3 - 0 s4 = 0 max z - 8 X1 - 2 X2 - 0 s1 - 0 s2 - 0 s3 - 0 s4 = 0

Subject To:

  X1 + 2 X2 + s1 = 6

• – X1 + x2 + s3 = 1 X2 + s4 = 2 X2 + s4 = 2 X1, X2, s1, s2, s3, s4 ≥ 0

Contoh Reduced Cost Dasar z x1 x2 s1 s2 s3 s4 RHS

  z ^{1 2 4 32} _{s1 1,5 1 -0,5 2 x1 1 0,5 0,5 4} Dari tabel optimal, X2 sebagai non basic variable, sehingga bernilai 0 (cat interior tidak diproduksi sama sekali) Reduced cost X2 + 2 = 0 (atau reduced cost X2 = -2); setiap pemaksaan produksi 1 ton X2 akan mengurangi ^{x1 1 0,5 0,5 4 s3 1,5 0,5 1 5 s4 1 1 2} setiap pemaksaan produksi 1 ton X2 akan mengurangi keuntungan sebanyak $2000 Contoh Reduced Cost

  Contoh Reduced Cost

  Analisa Sensitivitas dari Solusi Optimal:

Perubahan Ketersediaan Sumber Daya (RHS)

  s1 = 0, bahan A bisa ditambah/dikurangi

  D1 > 0 (positif) jika bahan A ditambah D1 < 0 (negatif) jika bahan A dikurangi D1 < 0 (negatif) jika bahan A dikurangi

  s2 = 0, bahan B bisa ditambah/dikurangi

  D2 > 0 (positif) jika bahan B ditambah D2 > 0 (positif) jika bahan B dikurangi Analisa Sensitivitas dari Solusi Optimal: Perubahan Ketersediaan Sumber Daya _{Dasar z x1 x2 s1 s2 s3 s4 RHS Rasio s2 s1} z ^{1 -3 -2} _{2 1 1 2 1 1 6 + D1 6 + D1 8 4 s4} s3 s3 -1 -1 ₁ ^{1 1 1 1} _{1 2 ~} ^{1 1 -1 -1}

  Dasar z x1 x2 s1 s2 s3 s4 RHS _{s1 3/2 z 1 -1/2 3/2 1 -1/2 2 + D1 4/3 + 2/3 D1 12 Rasio} x1 _{s4 s3 3/2 1/2} ^{1 1/2 1/2} _{1 1 1 2 5 10/3} ^{4 8} ₂ Dasar z x1 x2 s1 s2 s3 s4 RHS _{x2 z 1 1/3 4/3 12 2/3 + 1/3 D1 1 2/3 -1/3 4/3 + 2/3 D1} x1 _{s4 s3} ^{1 -1/3 2/3 10/3 - 1/3 D1} _{-2/3 1/3 -1 1 1 3 - 1 D1 1 2/3 - 2/3 D1}

Analisa Sensitivitas dari Solusi Optimal: Perubahan Ketersediaan Sumber Daya

  Perubahan nilai bi (nilai ruas kanan) di tabel optimal akibat penambahan ketersediaan bahan A sebesar D1: bi’ = konstanta + ki Di bi’ = konstanta + ki Di bi‘ = nilai bi yang baru

  Konstanta = nilai bi yang lama (dari tabel optimal asal) ki = koefisien s1 dalam fungsi kendala (s1 = variabel slack yang berkaitan dengan bahan A) Analisa Sensitivitas dari Solusi Optimal: Perubahan Ketersediaan Sumber Daya

  Perubahan Ketersediaan untuk Bahan A

  

Variabel Variabel bi bi ki ki bi’ bi’

Z 12 2/3 1/3 12 2/3 + 1/3 D1 X2 4/3 2/3 4/3 + 2/3 D1

  X1 10/3 -1/3 10/3 – 1/3 D1 S3 3 -1 3 – D1 S4 2/3 -2/3 2/3 – 2/3 D1

  Dasar z x1 x2 s1 s2 s3 s4 RHS _{x2 z 1 1/3 4/3 12 2/3 + 1/3 D1 1 2/3 -1/3 4/3 + 2/3 D1 s4 s3} x1 ^{1 -1/3 2/3 10/3 - 1/3 D1} _{-2/3 1/3 -1 1 1 3 - 1 D1 1 2/3 - 2/3 D1}

Analisa Sensitivitas dari Solusi Optimal: Perubahan Ketersediaan Sumber Daya

  Agar solusi tetap feasible, RHS harus nonnegatif sehingga batasan perubahan ketersediaan sumber daya ditentukan: 12 2/3 + 1/3 D1 ≥ 0 D1 ≥ -38 4/3 + 2/3 D1 ≥ 0 D1 ≥ -2 10/3 – 1/3 D1 ≥ 0 D1 ≤ 10 3 – D1 ≥ 0

  D1 ≤ 3 2/3 – 2/3 D1 ≥ 0 2/3 – 2/3 D1 ≥ 0 D1 ≤ 1 D1 ≤ 1

  Sehingga:

• 2 ≤ D1 ≤ 1 4 ≤ RHS ≤ 7
Analisa Sensitivitas dari Solusi Optimal: Perubahan Ketersediaan Sumber Daya

Variabel bi ki bi’

  Perubahan Ketersediaan untuk Bahan B

  Z 12 2/3 4/3 12 2/3 + 4/3 D2 X2 4/3 -1/3 4/3 - 1/3 D2 X1 10/3 2/3 10/3 + 2/3 D2 S3

  3 1 3 + D2 S4 2/3 1/3 2/3 + 1/3 D2

  Dasar z x1 x2 s1 s2 s3 s4 RHS ^{Dasar z x1 x2 s1 s2 s3 s4 RHS} _{z 1 1/3 4/3 12 2/3 + 4/3 D2 x2 1 2/3 -1/3 4/3 - 1/3 D2} x1 ^{1 -1/3 2/3 10/3 + 2/3 D2} _s3

• _-1
_{1 1 3 + 1 D2 s4}
• _{-2/3 1/3 1 2/3 + 1/3 D2}

Analisa Sensitivitas dari Solusi Optimal: Perubahan Ketersediaan Sumber Daya

  Agar solusi tetap feasible, RHS harus nonnegatif sehingga batasan perubahan ketersediaan sumber daya ditentukan: 12 2/3 + 4/3 D2 ≥ 0 D2 ≥ -19/2 4/3 – 1/3 D2 ≥ 0 D2 ≤ 4 10/3 + 2/3 D2 ≥ 0 D2 ≥ -5 3 + D2 ≥ 0 D2 ≥ -3 2/3 + 1/3 D2 ≥ 0 2/3 + 1/3 D2 ≥ 0 D2 ≥ -2 D2 ≥ -2

  Sehingga:

• 2 ≤ D2 ≤ 4 6 ≤ RHS ≤ 12

  

Analisa Sensitivitas dari Solusi Optimal:

Perubahan Ketersediaan Sumber Daya

  Selisih cat eksterior dan interior

  3 + D3 ≥ 0 D3 ≥ -3 RHS ≥ -2

  Permintaan cat interior Permintaan cat interior

  2/3 + D4 ≥ 0 D4 ≥ -2/3 RHS ≥ 1 1/3 _{Dasar z x1 x2 s1 s2 s3 s4 RHS x1 x2} z ^{1 1/3 4/3 12 2/3} _{1 -1/3 2/3 10/3 1 2/3 -1/3 4/3} s3 _{s4 s4}

• _{-2/3 -2/3 1/3 1/3} ^-1
^{1 1 3 + D3} _{1 1 2/3 2/3}

  Dasar z x1 x2 s1 s2 s3 s4 RHS _{x2 z 1 1/3 4/3 12 2/3 1 2/3 -1/3 4/3} x1 _{s3 s4} ^{1 -1/3 2/3 10/3} _{-2/3 1/3 -1 1 1 1 2/3 + D4 3} Analisa Sensitivitas dari Solusi Optimal: Perubahan Ketersediaan Sumber Daya

  Perubahan secara simultan: 4/3 + 2/3 D1 – 1/3 D2 >= 0 4/3 + 2/3 D1 – 1/3 D2 >= 0 10/3 – 1/3 D1 + 2/3 D2 >= 0 3 – 1 D1 + 1 D2 + 1 D3 >= 0 2/3 – 2/3 D1 + 1/3 D2 + 1 D4 >= 0 Analisa Sensitivitas dari Solusi Optimal: Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan

  Berpengaruh hanya pada nilai Z, bukan pada solusi optimal Penambahan/pengurangan koefisien sebesar dj untuk tiap variabel Xj variabel Xj Koefisien X1

  d1 > 0 (positif) besarnya koefisien bertambah d1 < 0 (negatif) besarnya koefisien berkurang

  Koefisien X2

  d2 > 0 (positif) besarnya koefisien bertambah d2 < 0 (negatif) besarnya koefisien berkurang Analisa Sensitivitas dari Solusi Optimal: Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan

  Perubahan koefisien X1 Z = (3 + d1) X1 + 2 X2 Dasar Dasar z z x1 x1 x2 x2 s1 s1 s2 s2 s3 s3 s4 s4 RHS RHS _{x2 z 1 1/3 - 1/3 d1 4/3 + 2/3 d1 12 2/3 + 10/3 d1 1 2/3 -1/3 4/3} x1 _{s4 s3} ^{1 -1/3 2/3} _{-2/3 1/3 -1 1 1 1 2/3} ^10/3 ₃

Analisa Sensitivitas dari Solusi Optimal: Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan

  Agar tidak mempengaruhi optimalitas dari masalahnya, karena kasusnya maksimasi, nilai (baris z) pada tabel optimal harus nonnegatif (kalau kasusnya minimasi, nilai optimal harus nonnegatif (kalau kasusnya minimasi, nilai (baris z) pada tabel optimal harus nonpositif) 1/3 – 1/3 d1 ≥ 0 d1 ≤ 1 4/3 + 2/3 d1 ≥ 0 d1 ≥ -2 12 2/3 + 10/3 d1 ≥ 0 12 2/3 + 10/3 d1 ≥ 0 d1 ≥ -3 4/5 d1 ≥ -3 4/5

• 2 ≤ d1 ≤ 1 1 ≤ koefisien X1 ≤ 4
Analisa Sensitivitas dari Solusi Optimal: Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan _{Dasar z x1 x2 s1 s2 s3 s4 RHS} Perubahan koefisien X2 Z = 3 X1 + (2 + d2) X2 _{x1 x2} z z ^{1 1 1/3 + 2/3 d2 1/3 + 2/3 d2 4/3 - 1/3 d2 4/3 - 1/3 d2 12 2/3 + 4/3 d2 12 2/3 + 4/3 d2} _{1 -1/3 2/3 1 2/3 -1/3 10/3 4/3 s4} s3
• _{-2/3 1/3} ^-1
^{1 1} _{1 2/3} ³

  1/3 + 2/3 d2 ≥ 0 d2 ≥ -1/2 4/3 – 1/3 d2 ≥ 0 d2 ≤ 4 12 2/3 + 4/3 d2 ≥ 0 d2 ≥ -9 1/2

• 1/2 ≤ d2 ≤ 4 3/2 ≤ koefisien X2 ≤ 6

  

Analisa Sensitivitas dari Solusi Optimal:

Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan

  Perubahan secara simultan: 1/3 – 1/3 d1 + 2/3 d2 >= 0 1/3 – 1/3 d1 + 2/3 d2 >= 0 4/3 + 2/3 d1 – 2/3 d2 >= 0

  Analisa Sensitivitas: Grafik Penyelesaian dengan Grafik

  Solusi Optimal Nilai maksimum dicapai pada titik perpotongan garis 1 dan 2 1)

  X1 + 2 X2 ≤ 6 2) 2)

  2 X1 + X2 ≤ 8 perpotongannya:

  2 X1 + X2 ≤ 8

  X1 = 10/3 X2 = 4/3 Z = 3000 X1 + 2000 X2 = 12667 Kesimpulan: Kesimpulan:

  Cat eksterior yang harus diproduksi = 10/3 ton per hari Cat interior yang harus diproduksi = 4/3 ton per hari Pendapatan kotor maksimum yang bisa didapatkan = $12.667 Status Sumber Daya

  Titik Optimal pada perpotongan batasan 1 dan batasan 2

  Batasan 1 ketersediaan bahan mentah A langka (habis terpakai) terpakai) terpakai)

Batasan 3 selisih cat interior dan cat eksterior melimpah (masih ada sisa jatah) Batasan 4 permintaan cat interior melimpah (masih ada sisa jatah) jatah) Perubahan koefisien fungsi tujuan Rotasi garis yang mewakili Z dan melewati titik optimal menunjukkan pengaruh menunjukkan pengaruh kenaikan/penurunan koefisien fungsi tujuan mempengaruhi besarnya nilai optimum.

  Searah jarum jam: kenaikan koefisien X1/penurunan koefisien X2 koefisien X2 Berlawanan arah: kenaikan koefisien X2/penurunan koefisien X1 Perubahan koefisien fungsi tujuan

  Kelayakan tidak akan berubah dan optimal akan tetap di titik C selama rotasi dilakukan

  Searah jarum jam sampai menghimpit garis BC Searah jarum jam sampai menghimpit garis BC

Berlawanan arah jarum jam sampai menghimpit garis CD

  Bila garis Z menghimpit garis BC atau CD, akan terjadi optimum alternatif 1/2 ≤ Ce/Ci ≤ 2/1, Ci ≥ 0 1/2 ≤ Ce/Ci ≤ 2/1, Ci ≥ 0

Perubahan koefisien fungsi tujuan

  Perubahan Ce saja Z = (3 + d1) X1 + 2 X2 1/2 ≤ Ce/2 ≤ 2/1 1/2 ≤ Ce/2 ≤ 2/1 1 ≤ Ce ≤ 4 1 ≤ Ce ≤ 4 -2 ≤ d1 ≤ 1 -2 ≤ d1 ≤ 1 Perubahan Ci saja Z = 3 X1 + (2 + d2) X2 1/2 ≤ 3/Ci ≤ 2/1 3/2 ≤ Ci ≤ 6 -1/2 ≤ d2 ≤ 4

Perubahan RHS

  Pergeseran garis pembatas 1 sampai pada titik B (penurunan RHS) atau titik (penurunan RHS) atau titik K (kenaikan RHS) Substitusi titik B (4,0) ke batasan 1

  4 Substitusi titik K (3,2) ke batasan 1 batasan 1

  7 4 ≤ RHS1 ≤ 7

  7

• 2 ≤ D1 ≤ 1

Perubahan RHS

  Pada titik B Shadow Price

  X1 = 4 Y1 = (13-12)/(7-4) = Y1 = (13-12)/(7-4) =

  X2 = 0 X2 = 0 Z = 12 bahan A

  RHS = 4 Pada titik K

  X1 = 4 X1 = 4 X2 = 0 Z = 13 RHS = 7

Perubahan RHS

  Pergeseran garis pembatas 2 sampai pada titik D (penurunan RHS) atau titik (penurunan RHS) atau titik J (kenaikan RHS) Substitusi titik D (2,2) ke ₂ batasan 2

  6 ₂ Substitusi titik J (6,0) ke batasan 2 batasan 2

  12 ³ 6 ≤ RHS2 ≤ 12

  12

• 2 ≤ D2 ≤ 4

Perubahan RHS

  Pada titik D Shadow Price

  X1 = 2 Y2 = (18-10)/(12-6) = Y2 = (18-10)/(12-6) =

  X2 = 2 X2 = 2 Z = 10 bahan B

  RHS = 6 Pada titik J

  X1 = 6 X1 = 6 X2 = 0 Z = 18 RHS = 12

  Teori Dualitas

Konsep Dualitas

  Setiap permasalahan LP mempunyai hubungan dengan permasalahan LP lain Masalah dual adalah sebuah masalah LP yang diturunkan Masalah dual adalah sebuah masalah LP yang diturunkan secara matematis dari satu model LP primal Masalah dual adalah rumusan dari LP yang didefinisikan secara langsung dan sistematis dari bentuk siap simplex model primal

  Bentuk Standar Masalah Primal Masalah Dual n n m m max Z c x , min W b y ,

  = = ∑ j j i i

  ∑ i

  1 j

  1 = =

  ST : ST : m n a a y y c c , , j j

  1 1 , , 2 ,..., ,..., n n

  2 ≥ ≥ = = a a x x b b , , i i

  1 1 , ,

  2 2 ,..., ,..., m m ij ij i i j j ∑ ∑

  = = = = ∑ ∑ ij ij j j i i i

  1 = j

  1 = y tak dibatasi i x , j 1 , 2 ,..., n

  ≥ = j

  Bentuk Standar Masalah Primal Masalah Dual n n m m min Z c x , max W b y ,

  = = ∑ j j i i

  ∑ i

  1 j

  1 = =

  ST : ST : m n a a y y c c , , j j

  1 1 , , 2 ,..., ,..., n n

  2 ≤ ≤ = = a a x x b b , , i i

  1 1 , ,

  2 2 ,..., ,..., m m ij ij i i j j ∑ ∑

  = = = = ∑ ∑ ij ij j j i i i

  1 = j

  1 = y tak dibatasi i x , j 1 , 2 ,..., n

  ≥ = j

Aturan-aturan (Hillier & Lieberman)

  Koefisien fungsi tujuan dari permasalahan primal adalah ruas kanan kendala fungsional pada permasalahan dualnya Ruas kanan kendala fungsional pada permasalahan primal Ruas kanan kendala fungsional pada permasalahan primal merupakan koefisien fungsi tujuan pada permasalahan dualnya Koefisien variabel kendala fungsional pada permasalahan primal menjadi koefisien pada kendala fungsional pada permasalahan dualnya permasalahan dualnya

Aturan-aturan (Taha)

  Untuk setiap batasan primal terdapat sebuah variabel dual Untuk setiap variabel primal terdapat sebuah batasan dual Koefisien batasan dari sebuah variabel primal membentuk Koefisien batasan dari sebuah variabel primal membentuk koefisien sisi kiri dari batasan dual yang bersesuaian; dan koefisien tujuan dari variabel yang sama menjadi sisi kanan dari batasan dual

  

Masalah dual diperoleh secara simetris dari

masalah primal Variabel Primal x1 x2 … xj … xn Z

  Sisi kanan dari batasan dual c1 c2 … cj … cn bi Koefisien sisi kiri dari batasan dual a11 a12 … a1j … a1n b1

   y1 Variabel dual a21 a22 … a2j … a2n b2

   y2 : : : : : : : : : : : : am1 am2 … amj … amn bm

   ym ↑ Batasan dual ke-j ↑ tujuan dual

  

Masalah dual diperoleh secara simetris dari

masalah primal Variabel Dual y1 y2 … yi … ym W

  Sisi kanan dari batasan primal b1 b2 … bi … bm cj Koefisien sisi kiri dari batasan primal a11 a12 … a1j … a1n c1

   x1 Variabel primal a21 a22 … a2j … a2n c2

   x2 : : : : : : : : : : : : am1 am2 … amj … amn cn

   xn ↑ Batasan primal ke-j

  ↑ tujuan primal

Hubungan Primal-Dual

  Tujuan Primal Standar Dual Tujuan Batasan Variabel

  Maksimisasi Minimisasi ≥ Tidak dibatasi Minimisasi Maksimisasi ≤ Tidak dibatasi Contoh:

  Primal Max z = 5 x1 + 12 x2 + 4 x3 x1 + 2 x2 + x3

  ≤ 10 x1 + 2 x2 + x3 ≤ 10 2 x1 - x2 + 3 x3 = 8 x1, x2, x3

  ≥ 0 Contoh:

  Primal Standar Max z = 5 x1 + 12 x2 + 4 x3 x1 + 2 x2 + x3 + s1 = 10 x1 + 2 x2 + x3 + s1 = 10

  2 x1 - x2 + 3 x3 = 8 x1, x2, x3, s1 ≥ 0 Contoh:

  Dual Min W = 10 y1 + 8 y2 y1 + 2 y2

  ≥ 5 y1 + 2 y2 ≥ 5 2 y1 - y2 ≥ 12 y1 + 3 y2 ≥ 4 y1 + 0 y2 ≥ 0 (y1 ≥ 0) y1, y2 tak dibatasi Pemecahan Masalah Dual

Nilai tujuan dalam satu pasangan masalah primal dan dual harus memenuhi hubungan berikut

  

1. Untuk setiap pasangan pemecahan primal dan dual yang Untuk setiap pasangan pemecahan primal dan dual yang

layak (nilai tujuan dalam ≤ (nilai tujuan dalam masalah maksimisasi) masalah minimisasi)

  1.

  2. Di pemecahan optimum untuk kedua masalah (nilai tujuan dalam (nilai tujuan dalam = = (nilai tujuan dalam (nilai tujuan dalam masalah maksimisasi) masalah minimisasi)

  Dual

  Contoh Primal

  Min z = 5 x1 + 2 x2 Max w = 3 y1 + 5 y2 Min z = 5 x1 + 2 x2 ST x1 – x2 ≥ 3 2 x1 + 3 x2 ≥ 5 x1, x2 ≥ 0

  Max w = 3 y1 + 5 y2 ST y1 + 2 y2 ≤ 5

• y1 + 3 y2 ≤ 2
• y1 ≤ 0 (y1 ≥ 0)
• y2 ≤ 0 (y2 ≥ 0) - y2 ≤ 0 (y2 ≥ 0)
Contoh Primal (min)

  Dual (max)

  Pemecahan Layak Pemecahan Layak Pemecahan Layak x1 = 3 x2 = 0 Nilai tujuan z = 15

  Pemecahan Layak y1 = 3 y2 = 1 Nilai tujuan w = 14 z = 15 w = 14 Contoh Primal (min)

  Dual (max)

  Pemecahan Tak Layak Pemecahan Tak Layak Pemecahan Tak Layak x1 = 3 x2 = 1 Nilai tujuan z = 17

  Pemecahan Tak Layak y1 = 4 y2 = 1 Nilai tujuan w = 17 z = 17 w = 17 Contoh Primal

  Dual

  Pemecahan Optimal Pemecahan Optimal Pemecahan Optimal x1 = 3 x2 = 0 Nilai tujuan z = 15

  Pemecahan Optimal y1 = 5 y2 = 0 Nilai tujuan w = 15 z = 15 w = 15

Hubungan Tabel Simpleks Primal dan Dual

  Max Z = 5 x1 + 12 x2 + 4 x3 ST ST x1 + 2 x2 + x3 <= 10 2 x1 – x2 + 3 x3 = 8 x1, x2, x3 >= 0

Hubungan Tabel Simpleks Primal dan Dual

  Bentuk standar Max Z - 5 x1 - 12 x2 - 4 x3 + MR1 = 0 ST x1 + 2 x2 + x3 + s1 = 10 2 x1 – x2 + 3 x3 + R1 = 8 x1, x2, x3, s1, R1 >= 0

Hubungan Tabel Simpleks Primal dan Dual Dasar z x1 x2 x3 s1 R1 RHS

  z ^{1 -2M-5 M-12 -3M-4}

• ^-8M _s1
_{1 2 1 1 10 10 R1 2 -1 3 R1 1 8 2 2/3} ^Rasio _{2 -1 3 1 8 2 2/3} Dasar z x1 x2 x3 s1 R1 RHS _{z 1 -2 1/3 -13 1/3 1 1/3 + M 10 2/3 s1 1/3 2 1/3 1 -1/3 7 1/3 3 1/7} x3 2/3 -1/3 _{Dasar z x1 x2 x3 s1 R1 RHS} ^{1 1/3 2 2/3 ~} z ^{1 -3/7 5 5/7 -4/7 + M 52 4/7} _{x2 1/7 1 3/7 -1/7 3 1/7} ^Rasio _{22 x3 5/7 1 1/7 2/7 3 5/7 5 1/5} ^Rasio _{x3 5/7 1 1/7 2/7 3 5/7 5 1/5}

  Dasar z x1 x2 x3 s1 R1 RHS _{z 1 3/5 5 4/5 -2/5 + M 54 4/5 x2 1 -1/5 2/5 -1/5 2 2/5} x1 ^{1 1 2/5 1/5 2/5 5 1/5}

Hubungan Tabel Simpleks Primal dan Dual

  Solusi optimal: X1 = 5 1/5 X2 = 2 2/5 X2 = 2 2/5 X3 = 0 S1 = 0 R1 = 0 Zmaksimum = 54 4/5 Hubungan Tabel Simpleks Primal dan Dual

  Bentuk siap simpleks primal _{5 12 4 -M Z} x1 x2 x3 s1 R1 bi

  Formulasi masalah Dual ^{x1 x2 x3 s1 R1 bi 1 2 1 1 10 2 -1 3 1 8}

  10 ⁸ _{y1 y2 1 2 >=} ^W _{5 Cj 1 2 >= 5} 2 -1 >= ¹² _{1 3 >= 4 1 >=} 1 >= -M

  

Hubungan Tabel Simpleks Primal dan Dual

  Masalah Dual: Min W = 10 y1 + 8 y2 ST y1 + 2 y2 >= 5 2 y1 – y2 >= 12 y1 + 3 y2 >= 4 y1 >= 0 y2 >= -M

• M <= y1, y2 <= M

  

Hubungan Tabel Simpleks Primal dan Dual

  Masalah Dual Standar: Min W = 10 y1 + 8 y2’ – 8 y2” +

  M(R1 + R2 + R3) M(R1 + R2 + R3) ST

  

y1 + 2y2’ – 2y2” – s1 + R1 = 5

2y1 – y2’ + y2” - s2 + R2 = 12

y1 + 3y2’ – 3y2” – s3 + R3 = 4 y1 + 3y2’ – 3y2” – s3 + R3 = 4

y1, y2’, y2”, s1, s2, s3, R1, R2, R3 >= 0

Hubungan Tabel Simpleks Primal dan Dual Dasar W y1 y2' y2" s1 s2 s3 R1 R2 R3 RHS

  W ^{1 4M - 10 4M - 8 -4M + 8 -M -M -M 21M} _{R1 1 2 -2 -1 1 R2 5 2,5 2 -1 1 -1 R3 1 12 -12 1 3 -3 -1 1 4 1,333333333} ^Rasio Dasar W y1 y2' y2" s1 s2 s3 R1 R2 R3 RHS _{W 1 8/3 M - 22/3 -M -M 1/3 M - 8/3 -4/3 M + 8/3 15 2/3 M R1 1/3 -1 2/3 1 -2/3 2 1/3 7 R2 2 1/3 -1 -1/3 1 1/3 13 1/3 5 5/7} y2' 1/3 ^{1 -1 -1/3 1/3 1 1/3} _W ⁴ _{Dasar W y1 y2' y2" s1 s2 s3 R1 R2 R3 RHS 1 -8M + 22 8M - 22 3M - 10 -4M + 10 5M + 40} R1 -1 ^{1 -1 1 1 -1 1 1} _{R2 -7 7 -1 2 1 -2 4 4/7 y1 1 3 -3 -1 1 4 -4/3} Dasar W y1 y2' y2" s1 s2 s3 R1 R2 R3 RHS _{W 1 -M 1/7 M - 22/7 5/7 M - 26/7 -8/7 M + 22/7 -12/7 M + 18/7 3/7 M + 44/7 R1}

• _{-1 1/7 5/7 1 -1/7 -5/7 3/7 3/5} ^{Rasio Rasio} _{Rasio R1}
• _{-1 1/7 5/7 1 -1/7 -5/7 3/7 3/5 y2" -1 1 -1/7 2/7 1/7 -2/7 4/7}
₂ y1 _{Dasar W y1 y2' y2" s1 s2 s3 R1 R2 R3 RHS} ^{1 -3/7 -1/7 3/7 1/7 5 5/7 -40} _{W 1 -5 1/5 -2 2/5 26/5 - M 12/5 - M -M 54 4/5} s3 -1 2/5 1/5 ^{1 1 2/5 -1/5 -1 3/5} _{y2" -1 1 2/5 -1/5 -2/5 1/5 2/5 y1}

_{1 -1/5 -2/5 1/5 2/5 5 4/5}

Hubungan Tabel Simpleks Primal dan Dual

  Solusi Optimal: Y1 = 5 4/5 Y1 = 5 4/5 Y2’ = 0 Y2” = 2/5 Y2 = Y2’ – Y2” = -2/5 S1 = 0 S2 = 0 S3 = 3/5 Wminimum = 54 4/5

Hubungan Tabel Simpleks Primal dan Dual 1

  Nilai Woptimal dual = nilai Zoptimal primal 2. Koefisien fungsi objektif optimal variabel basis yang muncul pada tabel awal masalah primal = selisih (ruas muncul pada tabel awal masalah primal = selisih (ruas kiri – ruas kanan) dari batasan masalah dual yang bersesuaian dengan variabel basis pada tabel awal primal

  Sehingga hasil penyelesaian dari masalah dual di atas bisa disimpulkan hanya berdasarkan penyelesaian dari disimpulkan hanya berdasarkan penyelesaian dari masalah primalnya saja

  Dasar z x1 x2 x3 s1 R1 RHS _{z 1 -2M-5 M-12 -3M-4}

• _{-8M s1}
_{1 2 1 1 10 10} R1 ^{2 -1 3 1 8 2 2/3} Dasar z x1 x2 x3 s1 R1 RHS _{z 1 3/5 5 4/5 -2/5 + M 54 4/5 x2 1 -1/5 2/5 -1/5 2 2/5 x2 1 -1/5 2/5 -1/5 2 2/5} x1 ^{1 1 2/5 1/5 2/5 5 1/5}

  

Hubungan Tabel Simpleks Primal dan Dual

1.

  Wmin = Zmax = 54 4/5 2. Keputusan Optimal Dual:

  

Variabel basis Nilai (baris z) di tabel Selisih ruas kiri dan ruas

pada tabel awal optimal primal untuk kanan pembatas dual yang primal variabel basis tersebut berkaitan dengan variabel tersebut

  S1 5 4/5 Y1 – 0 R1 -2/5 + M Y2 – (-M) = Y2 + M

  5 4/5 = Y1 – 0 Y1 = 5 4/5

• 2/5 + M = Y2 + M Y2 = -2/5

Hubungan Tabel Simpleks Primal dan Dual 3

  Nilai Zoptimal Primal = Nilai Woptimal Dual 4. Koefisien fungsi objektif optimal variabel basis yang muncul pada tabel awal masalah dual = selisih (ruas kiri muncul pada tabel awal masalah dual = selisih (ruas kiri

• – ruas kanan) dari batasan masalah primal yang bersesuaian dengan variabel basis pada tabel awal dual

  Sehingga hasil penyelesaian dari masalah primal bisa disimpulkan hanya berdasarkan penyelesaian dari disimpulkan hanya berdasarkan penyelesaian dari masalah dualnya saja Dasar W y1 y2' y2" s1 s2 s3 R1 R2 R3 RHS _{W 1 4M - 10 4M - 8 -4M + 8 -M -M -M 21M R1 1 2 -2 -1 1 R2 5 2,5 2 -1 1 -1 1 12 -12} R3 ^{1 3 -3 -1} _{Dasar W y1 y2' y2" s1 s2 s3 R1 R2 R3 RHS} ^{1 4 1,333333333} _{W 1 -5 1/5 -2 2/5 26/5 - M 12/5 - M -M 54 4/5} s3 -1 2/5 1/5 ^{1 1 2/5 -1/5 -1 3/5} _{y2" -1 1 2/5 -1/5 -2/5 1/5 2/5 y1}

_{1 -1/5 -2/5 1/5 2/5 5 4/5}

^Rasio _y1

_{1 -1/5 -2/5 1/5 2/5 5 4/5}

Dualnya Dual

  Max Z = 5 X1 + 12 X2 + 4 X3 ST X1 + 2 X2 + X3 <= 10

  2X1 – X2 + 3 X3 <= 8

• 2 X1 + X2 – 3 X3 <= -8
• X1 <= 0
• X2 <= 0
• X3 <= 0 - X3 <= 0 R1 <= M R2 <= M R3 <= M

  

Hubungan Tabel Simpleks Primal dan Dual

3.

  Zmax = Wmin = 54 4/5 4. Keputusan Optimal Primal:

  Variabel basis pada tabel awal dual Nilai (baris z) di tabel optimal dual untuk variabel basis tersebut Selisih ruas kiri dan ruas kanan pembatas primal yang berkaitan dengan variabel tersebut R1 26/5 – M X1 – M R2 12/5 - M X2 – M

  X3 – M

  26/5 – M = X1 – M X1 = 26/5 12/5 - M = X2 – M X2 = 12/5

• M = X3 – M X3 = 0