TKS 4008 Analisis Struktur I

  TKS 4008 Analisis Struktur I TM. XIII : METODE CLAPEYRON Dr.Eng. Achfas Zacoeb, ST., MT. Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Pendahuluan Metode ini diusulkan oleh Clapeyron (1857) dan dikembangkan lebih lanjut oleh Mohr (1860)

  A’ C’ h _A A B h _{1 c} Balok dua bentang C yang bersebelahan. I = I _{AB 1} A I = I _{BC 2} C ₁ L L _{1 2} A A _{1 2} Diagram momen akibat beban luar. a a _{1 2} M _B

  Diagram momen akibat

  A A ⁵ M _A ⁴ M A

₆

_C A ₃

  momen ujung M , M ,

  A B L /3 L /3 L /3 _{1 1 2} dan M .

  C L /3 _{1 L /3} L /3 _{2 2}

  Penurunan Rumus  Hubungan antara M

  A , M

  B , dan M

  C dapat diperoleh dari kondisi keselarasan (compatibility) untuk balok yang menerus (continue) di titik B.

   Garis singgung kurva elastis

  BC’ di titik B terletak pada satu garis lurus

  dengan garis singgung kurva elastis BA’ di titik B.  Kedua garis singgung di titik B pada kurva elastis di kedua sisi titik B satu terhadap yang lain harus tetap membentuk garis lurus (180 o ).

   Karena A

  1 harus berupa garis lurus maka :

1 BC

  dengan AA

  1 L A

  1 A

  1 L M

  3

  1 L M

  6

  1 A a EI

  1 AA h (Pers. 2)

  Penurunan Rumus (lanjutan)   _{C C 1 1} B h di singgung garis dari C di Lendutan h C C CC

      

   _{c 2 2 6 2 5 2 2 1} L h A

  3

  3

  1 A

  2 A a EI

  1 CC

      

      

_C

_{2 2 C 2 2 B 2 2 1} L h M

  6

  1 L M

  3

  1 A a EI

  1 CC

      

       dan

  (Pers. 3)

  1

  2

  1

  4

   = h

  A – A

  1 A’

  2

  1

  1

  1 L

  CC L AA 

    B di singgung garis dari A di Lendutan h A A h AA _{A 1 A 1}     

     

       

  1

  1

  1 B

  3

  1

  1 A

  1 L A

  3

  2 L A

  3

  1 A a EI

  (Pers. 1)

  









       

  2

  1 AA h

  (lanjutan) Penurunan Rumus

  Pers. (2) dan Pers. (3) disubstitusikan ke Pers. (1), maka diperoleh Pers. (4) :

  h _{A     C}

  1

  1 ²

  1 ²

  1

  1 ²

  1 ^{2 h} A a M L M L A a M L M L

             _{1 1 A 1 B 1 2 2 B 2 C 2} L L EI _{1 1  }

  6

  3 L EI _{2  }

  3

  6 L ₂

  (Pers. 4) Persamaan Clapeyron didapatkan dengan mengalikan (6E) terhadap

  setiap/semua suku pada Pers. (4), sehingga berubah menjadi seperti Pers. (5) yang dikenal juga dengan Persamaan Tiga Momen :

       

  L L L L _{1 1 2 2}

  6A a ₁

₁

  6A a _{2 2 A C}

  6Eh

  6Eh

         

  M _{A B c}

  2M M

       

  I ₁ I ₁ I ₂ I L _{2 1} I L

₁

₂ I L L _{2 1 2}

                        _{akibat beban luar akibat penurunan}

  (Pers. 5)

  (lanjutan) Contoh Berikut ini aplikasi Metode Clapeyron untuk analisis struktur balok menerus akibat beban luar tanpa disertai penurunan tumpuan : q P

  2

  1 q

1 P P

  

2

  3

  10I

  3I c E _c

  2I

_c

A B C D 6m 12m 2m 4m 1,5m

  Data perhitungan :

  P = 80 kN P = 72 kN E = konstan

  1

  

2

P = 24kN q = 24 kN/m q = 16 kN/m

  3

  1

  

2

  Contoh (lanjutan)

  (3,2) + 1,2M

  6

  12 6 2304

  10I

  6

  6 288

  2I

                       _{luar beban akibat} ^{c 3 D 10 c c c c c C c B}

   = -1555,2 (Pers. a) →M A = 0 kNm (sendi) Pers. Clapeyron pada bentang BC & CD :

  C

  B

  12 6 1440

  2M

      

      

     

       

  

 

  

      

  6 M   

  3I

  10I

  6

  6

     

  = -36 kNm (jepit)

  D

  b) →M

   = -1495,2 (Pers.

  C

  B

  1,2M

      

      

       

  2I

  



 

  

      

  12 M   

  10I

  2M

  12

  10I

  6

  2I

  6 M

  2M

  3I

  A B C D

  24

      

  1 A ₂     

  2

  12

  80

  12

  4

  1 A ³ ₁     1440

  12

  6

  12

  Diagram M akibat beban luar 432

  1/8x24x6 ² = 108kNm

80x12/4

= 240kNm

  3 A ₁ A ₃ A ₂ A

₄

48x2 = 96kNm 1/8x16x12 ² = 288kNm

  2 P

  1 P

  1 P

  2 q

  

2I

_c 4m 6m 12m 1,5m E 2m q

  10I _c

  3I _c

  2304

  16

  12

  6

  10I

  12 M

  10I

  6

  6 3 432

  

3I

  6

  12 6 1440

  10I

  12 6 2304

  12

  10I

                   _{luar beban akibat} ^{c c c c c c c B c A}

  Pers. Clapeyron pada bentang AB & BC :

  36 A ₅ A ₆ A ₇ A ₈ A ₉ DiagramM akibat M ujung (215,9) (146,6) Contoh (lanjutan)

  1 A ₄    M _A = 0 kNm M _D = -24x1,5 = 36 kNm Data : P ₁ = 80kN P ₂ = 72kN P ₃ = 24kN q ₁ = 24kN/m q ₂ = 16kN/m

  2

  6

  96

  288

  1 A ³ ₃     

• + 8,4M
• + 1,2M

• + 8,4M
• -1

   

   

   0,122 0,023 0,023 0,161 6,4 1,2 1,2 8,4 52,32

  1 A ¹ Contoh (lanjutan)

  →[M]=[A]

  [C]

    M kNm 146,644 215,997 1495,2 1555,2 0,122 0,023 0,023 0,161

    

    

     

    

     

    

    

     

   Jadi M

  A

  = 0 kNm M

  B

  = 215,997 kNm M

  C

  = 146,644 kNm M

  D

  = -36 kNm

   

     

  Contoh (lanjutan)

                

  Hitung M

  B

   dan M

  C

   dengan menyelesaikan Pers. (a) & Pers. (b) : 6,4M

  B

  C

   = -1555,2 1,2M

  B

  C

   = -1495,2

  C M C B A

     

  1495,2 1555,2 M M 8,4 1,2 1,2 6,4

     

     

     

     

      

  Det [A]=(6,4x8,4)-(1,2x1,2)=52,32 →[M]=[A]

  [C]

   

    

    

• -1

  (lanjutan) Contoh Free body diagram :

  80kN 24kN/m 215,997 146,64 215,997

  36

  24 16kN/m 146,64

  36 72kN B D C A B C 16x12/2 72 72x4/6

  96 E 24x6/2

  24

  24 80/2

  40

  36 215,9/6 146,6/6 24,4

  18 215,9/12 108 6 36 146,6/12 12,2 36/6 130,2 66,4 5,6 141,8 R = 36 kN R = 249,8 kN R = 196,6 kN R = 29,6 kN A

  C D B

  Cek

  V = 0

  (24x6+16x12+80+72+24) -(36+249,8+196,6+29,6) = 0 512 – 512 = 0  oke!

  (lanjutan) Contoh

  Momen Maksimum

2 Bentang AB M = R (x) - ½q (x) x A

  1

  x A

  1

  = R - q (x) = 0 →D

   x = R /q = 36/24 = 1,5m dari titik A

  A

  2 M = 36 (1,5) - ½(24)(1,5) = 27 kNm maks

  Bentang BC M terjadi di bawah beban P = 80kN

  maks

2 M = R (6) -½q (6) -215,9 = 346,8 kNm x BC

  2

  2 M = 36(6) - ½(24)(6) = 346,8 kNm maks

  Bentang CD M = R (2) - M = -13,8kNm

  G CD CD

  M = -(24)1,5 = -36 kNm

  D

  Garis elastis bentang AB Sudut rotasi bentang AB :  

  ) 2 A

     

  1

  10E(I

  ) 2 A A

  2 ( A

  3

  1 ( A )

  3

  ) kNm EI 71,5

  1 θ

₇

₆ ³ _B ² _{c 3 C 7 6 3 2 c}

  10E(I

  2 ( A

  3 _{C 7 6 3 2 c}

  3

  1 12)(

  12

  1 ( A )

  3

  1 12)(

  12

  )

     

    

      

         

  A kNm EI 85,3

        

  )

  1 θ ^{7 6 3 C 2} _c Contoh (lanjutan)

  10E(I

  ) 2 A

  1 ( A

  3

  1 12)(

  12

  2 ( A )

  3

  1 12)(

  12

      

  3

    

      

    

        

  (searah jarum jam) (berlawanan arah jarum jam)  

          

     

  1

  10E(I

  ) 2 A A

  3 A

  2

    

        

   

  ) 2 432

      

    

        

    

    

     

    

        

     

  1

  3E(I

  3 647,99 (

  )

  1 θ ^{5 A 1} _{c 3 C c}

kNm

EI 0,001 )

  3E(I

  ) 2 A

  1 ( A

  3

  1 6)(

  6

   )

    

      

    

      

  6

  (searah jarum jam) Lihat slide no 7 Garis elastis bentang BC Sudut rotasi bentang BC :

     

  1 A ₆     Contoh (lanjutan)

  2

  12

  1295,98 215,997

  1 A ₅    

  2

  6

  647,99 215,997

  (searah jarum jam)

      

     

        

  1 6)(

     

  1

  3E(I

  ) 2 432

  2 (

  3 647,99

  72 )

  1 θ _{5 B} ¹ _{c 3 C c} kNm EI

  3E(I

  ) 2 A

  2 ( A

  3

2 A

2 A

  Garis elastis bentang CD Sudut rotasi bentang CD : _{3 C 9 8 4 3 C 10 c} A kNm EI 85,3

  1 q

  Lihat slide no 7

  Contoh (lanjutan)

  Diagram M, D, & kurva garis elastis

  A B C D

  3I _c

  10I _c

  2I _c 4m 6m 12m 1,5m E 2m q

  2 P

  2

  1 P

  2 P

  3 Diagram M (kNm) Diagram D (kN) 346,8

  36 146,6 216

  27 (-) (+)

(-)

₍₊₎ 13,8

  36 108 141,8 130,2 66,4 5,6

  24 (+) (+) (+) (+) (-) (-) (-)

  45

  1 A ₈    

  6

  3

  3

  1 A

  3

  2 A 6 )

  2E(I

  1 θ

     

          ₃ C ^{9 8 4 3 D 8 c}

  A kNm EI 45,3

  2 A

  1 A ₇     439,93 146,64

  3

  1 A 6 )

  2E(I

  1 θ

     

          879,86 146,64

  12

  2

35 Contoh (lanjutan)

  (lanjutan) Contoh θ _B

  Kurva garis elastis

  θ _D θ _C θ _A Latihan

  Analisis struktur balok menerus berikut : P q ² P ₁

  2I _{c c F c}

  4I

  3I E A B C D 2m 6m 6m 3m 3m Buat diagram M, D, dan garis elastis, jika :

  P

  = 1 kN

1 P

  = 2P

  2

  1

  q = 1kN/m E = konstan

  Terima kasih atas Perhatiannya!