The Title for ETP (Electronic Technical Publishing) Typesetting Style
The Title for ETP (Electronic Technical Publishing) Typesetting Style The Author The Date CT Contents
0.1 Serii de numere reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
0.1.1
0.1.6
Seriile sunt extinderi naturale si riguroase ale sumelor …nite. Fundamentam astfel prin notiunea de "serie" sintagma "suma cu un numar in…nit de termeni" folosind limita
A
7. Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxi
0.1.7
6. Calculul aproximativ al sumelor unor serii convergente . . . . xviii
5. Serii cu termeni pozitivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv
2.1. De…nitia unui serii. Convergenta si divergenta . . . . . . . . iii
0.1.5
2.4.Absolut convergenta si convergenta neconditionata . . . . . xi
0.1.4
2.3. Criterii pentru serii cu termeni oarecare . . . . . . . . . . . x
0.1.3
2.2. Operatii cu serii convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
0.1.2
0.1 Serii de numere reale
CONTENTS — MANUSCRIPT unui sir de sume …nite. Astfel, seriile sunt cazuri particulare de siruri. In consecinta tot ce s-a tratat in precedentul capitol este valabil pentru serii. In plus vom da noi criterii de convergenta speci…ce doar seriilor.
B
0.1.1
2.1. De…nitia unui serii. Convergenta si divergenta
Desigur, este imposibil sa adunam un numar in…nit de termeni, in general. De aceea vom apela la notiunea de limita pentru a de…ni riguros o "suma in…nita".
De…nitia 2.1.1. Fie (a n ) un sir de numere reale. De…nim cu ajutorul n
1 acestuia sirul (s n ) astfel: n
1 s ; s ; s ; ; s ;
1 2 = a 1 + a
2 3 = a 1 + a 2 + a 3 n = a 1 + a 2 + a n n P
- 1 = a
Sirul astfel de…nit, adica sirul a k ; se numeste serie cu termenul general k
=1 n
1 a n si se noteaza cu unul dintre simbolurile
P P 1 X a ; a ; a ; a :
- n n + a sau, cand nu exista pericol de confuzie, n
1
2 n n =1
1 n
1 P P
Suma s = a se numeste suma partiala de ordinul n a seriei a . Spunem n k n k n
=1 =1
P ca seria a n este convergenta daca sirul sumelor sale partiale este convergent; in caz contrar spunem ca aceasta serie este divergenta. A studia natura unei serii inseamna a investiga daca seria este convergenta sau divergenta. Limita S -…nita sau in…nita- a sirului sumelor partiale, daca exista, se numeste suma seriei; identi…cam,
CONTENTS — MANUSCRIPT
1 P a ; in acest caz, simbolul seriei cu suma sa, adica scriem S = n sau, echivalent, n
=1
1 P
lim s = a : n n n!1 n
=1 Altfel spus, o serie este sirul sumelor partiale.
Seriile al caror indice de insumare nu porneste de la 1 se de…nesc analog. In matematica si in aplicatiile in inginerie seriile joaca un rol important, in- deosebi in estimarea aproximativa a unor valori imposibil de determinat exact. De aceea suntem interesati de doua probleme esentiale legate de o serie data: natura seriei si estimarea exacta sau aproximativa a sumei.
Observatia 2.1.1. Este important de subliniat ca natura unei serii nu este afectata de modi…carea unui numar …nit de termeni; in schimb, daca seria este conver- genta, suma sa este afectata de eventuale modi…cari ale termenilor.
P Observatia 2.1.2. Seria a n este divergenta daca si numai daca n
1 s s s lim n nu exista, lim n n =
= 1; sau lim 1: n!1 n!1 n!1 n!1
P a Observatia 2.1.3. Daca m este un intreg pozitiv …xat si n este o serie n
1 P a numerica, atunci seria n se numeste restul de ordinul m a seriei date. De- n m +1
P a sigur, seria n este convergenta daca si numai daca restul sau ( de orice ordin) este n
1
1
1 P P
- a a : convergent; in acest caz avem egalitatea n = s m n
n n =1 =m+1 CONTENTS — MANUSCRIPT P
1 Exemplul 2.1.1. Pentru seria suma partiala de ordinul n este s n := n (n+1) n
1 n n
1 P P P
1
1
1
1
1 = = 1 ; deci suma sa este egala cu 1, adica = 1: k k k n n
(k+1) +1 +1 (n+1) k k n
=1 =1 =1
1
1
1 P P P
1
1
1
1 In schimb = si = s + :
12 n (n+1) 13 n (n+1) n (n+1) n =13 n =1 n =13
Seriile geometrice, pe care le de…nim mai departe, sunt serii de mare impor- tanta practica. Ele sunt utilizate de multe ori la studiul naturii altor serii, prin asa numitele criterii de comparatie.
Teorema 2.1.1. Serii geometrice. Fie a; q 2 R; a 6= 0: Atunci seria
1 P n
2 aq geometrica = aq + aq este convergenta daca si numai daca jqj < 1; in
- n
=1
1 P aq n aq : acest caz =
1 q n =1
Demonstratie. Deoarece suma partiala de ordinul n este suma unei progresii geometrice cu ratia q avem n an; daca q = 1
P k
n
s = aq = n 1 q a k
=1 , daca q 6= 1 1 q Concluzia teoremei decurge imediat din faptul ca lim a n
= signa 1; si din faptul n!1 n ca pentru q 6= 1 sirul (q ) este convergent -si are limita 0- daca si numai daca jqj < 1:
Observatia 2.1.4. Daca in seria geometrica primul indice este 0 atunci
1 P n
2 aq
= a + aq + aq chiar daca q = 0; deci convenim ca 0 + := 1: n
=0
1 n P
2
2
1 Exemplul 2.1.2. =
2 = 2: Deci seria este convergenta si suma
3
3
1
3
n =1 sa este 2:
- 2
- =
1
1 P n =14
1
13
n
=
1
13
14
1
1
13
n
=
1
13
13
14 :
Un prim criteriu de convergenta pentru serii cu termeni pozitivi decurge ime- diat din teorema sirurilor monotone.
Propozitia 2.1.1. Fie a n 0 pentru orice n 2 N: Atunci seria
1 P n =0 a n este convergenta daca si numai daca sirul sumelor partiale este superior marginit.
O teorema cu demonstratie simpla, dar deseori extrem de utila la stabilirea divergentei unei serii este testul limitei.
Teorema 2.1.2. Testul limitei. Daca seria
este
13
CONTENTS — MANUSCRIPT Exemplul 2.1.3.
3
1 P n =0
2
3 n = 1 +
2
3
3
2
1
1
2
= 3: Deci seria este convergenta si suma sa este 3: De altfel seria noastra este restul de ordinul 1 al seriei de la exemplul precedent.
1
Exemplul 2.1.4.
1 P n =1
3
2 n = 1: Deci seria este divergenta si suma sa este
1: Exemplul 2.1.5. Seria
1 P n =1
3
2 n este divergenta si nu are suma, deoarece sirul sumelor partiale nu are limita.
Exemplul 2.1.6. Restul de ordinul 13 al seriei
1 P n =1
1 P n =1 a n este convergenta atunci lim n!1 a n = 0: Extindem seria armonica astfel:
P k =2
n
P k
- 1
- 1
- 1
- 1
=2
1 k = 1 + n
1 P i =0
2
i +1
P k =2
i
1 k 1 + n
1 P i =0
2
i +1
i
1 k = 1 +
1
2 k
1 + n
1 P k =0
2 k
1
2 k
= = 1 + n
1 P k =0
1
2 = 1 + n
2 ! 1 si a…rmatia este dovedita. Deci
1 P n =1
2
=1
CONTENTS — MANUSCRIPT Demonstratie. Deoarece
1 n este divergenta, iar termenul sau general tinde la zero.
1 P n =1 a n este convergenta rezulta ca lim n!1 a n = lim n!1 n
P k =1 a k n
1 P k =1 a k =
1 P n =1 a n
1 P n =1 a n = 0:
Exemplul 2.1.7. Conform testului limitei si exercitiului 35 de la capitolul precedent, seria
1 P n =1 n
P k
=1 q 1 + k n
2 1 este divergenta.
Implicatia inversa (in testul limitei) nu este adevarata, dupa cum rezulta din urmatorul contraexemplu.
Exemplul 2.1.8. Seria armonica
1 P n =1
Intr-adevar sumele partiale de ordinul n; s n := n
P k
P k =1
1 k , formeaza un sir crescator.
Daca vom arata ca (s n
) are un subsir (s i n
) nemarginit urmeaza imediat ca (s n
) - deci seria armonica - este divergenta. Alegem i n
= 2 n
: Avem s
2
n
=
2
n
1 n = 1:
1 P
1 Teorema 2.1.3. Seria armonica generalizata este convergenta n n
=1 daca si numai daca > 1: n n
P P
1
1
1
1 Demonstratie. Daca 1 atunci pentru orice k; deci k k k k k k
=1 =1 n P
1 si, cum seria armonica este divergenta, avem lim
1, i.e. seria armonica k n!1 k
=1 generalizata este si ea divergenta.
> Fie acum 1: Sa remarcam ca sirul sumelor partiale (s n ) este strict n
1 crescator. Daca aratam ca el este si marginit superior atunci dovedim ca este convergent (teorema sirurilor monotone si marginite). Sa aratam acest lucru folosind tehnica de la exemplul 2.1.8. Avem
n i i i
- 1 +1 +1
2 n
1 2 n
1 2 n
1
2 P P P P P P P
1
1
1
1
1
1
n
s < s n 2 = = 1+ 1+
1 1+
1
k k k k i k
i i (2 ) i
i i i k =1 =0 k =0 k =0 k =2 +1 =2 +1 =2 +1 n
1 P
1
1
i <
1 + = 1 +
1
1
1 (2 )
1
1 2 i =0
Incheiem sectiunea cu un criteriu de converganta pentru serii cu termeni poz- itivi.
Teorema 2.1.3. Criteriul de condensare a lui Cauchy. Fie (a n ) un n
1
1 P a sir descrescator de numere pozitive. Atunci seria n este convergenta daca si numai n =1
1 P n
n
a daca seria 2 este convergenta.
2 n =1
CONTENTS — MANUSCRIPT
B
0.1.2
2.2. Operatii cu serii convergente
Teorema 2.2.1. Operatii cu serii convergente. Fie
:
...............................................................................
: Demonstratie.
1 P n =0 b n
1 P n =0 a n
1 P n =0 b n doua serii convergente astfel incat a n b n pentru orice n 2 N : Atunci
1 P n =0 a n si
............................................................................... O alta proprietate a sumelor …nite generalizabila la sumele unor serii conver- gente este urmatoarea: Propozitia 2.2.2. Fie
: Demonstratie.
1 P n =1 a n
=
1 P n =1 a n
1 P n =1 a n este convergenta si
3. Seria
1 P n =1 b n
1 P n =1 a n si
1 P n =1 a n
Similar sirurilor, seriile convergente pot … usor adunate, scazute , multiplicate cu nu- mere. Inmultirea a doua serii este mai complicata; de aceea o tratam separat.
1 P n =1 a n b n
1 P n =1 a n b n este convergenta si
2. Seria
:
1 P n =1 b n
1 P n =1 a n +
1 P n =1 a n + b n =
1 P n =1 a n + b n este convergenta si
1. Seria
2 R: Atunci:
; doua serii convergente si
1 P n =1 b n
= CONTENTS — MANUSCRIPT
B
0.1.3
2.3. Criterii pentru serii cu termeni oarecare
Criteriul general de convergenta a lui Cauchy de la siruri are o exprimare eleganta la
1 P
a serii. Observam ca, pentru seria n diferenta sumelor partiale s n si s n este
- p n =0
s s
- n n = a n + a n + a n
- p +1 +2 +p
Obtinem astfel: Teorema 2.3.1. Criteriul general de convergenta a lui Cauchy. Seria
1 P
a este convergenta daca si numai daca n n
=0
- a + a n
n +1 n +2 n +p 8 > 09n 2 N : ja j < 8n si 8p 2 N :
Atunci cand semnul termenului general se modi…ca in functie de indicele de insumare este adesea posibil sa putem dovedi convergenta seriei cu teorema lui Abel.
Teorema 2.3.1. Teorema lui Abel. Fie ( n ) si (u n ) doua siruri n 1 n
1 numerice astfel incat (i) ( n ) este un sir descrescator de numere pozitive cu limita nula, i.e. n n
1 & 0; n
P u M (ii) exista o constanta pozitiva M astfel ca k pentru orice n 2 N : k
=0
1 P Atunci seria u este convergenta.
n n n =0 ..................................................................................................................
- 1
( 1) n n este convergenta.
Demonstratie. Vom folosi criteriul general de convergenta a lui Cauchy de
1 P n =0 ja n j
1 P n =0 a n
1 P n =0 a n este o serie absolut convergenta atunci
Absolut convergenta implica convergenta. Teorema 2.4.1. O serie absolut convergenta este o serie convergenta. Daca
1 P n =0 ja n j este o serie convergenta.
1 P n =0 a n este o serie absolut convergenta daca seria modulelor
De…nitia 2.4.1. Spunem ca seria
0.1.4
B
1 P n =0
CONTENTS — MANUSCRIPT O consecinta a teoremei lui Abel este criteriul lui Leibniz pentru seriile alter- nate.
Consecinta. Criteriul lui Leibniz. Daca n & 0 atunci seria alternata
Luand acum u n = ( 1) n in teorema lui Abel obtinem (pentru M = 1) urma- torul corolar.
1 ju n j :
1 P n =0 ( 1) n
1 P n =0 u n =
1 P n =0 ( 1) n ju n j sau
1 P n =0 u n =
< 0 pentru orice n 2 N. Deci
1 P n =0 u n este o serie alternata daca u n u n
De…nitia 2.3.1. Spunem ca seria
2.4.Absolut convergenta si convergenta neconditionata O clasa importanta de serii numerice este aceea a seriilor absolut convergente.
CONTENTS — MANUSCRIPT
1 P
a doua ori. Fie n o serie absolut convergenta. Fie > 0: Conform criteriului general n
=1 de convergenta a lui Cauchy rezulta ca exista un rang n 2 N astfel incat n n n n ; 1:
- 1 +2 +p
ja j + ja j + ja j < 8n 8p de aici rezulta ca a n ;
- n + a n n n n n 1:
- 1 +2 +p +1 +2 +p
ja j ja j + ja j + ja j < 8n 8p Prin urmare, conform criteriului general de convergenta a lui Cauchy rezulta ca seria
1 P
a n este convergenta. n =1 a lim
Deoarece lim + a n n +
1
1 ja j ja j + ja j + ja j urmeaza imediat n!1 n!1
1
1 P P
a ca n n ja j : n n
=0 =0 Desigur, reciproca acestei teoreme este falsa, dupa cum arata urmatorul con- traexemplu.
1 P n 1 1 Exemplul 2.4.1. Seria armonica generalizata ( 1) este absolut n n
=1 convergenta daca > 1; in schimb daca 2 (0; 1] ea este convergenta fara sa …e absolut convergenta.
S-a incetatenit (prin abuz de limbaj) termenul de serie semiconvergenta. De…nitia 2.4.3. O serie care este convergenta dar nu este absolut convergenta poarta numele de serie semiconvergenta.
n
1 P ( 1)
1 ; < Exemplul 2.4.2. Seria ln 1 + unde 0; este semiconvergenta. n n
=1 CONTENTS — MANUSCRIPT Natural, inmultirea seriilor trebuie sa …e similara inmultirii sumelor …nite.
Aceasta remarca ne conduce la de…nirea produsului Cauchy a doua serii.
1
1
1 P P P De…nitia 2.4.2. Fie a si b doua serii. Seria c unde c := n n n n n =0 n =0 n =0 n
1
1 P P P a k b n k se numeste produsul Cauchy a seriilor a n si b n : k n =0 n =0
=1 Absolut convergenta a doua serii atrage absolut convergenta produsului Cauchy.
Mai mult:
1 P a
Teorema 2.4.2. Teorema produsului Cauchy. Daca seriile n si n =0
1 P
b n sunt absolut convergente atunci si produsul lor Cauchy este absolut convrgent, n
=0 iar suma produsului Cauchy este egala cu produsul sumelor celor doua serii, adica n
1
1
1 P P P P
a b a b k n k = n n n n n
=0 k =1 =0 =0 Demonstratie.
...............................................................................
1 P
De…nitia 2.4.3. Seria a n converge neconditionat daca si numai daca n =0
1
1
1 P P P pentru orice bijectie a converge si a = a n : Daca seria
(n) (n) : N ! N seria n =0 n =0 n =0 converge, dar nu converge neconditionat, spunem ca ea converge conditionat.
Teorema urmatoare, a carei demonstratie este mai laborioasa si o omitem, a…rma echivalenta dintre convergenta neconditionata si convergenta absoluta. Acest fapt este deosebit de util, deoarece in practica este de multe ori mult mai usor de veri…cat absolut convergenta unei serii decat convergenta tuturor seriilor obtinute prin
CONTENTS — MANUSCRIPT rearanjarea termenilor.
1 P
Teorema 2.4.3. Seria a converge neconditionat daca si numai daca ea n n
=0 converge absolut.
........................................................................................................................................................ Uneori avem nevoie sa descompunem o serie in mai multe parti. Pentru o asemenea rearanjare folosim seriile duble. Pentu simplitate vom analiza aici doar con- vergenta seriilor duble cu termeni nenegativi.
De…nitia 2.4.4. Pentru orice i; j 2 N de…nim perechea (i; j) = fi; fi; jgg si de…nim N N := f(i; j) ji; j 2 Ng : O familie (dublu indexata) de numere a (i;j) i;j2N
1
1 P P este o functie de…nita pe N N cu valori in R: Spunem ca seria dubla a este
(i;j)
i j =0 =0
1 P a este convergenta si, convergenta daca si numai daca pentru orice i 2 N seria (i;j) j
=0 !
1
1
1
1 P P P P in plus, seria a este de asemenea convergenta. Uneori scriem a
i;j (i;j)
i j i j
=0 =0 =0 =0
1
1 P P
in loc de a :
(i;j)
i j =0 =0
Teorema 2.4.4. Fie a o familie de numere nenegative. Atunci (i;j) i;j2N
1
1 P P
a seria dubla este convergenta daca si numai daca pentru orice bijectie :
(i;j)
i =0 j =0
1
1 P P N N N a seria este convergenta. In acest caz sumele lor coincid. ! N (i;j) i =0 j =0
CONTENTS — MANUSCRIPT
B
0.1.5
5. Serii cu termeni pozitivi
Criteriile de convergenta pe care le insiram mai departe se pot folosi nu numai pentru seriile cu termeni pozitivi ci si pentru a analiza absolut convergenta unor serii al caror termen general are semnul variabil.
1
1 P P a b
Teorema 2.5.1. Criterii de comparatie. Fie doua serii n si n n n
=0 =0 cu termeni pozitivi.
1. Criteriul I. Daca exista in numar natural n astfel incat a b pentru orice n n n n atunci
1
1 P P (a) convergenta seriei b n implica convergenta seriei a n ; n =0 n =0
1
1 P P (b) divergenta seriei a n implica divergenta seriei b n : n =0 n =0 ........................................................................................................... a n
2. Criteriul II. Presupunem ca exista l := lim : b n n!1
(a) Daca l este …nita si nenula (i.e. l 2 (o; 1)) atunci cele doua serii au aceeasi natura.
1
1 P P b a
(b) Daca l = 0 si seria n este convergenta atunci si seria n este conver- n =0 n =0 genta.
- 1
- 1
2. Daca a n
Teorema 2.5.2. Testul raportului (D’Alembert). Fie
1 P n =0 a n o serie cu termeni pozitivi.
1. Daca exista q < 1 astfel incat a
n +1
a n q pentru orice n atunci seria
1 P n =0 a n este convergenta.
a n 1 pentru orice n atunci seria
1 P n =0 b n
1 P n =0 a n este divergenta.
3. Sa presupunem ca exista l := lim n!1 a n
a
n
: (a) Daca l < 1 atunci seria
1 P n =0 a n este convergenta.
(b) Daca l > 1 atunci seria
: .............................................................................................................................
1 P n =0 a n implica divergenta seriei
1 P n =0 a n este divergenta.
n
CONTENTS — MANUSCRIPT (c) Daca l = 1 si seria
1 P n =0 b n este divergenta atunci si seria
1 P n =0 a n este diver- genta.
..........................................................................................................
3. Criteriul III. Daca exista in numar natural n astfel incat a
n
a
b
; (b) divergenta seriei
n
b
n
pentru orice n n atunci
(a) convergenta seriei
1 P n =0 b n implica convergenta seriei
1 P n =0 a n
- 1
- 1
1 P n =0 a n este divergenta.
; atunci seria
1. exista q > 0 iar n a
n
a
n +1
n
q pentru orice n n
1 P n =0 a n este convergenta.
........................................................................................................................................... Teorema 2.5.4. Criteriul lui Kummer. Fie
2. n a
n
a
n +1
n +1 0 pentru orice n n
; atunci seria
1 P n =0 a n o serie cu termeni pozitivi . Presupunem ca exista un sir de numere pozitive ( n ) n o si un numar natural n astfel incat
1 P n =0 a n este divergenta.
CONTENTS — MANUSCRIPT ...........................................................................................................................................
2. Daca
Teorema 2.5.3. Testul radicalului (Cauchy). Fie
1 P n =0 a n o serie cu ter- meni pozitivi.
1. Daca exista q < 1 astfel incat
n
p a n q pentru orice n atunci seria
1 P n =0 a n este convergenta.
n
(b) Daca l > 1 atunci seria
p a n 1 pentru orice n atunci seria
1 P n =0 a n este divergenta.
3. Sa presupunem ca exista l := lim n!1
n
p a n
: (a) Daca l < 1 atunci seria
1 P n =0 a n este convergenta.
- 1
1 P Consecinta. Testul Raabe-Duhamel. Fie a o serie cu termeni pozi- n n
=0 tivi si n .un numar natural. a n
1. Daca exista exista q > 1 astfel incat n 1 q pentru orice n n atunci a n
- 1
1 P
a seria n este convergenta. n =0
1 P a n n a
2. Daca n 1 1 pentru orice n atunci seria n este divergenta. a
n
- 1
n =0 a
n
n
3. Sa presupunem ca exista l := lim 1 : a
n +1
n!1
1 P a (a) Daca l > 1 atunci seria n este convergenta. n
=0
1 P (b) Daca l < 1 atunci seria a este divergenta. n n
=0 ...........................................................................................................................................
B
0.1.6
6. Calculul aproximativ al sumelor unor serii conver- gente
Sumele seriilor convergente ce apar in tehnica nu se pot calcula exact, in general. Dar, folosind estimari adecvate ale restului unei asemenea serii, putem calcula suma acesteia cu acuratetea ceruta de problema concreta cu ajutorul sumelor partiale. In
CONTENTS — MANUSCRIPT acest paragraf trecem in revista cateva modalitati de estimare a restului si de aproximare a sumelor unor serii convergente.
1
1 P P Reamintim ca seria a are aceeasi natura cu seria r = a (restul n n m n =0 m =n+1 de ordinul n). In plus
1 P
seria a n este convergenta daca si numai daca lim r n = 0; n!1 n =0
; in acest caz s = s n + r n unde s este suma seriei, iar s n este suma partiala de ordinul n. Cu alte cuvinte putem spune ca, daca n este su…cient de mare, suma partiala de ordin n aproximeaza suma exacta s. Scriem s s n si, in acest caz, spunem ca s aproximeaza suma s; iar eroarea in aceasta aproximare n n este jr j :
Prima estimare o facem pentru seriile a caror convergenta o putem stabili cu testul raportului.
1 P
a Teorema 2.6.1. Fie n o serie cu termeni pozitivi. Presupunem ca exista n =0 a n
- 1
q < q 1 astfel incat a pentru orice n 2 N: Atunci suma restului de ordin n veri…ca
n
inegalitatea a n +1 r n
8n 2 N: q
1 Demonstratie.
CONTENTS — MANUSCRIPT .....................................................................................................................................................
Daca putem stabili convergenta unei serii cu testul radicalului, estimarea restului este similara.
1 P
Teorema 2.6.2. Fie a n o serie cu termeni pozitivi. Presupunem ca exista n =0 p
n
q < 1 astfel incat a n q pentru orice n 2 N: Atunci a n
- 1
r n
8n 2 N: 1 q Demonstratie.
..................................................................................................................................................... Pentru seriile alternate care veri…ca ipoteza criteriului lui Leibniz termenul de ordin n + 1 asigura o estimare a restului de ordin n.
1 P n
1 Teorema 2.6.3. Daca ( 1) este o serie alternata, n n n & 0; iar r n =1 este restul de ordinul n atunci n
- 1 n
jr j 8n 2 N: 1 q Demonstratie. .....................................................................................................................................................
- 3
- 5
- 7
- (b)
- 5
- (c)
- 2
- 3
- 4
- (d)
- 1
- (e) 1 +
- 3
- 4
- (f) 1 +
- 3 +
- 5 +
- (g) 1 + 1 1 + 1 1 + (h)
- 5
- (i)
- 2 4 3 5
- 2 4 6 3 5 7
- 3. Calculati (daca exista) sumele seriilor:
- 2
- (b)
7!
3 5!
1 3!
8
1
4
2
1
1
8
4
2
2
4
7 9!
2
3
(a) 2 + 2 + 2
1
2
1 P n =0
3 3n
: (c)
1 P n =0
3
3n
4
3n+1
: (d) 2
1
2
3
3
1
3
CONTENTS — MANUSCRIPT
B
0.1.7
7. Exercitii
1. Fie m 2 N si a n
2 R pentru orice n m: De…niti seria
1 P n =m a n :
2. Scrieti termenul general pentru seriile: (a)
1
3
5
7
9
1
3
3
9
2
3
1
3
1
7
5
5
3
1
9
7
7
3
- 2
- 2
- 2
- 2
- 2
- 2
- (g)
- 1
- 1
- (b)
- 3
- 5
- (c)
- 3
- 5
- (d)
7
1
3
5
2
7
3
2
p 2 +
3
p 3 +
4
p 4 + (e) sin p
2 + sin p 5 + sin p
10 + sin p 17 +
6. Este posibil ca doar una dintre seriile
1 P n =1 a n
;
1 P n =1 b n sa …e divergenta iar seria
1 P n =1 a n + b n sa …e convergenta?
7. Este posibil ca seria
1 P n =1 a n (unde
2 R) sa …e convergenta iar
5
1
3
2
CONTENTS — MANUSCRIPT (e)
1 P n =0
3
n
2
4
n
: (f) 2 + 2
1
1
2
3
1 P n =1 1 n
, 1:
4. Dati un exemplu de doua serii
1 P n =1 a n ;
1 P n =1 b n divergente pentru care seria
1 P n =1 a n +b n este convergenta.
5. Veri…cati conditia necesara de convergenta (testul limitei) pentru seriile de mai jos.
(a)
1
3
3
1 P n =1 a n sa …e divergenta?
8. Convertiti …ecare dintre urmatoarele numere in fractii. Aici bara deasupra unui grup de cifre indica periodicitatea grupului respectiv.
10. Calculati sumele seriilor
3
2
; (f) a n
= p n + 1 p n ;
(g) a n =
3
p n + 1
p n = 0; (h) a n = n
; (e) a n =
3
p n
3
p n ;
2
3 ;
2n 1 n
2
CONTENTS — MANUSCRIPT
2
(a) 0,123; (b) 0,333;
(c) 0,31; (d) 0,133;
(e) 0,00123: 9. Demonstrati Propozitia 2.1.1.
1 P n =1 a n .
(a) a n
= 2n+1 n
(n+1)
1 n
2 ;
(b) a n =
1 n ; 1;
(c) a n = 2n 1 n +1
; (d) a n =
2n
2
- 1
- 1
- 1
CONTENTS — MANUSCRIPT
1 n
(i) a n = (1! + 2! + !) : n n
! 11. Demonstrati Propozitia 2.2.2.
12. Studiati natura seriilor de mai jos folosind criterii de comparatie adecvate ori testul limitei.
(a) 2 2 + 2 2 +
2
3
3
1
3
1
3
- (b)
4
2
4
3
4
3
4
5
- (c) + +
4
5
6
1
1
1
1 p p p p (d)
3
4
5
2
2
2
2
1
1
1
1
- (e) +
4 14 104 1004
1
1
1
1 p p p p (f) + + + +
2 2 3 3 4 4 5
1
1
1
1 p p p p
- (g) + + +
2
3
4
2
2
3
2
4
2
5
3
4
5
2
- (h) + +
2
2
4
5
6 p p
3
3
1
2
3 p p
- (i) +
2
3
2
4
3 P
a a 13. Explicati de ce din faptul ca din lim n n este divergenta.
6= 0 rezulta ca seria n!1 14. Studiati natura seriilor de mai jos folosind criteriul raportului. p p
3
3
1
2
3 p p (a) + + +
2
3
2
4
3
CONTENTS — MANUSCRIPT
3
5
7 p p p (b) + + +
2
4
8 2 2 5 2 5 8
- (c) +
1 1 5 1 5 9 15. Demonstrati criteriul de condensare a lui Cauchy.
Indicatie. Folositi ideea demonstratiei facute la seria armonica.
1 P
16. Demonstrati ca seria a este absolut convergenta daca si numai daca sirul n n =1 n
P a k este marginit. k
=1 k 1 17. Studiati natura seriei cu ajutorul criteriului radicalului.
2
3
4
2
3
4
5 (a) + + + +
1
3
5
7
2
5
7
1
2
3
4 (b) + + + +
2
5
8
11
1 P n 1 1
18. Aratati ca seria ( 1) este convergenta aratand ca sirul sumelor partiale n n =1 este fundamental. n
P k 1 1
1
1
- Indicatie. Aratati ca ( 1) . Atentie la faptul ca m si n pot …
k m n k =m impari sau pari! 19. Studiati natura seriei.
1
3
4
5
- (a)
2! 4! 5! 6!
1
1
1
1
- (b) + + +
3
8
15
24
1
1
1
1
- (c) +
1 4 4 7 7 10 10 13
- 1)
- 1)
- 1 n
- 1 n
- 1 n
p n
1 P n =1 n !
(o)
10 n
1 P n =1 n
(n)
3
p n
4
4
3
(p)
1
1 P n =1
(m)
3
p n
4
p n
3
1 n
n
1 P n =1
n (l)
n
1 P n =1
(t)
n
n !
n
1 P n =1 e
(s)
n
n !
3
2
1 P n =1
(r)
n
n !
n
2
1 P n =1
n ! (q)
n
1 P n =1
2
CONTENTS — MANUSCRIPT (d)
3
2
3n
2
1 P n =1 3n
(f)
2
p
2
(n
p
1 P n =1 3n
1 P n =1 n
(e)
3
p
2
(n
2
p
1 P n =1 n
(g)
2
p ln
2
3
1 n ln n
1 P n =1
(k)
2
n
2n+1 3n+1
1 P n =1
(j)
(n+2)
3n
2
(n+1)
1 P n =1 2n+1
(i)
2
3n
1 P n =1 3n
(h)
2
(2n)!! (2n+1)!!
- 1
p (a + 1) (a + 2) (a + n), unde a > 0
(d) a n = sin nx n unde x;
(e) a n
= arctgn !x
2
n
unde x 2 R (f) a n
= n
1
n
(g) a n = n
b
(2n+1)!! (h) a n = arctg
1 n
2
(i) a n = 3 n
1 sin x
3
n
, unde x 2 R (j) a n = a n
2
; a
n ; a; b >
n
; a > (c) a n = a
) n
CONTENTS — MANUSCRIPT (u)
1 P n =1 h
(2n)!! (2n+1)!! i
2 (v)
1 P n =1 h
(2n)!! (2n+1)!! i
1
2
:
20. Aratati ca sirul (a n
1 este convergent daca si numai daca seria
1 P n =1
(a n +1 a n
) este convergenta si ca, in acest caz lim n!1 a n
= a
1
P n
=1 (a n +1 a n
) : 21. Folositi propozitia 2.1.1. pentru a demonstra teorema sirurilor monotone.
22. Studiati natura seriei cu termenul general a n :
(a) a n = a n
; a > (b) a n = a n
2 R
- n+1
2 R
23. Fie
1 P n =1 (n!)
p n (e)
3
1
1 P n =1 arcsin
2 (d)
(2n)!
2
1 P n =1 (n!)
2 (c)
(2n)!
2
(2n)! (b)
CONTENTS — MANUSCRIPT
2
1 P n =1 (n!)
(a)
: 24. Studiati convergenta seriilor de mai jos.
1 P n =1 a n
1 P k =1 A k =
1 P k =1 A k este convergenta si
a i pentru orice k 2 N: Aratati ca seria
1
1 P i =n k
1 P n =1 a n o serie convergenta si (n k ) k un sir strict crescator de numere naturale cu n = 1: Fie A k := n k
1 p 1 4
- 1 p 4 7
- 1 p 7 10
- 1 p 10 13
- (f)
- 1
- 1
- 1
3
3
n
1 P n =1 n ! n
(m)
1 P n =1 1 cos n
(l)
1 P n =1 1 n ln n ln ln n
(k)
1 P n =1 1 n ln n
(j)
1 P n =1 1 ln n
(i)
n
p n n
3
q n
3
1 P n =1 ln
(h)
3
n
3
1 P n =1 ln n
(g)
3
1 P n =1 sin
2 R
1 P n =1
2
(2n+1)!! (d)
1 P n =1 (2n 1)!! (2n+2)!!
(e)
(a+1)(a+2):::(a+n) (b+1)(b+2):::(b+n)
; a b <
1 (f)
1 P n =1 n
n ! stiind ca
(n+1)! (c)
1 P n =0
1 n !
= e (g)
1 P n =1 n
3
n ! stiind ca
1 P n =0 1 n !
= e:
1 P n =1 n
1 P n =1 n
P k =1
n
CONTENTS — MANUSCRIPT (n)
1 P n =1
2
n
n ! n
n
(o)
1 P n =1
n ! n
(b)
n
:
25. Sa se studieze natura seriei armonice generalizate
1 P n =1
1 n folosind testul limitei si criteriul de condensare a lui Cauchy.
26. Determinati suma seriei.
(a)
1 P n =1 n jaj n
; a
1 k ln n este convergent si limita sa, notata cu c si numita constanta lui Euler, este in intervalul (0; 1) : Demonstrati apoi ca
27. Aratati ca sirul (c n )
1 ; unde c n = n
n
1 P n =1
1 n ln n
- 1 n
= c: 28. Studiati convergenta seriilor urmatoare.
(a) ln 2
- ln 6
- ln 4
3
5
7
CONTENTS — MANUSCRIPT ln 2 ln 4 ln 6
(b) +
3
5
7 ln 2 ln 4 ln 6 (c) + + +
2
2
2
3
5
7 ln 2 ln 4 ln 6
- (d)
2
2
2
3
5
7
2
2
2 ln 2 ln 4 ln 6 (e) + + +
3
5
7
2
2
2 ln 2 ln 4 ln 6 (f) +
3
5
7
2
4
6
2
- (g) + +
2
2
3