Teori Dualitas dan Penerapannya (Duality Theory and Its Application)

  

(DUALITY THEORY AND ITS APPLICATION)

  

(DUALITY THEORY AND ITS APPLICATION)

Amelia Kurniawati, ST., MT.

  Amelia Kurniawati, ST., MT.

Goal

  Memahami perbedaan bentuk Primal dan

• Dual Memahami hubungan antara persamaan
• Primal dan Dual Memahami cara pemecahan masalah
• Dual dengan menggunakan Metode Dual Simplex

  Outline ① Teori dualitas ② Metode simpleks dual

  ① Teori Dualitas

Teori dualitas

  Ide dasar:

• Setiap masalah pemrograman linier
• – mempunyai satu pemrograman linier yang terkait yang disebut dual. Solusi pada masalah pemrograman liniear
• – originalnya juga memberikan solusi bagi dualnya. Jika suatu solusi masalah pemrograman linier
• – dipecahkan dengan simplex method, pada dasarnya diperoleh solusi untuk dua masalah pemrograman linier.

Pemrograman linier dual simetris

  Suatu pemrograman linier dikatakan dalam

• bentuk simetris jika semua variabel dibatasi tak negatif
• – semua pembatas dalam bentuk
• – pertidaksamaan untuk masalah maksimasi, bentuk
• pertidaksamaan adalah “lebih kecil atau sama dengan” untuk masalah minimasi, bentuk
• pertidaksamaan adalah “lebih besar atau

  

Masalah primal

Memaksimumkan

  Z = c x + c x + … + c x

  1

  1

  2 2 n n dengan pembatas a x + a x + … + a x

   b

  11

  1

  12 2 1n n

  1 a x + a x + … + a x

   b

  21

  1

  22 2 2n n

  2 .

  . . a x + a x + … + a x

   b m1 1 m2 2 mn n m

  

Masalah dual

Meminimumkan

  W = b y + b y + … + b y

  1

  1

  2 2 m m dengan pembatas a y + a y + … + a y ≥ c

  11

  1

  21 2 m1 m

  1 a y + a y + … + a y ≥ c

  12

  1

  22 2 m2 n

  2 .

  . . a y + a y + … + a y ≥ c

  1n

1 2n

2 mn m n

  

Notasi matrix

  Primal: Memaksimumkan Z = cx

   dengan pembatas

   Ax  b

   x ≥ 0

  Dual: Meminimumkan W = yb

   dengan pembatas

   yA ≥ c

   y ≥ 0 A : matriks (m x n)

b : vektor kolom (m x 1)

c : vektor baris (1 x n)

x : vektor kolom (n x 1)

y : vektor baris (1 x m) Masalah primal-dual Primal

  Dual

  Max Z = 3x + 2x Min W = 6y + 8y + y + 2y _{1 2 1 2 3 4} dengan pembatas-pembatas: dengan pembatas-pembatas: x + 2x y + 2y – y ≥ 3 _{1 2}  6 _{1 2 3}

  2x + x  8 _{1 2} 2y + y + y + y ≥ 2 _{1 2 3 4}

• – x + x  1
_{1 2}

   y , y , y , y ≥ 0 _{1 2 3 4} x

  2 ₂ 

   x , x ≥ 0 _{1 2}

  

Hubungan primal-dual

Koefisien fungsi tujuan untuk masalah primal menjadi

• konstanta ruas kanan bagi dual.

  Konstanta ruas kanan dari primal menjadi koefisien

• fungsi tujuan bagi dual.

  

Pertidaksamaan untuk pembatas dibalik untuk kedua

• masalah.

  Tujuan diubah dari maksimasi untuk primal menjadi

• minimasi untuk dual. Tiap kolom dalam primal menjadi baris (pembatas) pada
• dual; sehingga jumlah pembatas dual sama dengan jumlah variabel primal.

  

Tiap baris (pembatas) dalam primal berkaitan dengan

• kolom pada dual; sehingga satu variabel dual berkaitan dengan satu pembatas primal.

  Dual dari masalah dual adalah masalah primal

  Hubungan primal-dual

Beberapa teorema dalam teori dualitas

• Weak duality theorem
• Optimality criterion theorem
• Main duality theorem
• Complementary slackness theorem

  

Teorema 1:

Weak duality theorem (1)

  

Misalkan diberikan program linier primal-dual simetris:

P: max Z = cx, Ax

 b, x ≥ 0

  D: min W = yb, yA ≥ c, y ≥ 0 Nilai fungsi tujuan dari masalah minimimasi (dual)

untuk sebarang solusi layak selalu lebih besar atau sama

dengan nilai fungsi tujuan masalah maksimasi (primal).

  Teorema 1: Weak duality theorem (2)

  Bukti

  Misalkan:

  x : vektor solusi layak untuk primal y : vektor solusi layak untuk dual

  Akan dibuktikan bahwa: y b ≥ cx Karena x adalah layak untuk primal, maka Ax  b, x ≥ 0 (1) Karena y adalah layak untuk dual, maka y A ≥ c, y ≥ 0 (2) Perkalian kedua sisi pertidaksamaan (1) dengan y  y Ax b

   y Perkalian kedua sisi pertidaksamaan (2) dengan x : y Ax  cx Implikasi : y b ≥ y Ax ≥ cx

  

Teorema 1:

Weak duality theorem (3)

• Nilai fungsi tujuan dari masalah maksimasi (primal)

  Konsekuensi 1:

• – untuk sebarang solusi layak merupakan batas bawah dari nilai minimum fungsi tujuan dual.
• Nilai fungsi tujuan dari masalah minimasi (dual) untuk

  Konsekuensi 2:

• – sebarang solusi layak (dual) merupakan batas atas dari nilai maksimum fungsi tujuan primal.
• Jika masalah primal adalah layak dan nilai fungsi

Konsekuensi 3:

• – tujuannya tak terbatas (dalam hal ini, max Z +), maka masalah dual adalah tak layak.

  

Teorema 1:

Weak duality theorem (4)

• Jika masalah dual adalah layak dan nilai fungsi

  Konsekuensi 4:

• – tujuannya tak terbatas (dalam hal ini, min W -), maka masalah primal adalah tak layak.
• Jika masalah primal adalah layak dan dualnya tak

  Konsekuensi 5:

• – layak maka masalah primal tersebut adalah tak terbatas.
• Jika masalah dual adalah layak dan primalnya adalah

Konsekuensi 6:

• – tak layak maka masalah dual tersebut adalah tak
Teorema 1: Weak duality theorem (4)
• Ilustrasi #1

  Primal Dual

  Max Z = 3x + 2x Min W = 6y + 8x + y + 2y _{1 2 1 2 3 4} dengan pembatas-pembatas: dengan pembatas-pembatas: x + 2x y + 2y – y ≥ 3 _{1 2}  6 _{1 2 3}

  2x + x  8 _{1 2} 2y + y + y + y ≥ 2 _{1 2 3 4}

• – x + x  1
_{1 2}

   y , y , y , v ≥ 0 _{1 2 3 4} x

  2 ₂ 

   x , x ≥ 0 _{1 2}

  Teorema 1: Weak duality theorem (4)

• Ilustrasi #1 adalah solusi layak untuk primal.

  x 4 , x ₁   ₂ Nilai fungsi tujuan primal Z = cx = 12 y , y 5 , y , y adalah solusi layak untuk dual

     

  1

  2

  3

  Disini Z = cx  y b = W dan memenuhi weak duality theorem.

  Berdasarkan Konsekuensi (1), nilai minimum W untuk dual tidak dapat lebih kecil dari 12.

  Berdasarkan Konsekuensi (2), nilai minimum Z untuk primal tidak dapat melebihi 40.

  Teorema 1: Weak duality theorem (4)

• Ilustrasi #2

  Memaksimumkan Z = 4x ₁ + x ₂ dengan pembatas-pembatas:

   x ₁

• – x
2– 3y ₂
• 3x
₁ + x 2y ₁ + y ₂ ≥ 1

   x ₁

  ≥ 0, x ₂ ≥ 0 Meminimumkan W = 2y ₁ + 3y ₂ dengan pembatas-pembatas:

   y ₁

  4

   y ₁

  ≥ 0, y ₂ ≥ 0

  Primal: Dual

  Teorema 1: Weak duality theorem (4) x

  2

• Ilustrasi #2

  Solusi primal  tak terbatas x

  1 Teorema 1: Weak duality theorem (4) y

  2

• Ilustrasi #2

  Solusi dual  tak layak y

  1 Teorema 2:

Optimality criterion theorem (1)

  Jika terdapat solusi layak x dan y untuk masalah pemrograman linier dual simetris sedemikian hingga nilai fungsi tujuannya adalah sama, maka solusi layak ini adalah solusi optimal bagi masing-masing masalah.

  

Teorema 2:

Optimality criterion theorem (2)

  Bukti Misalkan x adalah sebarang solusi layak bagi masalah primal.

  Maka berdasarkan Teorema 1, cx  y b Tetapi ini diberikan bahwa cx = y b. Oleh karena itu cx  cx untuk semua solusi layak bagi masalah primal. Per definisi, x adalah optimal bagi primal.

  Argumen yang sama juga berlaku bagi optimalitas y bagi masalah dual.

  Teorema 3:

Main duality theorem

  Jika baik masalah primal maupun dual adalah layak,

maka keduanya mempunyai solusi optimal sedemikian

hingga nilai optimalnya adalah sama.

  

Teorema 4:

Complemantary slackness theorem (1)

  

Misalkan diberikan program linier primal-dual simetris:

P: max Z = cx, Ax  b, x ≥ 0

D: min W = yb, yA ≥ c, y ≥ 0 dimana

  A : matriks (m x n) b : vektor kolom (m x 1) c : vektor baris (1 x n) x : vektor kolom (n x 1) y : vektor baris (1 x m)

  

Teorema 4:

Complemantary slackness theorem (2)

  Misalkan: x : vektor solusi layak untuk primal y : vektor solusi layak untuk dual Maka x dan y adalah optimal untuk masalah masing jika dan hanya jika y A c x y b Ax

         

  

Teorema 4:

Complemantary slackness theorem (3)

  Bukti:

  Misalkan

         

       

   _{ m m} u u u

   ^{2 1 ) 1 (} u

  adalah vektor slack untuk primal

    ⁿ _n , v v v , , _{2 1 ) 1 (} 

   _ v adalah vektor slack untuk dual

  Karena x dan y adalah solusi layak, maka

  Ax u x b u    , ;

  A v y c v y    , ;

  (u dan v adalah nilai-nilai dari variabel slack yang berkaitan masing-masing dengan solusi layak x dan y ).

  (1) (2)

  

Teorema 4:

Complemantary slackness theorem (4)

  Perkalian (1) dengan y  y Ax + y u = y b (3) Perkalian (2) dengan x  y Ax – v x = cx (4) Pengurangan (3) dengan (4)  y u + v x = y b – cx (5) Untuk membuktikan Teorema 4, harus diperlihatkan bahwa

  x dan y adalah solusi optimal bagi masing-masing masalah

  primal dan dual jika dan hanya jika v x + y u = 0 (6)

  

Teorema 4:

Complemantary slackness theorem (5)

  cx = y b.

  Oleh karena itu, Persamaan (5) menjadi Persamaan (6)

  y u + v x = y b – cx  v x + y u = 0

  Teorema 4: Complemantary slackness theorem (6)

  akan dibuktikan bahwa x dan y adalah solusi optimal bagi masing-masing masalah primal dan dual Karena Persamaan (6) benar, maka Persamaan (5) menjadi y b – cx .

  y u + v x = y b – cx  y b = cx Berdasarkan Teorema 2 maka x dan y merupakan solusi optimal.

  

Complementary slackness

condition

  Persamaan (6) : v x + y u = 0 dari complementary slackness

  theorem dapat disederhanakan sebagai berikut: v x = 0 untuk semua j = 1, 2, …, n _{j j} y u = 0 untuk semua i = 1, 2, …, m _{i i}

  dengan memperhatikan hal-hal berikut: 1. x , u , v , y ≥ 0 dan oleh karena itu v x ≥ 0 dan y u ≥ 0.

  2. Jika jumlah komponen-komponen tak negatif sama dengan nol, maka tiap komponen adalah nol.

  

Complementary slackness condition

) adalah positif, maka ① Jika suatu variabel primal (x j pembatas dual yang bersesuaian memenuhi

persamaan pada titik optimalnya (yaitu, v = 0)

j

  ② Jika suatu pembatas primal adalah strick inequality pada titik optimal (yaitu, u > 0), maka j

variabel dual yang bersesuaian (y ) harus nol.

i

  ) adalah positif maka ③ Jika suatu variabel dual (y i

pembatas primal yang bersesuaian memenuhi

persamaan pada titik optimalnya (yaitu, u = 0)

i

  ④ Jika suatu pembatas dual adalah strick inequality

pada titik optimal (yaitu v > 0), maka variabel

i primal yang bersesuaian harus nol

  Ilustrasi (1) Primal

  Dual

  Max Z = 3x + 2x Min W = 6y + 8x + y + 2y _{1 2 1 2 3 4} dengan pembatas-pembatas: dengan pembatas-pembatas: x + 2x y + 2y – y ≥ 3 _{1 2}  6 _{1 2 3}

  2x + x  8 _{1 2} 2y + y + y + y ≥ 2 _{1 2 3 4}

• – x + x  1
_{1 2}

   y , y , v , v ≥ 0 _{1 2 1 2} x

  2 ₂ 

   x , x ≥ 0 _{1 2}

  Ilustrasi (2) Primal

  Dual (Penambahan slack variable) (Penambahan slack variable)

  Max Z = 3x + 2x Min W = 6y + 8x + y + 2y _{1 2 1 2 3 4} dengan pembatas-pembatas: dengan pembatas-pembatas: x + 2x + u = 6 y + 2y – y – v = 3 _{1 2 1 1 2 3 1}

  2x + x + u = 8 _{1 2 2} 2y + y + y + y – v = 2 _{1 2 3 4 2}

• – x + x + u = 1
_{1 2 3}

   y , y , v , v ≥ 0 x + u = 2 _{2 4} ^{1 2 1 2} x , x , u , u , u , u ≥ 0 _{1 2 1 2 3 4} Ilustrasi (3)

Complementary slackness condition mengimplikasikan

pada kondisi optimal:

  1

  1  y u

  2

  2  y u

  3

  3  y u

  4

  4  y u

  1

  1  v x

  2

  2  v x

  Ilustrasi (4) Dengan metode simplex diperoleh solusi optimal untuk masalah primal sebagai berikut: x 10 /

  3 

  1 x 4 /

  3 

  Ilustrasi (5)

Dengan penerapan complementary slackness condition,

solusi optimal bagi dual ditentukan sebagai berikut

  3

  2

  2

  2

  1

      

y u x x

    ,

  1

  2

3 /

4 3 /

  10

  3

  2

  2

  1           

y u x x

  

,

  2 3 /

  4

  4

  4

  2      y u x

  2

  10

  3 /

  6 3 /

  10

  1

  1     v x

  3 /

  4

  2

  2     v x

    ,

  4

  8

3 /

4 3 /

  2 3 /

  10

  2

  1

  1

  2

  1        y u x x

    ,

  (1) (2) (3) (4) (5) (6)

  

Ilustrasi (6)

Kondisi (1), (2), (5) dan (6) mengimplikasikan: y 1 /

  3 y

  2

  3 

   y 

  1

  1

  2 y 4 /

  3 

  2 2 y

  2  y 

  1

  2 y

  

  3 y

  

  4 W = 38/3

  

Penerapan complementary

slackness condition

  Digunakan untuk mencari solusi primal optimal dari

• suatu solusi dual optimal, dan sebaliknya. Digunakan untuk memverifikasi apakah suatu solusi
• layak adalah optimal untuk masalah primal. Digunakan untuk menginvestigasi ciri-ciri umum dari
• solusi optimal pada masalah primal dan dual

  dengan menguji hipotesis-hipotesis yang berbeda.

  Kuhn-Tucker optimality condition untuk
• pemrograman non linier merupakan pengembangan lebih lanjut dari complementary slackness condition dan sangat berguna dalam pemrograman matematis lanjutan.

  

Karakteristik pokok

hubungan primal-dual

Primal Dual

  A Matriks pembatas Transpos dari matriks pembatas b Konstanta ruas kanan Vektor biaya c Vektor biaya Konstanta ruas kanan

  

Fungsi tujuan Max Z = cx Min W = yb

Pertidaksamaan pembatas Ax

   b yA ≥ c Variabel keputusan x ≥ 0 y ≥ 0

Interpretasi ekonomi dari solusi dual (1)

  Dalam pandangan ekonomi, solusi dual optimal

• dapat diinterpretasikan sebagai harga yang dibayarkan untuk sumberdaya pembatas. Berdasarkan Teorema 3 (main duality), nilai
• optimal bagi primal dan dual adalah sama. Jika x dan y masing-masing adalah solusi
• optimal, maka Z = cx = y b = W .

  

Interpretasi ekonomi dari

solusi dual (2)

Dengan kata lain, nilai optimal dari masalah
• pemrograman linier (primal atau dual) diberikan oleh

  Z y b y b  y b    

  1

  1

  2 2 m m dimana b , b , …, b adalah jumlah yang terbatas dari

  1 2 m sumberdaya 1, 2, .., m; y , y , …, y adalah nilai optimal dari variabel

  1

  1

  1 dual.

  

Interpretasi ekonomis dari

solusi dual (3)

  Misalkan diasumsikan bahwa level sumberdaya 1 (yaitu,

• b ) diubah.
₁ Maka, untuk variasi kecil dalam perubahan nilai b , 1<
• katakan b , perubahan dalam nilai optimal dari
₁ pemrograman linier Z diberikan oleh y (b ). _{1 1} Dengan kata lain, nilai optimal dari variabel dual
• tiap pembatas primal memberikan perubahan bersih (net

  change) dalam nilai optimal dari fungsi tujuan untuk peningkatan satu satuan dalam konstanta ruas kanan.

  Oleh karena itu, nilai optimal dari variabel dual disebut

• shadow price yang dapat digunakan untuk menentukan apakah ekonomis untuk menambah sumberdaya.

  Contoh interpretasi solusi dual

(1)

Primal:

  Memaksimumkan Z = 3x + 2x _{1 2} dengan pembatas-pembatas: x + 2x  6 (Bahan A) _{1 2}

  2x + x  8 (Bahan B) _{1 2}

• – x + x  1 (Selisih permintaan cat interior dan eksterior)

_{1 2} x  2 (Permintaan cat interior) ₂ x ≥ 0 ₁

  x ≥ 0 ₂

  Contoh interpretasi solusi dual (2)

Dual:

  Meminimumkan W = 6y + 8x + y + 2y _{1 2 3 4} dengan pembatas-pembatas: y + 2y – y ≥ 3 _{1 2 3}

  2y + y + y + y ≥ 2 _{1 2 3 4}

   y , y , y , y ≥ 0 _{1 2 3 4}

  

Contoh interpretasi solusi dual

(3) Solusi optimal dual: y = 10/3  shadow price untuk pembatas bahan A, yaitu ₁ perubahan dari nilai Z (profit total) per satu satuan peningkatan bahan A. y = 4/3  shadow price untuk pembatas Bahan B, yaitu ₂ perubahan dari nilai Z (profit total) per satu satuan peningkatan bahan B. y = 0  shadow price untuk selisih permintaan cat interior ₃ dan exterior, yaitu perubahan dari nilai Z (profit total) per satu satuan peningkatan selisih permintaan cat interior dan exterior.

y = 0  shadow price untuk pembatas permintaan cat interior, yaitu

₄ perubahan dari nilai Z (profit total) per satu

  

Masalah primal-dual tak simetris (1)

Masalah Primal

  Memaksimumkan Z = 4x + 5x _{1 2} dengan pembatas 3x + 2x  20 _{1 2}

  4x – 3x ≥ 10 _{1 2} x + x = 5 _{1 2} x ≥ 0 ₁ x tak dibatas tanda ₂

  

Masalah primal-dual tak simetris (2)

Masalah Primal (Bentuk Simetris)

  Memaksimumkan Z = 4x + 5x – 5x _{1 3 4} dengan pembatas 3x + 2x – 2x  20 _{1 3 4}

• – 4x + 3x – 3x
_{1 3 4}  – 10 x + x – x  5 _{1 3} 4<
• – x – x + x  – 5
_{1 3 4} x , x , x ≥ 0 _{1 3 4}

  

Masalah primal-dual tak simetris (2)

Masalah Dual (Bentuk Simetris)

  Meminimumkan W = 20w – 10w +5w – 5w _{1 2 3 4} dengan pembatas 3w – 4w + w – w ≥ 4 _{1 2 3 4}

  2w + 3w + w – w ≥ 5 _{1 2 3 4}

• – 2w – 3w – w + w ≥ – 5
_{1 2 3 4}

   w , w , w , w ≥ 0 _{1 2 3 4}

  

Masalah primal-dual tak simetris (2)

Masalah Dual

  y = w _{1 1} Meminimumkan W = 20y + 10y +5y _{1 2 3} y = – w _{2 2} y = w – w _{3 3 4}

  dengan pembatas 3y + 4y + y ≥ 4 _{1 2 3}

  2y – 3y + y = 5 _{1 2 3}

   y ≥ 0 ₁

  y  0 ₂ y tak dibatasi tanda ₃

  

Tabel primal-dual secara umum

  Primal (maksimasi) Dual (minimasi)

  Matriks koefisien A Transpos matriks koefisien Vektor ruas kanan Vektor biaya Vektor harga c

  Vektor ruas kanan Pembatas ke-i adalah persamaan Variabel dual y _i tak dibatasi tanda Pembatas ke-i bertipe  Varibel dual y _i ≥ 0 Pembatas ke-i bertipe ≥ Varibel dual y _i  0 x _j

tak dibatasi tanda Pembatas dual ke-j adalah persamaan

x _j ≥ 0

  Pembatas dual ke-j bertipe ≥ x _j

   0 Pembatas ke-j bertipe 

  

Catatan (1)

Teorema (1), (2), (3), dan (4) dari teori

• dualitas berlaku juga bagi primal-dual tak

  simetris.

  

Complementary slackness condition juga

• berlaku untuk solusi optimal primal-dual

  tak simetris..

  Catatan (2) Misalkan diberikan masalah pemrograman linier dalam bentuk standar Memaksimumkan Z = cx dengan pembatas

  Ax = b x ≥ 0 Masalah dual Meminimumkan W = yb dengan pembatas yA ≥ c y tak dibatasi tanda

  Complementary slackness condition dipenuhi pada kondisi optimal: (yA – c)x = 0

  

Menentukan solusi dual optimal (1)

Solusi dual optimal dapat ditentukan
• dengan complementary slackness

  condition

Solusi dual optimal dapat juga diperoleh

• secara langsung dari tabel simplex optimal dari masalah primal.

Menentukan solusi dual optimal (2)

  Meminimumkan Z = cx dengan pembatas Ax = b x ≥ 0

  

Menentukan solusi dual optimal (3)

Misalkan :

P

  j : kolom ke-j dari matrix A

B : matrix basis optimal

• N B

     

     

       

     

  

  1

  Solusi primal optimal : dimana x

B b x x x

  B : varabel basis x

  N : variabel non basis

  

Menentukan solusi dual optimal (4)

• * B B B
• 1

  Nilai minimum Z = cx = c x = c B b

  Karena B menunjukkan basis optimal, maka koefisien biaya relatif ( ) yang berkaitan dengan variabel basis c j harus tak negatif untuk semua j c c P

  

  

 j j j dimana
• 1

  

= c B : vektor pengali simplex (simplex multiplier)

  B

  

Menentukan solusi dual optimal (5)

Dalam notasi matrix: c -  A ≥ 0 atau A

   c

yang merupakan pembatas pemrograman linier dual.

  

Sehingga, pengali simplex optimal harus memenuhi pembatas dual. Menentukan solusi dual optimal (6) Nilai fungsi tujuan dual yang berkaitan dengan solusi layak adalah

• 1

   W = yb = b = c B b

B yang sama dengan nilai minimum Z

  

Oleh karena itu, berdasarkan optimality criterion theorem,

pengali simplex optimal dari masalah primal merupakan nilai optimal dari variabel dual.

  Ilustrasi menentukan solusi dual optimal (1) Primal (Dalam bentuk standar) Dual:

  Max Z = 3x + 2x Min W = 6y + 8x + y + 2y _{1 2 1 2 3 4} dengan pembatas-pembatas: dengan pembatas-pembatas: x + 2x + x = 6 y + 2y – y = 3 _{1 2 3 1 2 3}

  2x + x + x = 8 2y + y + y + y = 2 _{1 2 4 1 2 3 4}

• – x + x + x = 1 y ≥ 0
_{1 2 5 1}

   x + x = 2 y ≥ 0 _{2 6 2} x , x , x , x , x , x ≥ 0 y ≥ 0 _{1 2 3 4 5 6 3}

  y ≥ 0 ₄

   y , y , y , y tak dibatasi tanda _{1 2 3 4}

  

Ilustrasi menentukan

solusi dual optimal (2)

Dengan metode revised simplex, solusi optimal untuk primal:

x = (x

  1

  2

  1

  1

  2

  1

  1

  1

  1

  2 , x

    

       

         

  Z = 38/3 Matrix basis optimal:

  6 ) = (4/3, 10/3, 3, 2/3)

  5 , x

  1 , x

  6 ^{5 1 2} P P P P B Ilustrasi menentukan solusi dual optimal (3) Simplex multiplier optimal :

      , , 3 /

       

  = 1/3, y ₂ = 3/4, y ₃ = 0, y ₄ = 0  optimal untuk dual.

  y ₁

  Oleh karena itu,

   memenuhi pembatas dual, dan nilai fungsi tujuannya: W = 6(1/3) + 8(4/3) + 1(0) + 2(0) = 38/3 yang bersesuaian dengan nilai optimal untuk masalah primal.

  

  B c π _B

       ^

       

  2 ¹  

  4 , 3 /

  2 , , 3 ,

  1 3 / 1 3 /

  1 3 / 2 3 /

  1

  1

  2

  1 3 / 1 3 /

  1

  

Simplex multiplier yang bersesuaian dengan tabel (primal) optimal

  ② Metode Simpleks Dual

  Masalah Pemrograman Linier

(Primal) dalam Bentuk Standar

Minimasi Z = cx dengan pembatas

Ax = b x ≥ 0

  A : matrix (m x n) P : vektor kolom dari matrix A B : matrix basis untuk masalah primal x

  B : variabel basis yang bersesuaian dengan B.

  Basis Layak Primal

Basis B : basis layak primal (primal feasible basis) 

• 1

B b ≥ 0

• 1

  B : basis layak primal b

   nilai variabel basis: B

• 1

   solusi layak basis x = B b B

• 1

  

nilai fungsi tujuan Z = c B b

B

  Kondisi Optimalitas (1)

Untuk memeriksa apakah basis layak B adalah optimal 

  ( c ) hitung koefisien fungsi tujuan relatif j c c πP j = 1, …, n

    j j j

• 1

   = c B : simplex multiplier B

  Basis layak primal B adalah optimal  c  j j = 1, …, n

  

Kondisi Optimalitas (2)

Pemrograman linier standar bagi dual: Maksimasi W = yb dengan pembatas yA

   c y tak dibatas tanda

  

Kondisi Optimalitas (3)

Pembatas dual yA

 c dapat ditulis:

P P P y

      n n

  , c c c , , , , ,

  2

  1

  2

  1   

  j j c yP 

    _{j j} c yP j = 1, …, n

  

Kondisi Optimalitas (4)

Jika basis layak primal B : basis optimal bagi masalah primal

• -1

   simplex multiplier  = c B memenuhi B c yP j = 1, …, n _{j j}  

  Implikasi   : layak bagi masalah dual

• 1

  Nilai fungsi tujuan dual W = b = c B b sama dengan B nilai fungsi tujuan primal \ Berdasarkan optimality criterion theorem,   : optimal bagi masalah dual

  

Basis Dual Layak (1)

Basis B untuk masalah primal Minimasi Z = cx dengan pembatas Ax = b x ≥ 0
• 1

  layak dual (dual feasible) B A ≥ 0  c – c B

  

(Identik dengan pemeriksaan apakah basis layak B optimal)

  

Basis Dual Layak (2)

Basis B untuk masalah primal : layak primal dan layak dual

Basis B : basis optimal
• 1

  Solusi optimal untuk primal : x = B

  b, x = 0 B N

• 1

  Solusi optimal untuk dual : y = c B B

  Nilai optimal primal = Nilai optimal dual

  

Catatan

Akar dari pemecahan masalah pemrograman

• linier  mendapatkan solusi basis B yang layak primal dan layak dual Metode simplex  bergerak dari satu basis
• layak primal ke basis yang lain hingga basis tersebut menjadi layak dual

  Metode simplex primal (primal simplex method)

• –

  Metode simplex dual (dual simplex method) 

• bergerak dari satu basis layak dual ke basis yang lain

  Rincian Metode Simplex Dual (1) Pemrograman linier bentuk standar: Minimasi Z = cx dengan pembatas Ax = b x ≥ 0

  

Rincian Metode Simplex Dual (2)

Metode simplex dual menggunakan tabel

• yang sama dengan metode simplex primal.
• j

  ( c ) Dalam semua tabel, koefisien fungsi

  c tujuan relatif dipertahankan tak negatif

j

  

(Untuk maksimasi, dipertahankan tak

positif) Konstanta ruas kanan tidak perlu tak
• negatif.

  

Rincian Metode Simplex Dual (3)

Algoritma mulai dengan membuat elemen
• ruas kanan menjadi tak negatif, dengan pada

  c

saat yang sama menjaga koefisien tak

j negatif.

  Algoritma berhenti jika semua konstanta ruas

• kanan telah tak negatif.

  

Rincian Metode Simplex Dual (4)

Basis x ₁

  

   y _ms y _mn

  1 y _m,m+1

   

    x _m

   y _rn

   y _rs

  1  y _r,m+1

    x _r

   x _r

   y _1n

   y _1s

  1   y _1,m+1

  Konstanta x ₁

   x _n

   x _s

   x _m x _m+1

      c _{1  m} c _s c _n c ¹ b r b m b

  

Pemilihan Variabel Basis

yang Keluar Basis

Pilih variabel basis yang membuat solusi saat ini menjadi tidak layak dengan kata lain Pilih variabel basis yang nilai solusinya negatif

Aturan  Pilih variabel basis yang nilai paling negatif

b i b min b

  Misal:   r i

    i

  variabel basis x diganti r baris ke-r : baris pivot Pemilihan Variabel Non Basis yang Masuk Basis (1) Kolom pivot dipilih sedemikian rupa sehingga memenuhi dua kondisi sebagai berikut:

  Atau, paling sedikit konstanta ruas kanan pada baris r menjadi positif pada tabel berikutnya  Variabel non basis (x ) dengan koefisien negatif j dalam baris r (y &lt; 0) yang memenuhi syarat untuk rj masuk basis

  Pemilihan Variabel Non Basis yang Masuk Basis (2)

  2. Tabel berikutnya setelah operasi pivot harus tetap layak dual.

  Dapat dijamin jika variabel non basis yang masuk basis dipilih dengan aturan rasio sebagai berikut:    

     

   rj j y y c _rj max j = m+1, …, n

Ilustrasi Metode Simplex Dual

  Meminimumkan Z = x ₁ + 4x ₂ + 3x ₄ dengan pembatas x ₁ + 2x ₂ – x ₃ + x ₄ ≥ 3

• – 2x
₁ – x ₂ + 4x ₃ + x ₄ ≥ 2 x ₁ , x ₃ , x ₃ , x ₄ ≥ 0 Meminimumkan Z = x ₁ + 4x ₂ + 3x ₄ dengan pembatas x ₁ + 2x ₂ – x ₃ + x ₄ – x ₅ = 3

  Bentuk standar :