SIFAT MODUL INJEKTIF-MURNI DALAM HUBUNGANNYA DENGAN MODUL KOMPAK SECARA PERSAMAAN.
-{d1?
r
:,1-
ISBN : 978-G02-097-ZB8-6
;*
..'
PROSIDING
SEMTNAR NASTONAT ATIABAR 2A12
t
;
\
"Kontribusi Aliabar dan pengajarannya
l
dalam Riset Sains dan teknologi,,
Sabtu, 14 April ZOLT
t
L.
'*
Diselenggarakan oleh:
Program Studi Matematika furusan Matematika
Fakultas Sains dan Matematika UNDIP
PENERBIT DAFI PERCETAKAN
UPT UNDIP PRESS
SEMARANG
.
:,;
*A
-l
-
DAJ'TAR ISI
ll
....--:....."....-.
Judul.....-..
..
Kata Pengaitr............
Susunan Acare Seminsr..,
........-.........................................:..........
DaftarIsi..............
flalerngn
Amir Kamal Amir, Sifut ldeal Prima Terkait
dengan Notasi Order
I
ii
iv
vi
Kiri dan
Arie Yulianti, Ari Suparwanto, Keterkendalia* Sistem Diskret Linear
Dewi Ismiarti,
i
Time-
Made Sulandra, Hery Susaato, Menyelesaikan Masalah
Keunggotaan Modul dan Menenrukan Kombina,gi Linier Menggunakan Basis
Dian A. Yuwaningsih, Indah E. Wijayanti- Beberapa Sifat Ring Bersih N-
Kuat........--Didi Febrian. Sri Wahyuni. Baberapa Si,fat Modut Tersuplenten Radikat
Lemah......-.
..
Dzikrullah Akbar, Sri Wahyuni, Beberapa Sifat Modul Weak OSuplemented.
)^/.
42
54
Fadhilah Hanifah, Suryadi, Penggunaan Galois Field (28) Pada Algoritma
Digital......-..........
d-Aljabar...
Rijndael dalam Pengamanan Data Citra
65
Farida Widiawati, Suryoto,
75
Gregoria Ariyanti,
Ari
Suparwanto, Budi Sorodjo, Aljabar Maks Plus
Tersimetris dan Sistem Kesetimbangan
Linier......
82
Kartika Sari, Indah E. \{ijayanti, Sfcrr Modul Injekttf dalam Hubung,arurya
dengan Modul Kompak Secsra
Persamoon.............
.i.......-..
96
Maulia Atfiyanih, Suryadi, Penggunaan Operasi Aljabar pada Algoritma
M.V. Any Herawati, Eksistensi Basis
VeWor Eigen dalam Ruang
Nikken P. Puspita, Modul Ata; Struktur
Enfivining
vl
j
i
I
i
I
t__
Euclid-.....,..,.....
113
122
SIFAT MODUL INJEKTIF-MT]ITM DALAM
HUBUNGANI{YA
DENGAII MODUL KOMPAK SECARA PdNSAUAI,N
Mahasiswa program
I
Abstrak
u
rusan
rr,o,", ffirfl;fr"J^i*^
*.,*.1iL?il',Xi Y"*lKll
DiberiL:an ring dengan elsrnen satuan
universitas Gajah Mada
G aj
ah &(ada
R suatu R-modul
kanan M dikatakan injeklif_
mumi apabila untuk setiap R-modul kanan A dan
B dengan; ;#;i
murni dalam B- setiap
homomorfismaf. A'->M dapar diperruas menjadi
homomrrfism;f;;;; sedangkan suatu
R_
modul kanan M dikatakan kompai.secara prrio.oo,
apabila untui setiap sistem persamaan
rinear
di
M vang mempunvai penveresaian u"rti"sg" di
ilI;I!;ilfi'i'"$ny"r"ruian
grobar di M.
syamt perru dan cukup suatu submodul A-riurni_
dala; R_mJ"i't""":r'e adarah setiap sistem
persamaan berhingga di A
mempunyai
penyelesaian.dl
lang
;;'unyai peny"resaian di A.
Hal ini mbngindikasikan aaalia hubungan untrru
ffi:ff#;^i:I]*f"Tl'i}1,'
"-r.r*
moaut injeklf-"murni
i-)n moaut kompak secara
ditunjukkan run*u
*"Jui
;j;k;;;,*i
ekuirzren
;;;;;;
Kata Kunci: injektif-murni , kompak secara persomlan
1.
PENDAHULUAN
Ring R yang digunakan dalam seluruh isi turisan
ini adalah ring dengan
elemen satuan- Ring bilangan bulat dan ring
bilangan rasional secara berturutturut dinotasikan dengan z dan
Q. Himpunan semua bilangan asli dinotasikan
dengaa
N'
Modul yang digunakan
di,yatakan selain
modul kanan-
itu.
kecual
apabila
Barisan eksak yang digunakan adarah
barisan eksak
Apabila A dan B sebarang R-modul kanan,
maka A
dimaksudkan sebagai
A
adalah R-modui kanan,
<
A submodul dari B, sedangkan A a
laa ,MgR"__>M@L-______+0
M&p.t
dengan dua panah vertikal pertama monomorfisma- Selanjutnya berdasarkan Lemma 2.6 diperoleh M'@L -+
(+)
Diasumsikan sistem persamaan
Karena
M'
M
(3)
@
L
suatu
monomorfisma.
mempunyai penyelesaian
submodul murni dari M, maka untuk setiap P.-modul
nomorfisma
M'@L
i@t'
>M &
nentukan homomorhsmad: "Rr
maka barisan Rr
--L+ R' -+ L
l. murni- Dibentuk
:+
R'.
0
-->
di
M.
kiri L, mq
matriks (47)V"ng
Sekarang, diambil
I
*g
L = Rn llmrr
,
eksak. Jika setiap modul barisan ini
dikali tensor secara berturut-turut derrgan dengan R-modul kanan M' dan
M diperoleh diagram komutatif
seperti pada pembuktian
di atas. Karena
itu sistem persamaan (3) mempunyai penyelesaian di M'.
I
Teorema 2.8 memberikan indikasi adanya hubungan antara teori sistem
persamaan linear dalam modul dan teon modul injektif-murni, seperti yang
dibahas dalam bab berikut.
3.
I\{odul Injektif-Murni dan Modul Kompak secsrs persumaan
Definisi modul injektif-mumi yang diberikan oieh Maranda pada tahun
1960 dalam Huisgen-zmmennam (20c0) seperti dinyatakan dalam pendahuluan
ekuivalen dengan definisi berikut.
Definisi 3.1 [3] R-modul
L
di]ratakan modul injeldif-murni apabila untuk setiap
A dan B dengan A submodul murni dctri B, setiap
f : A -+ L dapat diperluas menjadi homomorfisa f': B --+ L.
R-modul
homomorfrsma
Berdasarkan Definisi 3.1, diperoleh Lemma 3.2 berikut ini.
Lemma 3.2 [1] Setictp modul injektif merupakan modul injeHf-murni.
Bukti
Diberikan R-modul M injektif. Misalkan
Diambil sebarang homomorfisma g : A
--+
homomorfisma g': B -+ M dengan g'l u = g
A
M.
.
submodul murni dari R-modul B.
Karena
M rnjektrf maka terdapat
E
101
Dengan demikian, contoh trivial modur iniektif-murni adalah modul
injektif. Konvers dari Lemma 3.2 tidak berlaku, sebagai contoh z-modul
dengan a e N-
Zn
{-I,0,I } merupakan modul injektifqlurni yang tidak injeltif,
Berikut ini diberikan karakterisasi dari modul injektif-murni.
Teorema 3.3
Ul Apabila diberikan
R-modul M, mal{a pernyataan-pernyotaqn
beribut ekuivalen:
l)
L injektif-murni
2) L penjumlah
langsung dalam setiap modul yong memuatnya sebagai
submodul murni.
3)
sebarang sistem persamaan dolam
L yang merupunyai penyelesaian
berhingga di L juga mempunyai penyelesaion gtobat di L.
Bukti
l).+2) Diasumsikan
L
submodul murni dari suatu modul
M, maka terdapat
f :L-+ M. Karenal- injektif-murni, makapemetaan identitas 7r:LlL
dapat diperluas menjadi h:M -+r, sehtagga
monomorfisma murni
hl,.
:1r. Akibatnya M = L@(l,o -h)M .
2i->3) Diberikan
Z*,r, =ffij €L(i
I
e../)sebarang sistem persamaan linear
M dengan I darr J himpunan
indeks yang umunnya tidak berhingga. selanjutnya, didefinisikan
yang mempunyai penyelesaian berhngga di
H =< L,x,(i
I
e
l)ll.x,r,
= m1(J e -I) >yang merupakan R=modul kanan.
.\fr',4--r----
Berdasarkan 2)terdapat
K
r
:,1-
ISBN : 978-G02-097-ZB8-6
;*
..'
PROSIDING
SEMTNAR NASTONAT ATIABAR 2A12
t
;
\
"Kontribusi Aliabar dan pengajarannya
l
dalam Riset Sains dan teknologi,,
Sabtu, 14 April ZOLT
t
L.
'*
Diselenggarakan oleh:
Program Studi Matematika furusan Matematika
Fakultas Sains dan Matematika UNDIP
PENERBIT DAFI PERCETAKAN
UPT UNDIP PRESS
SEMARANG
.
:,;
*A
-l
-
DAJ'TAR ISI
ll
....--:....."....-.
Judul.....-..
..
Kata Pengaitr............
Susunan Acare Seminsr..,
........-.........................................:..........
DaftarIsi..............
flalerngn
Amir Kamal Amir, Sifut ldeal Prima Terkait
dengan Notasi Order
I
ii
iv
vi
Kiri dan
Arie Yulianti, Ari Suparwanto, Keterkendalia* Sistem Diskret Linear
Dewi Ismiarti,
i
Time-
Made Sulandra, Hery Susaato, Menyelesaikan Masalah
Keunggotaan Modul dan Menenrukan Kombina,gi Linier Menggunakan Basis
Dian A. Yuwaningsih, Indah E. Wijayanti- Beberapa Sifat Ring Bersih N-
Kuat........--Didi Febrian. Sri Wahyuni. Baberapa Si,fat Modut Tersuplenten Radikat
Lemah......-.
..
Dzikrullah Akbar, Sri Wahyuni, Beberapa Sifat Modul Weak OSuplemented.
)^/.
42
54
Fadhilah Hanifah, Suryadi, Penggunaan Galois Field (28) Pada Algoritma
Digital......-..........
d-Aljabar...
Rijndael dalam Pengamanan Data Citra
65
Farida Widiawati, Suryoto,
75
Gregoria Ariyanti,
Ari
Suparwanto, Budi Sorodjo, Aljabar Maks Plus
Tersimetris dan Sistem Kesetimbangan
Linier......
82
Kartika Sari, Indah E. \{ijayanti, Sfcrr Modul Injekttf dalam Hubung,arurya
dengan Modul Kompak Secsra
Persamoon.............
.i.......-..
96
Maulia Atfiyanih, Suryadi, Penggunaan Operasi Aljabar pada Algoritma
M.V. Any Herawati, Eksistensi Basis
VeWor Eigen dalam Ruang
Nikken P. Puspita, Modul Ata; Struktur
Enfivining
vl
j
i
I
i
I
t__
Euclid-.....,..,.....
113
122
SIFAT MODUL INJEKTIF-MT]ITM DALAM
HUBUNGANI{YA
DENGAII MODUL KOMPAK SECARA PdNSAUAI,N
Mahasiswa program
I
Abstrak
u
rusan
rr,o,", ffirfl;fr"J^i*^
*.,*.1iL?il',Xi Y"*lKll
DiberiL:an ring dengan elsrnen satuan
universitas Gajah Mada
G aj
ah &(ada
R suatu R-modul
kanan M dikatakan injeklif_
mumi apabila untuk setiap R-modul kanan A dan
B dengan; ;#;i
murni dalam B- setiap
homomorfismaf. A'->M dapar diperruas menjadi
homomrrfism;f;;;; sedangkan suatu
R_
modul kanan M dikatakan kompai.secara prrio.oo,
apabila untui setiap sistem persamaan
rinear
di
M vang mempunvai penveresaian u"rti"sg" di
ilI;I!;ilfi'i'"$ny"r"ruian
grobar di M.
syamt perru dan cukup suatu submodul A-riurni_
dala; R_mJ"i't""":r'e adarah setiap sistem
persamaan berhingga di A
mempunyai
penyelesaian.dl
lang
;;'unyai peny"resaian di A.
Hal ini mbngindikasikan aaalia hubungan untrru
ffi:ff#;^i:I]*f"Tl'i}1,'
"-r.r*
moaut injeklf-"murni
i-)n moaut kompak secara
ditunjukkan run*u
*"Jui
;j;k;;;,*i
ekuirzren
;;;;;;
Kata Kunci: injektif-murni , kompak secara persomlan
1.
PENDAHULUAN
Ring R yang digunakan dalam seluruh isi turisan
ini adalah ring dengan
elemen satuan- Ring bilangan bulat dan ring
bilangan rasional secara berturutturut dinotasikan dengan z dan
Q. Himpunan semua bilangan asli dinotasikan
dengaa
N'
Modul yang digunakan
di,yatakan selain
modul kanan-
itu.
kecual
apabila
Barisan eksak yang digunakan adarah
barisan eksak
Apabila A dan B sebarang R-modul kanan,
maka A
dimaksudkan sebagai
A
adalah R-modui kanan,
<
A submodul dari B, sedangkan A a
laa ,MgR"__>M@L-______+0
M&p.t
dengan dua panah vertikal pertama monomorfisma- Selanjutnya berdasarkan Lemma 2.6 diperoleh M'@L -+
(+)
Diasumsikan sistem persamaan
Karena
M'
M
(3)
@
L
suatu
monomorfisma.
mempunyai penyelesaian
submodul murni dari M, maka untuk setiap P.-modul
nomorfisma
M'@L
i@t'
>M &
nentukan homomorhsmad: "Rr
maka barisan Rr
--L+ R' -+ L
l. murni- Dibentuk
:+
R'.
0
-->
di
M.
kiri L, mq
matriks (47)V"ng
Sekarang, diambil
I
*g
L = Rn llmrr
,
eksak. Jika setiap modul barisan ini
dikali tensor secara berturut-turut derrgan dengan R-modul kanan M' dan
M diperoleh diagram komutatif
seperti pada pembuktian
di atas. Karena
itu sistem persamaan (3) mempunyai penyelesaian di M'.
I
Teorema 2.8 memberikan indikasi adanya hubungan antara teori sistem
persamaan linear dalam modul dan teon modul injektif-murni, seperti yang
dibahas dalam bab berikut.
3.
I\{odul Injektif-Murni dan Modul Kompak secsrs persumaan
Definisi modul injektif-mumi yang diberikan oieh Maranda pada tahun
1960 dalam Huisgen-zmmennam (20c0) seperti dinyatakan dalam pendahuluan
ekuivalen dengan definisi berikut.
Definisi 3.1 [3] R-modul
L
di]ratakan modul injeldif-murni apabila untuk setiap
A dan B dengan A submodul murni dctri B, setiap
f : A -+ L dapat diperluas menjadi homomorfisa f': B --+ L.
R-modul
homomorfrsma
Berdasarkan Definisi 3.1, diperoleh Lemma 3.2 berikut ini.
Lemma 3.2 [1] Setictp modul injektif merupakan modul injeHf-murni.
Bukti
Diberikan R-modul M injektif. Misalkan
Diambil sebarang homomorfisma g : A
--+
homomorfisma g': B -+ M dengan g'l u = g
A
M.
.
submodul murni dari R-modul B.
Karena
M rnjektrf maka terdapat
E
101
Dengan demikian, contoh trivial modur iniektif-murni adalah modul
injektif. Konvers dari Lemma 3.2 tidak berlaku, sebagai contoh z-modul
dengan a e N-
Zn
{-I,0,I } merupakan modul injektifqlurni yang tidak injeltif,
Berikut ini diberikan karakterisasi dari modul injektif-murni.
Teorema 3.3
Ul Apabila diberikan
R-modul M, mal{a pernyataan-pernyotaqn
beribut ekuivalen:
l)
L injektif-murni
2) L penjumlah
langsung dalam setiap modul yong memuatnya sebagai
submodul murni.
3)
sebarang sistem persamaan dolam
L yang merupunyai penyelesaian
berhingga di L juga mempunyai penyelesaion gtobat di L.
Bukti
l).+2) Diasumsikan
L
submodul murni dari suatu modul
M, maka terdapat
f :L-+ M. Karenal- injektif-murni, makapemetaan identitas 7r:LlL
dapat diperluas menjadi h:M -+r, sehtagga
monomorfisma murni
hl,.
:1r. Akibatnya M = L@(l,o -h)M .
2i->3) Diberikan
Z*,r, =ffij €L(i
I
e../)sebarang sistem persamaan linear
M dengan I darr J himpunan
indeks yang umunnya tidak berhingga. selanjutnya, didefinisikan
yang mempunyai penyelesaian berhngga di
H =< L,x,(i
I
e
l)ll.x,r,
= m1(J e -I) >yang merupakan R=modul kanan.
.\fr',4--r----
Berdasarkan 2)terdapat
K