MODUL PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT

x1 + x 2 = 

b
a

maka titik potong dg sumbu X-nya adalah (x1 , 0 ) dan

2

1. Bentuk umum fungsi kuadrat : f ( x )=ax + bx + c, a ≠

( x2 , 0 )

2. Grafik fungsi kuadrat berupa parabola

 Untuk menentukan persamaan sumbu simetri :

3. Grafik fungsi kuadrat ditinjau dari tanda ( nilai ) a dan D
2

( dengan D = b – 4.a.c )

Gunakan rumus x =



 Untuk a > 0/ a positif ( grafik selalu terbuka ke atas ) ada
3 jenis :`

x=

a>0
D=0

X

x1  x 2
2

 Untuk menentukan titik potong dengan sumbu Y :

a>0

D>0

b
atau
2a

a>0
D0 membuat grafik terbuka ke atas, dan D menentukan
keadaan grafik memotong atau menyinggung atau tidak sama
sekali terhadap sumbu X

2

Jika y = -2 x +3x – 4; maka titik potong dengan
sumbu Y-nya adalah ( 0, -4 )
 Titik puncak/ titik balik

x1  x 2

2

xb  

b
2a

yb  

D
atau subtitusikan xb ke persamaan, sehingga
4a

menjadi
 Untuk a < 0 ( grafik terbuka ke bawah )

atau dapat di cari dengan xb =

yb  axb2  bxb  c

D  b2  4ac ( diskriminan )

Dan ingat

4. Unsur – unsur grafik fungsi kuadrat :

 xb , y b 

http://matematrick.blogspot.com

Y

X

Titik puncak / titik
balik ( pada grafik di
samping berupa titik
balik maksimum )
Titik potong dg
Sumbu X, di titik

tersebut y = 0

1. Koordinat titik ekstrem kurva dengan persamaan
2

y=x –

+9 adalah….

a. ( -2 , 21)
b. ( -2 , 9 )
c. ( 0 , 9)

Titik potong dengan
sumbu Y, di titik
tersebut x = 0

Garis / Sumbu simetri( di
tengah antara dua titik
potong dg sumbu X )

d. ( 2 , 9 )
e. ( 2 , 5 )
Penyelesaian :
Jelas a = 1, b= -4, c = 9

Menentukan unsur – unsur grafik fungsi kuadrat jika diketahui

Titik ekstrim = titik balik = titik puncak

2

persamaan grafiknya ( y = a x + b x + c ) atau diketahui
gambarnya:
 Untuk menentukan titik potong dengan sumbu X :
Cari saja dua bilangan x1 dan x2 yang memenuhi

xb  

b

(4) 4

 2
2a
2.1 2

yb  xb2  4 xb  9  2 2  4.2  9  4  8  9  5

( jadi untuk mencari yb dengan cara menggantikan x

a.

dengan xb pada persamaan yang diketahui )
2

2. Koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat y = 3x + 7x – 6
dengan sumbu X adalah ....

2 
 ,0  dan  3,0

3 

d.

 3,0 dan   3 ,0 

b.

2 
 ,0  dan 3,0
3 

e.

 3
 0,  dan 0,3
 2

 2

Penyelesaian :

( ii ). Kemudian cari dua bilangan di posisi x yang jumlahnya =

b
7
=  , maka jawabannya ( A ) sebab
a
3

2
29
7
 (3) 

3
3
3

1. Koordinat titik balik dari grafik fungsi kuadrat yang

persamaannya y = (x – 6)(x + 2) adalah ....( UN 2010 )

c.

(1, –15)

d.

(2, –16)

e.

(3, –24)
2

http://matematrick.blogspot.com

d.

5

2

e.

1
2

(-1,0),  2 ,0  , dan (0,2)
3 

b.

 2  , (1,0), dan (0, -2)
  ,0 
 3 

c.

2
 2  , (1,0), dan 
 0, 
  ,0 
3

 3 

d.

 2  , (-1,0), dan (0, -1)
  ,0 
 3 

e.

 3  , (1,0), dan (0, 3)
 ,0 
2 

6. Persamaan sumbu simetri grafik fungsi kuadrat

harus 0, jadi pilihan E jelas salah.

(–1, –7)

7
2

a.

( i ). Titik potong dengan sumbu X, jelas y-nya / yang dibelakang

b.

c.

y  3x 2  x  2 dengan sumbu X dan sumbu Y adalah … .(



3 
c.  ,0  dan  3,0
2 

(–2, 0)

9
2

UN 2010 )

a.

a.

b.

5. Koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat

Jadi titik ekstrimnya : ( 2, 5 ) ( E )



11
2

2. Koordinat titik potong kurva y = x – 2x – 8 dengan sumbu X
adalah ….
a. (-4 , 0) dan ( -2 , 0)
b. (-4 , 0) dan ( 2 , 0)
c. (-2 , 0) dan (4 , 0)
d. (2 , 0) dan ( 4 , 0)
e. (2 , 0) dan (8 , 0)

2

3. Koordinat titik puncak dari grafik y = x – 6x + 5 adalah ....
a.

(6, 5)

d. ( – 3,32)

b.

(3, – 4)

e. ( – 6,5)

c.

(3, – 14)
2

4. Nilai minimum fungsi kuadrat f( x ) = 2x – 2x + 6 adalah ....

2

y = 5x -20x + 1 adalah ....( UN 2011 )
a.

x=4

b.

x=2

c.

x = -2

d.

x = -3

e.

x = -4

Menyusun Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat

y = 3. (x – 3 x + 2)
2

y = 3x – 9 x + 6 ( jawaban D ).
2

1. Jika diketahui titik – titk potong dengan sumbu X ( ( x1 , 0 )

(–1, 4) dan melalui titik (0, 3) adalah ....( UN 2010 )

dan ( x2 , 0 ) diketahui )
Persamaannya :

2. Persamaan grafik fungsi kuadrat mempunyai titik ekstrim

y  a( x  x1 ).( x  x2 )

Cara singkatnya : y = x – ( x1 + x2 ) x + x1 .x2 , kemudian

2

a.

y = –x + 2x – 3

b.

y = –x + 2x + 3

c.

y = –x – 2x + 3

d.

y = –x – 2x – 5

e.

y = –x – 2x + 5

2

2

disesuaikan ( lihat contoh )
2.

Jika diketahui koordinat titik puncak / titik balik (( xb , yb )
diketahui )

2
2
2

Penyelesaian :

Persamaannya :

y  a ( x  xb )  y b
2

Jelas xb = -1, yb = 4, dan grafik melalui titik ( 0,3 )
Cara Biasa

y  ax  (1)  4
2

. Persa aa grafik fu gsi di bawah i i adalah ….

y  ax  1  4
2

Y

a. y = x2 – 3x + 2
c. y = 3x2 + 9x + 6

Grafik melalui ( 0,3 ) berarti untuk x = 0, y = 3 , maka :
2
=2 -3x + 9x + 6
3 = a ( 0 +1 ) + 4

d. y = 3x2 – 9x + 6

3 = a .1 + 4

b. y = x2 + 3x + 2

6

2

e. y = -3x + 9x + 6
Ini artinya titik
potong dg sumbu
Y; yaitu ( 0,6 )

3=a+4
2

Maka a = -1, sehingga persamaannya : y = -1.(x+1) +4
2

Y = -1.(x +2x+1)+4

y =f(x)

2

1

Y = -x -2x-1+4

X

2

2

Y = -x -2x +3 ( C )
Cara singkat :
Jelas bahwa grafik melalui titik ( 0,3 ) ini tidak lain titik potong

Penyelesaian :

dengan sumbu Y, berarti c=3, sehingga pilihan yang mungkin

Jelas x1 = 1 dan x2 = 2 dan memotong sumbu Y di titik ( 0, 6 )

adalah B dan C.

Cara Biasa :
Y=a(x–1).(x–2)

Jelas xb = -1, padahal xb =

2

Y = a ( x -3x + 2 )

 x1 + x2 = 2 xb = 2.(-1)=-2

Grafik memotong sumbu Y di titk ( 0, 6 ),
2

Artinya untuk x = 0, y = 6, maka : 6 = a ( 0 – 3.0 + 2 )
6 = a.2

http://matematrick.blogspot.com

x1  x2
,
2

dan kita punya bahwa x1 + x2 =  b , maka antara pilihan B dan
a

C pilih saja yang nilai  b = -2.
a

2a = 6
a=3
Jadi Persamann fungsinya adalah :

Jadi jawabannya C.
Kesimpulan dari cara singkat adalah : pilih saja pilihan yang

2

Y = 3. ( x -3x + 2 )

memenuhi

2

Y = 3 x -9x + 6 ( pilihan D )

Cara singkat :



b
= 2xb.
a

1. Persamaan grafik fungsi kuadrat dibawah ini adalah ....

susun saja bentuk y = x – ( x1 + x2 ) x + x1 .x2
2

y = x – 3 x + 2 ( berarti a=1, b=-3, c=2 )
2

kemudian lihat bahwa grafik memotong sumbu y di ( 0,6 ),
maka c harus 6, padahal :
pada y = x – 3 x + 2, c = 2 sehingga agar 2 jadi 6 kalikan saja
2

dengan 3. maka hasilnya :

3
a. y = –2x2 + 4x + 3
b. y = –2x2 + 2x + 3
c. y = –x2 – 2x + 3
d. y = –x2 + 2x – 3
e. y = –x2 + 2x + 3

-1

3

2. Persamaan grafik fu gsi di bawah i i adalah ….

y

x

o

a.
b.
c.
d.
e.

y = x2 +3
y = x2 -3
y = -x2 +3
y = x2 - 2x -3
y = -x2 + 2x -3

b.

y  x 2  4 x  21

c.

y  x2  4x  5

d.

y  2 x 2  8x  6

e.

y  2 x 2  4 x  10 ( UN 2011 )

Akar-Akar Persamaan Kuadrat

1. Bentuk umum Persamaan kuadrat :

(1,-2)

ax 2  bx  c  0, a  0, a, b, c  R

(0,-3)

2. Menentukan akar akar persamaan kuadrat
Cara Biasa : - Faktorisasi

3. Persa aa grafik di bawah i i adalah ….

1
(ax  m).(ax  n)  0
a

a. y = -x2 + 4x + 5

Y

b. y = -x2 - 4x + 5

9
Y = f(x)

- Melengkapkan kuadrat sempurna

c. y = -2x2 + x + 5

5

- Rumus abc

d. y = -2x2 - x + 5
e. y  

1 2 + x +5
x
2

x1, 2 

X

2

4

 b  b 2  4ac
2a

Cara Singkat : ( jika memungkinkan )
Pakai saja rumus jumlah dan hasil kali akar – akar

4. Persa aa grafik fu gsi di bawah i i adalah …

–2

dengan
m + n = b; dan m.n = a.c

ax 2  bx  c  0

persamaan kuadrat

a. y = –x2 + 2x – 8
b. y = –x2 + 2x + 8
c. y = –x2 – 2x + 8
d. y = –x2 – 2x – 8
e. y = –x2 + x + 8



x1  x 2  

b
a



x1  x 2 

c
a

Dengan maksud : cari saja dua bilangan (

x1 dan x 2 )

yang memenuhi rumus jumlah dan hasil kali tersebut.
Catatan : biasanya cukup dicari/ dipilih saja dua bilangan

-8

(

b
x1 dan x 2 ) yang memenuhi x1  x 2   .
a

http://matematrick.blogspot.com

3. Jumlah dan hasil kali akar – akar persamaan kuadrat
5. Persamaan grafik fungsi pada gambar di bawah ini adalah
Y
....
1
a. y  x 2  2 x  2

Jika

x1 dan x 2 akar – akar persamaan kuadrat

ax 2  bx  c  0, maka berlaku :

2

b.
2

c.

2

X

d.
e.

1
y  x 2  2x  2
2
1 2
y  x  2x  2
2
1
y   x 2  2x  2
2
1 2
y   x  2x  2
2

( petunjuk : grafik menyinggung sumbu X, berarti x1 = x2 =2
atau pakai titik puncak )

x1  x 2  
x1  x 2 

b
a

c
a

4. Persamaan yang sering digunakan terkait jumlah dan hasil
kali akar – akar persamaan kuadrat :


x12  x22  x1  x2   2.x1 x2
2

2

6. Persamaan grafik fungsi kuadarat yang memotong sumbu X
di titik (1,0) dan (3,0) serta melalui titik ( -1,-16)adalah … .
a.

y  2 x 2  8x  6

c
 b
     2.
a
 a



b2
c
 2.
2
a
a

b
1 1 x2  x1 x1  x2
b




 a 
c
x1 x2
x1 .x2
x1 .x2
c
a

( + masuk jadi - )



( iv ). Untuk menyusun PK baru yang akar- akarnya
  k dan   k , Caranya :

2
2
2
 x1  x2  x1 .x1  x2 .x2  x1  x2  ( x1  x2 )  2.x1 .x2
x2 x1
x1 .x2
x1 .x2
x1 .x2

Ganti saja x pada ax + bx + c =0 dengan x  k ,
2

sehingga diperoleh PK baru :

Catatan : akar persamaan kuadrat tidak selalu dinyatakan

2

a(x + k) + b.(x + k) + c = 0, dan seterusnya ...

x1 dan x 2 , kada g di ataka dala α da β, p dan

dalam
q, dsb.

( - masuk jadi + )
Catatan : cara ini dipakai untuk kasus PK baru yang

5. Menyusun Persamaan Kuadrat ( PK )

bentuk akar- akarnya simetris ( x1 dan x2 serupa ),dan

Kasus 1 :
Jika diketahui akar – akarnya ( x1 dan x2 )
Maka Cara penyelesaiannya :
Cara I : pakai pola
Cara II : pakai pola

( x  x1 ).( x  x2 )  0

tidak berlaku untuk akar – akar yang bentuknya tidak
simetris ( misalkan akan disusun PK baru yang akar –
akarnya  dan   k )
k

x 2  ( x1  x2 ) x  x1 .x2  0
2

1. Akar – akar persamaan kuadrat 5x – 6x - 8 = 0 adalah ....

Kasus 2 :
Jika akar – akar persamaan kuadrat yang akan disusun

a.

berhubungan dengan akar – akar persamaan kuadrat yang

b.

 54 dan -2
4
5

4
5

c.

dan 2

d. - 54 dan 2

dan -2

lain
e.

Maka Cara penyelesaiannya :

 15 dan 2

Dengan mengubah bentuk dari akar – akar tersebut agar

Penyelesaian :

dapat disubtitusi ke persamaan kuadrat yang lain

Cara Singkat :

Secara lengkapnya perhatikan uraian berikut :

Jelas : Nilai  b   (6)  6 , maka pilih saja pada pilihan
5
5
a

2

Jika Diketahui persamaan kuadrat ax + bx + c =0, memiliki
akar – akar α da β,

aka :

( i ). Untuk menyusun persamaan kuadrat baru yang
memiliki akar – akar k dan k ,Caranya :

tersebut yang jika dijumlahkan nilainya 6 .
5

Sehingga jawabannya D, karena - 54 + 2 =  4  10  6
5

5

2

Ganti saja x pada ax + bx + c =0 dengan x , sehingga
k
2

2. Persamaan kuadrat 4x + 3x + 6 = 0 mempunyai akar –
akar  dan . Nilai  +  = ....
2

diperoleh PK baru :

http://matematrick.blogspot.com

a( kx ) 2  b.( kx )  c  0 dan seterusnya...
( ii ). Untuk menyusun PK baru yang akar – akarnya  dan
k

1
4

a.  5 3

d. 2

b.  2 7
16

e. 3 3
4

4

( kali masuk jadi bagi )

 , Caranya :

2

c.  2 5
16
Penyelesaian :

k

Jelas  +  = α + β
2

2

Ganti saja x pada ax + bx + c =0 dengan kx , sehingga

2

2

– .αβ

2

=   3   2. 6
4
 4

diperoleh PK baru :
2

a( kx ) +b.kx + c = 0 , dan seterusnya ...

= 9 3
16

( bagi masuk jadi kali )
( iii ). Untuk menyusun PK baru yang akar- akarnya   k dan

= 9  48   39  2 7 ( jawaban : B )
16
16
16

  k , Caranya :

Ganti saja x pada ax + bx + c =0 dengan x  k ,
2

sehingga diperoleh PK baru :
2

a(x – k) + b.(x - k) + c = 0, dan seterusnya ...

2

3. Akar – akar persamaan kuadrat x –

+ = adalah α

da β . Persa aa kuadrat baru a g akar – akar a α
da

β adalah ....

2

a.

x + 3x + 3 =0

b.

x - 3x + 3 =0

c.

x + 3x - 3 =0

2

2

5. Diketahui akar- akar persamaan kuadrat 2x – 7x – 6 = 0

2

d.

x - 9x + 3 =0

e.

x - 9x + 9 =0

2

a. -3

Penyelesaian :
2

Ganti saja x pada persamaan x – 3x + 1 = 0 dengan

x
, maka
3

2

x
 x
   3.  1  0
3
3

x2
 x 1  0 ( x 9 )
9



c.

3
14

d.

4
7

e.

6
7
2

6. Persamaan kuadrat 3x – x + 2 = 0 mempunyai akar – akar
 dan . Nilai (  +  ) + 2 = ....
2

x 2  9x  9  0 ( E )

a.

1
3

d.

b.

5
9

e. 2

c.

7
9

2

1. Akar – akar persamaan kuadrat 2x – 9x + 7 = 0 adalah ....

1
c. 1 dan 3
2

a. 1 dan 7

1
dan 7
2

7
6

b.

Persamaan kuadratnya adalah :

b.

d. -1 dan - 3

2

1
2

akar  dan . Nilai  +  = ....
2

2

2. Akar-akar persamaan kuadrat x –3x + 2 = 0 adalah A dan B,

a.

5

3
4

b.

3

3
4

c.

2

3
4

d.

3

1
4

e.

3

3
4

dengan A > B. Nilai A + 2B adalah ....
a. –5

d. 4

b. –4

e. 5

c. –1
2

http://matematrick.blogspot.com

3. Akar-akar dari 2x – 3x – 9 = 0 adalah x1 dan x2.
2

2

Nilai dari x1 + x2 = ....

1
4

d.

6

6

3
4

e.

 11

2

1
4

a.

11

b.
c.

2

4. Akar – akar persamaan kuadrat 3 x –
da β. Nilai dari α + β

2

- αβ = ....

10
a.
9

1
d.
3

b. 1

e. 0

4
9

13
9

7. Persamaan kuadrat 2x + 3x + 6 = 0 mempunyai akar –

e. -1 dan -7

c.

1
1
adalah ….( UN 2010 )

x1 x 2

adalah x1 dan x2. Nilai

2

3
4

1
4

+ = adalah α

2

8. Akar-akar persamaan kuadrat
dan . Nilai dari
a.

–4

b.

–2

c.

–1

d.

4

e.

5

2





2



x 2  4 x  2  0 adalah 

=….

2

9. Persamaan kuadrat x - 3x – 2 = 0 mempunyai akar-akar x1
2

2

dan x2. Nilai dari x1 x2+ x1.x2 = ....
a.

7
5

d. 21
4

b.

11
4

c.

3

a. -12,5
e. 6.

b. -7,5
c. 12,5
2

Akar – akar persamaan kuadrat x – 3x + 1 = 0adalah

10.

x1dan x2 . Persamaan kuadrat baru yang akar – akarnya 2x1
dan 2x2 adalah ....
2

a.

x + 3x + 3 =0

b.

x - 3x + 3 =0

c.

x + 3x - 3 =0

d.

x + 6x + 4 =0

e.

x - 6x + 4 =0

2

2

2

2

Akar – akar persamaan kuadrat 2x + x + 6 = 0 adalah 
2

11.

dan . Persamaan kuadrat baru yang akar – akarnya


3

dan

 adalah ....

a.

6x + x + 2 =0

b.

6x + x + 3 =0

c.

18x - 3x + 6 =0

d.

18x + 2x - 6 =0

e.

18x + 2x + 6 =0

3
2
2

2

2

2

2

Akar – akar persamaan kuadrat x – 3x + 1 = 0 adalah

12.

x1dan x2 . Persamaan kuadrat baru yang akar – akarnya 3x1
dan 3x2 adalah ....
2

a.

x + 3x + 3 =0

b.

x - 3x + 3 =0

c.

x + 3x - 3 =0

d.

x - 9x + 3 =0

e.

x - 9x + 9 =0

2

2

2

2

2

13.

Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan 3x - x + 9 = 0,

http://matematrick.blogspot.com

maka nilai

a.



53
27

b.



3
27

c.

1
27

d.

3
27

e.

54
27

x1 x2
 = ….( UN 2011 )
x2 x1

2

14. Akar-akar persamaan kuadrat 2x - 13x – 7 = 0 adalah x1 dan
x2. Jika x2 > x1, maka nilai 2x1 + 3x2 = ….( UN 2011 )

d. 20
e. 22