BAB XX. VEKTOR - 20. Vektor

C. Operasi Vektor

BAB XX. VEKTOR
A Definisi Vektor :
Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah.
Vektor PQ mempunyai titik pangkal P dan titik
ujung Q.

1. Penjumlahan dan pengurangan vektor
⎛ a1 ⎞
⎛ b1 ⎞
⎛ a1 ± b1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜
⎟
a ± b = ⎜ a 2 ⎟ ± ⎜ b2 ⎟ = ⎜ a 2 ± b2 ⎟
⎜a ⎟
⎜b ⎟
⎜a ±b ⎟
3 ⎠

⎝ 3⎠
⎝ 3⎠
⎝ 3

Q
untuk penjumlahan :
a

R

P

a ± b

B. Beberapa pengertian vektor :

b
P

1. Vektor posisi adalah suatu vektor yang titik

awalnya di 0.
⎛ x⎞
⎜ ⎟
Jika A(x,y,z) maka OA = a = ⎜ y ⎟ dan
⎜z⎟
⎝ ⎠
|a| =

Q

a
a + b = PQ + QR = PR

2. Perkalian skalar dengan vektor

x2 + y2 + z2

2. Vektor satuan adalah suatu vektor panjangnya satu.
Vektor arah sumbu x, sumbu y dan sumbu z
berturut-turut adalah :

⎛ a1 ⎞ ⎛ ka1 ⎞
⎜ ⎟ ⎜
⎟
k a = k ⎜ a 2 ⎟ = ⎜ ka 2 ⎟
⎜ a ⎟ ⎜ ka ⎟
⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠

3. Besar atau panjang vektor

⎛1⎞
⎛ 0⎞
⎛ 0⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
i = ⎜ 0 ⎟ ; j = ⎜ 1 ⎟ dan k = ⎜ 0 ⎟
⎜ 0⎟
⎜ 0⎟
⎜1⎟

⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠

a. | a | =

a1 + a 2 + a3
2

2

2

b. Jika P ( a1 , a 2 , a3 ) dan Q ( b1 , b2 , b3 ) maka

3. Vektor posisi adalah suatu vektor yang titik
awalnya di 0.
Dua buah vektor dikatakan sama jika kedua vektor
itu mempunyai besar dan arah yang sama.

| PQ | =

(b1 − a1 ) + (b2 − a 2 ) + (b3 − a3 )

4. Perbandingan
m

P

n

A
⎛ x1 ⎞
⎛ x2 ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ y1 ⎟ = ⎜ y 2 ⎟
⎜z ⎟
⎜z ⎟
⎝ 1⎠

⎝ 2⎠

Q

x1 = x 2

⇔

y1 = y 2

p =

z1 = z 2

a

p

n a + mb
m+n

b

a , p dan b adalah vektor-vektor posisi dari titik A, B dan P

www.belajar-matematika.com - 1

20. SOAL-SOAL VEKTOR
UN2004
⎛1⎞
⎜ ⎟
1. Jika vektor a = ⎜ 2 ⎟ ; b =
⎜ 3⎟
⎝ ⎠

⎛5⎞
⎛ 4⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ 4 ⎟ dan c = ⎜ − 1⎟

⎜ −1⎟
⎜1⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠

UMPTN1989
3. Ditentukan titik-titik P(-1,5,2) dan Q(5,-4,17). Jika T
pada ruas garis PQ dan PT:QT = 2 : 1 maka vektor posisi
titik T adalah …
A. (3, -1, 11)
B. (2, -1, 12)

C. (2, 0, 11)
D. (3, 1, 12)

E. (11, -13, 32)

Jawab:

maka vector a + 2 b - 3 c = ….

⎛ 6 ⎞
⎛ 7 ⎞
⎛ −1⎞
⎛ −1⎞
⎛ −6 ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜
⎟
A. ⎜ 11 ⎟ B. ⎜ 13 ⎟ C. ⎜ 12 ⎟ D. ⎜ 13 ⎟ E. ⎜ − 12 ⎟
⎜ − 8⎟
⎜ − 8⎟
⎜ − 2⎟
⎜ − 2⎟
⎜ 8 ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠

⎝ ⎠
⎝
⎠

⎛1⎞
⎜ ⎟
a + 2 b - 3 c = ⎜ 2⎟ + 2
⎜ 3⎟
⎝ ⎠

⎛5⎞
⎜ ⎟
⎜ 4 ⎟ -3
⎜ −1⎟
⎝ ⎠

⎛ 4⎞
⎜ ⎟
⎜ − 1⎟
⎜1⎟

⎝ ⎠

PT:QT = 2 : 1 Æ

1

•
Q

2
PT
=
QT
1

t - p = 2 (t - q )
t - p = 2 t -2 q

2 q - p = 2t - t
t =2 q - p
= 2 (5,-4,17). - (-1,5,2)
= (10, - 8, 34) – (-1,5,2)
= (11, -13, 32 )

⎛1⎞
⎜ ⎟
= ⎜ 2⎟ +
⎜ 3⎟
⎝ ⎠

⎛ 10 ⎞ ⎛ 12 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ 8 ⎟ - ⎜ − 3⎟
⎜ − 2⎟ ⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 1 + 10 − 12 ⎞ ⎛ − 1 ⎞
⎜
⎟ ⎜ ⎟
= ⎜ 2 + 8 − (−3) ⎟ = ⎜ 13 ⎟
⎜ 3 − 2 − 3 ⎟ ⎜ − 2⎟
⎝
⎠ ⎝ ⎠

Jawabannya adalah E
EBTANAS1998
4. Diketahui titik A(3,1.-4), B(3,-4,6) dan C(-1,5,4).
Titik P membagi AB sehingga AP:PB = 3 : 2, maka
vektor yang diwakili oleh CP adalah ….

Jawabannya adalah D
EBTANAS2001
2. Diketahui | a | =

3 , | b | = 1 dan | a - b | = 1.

Panjang vektor a + b = ….
3

•
T

2

PT = 2 QT

Jawab:

A.

•
P

B.

5

C.

7 D. 2 2

⎛ − 4⎞
⎛ − 4⎞
⎛ − 4⎞
⎛ 4 ⎞
⎛ − 4⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
A. ⎜ 3 ⎟ B. ⎜ 3 ⎟ C. ⎜ − 7 ⎟ D. ⎜ − 7 ⎟ E. ⎜ 7 ⎟
⎜ − 6⎟
⎜ 6 ⎟
⎜ 2 ⎟
⎜ − 2⎟
⎜ 2 ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠

E. 3

Jawab:
2(a 2 + b 2 )− | a − b | 2

.| a + b | =

.| a + b | 2 = 2(a 2 +b 2 ) - | a - b | 2
= 2 (( 3 ) 2 + 1 2 ) - 1 2
= 2 (4) – 1 = 7
.| a + b | =

7

Jawabannya adalah C

Jawab:
•
A
3

•
P

AP:PB = 3 : 2 Æ

•
B

AP
3
=
PB
2

2 AP = 3 PB
2 ( p - a ) = 3 (b - p )
2 p - 2 a = 3b - 3 p
3 p + 2 p = 3b + 2a
5p =3 b +2 a
www.matematika-sma.com - 1

3b + 2a
5
⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 15 ⎞
⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
3⎜ − 4 ⎟ + 2⎜ 1 ⎟ ⎜ − 10 ⎟
⎜ 6 ⎟ ⎜ − 4 ⎟ ⎜ 10 ⎟
⎠=
p = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠=⎝
5
5

EBTANAS2000
6. Titik A (3,2,-1), B (1,-2,1) dan C (7, p-1, -5)
segaris untuk nilai p = ........

p =

A. 13 B. 11 C. 5 D. -11 E. -13

⎛ 3 ⎞
⎜ ⎟
⎜ − 2⎟
⎜ 2 ⎟
⎝ ⎠

Jawab:

•
A

⎛ 3 ⎞ ⎛ − 1⎞ ⎛ 4 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
CP = p - c = ⎜ − 2 ⎟ - ⎜ 5 ⎟ = ⎜ − 7 ⎟
⎜ 2 ⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎜ − 2⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1. AB = k.AC
2. AB = k. BC
2. AC = k. AB
3. AC = k. BC
4 BC = k .AB
5. BC = k. AC

6 , ( a - b ). ( a + b )= 0 dan

a . ( a - b ) = 3. Besar sudut antara vector a dan b
adalah ….
A.

π

B.

6

π

C.

4

π
3

D.

π
2

E.

Jawab:
( a - b ). ( a + b )= 0
⇒ a. a - b. b = 0
⇒ 6 - | b |2 = 0

2
π
3

Kita ambil kriteria 1 :
Kriteria 1 :
AB = k.AC
b - a = k (c - a )
⎛ 1 ⎞ ⎛ 3⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ − 2⎟ - ⎜ 2 ⎟ = k
⎜ 1 ⎟ ⎜ −1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ − 2⎞
⎜ ⎟
⎜ − 4⎟ = k
⎜ 2 ⎟
⎝ ⎠

| b |2 = 6
| b| =

•
C

Titik A, B, C segaris maka kriteria yang harus dipenuhi:

Jawabannya adalah D
EBTANAS2000
5. Diketahui | a | =

•
B

6

⎛⎛ 7 ⎞ ⎛ 3 ⎞⎞
⎜⎜
⎟ ⎜ ⎟⎟
⎜ ⎜ p − 1⎟ − ⎜ 2 ⎟ ⎟
⎜ ⎜ − 5 ⎟ ⎜ − 1⎟ ⎟
⎠ ⎝ ⎠⎠
⎝⎝

⎛ 4 ⎞
⎜
⎟
⎜ p − 3⎟
⎜ −4 ⎟
⎝
⎠

-2 = 4.k

a. (a- b ) = 3

k=-

a . a - a . b . Cos α = 3
a . b . Cos α = a . a - 3
Cos α =

a.a − 3

a.b
6−3 1
= `
=
6
2

π
180 0
=
α = 60 =
3
3

1
2

1
3
.p +
2
2
1
3
.p = + 4
2
2
1
11
.p =
Æ p = 11
2
2

-4 = -

Jawabannya adalah B

0

Jawabannya adalah C

www.matematika-sma.com - 2

EBTANAS2001
7. Diketahui segitiga PQR dengan koordinat titik sudut
P(1,5,8), Q(-2,1,3) dan R(1,-6,0), PQ wakil dari u dan
QR wakil dari v , maka u . v adalah…

A. 34

B. 36

C. 38

a. b = 0
⎛ 2⎞
⎜ ⎟
= ⎜ 4⎟ .
⎜1⎟
⎝ ⎠

D. 40 E. 42

jawab :
⎛ − 2⎞ ⎛1⎞ ⎛ − 3⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
PQ = u = q - p = ⎜ 1 ⎟ - ⎜ 5 ⎟ = ⎜ − 4 ⎟
⎜ 3 ⎟ ⎜8⎟ ⎜ − 5 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛1⎞
⎜ ⎟
⎜2⎟
⎜ −1⎟
⎝ ⎠

⎛ − 3⎞
⎜ ⎟
⎜ m⎟ =0
⎜ 2 ⎟
⎝ ⎠

⎛ − 3⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ − 4 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
maka ( b - c ) = ⎜ 1 ⎟ - ⎜ 2 ⎟ = ⎜ − 1 ⎟
⎜ 2 ⎟ ⎜ −1⎟ ⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ − 3⎞ ⎛ 3 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
u . v = ⎜ − 4 ⎟ . ⎜ − 7 ⎟ = -3 . 3 + (-4 . -7) + (-5. -3)
⎜ − 5⎟ ⎜ − 3⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= -9 +28 + 15 = 45 – 9 = 36

Jawabannya adalah B
UAN2006
8. Diketahui vektor-vektor a = 2 i + 4 j + k ,
b = -3 i + m j + 2 k dan c = i + 2 j - k .

Vektor a tegak lurus b , maka ( b - c ) adalah…
C. -4 i - 4 j + 3 k

⎛ − 3⎞
⎜ ⎟
⎜ m ⎟ ; c=
⎜ 2 ⎟
⎝ ⎠

= 2. -3 + 4m + 2 = 0
= -4 + 4m = 0
4m = 4
m=1

⎛ 1 ⎞ ⎛ − 2⎞ ⎛ 3 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
QR = v = r - q = ⎜ − 6 ⎟ - ⎜ 1 ⎟ = ⎜ − 7 ⎟
⎜ 0 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ − 3⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

A. -4 i + j + 3 k

⎛ 2⎞
⎜ ⎟
a = ⎜ 4⎟ ; b =
⎜1⎟
⎝ ⎠

Æ -4 i - j + 3 k

Jawabannya adalah B
UAN2007
9. Diketahui segitiga ABC, dengan A (0, 0,0 ), B(2,2,0)
dan C (0,2,2). Proyeksi ortogonal AB pada AC
adalah….
A. j + k

C. . - i + k

B. i + k

D. i + j -

E. -4 i + 3 k

E. 1
k
2

Jawab :
B. -4 i - j + 3 k

D. -4 i + j + 3 k
proyeksi orthogonal a pada b :
⎛ a.b ⎞
⎟.b
|c| = ⎜
⎜ | b |2 ⎟
⎝
⎠

Jawab:
. a . b = | a | | b | cos α
karena vektor a tegak lurus b maka α = 90 0
sehingga cos α = cos 90 0 = 0
maka . a . b = | a | | b | cos α
a . b = |a | |b | . 0
a. b = 0

⎛ 2⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 2⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
AB = b - a = ⎜ 2 ⎟ - ⎜ 0 ⎟ = ⎜ 2 ⎟
⎜ 0⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 0⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛0⎞
⎜ ⎟
AC = c - a = ⎜ 2 ⎟
⎜ 2⎟
⎝ ⎠

www.matematika-sma.com - 3

1
i - j
2

⎛ a.b
|c| = ⎜
⎜ | b |2
⎝

=

⎞
⎟.b
⎟
⎠

(p + 2) 2 = ( p 2 + 16 ) 2
p 2 +4p + 4 = p 2 + 16
p 2 - p 2 + 4p = 16 – 4
4p = 12
p=3

⎛ 2 ⎞⎛ 0 ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜ 2 ⎟⎜ 2 ⎟
⎜ 0 ⎟⎜ 2 ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠

( 2 +2 )
2

2

⎛0⎞
⎛0⎞
⎛0⎞
⎜ ⎟ 4⎜ ⎟ 1⎜ ⎟
. ⎜ 2⎟ = ⎜ 2⎟ = ⎜ 2⎟ =
⎜ 2⎟ 8 ⎜ 2⎟ 2 ⎜ 2⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠

2

⎛ 0⎞
⎜ ⎟
⎜1⎟
⎜1⎟
⎝ ⎠

jawabannya adalah C

⎛ 0⎞
⎜ ⎟
⎜1⎟ = 0 i + j + k = j + k
⎜1⎟
⎝ ⎠

Jawabannya adalah A
EBTANAS1999
⎛ − 2⎞
⎜ ⎟
10. Diketahui panjang proyeksi vektor a = ⎜ 8 ⎟
⎜ 4 ⎟
⎝ ⎠
⎛0⎞
⎜ ⎟
pada vektor b = ⎜ p ⎟ adalah 8. Nilai p=…
⎜4⎟
⎝ ⎠

A. -4

B. -3

C. 3

D. 4

E. 6

Jawab:
Panjang proyeksi vector a pada vector b :
|c| =

a.b

|b|

Diketahui :
⎛ − 2 ⎞⎛ 0 ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜ 8 ⎟⎜ p ⎟
⎜ 4 ⎟⎜ 4 ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
p 2 + 16

a.b

|b|

=8

=8 ⇒

8p + 16 = 8

p+2=

8 p + 16
p 2 + 16

=8

p 2 + 16

p 2 + 16

www.matematika-sma.com - 4

2. Proyeksi vektor ortogonal
Proyeksi vektor ortogonal a pada b adalah :

D. Perkalian Skalar dua Vektor
. a . b = | a | | b | cos α

⎛ a.b ⎞
⎟.b
|c| = ⎜
⎜ | b |2 ⎟
⎠
⎝
Proyeksi vektor juga disebut vector poyeksi

a

α

G. Rumus-rumus tambahan :

b
α menyatakan sudut yang dibentuk oleh

2(a 2 + b 2 )− | a − b | 2

1. | a + b | =

vektor a dan b

bukti :
⎛ a1 ⎞
⎜ ⎟
a = ⎜ a 2 ⎟ dan
⎜a ⎟
⎝ 3⎠

Jika

⎛ b1 ⎞
⎜ ⎟
b = ⎜ b2 ⎟ maka
⎜b ⎟
⎝ 3⎠

| a + b | 2 = a 2 + b 2 + 2 | a || b | cos α

⇔ | a + b |=

a 2 + b 2 + 2 | a || b | cos α ….(1)

| a − b | 2 = a 2 + b 2 − 2 | a || b | cos α

a . b = a1b1 + a 2 b2 + a3 b3

⇔ 2 | a || b | cos α = a 2 + b 2 − | a − b | 2 …(2)
E. Besar sudut antara dua Vektor

Substitusi (2) ke (1)
cos α =

=

a.b
| a + b |=

| a |.| b |

a1b1 + a 2 b2 + a3b3
a1 + a 2 + a3 . b1 + b2 + b3
2

2

2

2

2

2

; 0 ≤ α ≤ 180

F. Proyeksi Ortogonal suatu vektor pada vektor :
Salah satu kegunaan dari perkalian scalar adalah
untuk menentukan proyeksi ortogonal dari
suatu vektor pada vector lain

2(a 2 + b 2 )− | a − b | 2

=

0

2(a 2 + b 2 )− | a + b | 2

2. | a - b | =
bukti :

| a − b | 2 = a 2 + b 2 − 2 | a || b | cos α

⇔ | a − b |=

1. Proyeksi skalar ortogonal
A

a 2 + b 2 − 2 | a || b | cos α ….(1)

| a + b | 2 = a 2 + b 2 + 2 | a || b | cos α

a

0

a 2 + b 2 + a 2 + b 2 − | a − b |2

⇔ − 2 | a || b | cos α = a 2 + b 2 − | a + b | 2 …(2)

θ
c

| OC | = | c | =

b

Substitusi (2) ke (1)

C
a.b
|b|

B
| a − b |=

Æ Proyeksi skalar ortogonal a

=

a 2 + b 2 + a 2 + b 2 − | a + b |2
2(a 2 + b 2 )− | a + b | 2

pada b
Proyeksi skalar juga disebut panjang proyeksi
www.belajar-matematika.com - 2