Menerapkan Konsep Kesalahan Pengukuran

  

Menerapkan Konsep Kesalahan

Pengukuran

APROKSIMASI Standart Kompetensi :

  Memecahkan masalah berkaitan dengan konsep Aproksimasi kesalahan

Kompetensi Dasar :

  Menerapkan konsep kesalahan pengukuran

Indikator :

  1. Membedakan pengertian membilang dan mengukur

  2. Menghitung kesalahan (salah mutlak dan salah relatif), prosentase kesalahan, toleransi hasil suatu pengukuran

Ruang Lingkup

  Pengertian Aproksimasi Pembulatan Macam-macam Kesalahan Toleransi Operasi Hasil Pengukuran Pecahan Berantai

  Pengertian Aproksimasi Bagaimana perbedaan bilangan dari kalimat. misalnya: Panjangnya uang kertas seratus ribuan adalah 15 cm.

Rombongan yang datang kemarin sebanyak 15 orang

  17

  16

  15

  14

  13

  12

  11

  10

9 7 8

  6

  5

  4

  3

  2

  1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

  17

Aproksimasi

  Menyatakan suatu bilangan atau ukuran yang diperoleh dari kegiatan yang berdasar hasil pendekatan atau pembulatan

Mengukur :

  Memperkirakan Hasilnya tidak pasti ( pendekatan)

  Membilang :

  Hasilnya eksak ( pasti )

Pembulatan

  Semua hasil pengukuran menyatakan nilai “pendekatan “ Hasil-hasil pengukuran panjang, massa, waktu, luas dan sebagainya harus diberikan menurut ketelitian yang diperlukan.

Pembulatan dilakukan dengan aturan:

  Jika angka berikutnya 5 atau lebih dari 5 maka nilai angka di depannya ditambah satu Jika angka berikutnya kurang dari 5 maka angka tersebut dihilangkan dan angka di depannya tetap.

Ada tiga macam cara pembulatan, yaitu :

  a. pembulatan ke satuan ukuran terdekat

  b. pembulatan ke banyaknya angka desimal

  c. pembulatan ke banyaknya angka-angka signifikan

Pembulatan ke Satuan Ukuran Terdekat

  Dalam hal pembulatan ke ukuran satuan yang terdekat, ditetapkan lebih dahulu satuan terkecil yang dikehendaki oleh yang mengukur Contoh : 165,5 cm = 166 cm , dibulatkan ke cm terdekat

  2, 43 kg = 2 kg , dibulatkan ke kg terdekat 14,16 detik = 14,2 detik, dibulatkan ke persepuluh detik terdekat 14,149 detik = 14,15 detik, dibulatkan ke ratusan detik terdekat 14,149 detik = 14,1 detik, dibulatkan ke persepuluh detik terdekat

Pembulatan ke Banyaknya Angka Desimal

  Untuk mempermudah pekerjaan, kadang-kadang perlu

diadakan pembulatan suatu bilangan desimal sampai ke sekian

banyak tempat desimal sesuai dengan maksud yang dikehendaki

  5,47035 = 5,4704 dibulatkan sampai empat tempat desimal = 5,470 dibulatkan sampai tiga tempat desimal

= 5,47 dibulatkan sampai dua tempat desimal

= 5,5 dibulatkan sampai satu tempat desimal

  Bagaimana hasilnya apabila 5,44735 dibulatkan sampai satu tempat desimal 5,44735 = 5,4 dibulatkan sampai satu tempat desimal

  Pembulatan ke Banyaknya Angka-angka yang Signifikan Pembulatan dengan cara menetapkan banyaknya angka yang signifikan.

  

Significant berarti “ bermakna penting

  “  64,5 cm mempunyai 3 angka signifikan

  Jika diketahui suatu bilangan, berikut adalah aturan-aturan untuk menentukan angka-angka mana yang signifikan : 1). Angka yang tidak nol selalu signifikan, mis: 472,513  6 angka signifikan 2). Angka “0” signifikan jika letaknya di antara angka-angka yang signifikan, mis: 807003  6 angka signifikan 3) Angka “ 0 “ signifikan jika muncul setelah tanda tempat desimal dan angka- angka lain yang signifikan, mis: 20,080  5 angka signifikan 4). Angka “ 0 “ itu tidak pernah signifikan jika mendahului angka-angka yang bukan nol meskipun muncul setelah tanda tempat desimal, mis: 043,00 m  4 angka signifikan; 0,0720 km 3 angka signifikan

  Angka “ 0 “ signifikan jika ditandai “strip “ atau “ bar

  5)

Macam-macam Kesalahan

  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

  Panjangnya lebih dekat ke 15 cm dari pada 14 cm atau 16 cm Panjang sebenarnya terletak antara 14,5 cm dan 15,5 cm.

  Hal ini kesalahan yang masih diterima dari pengukuran ini adalah 0,5 cm atau salah mutlaknya ialah 0,5 cm.

Macam-macam Kesalahan

  

Salah Mutlak = ½ x satuan ukuran terkecil

   Batas Atas =

Hasil Pengukuran + Salah Mutlak

   Batas Bawah =

Hasil Pengukuran – Salah Mutlak salah mutlak

   Salah Relatif = hasil pengukuran

   Persentase Kesalahan = Salah relatif x 100 %

Toleransi

  

Toleransi dalam pengukuran ialah selisih antara pengukuran

  terbesar yang dapat diterima dan pengukuran yang terkecil yang dapat diterima.

Contoh 1 :

  Diketahui hasil pengukuran tinggi tiang bendera 3,5 meter, carilah satuan pengukuran terkecil, salah mutlak, salah relatif, prosentase kesalahan dan toleransi

  Jawab : Hasil pengukuran 3,5m

  Satuan pengukuran terkecil : 0,1m Salah mutlak : 0,5 x 0,1m = 0,05m

  Salah relatif : 0,05 / 3,5 = 0,014 Prosentase kesalahan : 0,014 x 100% = 1,4%

  Batas atas pengukurn : (3,5 + 0,05)m = 3,55m Batas bawah pengukuran : (3,5 – 0,05)m = 3,45m

  Toleransi pengukuran : (3,55 – 3,45)m = 0,10m

Operasi Hasil Pengukuran : Jumlah hasil Pengukuran

  Jika dua pengukuran atau lebih dijumlahkan , maka salah mutlaknya adalah jumlah salah mutlak dari pengukuran-pengukuran asal

Jumlah maksimum = b. a pengukuran I + b. a pengukuran II

Jumlah minimum = b. b pengukuran I + b. b pengukuran II

Selisih hasil Pengukuran

  

Jika dua pengukuran atau lebih dikurangkan , maka salah mutlak selisihnya

adalah jumlah salah mutlak dari pengukuran asal

Selisih maksimum = b. a pengukuran I - b. b pengukuran II

Selisih minimum = b. b pengukuran I - b. a pengukuran II

  Hasil kali dua Pengukuran Hasil kali maksimum = b. a pengukuran I x b. a pengukuran II Hasil kali minimum = b. b pengukuran I x b. b pengukuran II

Contoh 2 :

  Suatu hasil pengukuran dinyatakan dengan ( 15 ± 0,5 ) gram. Berikan pengukuran maksimum dan minimum yang dapat diterima, kemudian carilah toleransinya ? Jawab : Toleransi yang diperkenankan adalah ( 15 ± 0,5 ) gram, berarti:

  Pengukuran maksimum yang dapat diterima:15 + 0,5 = 15,5 gram Pengukuran minimum yang dapat diterima: 15 – 0,5 = 14,5 gram Sehingga toleransinya adalah 1 gram

Contoh soal

  Diketahui dua hasil pengukuran yaitu : 12cm dan 19cm Tentukan :

  a. Jumlah maksimum dan minimum Selisih maksimum dan minimum Hasil kali maksimum dan minimum Jumlah salah mutlak dan selisih salah mutlak dari pengukuran- pengukuran diatas

Jawab :

  Hasil pengukuran I = 12cm Hasil pengukuran II = 19cm Salah mutlak pengukuran I = 0,5cm Salah mutlak pengukuran II = 0,5cm Batas atas pengukuran I : (12 + 0,5)cm = 12,5cm Batas bawah pengukuran I : (12 – 0,5)cm = 11,5cm Batas atas pengukuran II : (19 + 0,5)cm = 19,5cm Batas bawah pengukuran II : (19 – 0,5)cm = 18,5cm

  Jumlah Minimum : (11,5 + 18,5)cm = 30cm

  Selisih Minimum : (18,5 + 12,5)cm = 6cm

Jawab :

  Hasil pengukuran I = 12cm Hasil pengukuran II = 19cm Salah mutlak pengukuran I = 0,5cm Salah mutlak pengukuran II = 0,5cm Batas atas pengukuran I : (12 + 0,5)cm = 12,5cm Batas bawah pengukuran I : (12 – 0,5)cm = 11,5cm Batas atas pengukuran II : (19 + 0,5)cm = 19,5cm Batas bawah pengukuran II : (19 – 0,5)cm = 18,5cm

  2

  ₂ Hasil kali Minimum : (11,5 x 18,5)cm = 212,75cm

  Selisih salah mutlak : 0,5cm + 0,5cm = 1 cm

APROKSIMASI

  

Kompetensi Dasar

  Menerapkan konsep operasi hasil pengukuran 

Indikator

  1. Menghitung jumlah dan selisih hasil pengukuran

  2. Menghitung hasil kali maksimum dan minimum hasil pengukuran

Aproksimasi Pecahan

  Pecahan dapat didekati nilainya dengan pecahan lain dengan teknik pecahan berantai ...

  1

  1

  3

  2

  1  

    a a a x

  Misal : dapat ditulis dengan pecahan berantai sbb: q p x 

  Untuk pendekatan ke-n n n

n

q p x  dengan p n

  =a n p n-1

• p
• q

  n-2 dan q n

  =a n q n-1

  n-2

  Untuk Menentukan Pendekatan

Dapat Dengan Tabel Hasil bagi pecahan berantai a

  1 a

  2 a

  3 …... a n-1 a n 0 1 1 0 a

  1 a _2. a ₁

  p n q n

• +1

Contoh: 1

  Tentukan pecahan yang mendekati:

  99 224

Kita Buat Pembagian Bersusun

  99 / 224 \ 2 = a

  1

  198

  Dapat ditulis:

  26 / 99 \ 3 = a

  2 224

  1

  78

  2  

  21 / 26 \ 1 = a

  3

  1

  99

  3 

  21

  1

  5 / 21 \ 4 = a

  

4

1 

  1

  20

  4 

  1 / 5 \ 5 = a

  5

  5

  5

  7

  9 43 224

  2 Jadi Pecahan yang mendekati adalah:

  3

  4

  19

  99

  Untuk Menentukan Pendekatan Dapat

Dengan Tabel Hasil bagi pecahan berantai

  3

  2 +

  99 224

  43

  19

  9

  4

  2

  7

  3

  2 x +

  99 x

  1

  2

  4

  3

  1

  9 43 224

  7

  2

  5 0 1 1 0

  4

  19

Contoh: 2

  Tentukan pecahan yang mendekati: 213

  79 79 / 213 \ 2 158 55 / 79 \ 1

  55 24 / 55 \ 2 48 7 / 24 \ 3

  21 3 / 7 \ 2 6 1 / 3\ 3

  

3

Dengan Tabel Hasil bagi pecahan berantai

  2

  1

  2

  3

  2

  3 x 1 0

  1

  1

  1

  3

  10

  23

79 +

x

  2

  2 0 1

  2

  3

  8

  27 62 213 +

  10

  23

  79

  3 Jadi Pecahan yang mendekati adalah :

  1

  1

  2

  3

  8

  27 62 213

Contoh:

  Pada mesin bubut yang mempunyai kisar transportir 5 mm akan dibuat ulir dengan kisar 2,06 mm. Persediaan roda gigi pengganti mempunyai gigi 20-120 dan merupakan kelipatan dari 5. Tentukan perbandingan roda gigi penggantinya sehingga menghasilkan ulir yang paling mendekati ukuran sebenarnya dan berapa persentase kesalahannya!

Penyelesaian :

  Jika roda gigi yang menggerakkan adalah DR dan roda gigi yang digerakkan DN, maka:

  250 103 5 06 ,

  2   mm mm

  DN DR

  Untuk mencari harga yang mendekati harga asal kita gunakan pecahan berantai sebagai berikut: 103 / 250 \ 2

   206

  44 / 103 \ 2

  88 15 / 44 \ 2 30 14 / 15 \ 1

  14 1 / 14 \ 14

  14

  Untuk Menentukan Pendekatan Dapat

Dengan Tabel Hasil bagi pecahan berantai

  2

  1 + Jadi Pecahan yang mendekati adalah:

  1

  2

  7 250 103

  17

  5

  12

  2

  5

  1 x

  2

  2

  5

  2

  5 7 103

  2

  1

  14 1 0 0 1

  1

  12 17 250 x +