2 Graf Ramsey (P3 ,P4 )-minimal

  KOMBINASI DUA GRAF LINTASAN P DAN P

  3

  4 RIRI SRI WAHYUNI Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas Padang,

  Kampus UNAND Limau Manis Padang 25163, Indonesia Ririsriwahyuni@rocketmail.com Abstrak.

  Diberikan dua graf G dan H. Notasi F → (G, H) berarti bahwa pada sebarang pewarnaan merah-biru terhadap sisi-sisi graf F , terdapat subgraf merah yang memuat graf G atau subgraf biru yang memuat graf H. Graf F disebut sebagai graf Ramsey (G, H)-minimal jika F → (G, H) dan F − e 9 (G, H) untuk sebarang sisi e di F . Se- mua graf Ramsey (G, H)-minimal dikelompokkan dalam kelas yang di- namakan kelas Ramsey (G, H)-minimal, dinotasikan dengan R(G, H). Dalam makalah ini akan dikaji kembali tentang graf yang tidak memuat

  3

  4 pohon dan daun yang menjadi anggota R(P , P ).

  Kata Kunci : Graf Ramsey minimal, lintasan.

1 Pendahuluan

  Graf yang dikaji pada makalah ini adalah graf sederhana, yaitu graf yang tidak memuat sisi ganda dan loop. Misal diberikan graf G dan H sebarang. Notasi F → (G, H) berarti bahwa pada sebarang pewarnaan merah-biru terhadap sisi- sisi graf F , terdapat subgraf merah yang memuat graf G atau subgraf biru yang memuat graf H. Graf F disebut sebagai graf Ramsey (G, H)-minimal jika F → (G, H) dan F − e 6→ (G, H) untuk sebarang sisi e di F . Semua graf Ram- sey (G, H)-minimal dikelompokkan dalam kelas yang dinamakan kelas Ramsey (G, H)-minimal, dinotasikan dengan R(G, H). Suatu pewarnaan-(G, H) pada graf F didefinisikan sebagai pewarnaan merah-biru terhadap sisi-sisi graf F , sedemikian sehingga tidak terdapat graf G merah dan juga H biru.

  Karena tingkat kesulitan yang cukup tinggi dalam menentukan anggota R(G, H), maka hasil yang diperoleh masih sangat sedikit, bahkan untuk graf G dan H yang berukuran kecil atau yang berstruktur sederhana sekalipun. Beberapa hasil ter- akhir terkait dengan penentuan karakteristik dari semua graf yang tergolong pada R(G, H), dimana G ∼ = P 3 adalah sebagai berikut.

  Dalam [4] Burr dkk. membuktikan bahwa R(P

  3 , H) terbatas jika H adalah

  graf terhubung. Borowiecki dkk. [1] memberikan beberapa karakterisasi dari semua graf di R(P , K ) untuk m ≥ 3. Selanjutnya, Borowiecki dkk. [2]

  3 1 ,m

  mengkarakterisasikan semua graf yang menjadi anggota R(P , K ). Faudree dan

  3

  3 T

  Sheehan [3] mendefinisikan kelas R (G, H), yang memuat semua pohon T den- gan syarat T → (G, H) untuk pohon G dan H sebarang; tapi T −e 6→ (G, H) un- tuk sebarang sisi e di T . Mereka memberikan beberapa karakterisasi graf pohon

  T

  T yang termuat pada R (K

  1 , P ) untuk k ≥ 2 dan n ≥ 4. Selanjutnya mereka ,k n

  T T

  

merupakan kajian ulang dari rujukan [5], yang membahas tentang graf tanpa

pohon dan daun yang menjadi anggota R(P , P ).

  3

  4

  3

  4

  2 Graf Ramsey (P , P )-minimal Kelas R(P

  3 , P 4 ) didefinisikan sebagai kelas Ramsey minimal untuk kombinasi T

  (P

  3 , P 4 ). Sementara R (P 3 , P 4 ) didefinisikan sebagai kelas Ramsey (P 3 , P 4 )-

  minimal yang memuat semua pohon yang termasuk dalam R(P

  3 , P 4 ). Selan- ∗

  jutnya R (P

  3 , P 4 ) didefinisikan sebagai kelas Ramsey (P 3 , P 4 )-minimal yang ∗

  tidak memuat pohon. Kemudian R (P

  3 , P 4 ) didefinisikan sebagai kelas Ramsey

  1 ∗

  (P

  3 , P 4 )-minimal yang tidak memuat pohon dan daun. Sedangkan R (P 3 , P 4 )

  2

  didefinisikan sebagai kelas Ramsey (P

  3 , P 4 )-minimal yang tidak memuat pohon tetapi memuat daun.

  ∗

  Pada bagian ini ditentukan anggota dari R (P

  3 , P 4 ), yaitu kelas Ramsey

  1

  minimal untuk pasangan (P

  3 , P 4 ) yang tidak memuat pohon dan daun. Jelas ∗

  

bahwa F ∈ R (P , P ) harus memuat paling sedikit satu siklus. Pada setiap

  3

  4

  1

  

pewarnaan merah-biru terhadap sisi-sisi graf F , didefinisikan E sebagai

  merah

  

himpunan dari semua sisi merah di F dan E sebagai himpunan dari semua

  biru

  

sisi biru di graf tersebut. Dapat dilihat bahwa graf kC untuk k ≥ 1 dan n ≥

  n

  

4 dapat diwarnai dengan merah dan biru, sedemikian sehingga graf tersebut

memiliki pewarnaan-(P , P ). Akan dicari graf terhubung terkecil yang memuat

  3

  4

  

setidaknya dua siklus tanpa daun. Pada subbab berikut akan dikaji dua kelas

  ∗

  graf yang memuat graf anggota R (P

  3 , P 4 ).

  1

  1

  2

  1

  2

  3 Kelas M(n , n ) dengan n , n ≥

  4 Misal C dan C merupakan dua siklus dengan panjang n

  1 ≥ 4 dan n 2 ≥ 4. n

  1 n

2 Misal x adalah titik sebarang di C dan y titik sebarang di C . Graf M (n

  1 n

  2

dibentuk dengan mengidentifikasi titik x dan y menjadi titik w. Notasikan kelas

dari semua M (n

  1 , n 2 ) n

  1 , n 2 ) sebagai M(n 1 , n 2 ).

  Berikut adalah himpunan titik dan himpunan sisi graf M (n

  1 , n 2 ) untuk

  n

  1 , n 2 ≥ 4.

  

V (M (n , n )) = {w, u , u , · · · , u , v , v , · · · , v },

  1

  2

  1 2 n −1

  1 2 n −1

  1

  2 E(M (n , n )) = E ∪ E ∪ E , di mana

  1

  2

  1

  2

  3 E 1 = {wu 1 , wu , wv 1 , wv }, n −1 n −1

  

1

  2 E

  2 = {u u |i = 1, · · · , n 1 − 2}, i i+1

  E

  3 = {v v |j = 1, · · · , n 2 − 2}. j j+1

  Definisi berikut digunakan untuk membuktikan kembali teorema yang men- jadi hasil utama kajian makalah ini. Definisi 1. Misal C := wx

  1 x 2 · · · x w adalah siklus dengan panjang t ≥ t t−1

4. Jika t bilangan genap, maka didefinisikan suatu E-pewarnaan sebagai 2-

  pewarnaan dari graf siklus sedemikian sehingga C

  t

  

E merah = {x i x i+1 |i = 1, 3, · · · , t/2 − 2, t/2 + 1, · · · , t − 2}

, dan semua sisi yang tersisa berada di E . Jika t bilangan ganjil, maka suatu

  biru

  O-pewarnaan adalah 2-pewarnaan sedemikian sehingga

  , dan semua sisi yang tersisa berada di E .

  Teorema 1. Misal n

  1 , n 2 adalah bilangan asli dengan n 1 , n 2 ≥ 4. Jika M (n 1 , n 2 ) ∗

  menjadi anggota R (P

  3 , P 4 ) maka haruslah n 1 , n 2 = 4.

1 Bukti.

  Misalkan n

  1 = n 2 = 4. Pertama-tama, ditunjukkan M (4, 4) → (P 3 , P 4 ).

  Asumsikan bahwa tidak ada P

  3 merah di M (4, 4). Maka terdapat maksimal dua

  sisi merah yang saling bebas dalam graf tersebut. Kemudian semua sisi tersisa diwarnai biru. Jelas bahwa himpunan sisi-sisi biru ini akan memuat P

  4 biru.

  Sehingga M (4, 4) → (P

  3 , P

  4 3 , P 4 )

  ). Selanjutnya, ditunjukkan M (4, 4) − e 9 (P untuk setiap e ∈ E(M (4, 4)). Misal e ∈ E

  1 . Tanpa mengurangi perumuman,

  misalkan e = wu

  1 . Maka sisi wv 1 , v 2 v 3 dan u 2 u 3 diwarnai dengan merah dan sisi

  yang tersisa dengan biru, sedemikian sehingga tidak ada P

  3 merah dan P 4 biru

  pada pewarnaan tersebut. Selanjutnya, misalkan e ∈ E

  2 atau e ∈ E 3 . Tanpa

  mengurangi perumuman, misalkan e = u

  1 u 2 . Maka sisi wv 3 , v 1 v 2 dan u 2 u

  3

  diwarnai dengan merah dan sisi yang tersisa dengan biru, sedemikian sehingga tidak ada P

  3 merah dan P 4 biru dalam graf tersebut. Maka diperoleh M (4, 4) ∈ ∗ R (P , P ).

  3

  4

1 Selanjutnya tanpa mengurangi perumuman, misalkan n = 4 dan n 6= 4.

  1

  2 Warnai sebarang dua sisi yang saling bebas di C dengan merah dan sisi yang

  4

  tersisa diwarnai dengan biru. Kemudian diterapkan pewarnaan yang sesuai (E- atau O-pewarnaan) untuk C , sedemikian sehingga tidak ada P merah atau

  n

  3

  2 P biru pada graf tersebut. Maka graf-graf di M(4, n ) dengan n 6= 4 bukan

  4

  2

  2 ∗

  anggota dari R (P

  3 , P 4 ).

  1 Kemudian tanpa mengurangi perumuman, misalkan n 1 6= 4 dan n 2 6= 4.

  Diterapkan pewarnaan yang sesuai (E- atau O-pewarnaan) untuk C dan C ,

  n n

  1

  2 sedemikian sehingga tidak ada P

  3 merah atau P 4 biru pada graf tersebut. Maka ∗

  graf-graf di M(n

  1 , n 2 ) dengan n 1 , n 2 6= 4 bukan anggota dari R (P 3 , P 4 ).

  1

4 Kelas Θ(k, l, m) dengan m ≥ l ≥ k ≥ 1

  Didefinisikan graf theta θ(k, l, m) dengan m ≥ l ≥ k ≥ 1 sebagai gabungan dari tiga lintasan dengan panjang k, l dan m yang memiliki dua titik akhir yang sama, yaitu x dan y. Notasikan kelas dari semua θ(k, l, m) sebagai Θ(k, l, m) dan lintasan di θ(k, l, m) sebagai P k+1 , P l+1 dan P m+1 untuk m ≥ l ≥ k ≥ 1.

  Didefinisikan titik-titik dan sisi-sisi dari θ(k, l, m) sebagai berikut.

V (θ(k, l, m)) = {x, y} ∪ {u , u , · · · , u } ∪ {v , v , · · · , v } ∪ {w , w , · · · , w }

  1 2 k−1

  1 2 l−1

  1 2 m−1

  

E(θ(k, l, m)) = {xu , xv , xw , yu , yv , yw } ∪ {u u | i = 1, 2, · · · , k − 2}

  1

  1 1 k−1 l−1 m−1 i i+1 ∪{v v | j = 1, 2, · · · , l − 2} ∪ {w w | i = 1, 2, · · · , m − 2}. j j+1 t t+1

  

Berikut adalah definisi dan lema yang akan digunakan dalam pembuktian

teorema utama. Definisi 2. Misal P := xz

  1 z 2 · · · z y adalah lintasan dengan panjang t ≥ 1. t+1 t−1

  Maka didefinisikan beberapa pewarnaan dari sebagai berikut. Untuk P t + 1

  t+1

  bilangan genap, didefinisikan

  1 pewarnaan:

• - – E

  E merah = {xz

  1 , z 2 z 3 , · · · , z z , z z , · · · , z t−3 z t−2 , z t−1 y}. t/2−1 t/2 t/2+2 t/2+3

• – E pewarnaan: - E = {xz

  1 , z 2 z 3 , · · · , z z , z z , · · · , z z , z z }. merah t/2−1 t/2 t/2+1 t/2+2 t−4 t−3 t−2 t−1

  3 pewarnaan:

• - – E

  E merah = {z

  1 z 2 , z 3 z 4 , · · · , z z , z z , · · · , z t−4 z t−3 , z t−2 z t−1 }. t/2 t/2+1 t/2+3 t/2+4

  Untuk t + 1 bilangan ganjil, didefinisikan

• – O -

  1 pewarnaan:

  E merah = {xz

  1 , z 2 z 3 , · · · , z z , z z , · · · , z t−3 z t−2 , z t−1 y}.

  ⌈t/2⌉−1 ⌈t/2⌉ ⌈t/2⌉+1 ⌈t/2⌉+2

• - – O

  2 pewarnaan: E = {xz , z z , · · · , z z , z z , · · · , z z , z z }. merah

  1

  2 3 ⌈t/2⌉−1 ⌈t/2⌉ ⌈t/2⌉+2 ⌈t/2⌉+3 t−4 t−3 t−2 t−1

• - 3 pewarnaan:
• – O

  E = {z

  1 z 2 , z 3 z 4 , · · · , z z , z z , · · · , z z , z z }. merah ⌈t/2⌉ ⌈t/2⌉+1 ⌈t/2⌉+2 ⌈t/2⌉+3 t−4 t−3 t−2 t−1 Pada setiap kasus, semua sisi yang tersisa berada di E . biru

  Lema 1. Misal k = 1, l ≥ 2 dan m ≥ 2. Maka satu-satunya graf di Θ(1, l, m),

  ∗

  l ≥ 2, m ≥ 2 yang menjadi anggota R (P

  3 , P 4 ) adalah θ(1, 2, 2).

1 Bukti. Misalkan k = 1, l = 2 dan m = 2. Pertama-tama, ditunjukkan θ(1, 2, 2) →

  (P

  3 , P 4 ). Asumsikan tidak ada P 3 merah di θ(1, 2, 2). Maka terdapat paling

  banyak dua sisi merah yang saling bebas dalam graf tersebut. Kemudian sisi-sisi yang tersisa diwarnai biru. Maka diperoleh bahwa terdapat P

  4 biru pada pe-

  warnaan sebarang tersebut. Selanjutnya, ditunjukkan θ(1, 2, 2) − e 6→ (P

  3 , P 4 )

  untuk setiap e ∈ E(θ(1, 2, 2)). Tanpa mengurangi perumuman, misalkan e = v 1 y. Maka sisi v

  1 x dan w 1 y diwarnai dengan merah dan sisi yang tersisa dengan biru,

  sedemikian sehingga tidak ada P

  3 merah dan P 4 biru dalam graf tersebut. Maka ∗

  θ(1, 2, 2) ∈ R (P

  3 , P 4 ).

1 Misalkan k = 1, l = 2 dan m ≥ 3, maka dapat diatur pewarnaan sebagai

  berikut. Asumsikan tidak ada P

  3 merah pada graf tersebut, maka sisi di P k+1

  dan P diwarnai dengan biru. Kemudian diterapkan pewarnaan E

  1 pada P l+1 m+1

  untuk m bilangan genap atau pewarnaan O

  1 pada P m+1 untuk m bilangan ganjil,

  sedemikian sehingga tidak ada P

  3 merah atau P 4 biru dalam graf tersebut. Maka ∗

  graf-graf di Θ(1, 2, m) dengan m ≥ 3 bukan anggota dari R (P

  3 , P 4 ).

  1 Selanjutnya, misalkan k = 1, l ≥ 3, l 6= 4 dan m ≥ 3, m 6= 4, maka da-

  pat diatur pewarnaan sebagai berikut. Asumsikan sisi di P k+1 diwarnai dengan merah. Kemudian diterapkan pewarnaan E

  3 atau O 3 yang sesuai pada P l+1 dan

  P dengan mengasumsikan l dan m bilangan ganjil atau genap, sedemikian

  m+1

  sehingga tidak ada P merah atau P biru dalam graf tersebut. Maka graf-graf

  3

  4 ∗ di Θ(1, l, m) dengan l ≥ 3, l 6= 4, m ≥ 3, m 6= 4 bukan anggota dari R (P , P ).

  3

  4

  1 Perhatikan bahwa jika paling sedikit salah satu dari l atau m sama dengan

  4, maka semua graf dalam Θ(1, l, m) dengan sifat ini bukanlah graf minimal

  ∗

  untuk pasangan (P , P ), karena memuat salah satu graf di R (P , P ) sebagai

  3

  4

  2

  3

  4 subgrafnya [5].

  Lema 2. Misal k = 2, l ≥ 2 dan m ≥ 2, maka graf di Θ(2, l, m), l ≥ 2, m ≥ 2

  ∗

  yang menjadi anggota dari R (P

  3 , P 4 ) adalah θ(2, 2, 2), θ(2, 2, 4), dan θ(2, 4, 4).

  

Bukti. Misalkan k = 2, l = 2 dan m = 2. Pertama-tama, ditunjukkan θ(2, 2, 2) →

(P , P ). Asumsikan tidak ada P merah di θ(2, 2, 2). Maka terdapat paling

  3

  4

  3

  

banyak dua sisi merah yang saling bebas sebarang dalam graf tersebut. Kemu-

dian sisi yang tersisa diwarnai dengan biru, sedemikian sehingga tidak memuat

P

  3 merah tetapi memuat P 4 biru di sisi yang tersisa pada θ(2, 2, 2). Selanjut-

  nya, ditunjukkan θ(2, 2, 2) − e 6→ (P

  3 , P 4 ) untuk setiap e ∈ E(θ(2, 2, 2)). Tanpa

  mengurangi perumuman, misalkan e = xw

  1 . Maka sisi xu 1 dan v 1 y diwarnai

  

dengan merah dan sisi yang tersisa dengan biru, sedemikian sehingga tidak ada

  ∗

  P

  3 merah dan P 4 biru dalam graf tersebut. Maka θ(2, 2, 2) ∈ R (P 3 , P 4 ).

  1 Misalkan k = 2, l = 2 dan m = 4. Pertama-tama, ditunjukkan θ(2, 2, 4) →

  (P

  3 , P 4 ). Asumsikan tidak ada P 3 merah di θ(2, 2, 4). Maka sisi xu 1 dan v 1 y di-

  

warnai dengan merah. Kemudian sisi yang tersisa pada P dan P diwarnai

  k+1 l+1

  dengan biru. Terapkan pewarnaan E

  3 pada P , sedemikian sehingga tidak m+1

  memuat P

  3 merah tetapi memuat P 4 biru di sisi yang tersisa pada θ(2, 2, 4).

  Selanjutnya, ditunjukkan θ(2, 2, 4) − e 6→ (P

  3 , P 4 ) untuk setiap e ∈ E(θ(2, 2, 4)).

  Tanpa mengurangi perumuman, misalkan e = u

  1 y. Maka sisi v 1 y diwarnai den-

  

gan merah. Kemudian sisi yang tersisa pada P dan P diwarnai dengan

  k+1 l+1

  biru. Terapkan pewarnaan E

  3 pada P , sedemikian sehingga tidak ada P

  3 m+1 ∗

  merah dan P

  4 biru dalam graf tersebut. Maka θ(2, 2, 4) ∈ R (P 3 , P 4 ).

  1 Misalkan k = 2, m ≥ 3 dan m 6= 4. Maka diatur pewarnaan sebagai berikut.

  Sisi xv

  1 dan u 1 y diwarnai dengan merah. Kemudian sisi yang tersisa pada P k+1

  dan P diwarnai dengan biru. Terapkan pewarnaan E

  3 atau O 3 di P dengan l+1 m+1

  m bilangan genap atau ganjil, sedemikian sehingga tidak ada P

  3 merah atau P

  4

  

biru dalam graf tersebut. Maka graf-graf di Θ(2, 2, m) dengan m ≥ 3, m 6= 4

  ∗

  bukan anggota dari R (P

  3 , P 4 ).

1 Misalkan k = 2, l = 3 dan m = 3. Maka diatur pewarnaan sebagai berikut.

  Sisi xu

  1 , v 1 v 2 dan w 1 w 2 diwarnai dengan merah dan sisi yang tersisa dengan

  biru, sedemikian sehingga tidak ada P

  3 merah atau P 4 biru dalam graf tersebut.

  ∗

  Maka graf θ(2, 3, 3) bukan anggota dari R (P

  3 , P 4 ).

  1 Selanjutnya, misalkan k = 2, l = 3 dan m ≥ 4. Maka diatur pewarnaan

  

sebagai berikut. Sisi u y dan v v diwarnai dengan merah. Kemudian sisi yang

  1

  1

  2

  

tersisa pada P dan P diwarnai dengan biru. Terapkan pewarnaan E atau

  k+1 l+1

  2 O di P , dengan m bilangan genap atau ganjil, sedemikian sehingga tidak 2 m+1

  ada P

  3 merah atau P 4 biru dalam graf tersebut. Maka graf-graf di Θ(2, 3, m) ∗

  dengan m ≥ 3 bukan anggota R (P

  3 , P 4 ).

1 Misalkan k = 2, l = 4 dan m = 4. Pertama-tama, ditunjukkan θ(2, 4, 4) →

  

(P , P ). Asumsikan tidak ada P merah di θ(2, 4, 4). Maka sisi v y diwarnai

  3

  4

  3

  1

  

dengan merah dan sisi yang tersisa di P diwarnai dengan biru. Kemudian

  k+1

  

terapkan pewarnaan E pada P dan pewarnaan E pada P , sedemikian

  2 l+1 3 m+1

  

sehingga tidak memuat P merah tetapi memuat P biru di sisi yang tersisa

  3

  4

  pada θ(2, 4, 4). Selanjutnya ditunjukkan θ(2, 4, 4) − e 6→ (P

  3 , P 4 ) untuk setiap

  e ∈ Eθ(2, 4, 4)). Tanpa mengurangi perumuman, misalkan e = u

  1 u 2 . Maka

  sisi u

  2 u 3 dan v 1 y diwarnai dengan merah dan sisi yang tersisa di P dan k+1

  P diwarnai dengan biru. Kemudian terapkan pewarnaan E

  2 pada P , l+1 m+1

  sedemikian sehingga tidak ada P

  3 merah dan P 4 biru dalam graf tersebut. Maka ∗

  θ(2, 4, 4) ∈ R (P

  3 , P 4 ).

1 Misalkan m ≥ 5, maka dapat diatur pewarnaan sebagai berikut. Sisi xv , v v

  1

  2

  3

  

dan u y diwarnai dengan merah dan sisi yang tersisa di P dan P diwarnai

  1 k+1 l+1

  dengan biru. Terapkan pewarnaan E

  3 atau O 3 di P , dengan mengasumsikan m+1

  

P biru dalam graf tersebut. Maka graf-graf di Θ(2, 4, m) dengan m ≥ 5 bukan

  ∗ anggota dari R (P , P ).

  3

  4

1 Misalkan l ≥ 5 dan m ≥ 5, maka diatur pewarnaan sebagai berikut. Sisi

  u 1 y diwarnai dengan merah dan sisi yang tersisa di P diwarnai dengan biru.

  k+1

  Kemudian diterapkan pewarnaan E

  3 atau O 3 pada P dan P , dengan men- l+1 m+1

  

gasumsikan l dan m bilangan genap atau ganjil, sedemikian sehingga tidak ada

P

  3 merah atau P 4 biru dalam graf tersebut. Maka graf-graf di Θ(2, l, m) dengan ∗

  l, m ≥ 5 bukan anggota dari R (P

  3 , P 4 ).

1 Lema 3. Misal k = 3, l ≥ 3 dan m ≥ 3. Maka tidak terdapat graf di Θ(3, l, m),

  ∗

  l ≥ 3, m ≥ 3 yang menjadi anggota R (P

  3 , P 4 ).

1 Bukti.

  Misalkan k = 3, l ≥ 3 dan m ≥ 3, maka diatur pewarnaan sebagai berikut. Sisi u

  1 u 2 diwarnai dengan merah dan sisi yang tersisa di P k+1 diwar-

  nai dengan biru. Kemudian diterapkan pewarnaan E

  3 atau O 3 untuk P l+1 dan

  

pewarnaan E atau O untuk P , dengan mengasumsikan l dan m bilangan

  1 1 m+1

  

genap atau ganjil, sedemikian sehingga tidak ada P merah atau P biru dalam

  3

  4

  

graf tersebut. Maka graf-graf di Θ(3, l, m) dengan l, m ≥ 3 bukan anggota dari

  ∗ R (P , P ).

  3

  4

1 Lema 4. Misal k = 4, l ≥ 4 dan m ≥ 4, satu-satunya graf di Θ(4, l, m),l ≥

  ∗

  4,m ≥ 4 yang menjadi anggota R (P

  3 , P 4 ) adalah θ(4, 4, 4).

  1 Bukti.

  Misalkan k = 4, l = 4 dan m = 4. Pertama-tama, ditunjukkan θ(4, 4, 4) → (P

  3 , P 4 ). Sisi u 1 u 2 diwarnai dengan merah dan sisi yang tersisa di P di- k+1

  warnai dengan biru. Kemudian diterapkan pewarnaan E

  2 pada P dan pe- l+1

  warnaan E

  3 pada P , sedemikian sehingga tidak memuat P 3 merah tetapi m+1

  memuat P

  4 biru di sisi yang tersisa dalam θ(4, 4, 4). Selanjutnya, ditunjukkan

  θ(4, 4, 4) − e 6→ (P

  3 , P 4 ) untuk setiap e ∈ E(θ(4, 4, 4)). Tanpa mengurangi peru-

  muman, misalkan e = v

  1 v 2 . Maka sisi v 2 v 3 diwarnai dengan merah dan sisi yang

  tersisa di P l+1 diwarnai dengan biru. Kemudian diterapkan pewarnaan E

  2 pada

  P k+1 dan P m+1 , sedemikian sehingga tidak ada P

  3 merah dan P 4 biru dalam ∗

  graf tersebut. Maka θ(4, 4, 4) ∈ R (P

  3 , P 4 ).

  1 Misalkan k = 4, l ≥ 5 dan m ≥ 5. Maka diatur pewarnaan sebagai berikut.

  

Sisi u u dan u y diwarnai dengan merah dan sisi yang tersisa pada P diwar-

  1

  2

  3 k+1

  

nai dengan biru. Kemudian diterapkan pewarnaan E atau O untuk P dan

  2 2 l+1

  

pewarnaan E atau O untuk P , dengan l dan m bilangan genap atau ganjil,

  3 3 m+1

  

sedemikian sehingga tidak ada P merah atau P biru dalam graf tersebut. Maka

  3

  4 ∗ graf-graf di Θ(4, l, m) dengan l, m ≥ 5 bukan anggota dari R (P , P ).

  3

  4

  1 Lema 5. Misal k ≥ 5, l ≥ 5 dan m ≥ 5, tidak terdapat graf di Θ(k, l, m), k ≥ ∗

  5, l ≥ 5, m ≥ 5 yang menjadi anggota R (P

  3 , P 4 ).

  1 Bukti.

  Misalkan θ(k, l, m) dengan k, l, m ≥ 5, diatur pewarnaan sebagai berikut. Terapkan pewarnaan E

  1 atau O 1 untuk P , pewarnaan E 3 atau O 3 untuk P k+1 l+1

  

dan P , dengan ketentuan k, l dan m bilangan genap atau ganjil, sedemikian

  m+1

  sehingga tidak ada P

  3 merah atau P 4 biru dalam graf tersebut. Maka graf-graf ∗

  di Θ(k, l, m) dengan k, l, m ≥ 5 bukan anggota R (P

  3 , P 4 ).

  1 Berdasarkan Lema 1 – Lema 5, diperoleh teorema berikut yang menjadi hasil utama kajian makalah ini.

  

Teorema 2. Misal m ≥ l ≥ k ≥ 1, graf di Θ(k, l, m) yang menjadi anggota

  ∗

  R (P

  3 , P 4 ) adalah θ(1, 2, 2), θ(2, 2, 2), θ(2, 2, 4), θ(2, 4, 4) dan θ(4, 4, 4).

  

Misalkan C dan C merupakan dua siklus dengan panjang n ≥ 4 dan n ≥ 4.

  n n

  1

  2

  1

2 Misal x adalah titik sebarang di C dan y titik sebarang di C . Graf M (n

  1 , n 2 ) n n

  1

  2

dibentuk dengan mengidentifikasi titik x dan y menjadi titik w. Kelas dari semua

M (n

  1 , n 2 ) dinotasikan sebagai M(n 1 , n 2 ). Pada makalah ini telah dikaji kembali ∗

  bahwa satu-satunya graf di M(n

  1 , n 2 ) yang menjadi anggota R (P 3 , P 4 ) adalah

  1 M (4, 4).

  

Graf theta θ(k, l, m) dengan m ≥ l ≥ k ≥ 1 adalah gabungan dari tiga

lintasan dengan panjang k, l dan m yang memiliki dua titik akhir yang sama,

yaitu x dan y. Kelas dari semua θ(k, l, m) dinotasikan sebagai Θ(k, l, m) dan

lintasan di θ(k, l, m) sebagai P , P dan P untuk m ≥ l ≥ k ≥ 1. Pada

  k+1 l+1 m+1

  

makalah ini telah dikaji kembali bahwa graf-graf di Θ(k, l, m) yang menjadi

  ∗

  anggota R (P

  3 , P 4 ) adalah θ(1, 2, 2), θ(2, 2, 2), θ(2, 2, 4), θ(2, 4, 4) dan θ(4, 4, 4).

  1

  6 Ucapan Terima Kasih

Penulis mengucapkan terima kasih kepada Ibu Lyra Yulianti, Bapak Syafrizal Sy,

Bapak Ahmad Iqbal Baqi dan Bapak Zulakmal yang telah memberikan peng-

arahan, kritik dan saran untuk perbaikan penulisan sehingga makalah ini dapat

diselesaikan dengan baik.

  7 Daftar Pustaka

  

1. M. Borowiecki, M. Haluszczak and E. Sidorowicz, On Ramsey-minimal graphs,

Discrete Math. 286(1-2) (2004), 37 – 43

  2. M. Borowiecki, I. Schiermeyer and E. Sidorowicz, Ramsey (K

  1 , K 3 )-minimal ,2

  graphs, Electron. J. Combin. 12 (2005), R20

  

3. R. J. Faudree and J. Sheehan, Tree Ramsey-minimal graphs, Congressus

Numer.

  35 (1982), 295 – 315.

  

4. S. A. Burr, P. Erdos, R. J. Faudree, C. C. Rousseau and R. H. Schelp,

Ramsey-minimal graphs for the pair star, connected graphs, Studia Sci.

  Math. Hungar . 15 (1-3) (1980), 265 – 273.

  

5. Yulianti, L., Assiyatun, H., Uttunggadewa, S., dan Baskoro, E. T. (2010) :

On Ramsey (K

  1 ,2 , P 4 )-Minimal Graphs, Far East Journal of Mathematical

  Sciences , 40 : 23 – 36.