TSK205 Kuliah 3 Aljabar Boolean v201703

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika
@2017,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
Sintesis Rangkaian
Logika

Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi
Logika

Rangkaian Dua Level
Penutup dan Umpan
Balik
Lisensi

Kuliah#3 TKC205 Sistem Digital

Eko Didik Widianto
Departemen Teknik Sistem Komputer, Universitas Diponegoro

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto

1

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Pengantar

@2017,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean

◮

◮

Dalam proses analisis dan sintesis diperlukan satu model

untuk mendeskripsikan fungsi logika. Salah satu model
yang digunakan adalah aljabar Boolean
Proses sintesis bertujuan untuk merancang rangkaian
logika optimal berdasarkan kebutuhan fungsional sistem
yang diinginkan.
◮

◮

◮

◮

Sintesis Rangkaian
Logika
Rangkaian Dua Level
Penutup dan Umpan
Balik
Lisensi

Kebutuhan sistem dapat dinyatakan dalam deskripsi
tekstual, tabel kebenaran maupun diagram pewaktuan
Jika tidak ada konstrain (misalnya waktu sintesis), hasilnya
adalah rangkaian yang minimal atau paling sederhana
Rangkaian logika minimal diperoleh dari persamaan logika
yang paling sederhana
Penyederhanaan persamaan logika dilakukan
menggunakan aljabar Boolean, peta Karnaugh dan metode
tabular Quine McKluskey

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto

2

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Umpan Balik

@2017,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean

◮

Sebelumnya dibahas tentang konsep rangkaian logika:
◮
◮
◮
◮
◮
◮

◮

Sintesis Rangkaian
Logika
Rangkaian Dua Level

Representasi biner dan saklar sebagai elemen biner
Variabel dan fungsi logika
Ekspresi dan persamaan logika
Tabel kebenaran
Gerbang dan rangkaian logika
Analisis rangkaian dan diagram Pewaktuan

Penutup dan Umpan
Balik
Lisensi

Umpan Balik:
◮

Gambarkan rangkaian untuk fungsi logika
f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (x1 x 2 ) + (x 3 x4 ) dan analisis untuk
masukan {x1 , x2 , x3 , x4 } = {0, 1, 0, 1}, 12

◮

Buktikan bahwa (x1 x 2 ) + (x 3 x4 ) = (x1 x 2 )  (x 3 x4 )

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto

3

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Tentang Kuliah

@2017,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean

◮

Dalam kuliah ini, akan dibahas tentang implementasi
fungsi logika menjadi suatu rangkaian logika (disebut
proses sintesis), baik menggunakan tabel kebenaran
maupun aljabar Boolean
◮
◮
◮
◮
◮

◮

◮
◮
◮

Sintesis Rangkaian
Logika
Rangkaian Dua Level
Penutup dan Umpan

Balik
Lisensi

Aljabar Boolean: aksioma, teorema, dan hukum
Diagram Venn
Penyederhanaan persamaan secara aljabar
Sintesis ekspresi logika dari tabel kebenaran
minterm, persamaan SOP (Sum of Product) dan notasi
kanonik SOP
Maxterm, persamaan POS (Product of Sum) dan notasi
kanonik POS
Konversi SOP ke POS dan sebaliknya
Rangkaian dua level AND-OR dan OR-AND
Rangkaian dua level NAND-NAND dan NOR-NOR

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto

4

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Kompetensi Dasar

@2017,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean

◮ Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa akan mampu:

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

Sintesis Rangkaian
Logika

[C1] memahami aksioma (dalil), teorema dan hukum aljabar Boolean
[C2] memahami notasi aljabar operasi logika (AND,OR, NOT) dan urutan
operasi logika
[C2] membuktikan kesamaan dua ekspresi logika dengan menggunakan
aljabar dan diagram Venn
[C2] menyatakan persamaan logika dalam bentuk SOP maupun POS jika
diberikan kebutuhan fungsional sistem
[C2] mengkonversikan persamaan SOP ke POS atau sebaliknya dengan
benar
[C3] melakukan penyederhanaan persamaan logika secara aljabar dengan
benar jika diberikan suatu persamaan logika, tabel kebenaran maupun
deskripsi tekstual kebutuhan desain
[C4] mendesain dan menganalisis rangkaian AND-OR dan OR-AND minimal
jika diberikan kebutuhan desain yang diinginkan
[C4] mendesain dan menganalisis rangkaian NAND-NAND dan NOR-NOR
minimal jika diberikan kebutuhan desain yang diinginkan

Rangkaian Dua Level
Penutup dan Umpan
Balik
Lisensi

◮ Link
◮

Website: ❤tt♣✿✴✴❞✐❞✐❦✳❜❧♦❣✳✉♥❞✐♣✳❛❝✳✐❞✴✷✵✶✼✴✵✸✴✵✻✴

◮

Email: didik@undip.ac.id

t❦❝✷✵✺✲s✐st❡♠✲❞✐❣✐t❛❧✲✷✵✶✻✲❣❡♥❛♣✴

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto

5

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Buku Acuan/Referensi

@2017,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
Sintesis Rangkaian
Logika

Eko Didik Widianto, Sistem Digital:
Analisis, Desain dan Implementasi, Edisi
Pertama, Graha Ilmu, 2014 (Bab 3:
Aljabar Boolean dan Sintesis
Rangkaian Logika)
◮ Materi:
◮
◮
◮

Rangkaian Dua Level
Penutup dan Umpan
Balik
Lisensi

3.1 Aljabar Boolean
3.2 Sintesis Rangkaian Logika
3.3 Rangkaian Logika Dua Level

◮ Website:
◮

❤tt♣✿✴✴❞✐❞✐❦✳❜❧♦❣✳✉♥❞✐♣✳❛❝✳✐❞✴
❜✉❦✉✴s✐st❡♠✲❞✐❣✐t❛❧✴

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto

6

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Bahasan

@2017,Eko Didik
Widianto

Aljabar Boolean
Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean
Diagram Venn
Notasi Operator dan Prioritas Operasi
Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar

Aljabar Boolean
Sintesis Rangkaian
Logika
Rangkaian Dua Level
Penutup dan Umpan
Balik
Lisensi

Sintesis Rangkaian Logika
Sintesis dari Tabel Kebenaran
Minterm dan Bentuk Kanonik SOP
Maxterm dan Bentuk Kanonik POS
Konversi SOP-POS
Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS
Rangkaian Dua Level
Rangkaian AND-OR dan OR-AND
Penutup dan Umpan Balik
Lisensi
http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto

7

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Aljabar Boolean (Tahun 1849)

@2017,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
Dalil, Teorema dan Hukum
Aljabar Boolean
Diagram Venn

◮

◮

Notasi Operator dan
Prioritas Operasi

Boole memberikan skema untuk
deskripsi aljabar dari proses berpikir
secara logika dan penalaran
(reasoning)
Kemudian digunakan untuk
menjabarkan rangkaian logika
◮
◮

desain dan analisis rangkaian
menyederhanakan suatu ekspresi
logika untuk implementasi fisik
rangkaian yang lebih sederhana

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

Penyederhanaan
Rangkaian dengan Aljabar

Sintesis Rangkaian
Logika
Rangkaian Dua Level
Penutup dan Umpan
Balik
Lisensi

George Boole
(1815-1864)

@2017,Eko Didik Widianto

8

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Bahasan

@2017,Eko Didik
Widianto

Aljabar Boolean
Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean
Diagram Venn
Notasi Operator dan Prioritas Operasi
Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar

Aljabar Boolean
Dalil, Teorema dan Hukum
Aljabar Boolean
Diagram Venn
Notasi Operator dan
Prioritas Operasi
Penyederhanaan
Rangkaian dengan Aljabar

Sintesis Rangkaian
Logika

Sintesis Rangkaian Logika
Sintesis dari Tabel Kebenaran
Minterm dan Bentuk Kanonik SOP
Maxterm dan Bentuk Kanonik POS
Konversi SOP-POS
Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS

Rangkaian Dua Level
Penutup dan Umpan
Balik
Lisensi

Rangkaian Dua Level
Rangkaian AND-OR dan OR-AND
Penutup dan Umpan Balik
Lisensi
http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto

9

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Dalil Aljabar Boolean dan Prinsip Dualitas

@2017,Eko Didik
Widianto

◮

Aljabar Boolean menggunakan aturan-aturan yang
diturunkan dari asumsi dasar (aksioma/dalil/postulat)

Aljabar Boolean
Dalil, Teorema dan Hukum
Aljabar Boolean
Diagram Venn

◮

1a.
2a.
3a.
4a.
◮

Tidak perlu dibuktikan karena self-evident, kebenarannya
terjamin

Notasi Operator dan
Prioritas Operasi
Penyederhanaan
Rangkaian dengan Aljabar

0·0=0
1b. 1 + 1 = 1
1·1=1
2b. 0 + 0 = 0
0·1=1·0=0
3b. 1 + 0 = 0 + 1 = 1
Jika x = 0, maka x = 1
4b. Jika x = 1, maka x = 0
Dalil dituliskan berpasangan →untuk menunjukkan
prinsip dualitas
◮

Rangkaian Dua Level
Penutup dan Umpan
Balik
Lisensi

Jika diberikan sebarang ekspresi logika, dual dari ekspresi
tersebut dapat dibentuk dengan mengganti semua +
dengan · atau sebaliknya serta mengganti 0 dengan 1 atau
sebaliknya
◮

◮

Sintesis Rangkaian
Logika

dalil(b) merupakan dual dari dalil(a) dan sebaliknya

Dual dari pernyataan benar adalah juga benar

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto

10

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Teorema 1 Variabel

@2017,Eko Didik
Widianto

◮

Aljabar Boolean

Teorema ini diturunkan dari aksioma. x adalah variabel
tunggal
◮

Dalil, Teorema dan Hukum
Aljabar Boolean
Diagram Venn
Notasi Operator dan
Prioritas Operasi

Perlu dibuktikan dengan aksioma atau teorema lain

Penyederhanaan
Rangkaian dengan Aljabar

5b. x + 1 = 1
5a. x · 0 = 0
6b. x + 0 = x
6a. x · 1 = x
7b. x + x = x
7a. x · x = x
8b. x + x = 1
8a. x · x = 0
9. x = x
◮ Pembuktian teorema dengan induksi
◮

◮

Sintesis Rangkaian
Logika
Rangkaian Dua Level
Penutup dan Umpan
Balik
Lisensi

Memasukkan nilai x = 0 dan x = 1 ke dalam ekspresi

Pernyataan di teorema (a) adalah dual dari pernyataan (b)
dan sebaliknya
◮

f1 (x1 , x2 ) = x1 + x2 dualnya adalah f2 (x1 , x2 ) = x1 · x2
Misalnya: f1 = 0 + 0 = 0, f2 = 1 · 1 = 1, sehingga f1 dan f2
dual

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto

11

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Latihan

@2017,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
Dalil, Teorema dan Hukum
Aljabar Boolean
Diagram Venn
Notasi Operator dan
Prioritas Operasi
Penyederhanaan
Rangkaian dengan Aljabar

Sintesis Rangkaian
Logika

◮

Rangkaian Dua Level

Tunjukkan bahwa teorema 6a adalah dual dari 6b dan 8a
dual dari 8b!

Penutup dan Umpan
Balik
Lisensi

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto

12

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Hukum-hukum Aljabar
◮

Hukum ini mendefinisikan aturan untuk persamaan
dengan banyak variabel
◮

@2017,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
Dalil, Teorema dan Hukum
Aljabar Boolean

Disebut juga identitas atau properti

Diagram Venn

10a. x · y = y · x

10b. x + y = y + x

→Komutatif

Notasi Operator dan
Prioritas Operasi

11a. x · (y · z) = (x · y ) · z

11b. x + (y + z) = (x + y ) + z

→Asosiatif

Penyederhanaan
Rangkaian dengan Aljabar

12a. x · (y + z) = x · y + x · z

12b. x + y · z = (x + y ) · (x + z)

→Distributif

Sintesis Rangkaian
Logika

13a. x + x · y = x

13b. x · (x + y ) = x

→Absorsi

Rangkaian Dua Level

14a. x · y + x · y = x

14b. (x + y ) · (x + y ) = x

→Penggabungan

15a. x · y = x + y

15b. x + y = x · y

Penutup dan Umpan
Balik

→DeMorgan

16a. x + x · y = x + y

16b. x · (x + y ) = x · y

17a.

17b. (x + y ) · (y + z) · (x + z) =

x ·y +y ·z +x ·z = x ·y +x ·z

(x + y ) · (x + z)

◮

Lisensi

→Konsensus

Pembuktian hukum (identity, property) tersebut dapat
dilakukan secara induktif (dengan tabel kebenaran)
maupun dengan melakukan perhitungan aljabar

Contoh: teorema DeMorgan secara induktif
◮ Buktikan 12a,b 13a,b 16a,b dan 17a,b secara induktif dan
aljabar
http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/
@2017,Eko Didik Widianto
13
◮

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Pembuktian Aljabar

@2017,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean

◮

Dalil, Teorema dan Hukum
Aljabar Boolean

Buktikan persamaan logika berikut benar
1.(x1 + x2 ) · (x 1 + x 2 ) = x1 · x 2 + x 1 · x2
2. x1 · x 3 + x 2 · x 3 + x1 · x3 + x 2 · x3 = x1 + x 2

Diagram Venn
Notasi Operator dan
Prioritas Operasi
Penyederhanaan
Rangkaian dengan Aljabar

Sintesis Rangkaian
Logika

f

◮

◮

=

x1 · x 3 + x 2 · x 3 + x1 · x3 + x 2 · x3

=
=

x 1 · x 2 + x1 · x2 + x1 · x 2
x1 + x 2

Rangkaian Dua Level
Penutup dan Umpan
Balik
Lisensi

Menghasilkan ekspresi logika yang lebih sederhana,
sehingga rangkaian logika akan lebih sederhana
Teorema dan property menjadi basis untuk sintesis fungsi
logika di perangkat CAD

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto

14

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Bahasan

@2017,Eko Didik
Widianto

Aljabar Boolean
Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean
Diagram Venn
Notasi Operator dan Prioritas Operasi
Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar

Aljabar Boolean
Dalil, Teorema dan Hukum
Aljabar Boolean
Diagram Venn
Notasi Operator dan
Prioritas Operasi
Penyederhanaan
Rangkaian dengan Aljabar

Sintesis Rangkaian
Logika

Sintesis Rangkaian Logika
Sintesis dari Tabel Kebenaran
Minterm dan Bentuk Kanonik SOP
Maxterm dan Bentuk Kanonik POS
Konversi SOP-POS
Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS

Rangkaian Dua Level
Penutup dan Umpan
Balik
Lisensi

Rangkaian Dua Level
Rangkaian AND-OR dan OR-AND
Penutup dan Umpan Balik
Lisensi
http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto

15

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Diagram Venn (John Venn 1880)

@2017,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
Dalil, Teorema dan Hukum
Aljabar Boolean
Diagram Venn

◮

Membuktikan ekuivalensi 2 ekspresi
logika secara visual

◮

Suatu set s merupakan koleksi elemen
yang merupakan anggota dari s
dalam hal ini s merupakan koleksi
variabel dan/atau konstan

◮

◮

Elemen (variabel/konstan) dinyatakan
sebagai area dengan kontur seperti
kotak, lingkaran atau elips

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto

Notasi Operator dan
Prioritas Operasi
Penyederhanaan
Rangkaian dengan Aljabar

Sintesis Rangkaian
Logika
Rangkaian Dua Level
Penutup dan Umpan
Balik
Lisensi

John Venn
(1834-1923)
Wikipedia

16

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Diagram Venn

@2017,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
Dalil, Teorema dan Hukum
Aljabar Boolean
Diagram Venn

◮

◮
◮

◮

Notasi Operator dan
Prioritas Operasi

Jika semesta integer N mulai 1 sampai 9 adalah
N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Penyederhanaan
Rangkaian dengan Aljabar

Sintesis Rangkaian
Logika

Himpunan bilangan genap E = 2, 4, 6, 8
sedangkan himpunan bilangan ganjil adalah komplemen
dari E dan mempunyai anggota di luar E, sehingga
E = 1, 3, 5, 7, 9.

Rangkaian Dua Level
Penutup dan Umpan
Balik
Lisensi

Aljabar Boolean hanya mempunyai dua nilai (elemen)
dalam semesta B, B = 0, 1, sehingga:
◮
◮

area dalam kontur s menyatakan s = 1, sedangkan
area di luar kontur menyatakan s = 0

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto

17

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Diagram Venn

@2017,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
Dalil, Teorema dan Hukum
Aljabar Boolean
Diagram Venn
Notasi Operator dan
Prioritas Operasi
Penyederhanaan
Rangkaian dengan Aljabar

Sintesis Rangkaian
Logika
Rangkaian Dua Level
Penutup dan Umpan
Balik
Lisensi

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto

18

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Buktika DeMorgan: x · y = x + y

@2017,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
Dalil, Teorema dan Hukum
Aljabar Boolean
Diagram Venn
Notasi Operator dan
Prioritas Operasi
Penyederhanaan
Rangkaian dengan Aljabar

Sintesis Rangkaian
Logika
Rangkaian Dua Level
Penutup dan Umpan
Balik
Lisensi

◮

Hasil diagram Venn yang sama menunjukkan kedua
ekspresi sama

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto

19

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Latihan

@2017,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
Dalil, Teorema dan Hukum
Aljabar Boolean
Diagram Venn
Notasi Operator dan
Prioritas Operasi

◮

◮

◮

◮

Buktikan 12a,b 13a,b dan 17a,b secara induktif dan
aljabar!
Buktikan x + x · y = x + y dan x · (x + y ) = x · y secara
induktif, aljabar dan diagram Venn!
Buktikan bahwa x 1 x2 x3 + x2 · x 3 + x 2 · x 3 = x 3 + x 1 x2
secara induktif, aljabar dan diagram Venn!

Penyederhanaan
Rangkaian dengan Aljabar

Sintesis Rangkaian
Logika
Rangkaian Dua Level
Penutup dan Umpan
Balik
Lisensi

Buktikan (x1 + x2 ) · (x 1 + x 2 ) = x1 · x 2 + x 1 · x2 secara
induktif, aljabar dan diagram Venn!

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto

20

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Bahasan

@2017,Eko Didik
Widianto

Aljabar Boolean
Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean
Diagram Venn
Notasi Operator dan Prioritas Operasi
Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar

Aljabar Boolean
Dalil, Teorema dan Hukum
Aljabar Boolean
Diagram Venn
Notasi Operator dan
Prioritas Operasi
Penyederhanaan
Rangkaian dengan Aljabar

Sintesis Rangkaian
Logika

Sintesis Rangkaian Logika
Sintesis dari Tabel Kebenaran
Minterm dan Bentuk Kanonik SOP
Maxterm dan Bentuk Kanonik POS
Konversi SOP-POS
Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS

Rangkaian Dua Level
Penutup dan Umpan
Balik
Lisensi

Rangkaian Dua Level
Rangkaian AND-OR dan OR-AND
Penutup dan Umpan Balik
Lisensi
http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto

21

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Notasi Operator Fungsi Logika

@2017,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean

◮

◮
◮

Notasi Operator dan
Prioritas Operasi

Notasi Operator
W
+,V , |
·, , &

Penyederhanaan
Rangkaian dengan Aljabar

Sintesis Rangkaian
Logika

Keterangan
Bitwise OR
Bitwise AND

Rangkaian Dua Level
Penutup dan Umpan
Balik
Lisensi

Ekpresi ABC+A’BD+A’CE
◮

◮

Diagram Venn

Operasi OR disebut sebagai logika penjumlahan (sum)
Operasi AND disebut sebagai logika perkalian (product)

Operasi
OR
AND
◮

Dalil, Teorema dan Hukum
Aljabar Boolean

Kemiripan operasi penjumlahan dan perkalian antara
logika dan aritmetika

Merupakan jumlah dari 3 operasi/term perkalian (SOP,
sum-of-product terms)

Ekspresi (A+B+C)(A’+B+D)(A’+C+E)
◮

Merupakan perkalian dari 3 operasi/term penjumlahan
(POS, product-of-sum terms)

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto

22

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

(Konvensi) Urutan Operasi

@2017,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
Dalil, Teorema dan Hukum
Aljabar Boolean

◮ Jika dalam satu ekspresi tidak terdapat tutup kurung, operasi fungsi

Diagram Venn

logika dilakukan dengan urutan:

Notasi Operator dan
Prioritas Operasi
Penyederhanaan
Rangkaian dengan Aljabar

1. NOT
2. AND
3. OR

Sintesis Rangkaian
Logika
Rangkaian Dua Level

◮ Misalnya ekspresi x + x · y
◮

◮

Penutup dan Umpan
Balik

variabel x di term kedua diinversikan, kemudian di-AND-kan
dengan variabel y
term pertama dan kedua kemudian di-OR-kan

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto

Lisensi

23

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Latihan

@2017,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
Dalil, Teorema dan Hukum
Aljabar Boolean
Diagram Venn
Notasi Operator dan
Prioritas Operasi
Penyederhanaan
Rangkaian dengan Aljabar

◮

◮

Gambar rangkaian untuk persamaan logika
f = (x 1 + x2 ) · x3 dan f = x 1 + x2 · x3

Sintesis Rangkaian
Logika

Buktikan bahwa (x 1 + x2 ) · x3 6= x 1 + x2 · x3 . Dan
gambarkan rangkaian logika f1 = (x 1 + x2 ) · x3 dan
f2 = x 1 + x2 · x3

Penutup dan Umpan
Balik

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto

Rangkaian Dua Level

Lisensi

24

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Bahasan

@2017,Eko Didik
Widianto

Aljabar Boolean
Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean
Diagram Venn
Notasi Operator dan Prioritas Operasi
Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar

Aljabar Boolean
Dalil, Teorema dan Hukum
Aljabar Boolean
Diagram Venn
Notasi Operator dan
Prioritas Operasi
Penyederhanaan
Rangkaian dengan Aljabar

Sintesis Rangkaian
Logika

Sintesis Rangkaian Logika
Sintesis dari Tabel Kebenaran
Minterm dan Bentuk Kanonik SOP
Maxterm dan Bentuk Kanonik POS
Konversi SOP-POS
Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS

Rangkaian Dua Level
Penutup dan Umpan
Balik
Lisensi

Rangkaian Dua Level
Rangkaian AND-OR dan OR-AND
Penutup dan Umpan Balik
Lisensi
http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto

25

Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika
@2017,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean

◮ Suatu fungsi logika dapat dinyatakan dalam beberapa bentuk ekspresi

Dalil, Teorema dan Hukum
Aljabar Boolean

yang ekivalen
◮

◮

◮

Diagram Venn

Misalnya: f1 = x 1 x 2 + x 1 x2 + x1 x2 dan f2 = x 1 + x2 adalah
ekivalen secara fungsional. f1 lebih sederhana (optimal) daripada f2
Proses optimasi memilih salah satu dari beberapa rangkaian
ekivalen untuk memenuhi constraint nonfungsional (area, cost)
Catatan: rangkaian dengan jumlah gerbang minimal bisa jadi bukan
merupakan solusi terbaik, tergantung constraintnya. Misalnya
constraint delay

Notasi Operator dan
Prioritas Operasi
Penyederhanaan
Rangkaian dengan Aljabar

Sintesis Rangkaian
Logika
Rangkaian Dua Level
Penutup dan Umpan
Balik
Lisensi

Fungsi: f = x 1 x 2 + x 1 x2 + x1 x2
◮ Replikasi term 2: f = x 1 x 2 + x 1 x2 + x 1 x2 + x1 x2
◮ Distributif (12b): f = x 1 (x 2 + x2 ) + (x 1 + x1 ) x2
◮ Teorema (8b): f = x 1 · 1 + 1 · x2
◮ Teorema (6a): f = x 1 + x2

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto

26

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Umpan Balik: Aljabar Boolean

@2017,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
Dalil, Teorema dan Hukum
Aljabar Boolean

Mahasiswa mampu:

Diagram Venn

1. memahami dalil, teorema dan hukum aljabar Boolean

Notasi Operator dan
Prioritas Operasi

2. membuktikan persamaan 2 ekspresi logika secara induktif
(tabel kebenaran), manipulasi aljabar dan diagram Venn
3. menyederhanakan suatu ekspresi logika menggunakan
dalil, teorema dan hukum aljabar (manipulasi aljabar)
4. mengerti tentang beragam notasi operasi logika (AND,OR)
dan urutan operasi logika
Latihan:
◮ Buktikan x 1 x2 x3 + x2 · x 3 + x 2 · x 3 = x 3 + x 1 x2 secara
induktif, aljabar dan diagram Venn
◮

Hitung jumlah gerbang yang dibutuhkan oleh tiap ekspresi

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto

27

Penyederhanaan
Rangkaian dengan Aljabar

Sintesis Rangkaian
Logika
Rangkaian Dua Level
Penutup dan Umpan
Balik
Lisensi

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Proses Sintesis

@2017,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
Sintesis Rangkaian
Logika
Sintesis dari Tabel
Kebenaran
Minterm dan Bentuk
Kanonik SOP

◮

Diinginkan suatu fungsi, bagaimana
mengimplementasikannya dalam bentuk ekspresi atau
rangkaian logika?
◮

◮

Maxterm dan Bentuk
Kanonik POS
Konversi SOP-POS
Penyederhanaan
Persamaan SOP dan POS

Rangkaian Dua Level

Proses ini disebut sintesis: membangkitkan ekspresi
dan/atau rangkaian dari deskripsi perilaku fungsionalnya
Sintesis merupakan langkah utama dalam desain sistem
digital

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto

Penutup dan Umpan
Balik
Lisensi

28

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Bahasan

@2017,Eko Didik
Widianto

Aljabar Boolean
Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean
Diagram Venn
Notasi Operator dan Prioritas Operasi
Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar

Aljabar Boolean
Sintesis Rangkaian
Logika
Sintesis dari Tabel
Kebenaran
Minterm dan Bentuk
Kanonik SOP
Maxterm dan Bentuk
Kanonik POS
Konversi SOP-POS

Sintesis Rangkaian Logika
Sintesis dari Tabel Kebenaran
Minterm dan Bentuk Kanonik SOP
Maxterm dan Bentuk Kanonik POS
Konversi SOP-POS
Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS

Penyederhanaan
Persamaan SOP dan POS

Rangkaian Dua Level
Penutup dan Umpan
Balik
Lisensi

Rangkaian Dua Level
Rangkaian AND-OR dan OR-AND
Penutup dan Umpan Balik
Lisensi
http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto

29

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Sintesis Rangkaian Logika

@2017,Eko Didik
Widianto

Deskripsi Kebutuhan Sistem

Aljabar Boolean
Sintesis Rangkaian
Logika
Sintesis dari Tabel
Kebenaran
Minterm dan Bentuk
Kanonik SOP

◮

Maxterm dan Bentuk
Kanonik POS

Misalnya

Konversi SOP-POS

◮
◮

◮

Desain rangkaian logika dengan dua masukan x1 dan x2
Rangkaian memonitor switch, menghasilkan keluaran logika
1 jika switch (x1 ,x2 ) mempunyai keadaan (0,0), (0,1) atau
(1,1) dan keluaran 0 jika switch (1,0)
Pernyataan lain: jika switch x1 tersambung dan x2 terputus
maka keluaran harus 0, keadaan switch lainnya keluaran
harus 1

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto

30

Penyederhanaan
Persamaan SOP dan POS

Rangkaian Dua Level
Penutup dan Umpan
Balik
Lisensi

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Langkah Sintesis

@2017,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
Sintesis Rangkaian
Logika

1. menterjemahkan kebutuhan desain dan menuliskannya ke
dalam tabel kebenaran
2. menuliskan persamaan SOP atau POS dari tabel
kebenaran
◮

◮

Maxterm dan Bentuk
Kanonik POS
Konversi SOP-POS
Penyederhanaan
Persamaan SOP dan POS

Penutup dan Umpan
Balik
Lisensi

3. menyederhanakan persamaan menggunakan aljabar
Boolean untuk memperoleh rangkaian logika yang minimal

@2017,Eko Didik Widianto

Minterm dan Bentuk
Kanonik SOP

Rangkaian Dua Level

Persamaan SOP diperoleh dengan menjumlahkan semua
term perkalian yang bernilai 1
Persamaan POS diperoleh dengan mengalikan semua
term penjumlahan yang bernilai 0

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

Sintesis dari Tabel
Kebenaran

31

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Tabel Kebenaran dan Hasil Ekspresi (SOP)

@2017,Eko Didik
Widianto

◮

Tabel kebenaran untuk fungsi yang harus disintesis

Aljabar Boolean
Sintesis Rangkaian
Logika
Sintesis dari Tabel
Kebenaran
Minterm dan Bentuk
Kanonik SOP
Maxterm dan Bentuk
Kanonik POS
Konversi SOP-POS
Penyederhanaan
Persamaan SOP dan POS

Rangkaian Dua Level
Penutup dan Umpan
Balik

◮

Realisasi f adalah f = x 1 x 2 + x 1 x2 + x1 x2 (SOP)

◮

Diimplementasikan dengan 2 gerbang NOT, 3 gerbang
AND-2 dan 1 gerbang OR-3

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto

Lisensi

32

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Penyederhanaan Rangkaian Secara Aljabar

@2017,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
Sintesis Rangkaian
Logika

Penyederhanaan fungsi :

Sintesis dari Tabel
Kebenaran

◮

Persamaan semula: f = x 1 x 2 + x 1 x2 + x1 x2

◮

Replikasi term 2: f = x 1 x 2 + x 1 x2 + x 1 x2 + x1 x2

◮

Distributif (12b): f = x 1 (x 2 + x2 ) + (x 1 + x1 ) x2

◮

Teorema (8b): f = x 1 · 1 + 1 · x2

◮

Teorema (6a): f = x 1 + x2

Minterm dan Bentuk
Kanonik SOP
Maxterm dan Bentuk
Kanonik POS
Konversi SOP-POS
Penyederhanaan
Persamaan SOP dan POS

Rangkaian Dua Level
Penutup dan Umpan
Balik
Lisensi

◮

Rangkaian sederhana: f = x 1 + x2

◮

Diimplementasikan dengan 1 gerbang NOT dan 1 gerbang
OR-2

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto

33

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Latihan Sintesis

@2017,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
Sintesis Rangkaian
Logika
Sintesis dari Tabel
Kebenaran

1. Diinginkan rangkaian logika dengan 3 masukan x, y dan z
Keluaran rangkaian harus 1 hanya jika x=1 dan salah satu
(atau kedua) y atau z bernilai 1
1.1 Tuliskan ekspresi dan rangkaian logikanya
1.2 Sederhanakan rangkaian tersebut

@2017,Eko Didik Widianto

Maxterm dan Bentuk
Kanonik POS
Konversi SOP-POS
Penyederhanaan
Persamaan SOP dan POS

Rangkaian Dua Level
Penutup dan Umpan
Balik

2. Sederhanakan fungsi f = x 1 x2 x3 + x2 · x 3 + x 2 · x 3 untuk
memperoleh rangkaian logika minimal! Hitung jumlah
gerbang yang dibutuhkan oleh rangkaian tersebut!

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

Minterm dan Bentuk
Kanonik SOP

Lisensi

34

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Bahasan

@2017,Eko Didik
Widianto

Aljabar Boolean
Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean
Diagram Venn
Notasi Operator dan Prioritas Operasi
Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar

Aljabar Boolean
Sintesis Rangkaian
Logika
Sintesis dari Tabel
Kebenaran
Minterm dan Bentuk
Kanonik SOP
Maxterm dan Bentuk
Kanonik POS
Konversi SOP-POS

Sintesis Rangkaian Logika
Sintesis dari Tabel Kebenaran
Minterm dan Bentuk Kanonik SOP
Maxterm dan Bentuk Kanonik POS
Konversi SOP-POS
Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS

Penyederhanaan
Persamaan SOP dan POS

Rangkaian Dua Level
Penutup dan Umpan
Balik
Lisensi

Rangkaian Dua Level
Rangkaian AND-OR dan OR-AND
Penutup dan Umpan Balik
Lisensi
http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto

35

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Minterm

@2017,Eko Didik
Widianto

◮

Untuk sebuah fungsi dengan n buah variabel
f (x1 , x2 . . . xn )
◮

◮

◮

Sebuah minterm dari f adalah satu term perkalian dari n
variabel yang ditampilkan sekali, baik dalam bentuk tidak
diinverskan maupun diinverskan
Jika diberikan satu baris dalam tabel kebenaran, minterm
dibentuk dengan memasukkan variabel xi jika xi = 1 atau x i
jika xi = 0
Notasi mj merupakan minterm dari baris nomor j di tabel
kebenaran. Contoh:
◮

◮

◮

Aljabar Boolean

Fungsi fSOP (x1 , x2 . . . xn ) dapat dinyatakan sebagai
N−1
P

mj × fj

j=0

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto

Sintesis dari Tabel
Kebenaran
Minterm dan Bentuk
Kanonik SOP
Maxterm dan Bentuk
Kanonik POS
Konversi SOP-POS
Penyederhanaan
Persamaan SOP dan POS

Rangkaian Dua Level
Penutup dan Umpan
Balik
Lisensi

Baris 1 (j = 0), x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0
minterm: m0 = x 1 x 2 x 3
Baris 2 (j = 1), x1 = 0, x2 = 0, x3 = 1
minterm: m1 = x 1 x 2 x3

fSOP (x1 , x2 . . . xn ) =

Sintesis Rangkaian
Logika

36

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Minterm dan Bentuk Kanonik SOP

@2017,Eko Didik
Widianto

◮

◮

Tiap baris dari tabel
kebenaran membentuk
satu buah minterm
Fungsi f dapat dinyatakan
dengan ekspresi
penjumlahan dari semua
minterm di mana tiap
minterm di-AND-kan
dengan nilai f yang
bersesuaian

Baris

x1

x2

x3

i

minterm

f

0

0

0

0

x 1x 2x 3

0

Sintesis dari Tabel
Kebenaran

1

0

0

1

x 1 x 2 x3

1

Minterm dan Bentuk
Kanonik SOP

2

0

1

0

x 1 x2 x 3

0

Maxterm dan Bentuk
Kanonik POS

3

0

1

1

x 1 x2 x3

0

Konversi SOP-POS

4

1

0

0

x1 x 2 x 3

1

5

1

0

1

x1 x 2 x3

1

6

1

1

0

x1 x2 x 3

1

Penutup dan Umpan
Balik

7

1

1

1

x1 x2 x3

0

Lisensi

Contoh: diberikan nilai f seperti tabel di atas, bentuk kanonik
SOP:

◮

f

=

m0 · 0 + m1 · 1 + m2 · 0 + m3 · 0 + m4 · 1 + m5 · 1 + m6 · 1 + m7 · 0

=

m1 + m4 + m5 + m6

=

x 1 x 2 x3 + x1 x 2 x 3 + x1 x 2 x3 + x1 x2 x 3

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

Aljabar Boolean
Sintesis Rangkaian
Logika

mi

@2017,Eko Didik Widianto

37

Penyederhanaan
Persamaan SOP dan POS

Rangkaian Dua Level

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Notasi SOP

@2017,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean

◮

Sintesis Rangkaian
Logika

Persamaan SOP dapat dinyatakan dalam notasi m
f

m1 + m4 + m5 + m6

=

x x x +x x x +x x x +x x x
| 1 {z2 }3 | 1 {z2 }3 | 1 {z2 }3 | 1 {z2 }3

Notasi Persamaan SOP: f =

◮

Implementasi:
◮

Maxterm dan Bentuk
Kanonik POS

5

4

◮

◮

Minterm dan Bentuk
Kanonik SOP

=

1

P

Sintesis dari Tabel
Kebenaran

Konversi SOP-POS
Penyederhanaan
Persamaan SOP dan POS

6

Rangkaian Dua Level
Penutup dan Umpan
Balik

m(1, 4, 5, 6)

Lisensi

Ekspresi fungsi f tersebut secara fungsional benar dan unik
Namun, mungkin tidak menghasilkan implementasi yang
paling sederhana
◮

Perlu penyederhanana fungsi SOP

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto

38

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Contoh SOP

@2017,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
Sintesis Rangkaian
Logika

◮

◮

◮

Sintesis dari Tabel
Kebenaran

Persamaan kanonik SOP berisi daftar maxterm yang
bernilai 1

Minterm dan Bentuk
Kanonik SOP
Maxterm dan Bentuk
Kanonik POS

Contoh. Diketahui
P fungsi SOP
f (x1 , x2 , x3 ) =
m(0, 2, 5, 6). Tentukan nilai f (0, 0, 1),
f (1, 0, 1) dan f (1, 1, 1)

Konversi SOP-POS
Penyederhanaan
Persamaan SOP dan POS

Rangkaian Dua Level
Penutup dan Umpan
Balik

Solusi. f (0, 0, 1) menyatakan nilai fungsi f jika nilai
masukan x1 = 0, x2 = 0, dan x3 = 1. Nilai f (0, 0, 1) = 0
dan f (1, 1, 1) = 0, karena minterm m1 dan m7 tidak ada
dalam persamaan, sedangkan f (1, 0, 1) = 1 karena m5
ada dalam daftar persamaan.

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto

Lisensi

39

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Bahasan

@2017,Eko Didik
Widianto

Aljabar Boolean
Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean
Diagram Venn
Notasi Operator dan Prioritas Operasi
Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar

Aljabar Boolean
Sintesis Rangkaian
Logika
Sintesis dari Tabel
Kebenaran
Minterm dan Bentuk
Kanonik SOP
Maxterm dan Bentuk
Kanonik POS
Konversi SOP-POS

Sintesis Rangkaian Logika
Sintesis dari Tabel Kebenaran
Minterm dan Bentuk Kanonik SOP
Maxterm dan Bentuk Kanonik POS
Konversi SOP-POS
Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS

Penyederhanaan
Persamaan SOP dan POS

Rangkaian Dua Level
Penutup dan Umpan
Balik
Lisensi

Rangkaian Dua Level
Rangkaian AND-OR dan OR-AND
Penutup dan Umpan Balik
Lisensi
http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto

40

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Prinsip Duality SOP - POS

@2017,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
Sintesis Rangkaian
Logika
Sintesis dari Tabel
Kebenaran

◮

Minterm dan Bentuk
Kanonik SOP

Jika suatu fungsi f dinyatakan dalam suatu tabel
kebenaran, maka ekspresi untuk f dapat diperoleh
(disintesis) dengan cara:

Maxterm dan Bentuk
Kanonik POS
Konversi SOP-POS
Penyederhanaan
Persamaan SOP dan POS

1. Melihat semua baris dalam tabel dimana f=1, atau
2. Melihat semua baris dalam tabel dimana f=0
◮

Pendekatan (1) menggunakan minterm

◮

Pendekatan (2) menggunakan komplemen dari minterm,
disebut maxterm

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto

Rangkaian Dua Level
Penutup dan Umpan
Balik
Lisensi

41

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Penjelasan Dualitas SOP-POS

@2017,Eko Didik
Widianto

◮

Jika fungsi f dinyatakan dalam tabel kebenaran, maka
fungsi inversnya f , dapat dinyatakan dengan penjumlahan
minterm dengan f = 1, yaitu di baris di mana f = 0

Aljabar Boolean
Sintesis Rangkaian
Logika
Sintesis dari Tabel
Kebenaran
Minterm dan Bentuk
Kanonik SOP

f

◮

m0 + m2 + m3 + m7

=

x 1 x 2 x 3 + x 1 x2 x 3 + x 1 x2 x3 + x1 x2 x3

Maxterm dan Bentuk
Kanonik POS
Konversi SOP-POS
Penyederhanaan
Persamaan SOP dan POS

Rangkaian Dua Level

Fungsi f dapat dinyatakan
f

◮

=

Penutup dan Umpan
Balik
Lisensi

=

m0 + m2 + m3 + m7

=
=

x 1 x 2 x 3 + x 1 x2 x 3 + x 1 x2 x3 + x1 x2 x3

 
 

x 1 x 2 x 3 · x 1 x2 x 3 · x 1 x2 x3 · (x1 x2 x3 )

=

(x1 + x2 + x3 ) (x1 + x 2 + x3 ) (x1 + x 2 + x 3 ) (x 1 + x 2 + x 3 )

Meletakkan dasar untuk menyatakan fungsi sebagai
bentuk perkalian semua term perjumlahan, maxterm

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto

42

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Maxterm dan Bentuk Kanonik POS

@2017,Eko Didik
Widianto

◮

◮

Untuk sebuah fungsi dengan n buah variabel
f (x1 , x2 . . . xn )
Sebuah Maxterm dari f adalah satu term penjumlahan
dari n variabel yang ditampilkan sekali baik dalam bentuk
tidak diinverskan maupun diinverskan
◮

◮

Sintesis Rangkaian
Logika
Sintesis dari Tabel
Kebenaran
Minterm dan Bentuk
Kanonik SOP

Jika diberikan satu baris dalam tabel kebenaran, maxterm
dibentuk dengan memasukkan variabel xi jika xi = 0 atau
xi jika xi = 1
Notasi Mj (dengan huruf M besar) merupakan maxterm dari
baris nomor j di tabel kebenaran. Contoh:
◮

◮

◮

Aljabar Boolean

Baris 1 (j = 0), x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0
maxterm: M0 = x1 + x2 + x3
Baris 2 (j = 1), x1 = 0, x2 = 0, x3 = 1
maxterm: M1 = x1 + x2 + x 3

Fungsi fPOS (x1 , x2 . . . xn )
fPOS (x1 , x2 . . . xn ) =

N−1
Q

Mj + fj

j=0

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto

43

Maxterm dan Bentuk
Kanonik POS
Konversi SOP-POS
Penyederhanaan
Persamaan SOP dan POS

Rangkaian Dua Level
Penutup dan Umpan
Balik
Lisensi

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Maxterm dan Bentuk Kanonik POS

@2017,Eko Didik
Widianto

◮ Tiap baris dari tabel

kebenaran membentuk satu
buah maxterm
◮ Fungsi f dapat dinyatakan

dengan ekspresi perkalian
dari semua maxterm di mana
tiap maxterm di-OR-kan
dengan nilai f yang
bersesuaian

Aljabar Boolean
Baris i

x1

x2

x3

maxterm Mi

f

0

0

0

0

x1 + x2 + x3

0

1

0

0

1

x1 + x2 + x 3

1

Sintesis dari Tabel
Kebenaran

2

0

1

0

x1 + x 2 + x3

0

Minterm dan Bentuk
Kanonik SOP

3

0

1

1

x1 + x 2 + x 3

0

4

1

0

0

x 1 + x2 + x3

1

5

1

0

1

x 1 + x2 + x 3

1

6

1

1

0

x 1 + x 2 + x3

1

7

1

1

1

x1 + x2 + x3

0

Sintesis Rangkaian
Logika

Maxterm dan Bentuk
Kanonik POS
Konversi SOP-POS
Penyederhanaan
Persamaan SOP dan POS

Rangkaian Dua Level
Penutup dan Umpan
Balik
Lisensi

◮

f

Contoh: diberikan nilai f seperti tabel di atas, bentuk kanonik
POS:
=

(M0 + 0) (M1 + 1) (M2 + 0) (M3 + 0) (M4 + 1) (M5 + 1) (M6 + 1) (M7 + 0)

=

M0 · M2 · M3 · M7

=

(x1 + x2 + x3 ) (x1 + x 2 + x3 ) (x1 + x 2 + x 3 ) (x 1 + x 2 + x 3 )

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto

44

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Notasi POS

@2017,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean

◮

Sintesis Rangkaian
Logika

Persamaan POS dapat dinyatakan dalam notasi M
f

Minterm dan Bentuk
Kanonik SOP

=

M0 · M2 · M3 · M7

=

(x1 + x2 + x3 ) · (x1 + x 2 + x3 ) · (x1 + x 2 + x 3 ) · (x 1 + x 2 + x 3 )
{z
} |
{z
} |
{z
} |
{z
}
|
0

2

3

Q

Maxterm dan Bentuk
Kanonik POS
Konversi SOP-POS

7

Penyederhanaan
Persamaan SOP dan POS

Rangkaian Dua Level

◮

Notasi Persamaan POS: f =

◮

Persamaan berikut benar untuk fungsi f (x1 , x2 , x3 )di atas:
X

Sintesis dari Tabel
Kebenaran

M(0, 2, 3, 7)

m(1, 4, 5, 6)

=

Y

x 1 x 2 x3 + x1 x 2 x 3 + x1 x 2 x3 + x1 x2 x 3

=

(x1 + x2 + x3 ) (x1 + x 2 + x3 )

Penutup dan Umpan
Balik
Lisensi

M(0, 2, 3, 7)

(x1 + x 2 + x 3 ) (x 1 + x 2 + x 3 )

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto

45

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Contoh POS

@2017,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
Sintesis Rangkaian
Logika

◮

◮

◮

Sintesis dari Tabel
Kebenaran

Persamaan kanonik POS berisi daftar Maxterm yang
bernilai 0

Minterm dan Bentuk
Kanonik SOP
Maxterm dan Bentuk
Kanonik POS

Contoh. Diketahui
Q fungsi POS
f (x1 , x2 , x3 ) = M(1, 3, 4, 7). Tentukan nilai f (0, 0, 1),
f (1, 0, 1) dan f (1, 1, 1)

Konversi SOP-POS
Penyederhanaan
Persamaan SOP dan POS

Rangkaian Dua Level
Penutup dan Umpan
Balik

Solusi. f (0, 0, 1) menyatakan nilai fungsi f jika nilai
masukan x1 = 0, x2 = 0, dan x3 = 1. Nilai f (0, 0, 1) = 0
dan f (1, 1, 1) = 0, karena Maxterm M1 dan M7 terdapat
dalam persamaan, sedangkan f (1, 0, 1) = 1 karena M5
tidak ada dalam daftar persamaan.

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto

Lisensi

46

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Bahasan

@2017,Eko Didik
Widianto

Aljabar Boolean
Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean
Diagram Venn
Notasi Operator dan Prioritas Operasi
Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar

Aljabar Boolean
Sintesis Rangkaian
Logika
Sintesis dari Tabel
Kebenaran
Minterm dan Bentuk
Kanonik SOP
Maxterm dan Bentuk
Kanonik POS
Konversi SOP-POS

Sintesis Rangkaian Logika
Sintesis dari Tabel Kebenaran
Minterm dan Bentuk Kanonik SOP
Maxterm dan Bentuk Kanonik POS
Konversi SOP-POS
Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS

Penyederhanaan
Persamaan SOP dan POS

Rangkaian Dua Level
Penutup dan Umpan
Balik
Lisensi

Rangkaian Dua Level
Rangkaian AND-OR dan OR-AND
Penutup dan Umpan Balik
Lisensi
http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto

47

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Desain Rangkaian SOP/POS

@2017,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean

◮

Jika suatu fungsi f dinyatakan dalam tabel kebenaran,
maka persamaan fungsi f dapat diperoleh dengan dua
cara, yaitu:

Sintesis Rangkaian
Logika
Sintesis dari Tabel
Kebenaran
Minterm dan Bentuk
Kanonik SOP

1. melihat semua baris dalam tabel dimana f = 1
Pendekatan ini menghasilkan persamaan SOP, yaitu jumlah
dari minterm-minterm yang menghasilkan nilai fungsi 1
2. melihat semua baris dalam tabel dimana f = 0
Pendekatan ini menghasilkan persamaan POS, yaitu
perkalian dari Maxterm-Maxterm yang menghasilkan nilai
fungsi 0
X

Maxterm dan Bentuk
Kanonik POS
Konversi SOP-POS
Penyederhanaan
Persamaan SOP dan POS

Rangkaian Dua Level
Penutup dan Umpan
Balik
Lisensi

m(1, 4, 5, 6)

=

Y

x 1 x 2 x3 + x1 x 2 x 3 + x1 x 2 x3

=

(x1 + x2 + x3 ) (x1 + x 2 + x3 ) (x1 + x 2 + x 3 )

+x1 x2 x 3

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

M(0, 2, 3, 7)

(x 1 + x 2 + x 3 )

@2017,Eko Didik Widianto

48

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Konversi Bentuk SOP-POS

@2017,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean

◮

P

Q

Jika suatu fungsi f diberikan dalam bentuk m atau M,
maka dengan
mudah
P
Q dapat dicari fungsi f atau f dalam
bentuk
m atau M

Bentuk
Asal
P
f =
m
(1,4,5,6)

Q
f = M
(0,2,3,7)

Fungsi dan Bentuk yang Diinginkan
P
Q
P
Q
f =
m
f = M
f =
m
f = M
-

Nomor yg
tdk ada dlm
daftar
(1,4,5,6)

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

Nomor yg
tdk ada dlm
daftar
(0,2,3,7)
-

Nomor
yang tdk
ada dlm
daftar
(0,2,3,7)

Nomor
yang ada
dlm daftar
(1,4,5,6)

Nomor
yang ada
dlm daftar
(0,2,3,7)

Nomor yg
tdk ada dlm
daftar
(1,4,5,6)

@2017,Eko Didik Widianto

Sintesis Rangkaian
Logika
Sintesis dari Tabel
Kebenaran
Minterm dan Bentuk
Kanonik SOP
Maxterm dan Bentuk
Kanonik POS
Konversi SOP-POS
Penyederhanaan
Persamaan SOP dan POS

Rangkaian Dua Level
Penutup dan Umpan
Balik
Lisensi

49

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Contoh

@2017,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean

◮

◮

Sintesis Rangkaian
Logika

Nyatakan persamaan
kanonik POS dari fungsi 3 variabel
P
f (x1 , x2 , x3 ) =
m (1, 2, 4, 7)

Sintesis dari Tabel
Kebenaran

Solusi. Persamaan 3 variabel mempunyai 8 buah minterm
atau maxterm yang bernomor 0 sampai 7. Nomor yang
ada dalam persamaan SOP di atas adalah {1, 2, 4, 7} dan
nomor yang tidak ada {0,Q3, 5, 6}, sehingga persamaan
POS dari f (x1 , x2 , x3 ) = M (0, 3, 5, 6). Kesamaan dari
fungsi SOP dan POS tersebut dapat dinyatakan sebagai
X
Y
m (1, 2, 4, 7) =
M (0, 3, 5, 6)
x 1 x 2 x3 + x1 x 2 x3 + x1 x 2 x 3
+x1 x2 x3

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

=

(x1 + x2 + x3 ) (x1 + x 2 + x 3 )
(x 1 + x2 + x 3 ) (x 1 + x 2 + x3 )

@2017,Eko Didik Widianto

50

Minterm dan Bentuk
Kanonik SOP
Maxterm dan Bentuk
Kanonik POS
Konversi SOP-POS
Penyederhanaan
Persamaan SOP dan POS

Rangkaian Dua Level
Penutup dan Umpan
Balik
Lisensi

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Contoh #2

@2017,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
Sintesis Rangkaian
Logika
Sintesis dari Tabel

◮

◮

Kebenaran
Nyatakan persamaan
Q kanonik SOP dari fungsi 4 variabel
Minterm dan Bentuk
Kanonik SOP
f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = M (0, 1, 2, 5, 6, 7, 11, 12)
Maxterm dan Bentuk
Kanonik POS
Solusi. Nomor yang ada dalam persamaan POS adalah
Konversi SOP-POS
Penyederhanaan
{0, 1, 2, 5, 6, 7, 11, 12} dan nomor yang tidak ada adalah
Persamaan SOP dan POS
{3, 4, 8, 9, 10, 13, 14,
15},
sehingga
persamaan
SOP
dari
Rangkaian Dua Level
P
Penutup dan Umpan
f (x1 , x2 , x3 , x4 ) =
m (3, 4, 8, 9, 10, 13, 14, 15).
Balik
Kesamaan dari fungsi POS dan SOP tersebut dapat
Lisensi
dinyatakan sebagai:
Y
X
M (0, 1, 2, 5, 6, 7, 11, 12) =
m (3, 4, 8, 9, 10, 13, 14, 15)

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto

51

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Latihan

@2017,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
Sintesis Rangkaian
Logika
Sintesis dari Tabel
Kebenaran
Minterm dan Bentuk
Kanonik SOP

◮

◮

Diinginkan rangkaian logika dengan 3 masukan x, y dan z.
Keluaran rangkaian harus 1 hanya jika x=1 dan salah satu
(atau kedua) y atau z bernilai 1. Tuliskan ekspresi SOP
dan POS berikut notasi kanoniknya
Cari minterm, Maxterm dan tuliskan bentuk kanonik SOP
dan POS dari fungsi f = (x1 + x2 ) · x 3

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto

52

Maxterm dan Bentuk
Kanonik POS
Konversi SOP-POS
Penyederhanaan
Persamaan SOP dan POS

Rangkaian Dua Level
Penutup dan Umpan
Balik
Lisensi

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Bahasan

@2017,Eko Didik
Widianto

Aljabar Boolean
Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean
Diagram Venn
Notasi Operator dan Prioritas Operasi
Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar

Aljabar Boolean
Sintesis Rangkaian
Logika
Sintesis dari Tabel
Kebenaran
Minterm dan Bentuk
Kanonik SOP
Maxterm dan Bentuk
Kanonik POS
Konversi SOP-POS

Sintesis Rangkaian Logika
Sintesis dari Tabel Kebenaran
Minterm dan Bentuk Kanonik SOP
Maxterm dan Bentuk Kanonik POS
Konversi SOP-POS
Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS

Penyederhanaan
Persamaan SOP dan POS

Rangkaian Dua Level
Penutup dan Umpan
Balik
Lisensi

Rangkaian Dua Level
Rangkaian AND-OR dan OR-AND
Penutup dan Umpan Balik
Lisensi
http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto

53

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Tips Penyederhanaan SOP dan POS

@2017,Eko Didik
Widianto

◮ Operasi penyederhanaan adalah mengurangi minterm atau maxterm di

Aljabar Boolean

ekspresi
◮
◮

Sintesis Rangkaian
Logika

SOP: menggunakan hukum 14a (x · y + x · y = x)
POS: menggunakan hukum 14b ((x + y ) · (x + y ) = x)

Sintesis dari Tabel
Kebenaran
Minterm dan Bentuk
Kanonik SOP

◮ Penggunaan teorema 14a atau 14b akan mengurangi 1 variabel yang

Maxterm dan Bentuk
Kanonik POS

berbeda dalam dua minterm atau Maxterm yang berbeda hanya di 1
variabel tersebut

Konversi SOP-POS
Penyederhanaan
Persamaan SOP dan POS

Rangkaian Dua Level

x1 x 2 x 3 + x1 x 2 x3

=

x1 x 2 (x 3 + x3 )
| {z }

Penutup dan Umpan
Balik

=1

=

Lisensi

x1 x 2

◮ Maxterm x1 + x2 + x3 dan x1 + x 2 + x3 berbeda di 1 variabel, yaitu x2 ,

sehingga dapat disederhanakan menggunakan teorema 14b, yaitu
sebagai berikut:
(x1 + x2 + x3 ) (x1 + x 2 + x3 )

=

x1 + x3 + x2 x 2
| {z }

=

x1 + x 3

=0

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto

54

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Contoh Penyederhanaan SOP

@2017,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean

◮ Beberapa minterm atau maxterm dapat digabungkan menggunakan

Sintesis Rangkaian
Logika

hukum 14a atau 14b jika berbeda hanya di satu variabel saja
f

=

(m1 + m5 ) + (m4 + m5 ) + (m4 + m6 )

=

(x 1 x 2 x3 + x1 x 2 x3 ) + (x1 x 2 x 3 + x1 x 2 x3 ) + (x1 x 2 x 3 + x1 x2 x 3 )

=

(x 1 + x1 ) x 2 x3 + x1 x 2 (x 3 + x3 ) + x1 (x 2 + x2 ) x 3

=

x 2 x3 + x1 x 2 + x1 x 3

Sintesis dari Tabel
Kebenaran
Minterm dan Bentuk
Kanonik SOP
Maxterm dan Bentuk
Kanonik POS
Konversi SOP-POS
Penyederhanaan
Persamaan SOP dan POS

Rangkaian Dua Level

◮ Minterm m4 di atas telah disederhanakan di (m4 + m6 ) dan minterm m5

Penutup dan Umpan
Balik

telah disederhanakan di (m1 + m5 ), sehingga penyederhanaan
(m4 + m5 ) tidak perlu dituliskan kembali atau dihilangkan untuk
menghasilkan persamaan yang ekivalen, namun lebih sederhana.
f

=

(m1 + m5 ) + (m4 + m6 )

=
=

x 1 x 2 x3 + x1 x 2 x3 + x1 x 2 x 3 + x1 x2 x 3
(x 1 + x1 ) x 2 x3 + x1 (x 2 + x2 ) x 3

=

x 2 x3 + x 1 x 3

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto

Lisensi

55

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Contoh Penyederhanaan POS
◮

◮

@2017,Eko Didik
Widianto

Rancang rangkaian POS optimal untuk fungsi
f (x1 , x2 , x3 ) = x 1 x 2 x3 + x1 x 2 x 3 + x1 x 2 x3 + x1 x2 x 3 !
Solusi. FungsiP
SOP tersebut dapat dituliskan sebagai
f (x1 , x2 , x3 ) =
m (1, 4, 5, 6). Karena yang diinginkan
rangkaian POS, maka persamaan SOP tersebut perlu
dikonversi ke dalam POS.
Persamaan POS ekivalennya adalah
f (x1 , x2 , x3 )

Aljabar Boolean
Sintesis Rangkaian
Logika
Sintesis dari Tabel
Kebenaran
Minterm dan Bentuk
Kanonik SOP
Maxterm dan Bentuk
Kanonik POS
Konversi SOP-POS

=

Y

=

(x1 + x2 + x3 ) (x1 + x 2 + x3 ) (x1 + x 2 + x 3 ) (x 1 + x 2Penutup
+ x 3dan
) Umpan

Penyederhanaan
Persamaan SOP dan POS

M (0, 2, 3, 7)

Rangkaian Dua Level
Balik

Terdapat 2 pasangan maxterm yang mempunyai satu
perbedaan, yaitu Maxterm M0 dan M2 (berbeda di x2 ) dan
Maxterm M3 dan M7 (berbeda di x1 ). Penyederhanaan
dengan teorema 14b
f (x1 , x2 , x3 )

=

Lisensi

(M0 · M2 ) · (M3 · M7 )

=

((x1 + x2 + x3 ) (x1 + x 2 + x3 )) ((x1 + x 2 + x 3 ) (x 1 + x 2 + x 3 ))

=

((x1 + x3 ) + x2 x 2 ) (x1 x 1 + (x 2 + x 3 ))

=

(x + x3 ) (x 2 + x 3@2017,Eko
)
Didik Widianto

1
http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

56

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Umpan Balik Sintesis

@2017,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
Sintesis Rangkaian
Logika

1. Diinginkan rangkaian logika dengan 3 masukan x, y dan z
◮

Keluaran rangkaian harus 1 hanya jika x=1 dan salah satu
(atau kedua) y atau z bernilai 1

Sintesis dari Tabel
Kebenaran
Minterm dan Bentuk
Kanonik SOP
Maxterm dan Bentuk
Kanonik POS
Konversi SOP-POS
Penyederhanaan
Persamaan SOP dan POS

1.1 Tuliskan ekspresi SOP dan POS berikut notasinya
1.2 Cari invers fungsi tersebut
1.3 Sederhanakan rangkaian dan gambar rangkaian logikanya

Rangkaian Dua Level
Penutup dan Umpan
Balik

2. Cari minterm, maxterm dan tuliskan bentuk SOP dan POS
dari
◮

fungsi f = (x1 + x2 ) · x 3

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto

57

Lisensi

Aljabar Boolean dan
Sintesis Fungsi Logika

Rangkaian Dua Level

@2017,Eko Didik
Widianto
Aljabar Boolean
Sintesis Rangkaian
Logika
Rangkaian Dua Level
Rangkaian AND-OR dan
OR-AND

◮

Rangkaian logika yang diimplementasikan dari fungsi SOP
dan POS membentuk rangkaian dua level
◮

Fungsi SOP membentuk rangkaian AND-OR
◮

◮

Level pertama rangkaian AND, level kedua rangkaian OR

Fungsi POS membentuk rangkaian OR-AND
◮

Level pertama rangkaian OR, level kedua rangkaian AND

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto

58

Penutup dan Umpan
Balik
Lisensi

Aljabar Boolean d