TSK205 Kuliah 11 Desain Rangkaian Aritmatika v201703

Operasi dan
Rangkaian Aritmatika
@2017,Eko Didik
Widianto (didik@live.undip.ac.id)
Unit Penjumlah 1 Bit
Operasi Aritmetika
Biner

Operasi dan Rangkaian Aritmatika

Rangkaian Aritmetika
Biner

Kuliah#11 TKC205 Sistem Digital

Overflow Aritmatika
Rangkaian Komparator
Biner
Rangkaian Penjumlah
Cepat

Eko Didik Widianto

Rangkaian Penjumlah
Bilangan Lainnya

Departemen Teknik Sistem Komputer, Universitas Diponegoro

Implementasi
Rangkaian Aritmetika
Penutup

11 Maret 2017

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto (didik@live.undip.ac.id)

Lisensi

1

Operasi dan
Rangkaian Aritmatika

Review Kuliah

@2017,Eko Didik
Widianto (didik@live.undip.ac.id)

◮ Di kuliah sebelumnya dibahas tentang:
◮

◮

◮

Unit Penjumlah 1 Bit

Representasi bilangan biner untuk bilangan bulat dan pecahan,
baik tak bertanda maupun bertanda

Bilangan bertanda dinyatakan dalam sign-magnitude, 1’s
complement dan 2’s complement
Bilangan pecahan dinyatakan dengan fixed-point, floating-point
32-bit dan 64-bit

Operasi Aritmetika
Biner
Rangkaian Aritmetika
Biner
Overflow Aritmatika
Rangkaian Komparator
Biner

◮ Selanjutnya akan dibahas tentang:
◮

◮

Operasi penjumlahan dan pengurangan bilangan biner serta unit
penjumlah/pengurang

Rangkaian unit penjumlah/pengurang (ALU, Arithmetic Logic Unit)
◮

◮

Rangkaian Penjumlah
Bilangan Lainnya
Implementasi
Rangkaian Aritmetika

Penyusun: HA (half-adder), FA (full-adder)

Penutup

Susunan rangkaian penjumlah ripple-carry (RCA)
◮

◮

Rangkaian Penjumlah

Cepat

Lisensi

Rangkaian RCA mempunyai kekurangan terkait delay yang
ditimbulkan

Rangkaian fast adder CLA (carry-lookahead adder) sebagai
pengganti RCA

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto (didik@live.undip.ac.id)

2

Operasi dan
Rangkaian Aritmatika

Review Kuliah: Operasi Bilangan

@2017,Eko Didik
Widianto (didik@live.undip.ac.id)
Unit Penjumlah 1 Bit
Operasi Aritmetika
Biner

◮

Operasi: penjumlahan dan pengurangan
◮

◮

◮

◮

Rangkaian Aritmetika
Biner

Penjumlahan A+B menghasilkan hasil jumlah (Sum) dan
simpanan (Carry)
Pengurangan A-B = A+(-B). (-B) dinyatakan dengan 2’s
complement
Rangkaian penjumlah/pengurang n bit dapat diwujudkan
dengan n buah FA (full adder, penjumlah penuh)
Kondisi overflow terjadi jika hasil operasi berada di luar
jangkauan bilangan
◮

Overflow Aritmatika
Rangkaian Komparator
Biner
Rangkaian Penjumlah
Cepat
Rangkaian Penjumlah
Bilangan Lainnya
Implementasi
Rangkaian Aritmetika

Penutup
Lisensi

Perlu rangkaian detektor overflow

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto (didik@live.undip.ac.id)

3

Operasi dan
Rangkaian Aritmatika

Tentang Kuliah

@2017,Eko Didik
Widianto (didik@live.undip.ac.id)
Unit Penjumlah 1 Bit
Operasi Aritmetika

Biner
Rangkaian Aritmetika
Biner

◮

unit penjumlah 1 bit

◮

operasi penjumlahan dan pengurangan bilangan biner

◮

kondisi overflow dalam operasi aritmetika

◮

unit penjumlah/pengurang n bit

◮

rangkaian penjumlah/pengurang dengan deteksi overflow

◮

desain penjumlah cepat n bit
desain dan simulasi penjumlah cepat 32 bit

◮

Overflow Aritmatika
Rangkaian Komparator
Biner
Rangkaian Penjumlah
Cepat
Rangkaian Penjumlah
Bilangan Lainnya
Implementasi
Rangkaian Aritmetika

Penutup
Lisensi

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto (didik@live.undip.ac.id)

4

Operasi dan
Rangkaian Aritmatika

Kompetensi Dasar

@2017,Eko Didik
Widianto (didik@live.undip.ac.id)

◮

Unit Penjumlah 1 Bit

Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa akan mampu:

Operasi Aritmetika
Biner

1. [C3] melakukan operasi penjumlahan dan pengurangan
bilangan biner
2. [C4] menganalis rangkaian penjumlah/pengurang bilangan
biner
3. [C4] mampu menganalisis kondisi overflow dalam suatu
operasi aritmetika
4. [C4] menganalisis rangkaian penjumlah/pengurang n-bit
dengan deteksi overflow
5. [C5] mendesain dan menganalisis rangkaian penjumlah
cepat n-bit
◮

Rangkaian Aritmetika
Biner
Overflow Aritmatika
Rangkaian Komparator
Biner
Rangkaian Penjumlah
Cepat
Rangkaian Penjumlah
Bilangan Lainnya
Implementasi
Rangkaian Aritmetika
Penutup

Link
◮

◮

Lisensi

Website: ❤tt♣✿✴✴❞✐❞✐❦✳❜❧♦❣✳✉♥❞✐♣✳❛❝✳✐❞✴✷✵✶✼✴✵✸✴✵✻✴
t❦❝✷✵✺✲s✐st❡♠✲❞✐❣✐t❛❧✲✷✵✶✻✲❣❡♥❛♣✴
Email: didik@live.undip.ac.id

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto (didik@live.undip.ac.id)

5

Operasi dan
Rangkaian Aritmatika

Buku Acuan/Referensi

@2017,Eko Didik
Widianto (didik@live.undip.ac.id)

Eko Didik Widianto, Sistem Digital:
Analisis, Desain dan Implementasi, Edisi
Pertama, Graha Ilmu, 2014 (Bab 9:
Operasi dan Rangkaian Aritmetika
Biner)
◮ Materi:
◮
◮

◮
◮
◮
◮

◮

Unit Penjumlah 1 Bit
Operasi Aritmetika
Biner
Rangkaian Aritmetika
Biner
Overflow Aritmatika
Rangkaian Komparator
Biner

9.1 Unit Penjumlah 1 Bit
9.2-3 Operasi dan Rangkaian
Aritmetika Biner
9.4 Overflow Aritmetika
9.5 Rangkaian Komparator Biner
9.6 Rangkaian Penjumlah Cepat
9.7 Rangkaian Penjumlah Bilangan
Lainnya
9.8 Implementasi Rangkaian Aritmetika

Rangkaian Penjumlah
Cepat
Rangkaian Penjumlah
Bilangan Lainnya
Implementasi
Rangkaian Aritmetika
Penutup
Lisensi

◮ Website:
◮

❤tt♣✿✴✴❞✐❞✐❦✳❜❧♦❣✳✉♥❞✐♣✳❛❝✳✐❞✴
❜✉❦✉✴s✐st❡♠✲❞✐❣✐t❛❧✴

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto (didik@live.undip.ac.id)

6

Operasi dan
Rangkaian Aritmatika

Bahasan

@2017,Eko Didik
Widianto (didik@live.undip.ac.id)

Unit Penjumlah 1 Bit
Unit Penjumlah 1 Bit
Operasi Aritmetika
Biner

Operasi Aritmetika Biner

Rangkaian Aritmetika
Biner

Rangkaian Aritmetika Biner

Overflow Aritmatika

Overflow Aritmatika

Rangkaian Komparator
Biner
Rangkaian Penjumlah
Cepat

Rangkaian Komparator Biner

Rangkaian Penjumlah
Bilangan Lainnya

Rangkaian Penjumlah Cepat

Implementasi
Rangkaian Aritmetika

Rangkaian Penjumlah Bilangan Lainnya

Penutup
Lisensi

Implementasi Rangkaian Aritmetika
Penutup
Lisensi
http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto (didik@live.undip.ac.id)

7

Operasi dan
Rangkaian Aritmatika

Unit Penjumlah

@2017,Eko Didik
Widianto (didik@live.undip.ac.id)
Unit Penjumlah 1 Bit
Operasi Aritmetika
Biner

◮

◮

◮

Komputer mempunyai unit aritmetik dan logika (ALU,
arithmetic logic unit) untuk menjalankan operasi aritmetika
dan logika dari bilangan biner n bit
Operasi aritmetika penjumlahan dan pengurangan
dilakukan oleh rangkaian penjumlah/pengurang
Rangkaian penjumlah/pengurang ini tersusun atas unit
terkecil, yaitu unit penjumlah 1 bit
◮

◮

@2017,Eko Didik Widianto (didik@live.undip.ac.id)

Overflow Aritmatika
Rangkaian Komparator
Biner
Rangkaian Penjumlah
Cepat
Rangkaian Penjumlah
Bilangan Lainnya
Implementasi
Rangkaian Aritmetika

Unit penjumlah 1 bit dapat diwujudkan dengan rangkaian
penjumlah setengah (HA, half-adder); dan/atau
rangkaian penjumlah penuh (FA, full-adder).

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

Rangkaian Aritmetika
Biner

Penutup
Lisensi

8

Operasi dan
Rangkaian Aritmatika

Operasi Bilangan Unsigned

@2017,Eko Didik
Widianto (didik@live.undip.ac.id)

◮

Operasi penjumlahan 2 bilangan 1-bit memberikan 4
kombinasi yang mungkin
◮
◮

◮

Unit Penjumlah 1 Bit
Operasi Aritmetika
Biner

Terdapat 2 masukan: x dan y
Menghasilkan Sum dan Carry-out

Rangkaian Aritmetika
Biner
Overflow Aritmatika

Diimplementasikan dengan HA (Half-Adder)
◮

Rangkaian Komparator
Biner

Disebut HA karena tidak ada carry-in yang berasal dari unit
penjumlah sebelumnya

Rangkaian Penjumlah
Cepat
Rangkaian Penjumlah
Bilangan Lainnya
Implementasi
Rangkaian Aritmetika
Penutup
Lisensi

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto (didik@live.undip.ac.id)

9

Operasi dan
Rangkaian Aritmatika

Rangkaian Half-Adder (HA)

@2017,Eko Didik
Widianto (didik@live.undip.ac.id)
Unit Penjumlah 1 Bit
Operasi Aritmetika
Biner
Rangkaian Aritmetika
Biner
Overflow Aritmatika
Rangkaian Komparator
Biner
Rangkaian Penjumlah
Cepat
Rangkaian Penjumlah
Bilangan Lainnya

c

=

x ·y

s

=
=

x ·y +x ·y
x ⊕y

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto (didik@live.undip.ac.id)

Implementasi
Rangkaian Aritmetika
Penutup
Lisensi

10

Operasi dan
Rangkaian Aritmatika

Operasi Full-Adder (FA)

@2017,Eko Didik
Widianto (didik@live.undip.ac.id)

◮ Rangkaian FA menyertakan carry-in yang berasal dari carry-out FA

sebelumnya
◮

◮

Unit Penjumlah 1 Bit

Terdapat 3 masukan: x, y dan carry-in. Selanjutnya dinotasikan
dengan xi , yi dan ci
Menghasilkan 2 keluaran: sum dan carry-out. Selanjutnya
dinotasikan dengan si dan ci+1

Operasi Aritmetika
Biner
Rangkaian Aritmetika
Biner
Overflow Aritmatika
Rangkaian Komparator
Biner
Rangkaian Penjumlah
Cepat
Rangkaian Penjumlah
Bilangan Lainnya
Implementasi
Rangkaian Aritmetika
Penutup
Lisensi

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto (didik@live.undip.ac.id)

11

Operasi dan
Rangkaian Aritmatika

Rangkaian Full-Adder (FA)

@2017,Eko Didik
Widianto (didik@live.undip.ac.id)
Unit Penjumlah 1 Bit
Operasi Aritmetika
Biner
Rangkaian Aritmetika
Biner
Overflow Aritmatika
Rangkaian Komparator
Biner
Rangkaian Penjumlah
Cepat
Rangkaian Penjumlah
Bilangan Lainnya

ci+1

si

=

X

=
=

X

Implementasi
Rangkaian Aritmetika

m(3, 5, 6, 7)
xi yi + ci xi + ci yi

Penutup
Lisensi

m(1, 2, 4, 7)

=

c i x i yi + c i xi y i + ci x i y i + ci xi yi
= ci ⊕ xi ⊕ y@2017,Eko
i
http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/
Didik Widianto (didik@live.undip.ac.id)

12

Operasi dan
Rangkaian Aritmatika

Rangkaian Dekomposisi FA

@2017,Eko Didik
Widianto (didik@live.undip.ac.id)
Unit Penjumlah 1 Bit
Operasi Aritmetika
Biner
Rangkaian Aritmetika
Biner
Overflow Aritmatika
Rangkaian Komparator
Biner
Rangkaian Penjumlah
Cepat
Rangkaian Penjumlah
Bilangan Lainnya
Implementasi
Rangkaian Aritmetika
Penutup
Lisensi

ci+1

=
=

xi yi + ci (xi ⊕ yi )
xi yi + ci x i yi + ci xi y i

si

=

ci ⊕ xi ⊕ yi

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto (didik@live.undip.ac.id)

13

Operasi dan
Rangkaian Aritmatika

Fungsi Full-Adder (Dekomposisi Lain)

@2017,Eko Didik
Widianto (didik@live.undip.ac.id)
Unit Penjumlah 1 Bit
Operasi Aritmetika
Biner

◮

◮
◮

◮

Rangkaian Aritmetika
Biner

Persamaan:

Overflow Aritmatika

ci+1 = xi yi + xi ci + yi ci = xi yi + (xi + yi ) ci
si = xi ⊕ yi ⊕ ci

Rangkaian Komparator
Biner
Rangkaian Penjumlah
Cepat

Anggap gi = xi yi dan pi = xi + yi , maka ci+1 = gi + pi ci
◮

◮

Rangkaian Penjumlah
Bilangan Lainnya

Struktur ini akan digunakan untuk mengurangi delay
rangkaian di rangkaian adder n-bit, terutama propagasi
nilai simpan (Carry)
Digunakan di struktur CLA (carry look-ahead)

Implementasi
Rangkaian Aritmetika
Penutup
Lisensi

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto (didik@live.undip.ac.id)

14

Operasi dan
Rangkaian Aritmatika

Operasi Penjumlahan

@2017,Eko Didik
Widianto (didik@live.undip.ac.id)
Unit Penjumlah 1 Bit

◮

Operasi Aritmetika
Biner

Operasi penjumlahan 2 bilangan dengan n-bit (n>1)
◮
◮

Rangkaian Aritmetika
Biner

Tiap pasang bit ditambahkan
Untuk tiap posisi bit i, operasi penjumlahannya mungkin
melibatkan sebuah carry-in dari bit posisi (i-1)

Overflow Aritmatika
Rangkaian Komparator
Biner
Rangkaian Penjumlah
Cepat
Rangkaian Penjumlah
Bilangan Lainnya
Implementasi
Rangkaian Aritmetika
Penutup
Lisensi

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto (didik@live.undip.ac.id)

15

Operasi dan
Rangkaian Aritmatika

Operasi Bilangan Bertanda

@2017,Eko Didik
Widianto (didik@live.undip.ac.id)
Unit Penjumlah 1 Bit

◮

Sign-magnitude
◮

◮

◮

Operasi Aritmetika
Biner

Misalnya: operasi 5-2=? ekivalen dengan 5+(-2)=3.
Bagaimana implementasinya, apakah 0101+1010?
Perlu rangkaian logika untuk membandingkan dan
mengurangkan bilangan

Rangkaian Aritmetika
Biner
Overflow Aritmatika
Rangkaian Komparator
Biner
Rangkaian Penjumlah
Cepat

1’s complement
◮

◮

Rangkaian Penjumlah
Bilangan Lainnya

Misalnya: (-5)+(-2)=(-7). Ekivalen dengan
1010+1101=(1)0111. Carry 1 harus ditambahkan ke 0111
agar menghasilkan 1000 (=-7)
Perlu koreksi untuk mendapatkan hasil yang benar

Implementasi
Rangkaian Aritmetika
Penutup
Lisensi

◮

2’s complement
◮

penjumlahan selalu benar

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto (didik@live.undip.ac.id)

16

Operasi dan
Rangkaian Aritmatika

Operasi Sign-Magnitude

@2017,Eko Didik
Widianto (didik@live.undip.ac.id)
Unit Penjumlah 1 Bit

◮

Hitung operasi pengurangan X-Y jika X=5 dan Y=2

◮

Solusi. X = 0101 dan Y = 0010. Nilai
(−Y ) = −2 = 1010
Operasi X+(-Y), harusnya menghasilkan 3 atau 0011
bi
b4 b3 b2 b1 b0
Ci
0
0
0
0
Xi
0
1
0
1
(5)
-Yi
1
0
1
0 + (-2) +
Si
1
1
1
1
(-7)

◮

◮

Operasi Aritmetika
Biner
Rangkaian Aritmetika
Biner
Overflow Aritmatika
Rangkaian Komparator
Biner
Rangkaian Penjumlah
Cepat
Rangkaian Penjumlah
Bilangan Lainnya
Implementasi
Rangkaian Aritmetika
Penutup
Lisensi

Perlu rangkaian logika untuk membandingkan dan
mengurangkan bilangan

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto (didik@live.undip.ac.id)

17

Operasi dan
Rangkaian Aritmatika

Operasi 1’s Complement

@2017,Eko Didik
Widianto (didik@live.undip.ac.id)
Unit Penjumlah 1 Bit

◮

Hitung operasi pengurangan X-Y jika X=5 dan Y=2

Operasi Aritmetika
Biner

◮

Solusi. X = 0101 dan Y = 0010. Nilai
(−Y ) = −2 = 1101
Operasi X+(-Y), harusnya menghasilkan 3 atau 0011
bi
b4 b3 b2 b1 b0
Ci
1
1
0
1
Xi
0
1
0
1
(5)
-Yi
1
1
0
1 + (-2) +
Si
0
0
1
0
2
Untuk mengoreksi hasil penjumlahan, nilai simpan C4
yang bernilai 1 perlu ditambahkan di S, sehingga
menghasilkan hasil akhir S = 0011

Rangkaian Aritmetika
Biner

◮

◮

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto (didik@live.undip.ac.id)

Overflow Aritmatika
Rangkaian Komparator
Biner
Rangkaian Penjumlah
Cepat
Rangkaian Penjumlah
Bilangan Lainnya
Implementasi
Rangkaian Aritmetika
Penutup
Lisensi

18

Operasi dan
Rangkaian Aritmatika

Operasi 2’s Complement

@2017,Eko Didik
Widianto (didik@live.undip.ac.id)
Unit Penjumlah 1 Bit
Operasi Aritmetika
Biner

◮

Penjumlahan

Rangkaian Aritmetika
Biner
Overflow Aritmatika
Rangkaian Komparator
Biner
Rangkaian Penjumlah
Cepat
Rangkaian Penjumlah
Bilangan Lainnya
Implementasi
Rangkaian Aritmetika
Penutup
Lisensi

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto (didik@live.undip.ac.id)

19

Operasi dan
Rangkaian Aritmatika

Operasi 2’s Complement

@2017,Eko Didik
Widianto (didik@live.undip.ac.id)
Unit Penjumlah 1 Bit

◮

Operasi Aritmetika
Biner

Pengurangan

Rangkaian Aritmetika
Biner
Overflow Aritmatika
Rangkaian Komparator
Biner
Rangkaian Penjumlah
Cepat
Rangkaian Penjumlah
Bilangan Lainnya
Implementasi
Rangkaian Aritmetika
Penutup
Lisensi

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto (didik@live.undip.ac.id)

20

Operasi dan
Rangkaian Aritmatika

Penjumlahan Fixed-Point

@2017,Eko Didik
Widianto (didik@live.undip.ac.id)

◮ Diketahui bilangan fixed-point Q(3,4), A = −1, 625 dan B = 38h.

Tentukan hasil dari operasi berikut: A + B dan A − B

Unit Penjumlah 1 Bit

❴

Operasi Aritmetika
Biner

◮ Solusi. −A = 1, 625 = 0001_1010, sehingga A = 1110 0110

Nilai B = 0011_1000 atau bernilai pecahan B = 3, 5. Nilai
−B = 1100_1000

Rangkaian Aritmetika
Biner
Overflow Aritmatika

bi
Ci
Ai

b4
1

Bi
Si

b3
1
1

b2
1
1

b1
0
1

b0
0
0

b−1
0
0

b−2
0
1

b−3
0
1

b4

0
0

0
0

1
0

1
1

1
1

0
1

0
1

0
0

Rangkaian Komparator
Biner

0

Rangkaian Penjumlah
Cepat

(-1,625)
+

3,500
1,875

+

Implementasi
Rangkaian Aritmetika

◮ Operasi pengurangan A − B = A + (−B) :

bi
Ci
Ai
Bi
Si

b4
1

Penutup

b3
1

b2
0

b1
0

b0
0

b−1
0

b−2
0

b−3
0

b4

1
1
1

1
1
0

1
0
1

0
0
0

0
1
1

1
0
1

1
0
1

0
0
0

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

Rangkaian Penjumlah
Bilangan Lainnya

Lisensi

+

(-1,625)
(-3,500)
(-5,125)

@2017,Eko Didik Widianto (didik@live.undip.ac.id)

+

21

Operasi dan
Rangkaian Aritmatika

Recall:Operasi Penjumlahan

@2017,Eko Didik
Widianto (didik@live.undip.ac.id)
Unit Penjumlah 1 Bit

◮

Operasi Aritmetika
Biner

Operasi penjumlahan 2 bilangan dengan n-bit (n>1)
◮
◮

Rangkaian Aritmetika
Biner

Tiap pasang bit ditambahkan
Untuk tiap posisi bit i, operasi penjumlahannya mungkin
melibatkan sebuah carry-in dari bit posisi (i-1)

Overflow Aritmatika
Rangkaian Komparator
Biner
Rangkaian Penjumlah
Cepat
Rangkaian Penjumlah
Bilangan Lainnya
Implementasi
Rangkaian Aritmetika
Penutup
Lisensi

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto (didik@live.undip.ac.id)

22

Operasi dan
Rangkaian Aritmatika

Rangkaian Ripple Carry Adder (RCA)
◮
◮

◮

Operasi penjumlahan dimulai dari pasangan digit paling kanan
(LSB) sampai ke paling kiri (MSB)
Jika sebuah carry dihasilkan dalam suatu posisi bit i, maka carry
tersebut ditambahkan ke operasi penjumlahan di digit dengan
posisi i+1
Operasi ini dapat diwujudkan dengan sebuah rantai full-adder
(FA) yang dihubungkan seri
◮
◮
◮

Konfigurasi ini disebut sebagai penjumlah ripple-carry
Sinyal carry ’ripple’ dari FA satu ke FA berikutnya
RCA ini mempunyai kelemahan, yaitu adanya delay untuk
meripple carry
◮

@2017,Eko Didik
Widianto (didik@live.undip.ac.id)
Unit Penjumlah 1 Bit
Operasi Aritmetika
Biner
Rangkaian Aritmetika
Biner
Overflow Aritmatika
Rangkaian Komparator
Biner
Rangkaian Penjumlah
Cepat
Rangkaian Penjumlah
Bilangan Lainnya
Implementasi
Rangkaian Aritmetika

Akan diperbaiki dengan struktur CLA

Penutup
Lisensi

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto (didik@live.undip.ac.id)

23

Operasi dan
Rangkaian Aritmatika

Operasi Rangkaian Penjumlah 4 Bit

@2017,Eko Didik
Widianto (didik@live.undip.ac.id)
Unit Penjumlah 1 Bit
Operasi Aritmetika
Biner
Rangkaian Aritmetika
Biner
Overflow Aritmatika
Rangkaian Komparator
Biner
Rangkaian Penjumlah
Cepat
Rangkaian Penjumlah
Bilangan Lainnya

◮ masukan X [3 : 0] = 0101 dan Y [3 : 0] = 0110
◮ FA0 mendapatkan masukan x0 = 1 dan y0 = 0 serta nilai c0 = 0 sebagai

nilai awalnya
◮
◮
◮

Penutup
Lisensi

Keluaran dari FA0 adalah s0 = 1
membawa simpanan c1 = 0 ke FA1
Demikian seterusnya sampai FA3

◮ Rangkaian menghasilkan keluaran S[3 : 0] = 1011 dan C[4 : 1] = 0100

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

Implementasi
Rangkaian Aritmetika

@2017,Eko Didik Widianto (didik@live.undip.ac.id)

24

Operasi dan
Rangkaian Aritmatika

Unit Penjumlah dan Pengurang

@2017,Eko Didik
Widianto (didik@live.undip.ac.id)
Unit Penjumlah 1 Bit

◮

Operasi pengurangan dapat direalisasikan sebagai
operasi penjumlahan dengan menggunakan 2’s
complement di pengurangnya (baik positif maupun negatif)
◮

◮
◮

◮

@2017,Eko Didik Widianto (didik@live.undip.ac.id)

Overflow Aritmatika

Rangkaian Penjumlah
Cepat
Rangkaian Penjumlah
Bilangan Lainnya
Implementasi
Rangkaian Aritmetika

x ⊕ 1 = x dan x ⊕ 0 = x
Jika operasi pengurangan dilakukan, 1’s complementkan
bilangan kedua dengan meng-XOR-kan semua bit dengan 1

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

Rangkaian Aritmetika
Biner

Rangkaian Komparator
Biner

Ini memungkinkan menggunakan rangkaian adder untuk
melakukan penjumlahan dan pengurangan sekaligus

Note: (2’s complement) = (1’s complement) + 1
1’s complement dapat diimplementasikan dengan
menggunakan XOR
◮

Operasi Aritmetika
Biner

25

Penutup
Lisensi

Operasi dan
Rangkaian Aritmatika

Unit Penjumlah dan Pengurang

@2017,Eko Didik
Widianto (didik@live.undip.ac.id)
Unit Penjumlah 1 Bit

◮

Operasi Aritmetika
Biner

Menggunakan 2’s complement di bilangan pengurang

Rangkaian Aritmetika
Biner
Overflow Aritmatika
Rangkaian Komparator
Biner
Rangkaian Penjumlah
Cepat
Rangkaian Penjumlah
Bilangan Lainnya
Implementasi
Rangkaian Aritmetika
Penutup
Lisensi

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto (didik@live.undip.ac.id)

26

Operasi dan
Rangkaian Aritmatika

Overflow Aritmatika

@2017,Eko Didik
Widianto (didik@live.undip.ac.id)

◮ Jika n-bit digunakan untuk merepresentasikan bilangan signed, maka

hasil penjumlahan atau pengurangan harus dalam jangkauan
sampai +2n−1 − 1

−2n−1

Unit Penjumlah 1 Bit

◮ Jika hasil operasi tidak dalam jangkauan ini, maka telah terjadi overflow

aritmatika
#Bit, n

Nama

4

nible, semioctet

8

byte, octet

32

word, long, doubleword, int
doubleword, int64

n

Integer n-bit (bentuk
umum)

Overflow Aritmatika



signed: − 23 s/d 23 − 1
unsigned: 0 s/d 24 − 1


signed: − 27 s/d 27 − 1

half-word, word, short

64

Rangkaian Aritmetika
Biner

Jangkauan

16

Rangkaian Komparator
Biner
Rangkaian Penjumlah
Cepat

unsigned: 0 s/d 28 − 1


signed: − 215 s/d 215 − 1
unsigned: 0 s/d 216 − 1


signed: − 231 s/d 231 − 1
unsigned: 0 s/d 232 − 1


signed: − 263 s/d 263 − 1
unsigned: 0 s/d 264 − 1


signed: − 2n−1 s/d 2n−1 − 1

Rangkaian Penjumlah
Bilangan Lainnya
Implementasi
Rangkaian Aritmetika
Penutup
Lisensi

unsigned: 0 s/d 2n − 1
http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto (didik@live.undip.ac.id)

Operasi Aritmetika
Biner

27

Operasi dan
Rangkaian Aritmatika

Overflow Aritmatika

@2017,Eko Didik
Widianto (didik@live.undip.ac.id)
Unit Penjumlah 1 Bit
Operasi Aritmetika
Biner

◮

Untuk memastikan rangkaian aritmatika beroperasi
dengan benar, perlu pendeteksi kejadian overflow
◮

Rangkaian Aritmetika
Biner
Overflow Aritmatika

Hasil operasi jika overflow, tidak valid

Rangkaian Komparator
Biner
Rangkaian Penjumlah
Cepat
Rangkaian Penjumlah
Bilangan Lainnya
Implementasi
Rangkaian Aritmetika

◮

Untuk operasi 4-bit, jika c3 dan c4 mempunyai nilai yang
sama, maka tidak terjadi overflow

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto (didik@live.undip.ac.id)

Penutup
Lisensi

28

Operasi dan
Rangkaian Aritmatika

Rangkaian Overflow Aritmatika

@2017,Eko Didik
Widianto (didik@live.undip.ac.id)
Unit Penjumlah 1 Bit

◮

Overflow dapat dideteksi dengan:
◮

◮

Operasi Aritmetika
Biner

overflow = c3 ⊕ c4

Rangkaian Aritmetika
Biner

Untuk bilangan n-bit
◮

Overflow Aritmatika

overflow = cn−1 ⊕ cn

Rangkaian Komparator
Biner
Rangkaian Penjumlah
Cepat
Rangkaian Penjumlah
Bilangan Lainnya
Implementasi
Rangkaian Aritmetika
Penutup
Lisensi

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto (didik@live.undip.ac.id)

29

Operasi dan
Rangkaian Aritmatika

Contoh Overflow

@2017,Eko Didik
Widianto (didik@live.undip.ac.id)

◮ Diketahui bilangan fixed-point Q(3,4), A = −4, 625 dan B = 38h.
Unit Penjumlah 1 Bit

Tentukan hasil dari operasi A + B dan A − B serta status overflow dari
operasi tersebut
bi
Ci
Ai

b4
0

Bi
Si

b3
0
1

b2
1
0

b1
1
1

b0
0
1

b−1
0
0

b−2
0
1

b−3
0
1

b4

0
1

0
1

1
1

1
0

1
1

0
1

0
1

0
0

OV
bi
Ci
Ai
Bi
Si

b4
1

=

Overflow Aritmatika

+

3,500
-1,125

+

Rangkaian Komparator
Biner
Rangkaian Penjumlah
Cepat
Rangkaian Penjumlah
Bilangan Lainnya

b1
0

b0
0

b−1
0

b−2
0

b−3
0

b4

1
1
0

0
1
1

1
0
1

1
0
1

0
1
1

1
0
1

1
0
1

0
0
0

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

(-4,625)

C3 ⊕ C4 = 0 ⊕ 0 = 0

b2
0

=

Rangkaian Aritmetika
Biner

0

b3
0

OV

Operasi Aritmetika
Biner

Implementasi
Rangkaian Aritmetika
Penutup

+

Lisensi

(-4,625)
(-3,500)
7,875

+

C3 ⊕ C4 = 0 ⊕ 1 = 1
@2017,Eko Didik Widianto (didik@live.undip.ac.id)

30

Operasi dan
Rangkaian Aritmatika

Rangkaian Komparator Bilangan

@2017,Eko Didik
Widianto (didik@live.undip.ac.id)
Unit Penjumlah 1 Bit
Operasi Aritmetika
Biner

◮

Misalnya: Bandingkan dua bilangan X = x3 x2 x1 x0 dan
Y = y3 y2 y1 y0
◮
◮

Overflow Aritmatika

Bisa diimplementasikan dengan rangkaian pengurang (X-Y)
Terdapat 3 output: Z, N, V
◮
◮
◮

◮

Rangkaian Aritmetika
Biner

Z=1 jika (X-Y)=0, hasil lainnya Z=0
N=1 jika (X-Y)