Bilangan Kromatik Lokasi n Amalgamasi Bintang yang Dihubungkan suatu Lintasan | Asmiati | Jurnal Matematika Integratif 11891 34474 1 PB
Jurnal Matematika Integratif.
Vol. 13, No. 2 (2017), pp. 115–121.
p-ISSN:1412-6184, e-ISSN:2549-903
doi:10.24198/jmi.v13.n2.11891.115-121
Bilangan Kromatik Lokasi n Amalgamasi Bintang
yang dihubungkan oleh suatu Lintasan
Asmiati
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Lampung
Jl. Brodjonegoro No. 1 Gd. Meneng, Bandar Lampung
asmiati308@yahoo.com, asmiati.1976@fmipa.unila.ac.id
Abstrak
Bilangan kromatik lokasi graf diperkenalkan oleh Chartrand et al. pada tahun 2002.
Konsep ini merupakan perpaduan dari konsep dimensi partisi dan pewarnaan graf.
Penentuan bilangan kromatik lokasi suatu graf dilakukan dengan mengkonstruksi
batas atasnya dan penentuan batas bawahnya. Dalam paper ini, kami mengkaji
tentang bilangan kromatik lokasi amalgamasi bintang tertentu, yang dinotasikan
dengan nSk,m . Bilangan kromatik lokasi nSk,m untuk
k, m ≥ 2, k ≤ m, dengan
m
m
n, k, m bilangan asli adalah (m+1), jika 1 ≤ n ≤ k−1
dan(m+2), untuk n ≤ k−1
Kata kunci: amalgamasi bintang, bilangan kromatik lokasi graf, pewarnaan graf.
Abstract
The locating chromatic number of a graph was introduced by Chartrand
et al in 2002. This concept is combined from the graph partition dimension and graph coloring. Determining the locating chromatic number of
graph with construct the upper bound and the lower bound of the graph.
In this paper, we determine the locating chromatic number for certain
amalgamation of stars, denoted by nSk,m . We prove that the locating
chromatic number, nSk,m
numbers
n, k, m
k, m ≥ 2, k ≤ m, natural
for,
m
m
is (m + 1), if 1 ≤ n ≤ k−1 and (m + 2), for n ≤ k−1 .
Keywords : amalgamation of stars, locating-chromatic number of graph, graph coloring
1. Pendahuluan
Bilangan kromatik lokasi pada suatu graf merupakan pengembangan konsep dimensi
partisi (Chartrand, et al, [6]) dan pewarnaan suatu graf. Berikut ini diberikan definisi bilangan
kromatik lokasi graf yang diambil dari Chartrand, et al, [7]. Misalkan c suatu pewarnaan titik
pada graf G dengan warna titik u tidak sama dengan warna titik v(c(u) 6= (v)) untuk u dan v
yang bertetangga di G. Misalkan Ci himpunan titiktitik yang diberi warna i, yang selanjutnya
disebut kelas warna dan Π = C1 , C2 , , Ck adalah himpunan yang terdiri dari kelas kelas warna
dari V (G). Kode warna cΠ (v) dari v adalah k-pasang terurut (d(v, C1 ), d(v, C2 ), , d(v, Ck ))
dengan d(v, Ci ) = min{d(v, x)x ∈ Ci } untuk 1 ≤ i ≤ k. Selanjutnya, k-pasang terurut dari
kode warna tersebut, kita nyatakan dengan komponen ke-1,, komponen ke-k. Jika setiap titik
di V (G) mempunyai kode warna yang berbeda, maka c disebut pewarnaan lokasi dari graf G.
2000 Mathematics Subject Classification: 05C12, 05C15.
Received: 2017-04-18; accepted: 2017-11-01
115
116
Asmiati, JMI Vol 13 No 2 Okt 2017, pp. 115-121,doi:10.24198/jmi.v13.n2.11891.115-121
Banyaknya warna minimum yang digunakan untuk pewarnaan lokasi tersebut disebut bilangan
kromatik lokasi dari G, dan dinotasikan dengan χL (G).
Teorema 1.1. (Chartrand, et al, [7]) Misalkan G graf terhubung dan c suatu pewarnaan lokasi
pada G. Jika s dan t adalah dua titik berbeda di G sedemikian sehingga d(s, u) = d(t, u) untuk
setiap u ∈ V (G)\{s, t}, maka c(s) 6= c(t). Dalam hal khusus, jika s dan t adalah titik-titik yang
tidak bertetangga di G sedemikian sehingga N (s) = N (t) , maka c(s) 6= c(t).
Bukti. Misalkan c adalah suatu pewarnaan lokasi pada graf terhubung G dan misalkan
Π = {C1 , C2 , , Ck } adalah himpunan kelas-kelas warna dariV (G). Untuk titik s, t ∈ V (G),
andaikan c(s) = c(t) sedemikian sehingga titik s, t ∈ V (G), andaikan c(s) = c(t) sedemikian
sehingga titik s dan t berada dalam kelas warna yang sama, misal Ci dari Π. Akibatnya, d(s, Ci ) = d(t, Ci ) = 0. Karena d(s, u) = d(t, u) untuk setiap u ∈ V (G)\{s, t} maka
d(s, Ci ) = d(t, Cj ) untuk setiap j ∈
/ i, 1 ≤ j ≤≤ k. Akibatnya, cΠ (s) = cΠ (t) sehingga c bukan
pewarnaan lokasi. Jadi c(s) 6= c(t)
✷
Akibat 1.2. (Chartrand, et al, [7]) Jika G adalah suatu graf terhubung dan terdapat titik yang
bertetangga dengan k daun di G, maka χL (G) ≥ k + 1.
Kajian bilangan kromatik lokasi pada suatu graf merupakan hal yang menarik hingga
saat ini, karena belum adanya teorema yang dapat digunakan untuk menentukan bilangan
kromatik lokasi graf secara umum. Pada graf pohon, Chartrand et al. [7] telah mendapatkan
bilangan kromatik lokasi pada graf lintasan, graf bintang, graf bintang ganda, graf ulat, dan graf
pohon berorde n ≥ 5, yang memiliki bilangan kromatik lokasi 3, 4, , n kecuali n−1. Selanjutnya
Asmiati et al. [1],[2] telah mendapatkan bilangan kromatik lokasi pada graf amalgamasi bintang
homogen dan graf kembang api; Des Welyyanti [8] untuk graf pohon n-ary lengkap, dan Asmiati
[4] pada graf amalgamasi bintang tak homogen.
Beberapa kajian tentang karakterisasi graf amalgamasi pohon dengan bilangan kromatik
lokasi tertentu juga telah dilakukan diantaranya adalah: Chartrand et al. [7] telah mendapatkan karakterisasi graf berbilangan kromatik lokasi (n − 1) atau (n − 2); Asmiati et al. [3]
untuk karakterisasi graf memuat siklus berbilangan kromatik lokasi tiga; Baskoro et al. [5]
telah mendapatkan karakterisasi semua pohon berbilangan kromatik lokasi tiga.
Berdasarkan hasil-hasil yang sudah didapatkan oleh Asmiati et al [1] dan Asmiati [4],
maka pada paper ini didiskusikan tentang bilangan kromatik lokasi amalgamasi bintang tertentu, yaitu n buah amalgamasi bintang homogen yang dihubungkan oleh sebuah lintasan.
2. Hasil dan Pembahasan
Misalkan Sm+2 , adalah graf bintang dengan (m + 2) titik. Amalgamasi bintang, Sk,m
dengan k, m ≥ 2 adalah graf yang diperoleh dari (k − 1) buah graf bintang Sm+2 , dengan cara
menyatukan sebuah daun dari setiap graf Sm+2 . Titik penyatuan tersebut disebut titik pusat
Sk,m . Graf nSk,m adalah graf yang diperoleh dari n kopi graf Sk,m , yang mana setiap titik
pusat Sk,m , xi , , i = 1, 2, , n dihubungkan oleh suatu lintasan dan (n − 1) titik baru, dinotasikan
yi , i = 1, 2, , n − 1 merupakan titik-titik subdivisi pada sisi xi xi+1 , i = 1, 2, , n − 1. Selanjutnya,
pada graf nSk,m , titik pusat untuk setiap Sm+2 , , dinotasikan denganlji , i = 1, 2, 3, , n dan
j = 1, 2, 3, , k − 1, sedangkan daun ke- t yang menempel pada titik lji , dinotasikan dengan
lj ti , t = 1, 2, 3, , m.
Pada bagian ini akan didiskusikan bilangan kromatik lokasi nSk,m untuk k ≤ m dengan
n, k, m bilangan asli.
Teorema 2.1. Misalkan nSk,m adalah graf amalgamasi bintang tertentu untuk ,k, m ≥ 2,
k ≤ m, dengan n, k, m bilangan asli
k
j
(
m
m + 1; 1 ≤ n ≤ k−1
χL (nSk,m ) =
m + 2; lainnya
Bilangan Kromatik Lokasi n Amalgamasi Bintan
117
Pertama-tama
j akan
k ditentukan batas bawah
j
kdan batas atas dari χL (nSk,m )
m
m
untuk 1 ≤ n ≤ 1 ≤ n ≤ k−1 1 ≤ n ≤ 1 ≤ n ≤ k−1 . Karena setiap titik lji untuk
i = 1, 2, 3, , n dan j = 1, 2, 3, , k − 1 bertetangga dengan m daun, maka berdasarkan Akibat
1.1, χL (nSk,mj) ≥ km + 1. Selanjutnya akan ditentukan batas atas dari χL (nSk,m ) untuk 1 ≤
Bukti.
n≤1≤n≤
warna, yaitu
•
•
•
•
m
k−1
. Misalkan c adalah suatu pewarnaan dari V (nSk,m ) menggunakan (m + 1)
c(xi ) = 1, untuk i = 1, 2, 3, , n
c(yi ) = 2, untuk i ganjil dan c(yi ) = 3, untuk i genap, i = 1, 2, 3, , n − 1
{c(lji )} = 2, 3, , m + 1, untuk i = 1, 2, 3, , n dan j = 1, 2, 3, , k − 1
{c(lj ti )} = 1, 2, 3, , m + 1\{c(lji )}, untuk i = 1, 2, 3, , n dan j = 1, 2, 3, , k − 1 dan
t = 1, 2, 3, , m
Akibatnya pewarnaan c akan membangun suatu partisi Π = {C1 , C2 , C3 , , Cm+1 } pada
V (nSk,m ) , dengan Ci adalah himpunan dari semua titik yang bewarna i untuk i = 1, 2, 3, , m+
1.
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa kode warna untuk setiap titik di V (nSk,m )berbeda.
Misalkan u, v ∈ V (nSk,m ) dan c(u) = c(v) maka pandang kasus-kasus berikut ini:
• Jika u = xi , v = xk untuk suatu i, k dan i 6= k, maka cΠ (u) 6= cΠ (v) karena d(u, Ci ) 6=
d(v, Ci ).
• Jikau = xi , v = lj ti untuk suatui, j, t, maka cΠ (u) 6= cΠ (v), karena pada cΠ (u) , titik
yang diberi warna (m + 1) terdapat sekurang-kurangnya dua komponen bernilai satu,
sedangkan pada cΠ (v), titik yang diberi warna (m + 1) memuat tepat satu komponen
yang bernilai 1.
• Jika u = xi , v = lj th untuk suatu i, h, j, t dan i 6= h, maka cΠ (u) 6= cΠ (v), karena pada
cΠ (u) , titik yang diberi warna (m + 1) terdapat sekurang-kurangnya dua komponen
bernilai satu, sedangkan pada cΠ (v), titik yang diberi warna (m + 1) memuat tepat
tepat satu komponen yang bernilai 1.
• Jikau = yi , v = lji , untuk suatu i, j maka cΠ (u) 6= cΠ (v). karena pada cΠ (u) , titik
yang diberi warna (m + 1) terdapat tepat dua komponen yang bernilai 1, sedangkan
pada c(v), titik yang diberi warna (m+1) terdapat sekurang-kurangnya dua komponen
bernilai satu.
• Jika u = yi , v = ljk , untuk suatu i, k, j dan i 6= k maka cΠ (u) 6= cΠ (v) karena pada
cΠ (u) , titik yang diberi warna (m + 1) terdapat tepat dua komponen yang bernilai
1, sedangkan pada c(v), titik yang diberi warna (m + 1) terdapat sekurang-kurangnya
dua komponen bernilai satu.
• Jika u = yi , v = lj ti untuk suatu i, j, t maka cΠ (u) 6= cΠ (v). karena pada cΠ (u), titik
yang diberi warna (m + 1) terdapat tepat dua komponen yang bernilai 1, sedangkan
pada c(v), titik yang diberi warna (m + 1) terdapat tepat satu komponen yang bernilai
satu.
• Jika u = yi , v = lj tk untuk suatu i, k, j, t dan i 6= k maka cΠ (u) 6= cΠ (v) karena pada
cΠ (u) , titik yang diberi warna (m + 1) terdapat tepat dua komponen yang bernilai 1,
sedangkan pada c(v), titik yang diberi warna (m + 1) terdapat tepat satu komponen
yang bernilai satu.
• Jika u = lji , v = lj ti maka untuk suatu i, j, t maka cΠ (u) 6= cΠ (v)karena pada cΠ (u), titik
yang diberi warna (m + 1) terdapat sekurang-kurangnya dua komponen bernilai satu,
sedangkan pada c(v), titik yang diberi warna (m + 1) terdapat tepat satu komponen
yang bernilai satu.
• Jika u = lji , v = lh tk , maka untuk suatu i, j, k, h, t dan i 6= k, j 6= h maka cΠ (u) 6= cΠ (v)
karena pada cΠ (u), titik yang diberi warna (m + 1) terdapat sekurang-kurangnya dua
komponen bernilai satu, sedangkan pada c(v), titik yang diberi warna (m + 1) terdapat
tepat satu komponen yang bernilai satu.
118
Asmiati, JMI Vol 13 No 2 Okt 2017, pp. 115-121,doi:10.24198/jmi.v13.n2.11891.115-121
u = lj ti , v = lh ti , maka untuk suatu i, j, h, t, j 6= h maka cΠ (u) 6= cΠ (v) karena
c(lji ) 6= c(lhi ) sehingga d(u, Ci ) 6= d(v, Ci ).
u = lj ti , v = lj tk , maka untuk suatu i, j, k, t, i 6= k maka cΠ (u) 6= cΠ (v) karena
c(lji ) 6= c(ljk ) sehingga d(u, Ci ) 6= d(v, Ci ).
k
j
m
adalah
Dapat dilihat bahwa kode warna dari semua titik di V (nSk,m )untuk n ≤ k−1
• Jika
titik
• Jika
titik
berbeda, maka c merupakan pewarnaan lokasi. Jadi χL (nSk,m ) ≤ m + 1 . Akibatnya diperoleh
χL (nSk,m ) = m + 1 .
j
k
m
Selanjutnya akan ditentukan batas bawah dan batas atas untuk n > k−1
. Berdasarkan
j
k
m
Akibat 1.1, diperoleh χL (nSk,m ) ≥ m + 1 untuk n > k−1
. Akan ditunjukkan bahwa
(m + 1) tidaklah cukup untuk mewarnai nSk,m . Untuk suatu kontradiksi, andaikan
j
kterdapat
pewarnaan lokasi c pada nSk,m menggunakan (m + 1) warna. Karena n >
{c(lji )}
m
k−1
, maka
{c(ljk )}
terdapat suatu i,j,k dengan i 6= k sedemikian hingga
=
= {1, 2, 3, , m + 1}.
Akibatnya cΠ (lji ) = cΠ (ljk ), maka c bukan merupakan pewarnaan lokasi, suatu kontradiksi.
j
k
m
Jadi χL (S( k, m)) ≥ m + 2 untuk n > k−1
.
j
k
m
Misalkan c adalah pewarnaan nSk,m menggunakan (m+2) warna untuk n > k−1
. Beri
warna titik titik di nSk,m sebagai berikut:
•
•
•
•
c(xi ) = 1, untuk i = 1, 2, 3, , n
c(yi ) = 2, untuki ganjil dan c(yi ) = 3, untuk i genap, i = 1, 2, 3, , n
{c(lji )} = {2, 3, , m + 2}, untuk i = 1, 2, 3, , n dan j = 1, 2, 3, , k − 1
i
)} = {1, 2, 3, , m + 2}\{c(lji )}, untuk i = 1, 2, 3, , n dan j = 1, 2, 3, , k − 1 dan
{c(ljt
t = 1, 2, 3, , m.
• Jika A = 1, 2, 3, , m + 2, didefinisikan
(
A\{1, 2}, jikai = 1, j = 1
i
{c(ljt )t = 1, 2, 3, , m} =
A\{m + 2}, lainnya.
Pewarnaan c akan membangun suatu partisi Π = V (nSk,m ). Akan ditunjukkan bahwa
kode warna semua titik di nSk,m berbeda.
Untuk i ≥ 2 ganjil
0; komponen ke − 1
1; komponen ke − 2
cΠ (x1 ) =
2; komponen ke − (m + 1)
2; lainnya
Untuk i ≥ 2 genap
0; komponenke − 1
1; komponen ke − 2danke − k
cΠ (xi ) =
2; komponen ke(m + 1)
i + 3; lainnya
0; komponenke − 1
2; komponen ke − 2
cΠ (xi ) =
1; komponen ke − (m + 1)
i + 3; lainnya
Bilangan Kromatik Lokasi n Amalgamasi Bintan
Untuk i ≥ 2 ganjil
Untuk i ≥ 2 genap
1; komponenke − 1
0; komponen ke − 2
cΠ (y1 ) = 1; komponen ke − k
3; komponen ke − (m + 1)
3; lainnya
1; komponenke − 1
0;
komponen ke − 2
cΠ (yi ) = 1; komponen ke − 3
3; komponen ke − (m + 1)
i + 2; lainnya
1; komponen ke − 1
1; komponen ke − 2
cΠ (yi ) = 0; komponen ke − 3
3; komponen ke − (m + 1)
i + 2; lainnya
1; komponen ke − 1
cΠ (l11 ) = 1; komponen ke − (m + 1)
1; lainnya
1; komponen ke − 1
0; komponen ke − (k − 1)
1
cΠ (lk−1
)=
1; komponen ke − (m + 1)
3; lainnya
Untuk j = 2, 3, , k − 1
1; komponen ke − 1
0; komponen ke − (j + 1)
cΠ (lj1 ) =
1; komponen ke − (m + 1)
3; lainnya
Untuk i ≥ 2j = 1, 2, 3, , k − 1
Untuk t = 2, 3, , m
1; komponen ke − 1
1; komponen ke − 2
cΠ (lji ) =
1; komponen ke − (m + 1)
i + 4; lainnya
2; komponen ke − 1
1; komponen ke − 2
1
cΠ (l11
)=
2; komponen ke − (m + 1)
0; lainnya
119
120
)
Asmiati, JMI Vol 13 No 2 Okt 2017, pp. 115-121,doi:10.24198/jmi.v13.n2.11891.115-121
2; komponen ke − 1
1; komponen ke − 2
1
cΠ (l1t ) = 0; komponen ke − (t + 1)
2; komponen ke − (m + 1)
2; lainnya
2; komponen ke − 1
1; komponen ke − 2
1
cΠ (l1m
)=
0; komponen ke − (m + 1)
2; lainnya
2; komponen ke − 1
1; komponen ke − (k − 1)
1
cΠ (l(k−1)m
)=
0; komponen ke − (m + 1)
4; lainnya
Untuk i ≥ 2, j = 1, 2, 3, , k − 1, t = 1, 2, 3, , m
0; komponen ke − t
i
cΠ (ljm
) = 1; komponen ke − (j + 1)
i + 5; lainnya
Karena kode warna semua titik di V (nSk,m ) berbeda,
k maka c merupakan pewarnaan
j
m
lokasi pada nSk,m . Jadi χL (nSk,m ) ≤ m+2 untuk n > k−1 . Akibatnya, χL (nSk,m ) = m+2.
✷
Sebagai ilustrasi, diberikan pewarnaan lokasi nS3,4 untuk 1 ≤ n ≤ 2 yang dapat dilihat
pada gambar berikut:
Gambar 1. Pewarnaan lokasi minimum pada graf 2S3,4
Sebagai ilustrasi, diberikan pewarnaan lokasi nS3,4 untuk n > 2 yang dapat dilihat pada
gambar berikut:
Gambar 2. Pewarnaan lokasi minimum pada graf nS3,4 untuk n > 2
121
Bilangan Kromatik Lokasi n Amalgamasi Bintan
3. Simpulan
Bilangan kromatik lokasi pada graf nSjk,m untuk
k, m ≥ 2, k ≤ m, dengan
k
j n,kk, m bilangan
asli adalah (m + 1), jika 1 ≤ n ≤ 1 ≤ n ≤
ini dapat dilanjutkan untuk k > m.
m
k−1
dan (m + 2), untuk n >
m
k−1
. Penelitian
Daftar Pustaka
[1] Asmiati, H. Assiyatun, E.T. Baskoro, 2011, Locating- chromatic number of amalgamation of stars, ITB
J.Sci., 43A, 1-8.
[2] Asmiati, H. Assiyatun, E.T. Baskoro, D. Suprijanto, R. Simanjuntak, S. Uttunggadewa, 2012, Locatingchromatic number of firecracker graphs, Far East J. Math.Sci., 63(1), 11-23.
[3] Asmiati, E.T. Baskoro, 2012, Characterizing of graphs containing cycle with locating-chromatic number
three, AIP Conf. Proc., 1450, 351-357.
[4] Asmiati, Locating-chromatic number of non homogeneous amalgamation of stars, 2014, Far East J. Math.
Sci., 93(1), 89-96.
[5] E. T. Baskoro, Asmiati, 2013, Characterizing all trees with locating-chromatic number 3, Elec. J. Graph
Theory Appl. 1(2), 109-117.
[6] G. Chartrand, E. Salehi, dan P. Zhang, 1998, On the partition dimension of graph, Congr. Numer., 130,
157-168.
[7] G. Chartrand, D. Erwin, M.A. Henning, P.J. Slater, dan P. Zhang, 2003, Graph of order n with locatingchromatic number n-1, Discrete Math., 269, 65-79.
[8] Des Welyyanti, E.T. Baskoro, R. Simanjuntak, S. Uttunggadewa, 2013, On locating-chromatic number of
complete n-ary tree, ACKE Int. J. Graphs Comb., 10(3), 309-319.
122
Asmiati, JMI Vol 13 No 2 Okt 2017, pp. 115-121,doi:10.24198/jmi.v13.n2.11891.115-121
Vol. 13, No. 2 (2017), pp. 115–121.
p-ISSN:1412-6184, e-ISSN:2549-903
doi:10.24198/jmi.v13.n2.11891.115-121
Bilangan Kromatik Lokasi n Amalgamasi Bintang
yang dihubungkan oleh suatu Lintasan
Asmiati
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Lampung
Jl. Brodjonegoro No. 1 Gd. Meneng, Bandar Lampung
asmiati308@yahoo.com, asmiati.1976@fmipa.unila.ac.id
Abstrak
Bilangan kromatik lokasi graf diperkenalkan oleh Chartrand et al. pada tahun 2002.
Konsep ini merupakan perpaduan dari konsep dimensi partisi dan pewarnaan graf.
Penentuan bilangan kromatik lokasi suatu graf dilakukan dengan mengkonstruksi
batas atasnya dan penentuan batas bawahnya. Dalam paper ini, kami mengkaji
tentang bilangan kromatik lokasi amalgamasi bintang tertentu, yang dinotasikan
dengan nSk,m . Bilangan kromatik lokasi nSk,m untuk
k, m ≥ 2, k ≤ m, dengan
m
m
n, k, m bilangan asli adalah (m+1), jika 1 ≤ n ≤ k−1
dan(m+2), untuk n ≤ k−1
Kata kunci: amalgamasi bintang, bilangan kromatik lokasi graf, pewarnaan graf.
Abstract
The locating chromatic number of a graph was introduced by Chartrand
et al in 2002. This concept is combined from the graph partition dimension and graph coloring. Determining the locating chromatic number of
graph with construct the upper bound and the lower bound of the graph.
In this paper, we determine the locating chromatic number for certain
amalgamation of stars, denoted by nSk,m . We prove that the locating
chromatic number, nSk,m
numbers
n, k, m
k, m ≥ 2, k ≤ m, natural
for,
m
m
is (m + 1), if 1 ≤ n ≤ k−1 and (m + 2), for n ≤ k−1 .
Keywords : amalgamation of stars, locating-chromatic number of graph, graph coloring
1. Pendahuluan
Bilangan kromatik lokasi pada suatu graf merupakan pengembangan konsep dimensi
partisi (Chartrand, et al, [6]) dan pewarnaan suatu graf. Berikut ini diberikan definisi bilangan
kromatik lokasi graf yang diambil dari Chartrand, et al, [7]. Misalkan c suatu pewarnaan titik
pada graf G dengan warna titik u tidak sama dengan warna titik v(c(u) 6= (v)) untuk u dan v
yang bertetangga di G. Misalkan Ci himpunan titiktitik yang diberi warna i, yang selanjutnya
disebut kelas warna dan Π = C1 , C2 , , Ck adalah himpunan yang terdiri dari kelas kelas warna
dari V (G). Kode warna cΠ (v) dari v adalah k-pasang terurut (d(v, C1 ), d(v, C2 ), , d(v, Ck ))
dengan d(v, Ci ) = min{d(v, x)x ∈ Ci } untuk 1 ≤ i ≤ k. Selanjutnya, k-pasang terurut dari
kode warna tersebut, kita nyatakan dengan komponen ke-1,, komponen ke-k. Jika setiap titik
di V (G) mempunyai kode warna yang berbeda, maka c disebut pewarnaan lokasi dari graf G.
2000 Mathematics Subject Classification: 05C12, 05C15.
Received: 2017-04-18; accepted: 2017-11-01
115
116
Asmiati, JMI Vol 13 No 2 Okt 2017, pp. 115-121,doi:10.24198/jmi.v13.n2.11891.115-121
Banyaknya warna minimum yang digunakan untuk pewarnaan lokasi tersebut disebut bilangan
kromatik lokasi dari G, dan dinotasikan dengan χL (G).
Teorema 1.1. (Chartrand, et al, [7]) Misalkan G graf terhubung dan c suatu pewarnaan lokasi
pada G. Jika s dan t adalah dua titik berbeda di G sedemikian sehingga d(s, u) = d(t, u) untuk
setiap u ∈ V (G)\{s, t}, maka c(s) 6= c(t). Dalam hal khusus, jika s dan t adalah titik-titik yang
tidak bertetangga di G sedemikian sehingga N (s) = N (t) , maka c(s) 6= c(t).
Bukti. Misalkan c adalah suatu pewarnaan lokasi pada graf terhubung G dan misalkan
Π = {C1 , C2 , , Ck } adalah himpunan kelas-kelas warna dariV (G). Untuk titik s, t ∈ V (G),
andaikan c(s) = c(t) sedemikian sehingga titik s, t ∈ V (G), andaikan c(s) = c(t) sedemikian
sehingga titik s dan t berada dalam kelas warna yang sama, misal Ci dari Π. Akibatnya, d(s, Ci ) = d(t, Ci ) = 0. Karena d(s, u) = d(t, u) untuk setiap u ∈ V (G)\{s, t} maka
d(s, Ci ) = d(t, Cj ) untuk setiap j ∈
/ i, 1 ≤ j ≤≤ k. Akibatnya, cΠ (s) = cΠ (t) sehingga c bukan
pewarnaan lokasi. Jadi c(s) 6= c(t)
✷
Akibat 1.2. (Chartrand, et al, [7]) Jika G adalah suatu graf terhubung dan terdapat titik yang
bertetangga dengan k daun di G, maka χL (G) ≥ k + 1.
Kajian bilangan kromatik lokasi pada suatu graf merupakan hal yang menarik hingga
saat ini, karena belum adanya teorema yang dapat digunakan untuk menentukan bilangan
kromatik lokasi graf secara umum. Pada graf pohon, Chartrand et al. [7] telah mendapatkan
bilangan kromatik lokasi pada graf lintasan, graf bintang, graf bintang ganda, graf ulat, dan graf
pohon berorde n ≥ 5, yang memiliki bilangan kromatik lokasi 3, 4, , n kecuali n−1. Selanjutnya
Asmiati et al. [1],[2] telah mendapatkan bilangan kromatik lokasi pada graf amalgamasi bintang
homogen dan graf kembang api; Des Welyyanti [8] untuk graf pohon n-ary lengkap, dan Asmiati
[4] pada graf amalgamasi bintang tak homogen.
Beberapa kajian tentang karakterisasi graf amalgamasi pohon dengan bilangan kromatik
lokasi tertentu juga telah dilakukan diantaranya adalah: Chartrand et al. [7] telah mendapatkan karakterisasi graf berbilangan kromatik lokasi (n − 1) atau (n − 2); Asmiati et al. [3]
untuk karakterisasi graf memuat siklus berbilangan kromatik lokasi tiga; Baskoro et al. [5]
telah mendapatkan karakterisasi semua pohon berbilangan kromatik lokasi tiga.
Berdasarkan hasil-hasil yang sudah didapatkan oleh Asmiati et al [1] dan Asmiati [4],
maka pada paper ini didiskusikan tentang bilangan kromatik lokasi amalgamasi bintang tertentu, yaitu n buah amalgamasi bintang homogen yang dihubungkan oleh sebuah lintasan.
2. Hasil dan Pembahasan
Misalkan Sm+2 , adalah graf bintang dengan (m + 2) titik. Amalgamasi bintang, Sk,m
dengan k, m ≥ 2 adalah graf yang diperoleh dari (k − 1) buah graf bintang Sm+2 , dengan cara
menyatukan sebuah daun dari setiap graf Sm+2 . Titik penyatuan tersebut disebut titik pusat
Sk,m . Graf nSk,m adalah graf yang diperoleh dari n kopi graf Sk,m , yang mana setiap titik
pusat Sk,m , xi , , i = 1, 2, , n dihubungkan oleh suatu lintasan dan (n − 1) titik baru, dinotasikan
yi , i = 1, 2, , n − 1 merupakan titik-titik subdivisi pada sisi xi xi+1 , i = 1, 2, , n − 1. Selanjutnya,
pada graf nSk,m , titik pusat untuk setiap Sm+2 , , dinotasikan denganlji , i = 1, 2, 3, , n dan
j = 1, 2, 3, , k − 1, sedangkan daun ke- t yang menempel pada titik lji , dinotasikan dengan
lj ti , t = 1, 2, 3, , m.
Pada bagian ini akan didiskusikan bilangan kromatik lokasi nSk,m untuk k ≤ m dengan
n, k, m bilangan asli.
Teorema 2.1. Misalkan nSk,m adalah graf amalgamasi bintang tertentu untuk ,k, m ≥ 2,
k ≤ m, dengan n, k, m bilangan asli
k
j
(
m
m + 1; 1 ≤ n ≤ k−1
χL (nSk,m ) =
m + 2; lainnya
Bilangan Kromatik Lokasi n Amalgamasi Bintan
117
Pertama-tama
j akan
k ditentukan batas bawah
j
kdan batas atas dari χL (nSk,m )
m
m
untuk 1 ≤ n ≤ 1 ≤ n ≤ k−1 1 ≤ n ≤ 1 ≤ n ≤ k−1 . Karena setiap titik lji untuk
i = 1, 2, 3, , n dan j = 1, 2, 3, , k − 1 bertetangga dengan m daun, maka berdasarkan Akibat
1.1, χL (nSk,mj) ≥ km + 1. Selanjutnya akan ditentukan batas atas dari χL (nSk,m ) untuk 1 ≤
Bukti.
n≤1≤n≤
warna, yaitu
•
•
•
•
m
k−1
. Misalkan c adalah suatu pewarnaan dari V (nSk,m ) menggunakan (m + 1)
c(xi ) = 1, untuk i = 1, 2, 3, , n
c(yi ) = 2, untuk i ganjil dan c(yi ) = 3, untuk i genap, i = 1, 2, 3, , n − 1
{c(lji )} = 2, 3, , m + 1, untuk i = 1, 2, 3, , n dan j = 1, 2, 3, , k − 1
{c(lj ti )} = 1, 2, 3, , m + 1\{c(lji )}, untuk i = 1, 2, 3, , n dan j = 1, 2, 3, , k − 1 dan
t = 1, 2, 3, , m
Akibatnya pewarnaan c akan membangun suatu partisi Π = {C1 , C2 , C3 , , Cm+1 } pada
V (nSk,m ) , dengan Ci adalah himpunan dari semua titik yang bewarna i untuk i = 1, 2, 3, , m+
1.
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa kode warna untuk setiap titik di V (nSk,m )berbeda.
Misalkan u, v ∈ V (nSk,m ) dan c(u) = c(v) maka pandang kasus-kasus berikut ini:
• Jika u = xi , v = xk untuk suatu i, k dan i 6= k, maka cΠ (u) 6= cΠ (v) karena d(u, Ci ) 6=
d(v, Ci ).
• Jikau = xi , v = lj ti untuk suatui, j, t, maka cΠ (u) 6= cΠ (v), karena pada cΠ (u) , titik
yang diberi warna (m + 1) terdapat sekurang-kurangnya dua komponen bernilai satu,
sedangkan pada cΠ (v), titik yang diberi warna (m + 1) memuat tepat satu komponen
yang bernilai 1.
• Jika u = xi , v = lj th untuk suatu i, h, j, t dan i 6= h, maka cΠ (u) 6= cΠ (v), karena pada
cΠ (u) , titik yang diberi warna (m + 1) terdapat sekurang-kurangnya dua komponen
bernilai satu, sedangkan pada cΠ (v), titik yang diberi warna (m + 1) memuat tepat
tepat satu komponen yang bernilai 1.
• Jikau = yi , v = lji , untuk suatu i, j maka cΠ (u) 6= cΠ (v). karena pada cΠ (u) , titik
yang diberi warna (m + 1) terdapat tepat dua komponen yang bernilai 1, sedangkan
pada c(v), titik yang diberi warna (m+1) terdapat sekurang-kurangnya dua komponen
bernilai satu.
• Jika u = yi , v = ljk , untuk suatu i, k, j dan i 6= k maka cΠ (u) 6= cΠ (v) karena pada
cΠ (u) , titik yang diberi warna (m + 1) terdapat tepat dua komponen yang bernilai
1, sedangkan pada c(v), titik yang diberi warna (m + 1) terdapat sekurang-kurangnya
dua komponen bernilai satu.
• Jika u = yi , v = lj ti untuk suatu i, j, t maka cΠ (u) 6= cΠ (v). karena pada cΠ (u), titik
yang diberi warna (m + 1) terdapat tepat dua komponen yang bernilai 1, sedangkan
pada c(v), titik yang diberi warna (m + 1) terdapat tepat satu komponen yang bernilai
satu.
• Jika u = yi , v = lj tk untuk suatu i, k, j, t dan i 6= k maka cΠ (u) 6= cΠ (v) karena pada
cΠ (u) , titik yang diberi warna (m + 1) terdapat tepat dua komponen yang bernilai 1,
sedangkan pada c(v), titik yang diberi warna (m + 1) terdapat tepat satu komponen
yang bernilai satu.
• Jika u = lji , v = lj ti maka untuk suatu i, j, t maka cΠ (u) 6= cΠ (v)karena pada cΠ (u), titik
yang diberi warna (m + 1) terdapat sekurang-kurangnya dua komponen bernilai satu,
sedangkan pada c(v), titik yang diberi warna (m + 1) terdapat tepat satu komponen
yang bernilai satu.
• Jika u = lji , v = lh tk , maka untuk suatu i, j, k, h, t dan i 6= k, j 6= h maka cΠ (u) 6= cΠ (v)
karena pada cΠ (u), titik yang diberi warna (m + 1) terdapat sekurang-kurangnya dua
komponen bernilai satu, sedangkan pada c(v), titik yang diberi warna (m + 1) terdapat
tepat satu komponen yang bernilai satu.
118
Asmiati, JMI Vol 13 No 2 Okt 2017, pp. 115-121,doi:10.24198/jmi.v13.n2.11891.115-121
u = lj ti , v = lh ti , maka untuk suatu i, j, h, t, j 6= h maka cΠ (u) 6= cΠ (v) karena
c(lji ) 6= c(lhi ) sehingga d(u, Ci ) 6= d(v, Ci ).
u = lj ti , v = lj tk , maka untuk suatu i, j, k, t, i 6= k maka cΠ (u) 6= cΠ (v) karena
c(lji ) 6= c(ljk ) sehingga d(u, Ci ) 6= d(v, Ci ).
k
j
m
adalah
Dapat dilihat bahwa kode warna dari semua titik di V (nSk,m )untuk n ≤ k−1
• Jika
titik
• Jika
titik
berbeda, maka c merupakan pewarnaan lokasi. Jadi χL (nSk,m ) ≤ m + 1 . Akibatnya diperoleh
χL (nSk,m ) = m + 1 .
j
k
m
Selanjutnya akan ditentukan batas bawah dan batas atas untuk n > k−1
. Berdasarkan
j
k
m
Akibat 1.1, diperoleh χL (nSk,m ) ≥ m + 1 untuk n > k−1
. Akan ditunjukkan bahwa
(m + 1) tidaklah cukup untuk mewarnai nSk,m . Untuk suatu kontradiksi, andaikan
j
kterdapat
pewarnaan lokasi c pada nSk,m menggunakan (m + 1) warna. Karena n >
{c(lji )}
m
k−1
, maka
{c(ljk )}
terdapat suatu i,j,k dengan i 6= k sedemikian hingga
=
= {1, 2, 3, , m + 1}.
Akibatnya cΠ (lji ) = cΠ (ljk ), maka c bukan merupakan pewarnaan lokasi, suatu kontradiksi.
j
k
m
Jadi χL (S( k, m)) ≥ m + 2 untuk n > k−1
.
j
k
m
Misalkan c adalah pewarnaan nSk,m menggunakan (m+2) warna untuk n > k−1
. Beri
warna titik titik di nSk,m sebagai berikut:
•
•
•
•
c(xi ) = 1, untuk i = 1, 2, 3, , n
c(yi ) = 2, untuki ganjil dan c(yi ) = 3, untuk i genap, i = 1, 2, 3, , n
{c(lji )} = {2, 3, , m + 2}, untuk i = 1, 2, 3, , n dan j = 1, 2, 3, , k − 1
i
)} = {1, 2, 3, , m + 2}\{c(lji )}, untuk i = 1, 2, 3, , n dan j = 1, 2, 3, , k − 1 dan
{c(ljt
t = 1, 2, 3, , m.
• Jika A = 1, 2, 3, , m + 2, didefinisikan
(
A\{1, 2}, jikai = 1, j = 1
i
{c(ljt )t = 1, 2, 3, , m} =
A\{m + 2}, lainnya.
Pewarnaan c akan membangun suatu partisi Π = V (nSk,m ). Akan ditunjukkan bahwa
kode warna semua titik di nSk,m berbeda.
Untuk i ≥ 2 ganjil
0; komponen ke − 1
1; komponen ke − 2
cΠ (x1 ) =
2; komponen ke − (m + 1)
2; lainnya
Untuk i ≥ 2 genap
0; komponenke − 1
1; komponen ke − 2danke − k
cΠ (xi ) =
2; komponen ke(m + 1)
i + 3; lainnya
0; komponenke − 1
2; komponen ke − 2
cΠ (xi ) =
1; komponen ke − (m + 1)
i + 3; lainnya
Bilangan Kromatik Lokasi n Amalgamasi Bintan
Untuk i ≥ 2 ganjil
Untuk i ≥ 2 genap
1; komponenke − 1
0; komponen ke − 2
cΠ (y1 ) = 1; komponen ke − k
3; komponen ke − (m + 1)
3; lainnya
1; komponenke − 1
0;
komponen ke − 2
cΠ (yi ) = 1; komponen ke − 3
3; komponen ke − (m + 1)
i + 2; lainnya
1; komponen ke − 1
1; komponen ke − 2
cΠ (yi ) = 0; komponen ke − 3
3; komponen ke − (m + 1)
i + 2; lainnya
1; komponen ke − 1
cΠ (l11 ) = 1; komponen ke − (m + 1)
1; lainnya
1; komponen ke − 1
0; komponen ke − (k − 1)
1
cΠ (lk−1
)=
1; komponen ke − (m + 1)
3; lainnya
Untuk j = 2, 3, , k − 1
1; komponen ke − 1
0; komponen ke − (j + 1)
cΠ (lj1 ) =
1; komponen ke − (m + 1)
3; lainnya
Untuk i ≥ 2j = 1, 2, 3, , k − 1
Untuk t = 2, 3, , m
1; komponen ke − 1
1; komponen ke − 2
cΠ (lji ) =
1; komponen ke − (m + 1)
i + 4; lainnya
2; komponen ke − 1
1; komponen ke − 2
1
cΠ (l11
)=
2; komponen ke − (m + 1)
0; lainnya
119
120
)
Asmiati, JMI Vol 13 No 2 Okt 2017, pp. 115-121,doi:10.24198/jmi.v13.n2.11891.115-121
2; komponen ke − 1
1; komponen ke − 2
1
cΠ (l1t ) = 0; komponen ke − (t + 1)
2; komponen ke − (m + 1)
2; lainnya
2; komponen ke − 1
1; komponen ke − 2
1
cΠ (l1m
)=
0; komponen ke − (m + 1)
2; lainnya
2; komponen ke − 1
1; komponen ke − (k − 1)
1
cΠ (l(k−1)m
)=
0; komponen ke − (m + 1)
4; lainnya
Untuk i ≥ 2, j = 1, 2, 3, , k − 1, t = 1, 2, 3, , m
0; komponen ke − t
i
cΠ (ljm
) = 1; komponen ke − (j + 1)
i + 5; lainnya
Karena kode warna semua titik di V (nSk,m ) berbeda,
k maka c merupakan pewarnaan
j
m
lokasi pada nSk,m . Jadi χL (nSk,m ) ≤ m+2 untuk n > k−1 . Akibatnya, χL (nSk,m ) = m+2.
✷
Sebagai ilustrasi, diberikan pewarnaan lokasi nS3,4 untuk 1 ≤ n ≤ 2 yang dapat dilihat
pada gambar berikut:
Gambar 1. Pewarnaan lokasi minimum pada graf 2S3,4
Sebagai ilustrasi, diberikan pewarnaan lokasi nS3,4 untuk n > 2 yang dapat dilihat pada
gambar berikut:
Gambar 2. Pewarnaan lokasi minimum pada graf nS3,4 untuk n > 2
121
Bilangan Kromatik Lokasi n Amalgamasi Bintan
3. Simpulan
Bilangan kromatik lokasi pada graf nSjk,m untuk
k, m ≥ 2, k ≤ m, dengan
k
j n,kk, m bilangan
asli adalah (m + 1), jika 1 ≤ n ≤ 1 ≤ n ≤
ini dapat dilanjutkan untuk k > m.
m
k−1
dan (m + 2), untuk n >
m
k−1
. Penelitian
Daftar Pustaka
[1] Asmiati, H. Assiyatun, E.T. Baskoro, 2011, Locating- chromatic number of amalgamation of stars, ITB
J.Sci., 43A, 1-8.
[2] Asmiati, H. Assiyatun, E.T. Baskoro, D. Suprijanto, R. Simanjuntak, S. Uttunggadewa, 2012, Locatingchromatic number of firecracker graphs, Far East J. Math.Sci., 63(1), 11-23.
[3] Asmiati, E.T. Baskoro, 2012, Characterizing of graphs containing cycle with locating-chromatic number
three, AIP Conf. Proc., 1450, 351-357.
[4] Asmiati, Locating-chromatic number of non homogeneous amalgamation of stars, 2014, Far East J. Math.
Sci., 93(1), 89-96.
[5] E. T. Baskoro, Asmiati, 2013, Characterizing all trees with locating-chromatic number 3, Elec. J. Graph
Theory Appl. 1(2), 109-117.
[6] G. Chartrand, E. Salehi, dan P. Zhang, 1998, On the partition dimension of graph, Congr. Numer., 130,
157-168.
[7] G. Chartrand, D. Erwin, M.A. Henning, P.J. Slater, dan P. Zhang, 2003, Graph of order n with locatingchromatic number n-1, Discrete Math., 269, 65-79.
[8] Des Welyyanti, E.T. Baskoro, R. Simanjuntak, S. Uttunggadewa, 2013, On locating-chromatic number of
complete n-ary tree, ACKE Int. J. Graphs Comb., 10(3), 309-319.
122
Asmiati, JMI Vol 13 No 2 Okt 2017, pp. 115-121,doi:10.24198/jmi.v13.n2.11891.115-121