BILANGAN KROMATIK LOKASI GRAF AMALGAMASI BINTANG TERTENTU

LOCATING-CHROMATIC NUMBER OF CERTAIN
AMALGAMATION OF STAR GRAPHS
Abstract
is the
Let c be a proper k-coloring of connected graph G and
of v is ordered
set consisting of the color classes of V(G). The color code
|
= min
) which is
k-tuple (
for
. If every G has different color code, then c is called the locating
coloring of G. The minimum numbers of colors needed in a locating coloring of
is called the locating chromatic number of G, denoted by
Amalgamation of star graphs,
obtained from
copies of amalgamation
star
by connecting a leaf from each
through a track. The result

of the research are:
If
,
and
then
(
)
to

,

, and
(
)

then

(

)

then
(
for another .

another

)

. If

to

Keywords: Graph, Color code, Locating-chromatic number

,

, then

BILANGAN KROMATIK LOKASI GRAF AMALGAMASI

BINTANG TERTENTU
ABSTRAK

Misalkan c adalah suatu pewarnaan-k sejati dari graf terhubung G dan
adalah himpunan yang terdiri dari kelas – kelas warna
dari v adalah k-pasang terurut
dari V(G). Kode warna
|
untuk
= min
) dengan
(
. Jika setiap G mempunyai kode warna yang berbeda, maka c disebut
pewarnaan lokasi G. Banyaknya warna minimum yang diperlukan dalam
pewarnaan lokasi dari G disebut bilangan kromatik lokasi graf G, dinotasikan

Graf amalgamasi bintang,
diperoleh dari buah graf bintang amalgamasi
dengan cara menghubungkan sebuah daun dari setiap
melalui sebuah

lintasan. Hasil dari penelitian adalah : Jika
,
, dan
maka
, selanjutnya (
)
untuk
(
)
untuk

lainnya. Jika
untuk
.

, selanjutnya

(

dan

)

maka

Kata Kunci : Graf, Kode warna, Bilangan kromatik lokasi

(
untuk

)
lainnya.

BILANGAN KROMATIK LOKASI GRAF AMALGAMASI
BINTANG TERTENTU

Oleh

C. Ike Tri Widyastuti

Tesis

Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar
Magister Sains
Pada
Jurusan Matematika Program Studi Magister Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

MAGISTER MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2015

BILANGAN KROMATIK LOKASI GRAF AMALGAMASI
BINTANG TERTENTU

Tesis

Oleh

C. Ike Tri Widyastuti

MAGISTER MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2015

DAFTAR GAMBAR

Halaman
Gambar 1.

Jalur penerbangan bandara Chicago dan bandara - bandara
tujuannya ...............................................................................

Gambar 2.

buah graf bintang

2

.......................................................

5

Gambar 3.

Graf

..............................................................................

6

Gambar 4.

Contoh graf G dengan 7 titik dan 8 sisi ..................................

9

Gambar 5.

Graf

......................................................

12

Gambar 6.

Contoh graf

Eulerian ..........................................................

12

Gambar 7.

Contoh graf

Halmitonian ....................................................

13

Gambar 8.

Contoh pohon dan hutan ........................................................

14

Gambar 9.

Graf bintang

....................................................................

14

..........................................................

15

Gambar 11. Graf ulat..................................................................................

15

Gambar 12. Graf pohon pisang

..........................................................

16

Gambar 13. Graf kembang api

............................................................

16

dan graf ,

Gambar 10. Graf bintang ganda

Gambar 14. Graf almagamasi bintang

................................................

Gambar 15. Contoh bilangan kromatik dengan

........................

17
20

Gambar 16. Contoh pewarnaan lokasi minimum pada Graf

..................

22

Gambar 17. Pewarnaan lokasi minimum pada graf lintasan

.................

23

Gambar 18. Pewarnaan lokasi minimum pada Graf

...........................

24

Gambar 19. Pohon T dari berorde

..........................

24

Gambar 20. Pewarnaan lokasi minimum pada graf

............................

28

Gambar 21. Pewarnaan lokasi minimum pada graf

............................

29

............................................................

34

Gambar 22. Konstruksi graf

dengan

Gambar 23. Pewarnaan lokasi minimum pada graf

untuk

Gambar 24. Pewarnaan lokasi minimum pada graf

untuk

Gambar 25. Pewarnaan lokasi minimum pada graf

untuk

dan

39

...

44

..............................................................................

50

Gambar 26. Pewarnaan lokasi minimum
dan

2

pada graf

untuk

..............................................................................

52

DAFTAR ISI

Halaman
DAFTAR ISI ..............................................................................................

i

DAFTAR GAMBAR .................................................................................

ii

BAB I

PENDAHULUAN

1.1

Latar Belakang Masalah .............................................................

1

1.2

Perumusan Masalah ....................................................................

5

1.3

Tujuan Penelitian ........................................................................

6

1.4

Manfaat Penelitian ......................................................................

7

BAB II KONSEP DASAR GRAF DAN GRAF POHON
2.1

Konsep Dasar Graf ......................................................................

8

2.2

Graf Pohon dan Beberapa Kelas dari Graf Pohon ......................

13

BAB III METODOLOGI PENELITIAN
BAB IV BILANGAN KROMATIK LOKASI GRAF
BAB V HASIL DAN PEMBAHASAN
5.1

Bilangan Kromatik Lokasi

untuk

dengan

Bilangan Asli ................................................................................
5.2

Bilangan Kromatik Lokasi

untuk

35

dengan

Bilangan Asli ................................................................................

44

BAB VI KESIMPULAN DAN SARAN
6.1

Kesimpulan ...................................................................................

53

6.2

Saran ..............................................................................................

54

DAFTAR PUSTAKA

MOTO

Yang harus diwaspadai dalam sebuah perjalanan bukanlah waktu, tetapi langkah
kaki. Waktu akan terus melaju, sementara langkah kaki kapan saja bisa berhenti.
Semangat tanpa batas.

PERSEMBAHAN

Karya ini kupersembahkan untuk yang terkasih:

Ayahanda dan Ibunda, Alm. Bapak D. Saridjo Dwiatmoko
dan Ibu Christina Kamtini.
Kakak dan Adikku, Mas Ahen, Mbak Henny,
Elis, dan Tata.
Sahabat kehidupanku, Joseph Emmanuel.

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Tanjung Karang pada tanggal 23 Januari 1976 merupakan
anak ketiga dari lima bersaudara pasangan Bapak Dominicus Saridjo Dwiatmoko
dan Ibu Christina Kamtini.
Pendidikan formal yang pernah ditempuh :
1. Sekolah Dasar (SD) di SD Xaverius Rawa Laut, Bandar Lampung pada tahun
1983 – 1989.
2. Sekolah Menengah Pertama (SMP) di SMP Xaverius Pasir Gintung, Bandar
Lampung pada tahun 1989 – 1992.
3. Sekolah Menengah Atas (SMA) di SMA Pangudi Luhur Van Lith Muntilan,
Jawa Tengah tahun 1992 – 1995.
4. S1 Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Sanata Dharma Yogyakarta pada tahun 1995 – 2002.
5. Akta Mengajar Universitas Negeri Yogyakarta pada tahun 2004-2005

Pada tahun 2002 sampai dengan 2004 penulis bekerja sebagai guru di SMA Santa
Maria Nanga Pinoh Kalimantan Barat dan pada bulan Juli 2005 sampai sekarang,
penulis menjadi guru tetap Yayasan Dwi Bhakti di SMA Fransiskus Bandar
Lampung.

SANWACANA

Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah Bapa sumber
kehidupan dan pengharapan yang telah melimpahkan
berkat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis
yang

berjudul

“Bilangan

Kromatik

Lokasi

Graf

Amalgamasi Bintang Tertentu“.

Tesis ini merupakan salah satu syarat yang harus dipenuhi guna memperoleh gelar
Magister Sains

di Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam, Universitas Lampung. Penulis menyadari bahwa penulisan
tesis ini tidak terlepas dari bantuan dan dorongan dari berbagai pihak, baik secara
moril maupun materil. Pada kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terima
kasih kepada :

1. Ibu Dr. Asmiati, S.Si., M.Si, selaku pembimbing I sekaligus pembimbing
akademik yang telah memberikan bimbingan, arahan, dan sumbangan
pemikiran dalam penulisan tesis ini.
2. Bapak Drs. Suharsono, M.S.,M.Sc.,Ph.D, selaku Pembimbing II yang telah
membantu memberikan bimbingan serta arahan kepada penulis.

3. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc, Ph.D, selaku Ketua Jurusan Matematika
serta pembahas yang memberikan arahan, saran, dan kritik yang
membangun pada penulis dalam menyelesaikan tesis ini.
4. Bapak Drs. Mustofa Usman, M.A, Ph.D, selaku Ketua Program Studi
Magister Matematika yang telah membimbing dan memberikan arahan
kepada penulis.
5. Seluruh dosen yang telah mendidik dan membimbing penulis selama
menyelesaikan masa studi.
6. Orang tua penulis khususnya Ibu dan Alm. Bapak serta keluarga yang
selalu mendoakan, memberikan semangat, dan dukungan kepada penulis
dari awal masa studi sampai penulisan tesis ini selesai.
7. Sahabat kehidupanku, Joseph Emmanuel yang selalu menemani dan
memberi energi semangat selama penulis berjuang menyelesaikan studi.
8. Sr. M. Pauli, FSGM selaku kepala sekolah dan segenap rekan kerja penulis
di SMA Fransiskus Bandar Lampung untuk semangat dan perhatiannya
selama penulis berjuang menyelesaikan studi.
9. Teman-teman angkatan 2013 atas diskusi, kebersamaan, dan suasana
kuliah yang indah dan tak terlupakan.

Harapan penulis semoga Tuhan Yang Maha Esa berkenan membalas segala kebaikan
semua pihak yang telah membantu. Semoga

tulisan ini dapat bermanfaat bagi

perkembangan ilmu pengetahuan.

Bandar Lampung, Oktober 2015
Penulis

I.

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Konsep teori graf diperkenalkan pertama kali oleh seorang matematikawan Swiss,
Leonard Euler pada tahun 1736, dalam permasalahan jembatan Konigsberg. Teori
graf merupakan salah satu bagian ilmu dari matematika yang semakin lama semakin
berkembang. Banyak permasalahan yang dapat dinyatakan dan diselesaikan dengan
menggunakan teori graf. Salah satunya adalah menyelesaikan masalah jalur
penerbangan untuk menentukan jalur tercepat .

Jalur tercepat atau terpendek sangat dibutuhkan dalam penerbangan guna efesiensi
bahan bakar dan waktu. Pesawat tidak bisa berlama-lama di udara karena bahan bakar
pesawat yang terbatas. Jadwal penerbangan juga sudah ditentukan sehingga tidak
boleh terjadi keterlambatan penerbangan. Jalur tercepat lebih mengutamakan jarak
antara pesawat dengan bandara tujuan. Jalur ini akan membentuk jalur alternatif.
Pengambilan jalur terpendek dari bandara asal ke bandara tujuan dapat dilakukan
dengan membuat grafik garis, seperti contoh pada Gambar 1. jalur penerbangan
bandara Chicago dan bandara-bandara tujuannya.

2

Gambar 1. Jalur penerbangan bandara Chicago dan bandara-bandara tujuannya

Alternatif yang digunakan dalam menyelesaikan masalah jalur penerbangan tersebut
adalah

dengan

menggunakan

graf.

Graf

merupakan

alat

bantu

untuk

merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut.
Pengambilan jalur terpendek dari bandara asal ke bandara tujuan dapat dilakukan
dengan membuat grafik garis. Dengan demikian, permasalahan jalur terpendek
tersebut dapat direprensentasikan dalam graf, dimisalkan bandara Chicago dan
bandara-bandara tujuan sebagai titik (vertex) dan jalur penerbangannya dinyatakan
sebagai sisi (edge).

Dalam permasalahan penerbangan menentukan jalur tercepat dapat menggunakan
metode pewarnaan graf. Pewarnaan tersebut berdasarkan perbedaan level ketinggian.
Sehingga akan lebih mudah dalam menentukan jalurnya dan semakin mudah untuk
dilihat jalur mana yang akan memberikan alternatif terbaik. Salah satu teori graf yang

3

memiliki kontribusi besar bagi perkembangan ilmu pengetahuan

adalah teori

pewarnaan lokasi.

Kajian tentang pewarnaan lokasi adalah kajian yang cukup baru dalam teori graf.
Misalkan c suatu pewarnaan titik pada graf G dengan ( )
yang bertetangga di G. Misalkan

himpunan titik–titik yang diberi warna i, yang

selanjutnya disebut kelas warna, maka Π = { ,

,

,

( ,

untuk 1

), ( ,

),

, ( ,

)

dengan

} adalah himpunan yang
( ) dari v adalah k-pasang

terdiri dari kelas – kelas warna dari V(G). Kode warna
terurut

( ) untuk u dan v

( ,

) = min{ ( , )|

}

. Jika setiap G mempunyai kode warna yang berbeda, maka c disebut

pewarnaan lokasi G. Bilangan kromatik lokasi dari G, dan dinotasikan dengan
adalah bilangan terkecil

sehingga

( )

mempunyai pewarnaaan- lokasi (Chartrand,

dkk, 2002).

Teori pewarnaan lokasi pertama kali dikaji oleh Chartrand dkk. (2002) dengan
menentukan lokasi dari beberapa kelas graf sebagai berikut. Untuk lintasan
3 diperoleh
(

berlaku
diperoleh

( ) = 3. Untuk graf siklus diperoleh dua hasil yaitu

) = 3 dan untuk

genap berlaku

(

ganjil

) = 4. Selanjutnya juga

( ) untuk graf multipartit lengkap dan graf bintang ganda. Pada tahun

2003 Chartrand dkk. membuktikan bahwa bilangan kromatik lokasi graf
orde

dengan

yang memuat graf multipartit lengkap berorde (

induksinya, berada pada selang

(

)

,

dengan

1) sebagai subgraf

dan juga graf-graf yang mempunyai

4

2). Selain itu, Chartrand dkk.

bilangan kromatik lokasi dengan batas atasnya (
(2003) menunjukkan bahwa terdapat pohon berorde
lokasi

{3, 4,

jika dan hanya jika

,

5 dengan bilangan kromatik

2, }.

Selanjutnya beberapa penelitian Asmiati dkk. (2011-2014) juga memberikan
pemikiran untuk melatarbelakangi kajian penelitian ini. Pada tahun 2011-2012,
Asmiati dkk. berhasil meneliti bilangan kromatik lokasi graf amalgamasi bintang,
bilangan kromatik lokasi kembang api (firecracker graph), karakterisasi graf memuat
siklus dengan bilangan kromatik lokasi tiga, dan dimensi partisi graf amalgamasi
bintang. Sedangkan pada tahun 2013-2014, Asmiati dkk. berhasil meneliti
karakterisasi graf pohon dengan bilangan kromatik lokasi tiga, graf amalgamasi
pohon berbilangan kromatik lokasi empat dan bilangan kromatik lokasi graf
amalgamasi bintang non homogen. Masalah penentuan bilangan kromatik lokasi pada
suatu graf, masih terbuka untuk dikaji karena belum adanya teorema yang digunakan
untuk menentukan bilangan kromatik lokasi pada sembarang graf.

Graf amalgamasi bintang

,

adalah gabungan (amalgamasi) dari graf-graf bintang

yang diperoleh dengan mengidentifikasi sebuah daun dari setiap bintang dengan titik
hasil identifikasinya disebut pusat amalgamasi. Kajian graf amalgamasi bintang

,

ini cukup menarik untuk dikaji lebih dalam, maka penulis ingin menentukan bilangan
kromatik lokasi grafamalgamasi bintang

,

. Penelitian ini juga merupakan

penelitian lanjutan dari hasil – hasil penelitian Asmiati dkk. (2012).

5

1.2 Perumusan Masalah

Misalkan terdapat

buah graf bintang

,

,

1,

= 1,2,3,

adalah bilangan bulat. Graf amalgamasi titik bintang

,(

,

,

, ,

dengan ,
),

2,

dari

adalah graf yang diperoleh dengan mengidentifikasi sebuah daun dari setiap bintang.
Titik hasil identifikasi disebut pusat amalgamasi, dinotasikan . Titik yang berjarak
satu dari pusat amalgamasi disebut titik tengah, dinotasikan
dan titik daun ke- dari titik tengah

, = 1,2,3,

adalah

semua , graf amalgamasi bintang dinotasikan sebagai

,

= 1,2,3,

,
,

. Jika

m

m

1

Gambar 2.

Sedangkan graf

,

2

buah graf bintang

,

yang akan dikaji dalam penelitian ini sebagai berikut

1

1 untuk

(Asmiati dkk. (2012)).

m

k

,

6

1

1

l

l

2m

l

l

1
23
1

l

l1

1
2

2m

1

32

l

l

33

1

l

1
31

1

l

3m

l l
21

1m

l
(k1)1

x

l

l

13

k1

12

1

l

(k1)m

1

l

2
31

2

23
n

l l2
(k1)2
2

l

2

x

l

13

l

2

11

l

n

2

31

1m

12

x

l

n

n
3m

3

n
( k 1)1

l

n
( k 1) 2

n

l

n
1

n
k 1

l

n

n
( k 1) m

11

y

n

2

graf

l

n

y

diperoleh dari

l

n

l l

(k1)m

Gambar 3. Graf

,

n

l

13

11

1

Graf

l

k 1

2

y

l

n

2

l

n

(k1)3

2

2
12

21

l

l

1

n
33

22
n

l

(k1)1

2

2m

l
l l

n

l
l

2

21

l

n
32

3

2

l

l

2

l

3m

2

1m

(k1)3

1

33

22

l

l

1

2

(k1)2
1

1

1

l l

1

2

l l
2

2

l

l l

1

1

l

1

l

2

32

2
23

3

22

1

l

2

,

,

dan setiap titik

,

,

,,

,

nya

dihubungkan oleh suatu lintasan. Pada penelitian ini akan ditentukan bilangan
kromatik lokasi untuk graf

,

untuk , ,

bilangan asli.

1.3 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan bilangan kromatik lokasi dari graf
,

dengan

, ,

sebarang bilangan asli.

7

1.4 Manfaat Penelitian

Manfaat yang didapat dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Mengembangkan wawasan tentang teori graf terutama tentang bilangan kromatik
lokasi dari graf amalgamasi bintang

,

.

2. Memberikan sumbangan pemikiran untuk memperluas dan memperdalam ilmu
matematika dalam bidang teori graf terutama tentang bilangan kromatik lokasi
dari graf amalgamasi bintang

,

.

3. Sebagai bahan kajian untuk referensi penelitian lanjutan mengenai bilangan
kromatik lokasi dari suatu graf.

II.

KONSEP DASAR GRAF DAN GRAF POHON

Pada bab ini akan dijabarkan teori graf dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf
sebagai landasan teori pada penelitian ini.

2.1 Konsep Dasar Graf

Pada bagian ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar dari graf yang diambil dari
Deo, 1989. Sebuah graf G adalah himpunan terurut (V(G), E(G)), dengan

( )

menyatakan himpunan titik (vertex) { ,

0, dan

( )

} yakni pasangan tak terurut dari

( ).

menyatakan himpunan sisi (edge) { ,

} dari

,
,

dengan

Banyaknya himpunan titik ( ) disebut orde dari graf . Jika
oleh sisi

maka

dan

dan

dihubungkan

dikatakan bertetangga (adjacent), sedangkan titik

dikatakan menempel (incident) dengan sisi
menempel dengan titik

( )

, demikian juga sisi

dan

dikatakan

dan . Himpunan tetangga (Neigborhood) dari suatu titik v,

dinotasikan dengan N(v) adalah himpunan titik-titik yang bertetangga dengan v.
Derajat dari titik

( ) adalah banyaknya sisi yang menempel pada titik

dinotasikan ( ). Derajat daun (pendant vertex) adalah titik yang berderajat satu.

9

Loop adalah sisi yang memiliki titik awal dan titik akhir yang sama. Sisi paralel
adalah sisi yang memiliki dua titik ujung yang sama. Graf yang tidak mempunyai sisi
ganda atau loop disebut graf sederhana (simple graph). Pada graf terhubung G, jarak
dan y adalah panjang lintasan terpendek diantara kedua titik

diantara dua titik

tersebut, dinotasikan dengan ( , ).

Istilah lain yang sering muncul pada pembahasan graf adalah jalan (walk), lintasan
(path) dan sirkuit (circuit). Jalan (walk) adalah barisan berhingga dari titik dan sisi
dimulai dan diakhiri dengan titik sedemikian sehingga setiap sisi menempel dengan
titik sebelum dan sesudahnya. Lintasan (path) adalah jalan yang memiliki dan
melewati titik yang berbeda. Graf G dikatakan graf terhubung jika terdapat lintasan
yang menghubungkan setiap dua titik yang berbeda. Sirkuit adalah lintasan tertutup
(closed path), yaitu lintasan yang memiliki titik awal dan titik akhir yang sama.
Sirkuit dibedakan menjadi dua macam, yaitu sirkuit genap dan sirkuit ganjil. Sirkuit
genap adalah sirkuit dengan banyaknya titik genap, dan sirkuit ganjil adalah sirkuit
dengan banyaknya titik ganjil.
e5

v2

e2

v1

e8

e7

e4

v4

v7

v5

e6

e3

e1

v3

e 10

e

9

v6

e11
Gambar 4. Contoh graf G dengan 7 titik dan 8 sisi

10

Berdasarkan uraian di atas, pada Gambar 4. terlihat ( ) = { ,
dan

( )=

,

,

,

,

,

,

,

menempel (incident) dengan titik
. Titik

dan

dan

pada titik

,

bertetangga dengan titik

( ) = 3 , dan
yaitu

.

Dapat.dilihat

dan titik

,

,

,

bahwa

}
sisi
dan

karena terdapat sisi-sisi yang
bertetangga dengan titik

, maka dapat ditulis

( ) = 5,

,

menempel pada sisi

. Demikian pula dengan titik

Derajat graf pada Gambar 4. adalah
( )= 3,

,

bertetangga (adjacent) dengan titik

menghubungkan
, dan titik

,

,

( ) = 2,

( )={ ,

( )=6

}.

( ) = 2,

( ) = 1 adalah daun karena berderajat satu. Loop

, sedangkan

,

,

dan

disebut sisi-sisi paralel pada graf

yang mempunyai 2 titik ujung yang sama. Secara jelas dapat disimpulkan bahwa graf
pada Gambar 4. bukan merupakan graf sederhana karena pada graf tersebut memiliki
loop dan sisi paralel. Contoh jalan pada Gambar 4. dapat dipilih
, contoh lintasan adalah
dan contoh sirkuit adalah
.

Berikut ini adalah lemma dan teorema yang menyatakan derajat dari suatu graf.

11

Lemma 2.1 (Narsing Deo dkk. 1989) Jumlah derajat semua titik pada graf G adalah
genap, yaitu dua kali jumlah sisi pada graf tersebut. Dengan kata lain jika

( , )

maka :
( )=2

Contoh dari

(2.1.1)

jumlah derajat seluruh titik pada graf Gambar 4. adalah

( )+

( )+ ( )+ ( )+ ( )+ ( )+ ( ) = 5+2+6+2+3+3+1 =
22 = dua kali jumlah sisi.

Teorema 2.1 (Narsing Deo dkk. 1989) Untuk sembarang graf G, banyaknya titik
yang berderajat ganjil, selalu genap.

Bukti : Jika titik-titik berderajat ganjil dan genap dipandang secara terpisah, jumlah
ruas kiri persamaan (2.1.1) dapat dinyatakan sebagai jumlah dari dua bilangan.
Pertama diperoleh dari titik-titik berderajat ganjil dan kedua dari titik-titik berderajat
genap. Jadi,
( )=

+

(

)

dari titik-titik genap dan

dengan

(2.1.2)
(

) dari titik-titik ganjil. Karena ruas

kiri persamaan (2.1.2) genap, dan suku pertama dari ruas kanan adalah genap, maka
suku kedua ruas kanan juga pasti genap.
(

) = sebuah bilangan genap

(2.1.3)

12

(

Karena dalam persamaan (2.1.3) tiap

) adalah bilangan ganjil, maka jumlah
■

keseluruhannya pastilah genap.

Berikut ini akan dijelaskan juga mengenai subgraf, graf Eurelian dan graf
Hamiltonian. Sebuah subgraf dari graf (V(G), E(G))adalah sebuah graf (V(H), E(H))
sedemikian hingga ( )
5. graf

( )

( ), dan

( ). Sebagai contoh pada Gambar

adalah salah satu subgraf dari graf .

v2

e1

e2

v3

v1

e6

e5
v5

v3

v1

e6

e3
v4

e4

v4

v5

G

H

Gambar 5. Graf

Graf

e3

dan graf ,

dikatakan Eulerian jika terdapat lintasan tertutup yang memuat semua sisi

pada graf . Lintasan yang demikian disebut lintasan Eulerian (Eulerian path).

v2

v3

v7

v1

v6
Gambar 6. Contoh graf

v4
v5
Eulerian

13

Dari Gambar 6., dapat ditentukan lintasan tertutup
.Jadi

Sirkuit dalam graf
Graf

merupakan graf Eulerian.

yang memuat semua titik dari

, disebut sirkuit Hamiltonian.

yang memiliki sirkuit Hamiltonian disebut graf Hamiltonian.

v1

v2

v3

v4

v8

v7

v6

v5

Gambar 7. Contoh graf

Halmitonian

Contoh sirkuit Hamiltonian pada Gambar 7. adalah
.

2.2 Graf Pohon dan Beberapa Kelas dari Graf Pohon

Misalkan

adalah graf terhubung,

disebut pohon (tree) jika dan hanya jika

tidak memuat siklus. Suatu graf yang setiap titiknya mempunyai derajat satu disebut
daun (pendant vertex). Sedangkan hutan (forest) merupakan kumpulan pohon yang
saling lepas. Dengan kata lain, hutan merupakan graf tidak terhubung yang tidak
memuat sirkuit.

14

T

H
Gambar 8. Contoh pohon dan hutan

Beberapa kelas graf pohon yang berkaitan dengan penelitian ini, sebagai berikut

1. Graf Bintang (Star Graph)
Graf bintang K1,n (star) adalah suatu graf terhubung yang mempunyai satu titik
berderajat n yang disebut pusat dan titik lainnya berderajat satu .

Gambar 9. Graf bintang

,

15

2. Graf Bintang Ganda (Double Star Graph)
Suatu graf pohon disebut graf bintang ganda jika graf pohon tersebut mempunyai
tepat dua titik
berderajat

dan

+ 1 dan

berderajat lebih dari satu. Jika
+ 1 , dinotasikan dengan

,

dan

berturut-turut

(Chartrand dkk.,2002).

Gambar 10. Graf bintang ganda

,

3. Graf Ulat (Caterpillar Graph)
Graf ulat adalah graf pohon yang memiliki sifat apabila dihapus semua daunnya
akan menghasilkan lintasan (Gallian.,2012).

Gambar 11. Graf ulat

16

4. Graf Pohon Pisang (Banana Tree)
Graf Pohon pisang

,

adalah graf yang diperoleh dari

buah ke graf bintang

dengan cara menghubungkan sebuah daun dari setiap graf bintang suatu titik baru.
Titik baru itu disebut titik root. (Chen dkk.,1997).

Gambar 12. Graf pohon pisang

,

5. Graf Kembang Api
Graf kembang api seragam,
bintang

,

adalah graf yang diperoleh dari n buah buah graf

dengan cara menghubungkan sebuah daun dari setiap

sebuah lintasan (Chen dkk.(1997)).

Gambar 13. Graf kembang api

,

melalui

17

6. Graf Almagamasi Bintang
Graf almagamasi bintang seragam,

,

adalah amalgamasi dari k

buah graf

bintang K1,m. (Asmiati dkk.(2012))

Gambar 14. Graf almagamasi bintang

,

Selanjutnya diberikan beberapa lemma dan teorema yang berkaitan dengan graf
pohon sebagai berikut:

Teorema 2.2 (Harsfield, N. dan G. Ringel, 1994) Jika
(vertex ) dan

Bukti: Jika

sisi (edge), maka

=

adalah pohon dengan

+ 1.

adalah pohon dengan satu sisi maka teorema benar untuk

Asumsikan teorema benar untuk semua pohon dengan sisi kurang dari
untuk
terpanjang di

, maka
dari

=

+ 1. Misal

ke . Titik

titik

pohon dengan

.

, artinya

sisi. Kita pilih satu lintasan

harus berderajat 1. Karena kalau tidak lintasan

akan menjadi lebih panjang atau terbentuk siklus di

. selanjutnya kita buang titik ,

18

terbuang. Sehingga pohon terbentuk dengan (

akibatnya sisi terhubung titik
dan (
=

1=(

1) sisi dengan asumsi

1) + 1 diperoleh

1)

1=

atau
■

+ 1.

Teorema 2.2 (Harsfield, N. dan G. Ringel, 1994) Graf

adalah pohon jika dan

hanya jika ada terdapat tepat satu lintasan diantara kedua titik tersebut.

Bukti:
(1) Akan ditunjukkan graf

adalah pohon maka ada terdapat tepat satu lintasan di

antara kedua titik. Misalkan
dihubungkan lintasan
=

dalam

ke
dan

, selanjutnya

pohon ,

dan

. Anggaplah dua
=

Untuk beberapa ,

yang juga dalam

,

dengan
yang juga

, maka kita lihat pada

, karena ada dua lintasan

dari

ke

berbeda

sampai ditemukan suatu titik yang memuat
=

maka pohon

lintasan dari

. Jika

sehinggmempunyai siklus . Jika

Selanjutnya

titik-titik di

.

sebagai asumsi.

sampai ditemukan suatu titik yang memuat dalam
dan selanjutnya ambil

mendapatkan siklus lagi. Tetapi
asumsi bahwa ada dua

kembali ke

, dan kita

adalah pohon, sehingga tidak ada siklus. Jadi

lintasan salah.

(2) Akan ditunjukkan ada terdapat tepat satu lintasan di antara kedua titik maka graf
adalah pohon Misalkan
titik. Pertama perhatikan

adalah graf dengan tepat satu lintasan diantara dua
terhubung. Anggaplah bahwa

mengandung siklus

19

. Jelas bahwa ada dua lintasan dari

ke

. Ini kontradiksi, karena

mempunyai tepat satu lintasan diantara dua titik. Jadi graf
siklus dan

adalah pohon.

tidak memuat
■

III. BILANGAN KROMATIK LOKASI GRAF

Bilangan kromatik lokasi graf pertama kali dikaji oleh Chartrand dkk. (2002). Konsep
ini merupakan pengembangan dari konsep dimensi partisi dan pewarnaan graf.

Pewarnaan titik pada graf adalah : ( )

{1,2,3,

, } dengan syarat untuk setiap

dua titik yang bertetangga harus memiliki warna yang berbeda. Minimum banyaknya
warna yang digunakan untuk pewarnaan titik pada graf disebut bilangan kromatik,
yang dinotasikan ( ).

v2

1

v1

1

v3

2

v5

2

v6
2

v4 1

v7

2

Gambar 15. Contoh bilangan kromatik dengan ( ) = 2

Berikut ini diberikan definisi bilangan kromatik lokasi graf yang diambil dari
(Chartrand, dkk, 2002). Misalkan c
( )

( ) untuk u dan

suatu pewarnaan titik pada graf G dengan

yang bertetangga di G. Misalkan

himpunan titik–titik

yang diberi warna i, yang selanjutnya disebut kelas warna, maka Π = { ,

,

,

}

✁

adalah himpunan yang terdiri dari kelas – kelas warna dari V(G). Kode warna
dari v adalah k-pasang terurut

( ,

} untuk 1

min{ ( , )|

), ( ,

),

, ( ,

) dengan

( ,

( )
) =

. Jika setiap G mempunyai kode warna yang

berbeda, maka c disebut pewarnaan lokasi G. Banyaknya warna minimum yang
digunakan untuk pewarnaan lokasi disebut bilangan kromatik lokasi dari G, dan
( ). Karena setiap pewarnaan lokasi juga merupakan

dinotasikan dengan
pewarnaan, maka ( )

( ).

Teorema 3.1 (Chartrand dkk, 2002) Misal
graf terhubung

. Jika

dan

adalah dua titik pada graf

dan

( )

sehingga

Untuk titik
berada
( ,

,

dalam
)= ( ,

maka ( ,
sehingga

sedemikian

( ).

adalah suatu pewarnaan lokasi pada graf terhubung

={ ,

misalkan

( ). Dalam hal

adalah titik-titik yang tidak bertetangga di

( ) , maka ( )

Bukti: Misalkan

sedemikian sehingga

( ) { , }, maka ( )

( , ) = ( , ) untuk setiap
khusus, jika

adalah suatu pewarnaan lokasi pada

,

,

} adalah partisi dari titik-titik

ke dalam kelas warna

( ), andaikan ( ) = ( ) sedemikian sehingga titik
kelas

warna

)= 0. Karena

)= ( ,

yang

sama,

misal

dari

( , ) = ( , ) untuk setiap

) untuk setiap

,1

bukan pewarnaan lokasi. Jadi ( )

. Akibatnya,
( ).

dan

.

.

dan

Akibatnya,
( ) { , }
( )=

( )
■

✂✂

Akibat 3.1 (Chartrand dkk, 2002) Jika
suatu titik yang bertetangga dengan

Bukti: Misalkan

adalah suatu graf terhubung yang memuat
( )

daun di , maka

adalah suatu titik yang bertetangga dengan

. Berdasarkan Teorema 3.1, setiap pewarnaan lokasi dari
, = 1,2,

yang berbeda untuk setiap
maka
( )

, . Karena

+ 1.

daun

,

,

,

di

mempunyai pewarnaan

bertetangga dengan semua

harus mempunyai warna yang berbeda dengan semua daun

,

. Akibatnya
■

+ 1.
v22

v3 3

v1

v 71

v8 2
v9

2
1

v4

v6 3

4

v5 1

Gambar 16. Contoh pewarnaan lokasi minimum pada Graf

Teorema 3.2 (Chartrand dkk, 2003) Misalkan
maka

( )

adalah derajat maksimum di graf

+ 1.

Beberapa teorema penelitian sebelumnya yang mendukung penelitian ini adalah
sebagai berikut.
Teorema 3.3 (Chartrand dkk, 2002) Bilangan kromatik lokasi graf lintasan
(

3) adalah 3.

✄☎

Bukti: Perhatikan bahwa
untuk

( ) = 2 . Jelaslah bahwa

3 . Berdasarkan Teorema 3.2.

( )

= 2 maka

( )

maksimum. Karena pada
Jadi,

( ) = 1 dan

( )

,

+ 1, dengan

( )

3

derajat titik
( )

2 + 1. Akibatnya

3.
■

3.

1

2

3

v1

v2

v3

1
v4

2

v5

1

2

1

v6

vn1

vn

Gambar 17. Pewarnaan lokasi minimum pada graf lintasan

Teorema 3.4 (Chartrand dkk, 2002)

Untuk bilangan bulat

dan

dengan

Bukti: Berdasarkan Akibat 3.1, diperoleh batas bawah yaitu

,

+ 1.

1

dan

2,

,

=

+1.

Selanjutnya, akan ditentukan batas atasnya, yaitu

+ 1. Misalkan

,

adalah pewarnaan titik menggunakan ( + 1) warna sebagaimana terlihat pada
Gambar 18. Perhatikan bahwa kode warna dari setiap titik
adalah pewarnaan lokasi.Jadi,

,

+ 1.

,

berbeda, akibatnya
■

✆✝

1

2

2

3

1

b 1

a

v

u

a 1

b

Gambar 18. Pewarnaan lokasi minimum pada Graf

Teorema 3.5 (Chartrand dkk, 2002)
mempunyai bilangan kromatik

k 1 uk 1

k

1

2

v1

v2

v3

1
v4

{3, 4,

Bukti: Pertama misalkan
= , misalkan

pada

=

,

,

,

,

. Berikanlah warna
jika

2, }.

vnk 1

3 dan

( )=

= 3, misalkan

=

. Sehingga diasumsikan bahwa 4
:

,

,

,

pada

, warna 1 pada
pada

,
2.

dengan menambahkan

dan hubungkan setiap

ganjil, dan warna

Gambar 19. Dengan demikian

dengan

2, }. Untuk

,

didapat dari lintasan

1) titik baru

dengan

,

2

Gambar 19. Pohon T dari berorde

(

{3, 4,

jika dan hanya jika

1

u2

Misalkan

5 yang

Terdapat pohon berorde

u1

2

untuk

,

, untuk 1
jika

1

genap , warna 2

, untuk 1

( ) adalah pewarnaan lokasi,

1 lihat
( )

.

✞✟

( )

berdasarkan akibat 3.1

Lemma 3.2 (Asmiati dkk, 2011) Misalkan
menggunakan paling sedikit
pewarnaan

lokasi

jika

( ) = 1,2,3,…,

adalah pewarnaan lokasi dari

warna dengan

dan

− 1 dan

)

,

2. Pewarnaan

( ) = ( ),

hanya
(

■

( )= .

maka

= 1,2,3,…,

,

adalah

mengakibatkan

− 1 adalah dua himpunan

yang berbeda.

=

(

Bukti:

Misalkan

1,2,3,…,

− 1}. Misalkan

)

(

∈

)

dan
≠

kelas-kelas warna |Π| ≥
terdapat warna

. Andaikan

= 1,2,3,…,

maka kode warna dari
kontradiksi. Akibatnya

−1

=

,

(

)

ordinat ke

Jika

(

( , ) untuk

( ) dari terhadap
≠

. Karena

∈

,

, maka

.

( ), karena kedua kode warna tersebut berbeda pada

atau ke- .
(

−1 ,

sedemikian sehingga ( ∈ , ∉ ) atau ( ∈ , ∉ ).

( )≠

)≠

=

≥ 2 dan

= 1,2,3,…,

. Misalkan Π suatu partisi dari
. Pandang ( ) = ( ), ≠

dan

Jelas bahwa

≥ 2,

)

bukan pewarnaan lokasi, suatu

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa kode warna untuk setiap


,

. Karena ( , ) =

−1 ∪ =

sama. Jadi

= { ( (

dan

adalah pewarnaan lokasi dari

( ) = ( ), untuk suatu ≠
setiap

= 1,2,3,…,

), untuk setiap

≠

, dibagi menjadi dua kasus.

✠6

Kasus 1:

Jika ( ) = ( ), maka berdasarkan premis dari teorema ini,
(

)≠

Kasus 2: Misalkan
(

(

( )=

( )=

dan

≠

, dengan

(

. Maka

)≠

) karena kedua kode warna tersebut berbeda sekurang-kurangnya

( )= (

Jika

. Jadi

).

pada ordinat yang ke

≠

dan

.
( ) memuat sedikitnya dua

), maka kode warna dari
( )=

komponen yang bernilai 1. Akibatnya

(

).

Berdasarkan semua kasus di atas, dapat dilihat bahwa kode warna untuk semua titik
di

,

berbeda, maka

Lemma 3.3 (Asmiati dkk, 2011) Misalkan
+

menggunakan

warna dan

( )= (

( ).

≤

Bukti: Misal

■

merupakan pewarnaaan lokasi.

adalah pewarnaan lokasi dari

adalah pewarnaan lokasi dari ,
+ −1
+ − 1)
, ≥ 0, maka
−1

,

suatu titik tetap , misal ( ) warna dari titik tengah
= 1,2,3,…,

warna yang digunakan oleh

+

menggunakan

. maka banyak kombinasi

−1

adalah

Karena satu warna digunakan untuk titik pusat amalgamasi
(

+

− 1)

untuk

,

untuk

diperoleh nilai maksimum dari
maka

≤

( ).

setiap

adalah

= 1,2,3,…, .

( )= (

+

warna, Untuk

− 1)

+

−1
.
−1

, maka terdapat

Dari
+

Lemma
−1
,
−1

3.2,
≥ 0,
■

27

Teorema 3.6 (Asmiati dkk, 2011) Jika
≥ 0,

≥ 2, dan

( )= (

+

+

− 1)

=

2 ≤ ≤ (0), ≥ 3
( − 1) < < ( ), ≥ 1

;
;

+

Bukti: Pertama-tama akan dicari batas bawah dan batas atas dari
(0) =

≤

,

untuk

− 1.

(1) Batas bawah dari

,

.

Berdasarkan Akibat 3.1, setiap titik

bertetangga dengan (

titik = 1,2,3,…, . Dengan demikian
(2) Batas atas dari
Misalkan

untuk

≥ 3, maka
,

2≤

−1
−1

,

≥

− 1)daun, untuk

.

,

adalah pewarnaan dari

,

menggunakan

mengurangi keumuman , misal ( ) = 1 dan ( ) =

+ 1 untuk

warna. Tanpa
= 1,2,3,…, .

Karena daun-daun harus mempunyai kode warna yang berbeda, maka daun-daun
= 1,2,…,

− 1 diberi warna oleh {1,2,…, }\ { + 1} untuk sebarang .

Maka, berdasarkan Lemma 3.1,
,

≤

Selanjutnya,
( − 1) <

.
akan

<

adalah pewarnaan lokasi. Dengan demikian

dicari

batas

bawah

( ), ≥ 1 , yaitu sebagai berikut.

dan

batas

atas

untuk

28

(1) Batas bawah dari
>

Karena

,

( − 1), maka berdasarkan Lemma 2.3,
>

sisi lain, jika

( ) maka berdasarkan Lemma 3.3,

Dengan demikian,
(2) Batas atas dari

≥

,

+

( − 1) <

jika

(

)

= 1,2,3,…,

Lemma 3.3,
( − 1) <

)≥

,

+

+ 1.

( ).

<

adalah 2,3,…,

+

. Karena

( ), ≥ 1 maka banyak titik tengah yang mempunyai warna

<

+

yang sama tidak lebih dari
jika

(

+ . Pada

,

Karena ( ) = 1 dan warna dari titik tengah
( − 1) <

≥

,

−1

≠

+1
, untuk sebarang
−1
(

)

= 1,2,3,…,

adalah pewarnaan lokasi. Jadi,

− 1 . Berdasarkan
,

≤

4
3

5

1

6

6

3

1

2

4

1

5

2

+

untuk
■

( ).

<

. Akibatnya

4

3
6

4

1

2

5

1

6

2

5
3

Gambar 20. Pewarnaan lokasi minimum pada graf

,

29

1

3

3

1
2

2

4

2

4

3

3

4

2

1

1
4

2

1

3

3

1
4

3

2
1

2

4

Gambar 21. Pewarnaan lokasi minimum pada graf

,

V.

HASIL DAN PEMBAHASAN

Pada bagian ini akan dikaji dan didiskusikan hasil-hasil penelitian untuk bilangan
kromatik lokasi pada graf amalgamasi bintang tertentu
ini diberikan konstruksi graf

2m

l

l

1
23
1

l

l1

1
2

2m

1

32

l

l

33

1

l

1
31

1

l

3m

1m

l l
(k1)1

x

l

l

13

1

l

1

k1

1

l l
12

1

l

(k1)m

1
11

y

1

l

2

2

2
21

l

x

2

l

13

2

n

l
l

3

23
n

l l2
(k1)2
2

12

l

l

n

2

31

21

l

l

k 1

l

n
1m

l

13

l l
12

11

y

1

n
3m

n

l

n
( k 1) 2

n

n
k 1

l

n
11

n

✡

n

l

3

( k 1)1

l

n

y

2

Gambar 22. Konstruksi graf

x

n

(k1)m

l

n

n

2

l

2

n

n

(k1)3

2

2

22

l

l

1

2m

n
33

32

(k1)1

2

l

n

l
l l

3m

2

l

l

2

1m

l

. Berikut

☛

l

2

l

2

(k1)2
1

(k1)3

1

33

22

l

1

1

1

2

l l31
2

2

l

1

1

21

l

l

☛

2

32

2
23

3

22

l l

l

2

l

l

untuk

.

✡

1

1

✡

n
( k 1) m

35

Misalkan graf amalgamasi bintang tertentu adalah graf yang diperoleh dari
dengan cara menghubungkan sebuah daun dari setiap

☞

lintasan. Graf amalgamasi bintang tertentu dinotasikan
✍

✍

= 1,2,3,…, ;

✍

,

1,2,3,…,

= {

= 1,2,3,…, − 1,

| = 1,2,3,…, − 1} ∪

− 1,

☞

= 1,2,3,…,

,

graf

melalui sebuah

☞

. Misalkan
= 1,2,3,…,

,

✌

☞

dan

| = 1,2,3,…, ;

=

.

5.1 Bilangan Kromatik Lokasi

,

untuk

≤

, ,

dengan

Bilangan

Asli

Pada bagian ini akan didiskusikan bilangan kromatik lokasi
dengan

, ,

,

untuk

≤

bilangan asli.

Teorema 5.1
Misalkan

,

adalah graf amalgamasi bintang tertentu untuk ≤

≥ 2 dan

,

≥ 2

,

=

+1

;1 ≤

+2

;

≤

−1

Bukti: Pertama-tama akan dicari batas bawah dan batas atas dari
1≤

≤

,

untuk

36

(1) Batas bawah dari
Berdasarkan

,

Akibat

= 1,2,3,…, − 1

bertetangga

(2) Batas atas dari
Misalkan

setiap titik

= 1,2,3,…,

untuk

dengan

daun.

Dengan

dan
demikian

+ 1.

≥

,

3.1,

(5.1.1)
,

adalah suatu pewarnaan lokasi dari

,

menggunakan (

+ 1)

warna.
Misal beri warna:


( ) = 1, untuk = 1,2,3,…,



( ) = 2, untuk



= {2,3,…,



= {1,2,3,…,

ganjil dan ( ) = 3, untuk
+ 1}, untuk
+ 1} ✧

= 1,2,3,…,

genap,

= 1,2,3,…, dan = 1,2,3,…, − 1
, untuk = 1,2,3,…, dan = 1,2,3,…,

− 1 dan = 1,2,3,…,
akan membangun suatu partisi Π = {

Akibatnya pewarnaan
pada

, dengan

,

untuk

= 1,2,3,…,

untuk setiap

,

,

,

,…,

}

adalah himpunan dari semua titik yang bewarna

+ 1. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa kode warna
berbeda. Misalkan

, ∈

,

dan

( )= ( )

( )≠

( ) karena

maka pandang kasus-kasus berikut ini:


Jika =
( , )≠

,

=
( , ).

untuk suatu ,

dan

≠

, maka

37



Jika

=

,

=

( ) , titik yang diberi warna (



( ), karena pada

+ 1) terdapat sekurang-kurangnya dua
( ) , titik yang diberi warna

komponen bernilai satu, sedangkan pada
(

( )≠

untuk suatu , , , maka

+ 1) memuat tepat tepat satu komponen yang bernilai 1.

Jika

=

,

=

untuk suatu , , , dan

≠

( ) , titik yang diberi warna (

karena pada

, maka



Jika

=

,

( ),

+ 1) terdapat sekurang( ) , titik yang

kurangnya dua komponen bernilai satu, sedangkan pada
diberi warna (

( )≠

+ 1) memuat tepat tepat satu komponen yang bernilai 1.
=

, untuk suatu

( ) , titik yang diberi warna (

,

maka

( )≠

( ). karena pada

+ 1) terdapat tepat dua komponen yang

bernilai 1, sedangkan pada ( ), titik yang diberi warna (

+ 1) terdapat

sekurang-kurangnya dua komponen bernilai satu.


Jika

=

,

karena pada

=

, untuk suatu

, ,

dan

≠

( ) , titik yang diberi warna (

maka

( )≠

( )

+ 1) terdapat tepat dua

komponen yang bernilai 1, sedangkan pada ( ), titik yang diberi warna
(


+ 1) terdapat sekurang-kurangnya dua komponen bernilai satu.

Jika

=

,

=

untuk suatu , ,

( ), titik yang diberi warna (

maka

( )≠

( ). karena pada

+ 1) terdapat tepat dua komponen yang

bernilai 1, sedangkan pada ( ), titik yang diberi warna (

+ 1) terdapat

tepat satu komponen yang bernilai satu.


Jika

=

,

karena pada

=

untuk suatu

, , ,

dan

( ) , titik yang diberi warna (

≠

maka

( )≠

( )

+ 1) terdapat tepat dua

38

komponen yang bernilai 1, sedangkan pada ( ), titik yang diberi warna
(

+ 1) terdapat tepat satu komponen yang bernilai satu.
=

Jika



=

,

maka untuk suatu , ,

( ), titik yang diberi warna (
komponen
(

( ) karena pada

+ 1) terdapat sekurang-kurangnya dua
( ), titik

bernilai satu, sedangkan pada

yang diberi warna

+ 1) terdapat tepat satu komponen yang bernilai satu.
=

Jika



( )≠

maka

=

,

( )≠

, maka untuk suatu , , , ,

( ) karena pada

dan

≠

( ), titik yang diberi warna (

, ≠

maka

+ 1) terdapat

sekurang-kurangnya dua komponen bernilai satu, sedangkan pada ( ), titik
yang diberi warna (
=

Jika



=

,

=

Jika



, maka untuk suatu , , , , ≠
≠

karena titik
=

,

sehingga ( , ) ≠

( )≠

( )

( )≠

( )

maka

( , ).

, maka untuk suatu , , , , ≠
≠

karena titik

+ 1) terdapat tepat satu komponen yang bernilai satu.

maka

sehingga ( , ) ≠ ( , ) .

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa kode warna dari semua
untuk

≤

adalah berbeda. Jadi

,

≤

+ 1.

,

(5.1.2)

Berdasarkan (5.1.1) dan (5.1.2) dapat disimpulkan bahwa kode warna dari semua
,

Jadi

untuk
,

=

≤

,

+ 1.

≥ 2 dan

≥ 2, untuk 1 ≤

≤

adalah berbeda.
■

39

Sebagai ilustrasi, diberikan pewarnaan lokasi

untuk 1 ≤

,

≤ 2 yang

dapat

dilihat pada gambar berikut:

1

5

4
3

3

1

3
5

4

5

1

1

3

Gambar 23. Pewarnaan lokasi minimum pada graf

Selanjutnya akan dicari batas bawah dan batas atas untuk
(1) Batas bawah dari

ditunjukkan bahwa (

≥

,

≥ 2 dan
dengan

{1,2,3,…,

≥ 2 dan
≠

,

≥

>

>

.

+ 1}. Sangat jelas

+ 2 untuk

+ 1 untuk >

=

= 1,2,3,…,
>

+ 1) lokasi

. Karena

sedemikian hingga

= 1,2,3,…, − 1,

suatu

untuk 1 ≤

≤ 2

, tetapi akan

+ 1) tidaklah cukup untuk mewarnai. Untuk suatu

kontradiksi, andaikan terdapat pewarnaan (

, , ,

,

,

Berdasarkan akibat 3.1 diperoleh

,

4

1

2

≤

2

2

4

2

1

5

3

2

.

>

pada

,

untuk

, maka terdapat suatu
,

akibatnya

=

,
=

=
untuk

adalah sama, suatu kontradiksi. Jadi
(5.1.3)

40

(2) Batas atas dari

,

Misalkan adalah pewarnaan dari


( ) = 1, untuk = 1,2,3,…,



( ) = 2, untuk



= {2,3,…,



= {1,2,3,…,

menggunakan (

,

ganjil dan ( ) = 3, untuk
+ 2}, untuk
+ 2} ✎

genap,

= 1,2,3,…, dan

+ 2) warna.

= 1,2,3,…,

= 1,2,3,…, − 1

, untuk = 1,2,3,…, dan = 1,2,3,…,

− 1 dan = 1,2,3,…, .
Jika



= {1,2,3,…,
= 1,2,3,…,

Pewarnaan

+ 2}, didefinisikan
=

✎ {1,2}
,
{
+ 2} ,
✎

akan membangun suatu partisi Π =

bahwa kode warna dari semua titik di

(

)=

jika = 1, = 1
lainnya.

0
1
2
2

;
;
;
;

,

berbeda.

komponen ke − 1
komponen ke − 2
komponen − ( + 1)
lainnya

Untuk ≥ 2 ganjil

( )=

0
1
2

;
;
;
+3 ;

komponen ke − 1
komponen ke − 2 dan ke −
komponen ke – + 1
lainnya

,

. Akan ditunjukkan

41

Untuk ≥ 2 genap

( )=

0
2
1

;
;
;
;

+3

(

)=

1
0
1
3
3

komponen ke − 1
komponen ke − 2
komponen ke − ( + 1)
lainnya

;
;
;
;
;

komponen ke − 1
komponen ke − 2
komponen ke −
komponen ke − ( + 1)
lainnya

;
;
;
;
;

komponen ke − 1
komponen ke − 2
komponen ke − 3
komponen ke − ( + 1)
lainnya

;
;
;
;
;

komponen ke − 1
komponen ke − 2
komponen ke − 3
komponen ke − ( + 1)
lainnya

Untuk ≥ 2 ganjil

( )=

1
0
1
3
+2

Untuk ≥ 2 genap
1
1
0
3
+2

( )=

( )=

1
1
1

;
;
;

komponen ke − 1
komponen ke − ( + 1)
lainnya

42

(

1
0
1
3

)=

Untuk = 2,3,…,
1
0
1
3

=

Untuk ≥ 2

(

Untuk

(

(

;
;
;
;

komponen ke − 1
komponen ke − ( − 1)
komponen ke − ( + 1)
lainnya

−1
;
;
;
;

komponen ke − 1
komponen ke − ( + 1)
komponen ke − ( + 1)
lainnya

= 1,2,3,…,

−1

=

1
1
1
+4

;
;
;
;

komponen ke − 1
komponen ke − 2
komponen ke − ( + 1)
lainnya

)=

2
1
2
0

;
;
;
;

komponen ke − 1
komponen ke − 2
komponen ke − ( + 1)
lainnya

= 2,3,…,

)=

)=

2
1
0
2
2

;
;
;
;
;

komponen ke − 1
komponen ke − 2
komponen ke − ( + 1)
komponen ke − ( + 1)
lainnya

2
1
0
2

;
;
;
;

komponen ke − 1
komponen ke − 2
komponen ke − ( + 1)
lainnya

43

(

2
1
0
4

=

)

;
;
;
;

komponen ke − 1
komponen ke − ( − 1)
komponen ke − ( + 1)
lainnya

≥ 2 , = 1,2,3,…,

Untuk

0
1
+5

=

Karena

kode warna

Pewarnaan
>

;
;
;

lokasi

− 1, = 1,2,3,…,
komponen ke −
komponen ke − ( + 1)
lainnya

dari semua titik
pada

.

,

berbeda,

Jadi

akibatnya
,

≤

+2

.

adalah
untuk
(5.1.4)

Berdasarkan persamaan (5.1.3) dan (5.1.4), dapat disimpulkan bahwa kode warna
dari semua
berbeda. Jadi

untuk ≤

,

,

=

,

≥ 2 dan

>

adalah
■

+ 2.

Sebagai ilustrasi, diberikan pewarnaan lokasi
dilihat pada gambar berikut:

≥ 2, untuk

,

untuk

> 2 yang

dapat

44

1

5

4

1

3
3

6

1

3

5

4

5

1

1

2

1

3
3

2

1

5

3

2

1

4

5

4

1

1

>

untuk

,

1

3

> 2

untuk

, ,

dengan

Bilangan

Asli

Pada bagian ini akan didiskusikan bilangan kromatik lokasi
dengan

, ,

untuk

,

>

bilangan asli.

Lemma 5.1
Misalkan

adalah pewarnaan lokasi dari

( − ) warna dengan

>

,

≥ 2,

,

menggunakan paling

≥ 2 , ≥ 0,

(

)

= 1,2,3,…,

−

dan { (

sedikit

− 2. Pewarnaan

= ( ),

adalah pewarnaan lokasi jika dan hanya
mengakibatkan

=

≠

dan

≠

)| = 1,2,3,…, } adalah dua

himpunan yang berbeda.

Bukti: Misalkan
Misalkan

=

(

)

= 1,2,3,…,

adalah pewarnaan lokasi dari

= { (

dan
,

,

>

,

)| = 1,2,3,…, }.

≥ 2,

2
3

3

Gambar 24. Pewarnaan lokasi minimum pada graf

,

5

1

2

5.2 Bilangan Kromatik Lokasi

5

3

2

2
3
4

5

1

3

1

2

4

4

1

1

5

4

2

2

4

2

5

3

2

≥ 2, ≥ 0, dan

4

45

= ( ) , untuk suatu
( , )=
{ (

( , )

≠

,

untuk

≠ . Andaikan

dan

∈ ✏

setiap

)| = 1,2,3,…, } , maka kode warna dari

= ( ), ≠

, dan ≠ . Karena
( ∈ , ∉

sedemikian sehingga

ordinat ke

≠

Jelas bahwa

Kasus 1: Jika

(

Kasus 2: Misalkan

), untuk setiap

(

, maka terdapat warna

∈

,

dan

). Selanjutnya akan

berbeda.

≠

, dibagi menjadi dua kasus.
≠

. Jadi

).
dan ( ) =

=

, dengan

≠

. Maka

≠

) karena kedua kode warna tersebut berbeda sekurang-kurangnya
dan

.

Jika ( ) = ( ), maka kode warna dari
yang bernilai 1. Akibatnya



≠

.

( ), karena kedua kode warna tersebut berbeda pada

pada ordinat yang ke

bukan

.

= ( ) , maka berdasarkan premis dari teorema ini,
≠

(

∪

atau ke- .
≠

Jika

= 1,2,3,…,

sama. Jadi

) atau ( ∈ , ∉

ditunjukkan bahwa kode warna untuk setiap


. Karena

( ) dari terhadap kelas-kelas warna |Π| ≥

Misalkan Π suatu partisi dari
Pandang

)

dan

≠

pewarnaan lokasi, suatu kontradiksi . Akibatnya

(

=

( )=

( ).

Jika ( ) = ( ), maka kode warna dari
yang bernilai 1. Akibatnya

( )=

( ) memuat sedikitnya 1 komponen

( ).

( ) memuat sedikitnya 2 komponen

46

Berdasarkan semua kasus di atas, dapat dilihat bahwa kode warna untuk semua titik
di

berbeda, maka

,

■

merupakan pewarnaaan lokasi.

Lemma 5.2
≥ 1,

Misalkan
dari

,

≥ 0 ,
(

( )=

dan

=

−

− 2 jika

)

, maka

≥

misalkan ( ) adalah warna dari titik antara
= 1,2,3,…,

untuk setiap = 1,2,…,
adalah

−1

dan
(

lokasi

,

. Untuk suatu ,

, maka banyaknya kombinasi warna
. Karena satu warna sudah digunakan

, maka terdapat ( −

untuk mewarnai titik pusat

maksimum untuk

−

adalah

−

( ).

adalah pewarnaan ( − ) lokasi dari

Bukti: Misalkan

dari

adalah pewarnaan

− 1)warna untuk mewarnai

= 1,2,3,…, − 1. Dari Lemma 4.2, diperoleh nilai
)

=

( ),

■

≥ 0.

Teorema 5.2
adalah graf amalgamasi bintang tertentu untuk ≥ 0,

Misalkan

,

≥ 3,

≥ 2,
,

=

=

−

−
−
+1

−2
; 1≤
;

≤

( )

,

>

,

47

Bukti: Pertama-tama akan dicari batas bawah dan batas atas dari
1≤

≤

(

( )=

)

.

(1) Batas bawah dari
Berdasarkan

,

Akibat 3.1,

setiap titik

= 1,2,3,…, − 1 bertetangga dengan
,

≥

untuk
=

−

= 1,2,3,…,

(2) Batas atas dari

dan

− 1 daun. Dengan demikian

− .

Misalkan

untuk

,

(5.1.5)
,

adalah suatu pewarnaan lokasi dari

menggunakan

,

( − ) warna.
Misal beri warna:


( ) = 1, untuk = 1,2,3,…, .



( ) = 2, untuk

ganjil dan ( ) = 3, untuk

genap,

= 1,2,3,…, .



= {2,3,…, − }, untuk = 1,2,3,…, dan = 1,2,3,…, − 1.



= {1,2,3,…, − } ✑

, untuk

= 1,2,3,…,

dan

= 1,2,3,…, − 1 dan = 1,2,3,…, .
Akibatnya pewarnaan
pada

, dengan

,

akan membangun suatu partisi Π = {

,

,

,…,

}

adalah himpunan dari semua titik yang bewarna

untuk = 1,2,3,…, − . Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa kode warna untuk
setiap

,

berbeda. Misalkan

pandang kasus-kasus berikut ini:

, ∈

,

dan

( ) = ( ) maka

48



Jika

=

=

,

( , )≠


Jika

=

untuk suatu , dan ≠

( )≠

, maka

( ) karena

( , ).
=

,

( ), titik

( )≠

untuk suatu , , , maka

( ), karena pada

yang diberi warna ( − ) terdapat sekurang-kurangnya 1

komponen bernilai satu, sedangkan pada

( ) , titik yang diberi warna

( − ) memuat tepat tepat satu komponen yang bernilai 1.


Jika

=

,

=

untuk suatu , , , dan ≠

( )≠

, maka

( ),

( ) , titik yang diberi warna ( − ) terdapat sekurang-

karena pada

( ), titik yang

kurangnya 1 komponen bernilai satu, sedangkan pada

diberi warna ( − ) memuat tepat satu komponen yang bernilai 1.


Jika

=

,

=

, untuk suatu

,

maka

( )≠

( ), karena pada

( ) , titik yang diberi warna ( − ) terdapat tepat dua komponen yang
bernilai 1, sedangkan pada ( ), titik yang diberi warna ( −

) terdapat

sekurang-kurangnya dua komponen bernilai satu.


Jika

=

,

karena pada

=

, untuk suatu

, , dan

≠

maka

( )≠

( )

( ) , titik yang diberi warna ( − ) terdapat tepat dua

komponen yang bernilai 1, sedangkan pada ( ), titik yang diberi warna
−


Jika

terdapat sekurang-kurangnya dua komponen bernilai satu.
=

,

=

untuk suatu , ,

maka

( )≠

( ). karena pada

( ), titik yang diberi warna ( − ) terdapat tepat dua komponen yang
bernilai 1, sedangkan pada ( ), titik yang diberi warna ( − ) terdapat
tepat satu komponen yang bernilai satu.

49



Jika

=

,

=

untuk suatu

, , ,

≠

dan

maka

( )≠

( )

( ) , titik yang diberi warna ( − ) terdapat tepat dua

karena pada

komponen yang bernilai 1, sedangkan pada ( ), titik yang diberi warna
( − ) terdapat tepat satu komponen yang bernilai satu.


Jika

=

=

,

maka untuk suatu

, ,

( )≠

maka

( ) karena

( ), titik yang diberi warna ( − ) terdapat sekurang-kurangnya

pada

dua komponen bernilai satu, sedangkan pada ( ), titik yang diberi warna
( − ) terdapat tepat satu komponen yang bern