Pertemuan 3 Metode Simpleks - Repository UNIKOM

  

Metode Simpleks

Page 1 Metode Simpleks

Prosedur matematis berulang (iterasi)

• untuk menentukan penyelesaian optimal dari masalah program linear Digunakan untuk variabel >2
• Model PL harus diubah menjadi bentuk
• standar

   Page 2

  

Bentuk Standar Model Program

Linear 1) Seluruh kendala harus berbentuk persamaan (bertanda =) dengan ruas kanan yang nonnegatif 2) Seluruh variabel harus variabel nonnegatif 3) Fungsi tujuannya dapat berupa maksimum atau minimum

   Page 3 Beberapa istilah dalam Metode Simpleks 1) Variabel Slack: variabel yang ditambahkan untuk mengkonversi pertidaksamaan (≤) menjadi persamaan (=). Pada solusi awal, variabel slack akan berfungsi sebagai variabel basis.

  

2) Variabel surplus adalah variabel yang

dikurangkan untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≥ menjadi persamaan (=).

  Pada solusi awal, variabel surplus tidak dapat berfungsi sebagai variabel basis.

   Page 4 Beberapa istilah dalam Metode Simpleks 3) Variabel Artifisial: variabel yang ditambahkan ke kendala berbentuk ≥ atau = berfungsi sebagai variabel basis diawal iterasi. Variabel ini harus bernilai 0 pada

solusi optimal, karena kenyataannya

variabel ini tidak ada.

  4) Variabel basis adalah variabel yang bernilai 1

  5) Variabel non basis adalah variabel yang bernilai 0

   Page 5 Kendala / Constrain Kendala dengan tanda ‘≤’ atau ‘≥’

• dapat diubah menjadi ‘=‘

  1

  2

  1. Contoh: x +2x ≤ 12 menjadi

  1

  2

  1

  1

  x +2x +S =12, S variabel slack

  1

  2

  2. Contoh: x +2x ≥ 12 menjadi

  1

  2

  2

  1

  2

  x +2x - S +R =12, S variabel

  1

  surplus dan R variabel artifisial

  1

  2

  3. Contoh: x +2x = 12 menjadi

  1

  2

  2

  2

  x +2x +R =12, R variabel artifisial Page 6

  Kendala/Constrain

Ruas kanan dapat dijadikan positif

• dengan cara mengalikan kedua ruas dengan -1 dan tanda ketidaksamaan dari ruas tersebut akan berubah

  1

  1

  2

  1

  1

• x +2x – S +R ≥ 12

  1

  2

  x -2x ≥ -12 dikali (-1) menjadi

  1

  2

  2

• x +2x + S ≤ 12

   Page 7 Kendala/Constrain Variabel tak terbatas dapat dinyatakan

• dengan dua variabel nonegatif

  i Contoh : untuk y yang tidak terbatas

  i i i

  

dapat didefinisikan y =y ’-y ’’ dengan

i i y ’,y ’’ ≥ 0

   Page 8 Kendala/Constrain Kendala dengan ketidaksamaan

• dimana ruas kirinya berada dalam tanda mutlak dapat diubah menjadi dua ketaksamaan

  1

  2 Contoh : │ 3x +2x │≤ 6 maka dituliskan

  1

  2

  1

  2

  

3x +2x ≤ 6 dan 3x +2x ≤ -6

Page 9

  Fungsi Tujuan Model standar program linear adalah untuk masalah maksimasi sehingga

untuk untuk fungsi minimasi maka

sama dengan maksimasi dari negatif fungsi yang sama

  1

  2 Contoh: minimumkan z = 2x +5x akan setara dengan

  1

  2 maksimumkan -z = -2x -5x

   Page 10 Contoh Perusahaan yang

memproduksi boneka dan kereta api

Maksimumkan Maksimumkan

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  3

  

z = 3x + 2x z -3x -2x +0S +0S +0S = 0

Dengan kendala Dengan kendala

  1

  2

  1

  2x +x +S =100

  1

  2

  2x + x ≤ 100

  1

  2

  2

  x +x +S = 80

  1

  2

  1

  x + x ≤ 80 x

  1

  3

  x +S = 40 ≤ 40 Syarat non negatif Syarat non negatif

  1 2, 1, 2,

  3

  x , x S S S ≥ 0

  1

  2

  x , x ≥ 0 Page 11

  1 ^{2 1 2 3} Maksimumkan z - 3x - 2x +0S +0S +0S =0 _{1 2 1}

  Dengan kendala 2x + x +S =100 _{1 2 2} x + x +S = 80 _{1 3} x +S = 40

  Variabel Slack berfungsi Variabel Slack berfungsi

  Variabel non basis Variabel non basis sebagai variabel basis sebagai variabel basis Ruas

  Ruas (diawal iterasi) (diawal iterasi) di awal iterasi

  Kanan di awal iterasi Kanan

  Basis x1 x2 S1 S2 S3 Solusi Rasio

  z -3 -2 S1

  2

  1

  1 100

  S2

  1

  1

  1

  80 S3

  1

  1

  40 Solusi awal (x1,x2)=(0,0) maka S1= 100,S2=80 dan S3=40

  Solusi Basis Fisibel: Jika seluruh variabel pada solusi basis berharga Page 12 Menentukan Entering Variabel Untuk fungsi tujuan maksimisasi pilih

• variabel non-basis yang mempunyai nilai negatif terbesar Untuk fungsi tujuan minimisasi pilih variabel
• Entering Entering

  non-basis yang mempunyai nilai positif

  Variabel Variabel

  terbesar Basis x1 x2 S1 S2 S3 Solusi Rasio

  z -3 -2 S1

  2

  1

  1 100 100/2

  S2

  1

  1

  1 80 80/1 S3

  1 1 40 40/1

  Kolom poros Kolom poros

   Page 13 Elemen

  Basis x1 x2 S1 S2 S3 Solusi Ket

  poros z -3 -2 Leaving

  S1

  2

  1 1 100 100/2 variable S2

  1

  1

  1 80 80/1 Kolom

  S3

  1

  1 40 40/1 poros

  Basis X1 x2 S1 S2 S3 Solusi Ket

  Persamaan Persamaan z elemen poros elemen poros baru = baru =

  S1 persamaan persamaan

  S2 elemen poros elemen poros x1

  1

  1

  40

  lama/elemen lama/elemen poros poros

  0/

  1

  1/

  1 0/

1 0/

1 1/ 1 40/

  1 Rasio

  positif terkecil Baris pertama (Z) Baris pertama (Z)

  (3) [ 1

  1 40 ]

  [ -3 -2 0 ] ( + )

  Nilai baru = [0 -2 3 120]

   Page 14

• (2) [ 1
• (1) [ 1

  1 1 -1 40]

  1

  1 80 80/1 S3

  1

  1

  1 1 100 100/2 S2

  2

  z -3 -2 S1

  Basis x1 x2 S1 S2 S3 Solusi Ket

  Nilai baru = [0

   Page 15

  1 1 80] ( + )

  [1

  1 40 ]

  1 1 -2 20] Baris ketiga (S2) Baris ketiga (S2)

  Nilai baru = [0

  1 1 100] ( + )

  [2

  1 40 ]

  Baris kedua (S1) Baris kedua (S1)

  1 40 40/1

• (2) [ 1
• (1) [ 1

  [2

  Nilai baru = [0

  1 1 80] ( + )

  [1

  1 40 ]

  Baris ketiga (S2) Baris ketiga (S2)

  1 1 -2 20]

  Nilai baru = [0

  1 1 100] ( + )

  1 40 ]

   Page 16 Basis x1 x2 S1 S2 S3 Solusi Ket

  Baris kedua (S1) Baris kedua (S1)

  1 1 40 ~

  40 x1

  40

  1 1 -1

  20 S2

  20

  1 1 -2

  z -2 3 120 S1

  1 1 -1 40]

  Basis x1 x2 S1 S2 S3 Solusi Ket

  Baris Baris z -2

  3 120 pivot pivot

  S1

  1

  1 -2

  20

  20 S2

  1 1 -1

  40

  40 x1

  1 1 40 ~

  Basis x1 x2 S1 S2 S3 Solusi Ket

  z

  x2

  1 1 -2

  20 S2 x1 0/1 1/1 1/1 0/1 -2/1 20/1

  Baris pertama (Z) Baris pertama (Z) 2 [ 0

  1 1 -2 20 ]

  [ 0 -2 3 120 ] ( + ) Nilai baru = [0 2 -1 160]

   Page 17 Baris ketiga(S2) Baris ketiga(S2)

• (1) [ 0

  1 1 -2 20 ]

  [0

  1 1 -1 40] ( + )

  Nilai baru = [0 -1

  1 1 20] Baris keempat(x1) Baris keempat(x1)

  [ 0

  1 1 -2 20 ]

  [1 1 40]

  ( + ) Nilai baru = [1

  1 40]

  Basis x1 x2 S1 S2 S3 Solusi Ket

  z 2 -1 160 x2 1 1 -2 20 -10

  S2 -1

  1

  1

  20

  20 x1

  1

  1

  40

  40 Page 18

  Basis x1 x2 S1 S2 S3 Solusi Ket

  z 2 -1 160 x2 1 1 -2 20 -10

  1

  1

  20

  20

  x1

  1

  1

  40

  40 Basis x1 x2 S1 S2 S3 Solusi Ket z x2

  1

  1

  20 x1 0/1 0/1 -1/1 01/1 1/1 20/1

  Baris pertama (Z)

Baris pertama (Z)

  [0 -1

  1 1 20]

• (-1)

  [ 0 2 -1 160 ] ( + ) Nilai baru = [0

  1 1 180]

   Page 19 Baris kedua (x2)

Baris kedua (x2)

  [0 -1

  1 1 20]

• (-2)

  [0

  1 1 -2 20] ( + )

  Nilai baru = [0 1 -1 2 60] Baris keempat (x1)

Baris keempat (x1)

  [0 -1

  1 1 20]

• (1)

  [1 1 40]

  ( + ) Nilai baru = [1 1 -1 20]

  Basis x1 x2 S1 S2 S3 Solusi Ket

  z

  1 1 180 x2 1 -1

  2

  60 S3 -1

  1

  1

  20 x1 1 1 -1

  20 Page 20

  Basis x1 x2 S1 S2 S3 Solusi Ket

  z

  1 1 180 x2 1 -1

  2

  60 S3 -1

  1

  1

  20 x1 1 1 -1

  20 Sudah Optimal karena di baris z sudah tidak ada nilai yang negatif

  Nilai x1= 20 dan x2=60 dengan z = 180 sedangkan S3 =20 adalah kelebihan kendala 3 yang tidak terpakai sedangkan S1 dan S2 habis terpakai.

• Untuk semua persamaan fungsi kendala bertanda ≤ maka dapat diselesaikan dengan metode simpleks biasa
• Untuk satu atau lebih fungsi kendala yang bertanda ≥ atau = digunakan metode Big M atau Dua Fase

   Page 21 Kasus Khusus dalam Simpleks

  1. Degenerasi timbul jika variabel basisnya bernilai nol atau ruas kanan mempunyai nilai nol. Kemungkinan yang terjadi

• Terjadi perulangan (looping) nilai fungsi dan variabel keputusan
• Degenerasi temporer ruas kanan mengandung nol tapi pada iterasi

  berikutnya ruas kanan tidak nol

   Page 22

Kasus Khusus dalam Simpleks

  2. Solusi optimum banyak Tidak ada permasalahan dalam memilih EV dan LV karena nilai optimalnya akan selalu sama dengan nilai variabel keputusan yang berbeda

  3. Solusi tak terbatas

  4. Tidak ada solusi optimal

• Jika ada bernilai semu
• Ditunjukkan pula nilai fungsi tujuan mengandung M (nilai pinalti)

   Page 23