Metode Simpleks - Repository UNIKOM
METODE SIMPLEKS MATAKULIAH RISET OPERASIONAL Pertemuan Ke-5
Riani Lubis JurusanTeknik Informatika JurusanTeknik Informatika Universitas Komputer Indonesia Pendahuluan (1) ( )
Metode simpleks merupakan sebuah prosedur matematis berulang Metode simpleks merupakan sebuah prosedur matematis berulang untuk menemukan penyelesaian optimal soal programa linier.
Digunakan jika variabel keputusan lebih besar dari dua (karena Di k jik i b l k t l bih b d i d (k sulit menggambarkan grafik berdimensi banyak)
Dirancang untuk menyelesaikan masalah PL yang melibatkan dua variabel atau lebih
Prinsipnya metode ini menyelesaikan masalah PL melalui p perhitungan ulang (iterasi) dimana langkah-langkah perhitungan g g ( ) g g p g yang sama diulang berkali-kali sampai solusi optimum diperoleh. Pendahuluan (2) ( )
Model PL harus diubah ke dalam bentuk umum (standar form) yang (
f
) y g memiliki sifat-sifat :
1 Semua pembatas harus berbentuk persamaan(=) dengan ruas
1. Semua pembatas harus berbentuk persamaan( ) dengan ruas
kanan non-negatif
2 Semua variabel non negatif 2.
Semua variabel non-negatif
3. Fungsi tujuan dapat maksimum/minimum Terminologi Penting dalam Simpleks
Variabel Slack :
Membuat nilai ruas kiri sama dengan ruas kanan pada kendala Membuat nilai ruas kiri sama dengan ruas kanan pada kendala yang berupa pembatas
Menampung sisa kapasitas/kapasitas yang tidak digunakan pada M i k it /k it tid k di k d kendala yang berupa pembatas
Variabel Surplus : b l l
Membuat nilai ruas kiri sama dengan nilai ruas kanan pada kendala yang berupa syarat.
Menampung kelebihan nilai ruas kiri pada kendala yang berupa p g p y g p syarat.
Variabel artifisial berfungsi untuk memperluas daerah fisibel Variabel artifisial berfungsi untuk memperluas daerah fisibel
Variabel non-basis adalah variabel yang bernilai nol.
- c
- … + c
- a
- … + a
- a
- … + a
- a
- … + a
2n n 2 21 1 22 2
2 .
a x + a x + + a x ≤ b a
m1
x
1
m2
x
2
mn
x
n
≤ b
m
1
x
, x
2
, … , x
n
≥ 0 dimana ; c
n
: cost/profit x
n
: variabel keputusan
n p f n
p a
mn
: parameter pembatas b
m
≤ b
x
n
1
Bentuk Standar PL
Fungsi Tujuan : Maks/Min Z = c x + c x + + c x Maks/Min Z = c
1
x
1
2
x
2
n
x
n
Fungsi Pembatas : a
11
x
12
2n
x
2
1n
x
n
≤ b
1
a
21
x
1
22
x
2
: pembatas Cara Transformasi Bentuk Formulasi 1.
Pembatas/Constrain
Pembatas/kendala menunjukkan keterbatasan penggunaan suatu sumber daya. y
Pembatas bertanda ≤ atau ≥ diubah jadi persamaan (=) dengan menambahkan suatu variabel slack atau mengurangkan dengan menambahkan suatu variabel slack atau mengurangkan suatu variabel surplus di ruas kiri pembatas.
Contoh : X + X ≤ 15 ditambahkan variabel slack S ≥ 0 pada ruas kiri
1
2
1
sehingga diperoleh persamaan ;
X + X + S =15
1
2
1
Contoh :
3X + 2X – 3X ≥ 15 dikurangkan surplus variabel S ≥ 0
1
2
3
1
dan ditambahkan variabel dummy (variabel artifisial/R) R dan ditambahkan variabel dummy (variabel artifisial/R) R ≥ 0 ≥ 0
1
1
pada ruas kiri sehingga diperoleh persamaan ;
3X + 2X + 2X – 3X
3X
3X – S S + R = 15 + R = 15
1
2
3
1
1 Contoh :
3X + 2X = 18 ditambahkan variabel dummy (variabel y
1
2
artifisial/R) R ≥ 0 pada ruas kiri sehingga diperoleh
1
p persamaan ;
3X + 2X + R = 18
1
2
1
Ruas kanan pada persamaan yang bersifat/bernilai negatif dapat p p y g g p diubah jadi positif dengan mengalikan ruas kiri & ruas kanan dengan (-1) g ( )
Contoh :
- -5X
5X + X = 25 5X + X = -25 5X - X X = 25 = 25
1
2
1
2
Pertidaksamaan fungsi pembatas dapat berubah arah dengan mengalikan ruas kiri & ruas kanan dengan (-1) lik ki i & k d ( 1)
Contoh :
- -5X + X ≤ -25 5X - X ≥ 25
1
2
1
2
J Jika fungsi pembatas mempunyai bentuk : g p p y a x + a x ≤ b
11
1
12
2
1
maka nilainya : k il i
a x + a x ≤ b dan -a x - a x ≥ b
11
1
12
2
1
11
1
12
2
1
2. Variabel
Jika suatu variabel keputusan tidak terbatas dalam tanda, maka akan mempunyai dua nilai berdasarkan pada persamaan : akan mempunyai dua nilai berdasarkan pada persamaan :
y = y ’ – y ’’ dimana y ’ dan y ’’ ≥ 0 i i i i i
3. Fungsi Tujuan g j
Fungsi tujuan yang pada mulanya maksimasi dapat diubah jadi minimasi dengan mengalikan ruas kiri dan ruas kanan dengan minimasi dengan mengalikan ruas kiri dan ruas kanan dengan negatif.
C Contoh : t h
maksimumkan Z = 5X + 2X + 3X
1
2
3
sama artinya dengan, minimumkan -Z = -5X minimumkan Z 5X - 2X
2X - 3X
3X
1
1
2
2
3
3 Contoh :
Kasus diambil berdasarkan kasus perusahaan kaca WYNDOR GLASS .
Fungsi Tujuan : g j Maksimasi z = 3 X + 5 X
1
2 Pembatas : P b
X ≤ 4
1
2X ≤ 12
2
3 X + 2 X
3 X
2 X ≤ 18 ≤ 18
1
1
2
2 X
≥ 0
1 X X ≥ 0 ≥ 0
2
Maka penyelesaianya adalah sebagai berikut :
- 5 X
- 5 X
2 Maksimasi Z = 3 X
- – 5 X
- S
3 X
- 2 X
- S
2 ≥ 0
≥ 0
2X
2
2
= 12
3 X
1
2
3
= 18
3 X 1,
1
2
X
2 ,
S
1 ,
S
2 ,
S
3
≥ 0
1
≤ 18
X
2
1. Konversikan formulasi matematik awal ke bentuk standar PL
Formulasi matematik awal : Formulasi Bentuk Standar PL :
standar PL Fungsi Tujuan :
Fungsi Tujuan : Maksimasi Z= 3 X
1
1
2 Z – 3 X
1
2
= 0 Fungsi Pembatas :
X ≤ 4
1
2 F i P b t
X
1
≤ 4
2X
2
≤ 12 Fungsi Pembatas :
X
1
1
= 4
1
- 2 X
- S
1 X
2. Nilai-nilai dalam bentuk standar dimasukkan ke dalam tabel simpleks tabel simpleks
Formulasi Bentuk Standar PL : Pers.
(0) Z – 3 X (0) Z 3 X – 5 X
5 X = 0 = 0
1
2
(1) X + S = 4
1
1
(2)
2
2X 2 + S + S = 12
12
2
2
(3)
3 X + 2 X + S = 18
1
2
3 Jika berada pada pusat koordinat (0,0), maka nilai X Jika berada pada pusat koordinat (0 0) maka nilai X = 0 dan X = = 0 dan X =
1
2 0, sedangkan nilai S = 4, S = 12, dan S = 18.
1
2
3 Maka dalam hal ini, X k d l h l dan X d d b b l b disebut variabel non-basis karena k
1
2
bernilai nol. Sedangkan S , S , dan S disebut variabel basis karena
1
2
3 Formulasi Bentuk Standar PL : Pers.
( ) (0) Z – 3 X – 5 X = 0
1
1
2
2
(1) X + S = 4
1
1
(2) (2)
2X + S + S = 12 = 12
2X
2
2
(3)
3 X + 2 X + S = 18
1
2
3 Tabel Simpleks :
3. Tentukan Entering Variable (EV)
Memilih variabel non basis yang akan memasuki variabel basis Memilih variabel non-basis yang akan memasuki variabel basis dengan cara :
F. Tujuan maksimasi pilih variabel non-basis yang F T j k i i ilih i b l b i mempunyai nilai negatif terbesar
F. Tujuan minimasi pilih variabel non-basis yang mempunyai nilai positif terbesar
4. Tentukan Leaving Variable (LV)
Memilih rasio yang mempunyai nilai positif terkecil yang akan M ilih i i il i i if k il k meninggalkan variabel basis.
Rasio = Solusi (RHS) / EV R i S l i (RHS) / EV
Titik temu dari LV dengan EV disebut “Elemen Poros”
ITERASI 0
Hitung nilai pada baris LV (baris kunci) 5.
Menghitung persamaan elemen poros baru dengan cara :
Pers. El. Poros = Pers. El. Poros Lama / El. Poros Pers El Poros = Pers El Poros Lama / El Poros Hitung nilai baris baru selain baris LV (baris kunci) 6.
Menentukan persamaan baris baru selain persamaan elemen poros, dengan cara : g
Pers. Baru = Pers. Lama – (El. Kolom Entering) X (Pers. El. Poros Baru)
7. Ulangi langkah 4 s/d 7, sampai tidak ada variabel non-
b i b d basis yang bertanda : F. Tujuan maksimasi bertanda negatif (-)
F. Tujuan minimasi bertanda positif (+) Karena variabel non-basis ≥ 0 semua, maka diperoleh nilai optimal :
X
1
= 2
X
2
= 6
2 Z = 36 X $1000 = $ 36000
Penyelesaian PL
Jika semua persamaan fungsi pembatas bertanda ≤ , maka diselesaikan dengan metode simpleks biasa di l ik d t d i l k bi
Jika satu/lebih persamaan fungsi pembatas bertanda ≥ atau = , maka diselesaikan dengan metoda Big M atau metoda , g g
Dua Phasa
- 3X
- X
- X
- 3X
- 0S
- 0S
= 6
2 = 0
F. Pembatas :
X
1
2
1
= 4
X
1
2
2
X
2 - 0S
1
, X
2
, S
1
, S
2
≥ 0
1
2
1
1 - 0S
1 + 3X
2
1
Contoh Dengan Simpleks Biasa :
F. Tujuan : min Z = 2X
1
2 F P b t
F. Pembatas :
X
1
2
≤ 4
X X ≤ 6
X
2
2 Z - 2X
≤ 6
X
1
, X
2
≥ 0
Konversi ke dalam bentuk standar/kanonik
F. Tujuan : min Z = 2X
1
2
1
- X
- S
- X
- S
Solusi Optimal :
X X = 0 = 0
1 X = 4
2 Z = -12 Kasus-Kasus Khusus 1.
Degenerasi
Persoalan ini timbul jika variabel basis mempunyai nilai nol (0) atau ruas kanan mempunyai nilai nol (0)
Pada kasus ini kemungkinan muncul 2 hal : g 1.
Pemilihan LV kembali ke langkah awal dan nilai yang dihasilkan oleh variabel keputusan & fungsi tujuan adalah sama terjadi p g j j loop/cycling 2.
2 Degenerasi temporer ; pada ruas kanan mengandung nilai nol Degenerasi temporer ; pada ruas kanan mengandung nilai nol
(0) tetapi hasil yang diperoleh pada langkah berikutnya akan menghilangkan nilai nol sehingga variabel keputusan mungkin menghilangkan nilai nol sehingga variabel keputusan mungkin akan berubah nilainya dan nilai fungsi tujuan akan sama dengan langkah sebelumnya langkah sebelumnya
Bila pada variabel non-basis yang telah berharga nol (0) kemudian
pada iterasi berikutnya, kembali bernilai negatif (-). Maka pada iterasi berikutnya kembali bernilai negatif ( ) Maka Contoh Degenerasi :
F. Tujuan : maks Z = 3X + 9X
1
2 F. Pembatas :
X + 4X ≤ 8
1
2 X + 2X ≤ 4
1
1
2
2 X , X ≥ 0
1
2 Konversi ke dalam bentuk standar/kanonik
F. Tujuan : maks
F. Tujuan : maks Z Z = 3X
3X + 9X
9X + 0S
0S + 0S
0S
1
1
2
2
1
1
2
2 Z - 3X - 9X - 0S - 0S = 0
1
2
1
2 F. Pembatas : F Pembatas :
X + 4X + S = 8
1
2
1 X X + 2X + S = 4 + 2X + S = 4
1
2
2 X , X , S , S ≥ 0
1
2
1
2
Karena variabel basis X
1
= 0 , maka nilai optimal :
X
1 = .....
X
2 = .....
2 Z = .....
- 2X
- 3X
- X
- X
- 2X
- 0S
- 0S
- 0S
2
3 = 0
F. Pembatas :
F. Pembatas :
4X
1
2
1
= 12
4X
1
2
2
= 8
1
2
1 - 0S
2
3
, S
2
, S
1
, S
, X
4X
1
X
= 8
3
2
1
2 - 0S
2 - 0S
≥ 0
2
4X X ≤ 8
≤ 8
2
1
4X
≤ 12
1
1
4X
≤
2 F. Pembatas :
1
F. Tujuan : maks Z = 3X
Contoh Degenerasi Temporer :
4X
2
1 - 2X
F. Tujuan : maks Z
3 Z -3X
2
1
2
1
3X
F Tujuan : maks Z = 3X + 2X + 0S + 0S + 0S
≤ 8
Konversi ke dalam bentuk standar/kanonik
≥ 0
2
, X
1
X
- 3X
- S
- X
- S
- X
- S
Nilai optimal :
X
1 = .....
X
2 = .....
2 Z = .....
2.
Solusi Optimum Banyak
Pada kasus ini tidak ada permasalahan pada pemilihan EV dan LV, Pada kasus ini tidak ada permasalahan pada pemilihan EV dan LV tetapi nilai optimal yang dihasilkan pada langkah terakhir “sama” dengan nilai variabel keputusan yang berbeda dengan nilai variabel keputusan yang berbeda Contoh :
3. Solusi TakTerbatas
Pada kasus ini terdapat ruang solusi yang tidak terbatas sehingga fungsi tujuan dapat meningkat (untuk maksimasi) gg g j p g ( ) atau menurun (untuk minimasi) secara tidak terbatas.
Biasanya nilai yang dimiliki oleh elemen yang ada di bawah EV Biasanya nilai yang dimiliki oleh elemen yang ada di bawah EV bernilai satu atau nol.
4. Tidak Ada Solusi Optimal (Pseudo Optimal)
Tidak memiliki solusi optimal. Meskipun ada, solusi optimalnya bernilai semu
Pada kasus ini ditunjukkan dengan adanya nilai pada fungsi tunjuan yang mengandung M (nilai pinalti/variabel artifisial R) j y g g g ( p )