Pendugaan model fungsi survivor - USD Repository

  

PENDUGAAN MODEL FUNGSI SURVIVOR

Skripsi

  Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

  Program Studi Matematika

  

Oleh :

Agus Galihpurbajati

NIM : 023114016

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

  

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2007

  PERNYATAAN KEASLIAN KARYA Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

  Yogyakarta,……………2007 Penulis

  Agus Galihpurbajati

HALAMAN PERSEMBAHAN

  Poma-poma wekas mami Anak putu aja lena Aja ketungkul uripe Lan aja duwe kareman

  Marang pepaes donya Siyang dalu dipun emut Urip cadhangan antaka

  ( Surat Wulang Reh, Paku Buwono IV ) KUPERSEMBAHKAN KARYA YANG SEDERHANA INI KEPADA TUHAN YESUS DAN BUNDA MARIA YANG SELALU MELINDUNGIKU BAPAK DAN IBUKU YANG SELALU MELIMPAHKAN SELURUH KASIH SAYANGNYA KEPADAKU

  SERTA Ndo’ YANG SELALU DI SAMPINGKU ABSTRAK Setiap item memiliki waktu hidup, yaitu masa dari awal item tersebut diciptakan hingga item tersebut mengalami kerusakan atau kegagalan. Dalam waktu hidupnya, suatu item memiliki waktu dimana item tersebut akan bertahan hidup sebelum akhirnya akan mengalami kegagalan. Data yang diambil dari waktu bertahan hidup suatu item sebelum item tersebut mengalami kegagalan disebut data survival atau data survivor. Model matematis waktu survival dapat diduga dari data waktu bertahan hidup n item yang diamati. Untuk menduga model survivor lebih lanjut, diperlukan distribusi probabilistik yang sesuai. Untuk setiap n item, bertahan ke waktu t dapat dianggap sebagai percobaan Bernoulli, jadi jumlah item yang bertahan ke waktu t, (n(t)), mempunyai distribusi Binomial dengan parameter n dan probabilitas suksesnya S(t), di mana sukses menunjukkan bahwa item dapat bertahan hingga ke waktu t. Tulisan ini membahas Metode Non parametrik untuk menduga model fungsi survivor. Pendekatan distribusi normal untuk binomial digunakan untuk menentukan selang kepercayaan parameter fungsi survivor.

ABSTRACT Each item has a lifetime, i.e. a time from the item was created until the item failed. In the lifetime, an item has a time to survive before finally the item will fail. Survival data is taken from the survival times of an item before the item fails. The Survival time mathematical model can be estimated from the survival time data of the n studied-item. An appropriate probabilistic distribution is needed to estimate the survivor model in further. For each of the n item that survives to time t can be considered as a Bernoulli trial. Thus the number of items that survives to time t, n(t), has a Binomial distribution with parameter n and probability of success S(t), where the success shows that the item can survive to time t. This writing discusses about Nonparametrical method to estimate the survivor function model. The normal approximation to the binomial distribution is used to determine the parameter confidence interval of the survivor function.

KATA PENGANTAR

  Puji dan syukur kepada Allah Bapa yang penuh kasih, karena dengan terang- Nya skripsi yang berjudul Pendugaan Model Fungsi Survivor ini dapat diselesaikan dengan baik. Skripsi ini disusun dalam rangka memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar sarjana sains.

  Penulis menyadari bahwa skripsi ini dapat diselesaikan karena bantuan dari berbagai pihak, oleh karena itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :

  1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc. sebagai dekan Fakultas MIPA Universitas Sanata Dharma dan juga sebagai dosen pembimbing akademik sekaligus pembimbing skripsi yang dengan sabar membimbing dan memberikan masukan-masukan yang sangat berarti selama penulis menempuh studi dan dalam proses penyusunan skripsi ini.

  2. Bapak YG. Hartono, S.Si., M.Sc. sebagai Ketua Program Studi Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Sanata Dharma.

  3. Ibu Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si, M.Si dan ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si, M.Si selaku dosen penguji.

  4. Bapak dan Ibu dosen FMIPA khususnya Program Studi Matematika yang telah banyak memberikan banyak ilmu kepada penulis.

  5. Ibu Warni, Mas Tukijo dan Ibu Linda atas semua bantuannya.

  6. Perpustakaan USD dan staff atas fasilitas dan pelayanannya.

  7. Kedua orangtuaku, Bapak P. Purwiyono dan Ibu Ch. Sukiyem, yang selalu memberi dukungan kepada penulis, “ Aku sangat menyayangi kalian “

  8. Mas Poyo, Le’ Wakini, Mita dan calon adiknya, terima kasih semuanya mbah Pacitan, Le’ Mistam, Le’ Parni, Le’ Gum, Pita, Wawan, Nurul, mbah Muntilan (Alm.), mba Venti, Pakdhe, Budhe, Bulik dan Om, terima kasih atas doa-doanya. Tak lupa juga Pakde Bagyo, Bude Kat, Mas Nug, Mba Tiwik, Mbak Nia.

  9. Katarina Kartika, seorang yang selalu ada untukku, selalu mengasihi, menyayangi dan mendukungku (MsbmA).

  10. Pak Sardjono dan Ibu atas doa restunya, juga Mbak Kus dan Mas UQ.

  11. Sahabat-sahabatku: Bani, Aan, Ijoep, Taim, Markus, Tato, Priska yang selalu penuh keceriaan, terima kasih untuk semuanya.

  12. Teman-teman angkatan 2002, kapan kita makrab lagi (10-10-10 ? ) 13. Anak-anak kos PJ’S : Andi untuk komputer dan segala pengalaman hidup.

  Koencoeng untuk motornya ☺. Doni untuk kebaikanya serta Ari untuk cerita-ceritanya. Poeji, Eli, Angga, Danang, mBah Jo, Putu, terima kasih atas kebersamaan yang telah kita lewati. Mas Disiplin untuk tukar pikirannya. Tak lupa Pak Djan dan Bu Djan atas kos-kosannya yang telah memberi banyak keceriaan kepada penulis.

  14. Kodok Ijo Comunity : Gondrong, Tsu Min, Didit, Topan, Felix untuk semuanya.

  15. Mas Mbong untuk falsafah hidup dan cerita-cerita serunya.

  16. Pak Aris untuk pelajaran dekorasinya.

  17. PSM CF dan anak-anaknya yang selalu kocak: Bayu, Beni, Elen dan semuanya, terima kasih untuk warna yang indah selam kita bersama.

  ‘Banyak yang telah aku dapat di sini’

  18. Teman-teman KKN XXXI kelompok 10: Yosep, Cahyo, Siska, Agnes, Via, Sinta, Watik, Seli dan Neni.

  19. Teman sekampungku :mBak Sari, D’Lina-D’Leni, D’Nopi, Songglon, Rino, Tekek, Joni, Dedi.

  20. Semua pihak yang namanya belum tercantum di tulisan ini.

  Skripsi ini bukanlah sebuah karya yang sempurna, masih ada kekurangan- kekurangan dalam skripsi ini yang perlu diperbaiki. Oleh karena itu penulis mengharapkan saran dan kritikan yang membangun. Akhir kata, semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi para pembaca.

  Yogyakarta, Juni 2007 Penulis

  DAFTAR ISI

  HALAMAN JUDUL.............................................................................................i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING.................................................. ii HALAMAN PENGESAHAN............................................................................ iii PERNYATAAN KEASLIAN KARYA...............................................................iv HALAMAN PERSEMBAHAN......................................................................... v ABSTRAK......................................................................................................... vi ABSTRACT....................................................................................................... vii KATA PENGANTAR...................................................................................... viii DAFTAR ISI....................................................................................................... xi

  BAB I. PENDAHULUAN................................................................................... 1

  1.1 Latar belakang Masalah............................................................................ 1

  1.2 Perumusan Masalah................................................................................. 3

  1.3 Pembatasan Masalah................................................................................ 3

  1.4 Tujuan Penulisan..................................................................................... 3

  1.5 Metode Penulisan..................................................................................... 3

  1.6 Manfaat Penulisan................................................................................... 4

  1.7 Sistematika Penulisan............................................................................. 4

  BAB II. PENGANTAR TEORI PROBABILITAS DAN RELIABILITAS.......................................................................... 6

  2.1 Variabel Random.................................................................................... 6

  2.2 Distribusi Probabilitas Kontinu Bersama................................................ 6

  2.3 Penjumlahan Variabel Random............................................................... 9 2.4 Reliabilitas.............................................................................................

  12

  2.4.1 Pengertian Reliabilitas................................................................. 12

  2.4.2 Kaitan Reliabilitas dengan Kualitas............................................. 14 2.4.3 reliabilitas Bergantung Waktu....................................................... 15

  2.4.4 Reliabilitas Sistem........................................................................ 23

  2.5 Distribusi Bernoulli............................................................................... 32

  2.6 Distribusi Binomial................................................................................ 33

  2.7 Teorema Limit Pusat............................................................................. 36

  2.8 Pendekatan Normal untuk Distribui Binomial...................................... 40

  2.9 Penduga Parameter................................................................................ 42

  2.9.1 Penduga Titik................................................................................ 43

  2.9.2 Penduga Interval ( selang kepercayaan )...................................... 43

  2.9.2.1 Metode Pivot........................................................................ 44

  2.10 Teori Likelihood.................................................................................. 46

  BAB III. PENDUGA FUNGSI SURVIVOR.................................................... 52

  3.1 Fungsi Survivor..................................................................................... 52

  3.2 Penyensoran Data…………………………………………………...... 54

  3.2.1 Penyensoran Tipe II……………………………………………..

  56 3.2.2 Penynsoran Tipe I.........................................................................

  57

  3.2.3 Penyensoran Random.................................................................... 57

  3.3 Penduga Fungsi Survivor....................................................................... 62

  3.4 Tabel Hidup............................................................................................ 76 3.4.1 Tabel Hidup generasional..............................................................

  79 3.4.2 Tabel Hidup Searah......................................................................

  79

  3.5 Uji Kolmogorov-Smirnov.................................................................... 81 3.5.1 Langkah-langkah Uji Kolmogorov-Smirnov...............................

  82

  3.5.2 Statistik Uji Kolmogorov-Smirnov untuk Distribusi Waktu Hidup.................................................... 84

  3.6 Sensor Kanan Himpunan Data.............................................................. 91

  BAB IV. APLIKASI PENDUGA FUNGSI SURVIVOR................................ 93 BAB V. PENUTUP......................................................................................... 101

  5.1 Kesimpulan.......................................................................................... 101

  5.2 Saran.................................................................................................... 102 DAFTAR PUSTAKA...................................................................................... 103

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah Fungsi survivor memegang peranan penting dalam distribusi waktu hidup.

  Fungsi ini berguna untuk menganalisa data-data survival, yaitu data yang diambil dari waktu bertahan hidup suatu item sebelum item tersebut mengalami kegagalan atau kematian. Sebagai contoh adalah suatu produk yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan. Data-data survival akan diambil dari beberapa item produk tersebut yang digunakan sebagai sampel yang kemudian dengan fungsi survivor dapat dianalisa hingga diketahui daya tahan produk tersebut. Dengan demikian, perusahaan akan mengetahui apakah produk yang mereka keluarkan memiliki waktu hidup yang panjang atau tidak dan kemudian dapat dijadikan pertimbangan untuk produksi selanjutnya. Dari data-data yang didapat, akan menghasilkan suatu model yang merepresentasikan data-data survial tersebut. Namun untuk menyelesaikan model yang diperoleh tersebut tidaklah mudah, karena model tersebut berhubungan dengan waktu, sehingga masih sulit untuk mendapat kepastian kapan suatu item yang diamati tersebut akan mengalami kegagalan karena nilai-nilai data dapat berubah seiring berjalannya waktu dan kalaupun bisa, tentu akan memerlukan waktu yang lama untuk mengamatinya karena belum tentu semua item memiliki waktu hidup yang sama. Oleh karena itu, pendugaan model sangat diperlukan untuk mempermudah pengolahan data-data tersebut. Namun persoalan belum selesai sampai di situ, karena data-data survival sering sedikit melenceng atau bahkan jauh dari distribusi normal (B.S. Everitt,1994). Dalam statistika parametrik, persoalan tersebut dapat diselesaikan dengan menerapkan Teorema Limit Pusat yang sering digunakan sebagai pendekatan empiris untuk menjamin ketepatan asumsi normalitas. Namun hal itu hanya dapat digunakan pada sampel yang besar, sedangkan seringkali terdapat situasi di mana sampel terlalu kecil sehingga sulit untuk menentukan normalitasnya. Untuk mengatasi masalah tersebut, cabang statistika memiliki prosedur alternatif yang tidak memerlukan ukuran sampel untuk menentukan normalitasnya. Prosedur ini disebut sebagai statistika nonparametrik. Prosedur ini juga dapat mengatasi masalah penyensoran yang sering terdapat pula dalam data-data survival.

  Oleh karena itu, dalam skripsi ini hanya akan membahas penduga fungsi survivor dengan metode nonparametrik yang kemudian akan digunakan untuk memperoleh selang kepercayaan bagi penduga fungsi survivor tersebut. Penduga model fungsi survivor akan diasumsikan bahwa penduga nonparametrik fungsi survivor S(t) adalah sama dengan jumlah sampel yang rusak selama selang waktu

  

t dibagi dengan jumlah sampel yang digunakan. Secara matematis penduga model

  tersebut dapat dituliskan sebagai berikut

  n ( t ) ˆ

  

S ( t ) = ,

n

  dimana S ˆ t ( ) adalah penduga dari fungsi survivor S(t).

  1.2 Perumusan Masalah

  Permasalahan yang dibahas dalam skripsi ini dapat dirumuskan sebagai berikut :

  1. Bagaimana menentukan penduga dan selang kepercayaan penduga

  fungsi survivor ?

  2. Bagaimana aplikasi penduga fungsi survivor pada ketahanan hidup suatu item ?

  1.3 Pembatasan Masalah

  Dalam skripsi ini dibatasi oleh beberapa hal sebagai berikut : 1. Skripsi ini hanya membahas metode nonparametrik.

  2. Teorema Ketunggalan tidak dibuktikan

  3. Tipe penyensoran yang digunakan adalah penyensoran Tipe II

  1.4 Tujuan Penulisan

  Skripsi ini bertujuan untuk memenuhi salah satu persyaratan untuk mem- peroleh gelar Sarjana Sains dalam bidang Matematika. Selain itu skripsi ini ber- tujuan untuk memperdalam pengetahuan tentang fungsi survivor, penduga fungsi

  

survivor serta selang kepercayaan penduga fungsi survivor dan aplikasi-

aplikasinya.

  1.5 Metode Penulisan

  Metode yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah metode studi pustaka, yaitu dengan mempelajari dan memahami buku-buku dan literatur- literatur yang terkait dan sudah dipublikasikan, sehingga tidak ditemukan hal baru.

  1.6 Manfaat Penulisan

  Manfaat yang diharapkan dari penulisan skripsi ini adalah :

  1. Dapat lebih memahami mengenai penduga fungsi survivor dengan metode nonparametrik agar dapat dikembangkan lebih lanjut demi perkembangan ilmu matematika khususnya dalam bidang statistik

  2. Mengetahui lebih jauh aplikasi-aplikasi penduga fungsi survivor ke- hidupan sehari-hari.

  1.7 Sistematika Penulisan

  Bab I. Pendahuluan. Pada bagian ini akan dibahas tentang latar belakang

  masalah, perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan, metode penulisan, manfaat penulisan, dan sistematika penulisan.

  Bab II. Landasan Teori. Pada bagian ini akan dibahas tentang variabel

  random, distribusi probabilitas kontinu bersama, penjumlahan variabel random, reliabilitas, distribusi bernoulli, distribusi binomial, teorema limit pusat, pendekatan normal untuk distribusi binomial, enduga parameter dan teori likelihood.

  Bab III. Penduga Fungsi Survivor. Dalam bagian ini akan dibahas tentang

  penyensoran data dan penetuan selang kepercayaan, namun sebelumnya akan dibahas terlebih dahulu mengenai fungsi survivor itu sendiri. Akan dibahas pula penggunaan tabel hidup (life table) sebagai metode lain untuk menentukan selang kepercayaan untuk penduga fungsi survivor dalam statistik nonparametrik serta uji Kolmogorov-Smirnov untuk menentukan normalitas data.

  Bab IV. Aplikasi Penduga Fungsi Survivor. Dalam bagian ini akan dibahas

  penyelesaian masalah tentang penentuan penduga fungsi survivor dan selang kepercayaannya untuk data penderita leukemia.

  Bab V. Penutup. Bab ini berisi kesimpulan dan saran.

BAB II PENGANTAR TEORI PROBABILITAS DAN RELIABILITAS

  2.1 Variabel Radom

Variabel random, misalnya X, adalah fungsi yang didefinisikan pada ruang

  sampel S, yang memetakan setiap elemen a ∈ ke bilangan real yang dinotasikan S sebagai berikut :

  

= ∈ ∈

X ( a ) x , a S , x R .

  Huruf kapital seperti X, Y, Z akan digunakan sebagai lambang variabel random sedangkan huruf-huruf kecil yang bersesuaian x, y, z melambangkan nilai variabel random yang mungkin. Konsep variabel random dapat dipahami sebagai sebuah pemetaan dari himpunan S ke himpunan bilangan real.

  Variabel random yang nilainya berhingga atau tak berhingga terbilang disebut variabel random diskret, sedangkan jika tidak demikian disebut variabel random kontinu.

  2.2 Distribusi Probabilitas Kontinu Bersama Definisi 2.2.1 Fungsi Densitas Bersama

  Variabel random X dan Y dikatakan kontinu bersama-sama jika terdapat fungsi f(x,y) yang terdefinisi untuk semua nilai x dan y, yang merupakan bilangan real ₂ dalam setiap himpunan C ⊂ R , sehingga peluang

  P ((

X , Y ) ∈ C ) = f ( x , y ) dx dy

  (2.1)

_{( X , Y ) ∈ C} ∫∫ Jika A dan B adalah dua buah himpunan bilangan real dan C = ( x , y ) : x ∈ A , y ∈ B , dari persamaan (2.1) dapat dilihat

  { }

  (2.2) P ( X ∈ A , Y ∈ B ) = f ( x , y ) dx dy

  ∫ ∫ B A

  Karena fungsi distribusi kumulatif bersama F ( a , b ) = P ( X ∈ ( −∞ , a ], Y ∈ ( −∞ , b ] ) _{b a} (2.3)

  = f ( x , y ) dx dy ,

  ∫ ∫ − ∞ − ∞

  maka fungsi densitas bersama dapat diperoleh melalui diferensiasi, yaitu ₂ ∂

  (2.4) f ( a , b ) = F ( a , b ) a b

  ∂ ∂ Jika turunan parsialnya ada.

  Interpretasi lain dari fungsi densitas bersama berdasarkan persamaan (2.2), adalah _{b db a da}

  X a da , b Y b db ) = f ( x , y ) dx dy + < < < + P ( a <

  ∫ b ∫ a

  (2.5) ≈ f ( a , b ) da db Di mana da dan db kecil dan f(x,y) kontinu di a,b.

  Definisi 2.2.2

  Jika X dan Y adalah kontinu bersama-sama, maka secara individu adalah juga kontinu, sehingga fungsi distribusi probabilitasnya adalah P (

  X A ) P (

  X A , Y ( , )) ∈ = ∈ ∈ −∞ ∞

  ∞

  = f ( x , y ) dy dx

  ∫ ∫ A − ∞

  (2.6) = f ( x ) dx _{A X}

  ∫ ∞

  di mana

  f ( x ) = f ( x , y ) dy _X

  (2.7)

  ∫ − ∞ dan disebut fungsi densitas marginal untuk X. Dengan cara yang sama pula, fungsi densitas marginal untuk Y adalah (2.8)

  ∫

∞

∞ −

  =

  _Y dx y x f y f

  ) , ( ) (

  Contoh 2.1

  Fungsi densitas untuk X dan Y diberikan dengan ⎩ ⎨ ⎧

  ∞ < < ∞ < < =

  − −

  , selainnya ; y x , e e

  2 ) y , x ( f ^{y 2 x}

  Hitung a) P )

  < > X (

1 X (

  1

  , 1 Y

  − = = = <

  ∫ ∫ ∫ ∫∫

  ∞ ∞ ∞ − − ∞

  − − < − − dy e e dy dx e e Y dy dx e e

  X ^Y y y ^{y y x X Y x y x}

  − = e e

  ) 1 ( ^{2 1} − −

  b) Y P

  2 ( 2 )

  < )

  c) P

  < ) a X (

  Penyelesaian

  a.)

  P

  b.)

  2 ^{2 : ) , ( 2} = − =

  2

  2 2 ) 1 , 1 (

  P

  1 _{2 1} ^{1 2 1 0 1 2} − − − − ∞

  − − = ⎟⎟

  ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∞ − =

  = < > ∫ ∫

  ∫ ∫ dy e e dy e e

  Y dy dx e e

  X y ^{x y y x}

  3

  ) 1 (

  1

  3

  2

  1

  2

  2 ^{3 2} − = ∫ ∫

  − − dy e dy e ^{y y}

  2

  a ∞ _{2 y x} − −

  c.)

  P ( x < a ) = 2 e e dy dx ∫ ∫ _{a x}

  − = e dx

  ∫ − a

  1 e = −

2.3 Penjumlahan Variabel Random

  Penentuan distribusi untuk X+Y dari distribusi X dan Y, dimana X dan Y saling bebas adalah hal yang penting. Anggap X dan Y adalah saling bebas, dan merupakan variabel random kontinu yang mempunyai fungsi densitas f dan f . _{X Y}

  Fungsi distribusi kumulatif dari X+Y dapat didefinisikan dengan

  X Y z ) = ≤ ^{X Y} + f ( x ) f ( y ) dx dy

• F ( z ) P (

  = _{X Y}

  ∫∫ ^{X Y z} ≤ _{z y}

• ∞ −

  = f ( x ) f ( y ) dx dy _{X Y}

  ∫ ∫ − ∞ − ∞ _{z y} ∞ −

  = f ( x ) dx f ( y ) dy _{X Y}

  ∫ ∫ − ∞ − ∞

  (2.9)

  ∞

  = F ( z − y ) f ( y ) dy _{X Y}

  ∫ − ∞

  atau

  X Y ≤ z ) + F ( z ) = P ( ^{X Y} + = f ( x ) f ( y ) dx dy _{X Y}

  ∫∫ ^{X Y z} ≤

• ∞ z − x

  = f ( y ) f ( x ) dy dx _{Y X}

  ∫ ∫ − ∞ − ∞ ∞ z − x

  = f ( y ) dy f ( x ) dx _{Y X}

  ∫ ∫ − ∞ − ∞

  (2.10)

  ∞

  = F ( x ) f ( z − x ) dx _{X Y}

  ∫ − ∞ Fungsi distribusi kumulatif F disebut konvolusi dari distribusi F dan F ^{X Y X Y}

• Dengan menurunkan persamaan (2.9) akan didapat fungsi densitas f dari X+Y
^{X Y} + dan diberikan dengan

  ∞ d

f ( z ) F ( z y ) f ( y ) dy

  = − ^{X Y X Y} ∫ − ∞

• dz

  ∞ d = F ( z − y ) f ( y ) dy _{X Y}

  ∫ − ∞ dz

  (2.11)

  ∞ = f ( z − y ) f ( y ) dy _{X Y}

  ∫ − ∞ Contoh 2.2

  Jika X dan Y adalah variabel random saling bebas, keduanya berdistribusi seragam pada (0,1), tentukan fungsi densitas dari X+Y.

  Penyelesaian

  Dari persamaan (2.11) 1 , < z <

  1 ⎧ f ( z ) = f ( z ) = _{X Y}

  ⎨ , selainnya

  ⎩ didapat ₁ f ( z ) f ( z y ) dy = − ^{X Y}

^X

• z

  ∫

  1 Untuk ≤ ≤ , hasilnya adalah ₁ f ( z ) dy z _X = = ^Y

• Untuk < < , didapat

  

∫

  1 z

  2

  f ( z ) = 2 − z ^{X Y} + Oleh karena itu

• Contoh 2.3

  Contoh 2.4

  ∫ ∫ ∫

  = = =

− + − + =

  2 )) dx x z ( x ( ( 2 )). x z x ( ( 2 ) z f

  2 . z

  4 dx z 4 dx z

  3

  3 ^{z Z 2 z} z

  Penyelesaian

  ) z ( f _Z

  , 2 ) y x ( f _XY

  Jika X dan Y mempunyai fungsi densitas bersama ) y x (

  ∫ ∫ ∫

  ∞ − = = =

− =

  − − − − − ∞

  Penyelesaian z ^z

^z

^{z ) x z ( x Y X Z} ze e dx e e

) dx x z ( f ) x ( f ) z ( f

  Tentukan dima Z=X+Y. ) z ( f _Z

  −

  Andaikan X dan Y adalah dua variabel random exponensial saling bebas, yaitu , t e ) t ( f ) t ( f ^t _{Y X} > = =

  − =

  ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

  ) z ( f _{Y X} < < ≤ ≤

  , 1 z z 2 z

  , selainnya 2 z 1 ,

• = Tentukan dimana Z=X+Y

  ∞ ∞ −

2.4 Reliabilitas

2.4.1 Pengertian Reliabilitas

  Reliabilitas adalah terjemahan dari kata reliability yang berasal dari kata rely dan ability. Menurut Kamus Inggris Indonesia ( J.M. Echols dan Hassan S,

  

1975) , kata ‘rely’ mempunyai arti mempercayakan, mengandalkan, sedangkan

  kata ‘ability’ berarti kecakapan, kemampuan. Jadi, menurut asal katanya, relia- bilitas adalah kemampuan untuk dapat diandalkan atau dipercayakan atau dapat juga disebut keterpercayaan, keterhandalan, keajegan, kestabilan dan sebagainya. Reliabilitas juga dapat didefinisikan seperti probabilitas, dalam artian perhi- tungan-perhitungan dalam reliabilitas menggunakan aksioma-aksioma yang terdapat dalam teori probabilitas. Dalam hal khusus, ini berarti bahwa semua relia- bilitas harus berada dalam selang 0 sampai 1.

  Definisi 2.4.1. Reliabilitas

  Reliabilitas didefinisikan sebagai probabilitas suatu barang dapat berfungsi dengan baik untuk suatu waktu dan kondisi tertentu.

  Dari definisi di atas waktu menempati bagian penting dalam reliabilitas dan secara tidak langsung berkaitan dengan beberapa konsekuensi. Pertama, pembuat model harus menentukan satuan waktu, misalnya detik, jam, tahun dan sebagainya, untuk menganalisa. Kedua, model-model waktu hidup banyak menggunakan variabel random T ( daripada X yang lebih banyak digunakan dalam statistika klasik ) untuk menggambarkan waktu kerusakan dari suatu barang. Ketiga, waktu tidak harus diartikan secara harafiah, misalnya untuk menentukan daya tahan suatu ban dapat juga menggunakan satuan mil sebagai representasi waktu. Keempat, harus menentukan durasi waktu yang terkait dengan reliabilitas. Maksudnya, harus ditentukan bila suatu barang dikatakan memiliki reliabilitas 0.8, maka kalimat itu belum memiliki arti. Reliabilitas sebuah barang menunjuk pada sebuah nilai dalam suatu waktu, misalnya 1000 jam. Terakhir, ukuran untuk menentukan waktu hidup harus ditentukan karena umur suatu barang tidak pasti. Untuk mendapat ukuran yang tepat, perlu diperhatikan cara pengukurannya, misalnya akan dilihat waktu hidup sebuah bola lampu. Waktu hidup suatu bola lampu bisa sama dengan lama bola lampu itu dapat menyala. Cara yang harus dilakukan dalam pengukuran adalah bola lampu itu harus dinyalakan secara kontinu atau terus menerus, sehingga dapat diketahui jumlah jam sebagai representasi waktu hidup bola lampu tersebut. Bila bola lampu tersebut dihidup matikan, maka penggambaran waktu hidupnya tidaklah tepat karena selain awal penghitungan jumlah jam sebagai representasi waktu hidupnya akan berubah-ubah, kejutan saat penyalaan dan pematian dapat mengurangi waktu hidup suatu bola lampu.

  Aspek terakhir dari definisi reliabilitas adalah kondisi lingkungan harus dispesifikasikan. Kondisi seperti temperatur, kelembaban ataupun kecepatan perubahan, semua berpengaruh terhadap waktu hidup suatu barang. Misalnya mobil yang memiliki reliabilitas 20000 mil, akan memiliki perbedaan jika mobil tersebut digunakan di daerah pegunungan dengan digunakan di kota.

2.4.2 Kaitan Reliabilitas dengan Kualitas

  Reliabilitas sering disamakan dengan kualitas. Perbedaan utama antara keduanya yaitu reliabilitas berkaitan dengan waktu sedangkan kualitas tidak, karena bersifat statis. Misalnya terdapat dua buah transistor yang memiliki kualitas yang sama. Salah satu transistor digunakan pada sebuah televisi sedangkan yang lain ditempatkan pada alat peluncur roket. Kedua transistor tersebut memang memiliki kualitas yang identik, namun salah satu diantaranya memiliki reliabilitas yang lebih besar karena ditempatkan pada lingkungan yang memiliki tekanan lebih rendah.

  Reliabilitas yang tinggi dapat berarti pula kualitas tinggi, namun tidak sebaliknya. Sebagai contoh, terdapat dua buah ban yang memiliki kualitas yang sama-sama tinggi. Salah satu ban diproduksi tahun 1957 dan yang lain diproduksi tahun 1995. Meskipun keduanya diproduksi melalui tahap pengontrolan kualitas yang ketat, namun reliabilitasnya berbeda karena terdapat perubahan teknologi yang terjadi antara tahun 1957 sampai 1995. 60000 mil reliabilitas ban yang diproduksi pada tahun 1995 akan lebih besar dibanding reliabilitas ban yang diproduksi pada tahun 1957. Kemajuan teknologi selama 38 tahun mungkin membawa perubahan pada model ( misalnya motif grit/kembangan ban ), komponen ( misalnya karet), atau proses ( misal kemajuan dalam pembuatan ).

  Beberapa perubahan tersebut ( misalnya motif grit ban ), dapat memperbaiki reliabilitas, namun yang lain ( misalnya motif sisi ban ) tidak.

2.4.3 Reliabilitas Bergantung Waktu

  Misalkan T adalah variabel random yang menggambarkan daya tahan hidup dari suatu barang atau sistem. F(t) adalah fungsi distribusi kumulatif yang didefinisikan sebagai probabilitas suatu barang hidup paling lama t dan ditulis sebagai berikut :

  = ≤ F ( t ) P ( T t )

  (2.12)

  

R(t) adalah fungsi reliabilitas yang merupakan probabilitas suatu barang dapat

  berfungsi dengan baik lebih dari waktu t yang telah ditentukan. Jadi R(t) dapat didefinisikan sebagai

  R ( t ) = P ( T > t ) = 1 − P ( T ≤ t )

  (2.13)

  =

1 − F ( t )

  Waktu rata-rata sistem tidak befungsi ( failure ), yaitu nilai harapan untuk waktu sistem tidak berfungsi ( untuk selanjutnya, sistem tidak berfungsi akan disebut kegagalan ). Andaikan fungsi densitas waktu kegagalan didefinisikan dengan f(t) yaitu f ( t ) = F ' ( t )

  (2.14) dF ( t ) = dt

  ∞

  dimana ≥ dan f ( t ) dt =

  1

  f ( t ) ∫ dR ( t )

  atau f ( t ) = −

  dt

  sehingga rata-rata waktu kegagalan adalah

  

∞

  E ( T ) = tf ( t ) dt (2.15)

  

∫

  dimana batas bawah adalah nol karena waktu kegagalan tidak mungkin kurang dari nol. Dengan mensubstitusikan beberapa persamaan diatas didapat

  ∞

  E ( T ) = tf ( t ) dt

  ∫ ∞

  dF ( t ) t dt =

  ∫

  dt

  

∞

  dR ( t ) = − t dt

  

∫

  dt

  ∞

  (2.16) = R ( t ) dt

  ∫

  persamaan akhir didapat dengan menggunakan integral parsial dengan

  dR ( t )

u = t , dv = dt

dt

  Contoh 2.5

  Fungsi densitas kegagalan sebuah alat diberikan sebagai berikut : _t

  

⋅ λ

  f ( t ) e , t = λ ≥ (2.17) tentukan : a. F(t)

  b. Reliabilitas

  c. Rata-rata waktu kesalahan Penyelesaian : t a.

  F ( t ) = f ( t ) dt ∫

  ∞ − λ ζ = λ e d ζ

  ∫ _t

  λ ζ

  − = − e _t ]

  − λ

  (2.18)

  = 1 − e , t ≥ R ( t )

1 F ( t

  b. = − ) (2.19)

  λ t −

  = 1 − ( _t 1 − e ) − λ e =

  ∞

  c. E ( T ) R ( t ) dt

  = ∫

  ∞ λ t

  − = e dt

  ∫

  (2.20)

  1 =

  λ Probabilitas bahwa sebuah sistem dapat berfungsi dalam waktu t akan gagal pada waktu T yang merupakan fungsi densitas kumulatif bersyarat.

  P ( T ≤ x , T > t ) F ( x | T > t ) =

  (2.21) P ( T t )

  > jika x < , probabilitasnya adalah nol. Dengan menggunakan definisi F(t) didapat t (2.22)

  

≤ > = −

P ( T x , T t ) F ( x ) F ( t )

  dengan mensubtitusikan persamaan (2.22) dan (2.13) ke persamaan(2.21), maka didapat F ( x ) − F ( t )

  F ( x | T > t ) = , x > t 1 − F ( t ) F ( x ) − F ( t )

  (2.23) = , x > t

  R ( t ) Didapat fungsi distribusi probabilitas bersyarat dengan menurunkan persamaan terhadap x

  f ( x ) f ( x )

  (2.24)

  

f ( x | T > t ) = = , x > t

  1 F ( t ) R ( t ) −

  Andaikan

  > =

f ( x | T t ) dx P [ kegagalan sistem dalam interval waktu (x,x+dx) jika diketa-

  (2.25) hui telah beroperasi selama waktu t] yaitu, fungsi distribusi probabilitas bersyarat waktu kegagalan meningkat dalam variabel bebas adalah probabilitas bahwa suatu barang atau sistem dapat bertahan sampai waktu t tetapi akan gagal dalam penambahan waktu (x,x+dx).

  Contoh 2.6

  Tentukan fungsi distribusi probabilitas bersyarat kegagalan sebuah alat dari soal pada contoh 2.5 Penyelesaian : Dari persamaan (2.24)

  f ( x ) f ( x | T t ) > = 1 − F ( t )

  

λ x

−

  λ

  e =

λ t

  − e

  (2.26)

  λ ( x t )

− −

  λ

  = e , x > t

  Untuk fungsi eksponensial, terlihat bahwa fungsi distribusi probabilitas bersyarat kegagalan jika diketahui waktu kegagalan lebih besar dari suatu waktu t adalah sama dengan fungsi distribusi probabilitas tak bersyarat kegagalan dengan meru- bah x = t.

  Konsep lain yang digunakan dalam teori reliabilitas yang terkait dengan variasi waktu adalah tingkat kegagalan ( failure rate ). Andaikan n(t) adalah bany- aknya peralatan yang beroperasi pada waktu t, dan andaikan sejumlah kegagalan pada interval ( t, t + dt ) adalan dn. Rasio semua kegagalan terhadap total waktu t adalah

  dn

  (2.27)

  F = _f n ( t )

  Akan tetapi, ini adalah kuantitas yang sama yang dengan persamaan (2.14) dengan

  x = t , maka persamaan ( 2.27 ) dan ( 2.25 ) disamakan sehingga diperoleh dn f ( t | T t ) dt (2.28a)

  

> =

n ( t )

  atau dengan membagi dengan dt, akan didapat

  1 dn f ( t ) h ( t ) = f ( t | T > t ) = =

  (2.28b)

  n ( t ) dt R ( t ) dimana persamaan (2.28b) itu adalah tingkat kegagalan.

  Contoh 2.7

  Dari substitusi persamaan (2.17) dan (2.19) ke (2.28b) terlihat bahwa tingkat kegagalan untuk sebuah alat yang memiliki fungsi distribusi probabilitas kegagalan berupa fungsi eksponensial adalah λ alat per detik. Andaikan bola lampu pada suatu masa produksi tertentu mempunyai tingkat kegagalan λ = 0.001 per tahun, berapakah reliabilitasnya?

  Penyelesaian :

  Substitusi persamaan (2.17) dan (2.19) ke (2.28b) menghasilkan : f ( t ) h ( t ) =

  R ( t )

  λ t −

  λ e =

  λ t −

  e = λ

  Karena λ = 0.001, dari persamaan (2.19) didapat :

  

λ t . 001 t

− −

  (2.29) R ( t ) = e = e , t >

  Tingkat kegagalan yang berupa konstanta secara umum merupakan suatu pengecualian daripada suatu aturan yang berlaku. Sebuah peralatan sebenarnya memiliki tingkat kegagalan yang tinggi pada awal waktu hidupnya karena keti- daksempurnaan dalam proses pembuatannya yang lolos dari pemeriksaan. Dalam kasus manusia, tingkat kegagalan analog dengan istilah tingkat kematian bayi. Selanjutnya, secara normal tingkat kegagalan bersifat stabil pada suatu nilai ren- dah yang dapat diterima. Selanjutnya, setelah sebuah alat telah mencapai umur yang telah ditentukan, tingkat kegagalan mulai beranjak karena keausan. Dikait- kan dengan waktu penggunaan, terdapat tiga bagian dalam tingkat kegagalan yaitu awal penggunaan, masa stabil, dan masa aus yang digambarkan dalam grafik 2.1.

  9

  8

  7

  6

  awal pemakaian

  5

  4

  3

  2

  stabil masa aus

  1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 grafik 2.1 kurva tingkat kegagalan alat

  Dengan menurunkan persamaan (2.13) dan menggunakan persamaan (2.14)

  dR ( t ) dF ( t )

  (2.30)

  = − = − f ( t ) dt dt

  kemudian disubtitusikan ke dalam persamaan (2.28b) didapat

  dR ( t )

  (2.31)

  d dt h ( t ) = − = − ln R ( t ) R ( t ) dt

  dengan pengintegralan didapat _t

  ⎡ ⎤

  (2.32)

  R ( t ) = exp − h ( λ ) d λ ⎢ ⎥ ∫

  ⎣ ⎦

  dengan catatan, jika tingkat kegagalan adalah konstan, reliabilitas dari persamaan kt −

  R ( t ) = e (2.33)

  Contoh 2.8

  Anggap fungsi distribusi probabilitas seragam kegagalan sebuah alat diberikan dengan

  1 ⎧

  , ≤ t ≤ T ⎪

  T (2.34) ⎪ f ( t )

  = ⎨ ⎪ ⎪

  , selainnya ⎩ tentukan reliabilitas dan tingkat kegagalannya!

  Penyelesaian :

  Fungsi densitas kumulatif kegagalan didapat dengan mengintegralkan persamaan (2.34), adalah _t

  F ( t ) f ( τ ) d τ = ∫ _t

  1

  (2.35) τ

  = d , ≤ t ≤ T ∫

  T

  Maka reliabilitasnya adalah

  

1

  (2.36)

  R ( t ) = 1 − , ≤ t ≤ T T

  dari persamaan (2.28b) tingkat kegagalannya adalah

  1 f ( t ) T

  (2.37) h ( t ) = = , ≤ t ≤ T

  1 R ( t ) 1 − T Menurut AICPA Assurance service Alert, sistem adalah

  1. Sebarang hubungan yang teratur antara sumber-sumber dan prosedur- prosedur yang menyatu dan saling mempengaruhi atau saling tergantung untuk memenuhi sebuah himpunan fungsi-fungsi yang spesifik.

  2. Suatu kombinasi dari dua peralatan atau lebih yang saling berkaitan yang diatur dalam sebuah paket fungsional untuk membentuk sebuah fungsi operasional atau untuk memenuhi suatu kebutuhan.

  3. Suatu kumpulan dari personil, peralatan dan metode yang diatur untuk membentuk suatu himpunan fungsi-fungsi yang spesifik. (SysTrust services-2001)

  Sedangkan menurut (atis.org,) suatu sistem terdiri dari lima komponen dasar, yaitu

  1. Infrstruktur, yaitu komponen sistem yang berupa komponen-komponen fisik dan hardware (perangkat kasar) seperti kerangka dan fasilitas- fasilitas.

  2. Software (perangkat lunak), yaitu program-program untuk mendukung sistem.

  3. Manusia, yaitu personil yang terlibat di segala aspek pada sistem ataupun pengguna sistem, misalnya pembuat program, operator, pengguna sistem.

  4. Prosedur,yaitu langkah-langkah serta aturan-aturan untuk menjalankan sistem.

  5. data, yaitu suatu informasi yang diperoleh dan digunakan dalam menjalankan suatu sistem. Sebagai contoh adalah sebuah sistem peluncuran sebuah satelit. Dalam sistem ini terdapat perlengkapan serta operasi-operasi pendukung untuk keberhasilannya, yaitu seperti pesawat dan roket sebagai komponen fisiknya, program-program untuk menjalankan operasi, awak yang mengemudikan pesawat, langkah-langkah dan prosedur-prosedur peluncuran satelit serta data-data yang akan digunakan ataupun dicari.