PENENTUAN RAINBOW CONNECTION NUMBER PADA HASIL OPERASI CARTESIAN PRODUCT TERHADAP GRAF LINGKARAN DAN GRAF BIPARTIT LENGKAP DENGAN GRAF LINTASAN

  Jurnal Matematika UNAND Vol. VI No. 1 Hal. 148 – 152

  ISSN : 2303–2910 Jurusan Matematika FMIPA UNAND c

PENENTUAN RAINBOW CONNECTION NUMBER

PADA HASIL OPERASI CARTESIAN PRODUCT

TERHADAP GRAF LINGKARAN DAN GRAF BIPARTIT

LENGKAP DENGAN GRAF LINTASAN

RESNITA YURI

  

Program Studi Matematika,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas,

Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia,

email : resnita.yuri12@gmail.com

  Abstrak.

  Misalkan terdapat graf terhubung taktrivial G. Jika setiap sisi-sisi G diberi

pewarnaan sehingga sebarang dua titik di G dihubungkan oleh suatu lintasan yang memi-

liki warna berbeda disetiap sisi, maka G disebut rainbow connected. Pewarnaan sisi dari

G

ditulis c : E(G) → {1, 2, · · · , k}; k ∈ N. Rainbow connection number dari graf G, dino-

tasikan dengan rc(G), adalah minimum dari banyaknya warna yang dibutuhkan untuk

  1

mewarnai G sehingga G rainbow connected. Cartesian product terhadap dua graf G

  2

  1

  2 dengan G dinotasikan dengan G × G .

  Dalam makalah ini akan dibahas kembali makalah [1] tentang penentuan bilangan rainbow connection

  3 dari graf P n × K 2,2 dan P × C n . Diperoleh bahwa rc(P n × K 2,2 ) = n n

  3 + 1 dan rc(P × C n ) = ⌈ ⌉ + 2.

2 Kata Kunci

  : Graf lingkaran, Graf lintasan, Graf bipartit lengkap, Rainbow connection number

1. Pendahuluan

  Misalkan G adalah graf terhubung tak-trivial. Definisikan pewarnaan c : E(G) → {1, 2, · · · , k}; k ∈ N, dimana sisi G yang bertetangga boleh memiliki warna yang sama. Suatu lintasan u − v ∈ G dikatakan rainbow path jika tidak ada dua sisi pada lintasan yang memiliki warna sama. Graf G dikatakan rainbow connected jika setiap dua titik yang berbeda di G dihubungkan oleh rainbow path.

  Dalam tulisan ini akan dibahas tentang rainbow connection number pada graf hasil operasi cartesian product antara graf lintasan dengan graf lingkaran, serta antara graf lintasan dengan graf bipartit lengkap K 2,2 .

  Misalkan terdapat graf terhubung G dengan ukuran m. Ukuran m menyatakan banyaknya sisi yang ada dalam graf G. Hubungan antara diam(G), rc(G), src(G) dan ukuran m dijelaskan pada proposisi berikut. Proposisi 1.1. [3] Misalkan G adalah graf terhubung tak trivial berukuran m. Jika c : E(G) → {1, 2, · · · , k}, k ∈ N merupakan pewarnaan rainbow coloring, maka diam (G) ≤ rc(G) ≤ src(G) ≤ m.

  dan P

  3 Rainbow Connection Number untuk Graf P n × K 2,2 × C n 149

2. Rainbow Connection Number pada Hasil Operasi Cartesian

  Product Terhadap Graf Lingkaran dan Graf Bipartit Lengkap, dengan Graf Lintasan Pada Teorema 2.1 diberikan bilangan Rainbow Connection untuk graf hasil Carte- sian Product graf bipartit lengkap K dengan graf lintasan P , untuk n ≥ 2.

  2,2 n Teorema 2.1.

  [1] Untuk n ≥ 2, rainbow connection number untuk graf (P n × K 2,2 ) adalah n + 1. Bukti.

  Perhatikan bentuk graf P n × K 2,2 pada Gambar 1 berikut. Dapat dilihat

  Gambar 1. Hasil operasi P × K 2,2 n

  bahwa graf G ≃ P × K mempunyai himpunan titik dan himpunan sisi sebagai

  n 2,2 berikut.

  V (P × K ) = {a , b , c , d ; 1 ≤ i ≤ n},

  n 2,2 i i i i

  E (P × K ) = {a b , a d , b c , c d ; 1 ≤ i ≤ n}

  n 2,2 i i i i i i i i

  [ a , b b , c c , d d {a i i+1 i i+1 i i+1 i i+1 ; 1 ≤ i ≤ n − 1}, v v v v v v dimana a

  1 = u

  1 1 , b 1 = u

  1 3 , c 1 = u

  1 2 , d 1 = u

  1 4 , a 2 = u

  2 1 , b 2 = u

  2 3 ,

  c v v v v v v

  2 = u

  2 2 , d 2 = u

  2 4 , · · · , a n = u n

1 , b n = u n

3 , c n = u n 2 , d n = u n 4 . Dapat dilihat bahwa p = |V (G)| = 4n dan q = |E(G)| = 8n − 4.

  Selanjutnya ditentukan jarak masing-masing titik pada graf P n × K 2,2 . Him- punan d(x, y) dimana x, y adalah sebarang titik pada graf P n × K 2,2 adalah d

  (x, y) = {1, 2, · · · , n + 1}. Maka diperoleh bahwa diam (P n × K 2,2 ) = max{d(x, y)|x, y ∈ V (P n × K 2,2 )} = n + 1. Karena diam(P × K 2,2 ) = n + 1 maka

  n

  rc (P × K ) ≥ n + 1. (2.1)

  n 2,2

  Konstruksikan pewarnaan pada sisi-sisi graf P n ×K 2,2 , yang dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi pewarnaan c : E(P n × K 2,2 ) → {1, 2, · · · , n + 1} sebagai berikut.

   v u 1, e = a i i ; e = b i i ; 1 ≤ i ≤ n,

   c b v (e) = 2, e = a i i ; e = u i i ; 1 ≤ i ≤ n,

   j, e a b u v = a i i+1 ; e = b i i+1 ; e = u i i+1 ; e = v i i+1 ; 1 ≤ i ≤ n − 1; 3 ≤ j ≤ n + 1.

  Resnita Yuri 150

  Berdasarkan pewarnaan tersebut diperoleh bahwa rc (P × K 2,2 ) ≤ n + 1. (2.2)

  n Dari (2.1) dan (2.2) diperoleh bahwa rc(P n × K 2,2 ) = n + 1.

  Pada Teorema 2.2 diberikan bilangan Rainbow Connection untuk graf hasil Cartesian Product graf lingkaran C n dengan graf lintasan P

  3 , untuk n ≥ 3.

  Teorema 2.2. [1] Untuk n ≥ 3, rainbow connection number untuk graf (P

  3 × C n ) n

  adalah ⌈ ⌉ + 2.

  2 Bukti. Perhatikan bentuk graf P × C pada Gambar 2 berikut.

  3 n Gambar 2. P 3 × C n

  , u , u , v , Misalkan V (P

  3 ) = {u

  1

  2

3 } dan V (C n ) = {v

  1 2 · · · , v n }. Maka graf H ≃

  P 3 × C n mempunyai himpunan titik dan himpunan sisi sebagai berikut.

  V (P × C ) = {a , b , c ; 1 ≤ i ≤ n},

  3 n i i i

  [ E (P × C ) = {a b , b c ; 1 ≤ i ≤ n} {a a , b b , c c ; 1 ≤ i ≤ n − 1}

  3 n i i i i i i+1 i i+1 i i+1

  [ {a a , b b , c c },

  n 1 n 1 n

  1

  1 = u

  1 1 , b 1 = u

  v v v v v v dimana a

  2 1 , c 1 = u

  

3

1 , a 2 = u

  1 2 , b 2 = u

  2 2 , c 2 = u

  3 2 ,

  v v v · · · , a n = u

  1 n , b n = u 2 n , c n = u 3 n . Dapat dilihat bahwa p = |V (H)| = 3n,

  q = |E(H)| = 5n.

  Selanjutnya ditentukan jarak masing-masing titik pada graf P

  3 × C n . Himpunan

  d (x, y) dimana x, y adalah titik sebarang pada graf P

  3 × C n adalah d(x, y) = n

  {1, 2, · · · , ⌈ ⌉ + 2}. Maka diperoleh bahwa

  2

  n diam (P

  3 × C n ) = max{d(x, y)|x, y ∈ V (P 3 × C n )} = ⌈ ⌉ + 2.

  dan P

  3 Rainbow Connection Number untuk Graf P n × K 2,2 × C n 151 n

  Karena diam(P

  3 × C n ) = ⌈ ⌉ + 2 maka

  2

  n rc (P × K ) ≥ ⌈ ⌉ + 2. (2.3)

  n 2,2

  2 Konstruksikan pewarnaan pada sisi-sisi graf P

  3 × C n , yang dapat dinyatakan dalam n

  bentuk fungsi pewarnaan c : E(P 3 × C n ) → {1, 2, · · · , ⌈ ⌉ + 2} sebagai berikut.

  2

  

  n

  i, e a b c = a i i+1 ; e = b i i+1 ; e = c i i+1 ; 1 ≤ i ≤ ⌈ ⌉, n genap,

  2

     n n n n n n  e = a a ; e = b b ; e = c c ,

  ⌈ ⌉+i ⌈ ⌉+i+1 ⌈ ⌉+i ⌈ ⌉+i+1 ⌈ ⌉+i ⌈ ⌉+i+1

  

  2

  2

  2

  2

  2

  2

    n  1 ≤ i ≤ ⌈ ⌉ − 1, n genap, 

  2

   

  n

   e a b c  = a i i+1 ; e = b i i+1 ; e = c i i+1 ; 1 ≤ i ≤ ⌈ ⌉ − 1, n ganjil,

  2

     n n n n n n e a b c ,

  = a ; e = b ; e = c

  ⌈ ⌉+i−1 ⌈ ⌉+i ⌈ ⌉+i−1 ⌈ ⌉+i ⌈ ⌉+i−1 ⌈ ⌉+i

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  c (e) =

  n

  1 ≤ i ≤ ⌈ ⌉ − 2, n ganjil, 

  2

   

  n

  1 ; c n n ; −1 −1 −1

   a b c  ⌈ ⌉ − 1, e = a n n ; e = b n

  2

   

  n

    e a b c ,

  ⌈ ⌉, = a n

  1 ; e = b n

1 ; e = c n

  1

  

  2

    n  b

  ⌈ ⌉ + 1, e = a i i ; 1 ≤ i ≤ n, 

  2

   

  n

  c ⌈ ⌉ + 2, e = b i i ; 1 ≤ i ≤ n.

2 Berdasarkan pewarnaan tersebut diperoleh bahwa

  n rc (P × C ) ≤ ⌈ ⌉ + 2. (2.4)

  3 n

  2

  n

  Dari (2.1) dan (2.2) diperoleh bahwa rc(P 3 × C n ) = ⌈ ⌉ + 2.

  2 Pewarnaan pada (P × C ) dapat dilihat pada Gambar 3.

  3

  5

  3

  5 Gambar 3. rc(P × C )

  Pewarnaan pada (P

  3 × C 6 ) dapat dilihat pada Gambar 4.

3. Kesimpulan

  Pada makalah ini telah dibahas kembali makalah [1] tentang penentuan bilangan rainbow connection dari graf P n ×K 2,2 dan P

  3 ×C n . Diperoleh bahwa rc(P n ×K 2,2 ) = n

  n

• 1 dan rc(P 3 × C n ) = ⌈ ⌉ + 2.

  2

  Resnita Yuri 152

  3

  6 Gambar 4. rc(P × C )

4. Ucapan Terima Kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Prof. Dr. Syafrizal Sy, Bapak Dr.

  Effendi, Ibu Dr. Lyra Yulianti, Bapak Narwen, M.Si, dan Bapak Dr. Admi Nazra, yang telah memberikan masukan dan saran sehingga makalah ini dapat diselesaikan dengan baik.

  Daftar Pustaka [1] Arnasyitha, Yulianti. dan Dafik. Rainbow Connection Number Pada Operasi Graf. Prosiding Seminar Nasional Matematika 2014. Universitas Jember, hal.

  83 – 87 [2] Bondy, J. A. dan U. S. R. Murty. 1976. Graph Theory with Applications. Macmil- lan. London [3] G. Chartrand, G.L. Johns, K.A. McKeon, dan P. Zhang. 2008. Rainbow con- nection in graphs. Math. Bohem., 133(2) : 85 – 98 [4] Darmawan, R. N. 2015. Analisis Rainbow Connection Number pada Graf Khusus dan Hasil Operasinya

  . Tesis S-2, tidak diterbitkan, Universitas Jember. Jember [5] Harary, F. 1970. Graph Theory. Wesley Publishing Company. London [6] Kitaev, S. dan Lozin,V. 2015. Words and Graphs. Springer. New York [7] Li, Xueliang, and Liu, Sujuan, Rainbow Connection Number and Connectivity.

  2012. The Electronic Journal of Combinatorics 19 : P20 [8] Li, X. dan Sun, Y.2012. Rainbow Connection of Graphs. Springer. New York.