DIMENSI PARTISI DARI GRAF ULAT

Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 3 Hal. 1 – 6

ISSN : 2303–2910 Jurusan Matematika FMIPA UNAND c

DIMENSI PARTISI DARI GRAF ULAT

Program Studi Matematika,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas,

Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia,

email : fadhila.turrahmah37@gmail.com

Abstrak.

Misalkan terdapat suatu graf sebarang G = (V, E), dimana V adalah him-

punan titik dan E adalah himpunan sisi. Misalkan terdapat suatu titik v ∈ V (G) dan

suatu himpunan S ⊂ V (G). Jarak antara titik v dan himpunan S, dinotasikan d(v, S),

didefinisikan sebagai d(v, S) = min{d(v, x) | x ∈ S}, dimana d(v, x) adalah jarak an-

tara dua titik v dan x di G. Definisikan Π = {S , S , · · · , S } sebagai himpunan yang

1 2 k

berisikan k-partisi tersebut. Suatu representasi titik v ∈ V (G) terhadap himpunan Π

dapat ditulis dalam bentuk k-vektor: r

(v | Π) = (d(v, S ), d(v, S ), · · · , d(v, S k )).

2 Jika untuk setiap dua titik berbeda u, v ∈ V (G) berlaku r(u | Π) 6= r(v | Π), maka

Π disebut partisi pembeda dari V (G). Partisi pembeda Π dengan kardinalitas minimum

disebut partisi pembeda minimum dari G. Dimensi partisi dari graf G, dinotasikan pd(G),

adalah kardinalitas dari partisi pembeda minimum dari G. Pada tulisan ini akan dibahas

kembali salah satu bagian dari disertasi [5] tentang penentuan dimensi partisi dari suatu

graf ulat.

Kata Kunci : Representasi titik, dimensi partisi, graf ulat

1. Pendahuluan

Misalkan terdapat graf G = (V, E), dimana V adalah himpunan titik dan E adalah himpunan sisi. Misalkan terdapat suatu titik v ∈ V (G) dan suatu subhimpunan S ⊂ V (G). Jarak dari titik v ke himpunan S, dinotasikan dengan d(v, S), dapat dituliskan sebagai d(v, S) = min{d(v, x) | x ∈ S}, dengan d(v, x) adalah jarak dari titik v ke x. Misalkan terdapat Π = {S , S , · · · , S } yang merupakan himpunan

1 2 k yang memuat k-partisi tersebut. Untuk setiap titik v ∈ V (G), representasi dari v terhadap Π didefinisikan sebagai r

(v | Π) = {d(v, S 1 ), · · · , d(v, S k )}. Jika setiap titik di G mempunyai representasi yang berbeda terhadap Π, maka Π disebut partisi penyelesaian. Jika untuk setiap dua titik berbeda u, v ∈ V (G) berlaku r(u | Π) 6= r(v | Π), maka Π disebut partisi pembeda dari V (G). Partisi pembeda Π dengan kardinalitas minimum disebut partisi pembeda minimum dari G

. Kardinalitas dari partisi penyelesaian minimum disebut dimensi partisi dari G, ditulis pd(G).

, S , Misalkan Π = {S

1 2 · · · , S k } adalah partisi terurut dari V (G). Jika u ∈ S i dan v ∈ S i , dan i 6= j, maka jelas bahwa r(u | Π) 6= r(v | Π) (karena d(u, S i ) = 0,

Fadhila Turrahmah, Budi Rudianto

tetapi d(v, S i ) 6= 0). Dengan demikian, ketika diberikan suatu partisi Π dari V (G) dan hendak ditentukan apakah Π adalah partisi pembeda untuk V (G) atau bukan, pemeriksaan cukup dilakukan pada semua titik dalam setiap kelas partisi yang sama. Andaikan terdapat dua titik u dan v di kelas partisi yang berbeda, namakan S

1 dan S 2 . Selanjutnya, karena d(u, S 1 ) = 0 dan d(v, S 1 ) 6= 0, maka representasi titik u dan v pasti berbeda di entri ke-1. Secara umum, setiap dua titik yang berbeda di kelas partisi yang berbeda akan punya representasi yang berbeda.

Graf ulat adalah graf pohon yang memiliki sifat apabila dihapus semua daunnya akan menghasilkan lintasan [5]. Misalkan terdapat graf lintasan P m de- , x , ngan himpunan titik V (P m ) = {x

1 2 · · · , x m } dan himpunan sisi E(P m ) = x , x

1 2 · · · , x m }. Graf ulat diperoleh dengan menambah n i titik daun pada m−1 setiap titik x i dari sebuah graf lintasan P m dengan 1 ≤ i ≤ m dan dinotasikan dengan C(m; n , n , · · · , n ), seperti pada Gambar 1.

1 2 m

, n , Gambar 1. Graf ulat C(m; n · · · , n m )

2 Notasikan himpunan titik dan himpunan sisi dari graf ulat C(m; n , n , · · · , n )

1 2 m sebagai berikut.

V , n , (C(m; n

1 2 · · · , n m )) = {x i | 1 ≤ i ≤ m} ∪ {a ij | 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n i }, E , n , x a

(C(m; n

1 2 · · · , n m )) = {x i i+1 | 1 ≤ i ≤ m − 1} ∪ {x i ij | 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n i }.

Jika n 1 = n 2 = · · · = n m = n, maka graf ulat tersebut dinamakan graf ulat homogen, dan dinotasikan dengan C(m; n). Dua contoh graf ulat homogen dan tak homogen diberikan pada Gambar 2.

Gambar 2. (a) Graf ulat homogen C(3; 4) (b) Graf ulat tak homogen C(4; 4, 3, 2, 4)

Dimensi Partisi Graf Ulat

2. Dimensi Partisi Graf Ulat

Misalkan terdapat graf ulat C(m; n , n , · · · , n ). Dapat dilihat bahwa setiap graf

1 2 m C (m; n , n , · · · , n ) memuat tepat m buah subgraf K . Notasikan himpunan

1 2 m 1 ,n i titik dan sisi dari K sebagai berikut.

1 ,n i

V (K 1 ,n ) = {a ij | 1 ≤ j ≤ n i } ∪ {x i },

E a (K 1 ,n i ) = {x i ij | 1 ≤ j ≤ n i }.

Didefinisikan n = max{n , n , · · · , n m }. Subgraf K ,n disebut sebagai sub- max

2 1 max graf ulat maksimum dari C(m; , n , n , · · · , n m ). Misalkan terdapat p buah K ,n .

2 1 max i Maka subgraf bintang maksimum didefinisikan dari kiri ke kanan sebagai K

1 ,n

max untuk 1 ≤ i ≤ p.

Definisi 2.1. , K , n , [5] Misalkan K 1 ,n i 1 ,n j ⊂ C(m; n

1 2 · · · , n m ), dengan 1 ≤ i 6= j

≤ m. Jika n i = n j = n max − 1, sedemikian sehingga , x , x

(1) d(x i m ) = d(x j m ), dimana x m adalah anggota dari suatu K 1 ,n (lihat

max

Gambar 3a), , x , x

(2) d(x i o ) = d(x j p ), dengan x o dan x p masing-masing anggota dari suatu K 1 ,n max yang berbeda (lihat gambar 3b), maka subgraf K 1 ,n i dan K 1 ,n j disebut subgraf ulat berjarak sama.

Gambar 3. Dua kondisi subgraf graf ulat K dan K .

1,n i 1,n j Lema 2.2.

, n , [5] Misalkan Π adalah partisi pembeda untuk C(m; n

1 2 · · · , n m ) dan K , , n ,

1 n i ⊂ C(m; n

1 2 · · · , n m ). Jika u dan v adalah sebarang dua daun berbeda di , suatu K

1 n i , dengan n i ≥ 2, maka u dan v harus berada dalam kelas partisi yang berbeda di Π.

Lema 2.3.

, n , [5] Misalkan Π adalah partisi pembeda untuk C(m; n

1 2 · · · , n m ). j i

Jika K dan K dua subgraf ulat maksimum, dengan i 6= j, maka 1 ,n 1 ,n

max max

j i x i ∈ V (K ) dan x j ∈ V (K ) harus termuat dalam kelas partisi yang

,n 1 max 1 ,n max berbeda di Π.

Lema 2.4.

, [5] Misalkan Π adalah partisi pembeda untuk (C(m; n 1 · · · , n m )), m ≥

, K , n ,

2. Jika sebarang dua subgraf berbeda K 1 ,n i 1 ,n j ⊂ C(m; n

1 2 · · · , n m ) berjarak sama dan seberang dua daun a i,k ∈ K 1 ,n i dan a j,k ∈ K 1 ,n j , dengan 1 ≤ k ≤ n i

Fadhila Turrahmah, Budi Rudianto

termuat dalam partisi yang sama, maka x i dan x j harus termuat dalam kelas partisi yang berbeda di Π.

Pada Teorema 2.5 berikut diberikan kriteria penentuan dimensi paritisi dari graf , n , ulat C(m; n

1 2 · · · , n m ).

Teorema 2.5.

, [5] Misalkan K 1 ,n max adalah subgraf ulat maksimum dari C(m; n

1 n ,

2 · · · , n m ) dan p menyatakan banyak subgraf K 1 ,n max . Maka untuk n max ≥ 3, , n , dimensi partisi graf ulat C(m; n

1 2 · · · , n m ) adalah n , jika p ≤ n , max max pd , n ,

(C(m; n

1 2 · · · , n m )) = n + 1 , jika p > n . max max Bukti. Pandang dua kasus berikut.

Kasus 1. Untuk p ≤ n . max

Misalkan terdapat suatu partisi pembeda Π = {S , S , · · · , S p }. Karena setiap daun

2 pada K ,n , termuat dalam kelas partisi yang berbeda dan K ,n memiliki n

1 i 1 max max daun, maka sedikitnya terdapat n max kelas partisi di Π untuk C(m; n 1 , n 2 , · · · , n m ).

Dengan demikian p ≥ n max .

, n , Selanjutnya pandang graf C(m; n

1 2 · · · , n m ). Misalkan terdapat suatu partisi , S , , n , pembeda Π = {S

1 2 · · · , S n } untuk graf V (C(m; n

1 2 · · · , n m )), sehingga

max

, n , setiap titik v ∈ V (C(m; n 1 2 · · · , n m )) terdapat dalam suatu kelas partisi S j ∈ Π, untuk suatu 1 ≤ j ≤ n max .

Berikut adalah langkah-langkah penentuan dimensi partisi dari graf C , n ,

(m; n

1 2 · · · , n m ), apabila p ≤ n max .

(a) Hitung banyak subgraf K 1 ,n max dan nyatakan dengan p. Notasikan masing- k masing subgraf tersebut, secara berurut dari kiri ke kanan, dengan K ,

1 ,n max dengan 1 ≤ k ≤ p. k

(b) Setiap titik x ∈ V (K ) secara berurut diletakkan pada kelas partisi k 1 ,n max

S j untuk suatu 1 ≤ j ≤ p. (c) Setiap daun pada K ,n secara berurut diletakkan pada kelas partisi

1 max S , S , · · · , S n .

1 2 max

1 (d) Definisikan A 1 sebagai selang terbuka sebelum graf bintang K , A k+1

1 ,n

max

k k+1 sebagai selang terbuka antara K dan K , dengan 1 ≤ k ≤ p − 1

1 ,n ,n

max

1 max p dan A sebagai selang terbuka setelah K . p−1 ,n 1 max

(e) Definisikan himpunan T = {Semua kombinasi (n max ) dari n max buah −1

, T , kelas partisi di Π}, sedemikian sehingga T = {T 1 2 · · · , T n, } dengan

max

T i ∈ T adalah kombinasi yang tidak memuat kelas partisi S i . (f) Identifikasi letak subgraf K 1 ,n pada selang sebagaimana yang didefinisikan

i oleh langkah (d).

(g) Jika K 1 ,n i terletak pada selang A 1 atau A 2 maka setiap daun pada K 1 ,n i secara berurutan diletakkan pada kelas partisi yang berasosiasi dengan T 1 .

(h) Jika K 1 ,n i terletak pada selang A k , dengan 3 ≤ k ≤ p + 1 maka setiap daun pada K 1 ,n i secara berurut diletakkan pada kelas partisi yang berasosiasi dengan T .

Dimensi Partisi Graf Ulat

(i) Jika K 1 ,n dan K 1 ,n berjarak sama terhadap suatu K 1 ,n , maka

i j max

x i ∈ V (K 1 ,n ) dan V (K 1 ,n ) harus termuat dalam kelas partisi yang

i j berbeda di Π.

k k (j) Setiap titik pusat x k ∈ V (K ), dengan K bukan subgraf ulat maksi-

1 ,n 1 ,n

i i

mum dan subgraf ulat berjarak sama, x k diletakkan pada kelas partisi yang memuat salah satu daunnya. Untuk memastikan bahwa Π adalah partisi pembeda dari graf ulat, pandang sebarang dua titik berbeda u, v ∈ V (C(m, n , n , · · · , n m )) sedemikian sehingga u

2 dan v berada dalam kelas partisi yang sama. Jika daun u ∈ V (K ,n ) dan u ∈

1 i V (K ,n ), dengan n i = n j = n , maka u dan v dibedakan oleh sebuah kelas

1 j max partisi yang memuat x i atau x j . Jika daun u ∈ V (K 1 ,n ) dan v ∈ V (K 1 ,n ), dengan

i j

K 1 ,n dan K 1 ,n berada dalam selang yang berbeda, katakan A o dan A p , maka u

i j

dan v dibedakan oleh kelas partisi S o atau S p . Jika daun u ∈ K 1 ,n dan v ∈ K 1 ,n ,

i j

dengan K 1 ,n dan K 1 ,n berada dalam selang yang sama, katakan A o , dan subgraf

i j

K 1 ,n dan K 1 ,n tidak berjarak sama, maka u dan v dibedakan oleh kelas partisi

i j

S o . Jika K 1 ,n dan K 1 ,n berjarak sama maka u dan v dibedakan oleh kelas partisi

i j yang memuat x i atau x j .

Selanjutnya, jika daun u ∈ K 1 ,n dan v ∈ K 1 ,n dengan n i atau n j adalah

i j

n max , maka u dan v dibedakan kelas partisi X, dengan X adalah kelas partisi yang memuat daun K 1 ,n i tetapi tidak memuat daun K 1 ,n j . Dengan demikian, untuk

, n , setiap u, v ∈ V (C(m; n 1 2 · · · , n m )), maka r(u | Π) 6= r(v | Π).

Kasus 2.

Untuk p > n max Misalkan terdapat suatu partisi pembeda Π = , S , , n ,

1 2 · · · , S p } untuk V (C(m; n

1 2 · · · , n m )). Jika p > n n max maka menurut i Lema 2.2, terdapat paling sedikit dua buah titik x i ∈ V (K ) dan x j ∈

1 ,n max j

V (K ), sedemikian sehingga titik x i dan x j termuat dalam kelas partisi yang

1 ,n

max sama, kontradiksi. Dengan demikian p ≥ n max + 1.

, S , Selanjutnya, definisikan partisi pembeda Π = {S

1 2 · · · , S n max +1 } untuk graf C , n ,

(m; n

1 2 · · · , n m ). Berikut adalah langkah-langkah penentuan dimensi partisi , n , dari graf (C(m; n

1 2 · · · , n m )), apabila p > n max .

(a) Setiap daun pada V (K 1 ,n ), dengan 1 ≤ i ≤ m, secara berurut diletakkan

pada kelas partisi S 1 , S 2 , S 3 , · · · , S n .

(b) Letakkan titik x 1 pada kelas partisi S n .

max +1

, x , (c) Letakkan titik x i lainnya sedemikian sehingga x 2 ∈ S

1 3 ∈ S

2 x , x

4 ∈ S 3 i ∈ S ni dan seterusnya dengan pola pengulangan yang sama.

, n , Pandang sebarang dua titik berbeda u, v ∈ V (C(m; n

1 2 · · · , n m )) sedemikian sehingga titik u dan v termuat dalam kelas partisi yang sama. Jika u ∈ V (K 1 ,n i ) dan v ∈ V (K

1 ,n j ), untuk i 6= j maka jarak d(u, S n max +1 ) 6= d(v, S n max +1 ) dan oleh karena itu r(u | Π) 6= r(v | Π). Jika titik u ∈ V (K ) − {x } dan v = x ,

1 ,n i i i+1 untuk suatu i pada selang tertutup 1 ≤ i ≤ m − 1, maka u dan v dibedakan oleh sedikitnya satu kelas partisi X ∈ Π, dengan X adalah kelas partisi yang memuat daun K ,n , sedemikian sehingga d(v, X) = 1 dan d(u, X) 6= 1. Oleh karena itu,

1 i+1 r (u | Π) 6= r(v | Π). Dengan demikian, setiap titik v ∈ V (C(m; n , n , · · · , n m ))

2 mempunyai representasi yang berbeda dan pd(C(m; n 1 , n 2 , · · · , n m ) ≤ n max + 1.

Fadhila Turrahmah, Budi Rudianto

3. Ucapan Terima Kasih

Penulis mengucapkan terima kasih kepada Ibu Dr. Lyra Yulianti, Bapak Dr. Mah- dhivan Syafwan, Bapak Narwen, M.Si, dan Bapak Syafruddin, M.Si yang telah memberikan masukan dan saran sehingga artikel ini dapat diselesaikan dengan baik.

Daftar Pustaka [1] Bona, M. (2002). A Walk Through Combinatorics. World Scientific Publishing.

Singapore. [2] Chartrand dkk. (1998). On the partition dimension of graph. Congressus Nu- merantium 130: 157 – 168.

[3] Chartrand, G., Eroh, L., Jhonson, M., dan Oellerman, O.R. (2000). Resolva- bility in graph and the metric dimension of a graph. Discrete Applied Mathe- matics. 105: 99 – 113. [4] Chartrand, G., Salehi, E., dan Zhang, p. (2000). The partition dimension of a graph. Aequationes Math 59: 45 – 54. [5] Darmaji. (2011). Dimensi Partisi Graf Multipartit dan Graf Hasil Korona Dua

Graf Terhubung. Disertasi Doktor. tidak diterbitkan. Program Studi Matem- atika Institut Teknologi Bandung. ITB.

DIMENSI PARTISI DARI GRAF ULAT