Materi 11 (Atom Hidrogen dalam Mekanika Kuantum)

  Pertemuan ke-11 NURUN NAYIROH, M.Si

  Werner heinsberg (1901 1976), Louis de Broglie (1892 1987), dan Erwin Schrödinger (1887 1961) merupakan para ilmuwan yang menyumbang berkembangnya model atom modern atau yang disebut sebagai Prinsip ketidakpastian Heisenberg: “Tidak mungkin dapat ditentukan kedudukan dan momentum suatu benda secara seksama pada saat bersamaan, yang dapat ditentukan adalah kebolehjadian menentukan elektron pada jarak tertentu dari inti atom”

  ∆x. ∆p>ђ/2 Pernyataan de Broglie yang menyatakan bahwa partikel dapat bersifat seperti gelombang.

  λ=h/p=h/mv

  1. Gerakan elektron memiliki sifat gelombang, sehingga lintasannya (orbitnya) tidak stasioner seperti model Bohr, tetapi mengikuti penyelesaian kuadrat fungsi gelombang yang disebut orbital (bentuk tiga dimensi darikebolehjadian paling besar ditemukannya elektron dengan keadaan tertentu dalam suatu atom)

  2. Bentuk dan ukuran orbital bergantung pada harga dari ketiga bilangan kuantumnya. (Elektron yang menempati orbital dinyatakan dalam bilangan kuantum tersebut)

  3. Posisi elektron sejauh 0,529 Angstrom dari inti H menurut Bohr bukannya sesuatu yang pasti, tetapi bolehjadi merupakan peluang terbesar ditemukannya elektron

  4 Fungsi Gelombang Schrodinger Berdasarkan gagasan de Broglie dan prinsip ketidakpastian Heisenberg Erwin Schrodinger mengajukan pendapat bahwa apabila elektrom mempunyai sifat gelombang.

  Maka tentu elektron mempunyai fungsi gelombang yang menyatakan keadaan elektron tersebut.

  Karena elektron mempunyai fungsi gelombang, maka menurut Schrodinger electron pada atom tidak mengorbit inti, tetapi lebih bersifat sebagai gelombang yang bergerak pada jarak tertentu dan dengan energi tertentu di sekeliling inti.

  Model atom Schrodinger terbukti lebih tepat dan berdasarkan model ini, para ahli fisika tidak lagi mencoba untuk menemukan lintasan electron dan posisinya dalam sebuah atom, akan tetapi mereka menggunakan persamaan yang menggambarkan gelombang electron tersebut untuk menemukan daerah dimana electron paling mungkin ditemukan. Menurut Bohr, elektron beredar mengitari inti menurut suatu orbit berbentuk lingkaran dengan dengan jari jari tertentu. Hal ini tidak sesuai dengan fakta bahwa gerakan elektron menyerupai gelombang elektromagnet. Gelombang tidak bergerak menurut suatu garis melainkan menyebar pada suatu daerah tertentu.

  5 Tahun 1927 Erwin Schrodinger ahli matematika dari Rusia mengajukan teori atom yg disebut teori atom mekanika kuantum. Menurut teori ini, kedudukan elektron dalam atom tidak dapat ditentukan dengan pasti; yang dapat ditentukan adalah probabilitas menemukan elektron sebagai fungsi jarak dari inti atom. Daerah dengan probabilitas terbesar menemukan elektron disebut orbital . Orbital digambarkan berupa awan yang tebal tipisnya menyatakan besar kecilnya kebolehjadian menemukan elektron didaerah tersebut. Bentuk awan dan tingkat energi orbital diperoleh dari persamaan gelombang dari elektron.

  Persamaan gelombang Schrodinger untuk atom Hidrogen: _{2 2 2 2} ∂ Ψ ∂ ∂

  ψ ψ 8 π m ψ + + − + = _{2 2 2 2} .( E V ) ∂ ∂ ∂

  X y Z h V = Energi potensial partikel (elektron) E = Energi total partikel m = massa partikel

  6 ψ = fungsi gelombang Massa proton m jauh lebih besar p daripada massa elektron m , m =1836 e p m . e

  Diasumsikan proton diam di pusat koordinat dan elektron bergerak mengelilinginya di bawah pengaruh medan atau gaya coloumb, sehingga kontribusi energi sistem hanya diberikan oleh elektron yaitu energi kinetik:

  Sistem koordinat bola bagi atom hidrogen Dan energi potensialnya:

  Sehingga Dengan demikian persamaan schrodinger untuk atom hidrogen Mengingat sistem atom hidrogen memiliki simetri bola, analisis

  2

  menjadi lebih sederhana bila oprator ∇ diungkapkandalam koordinat bola (r,θ ,ϕ ) , persamaan di atas menjadi Di mana

  Untuk mendapatkan solusi bagi persamaan di atas, dilakukan pemisahan variabel (r ) = r ψ (r,θ ,ϕ ) sebagai berikut: Penjumlahan suku suku yang hanya bergantung pada jari jari dan dua sudut ini akan selalu sama dengan nol untuk sembarang nilai r, θ danϕ jika masing masing suku sama dengan konstanta. Konstanta (c) berharga ± l(l + 1) . Suku yang hanya bergantung jari jari menjadi: sedangkan suku yang hanya mengandung sudut θ danϕ menjadi

  Atom hidrogen merupakan atom paling sederhana yang terdiri dari satu proton sebagai nukleus dan satu elektron yang mengitarinya Persoalan persamaan Schrodinger dalam 3 dimensi memerlukan 3 bilangan kuantum untuk mencirikan semua pemecahannya. Oleh karena itu, semua fungsi gelombang atom hidrogen akan diperikan dengan tiga buah bilangan kuantum. Bilangan kuantum pertama, n, berkaitan dengan pemecahan bagi fungsi radial, R( r ). Bilangan n ini sama dengan pemecahan untuk menamai tingkat – tingkat energi dalam model Bohr. Pemecahan bagi fungsi polar, θ(θ), memberikan bilangan kuantum l, dan bagi fungsi, Ф(φ), memberikan bilangan kuantum ketiga m . l

  Pada teori atom mekanika kuantum, untuk menggambarkan posisi elektron digunakan bilangan bilangan kuantum. Daerah kemungkinan elektron berada disebut orbital. Orbital memiliki bentuk yang berbeda beda Schrodinger menggunakan tiga bilangan kuantum yaitu

  bilangan kuantum utama (n), bilangan kuantum azimut (l), dan bilangan kuantum magnetik (m).

  Ketiga bilangan kuantum tersebut menjelaskan tingkat energi, bentuk, dan orientasi elektron di dalam orbital . Selain ketiga bilangan kuantum tersebut ada bilangan kuantum spin (s) yang menunjukkan perputaran elektron pada sumbunya.

  Bilangan kuantum utama memiliki lambang n yang bernilai bulat 1, 2, 3, …….. Harga n melambangkan tingkat energi elektron atau kulit elektron seperti halnya dalam model bohr. ₄

  me

  1 E = − _{n 2 2 2 2} 32 n π ε

  energi ini hanya bergantung pada bilangan kuantum n, tidak pada l dan m .

  l

  Harga n untuk berbagai kulit elektron yaitu sebagai berikut: Elektron pada kulit ke 1, memiliki harga n = 1. Elektron pada kulit ke 2, memiliki harga n = 2. Elektron pada kulit ke 3, memiliki harga n = 3. Elektron pada kulit ke 4, memiliki harga n = 4

  Bilangan kuantum azimut menyatakan tingkat energi elektron pada subkulit. Subkulit elektron mempunyai lambang s, p, d, f. Huruf huruf tersebut berasal dari kata sharp (s), principal (p), diffuse (d), dan fundamental (f) yang diambil dari nama nama seri spektrum unsur. Harga l untuk berbagai subkulit yaitu sebagai berikut: Elektron pada subkulit s memiliki harga l = 0 Elektron pada subkulit p memiliki harga l = 1 Elektron pada subkulit d memiliki harga l = 2 Elektron pada subkulit f memiliki harga l = 3 Nilai – nilai bilangan kuantum l dibatasi oleh nilai n. bilangan kuantum momentum sudut l bernilai bulat dari 0 hingga n –1 Jika n = 1 maka l = 0.

  Jika n = 2 maka l = 0, 1. Jika n = 3 maka l = 0, 1, 2. Jika n = 4, maka l = 0, 1, 2, 3.

  Bilangan kuantum magnetik (m) Bilangan kuantum magnetik memiliki lambang m yang menunjukkan arah orbital elektron. Bilangan kuantum magnetik menyatakan jumlah orbital pada subkulit elektron. Bilangan kuantum ini bernilai negatif, nol, dan positif. Secara matematika harga m dapat ditulis mulai dari -l sampai dengan +l. Harga m untuk berbagai l atau subkulit dapat dilihat sbb:

  Jika tiap tingkatan energi diberi nama dengan ketiga bilangan kuantum (n, l, m) .

  Keadaan dasar memiliki n = 1, karena itu l = 0. disini hanya satu nilai m yang _l diperkenankan, m = 0. Jadi, keadaan dasar memiliki bilangan kuantum (1, 0, 0,). _l Keadaan eksitasi pertama memiliki n = 2, sehingga nilai l yang diperkenankan adalah l = 0 atau l = 1. Untuk l = 0, hanyalah m = 0 yang diperkenankan. Untuk l _l = 1 , nilai m adalah –1, 0, atau + 1. dengan demikian, himpunan bilangan kuantum _l yang mungkin bagi tingkat ini adalah (2, 0, 0), (2, 1, 1), (2, 1, 0) dan (2, 1, -1). Semua keadaan ini memiliki n = 2, dan karena itu semuanya memiliki energi yang sama, karena energi hanya bergantung pada n. dengan demikian, semua keadaan ini terdegenerasi, dan kita mengatakan bahwa tingkat n = 2 terdegenerasi rangkap-empat.

₂

Pada umumnya, tingkat ke-n terdegenerasi rangkap-n

  Jika gabungan bilangan kuantum yang berbeda ini memiliki energi yang sama, lalu apa manfaatnya mendaftarkan mereka secara terpisah ?

  pertama, semua subtingkat sama sekali tidak terdegenerasi,

  tetapi terdapat sedikit perbedaan energi yang memisahkan

  5 mereka (mungkin sekitar 10 eV).

  Kedua, dalam mempelajari transisi antara berbagai tingkat

  energi, kita dapati bahwa intensitas tiap transisi bergantung pada subtingkat tertentu asal transisi itu.

  Ketiga, tiap subtingkat memiliki fungsi gelombang yang sangat berbeda, dan karena itu menyatakan suatu keadaan gerak elektron yang sangat berbeda.

Bilangan kuantum spin (s)

  Elektron dalam orbital tidak hanya bergerak di sekitar inti tetapi berputar pada sumbunya. Bilangan kuatum spin dengan lambang s, menyatakan arah perputaran elektron pada sumbunya. Bilangan kuantum suatu elektron di dalam orbital dapat memiliki harga spin + 1/ 2 dan – 1/ 2 , tetapi berdasarkan kesepakatan para tokoh kimia, untuk elektron pertama di dalam orbital harga spinnya = + ½.

  Momentum sudut

  Dalam persamaan Schrödinger, momentum sudut terkait dengan bagian fungsi gelombang yang tidak tergantung r

  yang berarti tidak tergantung dari potensial V(r) .

  Besar dan arah momentum sudut terkait dengan fungsi gelombang yang merupakan fungsi sudut ϕ, θ.

  Dalam mekanika klasik, vektor momentum sudut elektron yang beredar mengelilingi inti atom dan tegak lurus bidang orbit elektron dapat kita tuliskan sebagai

  Perhitungan lebih teliti berdasarkan pemecahan persamaan Schrodinger memberikan hubungan antara panjang vektor , yang kita tunjukkan dengan [ ], dengan bilangan kuantum l, sebagai berikut :

  L = l ( + l 1 ) 2 hal penting: 1.

  Panjang vektor [L] selalu lebih besar dari pada lћ , l ( + l 1 ) karena selalu lebih besar dari pada l. Vektor dapat memiliki komponen sepanjang sembarang sumbu dalam ruang. (Umumnya kita memilih sumbu z, karena ia merupakan sumbu acuan dalam sistem koordinat bola). Nilai – nilai komponen z dari l , yang kita tunjukkan z dengan terbatasi menurut pernyataan.

  L = m ћ z l

  Dimana m adalah bilangan kuantum magnet, yang l bernilai 0, + 1, + 2, ……, +l.

  Tiap orentasi yang berbeda dari vektor berkaitan dengan suatu nilai m yang berbeda. Sudut polar θ yang l dibuat vektor terhadap sumbu z adalah: karena l = [L] cos θ, maka z m l m l _{z l}

  Cos θ = = =

  Cos θ atau

  L l ( l l ) l ( l l ) Alasan lain memilih dan menaruh perhatian khusus pada sumbu z, adalah karena menurut fisika kuantum, kita hanya dapat mengetahui secara pasti satu dari ketiga komponen (dan berdasarkan kesepakatan, kita memilih komponen z); kedua komponen lainnya sama sekali tidak pasti. Ini dapat ditelusuri dari bentuk tambahan asas ketidak pastian berikut, Tl Tφ≥ћ z

  φ adalah sudut azimut [L] > l haruslah benar, seandainya kita dapati [ ] = l ћ, maka apabila m bernilai maksimum (m =+1), akan l l kita peroleh L =m ћ = l ћ . Karena panjang vektor, z l untuk nilai ini, sama dengan komponen z nya, maka ia harus terletak sepanjang sumbu z, sehingga l =l =o. x y

  

z

  Berbagai orientasi sebuah vektor momentum sudut dengan l = 2

  m l =+2 l =+2 ћ _z

  dalam ruang dan komponen z-

  θ

  nya. Terdapat 5 kemungkinan

  m =+1 _l l = + ћ _z orientasi yang berbeda. l = 0 _{z m =0 l}

  Perilaku ini menyatakan suatu aspek menarik fisika kuantum

  l = - ћ _z m =-1 _l

  yang disebut kuantisasi ruang, yang hanya memperkenankan

  l = -2 ћ _{z l} m =-2

  orientasi tertentu momentum sudut.

  Hitunglah panjang vektor momentum sudut yang menyatakan gerak sebuah elektron dalam suatu ke adaan dengan l=1 dan keadaan lain dengan l=2. Tentukan semua komponen z yang mungkin dari vektor l, yang menyatakan momentum sudut gerak orbit dari suatu keadaan dengan l=2.

  Bilangan bilangan kuantum (n, l, m ) yang menamai keadaan

  l

  atom hidrogen, mempunyai dua tafsiran: 1) Bilangan kuantum adalah label yang muncul dari prosedur matematika yang terlibat dalam pemecahan persamaan Schrodinger, 2) mempunyai tafsiran geometris. Pada tafsiran matematik pecahannya, bilangan kuantum merupakan label atau indeks bagi fungsi gelombang yang berbeda. Komponen fungsi gelombang

  ψ (r,θ,φ) dapat dituliskan sebagai hasil kali tiga buah fungsi satu variable : ψ ( θ φ ) = θ ( ) θ Φ φ _{n , l , m n , l l , m m 1} r , , R ( r ) ( ) ₁ Tabel Beberapa Fungsi Gelombang atom Hidrogen

  n l m R (r) φ)

  Φθ Φ(

  1 _{rl a} 2 −

  1

  1 _{3 / 2} e a

  1

  2 π

  2

  1

  1 2  r  − rl ^{2 a} 2 e _{3 / 2} −   ( 2 a ) a

  2 2 π

  2

    1 r ¹

  − rl 2a

  3 θ _{3 / 2} e cos _{2 π} a

  2

  1

  3 ( 2 a )

  2 1 r rl 2a

  1 − 3 ± φ _i sin θ e e _{3 / 2} e a

  2

  2 1 +1

  2 π ( ) ₂

  3 2 a dV r sin dr d d

  Di mana = θ θ φ

  Probabilitas menemukan elektron:

  Untuk menghitung probabilitas radial P(r) dr untuk menemukan elektron antara r dan r + dr (dalam volume kulit bola): Integral

  θ dan φ bernilai satu, karena fungsi R, θ, dan φ masing – masing normalisasikan . jadi, rapat probabilitas

  radial adalah : ( ) ( ) φ θ θ φ θ θ φ θ ψ

  R d d dr r r dV r _{m m l l n m l n} ) sin ( ) ( , , ^{2 2 2} _, ² _, ² _{, , 1 1} Φ =

  ( ) φ φ θ θ θ θ

  π π R d d rd r dr r p _{ml m l l n} ²

²

² _, ² _, ) ( sin ) ( ) ( ₁

  ∫ ∫ Φ =

  P( r ) =r ^{2 2 ,} ) (r R _{l n}

  Gambar Rapat probabilitas P (r) bagi tiga keadaan terendah hidrogen Yang dapat kita amati hanyalah ”tumpahan” distribusi muatan elektron, dengan distribusi ruang yang diberikan oleh probabilitas. Distribusi probabilitas ini berakibat penting bagi penggabungan atom – atom dalam molekul

  ATOMIC THEORY 2008 BY FARID

  30

  32

  33

  34

  35