Dimensi makalah sub Ruang Vektor
DIMENSI RUANG VEKTOR
MAKALAH
UNTUK MEMENUHI TUGAS MATA KULIAH
Aljabar Linier Lanjut
Yang dibina oleh Hery Susanto
oleh
Muhsang Sudadama Lieko Liedokto
100312400848
UNIVERSITAS NEGERI MALANG
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
JURUSAN MATEMATIKA
September 2012
Dimensi dari Suatu Ruang Vektor
Jika suatu ruang vektor V memiliki suatu himpunan S yang merentang V, maka ukuran
dari sembarang himpunan di V yang bebas linier tidak akan melebihi ukuran dari S.
Teorema 1.10
Misalkan V adalah suatu ruang vektor. Jika vektor-vektor v 1 ,… , v n adalah bebas linier
dan vektor-vektor s 1 ,… , s m merentang V, maka �≤�.
Buktinya:
Pertama, daftarkan kedua himpunan vektor: himpunan yang merentang diikuti dengan
himpunan yang bergantung linear, perhatikan:
s 1 ,… , s m ; v 1 ,… , v n
pindahkan vektor pertama
v 1 ke urutan paling pertama dari daftar:
v 1 , s 2 , … , s m ; v 2 ,… , v n
Karena s 1 ,… , s m merentang V, lalu v 1 merupakan suatu kombinasi linier dari s i
maka salah satu dari s i dapat dihilangkan, dengan cara mengindeks ulang dengan
mengambil s 1 dari daftar pertama dan tetap memiliki himpunan yang merentang yaitu
v 1 , s 1, … , s m ; v 2 ,… , v n .
Ingat bahwa himpunan yang pertama pasti tetap merentang V dan himpunan yang kedua tetap
bebas linier.
Sekarang ulangi proses ini, pindahkan v 2 dari daftar kedua ke daftar pertama
v 1 , v 2 , s 3 , … , s m ; v 3 ,… , v n
Seperti pada proses sebelumnya, vektor-vektor pada daftar pertama pasti bebas linier, karena
mereka merentang V sebelum dicampur dengan v 2 . Bagaimanapun juga, karena v i
bebas linier, maka kombinasi yang nontrivial dari vektor-vektor pada daftar pertama yang
sama dengan 0 harus melibatkan paling sedikit satu dari s i . Sehingga vektor tersebut dapat
dipindahkan, lalu kembali diindeks ulang dengan mengambil s 1 dan tetap memiliki
himpunan yang merentang yaitu
v 1 , v 2 , s 3 , … , s m ; v 3 ,… , v n
Sekali lagi, himpunan vektor yang pertama merentang V dan himpunan yang kedua tetap
bebas linier.
Andaikan � .
2) Misalkan �=�⨁�. Jika B 1 adalah suatu basis untuk S dan B 2 adalah suatu
basis
untuk T, maka B 1 ∩ B 2 =∅ dan ℬ= B 1 ∪ B 2 adalah suatu basis
untuk V.
Bukti:
1) Misal ℬ = {b 1 , … , bk , bk +1 , … , b n } adalah basis untuk V, B 1 = {b 1 , … , bk }
dan B 2 ={ bk +1 ,… , b n } . maka untuk sembarang �∈�, α i ∈�
�=�1�1+ …����+��+1��+1…+����
sehingga �∈ ℬ1 ⨁ ℬ2 . Misal untuk sembarang �∈ ℬ1 ⨁ ℬ2 , maka
�=�1�1+ …����+��+1��+1…+����
sehingga �∈�. Jadi, �= ℬ1 ⨁ ℬ2 .
Teorema 1.14
Misalkan S dan T adalah subruang dari suatu ruang vektor V. Maka
dim(�) + dim(�) = dim(�+�) + dim(�∩�)
Khususnya, jika T adalah sembarang komplemen dari S pada V, maka
dim(�) + dim(�) = dim(�)
yaitu, dim(�⨁�) = dim(�) + dim(�)
Buktinya:
Misalkan ℬ= { bi|i∈ I } adalah suatu basis untuk �∩�.
ℬ ini akan diperluas menjadi �∪ℬ , suatu basis untuk S dimana �= { a j| j ∈ J } dan ℬ
saling lepas. ℬ ini juga akan diperluas menjadi ℬ∪� , suatu basis untuk S dimana �=
{c k|k ∈ K } dan ℬ saling lepas. Lalu klaim bahwa �∪ℬ∪� merupakan suatu basis untuk
�+�. Jelas bahwa =�+�.
Untuk melihat bahwa �∪ℬ∪� adalah bebas linier, andaikan
α 1 v 1 +…+α n v n=0
dimana v i ∈�∪ℬ∪� dan α i ≠0 untuk setiap �. Maka vektor-vektor v i di dalam �
dan �, karena �∪ℬ dan ℬ∪� bebas linier. Memisahkan suku-suku yang melibatkan vektorvektor dari � pada salah satu ruas persamaan menujukkan bahwa terdapat vektor taknol
�∈∩ . Tetapi �∈�∩� dan �∈∩< ℬ> , mengakibatkan �=0. Terjadi suatu
kontradiksi. Sehingga disimpulkan bahwa �∪ℬ∪� adalah bebas linier lalu menjadi suatu
basis untuk �+�.
Sehingga,
dim(�) + dim(�) = |�∪ℬ| + |ℬ∪�|
= |�| + |ℬ| + |ℬ| + |�|
= |�| + |ℬ| + |�| + dim(S ∩ T)
= dim(S+T) + dim(S ∩ T)
Meskipun persamaan dim(�) + dim(�) = dim(�+�) + dim(�∩�) berlaku untuk seluruh ruang
vektor, tapi pernyataan dim(�+�) = dim(�) + dim(�) − dim(�∩�) belum tentu berlaku,
kecuali jika �+� berdimensi-hingga.
MAKALAH
UNTUK MEMENUHI TUGAS MATA KULIAH
Aljabar Linier Lanjut
Yang dibina oleh Hery Susanto
oleh
Muhsang Sudadama Lieko Liedokto
100312400848
UNIVERSITAS NEGERI MALANG
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
JURUSAN MATEMATIKA
September 2012
Dimensi dari Suatu Ruang Vektor
Jika suatu ruang vektor V memiliki suatu himpunan S yang merentang V, maka ukuran
dari sembarang himpunan di V yang bebas linier tidak akan melebihi ukuran dari S.
Teorema 1.10
Misalkan V adalah suatu ruang vektor. Jika vektor-vektor v 1 ,… , v n adalah bebas linier
dan vektor-vektor s 1 ,… , s m merentang V, maka �≤�.
Buktinya:
Pertama, daftarkan kedua himpunan vektor: himpunan yang merentang diikuti dengan
himpunan yang bergantung linear, perhatikan:
s 1 ,… , s m ; v 1 ,… , v n
pindahkan vektor pertama
v 1 ke urutan paling pertama dari daftar:
v 1 , s 2 , … , s m ; v 2 ,… , v n
Karena s 1 ,… , s m merentang V, lalu v 1 merupakan suatu kombinasi linier dari s i
maka salah satu dari s i dapat dihilangkan, dengan cara mengindeks ulang dengan
mengambil s 1 dari daftar pertama dan tetap memiliki himpunan yang merentang yaitu
v 1 , s 1, … , s m ; v 2 ,… , v n .
Ingat bahwa himpunan yang pertama pasti tetap merentang V dan himpunan yang kedua tetap
bebas linier.
Sekarang ulangi proses ini, pindahkan v 2 dari daftar kedua ke daftar pertama
v 1 , v 2 , s 3 , … , s m ; v 3 ,… , v n
Seperti pada proses sebelumnya, vektor-vektor pada daftar pertama pasti bebas linier, karena
mereka merentang V sebelum dicampur dengan v 2 . Bagaimanapun juga, karena v i
bebas linier, maka kombinasi yang nontrivial dari vektor-vektor pada daftar pertama yang
sama dengan 0 harus melibatkan paling sedikit satu dari s i . Sehingga vektor tersebut dapat
dipindahkan, lalu kembali diindeks ulang dengan mengambil s 1 dan tetap memiliki
himpunan yang merentang yaitu
v 1 , v 2 , s 3 , … , s m ; v 3 ,… , v n
Sekali lagi, himpunan vektor yang pertama merentang V dan himpunan yang kedua tetap
bebas linier.
Andaikan � .
2) Misalkan �=�⨁�. Jika B 1 adalah suatu basis untuk S dan B 2 adalah suatu
basis
untuk T, maka B 1 ∩ B 2 =∅ dan ℬ= B 1 ∪ B 2 adalah suatu basis
untuk V.
Bukti:
1) Misal ℬ = {b 1 , … , bk , bk +1 , … , b n } adalah basis untuk V, B 1 = {b 1 , … , bk }
dan B 2 ={ bk +1 ,… , b n } . maka untuk sembarang �∈�, α i ∈�
�=�1�1+ …����+��+1��+1…+����
sehingga �∈ ℬ1 ⨁ ℬ2 . Misal untuk sembarang �∈ ℬ1 ⨁ ℬ2 , maka
�=�1�1+ …����+��+1��+1…+����
sehingga �∈�. Jadi, �= ℬ1 ⨁ ℬ2 .
Teorema 1.14
Misalkan S dan T adalah subruang dari suatu ruang vektor V. Maka
dim(�) + dim(�) = dim(�+�) + dim(�∩�)
Khususnya, jika T adalah sembarang komplemen dari S pada V, maka
dim(�) + dim(�) = dim(�)
yaitu, dim(�⨁�) = dim(�) + dim(�)
Buktinya:
Misalkan ℬ= { bi|i∈ I } adalah suatu basis untuk �∩�.
ℬ ini akan diperluas menjadi �∪ℬ , suatu basis untuk S dimana �= { a j| j ∈ J } dan ℬ
saling lepas. ℬ ini juga akan diperluas menjadi ℬ∪� , suatu basis untuk S dimana �=
{c k|k ∈ K } dan ℬ saling lepas. Lalu klaim bahwa �∪ℬ∪� merupakan suatu basis untuk
�+�. Jelas bahwa =�+�.
Untuk melihat bahwa �∪ℬ∪� adalah bebas linier, andaikan
α 1 v 1 +…+α n v n=0
dimana v i ∈�∪ℬ∪� dan α i ≠0 untuk setiap �. Maka vektor-vektor v i di dalam �
dan �, karena �∪ℬ dan ℬ∪� bebas linier. Memisahkan suku-suku yang melibatkan vektorvektor dari � pada salah satu ruas persamaan menujukkan bahwa terdapat vektor taknol
�∈∩ . Tetapi �∈�∩� dan �∈∩< ℬ> , mengakibatkan �=0. Terjadi suatu
kontradiksi. Sehingga disimpulkan bahwa �∪ℬ∪� adalah bebas linier lalu menjadi suatu
basis untuk �+�.
Sehingga,
dim(�) + dim(�) = |�∪ℬ| + |ℬ∪�|
= |�| + |ℬ| + |ℬ| + |�|
= |�| + |ℬ| + |�| + dim(S ∩ T)
= dim(S+T) + dim(S ∩ T)
Meskipun persamaan dim(�) + dim(�) = dim(�+�) + dim(�∩�) berlaku untuk seluruh ruang
vektor, tapi pernyataan dim(�+�) = dim(�) + dim(�) − dim(�∩�) belum tentu berlaku,
kecuali jika �+� berdimensi-hingga.