III. FUNGSI POLINOMIAL - Fungsi polinomial
III. FUNGSI POLINOMIAL
3.1 Pendahuluan
A. Tujuan
Setelah mempelajari bagian ini diharapkan mahasiswa dapat: 1. menuliskan bentuk umum fungsi polinomial; 2. menghitung nilai fungsi polinomial; 3. menuliskan bentuk umum fungsi konstan; 4. menghitung nilai fungsi konstan; 5. menggambar grafik fungsi konstan; 6. menyebutkan karakteristik grafik fungsi konstan; 7. menuliskan bentuk umum fungsi linier; 8. menggambar grafik fungsi linier; 9. menentukan gradien dan intercep fungsi linier;
10. menyebutkan karakteristik grafik fungsi linier; 11. menuliskan bentuk umum fungsi kuadrat; 12. menggambarkan grafik fungsi kuadrat; 13. menentukan koordinat titik-titik ektrim; 14. menentukan karakteristik grafik fungsi kuadrat; 15. menuliskan bentuk umum fungsi pangkat tiga; 16. menggambarkan grafik fungsi pangkat tiga; 17. menentukan karakteristik grafik fungsi pangkat tiga.
B. Deskripsi Singkat Isi Bab
4. fungsi kuadrat; 5. fungsi pangkat tiga
Kata kunci: fungsi polinomial, fungsi konstan, fungsi linier, fungsi kuadrat, fungsi pangkat tiga.
3.2 Fungsi Polinomial (Polynomial Functions) Bentuk Umum
Bentuk umum fungsi polinomial adalah, 2 3 n p ( x ) a a x a x a x ..... a x , dengan a o , a 1, a 1 2 3 n , …, a 2 , a 3 n adalah konstanta dan disebut koefisien fungsi polinomial.
Fungsi Polinomial yang sering di gunakan dalam teknik sipil adalah:
A. Fungsi Konstan
Jika untuk fungsi polinomial harga a , a , a = 0,
1
2 3 , …, a n maka diperoleh p(x) = a o yang disebut fungsi konstan.
Grafik fungsi konstan berupa garis lurus yang sejajar atau berimpit dengan sum- bu X. Untuk a = 0 grafik fungsi konstan berimpit dengan sumbu X, dan untuk
o
Penyelesaian:
o o
Penyataan k(x) = 4 dapat ditulis dengan k(x) = 4x karena x = 1. Untuk meng- gambar grafik fungsi dibuatlah tabel nilai fungsi seperti berikut: Y x k(x) 4 k(x) = 4
- 2 4 3
- 1 4 2 0 4 1 1 4 0 X 2 4 Grafik fungsi k(x) = 4 sejajar dengan sumbu x dengan jarak empat satuan di atas sumbu X 2. Gambarkan grafik fungsi k(x) = 0. Penyelesaian:
o o
Penyataan k(x) = 0 dapat ditulis dengan k(x) = 0x karena x = 1. Untuk meng- gambar grafik fungsi dibuatlah tabel nilai fungsi seperti berikut: x k(x) Y
- 2 0
- 1 0 0 0 0 k(x) = 0 X
B. Fungsi Linier Jika untuk fungsi polinomial harga a , a = 0,
2 3 , …, a n maka diperoleh p(x) = a + a x, yang disebut fungsi linier. o
1
Grafik fungsi linier berupa garis lurus yang miring.Contoh: 1. Gambarkan grafik fungsi konstan f(x) = 3 + 2x.
Penyelesaian: Untuk menggambar grafik fungsi f(x) dibuatlah tabel fungsi seperti di bawah ini. Y x f(x) f(x) = 3 + 2x
- 2 -1
- 1 1 0 3 1 5 0 X 2 7 Grafik fungsi f(x) = 3 + 2x berupa garis lurus yang miring ke kanan.
Penyelesaian: Untuk menggambar grafik fungsi f(x) dibuatlah tabel fungsi seperti di bawah ini.
Y x f(x)
- 2 3
- 1 2 f(x) = -x + 1 0 1 1 0 0 X 2 -1 Grafik fungsi f(x) = -x + 1 berupa garis lurus yang miring ke kiri. Hal-hal penting yang perlu diperhatikan untuk fungsi linier:
1. Arah kemiringan garis ditentukan oleh tanda dari koefisien x. Jika tanda dari koe- fisien x positip maka garis miring ke kanan dan jika tanda dari koefisien x nega-tip maka garis miring ke kiri.
2. Derajat kemiringan (kecuraman) garis ditentukan oleh harga mutlak dari besar-nya koefisien x. Harga mutlak koefisien x yang lebih besar menyebabkan kemi-ringan yang lebih curam.
3. Jika fungsi linier dirumuskan dengan y = ax + b, maka koordinat titik potong ga-
b
ris dengan sumbu X adalah ,0 dan titik potong garis dengan sumbu Y ada-
a lah (0, b).
C. Fungsi Kuadrat
Jika untuk fungsi polinomial harga a = 0,
3 , …, a n
2 maka diperoleh p(x) = a + a x + a x , yang disebut fungsi kuadrat. o
1
2 Grafik fungsi kuadrat berupa parabola yang memiliki titik puncak di 2 b b 4 ac
, 2 a 4 a
Contoh:
2 1. Gambarkan grafik fungsi kuadrat f(x) = x .
Penyelesaian: Untuk menggambar grafik fungsi kuadrat harus ditentukan terlebih dahulu koor- 2
b b 4 ac dinat titik ekstrimnya, yaitu , 2 a 4 a
b
absis titik puncak x 2 a 2 1 . 2
b 4 ac 4 10 . .
ordinat titik puncak y 4 a 4 1 .
Jadi koordinat titik puncak parabola adalah (0,0). x y= f(x)
- 3
- 2
- 1
- 4 -3 -2 -1
b a
2 2 1 . ordinat titik puncak y
b ac a
2
4
2 . . .
4 4 12 4 1
Jadi koordinat titik puncak parabola adalah (0,2). Selanjutnya dibuat tabel fungsi seperti berikut
9
4
1
1
1
2
4
3
4 2 , absis titik puncak x
2
4
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
b a b ac a
2
3
4 x y
2. Gambarkan grafik fungsi kuadrat f(x) = x
2 + 2.
Penyelesaian: Untuk menggambar grafik fungsi kuadrat harus ditentukan terlebih dahulu koor- dinat titik ekstrimnya, yaitu
9
- 3
- 2
- 1
- 4 -3 -2 -1
- x + 1 Penyelesaian: Untuk menggambar grafik fungsi kuadrat harus ditentukan terlebih dahulu koor- dinat titik ekstrimnya, yaitu
1
1 ) 2 .( ordinat titik puncak y
b ac a
2 2
4
4
1 4 1 1
4
1
1
4 .( ). .( )
2
Jadi koordinat titik puncak parabola adalah
1 4 1 4 1 ,
Selanjutnya dibuat tabel fungsi seperti berikut
x y = f(x)
11
6
3
2
1
3
2
6
3
1
1
1
2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
3
4 x y
3. Gambarkan grafik fungsi kuadrat f(x) = -x
2
b a b ac a
2
4
4 2 , absis titik puncak x
b a
2
11
y
2 x y
1
- 2 -5
x
- 1 -1
- 3 -2 -1
1
2
3
4
1
- 1
0.25 1.1875
- 2
1
1 2 -1
- 3
3 -5
- 4
- 5
- 6
Hal-hal penting yang perlu diperhatikan pada fungsi kuadrat:
2
1. Grafik fungsi kuadrat y = ax + bx + c berupa parabola yang dapat membuka ke
2
atas atau ke bawah. Parabola membuka ke atas jika koefisien dari x bertanda
2 positip dan se baliknya membuka ke bawah jika koefisien dari x bertanda negatip.
2. Parabola memiliki satu titik puncak yang dapat berupa titik maksimum atau titik minimum. Parabola mempunyai titik maksimum jika terbuka ke bawah dan mempunyai titik minimum jika terbuka ke atas. Koordinat titik puncak adalah 2
b b 4 ac , .
2 a 4 a
3. Koordinat titik potong antara parabola dengan sumbu Y adalah (0, c).
4. Koordinat titik potong antara parabola dengan sumbu X adalah (x , 0) dan (x , 0)
1
2
2
dimana x dan x adalah akar-akar persamaan ax + bx + c = 0 yang dapat
1
2 dihitung dengan rumus abc dan sebagainya.
D. Fungsi Pangkat Tiga
Grafik fungsi pangkat tiga agak rumit untuk digambarkan dibandingkan dengan fungsi kuadrat karena umtuk menentukan titik-titik ekstrimnya dibutuhkan penge- tahuan kalkulus. Contoh
3 1. Gambar kan grafik fungsi y = x .
Penyelesaian Untuk menggambarkan grafiknya terlebih dahulu dibuat tabel nilai fungsi berikut:
y x Y = f(x)
30
- 3 -27
25
- 2 -8
20
- 1 -1
15
10
1
1
5
2
8 x
3
27
- 4 -3 -2 -1
1
2
3
4
- 5
- 10
- 15
- 20
- 25
- 30
3
2
2. Gambarkan grafik fungsi y = x + 2x - 7x -3
Penyelesaian Untuk menggambarkan grafiknya terlebih dahulu dibuat tabel nilai fungsi berikut:
1 -7
2 -1
3
21
4
65
Rangkuman
1. Bentuk umum fungsi polinomial adalah, 2 3 n p x ( ) ..... , dengan a , a a , a adalah a a x a x a x a x o 1, 1 2 3 n , …, a
2 3 n konstanta dan disebut koefisien fungsi polinomial.
2. Jika untuk fungsi polinomial harga a , a , a = 0, maka diperoleh p(x) = a
1
2
3 , …, a n o yang disebut fungsi konstan.3. Jika untuk fungsi polinomial harga a , a = 0, maka diperoleh
2 3 , …, a n p(x) = a + a x, yang disebut fungsi linier. o
1
4. Jika untuk fungsi polinomial harga a
3 n = 0, maka diperoleh
, …, a
2 p(x) = a + a x + a x , yang disebut fungsi kuadrat. o
1
2
5. Jika untuk fungsi polinomial harga a = 0, maka diperoleh
4 n
, …, a
2
3
p(x) = a o + a
1 x + a 2 x + a 3 x , yang disebut fungsi pangkat tiga.
Latihan
1. Gambarkan grafik fungsi konstan di bawah ini:
a) y = 5
b) y = -3
2. Gambarkan grafik fungsi linier dibawah ini:
a) y = 2x + 3
b) y = 2x + 4
c) y = -3x - 5
d) y = -2x - 5
3. Gambarkan grafik fungsi kuadrat dibawah ini:
2
a) y = 2x + 3x -6
2
b) y = -x + 2x + 8
2
c) y = x - x - 20
2
d) y = -x -3x + 12
3
2
4. Gambarkan grafik fungsi pangkat tiga y = -x + x - 2x + 4