TEORI BAHASA AUTOMATA “TBA”

  

TEORI BAHASA AUTOMATA

“TBA”

Penyusun

Kelompok 8

1. RENOL : 09011519 2. ABDU RAHMAN HALIM : 08011073 3. TURNADO SARAGIH : 08010194 4. DOVI MITOAWAN : 08010236

  

STRATA 1 TEKNIK INFORMATIKA

FAKULTAS ILMU KOMPUTER

UNIVERSITAS DEHASEN

BENGKULU

  5-3. AHN DENGAN TRANSISI HAMPA (TRANSISI-^)

  Pada bagian ini, pada AHN diperbolehkan adanya transisi Strata dengan untai hampa digunakan sebagai input. Automata Hingga ini kita sebut AHN

  dengan transisi-^.

  Seperti yang kita duga. Autmata Hingga seperti itu kurang kuat lagi dibandingkan dengan Automata Hingga yang diperkenalkan pada subbagian terdaulu. Sungguhpun demikia, AHN dengan transisi-^ ini merupakansuatu bentuk yang baik guna menyajikan Ekspresi Regular.

  Digraf Transisi untuk suatu AHN dengan Transisi-^ diberikan pada

  m n

  gambar 5-4. Mesin ini menerima untai berbentuk 1 ,m,n >= 0. Setelah membaca barisan simbol I dari dari untai input, Automata Hingga ini berubah ke Stata q . sebelum membaca 0 yang mengikutinya. Hal ini dilakukan dengan cara

  1 membaca untai hampa yang ditempatkan antara I terakir dan 0 pertama.

  Gambar 5-4

  Definisi

  Suatu Autmata Hingga Nondeterministik dengan Transisi-^ adalah suatu tupel-5 (K,V ,M,S,Z) dengan K, V , S dan Z adalah sama seperti pada defini

  T T yang lalu terhadap Automata Hingga Nndeterministik dan M adalah pemetaan.

  K x (V U {^)  subhimpunan dari K

  T Dengan menggunakan definisi ini, AHN yang disajikan pada Gambar 4-8 dapat didefinisikan sebagai : F = ({q q }.{0,1}), M,q ,{q }

  1

  1 Dengan fungsi pemetaan didefinisikan pada Tabel 5-5.

  Tabel 5-5

  Input Stata

  1 Q {q } {q }

  1

  1 Q HAMPA HAMPA

1 Sebelum dapat dibuktikan ekivalensi antara suatu AHN dengan transisi-^

  dan suatu AN tanpa transisi-^ adalah perlu untuk mendefinisikan pemetaan M(q,x) untuk x anggota V T .

  Definisi CLOSURE-^ suatu subhimpunan dari F, Stata q, mengandung semua

  Stata yang dapat dicapai dari suatu Stata q tersebut melalui transisi-^ dinyatakan dengan CLOSURE-^(q).

  Pada contoh Gambar 5-4, CLOSURE-^(q ) = {q ,q }, dan CLOSURE-

  1

  ^(q

  1 ) = {q 1 }.

  Perhatikan bahwa CLOSURE-^(q) untuk setiap Stata q selalu mengandung Stata q tersebut, karena suatu Stata selalu dapat dianggap mempunyai suatu Transisi-^ terhadap dirinya sendiri.

  Lebih lanjut, jika P adalah himpunan Stata, maka CLOSURE-^(P) = U[CLOSURE-^(q)] untuk semua q anggota P.

  Definisi CLOSURE-^ ini memungkinkan kita memperluas fungsi pemetaan dengan mendefinisikan

1. M(q.^) = CLOSURE-^(q) 2.

  , T anggota

  T

  M(q.tT) = CLOSURE-^(P) sedemikian rupa sehinggatanggotaV

  V T P = {s | ranggotaM(q.t) dan s anggota M(r.T)

  Sekarang barulah kita perlihatkan ekivalensi AHN dan AHN dengan transisi-^ . Pembuktian teorem berikut. Sekaligus memberikan metode untuk membentuk AHN tanpa transisi-^ dari AHN dengan transisi-^.

  Teorema 5-2

  Diketahui F = (K, V , M,S,Z) suatu AHN dengan transisi-^ akan ada

  T

  1 tanpa

  perkataan lain, sedemikian sehingga bahasa yang diterima oleh kedua Automata Hingga tersebut adalah sama.

  Bukti :

1 Kita tentukan suatu AHN F tanpa transisi^ sebagai berikut :

  1

  1

  1 T

  1 F = (K,V ,M ,S,Z ) dengan K,V dan S adalah sama untuk F dan F T

  1 Z = Z U {S} jika CLOSURE-^(S) memuat suatu Stata anggota Z

  = Z dalah hal lain.

  1 Dan M (q.a) adalah sama dengan M(q.a) untuk q anggota K, dan a T

  anggota V dengan M adalah fungsi pemetaan dari f ang diperluas untuk untai. Dengan melakukan induksi pada |x| adalah perlu untuk memperlihatkan bahwa

  1

  1 M (S.x) = M (S.x) bila |x| >= 1. jelas jika x = ^ maka M (S.^) = S, dan M(S.^) =

1 CLOSURE-^(S) dan F , S anggota Z jika suatu Stata Akhir termuat dalam CLOSURE-^(S) dari F.

  Langkah induksi adalah sebagai berikut. Asumsikan

  T T

  |x| >= I dan x = Tt untuk T anggota V dan t anggota V Maka .

  1

  1

1 M (S,Tt) = M (M (S,T).t)

  1

  = M (M(S,T).t) dengan hipotesis induksi

  1

  1 Misalkan M(S,Tt) = P. Maka M (P,T) = U M (q,t) = U M(q,t) untuk setiap anggota P.

  1 Sehingga U M(q,t) = M(S,Tt) dan M (S,Tt) = M(S,Tt)

  1 Kita harus menunjukkan bahwa M (S,x) memuat suatu Stata Akhir jika

  dan hanya jika M(S,x) memuat Stata Akhir memuat Stata Akhir. Telah ditunjukkan sebelum ini bahwa hal demikian terjadi pada kasus dengan x = ^.

  T T

  Perhatikan untuk x = Tt dengan T anggota V dan t anggota V . Dengan

  1

  konstruksi dari F jika M(S,x) memuat suatu Stata Akhir, maka demikian pula

  ,

1 M (S,x). Kita juga harus menunjukkan kebalikkannya. Artinya M(S,x) memuat

  1

  1 Stata Akhir jika M (S,x). juga memuat Stata Akhir. Pandang M (S,x) yang

  1

  memuat suatu Stata Z selain S. Maka M(S,Tt) harus memuat suatu Stata yang

  1

  bersesuaian, katakanlah Z ini berasal dari konstruksi F , lebih lanjut jika S anggota M(S,x) maka mempunyai suatu Stata pada CLOSURE-^(S) dan F juga pada M(S,x) karena M (S,x) = CLOSURE-^(M(S,T),t).

  Dengan menggunakan konstruksi dari pembuktian dari pembuktian di atas, suatu AHN tanpa transisi-^ dapat kita bentuk dari AHN dengan konstruksi-

  1

  1

  ^ contoh kita pada awal bagian AHN F = ({q ,q

  1 },{0,1},M ,q ,{q ,q 1 })

  mempunyai fungsi pemetaannya seperti didefinisikan pada Tabel 5-6, dan Digraf

  1 Transisi untuk F tersebut diberikan pada Gambar 5-5.

  Tabel 5-6

  Inpt Stata

  1 Q {q } {q ,1}

  

1

  1 Q {q } HAMPA

  1

  

1

Gambar 5-5 5-4. EKIVALENSI GRAMMAR REGULAR DAN AUTMATA HINGGA

  Ekivalensi Grammar Regular dan Autmata Hingga ditunjukkan pada

  bagian ini. Pertama, diberikan suatu metode untuk mengkonstruksi suatu AHN dari Grammar Regular, kemudian digambarkan suatu cara pengubahan suatu AHD ke Grammar Regular.

  Dapat dibuktikan bahwa bahasa yang diterima oleh Automata Hingga Stata Hingga adalah sama dengan bahasa yang dapat dihasilkan oleh Grammar Regular.

  Teorema dan pembuktiannya berikut memberikan prosedur untuk pengubahan suatu Grammar Regular ke suatu AHN.

  Teorema 5-3.

  Ada suatu AHN F = (K,V T ,M,S,Z) yang menerima bahasa yang dihasilkan oleh Grammar Regular G = (V ,V ,S,Q).

  N T Bukti

  Tentukan AHN F dengan Stata K sebagai V U {X} dengan X bukan

  N

  anggota V N . Stata Awal dari Automata Hingga adalah S (simbl start dari Grammar) dan Stata Akhirnya adalah X. Untuk masing-masing produksi Grammar dibuat pemetaan M dengan cara berikut :

  A 2. anggota M(A ,a), jika terdapat produksi A a pada G

  1

  1

  1 A

  AHN F, ketika memproses kalimat x, mensimulasikan suatu turunan x pada Grammar G adalh perlu untuk menunjukkan bahwa L(F) = L(G). Miasl x = a

  1 ,a 2 ,...,a m , m >=1 pada bahasa L(G), kemudian

  ada beberapa turunan pada G sedemikian sehingga S  a A a a A 

  1

  2

  1

   ....  a

  1 a

2 A

  1 Untuk suatu urutan nonterminal A A .... dari konstruksi M, jelas bahwa

  1

  2 M(S,a) memuat A 1 .M(A 1 ,a z ) memuat a 2 ... dan M(A m-1 ,a m ) memuat X dan X anggota Z.

  Untuk mengambarkan bagaimana suatu AHN dikonstruksikan dari suatu Grammar Regular. Perhatikan Grammar G (V N

  V T ,S,O) dengan

  VN = {S,A,B}.VT = {a,b} himpunan produksi 0 adalah : 1.

  3. A aA

  5. B  b S  aS 2.

  4. A aB S  bA

  Kita tentukan AHN F = (K,V T ,M,S,Z) dengan K = {S,A,B,X}. V T = {a.b}. Z = (X) dan M ditentukan oleh : 1.

  M(S.a) = {S} dari prduksi S  aS M(S.b) = {A} dari prduksi S  bA 3. M(A.a) = {A,B} dari prduksi A  aA dan A  aB 4. M(B.b) = {B} dari prduksi B  b 5. M(A.b) = M(B,a) HAMPA{S}, karena tidak ada prduksi yang berkorenponsi dengan pemetaan.

  F adalah suatu Autmata Hingga Nondeterministik yang menerima bahasa yang digambarkan oleh Grammar Regular G.

  Sama halnya seperti Automata Hingga Nondeterministik yang dapat dikonstruksi dari suatu Grammar Regular dengan cara yang cukup mudah, suatu Grammar Regular juga dapat diturunkan dari suatu Automata Hingga dengan cara yang sederhana. Teorem berikut ini. Seperti teorema terdahulu. Memberikan prsedur yang diperlukan. Untuk membuat suatu Grammar dari AHN yang diketahui.

  Teorema 5-4

  Akan selalu ada suatu Grammar Regular G = (V N ,V T ,S,P) menghasilkan bahasa yang diterima oleh suatu AHD tertentu F = (K,V ,S,Z).

  T Bukti

  Definisikan Grammar Regular G dengan Stata anggota K menjadi simbol Determinal dari G. Simbol start dari G adalah S (Stata Awal dari F) dan himpunan produksi P ditentukan sebagai berikut.

  1.  aA, anggota P, jika M(A ,a) = A

  1

  1

  1 A

  A Harus ditunjukkan bahwa S ===> ... ===> x, jika dan hanya jika M(S,x) anggota Z untuk |x| >= 1. Pada kasus x = ^ dan M(S,x) anggota Z, tambahkan produksi S  ^ ke dalam P.

  Misalnya x = a

  1 , a 2 ,..., a n anggota L(F) dan n >= 1. kemudian terdapat

  himpunan transisi : M(S,a ) = A

  M(A ,a ) = A

  1

  2

  2 ....

  M(A N-1 ,a n ) = A n Dengan A adalah Stata Akhir dari F.

  n

  Jadi G memuat produksi S  a A

  1

  1 A 1  a

2 A

  2 ....

  Aa-  a

  1 n

  Dan Grammar G dapat menghasilkan untai yang diterima oleh F Sebaliknya jika x anggota L(G), maka suatu penerimaan x pada F yang menstimulasi suatu derivasi pada G dapat diperoleh dengan mudah, sehingga kesimpulannya adalah bahwa x anggota L(P).

  Regular. Perhatikan Automata Hingga F = ({S,A,B,C},{0,1},M,S,{S}) dengan fungsi pemetaan pada tabel 5-7.

  Tabel 5-7

  Inpt Stata

  1 Q {q } {q ,1}

  1

  1 Q 1 {q 1 } HAMPA AHD ini menerima untai yang mempunyai sebanyak genap 0 dan sebanyak genap 1. dengan menggunakan metode untuk mengkonstruksi Grammar G seperti yang diberikan pada teorema 5-4, Grammar G didefinsikan sebagai G = ({S,A,B,C},{0,1},S,P) dengan himpunan Produksi P didefinisikan sebagai 1.

  5. A  1S

  9. B  1C S  0B 2.

  6. A  1

  10. C  0A S  1A 3.

  7. B  0S

  11. C  1B S  ^ 4.

  8. B  0 A  0C Karena S adalah juga Stata Akhir, Prduksi S  ^ adalah juga anggota P.

  Karena AHN adalah ekivalen dengan AHD, konversi Automata Hingga ke Grammar Regular telah secara lengkap dinyatakan ditentukan oleh Terema 5- 3 dan 5-4. jadi Grammar Regular dapat digunakan untuk menggambarkan Scanner yang diimplementasikan sebagai suatu Automata Hingga. Meskipun demikian, nampaknya Ekpresi Regular lebih mudah digunakan untuk menyajikan Scanner. Ekivalensi Ekspresi Regular dengan Automata Hingga

  5-5 EKIVALENSI EKSPRESI REGULAR DAN AUTOMATA HINGGA

  Ekspresi Regular yang diperkenalkan pada bagian 4-3 seringkali merupakan suatu cara yang mudah untuk menyajikan Scanner. Pentingnya hal ini akan terbukti pada bagian berikut nanti, ketika disajikan Generator Scanner yang menggunakan Ekspresi Regular sebagai input. Bagian 5-6 ini akan menjelaskan secara rinci metode untuk menghasilkan suatu Automata Hingga dari suatu Ekspresi Regular. Serta sebaliknya untuk mengubah Automata Hingga menjadi Ekspresi Regular. Untuk itu akan ditunjukkan bahwa Ekspresi Regular dan Automata Hingga tersebut adalah ekivalen dengan mengingat terema terdahulu, yakni bahwa untuk bahasa yang ditunjukkan dari suatu Grammar Regular ada suatu Ekspresi Regular menunjukkan bahasa yang sama.

  Secara knseptual, mudah dipahami mengapa suatu Ekspresi Regular dapat diknversi menjadi suatu Autmata Hingga dengan menggunakan Digraf Transisi. Tetapi sebelum menlanjutkan pembicaraan. Adalah bermanfaat untuk memperlihatkan bagaimana ketiga Ekspresi Regular ^, {} atau HAMPA, dan r anggota V , disajikan sebagai suatu Digraf Transisi.

  T

  masing-masing Ekspresi ini. Ekspresi ^ digambarkan pada Grammar 5-6a. Di sini tidak terjadi transisi Stata. Digraf menerima untai ^ Gambar 4-10b menunjukkan bahwa ekspresi Regular {} tidak menerima unati apapun, termasuk ^ Transisi yang terjadi pada Ekspresi Regular r, ditunjukkan pada Gambar 5-6c.

  Gambar 5-6 Dengan beranjak dari Digraf Transisi gambar 5-6 yang menggambarkan

  Ekspresi Regular paling sederhana, maka Ekspresi Regular yang lebih kompleks dapat kita kembangkan, dengan menggunakan operasi eltermasi, konkatenasi serta closure.

  Gambar 5-7 mengambarkan bagaimana dua Ekspresi Regular r

  1 , dan r 2 ,

  dapat disajikan oleh suatu AHN dengan transisi-^ untuk masing-masing operasi di atas. Pada masing-masing kasus, kita bentuk sebuah Stata Awal baru S dan Busur mengarah ke Ekspresi r atau ke r mengambarkan suatu transisi

  1

  2

  ke Stata Awal dari Automata asal yang mewakili Ekspresi tersebut. Sementara itu, busur yang mengarah ke luar dari Automata asal, mengambarkan suatu transisi dari Stata Akhri Automata asal ke Stata berikutnya.

  Gambar 5-7 Digraf transisi untuk Ekspresi r r diberikan pada Gambar 5-7a.

  1

  2 Automata Hingga ini harus menerima salah satu dari r atau r di sini

  1

  2

  masing-masing r dan r ke Stata Akhir. Di sini seolah-olah kita melakukan

  1

  2 penggabungan secara paralel.

  Konkatenasi digambarkan pada Gambar 5-7b. Yakni menggambarkan Ekspresi r r di sini kita tambahkan suatu transisi-^ dari r ke r di samping

  1

  2

  1

  2

  transisi-^ dari Stata Awal ke r

  1 dan dari r 2 ke Stata Akhir. Di sini seolah-olah kita melakukan penggabungan secara seri. Gambar 5-7c menggambarkan Digraf Transisi untuk Ekspresi r, Transisi- ^ kita buat. Dari Stata Akhir r ke Stata Awalnya menggambarkan kemungkinan

  1 lebih dari satu pengulangan r.

  Untai hampa dari Ekspresi dimungkinkan dengan menambahkan transisi- ^ dari Stata Awal S ke Stata Akhir Z.

  Untuk menggambarkan secara lebih jelas, bagaimana penerapan aturan untuk membangun suatu AHN dengan transisi-^ dari Ekspresi Regular yang diketahui, baiklah kita pergunakan Ekspresi ()(1|23) sebagai contoh. Gambar 5-8 menunjukkan langkah yang diperlukan pada penciptaan Automata Hingga dari Ekspresi ini.

  Dengan menulis kembali Ekspresi tersebut dalam bentuk bertanda

  

kurung penuh proses akan menjadi lebih mudah dikerjakan selangkah demi

  selangkah, dimulai dari operasi di dalam kurung terdalam. Ekspresi kita, dapat ditulis sebagai ()(1|(2,3)) dengan simbol terminal adalah himpunan {0,1,2,3}. Maka operasi yang pertama dilakukan adalah konkatenasi dari dua Subekspresi 2 dan 3. Digraf untuk Ekspresi 23 yang dihasilkan. Ditunjukkan pada Gambar 5- yang menghasilkan Digraf Gambar 5-8c memberikan Digraf Autmata Hingga

  1

  untuk Ekspresi (1|23) u. Akhirnya () dikonkatenasikan dengan Ekspresi Gambar 5-8c yang menyajikan Ekspresi Regular keseluruhan. Dan Automata Hingga yang dihasilkan diberikan pada Gambar 5-8d. Untuk mudahnya beberapa transisi- pada Gambar 5-8a dihilangkan.