Makalah Transformasi Geometri Disusun ol
Makalah
Transformasi Geometri
Disusun oleh :
1. Bagus Warisman
(168620600169)
2. Eldy Maharinda
(168620600129)
3. Siti Dahlia
(168620600145)
4. Siti Jazilatur Rokhmah (168620600137)
5. Tristiyah Ningsih
(168620600153)
6. Uswatun Hasanah
(168620600150)
Pendidikan Guru Sekolah Dasar
Fakultas Ilmu Keguruan dan Ilmu
Pendidikan
Universitas Muhammadiyah Sidoarjo
1
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami ucapkan atas kehadirat Allah SWT,
karena dengan rahmat dan karunia-Nya kami
masih diberi kesempatan untuk menyelesaikan
makalah ini. Tidak lupa kami ucapkan kepada
Dosen Pembimbing dan teman-teman yang telah
memberikan dukungan dalam menyelesaikan
makalah ini.
kami menyadari bahwa dalam penulisan
makalah ini masih banyak kekurangan, oleh sebab
itu kami sangat mengharapkan kritik dan saran
yang membangun. Dan semoga dengan selesainya
makalah ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan
teman-teman. Amin…
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR................................................................... 2
BAB I PENDAHULUAN................................................................4
A. Latar Belakang................................................................4
B. Rumusan Masalah...........................................................4
C. Tujuan............................................................................... 4
BAB II PEMBAHASAN..................................................................5
A. Transformasi Geometri..................................................5
B. Penerapan Matriks dalam Transformasi Geometri....8
C. Kompisisi Transformasi.......................................................8
D. Transformasi Gusuran ( Shear)...................................11
E. Regangan ( Stretching)...............................................11
2
BAB III KESIMPULAN................................................................13
DAFTAR PUSTAKA.....................................................................14
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Matematika adalah ilmu yang mempelajari tentang
angka-angka yang diterapkan dalam kehidupan seharihari, ilmu matematika memiliki dasar-dasar yang harus
dipelajari sejak usia dini. Karena dengan ilmu matematika
seseorang bisa membedakan mana yang baik dan mana
yang buruk.
Mata pelajaran matematika merupakan pelajaran
yang tergolong penting, dengan mempelajari matematika
kita mampu mengetahui adanya geometri tranformasi
yang di dalamnya memuat translasi, refleksi, rotasi dan
dilatasi. Dimana translasi adalah suatu transformasi yang
memindahkn setiap titik pada bidang dengan jarak dan
arah tertentu. Refleksi adalah pencerminan, yaitu proses
mencerminkan setiap titik bangun pada bidang dengan
jarak dan arah tertentu. Rotasi adalah perputaran yang
ditentukan oleh titik pusat tertentu. Dilatasi adalah
transformasi yang mengubah ukuran bangun tetapi tidak
mengubah bentuknya.
Maka dari itu, kami menulis makalah tentang
transformasi geometri yang di dalamnya terdapat memuat
translasi, refleksi, rotasi dan dilatasi.
B. Rumusan Masalah
1. Mengapa kita harus mempelajari transformasi
geometri?
2. Apa definisi transformasi geometri?
3. Apa saja contoh dari transformasi geometri?
C. Tujuan
1. Mengetahui apa itu translasi, refleksi, rotasi, dan
dilatasi.
2. Dapat memahami apa yang dimaksud dari translasi,
refleksi, rotasi, dan dilatasi.
3
3. Dan dapat menyelesaikan soal-soal tentang translasi,
refleksi, rotasi, dan dilatasi.
BAB II PEMBAHASAN
A. Transformasi Geometri
Transformasi digunakan untuk untuk memindahkan suatu titik atau
bangun pada suatu bidang.Transformasi geometri adalah bagian dari geometri
yang membahas tentang perubahan (letak,bentuk , penyajian) yang didasarkan
dengan gambar dan matriks.
Transformasi pada bidang terdiri dari 4 macam :
1. Pergeseran (Translasi)
2. Pencerminan (Refleksi)
3. Perputaran (Rotasi)
4. Perkalian (Dilatasi)
1. pergeseran(Translasi)
Translasi atau pergeseran adalah transformasi yang
memindahkan titik-titik dengan jarak dan arah tertentu. Jarak
dan arah ditunjukkan oleh vektor translasi.Vektor translasi dpt
ditunjukkan oleh bil. berurutan yang ditulis dlm bentuk matriks
kolom
(ab )
(a )
. Suatu translasi T dengan vektor translasi b .
Mentransformasikan titik P ke P' secara pemetaan dapat
(a )
dituliskan : T = b : P(x,y) P' (x + a , y + b)
Jika P'(x' ,y') , secara aljabar dapat dituliskan dengan hubungan
:
x' = x + a
y' = y + b
Titik P' disebut bayangan titik P oleh translasi T =
(ab )
.
2. pencerminan (Refleksi)
Refleksi atau pencerminan adalah transformasi yang
memindahkan titik-titik dengan menggunakan sifat bayangan
oleh suatu cermin yaitu :
1) Garis yang menghubungkan setiap titik dengan
bayangannya tegak lurus dengan cermin (sumbu pencerminan)
4
2) Jarak antara setiap titik dan cermin sama dengan jarak
bayangan ke cermin
3) Bangun dan bayangannya adalah kongruen
Pencerminan dilambangkan dengan M a dengan a adalah cermin (sumbu
simetri) Beberapa pencerminan yang telah dipelajari antara lain :
1. Pencerminan terhadap sumbu X
(dilambangkan dengan M x)
Mx : P(x,y) → P ' (x ' , y ' ) = P ' (x, -y)
Persamaan matriksnya :
( xy '' )
(10 −10 ) ( xy )
=
2. Pencerminan terhadap sumbu Y
(dilambangkan dengan My)
M y: P(x,y) → P ' (x ' , y ' ) = P ' (-x, y)
Persamaan matriksnya :
( xy '' )
=
(−10 01)( xy )
3. Pencerminan terhadap titik asal O(0,0)
(dilambangkan dengan MO )
MO : P(x,y) → P ' (x ' , y ' ) = P ' (-x, -y)
Persamaan matriksnya :
( xy '' )=(−10
)( )
0 x
−1 y
4. Pencerminan terhadap garis y = x
(dilambangkan dengan M y=x)
My=x : P(x,y) → P ' (x ' , y ' ) = P ' (y, x)
Persamaan matriksnya :
( xy '' )=( 01 10)( xy )
5. Pencerminan terhadap garis y = -x
(dilambangkan dengan M y=-x)
My=-x : P(x,y) → P ' (x ' , y ' ) = P ' (-y, -x)
Persamaan matriksnya :
( xy '' )=(−10
)( )
−1 x
0 y
6. Pencerminan terhadap garis x = h
(dilambangkan dengan M x=h)
M x=h : P(x,y) → P ' (x ' , y ' ) = P ' (2h – x , y)
7. Pencerminan terhadap garis y = k
(dilambangkan dengan M y=k)
M y=k : P(x,y) → P ' (x ' , y ' ) = P ' ( x , 2k - y)
5
8. Pencerminan terhadap titik (a,b)
(dilambangkan dengan M (a,b))
M (a,b) : P(x,y) → P ' (x ' , y ' ) = P ' ( 2a-x, 2b - y)
3. Perputaran (Rotasi)
Transformasi yang memindahkan titik-titik dengan
memutar titik-titik tersebut sejauh θ terhadap suatu titik pusat
rotasi. Suatu rotasi dengan pusat P dan sudut rotasi θ
dinotasikan dengan R (P, θ ).
1. Rotasi terhadap titik pusat O(0,0)
(dilambangkan dengan R(O, θ )
Jika titik P(x,y) diputar sebesar θ belawanan arah jam.
Terhadap titik pusat O(0,0), maka diperoleh bayangan P ' (x ' , y
' ). R(O, θ ): P(x,y) →
P ' (x ' , y ' ) = P ' (x cosθ - y sinθ , x sinθ + y cos θ ).
Persamaan matriknya:
( xy '' )=( cos❑
sin❑
)
−sin ❑
cos ❑
=
( xy )
Untuk θ = 900 , -900, 1800, 2700, -2700 dengan memasukkan nilai θ tersebut
didapat table sebagai berikut :
Rotasi
Bayangan
matriks
0
R(O, 90 )
(-y, x)
0 −1
0
R(O, -90 )
(y, -x)
R(O, 1800)
(-x, -y)
R(O, 2700)
(y, -x)
R(O, -2700)
(-y, x)
(1 0 )
(−10 10)
(−10 −10 )
(−10 10)
(01 −10 )
2. Rotasi terhadap titik pusat P(a, b)
(dilambangkan dengan R(O, θ )
Jika suatu titik P (x,y) diputar sejauh θ berlawanan dengan
arah jam terhadap titik pusat A(a,b) maka bayangannya adalah
P ' (x ' , y ' ) dengan
x ' - a = (x –a) cosθ - (y-b) sinθ
y ' - b = (x – a) sin θ + (y- b) cos θ
6
Persamaan matriknya:
( xy '' )=( cos❑
sin❑
)( ) ( )
−sin ❑ x−a
+ a
cos ❑ y−b b
4. Perkalian atau Dilatasi
Transformasi yang mengubah jarak titik-titik dengan factor
pengali tertentu terhadap suatu titik tertentu. Perkalian atau
dilatasi ini ditentukan oleh factor skala (k) dan pusat dilatasi.
1. Dilatasi terhadap titik pusat O(0,0)
Pemetaannya: [O, k] : P(x,y) → P ' (kx, ky)
persamaan matriksnya :
( xy '' )=( k0 0k )( xy)
2. Dilatasi terhadap titik pusat A(a,b)
Titik P(x,y) dilatasi terhadap titik pusat A (a,b) dengan factor
skala k, didapat bayangan P ' ( x' , y' ) dengan: x ' - a = k(x - a)
dan y ' - b = k (y - b)
Persamaan matriksnya :
−a + a
( xy '' )=( k0 0k )( xy−b
) (b )
Pada dilatasi faktor k akan menentukan ukuran dan letak
bangun bayangannya.
1) Jika k 1, maka bangun bayangan diperbesar dan searah
terhadap pusat dan bangun semula.
2) Jika 0 k 1 , maka bangun bayangan diperkecil dan searah
terhadap pusat dan bangun semula.
3) Jika-1 k 0 , maka bayangan diperkecil dan berlawanan
arah dengan pusat dan bangun semula.
4) Jika k -1 , maka bangun bayangan diperbesar dan
berlawanan arah terhadap pusat dan bangun semula.
BAB III KESIMPULAN
Adapun secara ringkas kesimpulan materi tentang
transformasi geometri sebagai berikut :
a. Translasi (pergeseran) adalah transformasi yang
memindahkan titik-titik dengan jarak dan arah tertentu.
b. Refleksi (pencerminan) adalah translasi yang
memindahkan setiap titik pada bidang dengan sifat
pencerminan.
c. Rotasi (perputaran) adalah transformasi dengan cara
memutar objek dengan titik pusat tertentu.
7
d. Dilatasi (perkalian) adalah transformasi yang mengubah
ukuran bangun, tetapi tidak mengubah ukuran
bentuknya.
e. Transformasi gusuran adalah suatu transformasi yang
menggeser suatu titik menurut arah sumbu X atau
sumbu Y, jadi ada 2 macam transformasi gusuran,
yaitu:
1. Transformasi gusuran arah sumbu X
2. Transformasi gusuran dengan arah sumbu Y
f. Regangan (stretching) merupakan suatu transformasi
yang memetakan himpunan titik pada bidang ke
himpunan titik lainnya dengan cara
memperbesar/memperkecil jarak titik-titik itu ke garis
tertentu (invariant).
Saran :
Makalah ini dapat digunakan sebagai bahan untuk belajar
geometri transformasi dimana dalam makalah ini membahas
geometri transformasi secara detail yang memuat translasi,
refleksi, rotasi, dan dilatasi.
DAFTAR PUSTAKA
Modul Transformasi Geometri MIPA Peminatan
www.matematika-sma.com
buku matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
8
Transformasi Geometri
Disusun oleh :
1. Bagus Warisman
(168620600169)
2. Eldy Maharinda
(168620600129)
3. Siti Dahlia
(168620600145)
4. Siti Jazilatur Rokhmah (168620600137)
5. Tristiyah Ningsih
(168620600153)
6. Uswatun Hasanah
(168620600150)
Pendidikan Guru Sekolah Dasar
Fakultas Ilmu Keguruan dan Ilmu
Pendidikan
Universitas Muhammadiyah Sidoarjo
1
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami ucapkan atas kehadirat Allah SWT,
karena dengan rahmat dan karunia-Nya kami
masih diberi kesempatan untuk menyelesaikan
makalah ini. Tidak lupa kami ucapkan kepada
Dosen Pembimbing dan teman-teman yang telah
memberikan dukungan dalam menyelesaikan
makalah ini.
kami menyadari bahwa dalam penulisan
makalah ini masih banyak kekurangan, oleh sebab
itu kami sangat mengharapkan kritik dan saran
yang membangun. Dan semoga dengan selesainya
makalah ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan
teman-teman. Amin…
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR................................................................... 2
BAB I PENDAHULUAN................................................................4
A. Latar Belakang................................................................4
B. Rumusan Masalah...........................................................4
C. Tujuan............................................................................... 4
BAB II PEMBAHASAN..................................................................5
A. Transformasi Geometri..................................................5
B. Penerapan Matriks dalam Transformasi Geometri....8
C. Kompisisi Transformasi.......................................................8
D. Transformasi Gusuran ( Shear)...................................11
E. Regangan ( Stretching)...............................................11
2
BAB III KESIMPULAN................................................................13
DAFTAR PUSTAKA.....................................................................14
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Matematika adalah ilmu yang mempelajari tentang
angka-angka yang diterapkan dalam kehidupan seharihari, ilmu matematika memiliki dasar-dasar yang harus
dipelajari sejak usia dini. Karena dengan ilmu matematika
seseorang bisa membedakan mana yang baik dan mana
yang buruk.
Mata pelajaran matematika merupakan pelajaran
yang tergolong penting, dengan mempelajari matematika
kita mampu mengetahui adanya geometri tranformasi
yang di dalamnya memuat translasi, refleksi, rotasi dan
dilatasi. Dimana translasi adalah suatu transformasi yang
memindahkn setiap titik pada bidang dengan jarak dan
arah tertentu. Refleksi adalah pencerminan, yaitu proses
mencerminkan setiap titik bangun pada bidang dengan
jarak dan arah tertentu. Rotasi adalah perputaran yang
ditentukan oleh titik pusat tertentu. Dilatasi adalah
transformasi yang mengubah ukuran bangun tetapi tidak
mengubah bentuknya.
Maka dari itu, kami menulis makalah tentang
transformasi geometri yang di dalamnya terdapat memuat
translasi, refleksi, rotasi dan dilatasi.
B. Rumusan Masalah
1. Mengapa kita harus mempelajari transformasi
geometri?
2. Apa definisi transformasi geometri?
3. Apa saja contoh dari transformasi geometri?
C. Tujuan
1. Mengetahui apa itu translasi, refleksi, rotasi, dan
dilatasi.
2. Dapat memahami apa yang dimaksud dari translasi,
refleksi, rotasi, dan dilatasi.
3
3. Dan dapat menyelesaikan soal-soal tentang translasi,
refleksi, rotasi, dan dilatasi.
BAB II PEMBAHASAN
A. Transformasi Geometri
Transformasi digunakan untuk untuk memindahkan suatu titik atau
bangun pada suatu bidang.Transformasi geometri adalah bagian dari geometri
yang membahas tentang perubahan (letak,bentuk , penyajian) yang didasarkan
dengan gambar dan matriks.
Transformasi pada bidang terdiri dari 4 macam :
1. Pergeseran (Translasi)
2. Pencerminan (Refleksi)
3. Perputaran (Rotasi)
4. Perkalian (Dilatasi)
1. pergeseran(Translasi)
Translasi atau pergeseran adalah transformasi yang
memindahkan titik-titik dengan jarak dan arah tertentu. Jarak
dan arah ditunjukkan oleh vektor translasi.Vektor translasi dpt
ditunjukkan oleh bil. berurutan yang ditulis dlm bentuk matriks
kolom
(ab )
(a )
. Suatu translasi T dengan vektor translasi b .
Mentransformasikan titik P ke P' secara pemetaan dapat
(a )
dituliskan : T = b : P(x,y) P' (x + a , y + b)
Jika P'(x' ,y') , secara aljabar dapat dituliskan dengan hubungan
:
x' = x + a
y' = y + b
Titik P' disebut bayangan titik P oleh translasi T =
(ab )
.
2. pencerminan (Refleksi)
Refleksi atau pencerminan adalah transformasi yang
memindahkan titik-titik dengan menggunakan sifat bayangan
oleh suatu cermin yaitu :
1) Garis yang menghubungkan setiap titik dengan
bayangannya tegak lurus dengan cermin (sumbu pencerminan)
4
2) Jarak antara setiap titik dan cermin sama dengan jarak
bayangan ke cermin
3) Bangun dan bayangannya adalah kongruen
Pencerminan dilambangkan dengan M a dengan a adalah cermin (sumbu
simetri) Beberapa pencerminan yang telah dipelajari antara lain :
1. Pencerminan terhadap sumbu X
(dilambangkan dengan M x)
Mx : P(x,y) → P ' (x ' , y ' ) = P ' (x, -y)
Persamaan matriksnya :
( xy '' )
(10 −10 ) ( xy )
=
2. Pencerminan terhadap sumbu Y
(dilambangkan dengan My)
M y: P(x,y) → P ' (x ' , y ' ) = P ' (-x, y)
Persamaan matriksnya :
( xy '' )
=
(−10 01)( xy )
3. Pencerminan terhadap titik asal O(0,0)
(dilambangkan dengan MO )
MO : P(x,y) → P ' (x ' , y ' ) = P ' (-x, -y)
Persamaan matriksnya :
( xy '' )=(−10
)( )
0 x
−1 y
4. Pencerminan terhadap garis y = x
(dilambangkan dengan M y=x)
My=x : P(x,y) → P ' (x ' , y ' ) = P ' (y, x)
Persamaan matriksnya :
( xy '' )=( 01 10)( xy )
5. Pencerminan terhadap garis y = -x
(dilambangkan dengan M y=-x)
My=-x : P(x,y) → P ' (x ' , y ' ) = P ' (-y, -x)
Persamaan matriksnya :
( xy '' )=(−10
)( )
−1 x
0 y
6. Pencerminan terhadap garis x = h
(dilambangkan dengan M x=h)
M x=h : P(x,y) → P ' (x ' , y ' ) = P ' (2h – x , y)
7. Pencerminan terhadap garis y = k
(dilambangkan dengan M y=k)
M y=k : P(x,y) → P ' (x ' , y ' ) = P ' ( x , 2k - y)
5
8. Pencerminan terhadap titik (a,b)
(dilambangkan dengan M (a,b))
M (a,b) : P(x,y) → P ' (x ' , y ' ) = P ' ( 2a-x, 2b - y)
3. Perputaran (Rotasi)
Transformasi yang memindahkan titik-titik dengan
memutar titik-titik tersebut sejauh θ terhadap suatu titik pusat
rotasi. Suatu rotasi dengan pusat P dan sudut rotasi θ
dinotasikan dengan R (P, θ ).
1. Rotasi terhadap titik pusat O(0,0)
(dilambangkan dengan R(O, θ )
Jika titik P(x,y) diputar sebesar θ belawanan arah jam.
Terhadap titik pusat O(0,0), maka diperoleh bayangan P ' (x ' , y
' ). R(O, θ ): P(x,y) →
P ' (x ' , y ' ) = P ' (x cosθ - y sinθ , x sinθ + y cos θ ).
Persamaan matriknya:
( xy '' )=( cos❑
sin❑
)
−sin ❑
cos ❑
=
( xy )
Untuk θ = 900 , -900, 1800, 2700, -2700 dengan memasukkan nilai θ tersebut
didapat table sebagai berikut :
Rotasi
Bayangan
matriks
0
R(O, 90 )
(-y, x)
0 −1
0
R(O, -90 )
(y, -x)
R(O, 1800)
(-x, -y)
R(O, 2700)
(y, -x)
R(O, -2700)
(-y, x)
(1 0 )
(−10 10)
(−10 −10 )
(−10 10)
(01 −10 )
2. Rotasi terhadap titik pusat P(a, b)
(dilambangkan dengan R(O, θ )
Jika suatu titik P (x,y) diputar sejauh θ berlawanan dengan
arah jam terhadap titik pusat A(a,b) maka bayangannya adalah
P ' (x ' , y ' ) dengan
x ' - a = (x –a) cosθ - (y-b) sinθ
y ' - b = (x – a) sin θ + (y- b) cos θ
6
Persamaan matriknya:
( xy '' )=( cos❑
sin❑
)( ) ( )
−sin ❑ x−a
+ a
cos ❑ y−b b
4. Perkalian atau Dilatasi
Transformasi yang mengubah jarak titik-titik dengan factor
pengali tertentu terhadap suatu titik tertentu. Perkalian atau
dilatasi ini ditentukan oleh factor skala (k) dan pusat dilatasi.
1. Dilatasi terhadap titik pusat O(0,0)
Pemetaannya: [O, k] : P(x,y) → P ' (kx, ky)
persamaan matriksnya :
( xy '' )=( k0 0k )( xy)
2. Dilatasi terhadap titik pusat A(a,b)
Titik P(x,y) dilatasi terhadap titik pusat A (a,b) dengan factor
skala k, didapat bayangan P ' ( x' , y' ) dengan: x ' - a = k(x - a)
dan y ' - b = k (y - b)
Persamaan matriksnya :
−a + a
( xy '' )=( k0 0k )( xy−b
) (b )
Pada dilatasi faktor k akan menentukan ukuran dan letak
bangun bayangannya.
1) Jika k 1, maka bangun bayangan diperbesar dan searah
terhadap pusat dan bangun semula.
2) Jika 0 k 1 , maka bangun bayangan diperkecil dan searah
terhadap pusat dan bangun semula.
3) Jika-1 k 0 , maka bayangan diperkecil dan berlawanan
arah dengan pusat dan bangun semula.
4) Jika k -1 , maka bangun bayangan diperbesar dan
berlawanan arah terhadap pusat dan bangun semula.
BAB III KESIMPULAN
Adapun secara ringkas kesimpulan materi tentang
transformasi geometri sebagai berikut :
a. Translasi (pergeseran) adalah transformasi yang
memindahkan titik-titik dengan jarak dan arah tertentu.
b. Refleksi (pencerminan) adalah translasi yang
memindahkan setiap titik pada bidang dengan sifat
pencerminan.
c. Rotasi (perputaran) adalah transformasi dengan cara
memutar objek dengan titik pusat tertentu.
7
d. Dilatasi (perkalian) adalah transformasi yang mengubah
ukuran bangun, tetapi tidak mengubah ukuran
bentuknya.
e. Transformasi gusuran adalah suatu transformasi yang
menggeser suatu titik menurut arah sumbu X atau
sumbu Y, jadi ada 2 macam transformasi gusuran,
yaitu:
1. Transformasi gusuran arah sumbu X
2. Transformasi gusuran dengan arah sumbu Y
f. Regangan (stretching) merupakan suatu transformasi
yang memetakan himpunan titik pada bidang ke
himpunan titik lainnya dengan cara
memperbesar/memperkecil jarak titik-titik itu ke garis
tertentu (invariant).
Saran :
Makalah ini dapat digunakan sebagai bahan untuk belajar
geometri transformasi dimana dalam makalah ini membahas
geometri transformasi secara detail yang memuat translasi,
refleksi, rotasi, dan dilatasi.
DAFTAR PUSTAKA
Modul Transformasi Geometri MIPA Peminatan
www.matematika-sma.com
buku matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
8