geometri datar dra kusni m si

BUKU AJAR

GEOM ET RI

Penulis

Dra. Kusni, M.Si

J U RU SAN M AT EM AT I K A
FAK U LT AS M I PA
U N I V ERSI T AS N EGERI SEM ARAN G
2008

KATA PENGANTAR
Pada buku ajar ini dimulai dengan kongruensi,dilanjutkan dengan sifatsifat
segiempat,
luas,
teorema
Pythagoras,Perbandingan
seharga
garis,sebangun,teorema pda garis istimewa pada segitiga,dan lingkaran.

Penulisan buku ajar ini dimulai dari hal yang paling dasar. Geometri sendiri
adalah merupakan materi dasar yang digunakan pada materi yang lainnya.
Contoh : kalkulus..
Kompetensi yang akan dicapai setelah mempelajari buku ajar ini peserta
pelatihan diharapkan :
1. Memahami konsep Geometri
2. Mampu menggunakan dan menerapkan sifat-sifat Geometri
3. Mampu mandiri dalam menyelesaikan tugas-tugas Geometri
4. Mampu menyelesaikan masalah yang terkait dengan Geometri
Dengan segala keterbatasannya, penulis tetap berharap buku ajar ini
dapat bermanfaat. Lebih dari itu, buku ajar ini diharapkan dapat digunakan
sebagai bahan diskusi.
Semoga Allah melipat gandakan amal baik kita semua.

2

DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN SAMPUL …... …………………………………………………………..
HALAMAN FRANCIS ……………………………………………………………….

KATA PENGANTAR ………………………………………………………………….
DAFTAR ISI ………………………………………………………………………….
PETA KOMPETENSI ……………………………………………………………….

1
2
3
4
6

BAB I PENDAHULUAN ……………………………………………………………. 7
A. Deskripsi
B. Prasyarat
C. Petunjuk Belajar
D. Kompetensi dan Indikator
BAB II SAMA DAN SEBANGUN PADA SEGITIGA ……………………………… 9
A. Kompetensi dan Indikator
B. Uraian Materi
C. Latihan
D. Lembar Kegiatan Mahsiswa

E. Rangkuman
F. Tes Formatif
BAB III SEGI EMPAT ………………………………………………………………. 15
A. Kompetensi dan Indikator
B. Uraian Materi
C. Latihan
D. Lembar kegiatan Mahsiswa
E. Rangkuman
F. Tes Formatif
BAB IV PERBANDINGAN SEHARGA GARIS DAN SEBANGUN …………….. 29
A. Kompetensi dan Indikator
B. Uraian Materi
C. Latihan
D. Lembar Kegiatan Mahsiswa
E. Rangkuman
F. Tes Formatif
BAB V BEBERAPA TEOREMA PADA SEGITIGA ……………………………… 38
A. Kompetensi dan Indikator
B. Uraian Materi
C. Latihan

D. Lembar Kegiatan Mahsiswa
E. Rangkuman

3

F. Tes Formatif
BAB VI BEBERAPA TEOREMA PADA LINGKARAN …………………………… 41
A. Kompetensi dan Indikator
B. Uraian Materi
C. Latihan
D. Lembar Kegiatan Mahsiswa
E. Rangkuman
F. Tes Formatif
KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ………………………………………………. 54
GLOSARIUM …………………………………………………………………………56
DAFTAR PUSTAKA …………………………………………………………………. 57

4

PETA KOMPETENSI BUKU AJAR

SAMA DAN SEBANGUN
KONGRUENSI

TEOREMA
MENELAOS
CEVA

SEGI EMPAT
* SIFAT
* LUAS

PERBANDINGAN SEHARGA
GARIS
KESEBANGUNAN

PYTHAGORAS

TEOREMA PROYEKSI

STEWART
TEO. GARIS ISTIMEWA
PADA SEGITIGA

TEOREMA PADA
LINGKARAN

5

BAB I
PENDAHULUAN
Deskripsi
Geometri adalah struktur matematika yang membicarakan unsure dan
relasi yang ada diantara unsure tersebut. Titik, garis, bidang, dan ruang
merupakan benda abtra yang menjadi unsure dasar geometri. Berdasarkan
unsur-unsur inilah,didefinisikan pengertian-pengertian baru atau berdasar pada
pengertian bru sebelumnya.
Dalam geometri didapat juga sifat-sifat pokok, yaitu sifat-sifat pertama
yang tidak berdasarkan sifat-sifat yang mendahuluinya yaitu aksioma dan
postulat.Berdasarkan sifat pokok tersebut dapat diturunkan sifat-sifat yang

disebut teorema. Teorema tersebut dapat juga dibentuk berdasarkan teorema
yang ada sebelumnya.
Pada buku ajar ini dimulai dengan kongruensi,dilanjutkan dengan sifatsifat
segiempat,
luas,
teorema
Pythagoras,Perbandingan
seharga
garis,sebangun,teorema pda garis istimewa pada segitiga,dan lingkaran.
Penulisan buku ajar ini dimulai dari hal yang paling dasar. Geometri sendiri
adalah merupakan materi dasar yang digunakan pada materi yang lainnya.
Contoh : kalkulus.
Kompetensi yang akan dicapai setelah mempelajari buku ajar ini peserta
pelatihan diharapkan :
1. Memahami konsep geometri
2. Mampu menggunakan dan menerapkan sifat-sifat geometri
3. Mampu mandiri dalam menyelesaikn tugas-tugas geometri
4. Mampu menyelesaikan masalah yang terkait dengan geometri.

Prasyarat

Pada buku ajar Geometri tidak diperlukan prasyarat, karena dapat
dikatakan bahwa geometri adalah materi dasar, sehingga dibutuhkan pada
materi lain.

Petunjuk Belajar
Mempelajari geometri berarti harus menggambar dan menyelesaikan soal.
Pada saat menggambar yang harus diperhatikan adalah ;
1. Jika gambar itu tidak menolong penyelesaian, maka umumnya tidak perlu
menggambar
2. Bila dijumpai banyak pertanyaan pada suatu soal, maka seringkali gambar
itu penuh dengan banyak garis, sehingga tidak lagi mempermudah

6

penyelesaan soal. Sebaiknya, apabila gambar itu sudah penuh, dibuat
gambar lain, kalau perlu untuk setiap pertanyaan satu gambar saja.
Pada saat menyelesaikan persoalan :
1. Soal geometri perlu diselesaikan secara pasti. Oleh karena itu perlu
mengenal teorema-teorema yang dapat digunakan sebagai pijakan.
Jangan ingin menyelesaikan geometri hanya dengan “mengarang”.

2. Geometri hanya dapat dipelajari secara intensif, jika bangun yang kita
tinjau itu kita selidiki sendiri.

Kompetensi dan Indikator
Kompetensi :
1. Memahami konsep geometri
2. Mampu menggunakan dan menerapkan sifat-sifat geometri
3 .Mampu mandiri dalam menyelesaikan tugas-tugas geometri
4 .Mampu menyelesaikan masalah yang terkait dengan geometri.
Indikator:
1. Memahami tentang kongruensi dan mengembangkannya
2. Memahami tentang segi empat, sifatnya,luas, dan teorema Pythagoras.
3. Memahami perbandingan seharga garis-garis dan kesebangunan
4. Memahami beberapa teorema pada garis-garis istimewa pada segitiga
5. Memahami tentang perbandingan seharga garis dalam lingkran,lingkaran
luar dan dalam pada segitiga, segiempat talibusur dan segiempat
garissinggung

7

BAB II
SAMA DAN SEBANGUN (KONGRUENSI)

A. KOMPETENSI DAN INDIKATOR
KOMPETENSI :
1. Memahami konsep dan prinsip tentang kongruensi
2. Trampil menyelesaikan persoalan yang berkaitan dengan kongruensi
INDIKATOR :
1. Memahami tentang dua segitiga yang kongruen
2. Dapat menurunkan teorema kongruensi pada teorema dasar yang lainnya.
B. URAIAN MATERI
SAMA DAN SEBANGUN (KONGRUENSI) PADA SEGITIGA
DEFINISI
Dua segitiga dikatakan sama dan sebangun (  ) atau kongruen bila segitiga
yang satu dapat menutupi segitiga yang lain dengan tepat atau sebaliknya.
TEOREMA
Dua segitiga kongruen bila dua sisi dan sudut yang diapitnya sama (s.
sd. s)
C

Diketahui:
 ABC dan  PQR
AC = PR
 C=  R
CB = PQ
Buktikan  ABC   PQR
A
Bukti:
Letakkan A pada P dan C pada R.
Karena  C =  R maka kaki CB menutupi RQ
Dan karena CB = RQ maka B berada di Q.
Jadi  ABC menutupi  PQR dengan tepat
atau  ABC   PQR
Akibatnya semua unsur yang seletak sama.
P

x

B
R
x

Q

TEOREMA
 Dua segitiga kongruen bila satu sisi dan 2 sudut pada sisi iyu sama (
sd. s. sd )

8




Dua segitiga kongruen bila satu sisi sama, 1 sudut pada sisi itu sama
dan sudut di depan sisi itu sama juga ( s. sd. sd )
Dua segitiga kongruen bila ketiga sisi sama ( s.s.s)



Dua segitiga siku-siku kongruen bila hypotenusa dan 1 pasang sisi
siku-siku sama.
C
TEOREMA
Pada segitiga samakaki, kedua sudut alasnya sama besar.
oo
12
Diketahui :

 ABC samakaki. CA = CB
Buktikan :  A =  B
Bukti:
Tarik garis bagi CD dan tinjau  ACD dan  BCD
AC = BC (diketahui)
 C1 =  C2 (CD garis bagi)
CD = CD (berimpit)
Jadi  ACD   BCD (s.sd.s) ak:  A =  B
Perhatikan semua unsur yang seletak akan sama
yaitu AD = BD  D1 =  D2  AD garis berat
1 2
A
D
Juga didapat sifat bahwa pada segitiga samakaki
garis bagi itu juga menjadi garis berat (karena AD = BD )
Karena  D1 =  D2 dan  D1 +  D2 = 1800 maka  D1=  D2 = 900.
Sehingga garis bagi itu juga menjadi garis tinggi (karena  D1=  D2 = 900 )

KESIMPULAN:
Pada  samakaki, garis tinggi, garis bagi dan garis berat yang ditarik dari
puncak, dan sumbu alas berimpit.
TEOREMA
Jika dalam suatu segitiga, ketiga garis istimewa dari puncak dan sumbu
alas berimpit maka segitiga itu sama kaki (buktikan sendiri).
C. LATIHAN
1. Buktikan teorem berikut.
Dalam segitiga siku-siku, garis berat ke sisi miring sama dengan setengan
sisi miring (Buat dari titik B garis // AC dan memotong perpanjangan AD di
E, jika diketahui  ABC siku-siku (  A = 900) dan AD garis berat ke sisi
miring).
2. Buktikan bahwa T.K. titik titik yang berjarak sama ke kaki-kaki sudut,
merupakan garis bagi suatu sudut.

9

B

3. Diketahui  ABC. AD garis berat. E pada perpanjangan AD sehingga
BE  AD. F pada AD sehingga CF  AD. Buktikan CE = BF

C

DE
F

B
A
4. Diketahui  ABC samakaki. M sembarang pada alas AB garis g dan h
adalah sumbu AM dan BM. Garis g memotong AC di K, garis k
memotong BC di L. Buktikan AK=CL.
5. Diketahui  ABC,  A = 600, AD garis bagi, E dan F pada garis bagiini,
sehingga CE dan BF  garis bagi ini.
1
Buktikan : CE + BF = (AB + AC).
2
6. Diketahui  ABC samakaki. AC = BC, D pada perpanjangan AB, E pada
CD sehingga BE = DE, F pada CD sehingga AF//BE. Buktikan  ACF  
CBE!
C
F

E

A

B

D

D. LEMBAR KEGIATAN
1.Alat dan Bahan
Peserta pelatihan membawa dengan lengkap alat-alat yang dibutuhkan
yaitu : pinsil, bolpoint, jangka, penghapus, penggaris, penggaris siku-siku,
kertas garis ,kertas gambar, buku sumber, diktat Geometri

10

2.Keselamatan dan Kesehatan Kerja
Peserta pelatihan membawa sendiri alat dan bahan dengan lengkap, tidak
boleh meminjam alat dan bahan dengan peserta pelatihan yang lain,
sehingga tidak mengganggu konsentrasi dan kenyamanan peserta
pelatihan yang lain.
3.Prasyarat
Peserta pelatihan telah menguasai tentang garis dan sudut
4.Langkah Kegiatan
Kegiatan Awal
 Menggali pengetahuan prasyarat peserta pelatihan yang berhubungan
dengan garis dan sudut.
 Berdiskusi dengan peserta pelatihan tentang penjelasan garis,melukis
garis,macam-macam sudut, dan klasifikasi segitiga ditinjau dari sisi dan
sudutnya(dengan menggunakan alat peraga).
Kegiatan Inti
 Menjelaskan definisi kongruensi dan teorema kongruensi dari dua
segitiga,dan memberikan contohnya.
 Menjelaskan teorema yang lain dengan menggunakan kongruensi
 Diskusi kelas.
Kegiatan Akhir
 Kesimpulan
 Penilaian
 Penguatan dalam bentuk pemberian tugas secara individu.
5.Hasil
Peserta pelatihan memahami tentang kongruensi dua segitiga dan
teorema dasar tentang segitiga samakaki.
E. Rangkuman
1. Dua buah segitiga disebut kongruen jika salah satu segitiga
dapatditranformasikan dengan tranlasi,releksi, atau rotasi atau ketiganya
sehingga mereka dapat disusun tepat sama.
2. Untuk melihat dua segitiga kongruen cukup diselidiki salah satu dari syarat
berikut :
a. Kedua segitiga mempunyai tiga pasang sisi yang sama panjang
(s,s,s).
b. Kedua segitiga mempunyai dua pasang sisi sama panjang dan
sudut yang diapitnya sama besar (s,sd,s)
c. Kedua segitiga mempunyai dua sudut sama besar dan sisi yang
diapitnya sama panjang (sd,s,sd)
d. Kedua segitiga mempunyai satu sisi sama, sudut pada sisi itu dan
sudut dihadapan sisi itu sama juga.
3. Pada segitiga sama kaki mempunya sudut alas sama besar.
4. Pada segitiga samakaki ketiga garis istimewa dari puncak dan sumbu alas

11

berimpit.

F. Tes Formatif 1
I. Pilih satu jawaban yang paling tepat
1. Pada  ABC yang sama kaki dan alasnya AB, ditarik garis bagi AD dan BE.
Maka:
a. AD = BE
b. CD = CE
c.  CED =  CDE
d. Semua jawaban salah.
2. Pada  ABC sama kaki dan alasnya AB, ditarik garis bagi AD dan BE
yangberpotongan di T. Maka :
a. TD  TE
b. AT = TB
c. AT = TC
d. BT = CT
3. Pada  ABC samakaki. Pernyataan yang benar adalah :
a. Sudut alasnya sama besar
b. Hanya garis bagi dan garis berat dari puncak yang berimpit
c. Hanya garis tinggi dan garis bagi dari puncak yang berimpit
d. Ketiga garis istimewa dari puncak yang berimpit.
4. Pada  ABC siku-siku (  A = 900) ,jika panjang BC = 8 cm, maka panjang
garis berat dari A adalah :
a. 8 cm
b. 6 cm
c. 4 cm
d. 3 cm
5. Diketahui trapezium ABCD dengan AB // CD dan AD = BC. Pernyataan
yang salah adalah :
a. AC = BD
b.  A =  B
c.  ABC   ABD
d.  ABP   CDP ( P perpotongan AC dengan BD)

6. Segitiga ABC dan PQR adalah segitiga siku-siku,  A =  P = 900. Jika
AB= PQ dan BC = PR, maka  ABC   PQR sebab komponen yang sama
adalah :

12

a. (s,s,sd)
b. (sd,s,s)
c. (s,sd,s)
d. (s,s,s)
7.Segitiga ABC siku-siku (  A= 900), Jika AC = 8 cm dan  C = 300, maka
AB =
a. 3V3 cm
b. 5V3 cm
c. 6V3 cm
d. 7V3 cm
8.Segitiga ABC siku-siku (  A= 900), Jika AC = 8 cm dan  C = 300, maka
BC =
a. 8/3V3 cm
b. 5V3 cm
c. 6V3 cm
d. 7V3 cm
II. Kerjakan semua soal dibawah ini :
1. Segitiga ABC siku-siku (  A= 900), Jika  C = 300, buktikan bahwa BC =
2AB.
2. Diketahui  ABC samakaki, AC = BC. Ttitik P sembarang pada alas AB. Q
dan R pada BC dan AC sehingga PQ  BC dan PR  AC. Buktikan : PQ +
PR = AS(garis tinggi ke salah satu kaki segitiga).
3. Melalui C dan B pada persegi ABCD dibuat garis yang membentuk sudut
150 dengan sisi BC sehingga berpotongan dititik P. Buktikan bahwa  APD
adalah segitiga samasisi.

13

BAB III
SEGIEMPAT
A. KOMPETENSI DAN INDIKATOR
KOMPETENSI :
1. Memahami konsep dan prinsip tentang segi empat,luas, dan teorema
Pythagoras
2. Trampil menyelesaikan persoalan yang berkaitan dengan segi empat,luas,
dan teorema Pythagoras
INDIKATOR :
1. Memahami tentang jajar genjang, persegi panjang, persegi, belah ketupat,
layang-layang, dan trapezium.
2. Memahami tentang luas jajar genjang, persegi panjang, persegi, belah
ketupat, layang-layang, dan trapezium.
3. Memahami tentang teorema Pythagoras
B. URAIAN MATERI
Bila pada bidang datar terdapat 4 titik sembarang yang tidak segaris dan
keempatnya dihubungkan dengan garis lurus, maka terjadilah segi empat.
Ada beberapa segi empat yang akan dibicarakan, yaitu segi empat
sembarang, jajar genjang, persegi panjang belah ketupat, persegi, trapesium,
dan segi empat layang-layang.
Beberapa batasan:
1. Segi empat sembarang adalah segi empat yang keempat sisinya tidak
sama panjang dan keempat sudutnya tidak sama besar.
2. Jajaran genjang (paralellogram), adalah segi empat yang sepasangsepasang sisinya yang berhadapan sejajar.
3. Persegi panjang (rectangle), adalah jajar genjang yang salah satu
sudutnya 900.
4. Belah ketupat (rhombus), adalah jajar genjang yang dua sisinya yang
berurutan sama panjang.
5. Persegi (square), adalah belah ketupat yang salah satu sudutnya 90 0.
6. Trapesium (trapezoid), adalah segi empat yang memiliki tepat sepasang
sisi berhadapan yang sejajar.
7. Segi empat layang-layang (kite), adalah segi empat yang diagonalnya
saling tegak lurus dan salah satu diagonalnya terbagi dua sama panjang
oleh yang lain.
TEOREMA

14

Dalam jajar genjang, sudut-sudut yang berhadapan sama besar dan
sebaliknya bila dalam segi empat yang berhadapan sama, segi empat itu
adalah jajar genjang.
Diketahui : ABCD jajar genjang.
Buktikan :  A =  C
Bukti : Tarik diagonal BD
D
2 1

C

 ABD   CDB, sebab:
 B1   D1 

 D2   B2 
BD  BD 

 A   C

2
1
B

A

Sebaliknya:  A =  C
 B=  D
  A +  B =  C +  D = 1800 atau AD // BC dan AB // DC
atau ABCD jajaran genjang.
TEOREMA
Dalam jajaran genjang, sisi yang berhadapan sama panjang dan
sebaliknya bila sisi-sisi yang berhadapan dalam segi empat sama
panjang, maka segi empat itu adalah jajaran genjang.
Diketahui : ABCD jajaran genjang.
Buktikan : AB = DC dan AD = BC.
Bukti : tarik diagonal BD, maka :
D
2 1

C

1
A

2
B

 ABD   CDB, sebab:
BD  BD 

 B1   D1 
 D 2   B 2 
 AB = DC dan AD = BC

Sebaliknya tetap berlaku, yaitu:
 ABD   CDB, sebab:

15

AB  CD 

AD  BC 
BD  BD 
  B1 =  D1  AB // DC
 B2 =  D2  AD // BC

 ABCD jajaran genjang.

TEOREMA
Kedua diagonal dalam jajaran genjang potong memotong di tengahtengah dan sebaliknya bila dalam segi empat, kedua diagonalnya
potong memotong di tengah-tengah maka segi empat itu adlah jajaran
genjang.
Diketahui : ABCD jajaran genjang. AC dan Bd berpotongan di S.
Buktikan : AS = CS dan BS = DS.
Buktikan :  ABS   CDS, sebab:
D
2 1

C

1
2
S
3
1
4 2

2
1
A

1

AB  DC 

 A1   C1 
 B1   D1 
 AS = SC dan BS = SD

2
B

Sebaliknya:  ABS dan  CDS tetap sama dan sebangun, sebab:
AS  SC 

BS  DS 
S 4  S 3 

A1  C1  AB // DC .....................(1)
ASD   CSB , sebab:
SD  SB 

SA  SC 
S 1  S 2 

D 2  B 2 atau AD // BC ........................(2)
Dari (1) dan (2)  ABCD jajaran genjang
TEOREMA

16

Bila dalam segi empat sepasang sisi yang berhadapan sama dan
sejajar, maka segi empat itu adlah jajaran genjang.
Diketahui : AB // DC
Buktikan : ABCD jajaran genjang.
Bukti : Tarik diagonal BD
C  ABD   CDB, sebab:
AB  DC 

 B1  D1 
BD  BD 

D
2 1

1
A

B 2  D 2  AD // BC
Karena sudah diketahui AB //
DC, maka ABCD jajaran
genjang.

2
B

Persegi panajng, adalah jajaran genajng yang salah satu sudutnya 90 0.
TEOREMA
Dalam persegi panjang kedua diagonalnya sama panjang dan
sebaliknya bila dalam jajaran genjang kedua diagonalnya sama panjang,
maka jajaran genjang itu adalah persegi panjang.
Diketahui : ABCD persegi panjang.
Buktikan : AC = BD
Bukti :  ABC   BAD, sebab:
D

C

AB = AB

 A =  B = 900

2

AD = BC

S

 AC = BD

2
1
A

1

B

Sebaliknya : AC = BD  maka AS = SB = SD.
 ABS dan  ADS samakaki.
 A1 =  B1,  A2 =  D2  2 (  A1 +  A2 ) = 1800.
 A1,2 = 900  ABCD persegi panjang.
Belah ketupat, adalah jajaran genjang yang 2 sisi berdekatan sama panjang.

17

TEOREMA
Dalam belah ketupat, diagonal-diagonalnya membagi sudut-sudutnya
menjadi 2 bagian yang sama dan kedua diagonalnya itu saling tegak
lurus.
Diketahui : ABCD belah ketupat.
Buktikan : a.  A1 =  A2
b.  B1 =  B2
c. AC  BD
Bukti
:  ABS   ADS, sebab :
AB = AD
AS = AS
D

C

BS = DS

  A1 =  A2 dan  S1 =  S2

Karena  S1,2 = 1800, maka  S1 =  S2
= 900

S

 AC  BD

1
2
1
2

 ABS   CBS, sebab :

1

A

AB = CB

2

SB = SB

B

AS = SC

  B1 =  B2

TEOREMA
Bila dalam jajaran genjang diagonalnya membagi sudut menjadi 2
bagian yang sama, maka jajaran genjang itu adalah belah ketupat.
Diketahui : ABCD jajaran genjang dan  A1 =  A2
Buktikan : ABCD belah ketupat.
Bukti :  ABC   ADC, sebab :
D

C
1
2

 A1 =  A2
AC = AC

 C1 =  C2

1
2
A

B
18

 AB  AD  ABCD belah ketupat.

TEOREMA
Bila dalam jajaran genjang, kedua diagonalnya saling tegak lurus, maka
jajaran genjang itu adalah belah ketupat.
Diketahui : ABCD jajaran genjang dan AC  BD.
Buktikan : ABCD belah ketupat.
Bukti
:  ABS   CBS, sebab:
D

C

AS = CS

 S1 =  S2 = 900

S
1

A

2

BS = BS

 AB = CB  ABCD belah ketupat
B

Persegi (bujur sangkar), adalah belah ketupat yang salah satu sudutnya 90 0.
Jadi, persegi adalah segi empat beraturan.

TEOREMA
Garis yang menghubungkan titik-titik tengah dua sisi segitiga akan
sejajar dengan sisi yang ketiga dan panjangnya setengah sisi yang
ketiga itu.
Diketahui :  ABC. Titik D dan titik E tengah-tengah AC dan BC.
1
Buktikan : DE // AB dan DE = AB.
2
Bukti : Sambung DE dengan EF = ED. Hubungkan BD dan CF dan BF.
19

DBFC jajaran genjang, sebab:
DE = EF; CE = EB.
Jadi BF // AC atau BF # AD atau ABFD jajaran genjang sehingga AB //
DE.
1
AB = DF  AB = 2 DE. Jadi, DE // AB dan DE = AB.
2
DE disebut paralel tengah segitiga ABC.
B

D

F

E

A

B

TEOREMA
Garis berat ke sisi miring suatu segitiga siku-siku setengah sisi miring
itu.
Diketahui :  ABC siku-siku.
 A = 900, AM garis berat.
1
BC.
Buktikan : AM =
2
Bukti
: Sambung AM dengan MN = MA, maka
ABNC jajaran genjang, tetapi  A = 900
 ABNC persegi panjang.
1
AN = BC atau AM =
BC.
2

C

N
M
1
2

A

B

Trapesium, adalah segi empat yang sepasang sisinya yang berhadapan
sejajar. Ada tiga macam trapesium, yaitu trapesium sembarang, trapesium
siku-siku, dan trapesium sama kaki.
TEOREMA
Dalam trapesium samakaki, kedua diagonal sama panjang dan sudutsudut alas sama besar.
Diketahui : ABCD trapesium samakaki.
Buktikan :  A =  B dan AC = BD.
Bukti : Tarik CE // DA, maka AECD jajaran
Genjang, AD = CE, AD = BC

D

C

20

Jadi CE = BC atau  BCE samakaki
 E =  B;  E =  A (sehadap)
  A =  B.
 ABC   BAD, sebab
AB = AB ; BC = AD;  A =  B.
 AC = BD.
TEOREMA
Garis yang menghubungkan pertengahan-pertengahan kaki suatu
trapesium sejajar deagan sisi-sisi sejajarnya dan panjangnya setengah
jumlah sisi yang sejajar.
Diketahui : Trapesium ABCD. AE = ED ; BF = FC.
Buktikan : a. EF // AB // DC.
1
(AB + DC).
b. EF =
2
Bukti
: sambung DF dan AB hingga berpotongan di G.
 BGF   CDF, sebab:
D
C
BF = CF;  F1 =  F2;  D1 =  G1
1
 DC = BG dan DF = FG
Atau EF paralel tengah  AGD sehingga E
1
EF // AG dan EF = AG
2
A
1
(AB + DC).
Atau EF // AB // DC dan EF =
2

1

F
2
1

B

LUAS
D

C
TEOREMA
Luas persegi panjang
panjang dikali lebar

p

A

sama

dengan

B

l
D

C
TEOREMA
Luas jajaran genjang sama dengan alas
dikali tingginya.

E

A
C

B

F
D
TEOREMA

t
21

G

Luas segitiga sama dengan setengah dari
alas dikali tingginya.

D

G

C

t

TEOREMA
Luas trapesium sama dengan jumlah sisisisi sejajar dikali tingginya dibagi dua.

t

A

B

F
D

A

TEOREMA
Luas
segiempat
yang
diagonaldiagonalnya saling tegak lurus, sama
dengan setengah perkalian diagonaldiagonalnya.

C

E

B

c3

c2

c1

c

Melalui C ditarik garis // AB. Tentukan c1, c2,
dan c3 pada garis tersebut.
Maka luas  ABC1 = luas  ABC2 = luas
 ABC3 karena mempunyai garis tinggi yang
sam dan satu sisi persekutuan.

D

TEOREMA PYTAGHORAS

H

C
E
M

K
I

A

B

22

IV

III

IV
I

V

I

III
II
II

V

Dengan menggunkan gambar diatas buktikan teorema pytaghoras.
C. LATIHAN
1. Gambar dibawah adalah persegi panjang ABCD dan DEFG diketahui AB
= 10 cm, AD = 24 cm, EF = 12 cm, dan ED = 18 cm. Berapakah selisih
luas bangun yang diarsir.
D

A

E
C
B

G
23

2. Dalam  ABC, AB diperpanjang dengan BF = c BC dengan CD = a dan
CA dengan AE = b. Buktikan luas  DEF = 7 x luas  ABC.
3. Lukis sebuah segitiga yang sama dengan sebuah segiempat ABCD yang
diketahui
C
D

A

B

4. Dalam jajaran genjang ABCD ditentukan sembarang titik P dan titik ini
dihubungkan dengan titik sudut.
Buktikan
: Luas  PAB – luas  PCB = luas  PAD – luas  PCD.

5. AB adalah alas  ABC
Pada sisi AC dan BC dilukiskan kesebelah luar sembarang jajar genjang
ACDE dan BCFG. ED dan GF setelah diperpanjang berpotongan di P.
Ditarik PC seterusnya di sebelah bawah AB ditarik garis AH # PC dan
disudahkan dengan jajar genjang BAHK.
Buktikan : Luas BAHK = luas ACDE + luas BCFG
6. Kubus ABCD. EFGH. CB diperpanjang dengan BP = CB, buktikan  PFD
adalah  siku-siku.
D. LEMBAR KEGIATAN
1.Alat dan Bahan
Peserta pelatihan membawa dengan lengkap alat-alat yang dibutuhkan
yaitu : pinsil, bolpoint, jangka, penghapus, penggaris, penggaris siku-siku,
kertas garis ,kertas gambar, buku sumber, diktat Geometri
2.Keselamatan dan Kesehatan Kerja
Peserta pelatihan membawa sendiri alat dan bahan dengan lengkap, tidak
boleh meminjam alat dan bahan dengan peserta pelatihan yang lain,
sehingga tidak mengganggu konsentrasi dan kenyamanan peserta
pelatihan yang lain.

24

3.Prasyarat
Peserta pelatihan telah menguasai tentang kongruensi
4.Langkah Kegiatan
Kegiatan Awal
 Menggali pengetahuan prasyarat peserta pelatihan yang berhubungan
dengan kongruensi.
 Berdiskusi dengan peserta pelatihan tentang penjelasan kongruensi
Kegiatan Inti
 Menjelaskan
definisi
jajar genjang, persegi panjang, persegi,
belahketupat, layang-layang, trapezium, dan luas jajar genjang, persegi
panjang, persegi, belahketupat, layang-layang, dan trapezium ,serta
memberikan contoh dan bukan contoh.
 Menjelaskan teorema Pythagoras, triple Pythagoras, dan aplikasinya.
 Diskusi kelas.
Kegiatan Akhir
 Kesimpulan
 Penilaian
 Penguatan dalam bentuk pemberian tugas secara individu.
5.Hasil
 Peserta pelatihan memahami tentang jajar genjang, persegi panjang,
persegi, belahketupat, layang-layang, trapezium. Luas jajar genjang,
persegi panjang, persegi, belahketupat, layang-layang, trapezium,serta
dapat memberikan contoh dan bukan contoh.
 Dapat menjelaskan teorema Pythagoras, triple Pythagoras, dan
aplikasinya
E. Rangkuman
1. Segi empat sembarang adalah segi empat yang keempat sisinya tidak
sama panjang dan keempat sudutnya tidak sama besar.
2. Jajaran genjang (paralellogram), adalah segi empat yang sepasangsepasang sisinya yang berhadapan sejajar.
3. Persegi panjang (rectangle), adalah jajar genjang yang salah satu
sudutnya 900.
4. Belah ketupat (rhombus), adalah jajar genjang yang dua sisinya yang
berurutan sama panjang.
5. Persegi (square), adalah belah ketupat yang salah satu sudutnya 90 0.
6. Trapesium (trapezoid), adalah segi empat yang memiliki tepat sepasang
sisi berhadapan yang sejajar.
7. Segi empat layang-layang (kite), adalah segi empat yang diagonalnya
saling tegak lurus dan salah satu diagonalnya terbagi dua sama panjang
oleh yang lain.
F. Tes Formatif

25

I. Pilih satu jawaban yang paling tepat
1. Bangun datar dibawah ini adalah segiempat yang mempunyai dua pasang
sisi yang sejajar, kecuali
a. jajargenjang
b. persegipanjang
c. belahketupat
d. layang-layang
2. Dalam suatu belah ketupat ABCD garis tegaklurus dari B pada sisi AD
membagi dua sama panjang. Maka besar  A :
a. 1200
b. 900
c. 600
d. 450
3. Trapesium ABCD, dengan AB = 10 cm, CD = 7 cm, sedangkan AD = BC=
3 cm. Maka besar  A :
a. 1200
b. 900
c. 600
d. 450
4.Pertengahan-pertengahan sisi-sisi trapezium sama kaki merupakan titiktitik sudut suatu :
a. jajargenjang
b. persegi
c. persegipanjang
d. belahketupat.
5.Diagonal laying-layang ABCD berpotongan di P. AP = PD dan  ABD =
300.Jika AD = 10V2, maka luas ABCD =
a. 100
b. 100(1 + V3)
c. 100V3
d. 300
6. Pada jajargenjang ABCD, AB = 10 cm, BD = 6 cm. Jika BD  BC,maka
luas jajargenjang ABCD adalah :
a. 48 cm2
b. 60 cm2
c. 80 cm2
d. 86 cm2
7.Pada jajargenjang ABCD, AB = 10 cm, BD = 6 cm. Jika BD  BC, maka
panjang jarak AB dan CD adalah :
a. 4,8 cm

26

b. 6 cm
c. 8 cm
d. 8,6 cm
8.Diketahui belahketupat ABCD dan BFDE dengan E, F terletak pada AC.Jika
BD = 50 cm dan AE = 24 cm . Maka luas daerah BCDF + ABED adalah :
a. 50 cm2
b. 100 cm2
c. 600 cm2
d. 1200 cm2
II. Kerjakan semua soal dibawah ini
1. Dalam persegi panjang ABCD terdapat titik P. Buktikan bahwa : PA 2 + PC2
= PB2 + PD2
2.Diketahui jajar genjang ABCD. AB = 20. Garis bagi dalam  A dan  D
berpotongan di E. AE = 16, DE = 12.Hitung luas ABCD.
3. Diketahui jajar genjang ABCD. Garis l memotong AB dan AD sehingga
E,F,G dan H pada l. AE,BF, CG, DH  l. Buktikan : BF + DH = CG - AE

27

BAB IV
PERBANDINGAN SEHARGA GARIS DAN SEBANGUN
A. Kompetensi dan Indikator
Kompetensi
1. Memahami tentang perbandingan seharga garis dan sebangun
2. Trampil menyelesaikan persoalan yang berkaitan dengan perbandingan
seharga garis dan kesebangunan
Indikator
1. Memahami perbandingan seharga garis.
2. Memahami tentang bangun-bangun yang sebangun.
B. URAIAN MATERI
TEOREMA
Bila beberapa garis sejajar dipotong oleh sebuah garis atas potonganpotongan yang sama, maka garis-garis sejajar itu dipotong oleh garis
potong yang lain atas potongan-potongan yang sama juga.
Diketahui : garis-garis a // b // c dipotong di A, B, dan C sehingga AB = BC
Buktikan : garis m memotong a, b, c di D, E, dan F sehingga DE = EF.
Bukti :
Tarik dari D (lihat gambar) garis // l, memotong garis b di G dan tarik dari E
garis EH sejajar l, maka ABGD dan BCHE jajaran genjang hingga AB = BC =
DG = EH.
 DGE   EHF sebab DG = EH;  G1 =  H1 =  B1 =  C1, dan  E1 =
 F1  jadi DE = EF.
l
a

m
D

A

1

1

b

B

1

E

G

1

1

c

C

H

1

F

28

TEOREMA
Bila beberapa garis sejajar dipotong oleh sebuah garis atas
perbandingan tertentu, maka garis-garis sejajar itu dipotong oleh garis
potong yang lain atas perbandingan yang tertentu juga.
Diketahui : garis-garis a // b // c dipotong oleh garis l atas perbandingan 2 : 3,
maka garis potong m akan memotong a, b, c atas perbandingan 2 : 3 juga.
Bukti :
Tarik dari titik-titik bagi G, H, K garis-garis // a // b // c didapat L, M, N pada
garis m maka : AG = GB= BH = HK = KC,
Menurut dalil 44 maka DL = LE = EM = MN = NE, maka DE : EF = 2 : 3 juga.
l
a

A
G
B

b
H
K
c

C

m
D
L
E
M
N
F

BEBERAPA BATASAN :
 bila satu titik dikalikan terhadap satu titik lain dengan satu faktor k,
maka hasilnya sebuah titik yang jaraknya k kali jarak titik itu kepusat
perkalian (pusat dilatasi).
 bila sepotong garis dikali dengan faktor k terhadap satu titik,
hasilnya sebuah garis sejajar garis semula dan panjangnya k kali
panjang garis semula.
Bila faktor perkalian positif, hasilnya sejajar dan searah, bila negatif
hasilnya sejajar berlawanan arah.
 dua segitiga disebut sebangun jika segitiga yang satu dapat
didilatasikan sedemikian sehingga hasilnya sama dan sebangun
dengan bangun yang lain.
TEOREMA
Dua segitiga sebangun bila sisi-sisi segitiga yang satu sebanding
dengan sisi-sisi segitiga yang lain.

29

R

C1

C
B
O

B1

Q

A
A1

P

Diketahui :  ABC dan  PQR dengan AB : BC : CA = PQ : QR : RP
Buktikan :  ABC   PQR
PQ
Bukti
: Kalikan  ABC terhadap O dengan faktor k 
maka didapat
AB
 A1B1C1
PQ
A1B1 
. AB  PQ , begitu juga B1C1 =QR dan C1A1=RP
AB
  A1B1C1   PQR atau  ABC   PQR
TEOREMA
Dua segitiga sebangun bila dua sudut-sudutnya sama besar.
Diketahui :  ABC dan  PQR dengan A  P; B  Q
Buktikan :  ABC   PQR
Bukti :
PQ
PQ
Kalikan  ABC dengan k 
maka A1B1 
. AB  PQ
AB
AB
A  A1 ; B  B1  A1  P dan B1  Q
 A1B1C1   PQR atau  ABC   PQR
R

C1

C
B

O

B1

Q

A
A1

P

30

TEOREMA
Dua segitiga sebangun bila sepasang sudut sama besar dan sisi-sisi
yang mengapit sebanding.
Diketahui :  ABC dan  PQR dengan A  P dan AB : AC = PQ : PR
Buktikan :  ABC   PQR
R

C1

C
B

O

B1

Q

A
A1
Bukti :

Kalikan  ABC dengan k 

P

PQ
PQ
maka A1B1 
. AB  PQ dan
AB
AB

A1C1 

PR
PQ PR
. AC  PR sebab

AC
AB AC
  A1B1C1   PQR atau  ABC   PQR
Dalil-dalil mengenai sebangun ini dapat dipergunakan untuk membuktikan
sudut-sudut sama besar atau sisi-sisi sebanding.

TEOREMA
Luas segitiga yang sama alasnya berbanding seperti tingginya dan
sebaliknya bila tingginya sama, luasnya berbanding seperti alasnya.
Diketahui :  ABC dan  PQR dan AB = PQ
Luas ABC t1
Buktikan :

Luas PQR t 2

R

C

t1

A

D

t2

B

P

S

Q
31

Bukti :

1
1
. AB.CD  .a..t1 ………………………………….(1)
2
2
1
1
Luas  PQR = .PQ.RS  .a..t 2 ………………………………….(2)
2
2
1
.a.t
LuasABC 2 1 t1


LuasPQR 1
t2
.a.t 2
2
1
.a .t
a
LuasABC 2 1
Sebaliknya jika t1=t2 maka

 1
LuasPQR 1
a2
.a 2 .t
2

Luas  ABC =

TEOREMA
Luas dua segitiga yang mempunyai sepasang sudut yang sama,
berbanding seperti perkalian sisi-sisi yang mengapitnya.
Diketahui :  ABC dan  PQR dengan A  P
LuasABC AB. AC
Buktikan :

LuasPQR PQ.PR
C
R
t1

A

D

t2
B

P

S

Q

Bukti :
Tarik CD  AB dan RS  PQ, maka  ACD   PRS, jadi AC : PR = t 1 : t2
1
. AB.t1
AB.t1 AB. AC
LuasABC 2



PQ.t 2 PQ.PR
LuasPQR 1
.PQ.t 2
2
Berlaku juga bila 2 sudut itu berpelurus sesamanya

32

TEOREMA
Perbandingan luas 2 segitiga yang sebangun adalah sama dengan
kuadrat dari perbandingan sepasang sisi seletak.
Diketahui :  ABC   PQR
LuasABC AB 2 AC 2 BC 2



Buktikan :
LuasPQR PQ 2 PR 2 QR 2
Bukti :
 ABC   PQR maka A  P
AB
AC

PQ
PR
LuasABC AB. AC AB. AB AB 2



LuasPQR PQ.PR PQ.PQ PQ 2

R
C

A

B

P

Q

Dengan cara yang sama dapat dibuktikan bahwa perbandingan luas kedua
AC 2 BC 2
segitiga akan sama dengan
juga.

PR 2 QR 2
C. LATIHAN
1. Titik M pada pertengahan hipotema BC suatu segitiga siku-siku ABC.
Melalui M dibuat garis tegak lurus BC yang memotong AB dan AC di P
dan Q. Buktikan MA2 = MP xMQ
2. Diketahui trapesium ABCD. AB//DC, AB=a, DC=b. E pada BC sehingga
EF//AB, AE : ED = p : q. Nyatakan EF dengan a, b, p, dan q!

3. Diketahui  ABC, AB=c; CD = t. sebuah persegi PQRS ada di dalam
segitiga itu dengan P dan Q pada AB, R pada BC dan S pada AC.
Nyatakan sisi bujursangkar itu dengan c dan t!

4. Diketahui jajargenjang ABCD. Titik T pada DC (DT