eksponenlogaritma 131203075411 phpapp01

EKSPONEN dan
LOGARITMA
Kelompok 3 :
Amalia Ovi Mustika Seno
Defiska Andang Nugraha
Isnan Yunus Alhalim
Refonda Alam Hagriyatama

04 / X MSc 6
12 / X MSc 6
23 / X MSc 6
34 / X MSc 6

Kompetensi Dasar
Setelah mengikuti pembelajaran eksponen dan logaritma siswa mampu:
1. Menghayati pola hidup disiplin, kritis, bertanggung jawab, konsisten, dan jujur
serta menerapkannya dalam kehidupan sehari-hari;
2. Memilih dan menerapkan aturan eksponen dan logaritma sesuai dengan
karakteristik

permasalahan

yang

akan

diselesaikan

dan

memeriksa

kebenaran langkah-langkahnya;
3. Menyajikan masalah nyata menggunakan operasi aljabar berupa eksponen
dan logaritma serta menyelesaikannya menggunakan sifat-sifat dan aturan
yang telah terbukti kebenarannya.

Pengalaman Belajar
Melalui pembelajaran materi eksponen dan logaritma, siswa memperoleh pengalaman belajar:
•

Mengkomunikasikan karakteristik masalah otentik yang pemecahannya terkait eksponen
dan logaritma;

•

Merancang model Matematika dari sebuah permasalahan autentik yang berkaitan dengan
eksponen dan logaritma;

•

Menyelesaikan model Matematika untuk memperoleh solusi permasalahan yang diberikan;

•

Menafsirkan hasil pemecahan masalah;

•

Membuktikan berbagai sifat terkait eksponen dan logaritma;

•

Menuliskan dengan kata-katanya sendiri konsep persamaan kuadrat berdasarkan ciri-ciri
yang dituliskan sebelumnya;

•

Membuktikan sifat-sifat dan aturan matematika yang berkaitan dengan eksponen dan
logaritma berdasarkan konsep yang sudah dimiliki;

•

Menerapkan berbagai sifat eksponen dan logaritma dalam pemecahan masalah.

Peta Konsep

EKSPONEN
 Fungsi Eksponen
Perhatikan tabel berikut! Ada beberapa sifat grafik fungsi eksponen!

x
-3

-2

-1

0

1

2

3

4

f(x) = 2x

⅛

⅟4

⅟2

1

2

4

8

16

f(x) = 2-x

8

4

2

1

⅟2

⅟4

⅛

⅟16

f(x) = 3x

⅟27

⅟9

⅟3

1

3

9

27

81

f(x) = 3-x

27

9

3

1

⅟3

⅟9

⅟27

⅟81

Sifat-sifat tersebut adalah sebagai berikut:
1. Jika x negatif dan rumus fungsi dengan pangkat positif
pecahan
2. Jika x positif dan rumus fungsi dengan pangkat positif
positif
3. Jika x negatif dan rumus fungsi dengan pangkat negatif
positif
4. Jika x positif dan rumus fungsi dengan pangkat negatif
pecahan

= hasilnya adalah

= hasilnya adalah
= hasilnya adalah
= hasilnya adalah

 Bentuk Pangkat
 Pangkat Bulat Positif

Y-Values
Misal: a = bilangan real; n = bilangan
bulat positif; maka:
n
a = a x a x a x…x a
12:00

n faktor

0:00

Artinya: bilangan a dikalikan sebanyak n faktor; dengan a sebagai basis, dan n
sebagai pangkat, maka dihasilkan an

12:00

Contoh:
1. 22
2. 35
3. -24
4. (-5)2

-3.5

-3

=2x2=4
= 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243
= - (2 x 2 x 2 x 2) = -16
= (-5 x -5) = 25

-2.5

-2

-1.5

-1

Y-Values

0:00
12:00
0:00
-0.5
0

0.5

1

1.5

• Sifat-Sifat Pangkat Bulat Positif
1. am x an = am+n
Dimana; a bilangan real, m dan n bilangan bulat positif
- Bukti:
am x an = a x a x a x…x a x a x a x a x…x a
m faktor
=axaxaxaxa
m+n
= am+n
- Contoh:

1. 53 x 52 = 53+2
= 55
= 3125
2. 92 x 272 = (32)2 x (33)2
= 34 x 36
= 34+6
= 310
= 59049

n faktor

2. am : an = am-n
Dimana; a bilangan real, m dan n bilangan bulat positif
- Bukti:
am : an = a x a x a x…x a : a x a x a x…x a
m faktor
=axaxaxaxa
m-n
= am-n
- Contoh:

1. 35 : 32

= 35-2
= 33
= 27
2. 23 : 8
= 23-3
= 20 = 1
3. 22 : 42
= 22 : (22)2
= 22-4 = 2-2
= ⅟4

n faktor

3. (am)n = amxn
Dimana; a bilangan real, m dan n bilangan bulat positif
- Bukti:
(am)n
= am x am x am…x am
n faktor

= a x a x a…x a a x a x a…x a a x a x a…x a … a x a x a…x a
m faktor

m faktor

m faktor
n faktor

= a x a x a…x a
mxn

- Contoh:
1. (2x8⅓)2 = (21+1)2
= (22)2
= 24
= 16

=a

mxn

m faktor

 Pangkat Nol
Diperoleh dari sifat am:an=am-n, jika a bilangan real, m dan n bilangan bulat
positif, dan m = n.
- Bukti :
25 : 2 5 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2
=1
2x2x2x2x2
Jadi, a0 = 1
 Pangkat Bulat Negatif
Perhatikan pola pemangkatan berikut ini!
22 = 4
2-1 = ⅟2
21 = 2
2-2 = ⅟4
20 = 1
dst…
Jadi, a-n= 1
a

n

- Bukti : a-n= 1a

n

a x a x a x…x a
=
1
= 1
n faktor

an

 Pangkat Pecahan
- Misal: a bilangan bulat dan a ≠ 0; m dan n bilangan bulat positif,
Maka:
Contoh:
- Misal: a bilangan bulat dan a ≠ 0; m dan n bilangan bulat positif,
Maka:
Contoh:

• Sifat-Sifat Pangkat Pecahan
1.
- Misal: a bilangan bulat dan a > 0,
- Contoh:

dan

adalah pecahan, n ≠ 0.

2.
- Misal: a bilangan bulat dan a > 0,
- Contoh:

dan

adalah pecahan, n ≠ 0.

TUGAS

•

1.)

2.)

3.)

4.)

5.)

Sederhanakanlah operasi pemangkatan berikut ini!

 Bentuk Akar
Sebelum mempelajari bentuk akar, terlebih dahulu mengetahui konsep:
• Bilangan Rasional
Adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk , dengan a dan b bilangan
bulat dan b ≠ 0.
- Contoh : ¼, ½, ¾, 2, 3, , dll.
• Bilangan Irrasional
Adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan, dan mengandung
bentuk desimal yang tak terhingga dan tak berpola.
- Contoh: ,
,
, dll.
Bilangan Irrasional yang menggunakan tanda akar ( ) dinamakan bentuk akar. Namun,
tidak semua bilangan yang berada dalam tanda akar merupakan bentuk akar.
Contoh:
= bukan bentuk akar, karena
= 2.
= bentuk akar

 Operasi pada Bentuk Akar
• Penjumlahan dan Pengurangan
Dimana, p,q,r bilangan real dan r ≥ 0; maka berlaku:

• Perkalian dan Pembagian
Beberapa sifat perkalian dan pembagian pada bentuk akar adalah sebagai berikut:
- Perkalian:

- Pembagian:

 Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar
Pada prinsipnya, cara merasionalkan penyebut bentuk akar suatu pecahan adalah
dengan mengalikannya dengan bentuk akar sekawannya.
1. Merasionalkan bentuk
Caranya dengan mengalikan
Jadi:
2. Merasionalkan bentuk
Bilangan sekawan dari
Jadi:

dan
adalah

, dan sebaliknya

3. Merasionalkan bentuk
Bentuk

dan

dan
saling sekawan

Jadi:

4. Menyederhanakan bentuk
Coba perhatikan proses berikut ini!

Jadi:

Contoh Soal:
• Penjumlahan dan Pengurangan
1.
2.
• Perkalian dan Pembagian
1.
2.
• Merasionalkan
1.

TUGAS

• Carilah hasil dari operasi pengakaran berikut ini!

1.)

2.)

• Rasionalkan penyebut pecahan berikut ini!
3.)

• Tentukan nilai
4.)

• Sederhanakan bentuk akar berikut ini!
5.)

LOGARITMA
 Hubungan Eksponen dan Logaritma
Logaritma pada hakekatnya merupakan kebalikan dari proses pemangkatan
dan/atau pengakaran.

Bentuk Pangkat
x

a m
Unsur Logaritma:

a

log m  x
= Basis
= Numerus
= Hasil Logaritma

Bentuk Akar

Bentuk Logaritma

x

a

m a

log m x

 Fungsi Logaritma
Perhatikan tabel berikut! Ada beberapa sifat grafik fungsi logaritma!

x
1

2

3

4

8

9

f(x) = 2log x

-1

-1,5

-2

0

1

1,5

2

3

3,15

f(x) = log x

1

1,5

2

0

-1

-1,5

-2

-3

-3,15

f(x) = 3log x

-0,5

-1

-1,25

0

0,5

1

1,25

1,9

2

f(x) = log x

0,5

1

1,25

0

-0,5

-1

-1,25

-1,9

-2

Sifat-sifat tersebut antara lain:
1.

Jika x pecahan dan rumus fungsi dengan basis bilangan bulat positif, hasil = negatif

2.

Jika x bilangan bulat positif > 1 dengan rumus fungsi dengan basis bilangan bulat positif, hasil
= positif

3.

Jika x pecahan dan rumus fungsi dengan basis pecahan, hasil = positif

4.

Jika x bilangan bulat positif > 1 dengan rumus fungsi dengan basis pecahan, hasil = positif

5.

Jika x=1 dengan rumus fungsi dengan basis bilangan bulat positif / pecahan, hasil = nol

 Sifat-Sifat Logaritma

1. a log x 1

6. a log m n n a log m
c

2. log 1 0

log m
1
7. log m  c
m
log n
log a

3. a log x a a

8. a log m.m log b a log b

a

a

a

a

a

4. log mn  log m log n
m a
5. log  log m  a log n
n
a

9.

ab

n
log m 
m
n



a

log m



TUGAS

• Hitunglah nilai dari :
1.)

2.)

3.)

• Sederhanakan
4.)

5.)

“Jangan merasa kecil karena ilmu yang kau
dapat sedikit, tapi satu hal yang besar adalah
ilmu yang sedikit itu dapat dikenang orang
banyak dan akan menemanimu selamanya.”