The Henstock-Stieltjes Integral in R^n.
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D
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*
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D
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δ
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!
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'
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'
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1
1
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)∑
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∑ 9 :' 9 : −
∑ 9 :' 9 : −
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∪
∑ 9 :' 9 : − (
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)∑
∑ 9 :' 9 : + (
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9 :' 9 :
9 :' 9 :
)∑
∑ 9 :' 9 :
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9 :' 9 : − ( ′′)∑ 9 :' 9 : < ε
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$ ! '
#
'
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'!
'
δ
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9 ′:' 9 ′: − (
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+
+ % 9'> :
{/ }
,
.
!
$
'
'/ ε > 6
) '
'/
(
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1
*
'
.
{/ }
{/ }
!
)
'
ε
9 :' 9 :
9 :' 9 :
:
,
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∈
ε
ε
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( )∑ 9 ′:'9 ′: − ( )∑ 9 4 :'9 ′: +( )∑ 9 4 :'9 ′: −( )∑
< ( )∑ 9 ′:' 9 ′: − ( )∑ 9 4 :' 9 ′: + ( )∑ 9 4 :' 9 : −( )∑
= ( )∑ ( 9 ′: − 9 4 : )' 9 ′: + ( )∑ ( 9 4 : − 9 : )' 9 :
ε
>
, '
ε 6 , &
) '
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'
1
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*
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1
'
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)1
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'/
1
9 :'9 : − )1 < ε
)1 = 9 0/ : ∫
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1
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) '
'/ 1
$ )1 ∈
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'
1
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'/
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1
1 →∞
: = ∑ '9 : ≤ +
&
'
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'
!
( )∑ ' 9
*
{ 1}
1∈2
∈ 0/ 9' : "
:
/
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⊂
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9
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) '
→
∈ 0/ 9'
1
'
) !
$! !& * : 6
'2
& '
,
' ( !
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'& !
G
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!
!
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'
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%
) '
1 →∞
)
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)
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$
⊂
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%
)) !
&'
'
'
1
'
' *
*
! / 5 '
, '
'/ ε > 6
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{)1 }
! /
,
* !
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!"
)
( '
!
) − ) = 9 0/ : ∫
'−(
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+
( )∑
6
:
(
1→∞
)
(
1
)
9 0/ :∫
9
!
∈ 0/9'
1/
'
(
∈ 0/ 9'
1
'=
,
!
1 →∞
'
'/
) '
9 0/ :∫
'
1
) !
!
={ > =
}
8
'
1
( '
!
*
( )∑ ' 9
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5 '
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!'
9:
1
1
= {(
5 '
'
'
)}
1
.
''
(
) '
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) !
δ1 # )
( '
( 1 )∑
1
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!
'/ 1 ∈
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!
'/ 1 ∈
9 :
{ 1}
!'
) '
9 :' 9 : − "1 9 : <
ε
8
1+
1
)∑
1
9 :' 9 : − "1 9 : <
&
.
!
ε
8
1+
!
∈ 0/ 9' : =/
: * '
'
8A *
1 ∈ 0/ 9'
'/ 1 ∈
G '
' *
"1 9 : = 9 0/ : ∫ 1 ' ≤ 9 0/ : ∫ 1 + ' = "1 + 9 :
{"1 9
!
'&
'
!'
&
.
{"1 9 :} !
$ ((
, ' ) G '
'*
'&
1 →∞
'
"1 9 : =
, ' 1
(
1 →∞
!
) ' 1 →∞
(
& '
)&
) '
) '
'
/*
'/
∈
9 ε: ≥ 1
!
((
1
9 : "1 9 :
'=)
ε
8
1
'/ 1 ≥
) '
98 :
'/ 1 ≥ 1 *
ε >6
) '
⊆
,
"9 : =
9 0/ : ∫
"1 9 : − ) <
1 *
'/
*
9 :' 9 : − "1 9 : ≤ (
{"1 9 :}
:} !
'&
$
!
' *
1
) '
=
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&
∈ 0/ 9'
,
: = ∑ '9 : ≤ +
→
'/* '
,
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∑ 9 :' 9 : −
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= ( )∑ ( 9 ′: − 9 4 : )' 9 ′: + ( )∑ ( 9 4 : − 9 : )' 9 :
ε
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