AMPLIFIKASI AMPLITUDO ELEVASI PADA PERAMBATAN GELOMBANG PERMUKAAN BERTIPE BENJAMIN FEIR

PROGRAM DPA-SKPD LAPORAN PENELITIAN PENGEMBANGAN KARYA ILMIAH AMPLIFIKASI AMPLITUDO ELEVASI PADA PERAMBATAN GELOMBANG PERMUKAAN BERTIPE BENJAMIN FEIR

Oleh:

Ichsan Setiawan, M.Si Marwan, M.Si

Dibiayai oleh Pemerintah Nanggroe Aceh Darussalam, sesuai dengan DPA

SKPD Nomor : 1.01.01/01/DPA-SKPD/2007 Tanggal 21 Juni 2007

JURUSAN ILMU KELAUTAN FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SYIAH KUALA

HALAMAN PENGESAHAN

1. Judul Penelitian : Amplifikasi Amplitudo Elevasi pada Perambatan Gelombang Permukaan Bertipe Benjamin-Feir

2. Bidang Ilmu Penelitian

: Kelautan

3. Ketua Peneliti

a. Nama Lengkap

: Ichsan Setiawan, M.Si

b. Jenis Kelamin

: Laki-laki

c. NIP

d. Pangkat/Golongan

: Penata Muda Tk.I/III-b

e. Jabatan

: Asisten Ahli

f. Fakultas / Jurusan

: MIPA / Ilmu Kelautan

4. Jumlah Tim Peneliti

: 2 orang

5. Lokasi Penelitian

: Darussalam – Banda Aceh

6. Bila penelitian ini merupakan kerjasama kelembagaan

a. Nama Instansi

: --

b. Alamat

: --

7. Waktu Penelitian

: 5 (lima) bulan

8. Biaya

: Rp. 7.500.000,-

Banda Aceh, 20 November 2007 Mengetahui:

Ketua Peneliti, Dekan Fakultas MIPA,

Dr. Mustanir, M.Sc Ichsan Setiawan, M.Si NIP. 132 059 312

NIP. 132 318 928

Menyetujui: a.n. Ketua Lembaga Penelitian Sekretaris,

Drs. Ridwan Mahmud NIP. 130 934 647

RINGKASAN

Amplifikasi Amplitudo Elevasi pada Perambatan Gelombang Permukaan Bertipe Benjamin-Feir

Persamaan Non Linear Schrodinger (NLS) digunakan untuk memodelkan perambatan gelombang di permukaan. Analisa gelombang dari NLS yang dilinearkan memperlihatkan bahwa solusi harmoniknya dengan amplitudo yang cukup kecil cenderung meningkat secara eksponensial. Peningkatan ini secara detil diamati dengan menggunakan solusi eksak dari persamaan NLS yang dinamakan Soliton on Finite Background (SFB). Sebagai hasil utama, ditemukan suatu interval ketidakstabilan kenaikan amplitudo maksimum dapat meningkat tiga kali dari amplitudo awalnya.

SUMMARY

The Amplitude Amplification of Benjamin-Feir Surface Wave Elevation

In this paper, the non linear schrodinger equations (NLS) is described to model the surface wave propagation. Analysis from linearized model showed the harmonic solution of the equation with small amplitude grows exponentially. This growth is investigated using the exact solution of NLS equation which is called Soliton on Finite Background (SFB). In this research we found that interval instability of amplitude increases up to three times from its initial amplitude.

PRAKATA

Bismillahirrahmanirrahim. Syukur Alhamdulillah penulis ucapkan kepada Allah S.W.T yang telah memberikan rahmat dan ridha-Nya sehingga laporan penelitian pengembangan karya ilmiah berjudul ” Amplifikasi Amplitudo Elevasi Pada Perambatan Gelombang Permukaan Bertipe

Benjamin-Feir ” ini dapat diselesaikan. Ucapan salawat dan salam kami sampaikan kepada Nabi Muhammad SAW yang telah memotivasi umatnya untuk terus menuntut ilmu pengetahuan dan menyebarkannya kepada umat manusia.

Hasil penelitian ini diharapkan dapat bermanfaat bagi peneliti dan pembaca, yang nantinya dapat memberikan konstribusi mengenai kajian gelombang untuk penelitian selanjutnya.

Ucapan terima kasih kami sampaikan kepada Pemerintah Daerah Nanggroe Aceh Darussalam dengan Nomor Kontrak: 1.01.01/01/DPA-SKPD/2007, Tanggal 21 Juni 2007 yang telah membiayai keberlangsungan penelitian ini. Ucapan terima kasih juga kepada pihak Jurusan Ilmu Kelautan, Jurusan Matematika dan Fakultas MIPA Universitas Syiah Kuala yang telah menyediakan fasilitas sarana dan kelengkapan instrumentasi penelitian sehingga penelitian ini dapat terlaksana dengan baik.

Tentu saja penyusunan laporan ini tak luput dari kesalahan, baik kesalahan pengetikan maupun kesalahan lainnya. Untuk kesempurnaan laporan penelitian ini, saran dan kritik yang membangun sangat kami harapkan.

Akhir kata, semoga laporan penelitian ini dapat bermanfaat.

Banda Aceh, 20 November 2007

Peneliti

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1 Gelombang ekstrim menubruk kapal dan anjungan lepas pantai......

Gambar 4.1 Bagan skematik model persamaan lengkap .....................................

10

Gambar 4.2

Rata-rata kenaikan σ sebagai fungsi dari κ untuk r 0 = β = γ = 1 ...

11

Gambar 5.1

Plot | ψ | sebagai fungsi dari ξ dan τ untuk κ = 1 ..........................

12

Gambar 5.2

Plot amplitudo maksimum ψ ( ξ = 0 , τ = 0 , κ ) sebagai fungsi dari κ .

13

Gambar 5.3

Relasi dispersi Ω dan pendekatan kuadratnya, rata-rata kenaikan

σ dan amplitudo maksimum ψ sebagai fungsi bilangan gelombang (Dalam kasus ini k k = 2 π ) ……………………………..

DAFTAR LAMPIRAN

17

LAMPIRAN I Personalia Penelitian ........................................................................

18

LAMPIRAN II Biodata Peneliti .................................................................................

BAB I. PENDAHULUAN

Kegiatan yang berkaitan dengan kelautan, seperti perkapalan, pertambangan minyak dan gas bumi lepas pantai, penangkapan ikan dan sebagainya memerlukan pengetahuan yang baik tentang laut. Perkapalan dan pembangunan lepas pantai membutuhkan pengetahuan yang setepat mungkin tentang perilaku gelombang. Kapal dan bangunan lepas pantai itu harus siap menghadapi situasi terburuk yang dapat diakibatkan oleh gelombang. Untuk mengantisipasi kemungkinan terburuk yang akan dihadapi suatu benda terapung, terlebih dahulu model benda terapung tersebut diuji selama pembuatan benda terapung dilaksanakan. Pengujian dilakukan dengan menghadapkan model benda terapung tersebut pada situasi terburuk yang dapat disimulasikan di kolam pengujian. Untuk itu, di kolam pengujian tersebut dibangkitkan gelombang ekstrim.

Pembangkitan gelombang yang benar dan efisien, baik satu maupun multi arah pada laboratorium hidrodinamika, masih merupakan permasalahan yang tidak mudah. Sering sekali dilakukan pembangkitan gelombang dilakukan dengan upaya coba-coba salah. Metode ini tentu saja membutuhkan energi dan dana yang yang cukup besar. Menyimak dan memahami persoalan pembangkitan gelombang, matematika yang dikombinasikan dengan dinamika fluida mampu memformulasikan permasalahannya dengan suatu model matematis pembangkitan gelombang. Bergantung pada asumsi fisis yang digunakan, model ini dapat berupa model sederhana maupun model yang memiliki kompleksitas tinggi.

Cuaca buruk yang kerap kali melanda Indonesia menyebabkan gelombang dengan elevasi dan kecuraman yang sangat tinggi (gelombang ekstrim) sering terjadi di perairan Indonesia. Banyaknya kapal yang tenggelam ketika berlayar dari suatu pulau ke pulau yang lain di Indonesia, merupakan suatu bukti bahwa gelombang tersebut pernah terjadi. Sebagai salah satu contoh adalah tenggelamnya KMP Gurita pada tahun 1995 di perairan Sabang. Contoh lain yang terkait adalah tenggelamnya KMP Senopati di perairan Jepara di penghujung tahun 2006 yang lalu. Himbauan pemerintah bagi institusi pelayaran untuk waspada terhadap cuaca buruk di awal Januari 2007 yang dapat meningkatkan amplitudo gelombang di lautan. Masih banyak lagi kecelakaan di laut, selain karena kesalahan manusia salah satu penyebabnya adalah keberadaan Cuaca buruk yang kerap kali melanda Indonesia menyebabkan gelombang dengan elevasi dan kecuraman yang sangat tinggi (gelombang ekstrim) sering terjadi di perairan Indonesia. Banyaknya kapal yang tenggelam ketika berlayar dari suatu pulau ke pulau yang lain di Indonesia, merupakan suatu bukti bahwa gelombang tersebut pernah terjadi. Sebagai salah satu contoh adalah tenggelamnya KMP Gurita pada tahun 1995 di perairan Sabang. Contoh lain yang terkait adalah tenggelamnya KMP Senopati di perairan Jepara di penghujung tahun 2006 yang lalu. Himbauan pemerintah bagi institusi pelayaran untuk waspada terhadap cuaca buruk di awal Januari 2007 yang dapat meningkatkan amplitudo gelombang di lautan. Masih banyak lagi kecelakaan di laut, selain karena kesalahan manusia salah satu penyebabnya adalah keberadaan

Gambar 1.1 Gelombang ekstrim menubruk kapal (kiri) dan anjungan lepas pantai (kanan)

Tawaran secara kompetitif melalui Lembaga Penelitian Unsyiah memberi peluang bagi staf pengajar untuk dapat mengembangkan ide-ide yang inovatif dalam bidang MIPA. Harapan peneliti melakukan penelitian dengan judul “Amplifikasi Amplitudo Elevasi pada Perambatan Gelombang Permukaan Bertipe Benjamin Feir” ini akan memberikan informasi yang akurat, valid, reliable, dan matematis. Dengan demikian, hasil penelitian ini dapat bermanfaat bagi para teknisi di industri pelayaran dan perkapalan pada khususnya dan ilmuwan pada umumnya dalam menggali pengetahuan tentang fenomena gelombang ekstrim dalam rangka meningkatkan keselamatan dan kenyamanan masyarakat pengguna jasa transportasi laut. Selain itu, diharapkan pula hasil penelitian ini dapat memberikan kontribusi terhadap pengembangan ilmu pengetahuan dan teknologi.

Berdasarkan uraian singkat yang telah dipaparkan di atas permasalahan yang akan dikaji dalam penelitian ini berkaitan dengan perambatan gelombang permukaan yang dikaitkan dengan ketidakstabilan gelombang. Kajian dalam penelitian ini difokuskan Berdasarkan uraian singkat yang telah dipaparkan di atas permasalahan yang akan dikaji dalam penelitian ini berkaitan dengan perambatan gelombang permukaan yang dikaitkan dengan ketidakstabilan gelombang. Kajian dalam penelitian ini difokuskan

Pada mulanya kajian dilakukan dengan asumsi bahwa gelombang berbentuk gelombang monokromatik yang merambat dari suatu posisi tertentu di kejauhan. Kemudian dengan memberikan suatu modulasi berupa gelombang panjang akan ditelaah bagaimana perubahan profil gelombang monokromatik tersebut selama penjalarannya. Parameter yang berkaitan dengan panjang gelombang yang memodulasi gelombang monokromatik akan diselidiki peranannya terhadap ketidakstabilan pada penjalaran gelombang monokromatik termodulasi. Selanjutnya akan ditentukan hubungan antara parameter tersebut terhadap amplifikasi amplitudo elevasi gelombang monokromatik termodulasi.

BAB II. TINJAUAN PUSTAKA

Fenomena gelombang sangat kompleks. Ada kalanya secara tiba-tiba muncul gelombang dengan elevasi dan kecuraman yang sangat tinggi di suatu perairan yang relatif tenang. Gelombang ini disebut sebagai gelombang ekstrim yang kerap kali juga dinamakan gelombang misterius freak wave atau gelombang raksasa giant wave. Dean (1990) dan Kjeldsen (1984) menyebutkan bahwa suatu gelombang dikategorikan sebagai gelombang ekstrim jika tingginya melebihi 2,2 kali tinggi gelombang rata-rata. Gelombang jenis ini sangat jarang terjadi, akan tetapi dampaknya dapat menimbulkan kerusakan yang cukup parah bagi kapal, bangunan lepas pantai maupun benda lainnya yang berada di sekitar gelombang ini (lihat Earle (1975), Mori, dkk (2002), Divinsky dan Levin (2004), Truslen dan Dysthe (1997), dan Smith (1976)).

Penelitian tentang gelombang ekstrim dalam bentuk grup gelombang telah banyak dilakukan, misalnya seperti yang dilakukan oleh Longuet dan Higgins (1984), Philips, dkk (1993), Donelan dan Hui (1990), Orsbone, dkk (2000,2001), dan Onorato, dkk (2001,2002). Henderson, dkk (1999) dan Dysthe (1979) menyatakan bahwa dinamika gelombang jenis ini berkaitan dengan fenomena yang diawali dengan terjadinya lembah gelombang yang sangat dalam. Fenomena tersebut dikenal sebagai fenomena hole in the sea. Kemudian, di sekitar lembah tersebut secara tiba-tiba muncul suatu gelombang yang sangat curam dengan amplitudo yang sangat tinggi, seolah-olah membentuk dinding air. Fenomena seperti ini dinamakan self focussing, yaitu sentralisasi energi gelombang pada suatu kawasan yang cukup sempit akibat ketaklinearan medium air. Lighthill (1965) mengemukakan bahwa keberadaan self focussing ini berkaitan dengan teori ketakstabilan gelombang, yang dikenal sebagai ketakstabilan Benjamin-Feir. Selanjutnya teori tersebut dikembangkan oleh Benjamin dan Feir (1967) dan Zakharov (1967). Dari pengembangan teori tersebut, Benjamin dan Feir berkesimpulan bahwa ketakstabilan akan terjadi jika panjang gelombang yang memodulasi gelombang monokromatik terletak dalam suatu selang tertentu. Selang ini dikenal sebagai selang ketakstabilan Benjamin-Feir.

Dalam penelitian ini dipaparkan analisa selubung paket gelombang dengan menggunakan teori linear dan tak linear. Teori linear memprediksi kenaikan amplitudo

secara eksponensial ketika kondisi awal memenuhi ketidakstabilan Benjamin-Feir 5 .

Selain itu, ketika amplitudo membesar sebagai efek ketaklinearan penting untuk dipahami. Tujuan penelitian ini adalah mendapatkan amplitudo maksimum gelombang bertipe Benjamin-Feir. Di samping itu, dikaji pula ketergantungan kenaikan amplitudo maksimum ini terhadap parameter kenaikan dari ketidakstabilan Benjamin-Feir.

2.1 Teori Linear

Dalam teori gelombang linear, analisa gelombang dapat dibatasi pada elevasi di

permukaan yang berbentuk η ( x , t ) = ae + cc (kompleks sekawan), dengan a amplitudo, bilangan gelombang dan k ω frekuensi. Untuk gelombang permukaan air di atas kedalaman konstan , parameter dan h k ω direlasikan oleh relasi dispersi linear

i ( kx −) ω t

yang dituliskan dalam bentuk 4 ,

ω 2 = gk tanh kh , (2.1) dengan g percepatan gravitasi. Relasi dispersi ini dapat juga dituliskan dalam bentuk

g tanh ω kh = Ω

i ( kx − Ω ( k ) t )

Karena sistem gelombang linear memiliki solusi dasar dalam bentuk ae , maka

untuk memudahkan penulisan solusi umum dari permasalahan nilai awal sebagai komponen integral Fourier

i ( kx − Ω ( k ) η t ) (

x , t ) = α ( k ) e dk , ∫ (2.3)

dengan α (k ) merupakan transformasi Fourier dari η (x , 0 ) . Penulisan relasi dispersi sebagai ekspansi Taylor di sekitar bilangan gelombang k 0 dan menghilangkan suku Ο 3 ( κ ) , memberikan

βκ 2 = Ω ( k

0 + κ ) − Ω ( k 0 ) − Ω ' ( k 0 ) κ , (2.4)

dengan

2 Ω '' ( k 0 ) . Definisikan k = k 0 + κ , τ = t dan ξ = x − Ω ' ( k 0 ) t , maka

persamaan (3) dapat juga dituliskan sebagai

i κξ − i βκ 2 η t (

Dengan menotasikan intgeral dalam (2.5) dengan ψ ( ξ , τ ) , diperoleh

Ini adalah persamaan LS untuk spektrum yang cukup sempit. Persamaan (2.6) adalah persamaan diferensial parsial yang mendeskripsikan evolusi waktu dari selubung paket

gelombang linear. Persamaan (2.6) memiliki solusi monokromatik ψ ( ξ , τ

( ) − = ) e ν βκ dengan 2 = .

2.2 Teori Non Linear

Dengan asumsi spektrum yang cukup sempit, elevasi gelombang dapat dituliskan dalam

bentuk η ( x , t ) = ψ ( ξ , τ ) e 0 0 + cc , dengan τ = t dan ξ = x − Ω ' ( k 0 ) t . Evolusi

elevasi gelombang merupakan deformasi tak linear lemah dari suatu gelombang dengan

bilangan gelombang yang tetap k 0 . Jika η disubstitusikan ke dalam persamaan yang

menggambarkan gerakan fisik dari gelombang air, maka diperoleh satu amplitudo ψ ( ξ , τ ) yang memenuhi persamaan NLS. Sebagai contoh, persamaan NLS dapat

3 2 diturunkan dari persamaan KdV 2 η t + i Ω ( − i ∂ x ) η + 4 ∂ x η = 0 . Persamaan ini

berkorespondensi dengan persamaan NLS

2 + γ | ψ | ψ = 0 , β , γ ∈ ℜ ∂ , (2.7) t

dengan

Koefisien β dan γ dalam tulisan ini memiliki tanda yang berbeda dari koefisien dalam (Groesen, 1998). Untuk selanjutnya, tulisan ini hanya terpusat pada persamaan NLSD

focusing. Persamaan (2.7) memiliki suatu solusi plane wave A ( τ ) = r 0 0 e . Secara fisik, elevasi gelombang permukaan diberikan sebagai 2 η ( x , t ) = 2 r

0 cos( k 0 x − ω 0 t + γ r 0 t ) .

BAB III. TUJUAN DAN MANFAAT PENELITIAN

3.1 Tujuan Penelitian

Secara umum tujuan penelitian ini adalah untuk mempelajari dan memahami bagaimana profil gelombang permukaan selama perambatannya. Secara khusus permasalahan yang akan dijawab dalam penelitian ini diuraikan melalui beberapa pertanyaan berikut ini. Bagaiamana gelombang ekstrim bisa terjadi? Adakah suatu besaran yang menyebabkan terjadinya gelombang ekstrim ? Jika ada, bagaimana karakteristiknya ? Bagaimana pula peranan besaran tersebut terhadap peningkatan elevasi gelombang selama perambatannya ?

3.2 Manfaat Penelitian

Penelitian ini bermanfaat:

1. Memberikan informasi yang lebih efektif dan efisien tentang fenomena gelombang ekstrim.

2. Dapat digunakan untuk mengetahui faktor penyebab terjadinya gelombang ekstrim.

3. Memperkaya ilmu pengetahuan terutama bidang matematika terapan yang terkait dengan perambatan gelombang tak linear

BAB IV. METODE PENELITIAN

Persamaan non-linear lengkap tiga dimensi yang melibatkan kedalaman air untuk mensimulasikan gerak gelombang pada dasarnya telah dikenal. Persamaan ini terdiri dari persamaan Laplace untuk potensial kecepatan di daerah interior di bawah permukaan air dan syarat batas bebas berupa syarat batas kinematik dan dinamik pada permukaan bebas dan syarat batas kinematik pada dasar bergerak. Secara teoritik penggunaan persamaan lengkap untuk melihat efek parameter suatu model sukar untuk ditelaah. Lebih dari itu, model numerik yang didasarkan pada persamaan ini kurang efesien. Oleh karena itu, gerak gelombang permukaan sering sekali dikaji melalui persamaan yang lebih sederhana.

Sya ra t Ba ta s d i Ke ja uha n

Sya ra t Ba ta s Pe rmuka a n Be b a s : Sya ra t Ba ta s Kine ma tik d a n Dina mik

Pa nta i

Pe rsa ma a n La p la c e :

Sya ra t Ba ta s d i Da sa r

Gambar 4.1. Bagan skematik model persamaan lengkap

Persamaan yang lebih sederhana untuk memahami ketaklinearan gelombang air telah banyak ditemukan. Salah satunya adalah persamaan Boussinesq yang ditemukan pada tahun 1872. Persamaan ini memodelkan perambatan gelombang di permukaan yang merambat dalam dua arah. Kemudian pada tahun 1895, Korteweg de Vries, melalui proses uni-directionalisation, menurunkan persamaan elevasi gelombang permukaan yang cukup rendah dan cukup panjang. Elevasi gelombang permukaan tersebut, pada suatu lapisan air dengan dasar rata sedalam h, yang merambat satu arah, telah diperbaiki oleh van Groesen pada tahun 1998 menjadi persamaan berikut:

t η + i Ω ( − i ∂ x ) η + ∂ x η = 0 , (4.1) t η + i Ω ( − i ∂ x ) η + ∂ x η = 0 , (4.1)

2 + γ | ψ | ψ = 0 , β , γ ∈ ℜ ∂ , (4.2) t

dengan

Untuk menyelidiki ketidakstabilan dari solusi plane wave persamaan NLS dilakukan

perturbasi ξ fungsi bebas A (τ ) dengan perturbasi kecil yang berbentuk ε ( ξ , τ ) = A ( τ ) B ( ξ , τ ) , sehingga ψ ( ξ , τ ) = A ( τ )[ 1 + B ( ξ , τ )] . (4.3)

Dengan mensubstitusikan (4.3) ke dalam (4.2) dan membuang suku tak linear diperoleh persamaan berikut

iB 2

τ + β B ξξ + γ r 0 ( B + B *) = 0 . (4.4)

Selanjutnya solusi persamaan (9) dituliskan

σ * τ − i B κξ ( ξ , τ ) = B

στ + i κξ

1 e + B 2 e , (4.5) dengan B 1 , B 2 ∈ C dan σ ∈ C dinamakan rata-rata kenaikan. Jika Re( σ ) > 0 , maka

solusi perturbasi persamaan NLS meningkat secara eksponensial. Kriteria ini yang dinamakan dengan ketidakstabilan Benjamin-Feir 4 . Kondisi ini memberikan fakta bahwa

2 2 2 σ 2 = βκ ( 2 γ r

sehingga

0 < | κ | < | κ krit | =

r 0 . β (4.6)

Gambar 4.2. Rata-rata kenaikan σ sebagai fungsi dari κ untuk r 0 = β = γ = 1

BAB V. HASIL DAN PEMBAHASAN

Pada bagian ini akan dipaparkan keterkaitan antara amplitudo maksimum dari solusi awal persamaan NLS dengan bilangan gelombang modulasi κ dalam interval

ketidakstabilan. Untuk memudahkan, dalam hal ini dipilih r 0 = β = γ = 1 . Dengan

demikian, salah satu solusi eksak persamaan NLS yang dikenal sebagai Soliton on Finite Background (SFB) dapat dituliskan sebagai 1 ,

2 cos( κξ ) + i σ sinh( στ ) i τ ψ ( ξ , τ ) =

2 ( 2 κ − 1 ) cosh( ) 2 στ κ + −

e (5.1)

cosh(

στ ) − 2 cos( κξ )

dengan 0 < κ < 2 dan σ = κ 2 − κ 2 .

Gambar 5.1 Plot | ψ | sebagai fungsi dari ξ dan τ untuk κ = 1

Untuk κ = 1 diperoleh

cos( κξ ) + i 2 sinh( τ ) i τ

e . (5.2)

2 cosh( τ ) − cos( ξ )

Gambar 5.1 menyajikan grafik | ψ | sebagai fungsi dari ξ dan τ untuk κ = 1 . Terlihat

bahwa ψ ( ξ , τ ) adalah fungsi periodik dengan periode 2 π terhadap ξ .

Gambar 5.2. Plot amplitudo maksimum ψ ( ξ = 0 , τ = 0 , κ ) sebagai fungsi dari κ .

Selanjutnya perhatikan bahwa untuk τ → ± ∞ ,

2 2 2 lim 2 | ψ ( ξ , τ ) | = ( κ − 1 ) + κ ( 2 − κ ) = 1 .

Dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa amplitudo akan mencapai maksimum pada

ξ = 0 dan τ = 0 . Dengan demikian,

| ψ | max = | ψ ( 0 , 0 ; κ ) | =

Untuk κ yang cukup kecil diperoleh bahwa lim | ψ ( 0 , 0 ; κ ) | = 3 . (5.5)

Dengan demikian, faktor amplifikasi kenaikan amplitudo maksimum dinyatakan sebagai

lim

κ → 0 lim | ψ ( ξ , τ ; κ ) |

r → ±∞

Hal ini sesuai dengan hasil kajian dalam Karjanto 12 untuk permasalahan optik. Pada kasus ini yang bersangkutan menggunakan persamaan NLS temporal dan diselesaikan

dengan menggunakan metode yang sama dengan penelitian ini.

Gambar 5.2 menyajikan grafik amplitudo maksimum |ψ | max sebagai fungsi dari κ . Selanjutnya Gambar 5.3 menyajikan perbandingan grafik relasi dispersi dan pendekatan Gambar 5.2 menyajikan grafik amplitudo maksimum |ψ | max sebagai fungsi dari κ . Selanjutnya Gambar 5.3 menyajikan perbandingan grafik relasi dispersi dan pendekatan

Gambar 5.3 Relasi dispersi Ω dan pendekatan kuadratnya, rata-rata kenaikan σ dan amplitudo maksimum ψ sebagai fungsi bilangan gelombang (Dalam k

kasus ini k = 2 π ).

BAB VI. KESIMPULAN DAN SARAN

6.1. Kesimpulan

Dalam penelitian ini telah dimodelkan perambatan gelombang permukaan air dengan menggunakan persamaan NLS. Analisa yang dilakukan terhadap persamaan LS menunjukkan bahwa solusinya meningkat secara eksponensial. Solusi eksak persamaan NLS yang dikenal sebagai SFB merupakan ekstensi tak linear dari ketidakstabilan Benjamin-Feir. Dengan menggunakan formula ini diperoleh bahwa amplitudo maksimum akan terjadi apabila bilangan gelombang modulasi terletak dalam interval ketidakstabilan tersebut. Hasil utama penelitian ini adalah bahwa faktor amplifikasi kenaikan amplitudo maksimum gelombang ini adalah 3.

6.2. Saran

Dalam penelitian ini diharapkan ada keberlanjutan mengenai faktor-faktor gelombang ekstrim dengan mengaitkan dengan keadaan real yang terjadi di lautan.

DAFTAR PUSTAKA

1. NN. Akhmediev dan A. Ankiewicz, (1997), “Solitons-Nonlinear Pulses and Beams”, Chapmann & Hall.

2. E. Cahyono, (2002), “Analytical Wave Codes for Predicting Surface Waves in a Laboratory Basin”, Ph.D Theses, Fac. of Mathematical Sciences Univ. of Twente, The Netherlands.

3. E. van Groesen, (1998), ”Wave Groups in Uni-directional Surface Wave Models”, Journal of Engineering Mathematics, 34, 215-226.

4. L. Debnath, (1994), “Non-linear Water Waves”, Academic press Inc., Boston.

5. Marwan dan Andonowati, (2003), “Perubahan bentuk pada perambatan signal bikromatik dan pengaruhnya terhadap amplitudo maksimum”, JMS FMIPA ITB, Vol.

8 No. 2, 81-87.

6. Andonowati, Marwan dan E. van Groesen (2003), “Maximal Temporal Amplitude of generated wave group with two or three frequencies”, Proc. of 2nd ICPMR & DT, Singapore, Vol. 2, 111-116.

7. Marwan, (2005), “Maximal Temporal Amplitude of Tri-Chromatic Signals”, Proc. of Regional Conference on Mathematics, Statistics and Their Applications, USU Medan

8. Marwan, Andonowati dan N. Karjanto, (2006), “Maximum Temporal Amplitude and Designs of experiments for Generation of Extreme Waves”, Proc. of the Eleventh Asian Congress of Fluid Mechanics, Kuala Lumpur, Malaysia

9. Marwan, T. Nusantara dan Andonowati, (2006), “Spatial Evolution of Multi directional Surface Gravity Waves Based on Third Order Solution of KP Equation”, Journal of Indonesian Mathematical Society, vol. 12 no. 2, 211-224.

10. Marwan, (2006), “Gelombang Permukaan Satu dan Multi Arah, Teori, Numerik dan Aplikasinya Pada Pembangkitan Gelombang Ekstrim”, Disertasi S3 ITB, Bandung.

11. T.B. Benjamin and J.E. Feir, The disintegration of wave trains on deep water. Part 1. Theory, J. Fluid Mech., 27, 417, 1967.

12. N. Karjanto, E. van Groesen and P. Peterson : Investigation of the Maximum Amplitude Increase from the Benjamin-Feir Instability, Journal of Indonesian Mathematical Society, 8, 39-47, 2002

13. K.L. Henderson, D.H. Peregrine and J.W. Dold, Unsteady water wave modulation: fully nonlinear solutions and comparison with the nonlinear Schroedinger equation, Wave Motion, 341, 1999.

14. R.J. Rapp and W.K. Melville, “Laboratory measurements of deep water breaking waves, Philos. Trans. Roy. Soc. London”, A331,735 - 800, 1990.

15. J.H.L. Kway, Y.S. Loh and E.S. Chan, Laboratory study of deep water breaking waves, Ocean Eng., 25, 657 - 676, 1998.

16. Graham, D. I., James, P.W., Jones, T. E. R., Davies, J. M., and Delo, E. A., “Measurement and Prediction of Surface Shear Stress in Annular Flume”, ASCE J. Hydr. Engr., 118(9):1270-1286, 1992.

17. Gailani, J., Ziegler, C. K., and Lick, W., “The transport of sediments in the Fox River”, J. Great Lakes Res., 17: 479-494, 1991.

18. Tsai, C. H., and Lick, W., “Resuspension of sediments from Long Island Sound”, Wat. Sci. Tech., 21(6/7):155-184, 1987.

19. Tuijnder, A., “Estimation of spatial scales of mixing processes of freshwater and seawater in the Berau River Delta and Mahakam River Delta, East Kalimantan”, Department of Physical Geography, Utrecht University, 2003.

20. J.H. Westhuis, E. van Groesen and R.H.M. Huijsmans: Experiments and Numerics of Bichromatic Wave Groups, J. Waterway, Port, Coastal and Ocean Engineering 127, 334-342, 2001

21. M. Onorato, A.R. Osborne, M. Serio and S. Bertone, Freak waves in random oceanic sea states, Phys. Rev. Lett, 86, 5831, 2001.

22. R.G. Dean, Water wave kinematics Kluwer, Amsterdam, 1990, pp. 609-612

23. Agnon, Y., Madsen, P.A. & Schäffer, H.A. 1999. A new approach to high-order Boussinesq models. J. Fluid Mech. 399, 319–333.

24. Broer, L.J.F., van Groesen, E.W.C. & Timmers, J.M.W. 1976. Stable model equations for long water waves. Appl. Sci. Res. 32 (6), 619–636.

25. Davis, R. A., (eds.), “Coastal Sedimentary Environments”, Springer-Verlag New York Inc., 1985.

26. Parchure, T. M., and Mehta, A. J., “Erosion of Soft Cohesive Sediment Deposits”, ASCE J. Hydr. Engr., 111(10):1308-1326, 1985.

LAMPIRAN I PERSONALIA PENELITIAN

1. Ketua Peneliti

a. Nama

: Ichsan Setiawan, M.Si

b. Golongan Pangkat & NIP : III-b/Penata Muda Tk.I/132318928

c. Jabatan Fungsional

: Asisten Ahli

d. Jabatan Struktural

e. Fakultas / Jurusan

: MIPA/Ilmu Kelautan

f. Perguruan Tinggi

: Universitas Syiah Kuala

g. Bidang Keahlian : Oseanografi dan Sains Atmosfir

h. Waktu untuk Penelitian ini

: 48 jam/minggu

2. Anggota Peneliti

a. Nama

: Marwan, M.Si

b. Golongan Pangkat & NIP : III-b/Penata Muda Tk.I/ 132240094

c. Jabatan Fungsional

: Asisten Ahli

d. Jabatan Struktural

e. Fakultas / Jurusan

: MIPA/Matematika

f. Perguruan Tinggi

: Universitas Syiah Kuala

g. Bidang Keahlian : Matematika Terapan (Dinamika Fluida)

h. Waktu untuk Penelitian ini

: 30 jam/minggu

LAMPIRAN II BIODATA PENELITI

Ketua Peneliti

Nama Lengkap

: Ichsan Setiawan, M.Si

NIP

Tempat/Tanggal Lahir

: Bireuen, 7 Juni 1978

Jenis Kelamin

: Laki-laki

Bidang Keahlian

: Osenaografi fisis

Kantor/Unit Kerja : Universitas Syiah Kuala/Jurusan Ilmu Kelautan FMIPA Alamat Kantor

: Jurusan Ilmu Kelautan FMIPA, Univ. Syiah Kuala Darussalam Banda Aceh Kode Pos: 23111 Alamat Rumah

: Jl. Elang, Lr. Merpati No.62 Kelurahan Ateuk Pahlawan

Banda Aceh

Riwayat Pendidikan

Magister Sains, Institut Teknologi Bandung, Indonesia, 2005 Tesis : Pemodelan numerik transport sedimen akibat arus yang dibangkitkan

oleh Gelombang di Perairan Pantai Pulau Baai Bengkulu

Sarjana Fisika, Universitas Syiah Kuala, Banda Aceh, Indonesia, 2000 Skripsi : Pengaruh gesekan dasar laut terhadap perubahan pola posisi

Amphidromie pasang surut dan arus pasang surut (tidal currents) di North Sea dan Perairan Indonesia untuk komponen M 2

Pengalaman Riset

BRR NAD dan NIAS, 2006

Judul : Perbedaan Media Pemeliharaan Dan Strategi Pemberian Pakan Terhadap Pertumbuhan, Kelangsungan Hidup Dan Kualitas Kepiting Bakau (Scylla Serrata) Di Tambak Posisi

: Anggota Peneliti

SEMINAR dan KONFERENSI

ƒ Peserta Pertemuan Ilmiah I Ahli Oseanografi Fisika, April 2003 ƒ Peserta Symposium On Coastal Zone Management (Kerjasama ITB dengan

University of Twente, Juli 2003) ƒ Peserta Seminar on AktiveGeosphere : “Numerical Modeling for Climate Prediction” (Kerjasama Kyoto University Active Geosphere Investigations, April 2004)

ƒ Peserta Seminar Pelajaran dari Bencana Tsunami Aceh 2004 ƒ Peserta Workshop and Training on Tsunami and Inundation Modelling using Delft

3D Software (Kerjasama DKP, Oceanography ITB, USAID, Delft Hydraulics Nederland dan Seacorm Bali, Desember 2006)

Publikasi

Ichsan Setiawan, Totok Suprijo, Dadang K. Mihardja, (2006), ”Pemodelan Transport Sedimen Akibat Arus Yang Dibangkitkan Oleh Gelombang di Perairan Pulau Baai, Bengkulu ”, Jurnal Geoaplika Geologi Terapan FIKTM-ITB.

Ichsan Setiawan, Edy Miswar, (2006), ”Simulasi Penjalaran Gelombang di Perairan Pantai Pulau Baai Bengkulu”, Jurnal Natural FMIPA Unsyiah.

Banda Aceh, 20 Februari 2007 Ketua Peneliti,

Ichsan Setiawan, M.Si

Anggota Peneliti

Nama Lengkap

: Marwan, M.Si

NIP

Tempat/Tanggal Lahir

: Tg. Pinang, 25 Nopember 1971

Jenis Kelamin

: Laki-laki

Bidang Keahlian

: Dinamika Fluida

Kantor/Unit Kerja : Univ. Syiah Kuala/ Jurusan Matematika FMIPA Alamat Kantor

: Jurusan Matematika FMIPA, Univ. Syiah Kuala

Darussalam Banda Aceh, 23111

Alamat Rumah : Desa Lambada Kec. Ingin Jaya Aceh Besar

Riwayat Pendidikan

Magister Matematika, Institut Teknologi Bandung, Indonesia, Agustus 1999 Tesis : Analisa Sistem Antrian Model MMc

Sarjana Matematika, Universitas Syiah Kuala, Banda Aceh, Indonesia, November 1996 Skripsi : Penggunaan Transformasi Laplace pada Sistem Kontrol Otomotik

Pengalaman Penelitian

RUTI I BPPT, 2002 -- 2004

Judul : On the Onset of Wave Breaking Posisi

: Anggota Peneliti

Hibah Bersaing DIKTI, 2001 -- 2003 Judul

: Pengaruh arus pada dinamika benda terapung Posisi

: Anggota Peneliti

RUT IX BPPT, 2002 -- 2003 Judul

: Pemantauan kondisi meteorologi melalui model dinamik atmospheric extinction: Berdasarkan data jangka panjang pengamatan di Observatorium Bosccha Lembang.

Posisi : Anggota Peneliti

EPAM Project, April -- Juni 2002 Judul

: Extreme waves generation in hydrodynamic laboratory

Posisi : Anggota Peneliti

Domestic Collaborative Research Grant, URGE Project, 2000 -- 2001 Judul

: The Verification of Three Dimensional Tidal Models through

Analytical Model in Rectangular Basin Posisi

: Anggota Peneliti Host

: P2MS ITB

SEMINAR dan KONFERENSI

Marwan, Linear Theory of Wavemaker. Case: Multi Directional Waves, 2 nd Regional Conference on Mathematics, Statistics and Their Applications (RCMSA), USM

Malaysia, 13-15 Juni 2006

Marwan, Andonowati, N. Karjanto, Maximum Temporal Amplitude and Designs of experiments for Generation of Extreme Wave, The Eleventh Asian Congress of Fluid Mechanics, Kuala Lumpur, Malaysia, 22-25 May 2006

Marwan, Non Linear Evolution of Multidirectional Waves Based on Third Order Solution of KP Equations. Part 1, One Day Seminar FMIPA 2005, University of Indonesia Jakarta, 25-26 November 2005

Marwan, Predicting extreme locations of propagating waves from originally tri- chromatic signals through Maximal Temporal Amplitude (MTA), International Conference on Applied Mathematics (ICAM05), ITB Bandung, 22-26 August 2005

Marwan, Linear Theory for the Single Flap of Wavemaker, Seminar Peer Group Jurusan Matematika FMIPA Unsyiah Banda Aceh, 18 Juni 2005

Marwan, Maximal Temporal Amplitude (MTA) of Tri-Chromatic Signals, 1 st Regional Conference on Mathematics, Statistics and Their Applications (IRCMSA), USU

Medan, 13-15 Juni 2005,

Marwan and Wuryansari MK, On the Deformation of Wave Group with Two Frequencies, Pertemuan Mahasiswa S3 Matematika Indonesia, UGM, Yogyakarta,

18 Desember 2004

Marwan, Effects of Phase on Maximal Temporal Amplitude (MTA) of Tri-chromatic signal, Mathematics National Conference XII, Univ. Udayana Bali, 23-27 July 2004

Marwan, Effect of Phases on Maximum Amplitude of Bi-chromatics and Tri- chromatics Signals, Lecturer Seminar Department of Mathematics ITB, 27 April 2004

Marwan and Andonowati, Wave deformation on the propagation of bi-chromatics signal and its effect to the maximum amplitude, Seminar MIPA III, ITB, 21-22 October 2002

Andonowati, W.M. Kusumawinahyu, Marwan, Effect of Floating Body Moves on Waves Profile, Seminar MIPA ITB, 2002

M. Irham, Andonowati, Marwan, Investigation on Wave Run-up Using 2-D Fully Non Linear Equations, Seminar Ilmiah MIPA ITB, 2000

Marwan, Andonowati, M. Irham, Edy Soewono, Evolution of Waves Based on Second Order Analytical Code of Improved KdV and Boussinesq Equations, Seminar Ilmiah MIPA ITB, 2000

PUBLIKASI INTERNASIONAL (lima tahun terakhir)

Marwan, Linear Theory of Wavemaker. Case: Multi Directional Waves, to appear

Marwan, The Comparison of Boussinessq and KdV equations for predicting extreme location and amplification of downstream propagation of waves. To appear

Andonowati, Marwan and W.M. Kusumawinahyu, Effects of Phases on the Maximal Temporal Amplitude of Down Stream Running Non Linear Water Waves, submitted to The Anziam Journal

Marwan, Toto Nusantara, Andonowati, Spatial Evolution of Multidirectional Waves Based on Third Order Solution of KP Equations, Journal of Indonesian Mathematical Society, vol. 12 no. 2, 211-224, (2006).

Marwan, Andonowati, N. Karjanto, Maximum Temporal Amplitude and Designs of experiments for Generation of Extreme Waves, Proc. of the Eleventh Asian Congress of Fluid Mechanics, Kuala Lumpur, Malaysia, 978-983 (2006)

Marwan, Maximal Temporal Amplitude of Tri-Chromatic Signals, Proc. of Regional Conference on Mathematics, Statistics and Their Applications, USU Medan (2005)

Andonowati, Marwan, W.M. Kusumawinahyu, Extreme wave generation in hydrodynamic laboratory, submitted to Proc. of Open Science Meeting (2004)

Andonowati, Marwan, E. van Groesen, Maximal Temporal Amplitude of generated wave group with two or three frequencies, Proc. of 2nd ICPMR&DT, Singapore, v2, 111-116 (2003)

PUBLIKASI NASIONAL (lima tahun terakhir)

Marwan, Linear Wave Maker Theory for Single Flap, accepted to publish in Natural Journal, FMIPA Unsyiah, 2006

Marwan, Dispersion Relation of Kelvin Helmholtz, Majalah Ilmiah BERSAMA, 10 No. 2 (2006)

Marwan, Non Linear Evolution of Multidirectional Waves Based on Third Order Solution of KP Equations. Part 1, Proc. of One Day Seminar MIPA, Univ. Indonesia, Jakarta, (2005)

Marwan, Equations of Inviscid Fluid Propagations, Jurnal Optimum Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang (2004)

Marwan and Andonowati, Wave deformation on the propagation of bi-chromatics signal and its effect to the maximum amplitude, JMS FMIPA ITB, vol. 8 no. 2: 81--87 (2003)

Marwan, Correcting of Dispersion Relation to Prevent Resonances, Jurnal Natural, FMIPA UNSYIAH (2003)

M. Irham, Marwan, Andonowati, Effect of bottom stress on run-up of waves, Proc. ITB, vol 34, no.1 47-60 (2002)

Banda Aceh, Maret 2007 Ketua Peneliti,

Marwan, M.Si

PROGRAM DPA-SKPD ARTIKEL PENELITIAN PENGEMBANGAN KARYA ILMIAH AMPLIFIKASI AMPLITUDO ELEVASI PADA PERAMBATAN GELOMBANG PERMUKAAN BERTIPE BENJAMIN FEIR

Oleh:

Ichsan Setiawan, M.Si Marwan, M.Si

Dibiayai oleh Pemerintah Nanggroe Aceh Darussalam, sesuai dengan DPA

SKPD Nomor : 1.01.01/01/DPA-SKPD/2007 Tanggal 21 Juni 2007

JURUSAN ILMU KELAUTAN FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SYIAH KUALA

Amplifikasi Amplitudo Elevasi pada Perambatan Gelombang Permukaan Bertipe Benjamin-Feir

The Amplitude Amplification of Benjamin-Feir

Surface Wave Elevation

1 Ichsan Setiawan 2 dan Marwan

1 Jurusan Ilmu Kelautan FMIPA Unsyiah

2 Jurusan Matematika FMIPA Unsyiah ABSTRAK

Persamaan Non Linear Schrodinger (NLS) digunakan untuk memodelkan perambatan gelombang di permukaan. Analisa gelombang dari NLS yang dilinearkan memperlihatkan bahwa solusi harmoniknya dengan amplitudo yang cukup kecil cenderung meningkat secara eksponensial. Peningkatan ini secara detil diamati dengan menggunakan solusi eksak dari persamaan NLS yang dinamakan Soliton on Finite Background (SFB). Sebagai hasil utama, ditemukan suatu interval ketidakstabilan kenaikan amplitudo maksimum dapat meningkat tiga kali dari amplitudo awalnya.

Kata kunci : persamaan NLS, ketidakstabilan Benjamin-Feir, SFB, kenaikan amplitudo maksimum

ABSTRACT

In this paper, the non linear schrodinger equations (NLS) is described to model the surface wave propagation. Analysis from linearized model showed the harmonic solution of the equation with small amplitude grows exponentially. This growth is investigated using the exact solution of NLS equation which is called Soliton on Finite Background (SFB). In this research we found that interval instability of amplitude increases up to three times from its initial amplitude.

Keywords : NLS equation, Benjamin-Feir instability, SFB, maximum increasing of amplitude

PENDAHULUAN

Kegiatan ini merupakan bagian dari penyelidikan tentang gelombang besar dan sangat curam sebagai gelombang ekstrim. Gelombang ekstrim di sini memiliki arti bahwa gelombang dengan amplitudo sangat tinggi dan sangat curam yang tiba-tiba muncul pada suatu lautan yang relatif tenang. Gelombang ini tentu saja sangat sukar diprediksi. Hal ini tentu akan membahayakan benda terapung yang kebetetulan bertemu dengan gelombang.

Gelombang ekstrim dimodelkan dengan menggunakan model gelombang dispersif. Dispersi menyebabkan gelombang dengan panjang gelombang yang berbeda yang akan merambat dengan kecepatan yang berbeda pula. Diasumsikan bahwa gelombang yang ditinjau di sini memiliki spektrum yang terlokalisasi di sekitar satu frekuensi.

Selanjutnya, selubung gelombang dideskripsikan oleh persamaan NLS 4 . Persamaan NLS merupakan persamaan yang menggambarkan perubahan selubung dari paket gelombang.

Persamaan ini juga sering digunakan sebagai alat instrumentasi untuk memahami fenomena gelombang tak linear yaitu perambatan paket gelombang satu arah yang

energinya dalam medium dispersi pada efek tak linear orde rendah 5 .

Dalam tulisan ini dipaparkan analisa selubung paket gelombang dengan menggunakan teori linear dan tak linear. Teori linear memprediksi kenaikan amplitudo secara

eksponensial ketika kondisi awal memenuhi ketidakstabilan Benjamin-Feir 5 . Selain itu, ketika amplitudo membesar sebagai efek ketaklinearan penting untuk dipahami. Tujuan

penelitian ini adalah mendapatkan amplitudo maksimum gelombang bertipe Benjamin- Feir. Di samping itu, dikaji pula ketergantungan kenaikan amplitudo maksimum ini terhadap parameter kenaikan dari ketidakstabilan Benjamin-Feir.

1.1 Teori Linear

Dalam teori gelombang linear, analisa gelombang dapat dibatasi pada elevasi di

i ( kx −) ω permukaan yang berbentuk t η ( x , t ) = ae + cc (kompleks sekawan), dengan a amplitudo, bilangan gelombang dan k ω frekuensi. Untuk gelombang permukaan air di

atas kedalaman konstan h , parameter dan k ω direlasikan oleh relasi dispersi linear yang dituliskan dalam bentuk 4 ,

ω 2 = gk tanh kh , (1) dengan percepatan gravitasi. Relasi dispersi ini dapat juga dituliskan dalam bentuk g

g tanh ω kh = Ω

i ( kx − Ω ( k ) t Karena sistem gelombang linear memiliki solusi dasar dalam bentuk )

ae , maka untuk memudahkan penulisan solusi umum dari permasalahan nilai awal sebagai komponen integral Fourier

i ( kx − Ω ( k ) t η ) (

x , t ) = α ( k ) e dk , (3)

dengan α (k ) merupakan transformasi Fourier dari η (x , 0 ) . Penulisan relasi dispersi sebagai ekspansi Taylor di sekitar bilangan gelombang k 0 dan menghilangkan suku Ο 3 ( κ ) , memberikan

0 + κ ) − Ω ( k 0 ) − Ω ' ( k 0 ) κ , (4) dengan β= 1 2 Ω '' ( k 0 ) . Definisikan k = k 0 + κ , τ = t dan ξ = x − Ω ' ( k 0 ) t , maka persamaan (3) dapat juga dituliskan sebagai

βκ 2 = Ω ( k

i κξ − i βκ 2 η t

( x , t ) = e 0 0 α ( k 0 + κ ) e e d κ . (5)

Dengan menotasikan intgeral dalam (5) dengan ψ ( ξ , τ ) , diperoleh

Ini adalah persamaan LS untuk spektrum yang cukup sempit. Persamaan (6) adalah persamaan diferensial parsial yang mendeskripsikan evolusi waktu dari selubung paket

i ( κ x − ν t gelombang linear. Persamaan (6) memiliki solusi monokromatik ) ψ ( ξ , τ ) = e ν

dengan 2 = βκ .

1.2 Teori Tak Linear

Dengan asumsi spektrum yang cukup sempit, elevasi gelombang dapat dituliskan dalam

i ( k x − ω t bentuk ) η ( x , t ) = ψ ( ξ , τ ) e 0 0 + cc , dengan τ = t dan ξ = x − Ω ' ( k 0 ) t . Evolusi

elevasi gelombang merupakan deformasi tak linear lemah dari suatu gelombang dengan

bilangan gelombang yang tetap k 0 . Jika η disubstitusikan ke dalam persamaan yang menggambarkan gerakan fisik dari gelombang air, maka diperoleh satu amplitudo

ψ ( ξ , τ ) yang memenuhi persamaan NLS. Sebagai contoh, persamaan NLS dapat

3 2 diturunkan dari persamaan KdV 2 η t + i Ω ( − i ∂ x ) η + 4 ∂ x η = 0 . Persamaan ini berkorespondensi dengan persamaan NLS

2 + γ | ψ | ψ = 0 , β , γ ∈ ℜ ∂ , (7) t

dengan

4 ⎣ Ω ' ( k 0 ) − Ω ' ( 0 ) 2 Ω ( k 0 ) − Ω ( 2 k 0 ) ⎦ Koefisien β dan γ dalam tulisan ini memiliki tanda yang berbeda dari koefisien dalam 3 .

Untuk selanjutnya, tulisan ini hanya terpusat pada persamaan NLS. Persamaan (7)

memiliki suatu solusi plane wave A ( ) = r e 0 τ τ 0 . Secara fisik, elevasi gelombang

permukaan diberikan sebagai 2 η ( x , t ) = 2 r

0 cos( k 0 x − ω 0 t + γ r 0 t ) .

METODE PENELITIAN

Untuk menyelidiki ketidakstabilan dari solusi plane wave persamaan NLS dilakukan perturbasi ξ fungsi bebas A ( τ ) dengan perturbasi kecil yang berbentuk ε ( ξ , τ ) = A ( τ ) B ( ξ , τ ) , sehingga

ψ ( ξ , τ ) = A ( τ )[ 1 + B ( ξ , τ )] . (8) Dengan mensubstitusikan (8) ke dalam (7) dan membuang suku tak linear diperoleh

persamaan berikut

τ + β B ξξ + γ r 0 ( B + B *) = 0 . (9) Selanjutnya solusi persamaan (9) dituliskan

iB 2

στ + i κξ

σ τ i κξ

1 e + B 2 e , (10) dengan B 1 , B 2 ∈ C dan σ ∈ C dinamakan rata-rata kenaikan. Jika Re( σ ) > 0 , maka

solusi perturbasi persamaan NLS meningkat secara eksponensial. Kriteria ini yang dinamakan dengan ketidakstabilan Benjamin-Feir 4 . Kondisi ini memberikan fakta bahwa

2 2 2 σ 2 = βκ ( 2 γ r

sehingga

0 < | κ | < | κ krit | =

r 0 . (11)

Gambar 1. Rata-rata kenaikan σ sebagai fungsi dari κ untuk 1 r 0 = β = γ =

HASIL DAN PEMBAHASAN

Pada bagian ini akan dipaparkan keterkaitan antara amplitudo maksimum dari solusi awal persamaan NLS dengan bilangan gelombang modulasi κ dalam interval ketidakstabilan.

Untuk memudahkan, dalam hal ini dipilih r 0 = β = γ = 1 . Solusi eksak persamaan NLS yang dikenal sebagai Soliton on Finite Background (SFB) dituliskan sebagai 1 ,

+ 2 − κ ( 2 κ 1 ) cosh( στ ) 2 cos( κξ ) + i σ sinh( στ ) i τ ψ ( ξ , τ ) =

cosh( στ ) − 2 − κ 2 cos( κξ ) dengan 2 0 < κ < 2 dan σ = κ 2 − κ .

Gambar 2. Plot | ψ sebagai fungsi dari ξ dan | τ untuk κ = 1 Untuk κ = 1 diperoleh

cos( κξ ) + i 2 sinh( τ ) i τ

e . (13)

2 cosh( τ ) − cos( ξ )

Gambar 2 menyajikan grafik | ψ sebagai fungsi dari ξ dan | τ untuk κ = 1 . Terlihat bahwa ψ ( ξ , τ ) adalah fungsi periodik dengan periode π 2 terhadap ξ .

Gambar 3. Plot amplitudo maksimum ψ ( ξ = 0 , τ = 0 , κ ) sebagai fungsi dari κ .

Selanjutnya perhatikan bahwa untuk τ → ± ∞ ,

2 2 2 lim 2 | ψ ( ξ , τ ) | = ( κ − 1 ) + κ ( 2 − κ ) = 1 . (14)

Dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa amplitudo akan mencapai maksimum pada ξ = 0 dan τ = 0 . Dengan demikian,

| ψ | max = | ψ ( 0 , 0 ; κ ) | =

Untuk κ yang cukup kecil diperoleh bahwa lim | ψ ( 0 , 0 ; κ ) | = 3 . (16)

Dengan demikian, faktor amplifikasi kenaikan amplitudo maksimum dinyatakan sebagai

lim

κ → 0 lim | ψ ( ξ , τ ; κ ) |

r → ±∞

Gambar 3 menyajikan grafik amplitudo maksimum |ψ | max sebagai fungsi dari κ . Selanjutnya Gambar 4 menyajikan perbandingan grafik relasi dispersi dan pendekatan

kuadratnya, rata-rata kenaikan σ dan amplitudo maksimum ψ sebagai fungsi bilangan gelombang . k

Gambar 4. Relasi dispersi Ω dan pendekatan kuadratnya, rata-rata kenaikan σ dan amplitudo maksimum ψ sebagai fungsi bilangan gelombang . Dalam kasus ini k k = 2 π

SIMPULAN

Dalam tulisan ini telah dimodelkan perambatan gelombang permukaan air dengan menggunakan persamaan NLS. Analisa yang dilakukan terhadap persamaan LS menunjukkan bahwa solusinya meningkat secara eksponensial. Solusi eksak persamaan NLS yang dikenal sebagai SFB merupakan ekstensi tak linear dari ketidakstabilan Benjamin-Feir. Dengan menggunakan formula ini diperoleh bahwa amplitudo maksimum akan terjadi apabila bilangan gelombang modulasi terletak dalam interval ketidakstabilan tersebut. Hasil utama penelitian ini adalah bahwa faktor amplifikasi kenaikan amplitudo maksimum gelombang ini adalah 3.

DAFTAR PUSTAKA

1. NN. Akhmediev dan A. Ankiewicz, (1997), “Solitons-Nonlinear Pulses and Beams”, Chapmann & Hall.

2. E. Cahyono, (2002), “Analytical Wave Codes for Predicting Surface Waves in a Laboratory Basin ”, Ph.D Theses, Fac. of Mathematical Sciences Univ. of Twente, The Netherlands.

3. E. van Groesen, (1998), ”Wave Groups in Uni-directional Surface Wave Models”, Journal of Engineering Mathematics, 34, 215-226.

4. L. Debnath, (1994), “Non-linear Water Waves”, Academic press Inc., Boston.

5. Marwan dan Andonowati, (2003), “Perubahan bentuk pada perambatan signal bikromatik dan pengaruhnya terhadap amplitudo maksimum ”, JMS FMIPA ITB, Vol.

8 No. 2, 81-87.

6. Andonowati, Marwan dan E. van Groesen (2003), “Maximal Temporal Amplitude of generated wave group with two or three frequencies ”, Proc. of 2nd ICPMR & DT, Singapore, Vol. 2, 111-116.

7. Marwan, (2005), “Maximal Temporal Amplitude of Tri-Chromatic Signals”, Proc. of Regional Conference on Mathematics, Statistics and Their Applications, USU Medan

8. Marwan, Andonowati dan N. Karjanto, (2006), “Maximum Temporal Amplitude and Designs of experiments for Generation of Extreme Waves ”, Proc. of the Eleventh Asian Congress of Fluid Mechanics, Kuala Lumpur, Malaysia

9. Marwan, T. Nusantara dan Andonowati, (2006), “Spatial Evolution of Multi directional Surface Gravity Waves Based on Third Order Solution of KP Equation ”, Journal of Indonesian Mathematical Society, vol. 12 no. 2, 211-224.

10. Marwan, (2006), “Gelombang Permukaan Satu dan Multi Arah, Teori, Numerik dan Aplikasinya Pada Pembangkitan Gelombang Ekstrim ”, Disertasi S3 ITB, Bandung.

UCAPAN TERIMA KASIH

Penulis menyampaikan terima kasih kepada kepala Laboratorium Pemodelan dan Simulasi, Jurusan Matematika, FMIPA Universitas Syiah Kuala Banda Aceh dan Pemerintah Daerah Nanggroe Aceh Darussalam. Penelitian ini didanai oleh Pemerintah Daerah Nanggroe Aceh Darussalam dengan Nomor Kontrak: 1.01.01/01/DPA- SKPD/2007, Tanggal 21 Juni 2007.